а) записать область допустимых значений;

б) сделать преобразования;

в) сделать замену переменной;

г) нарисовать графики функций.

И далее предложено 10 примеров, содержащих логарифмы, корни, показательные и тригонометрические функции. Содержание же главы по теме неравенства состоит в описании общих приемов решения неравенств и приведения разобранных примеров. В первую очередь отмечается то, что решение любых неравенств сводится к решению стандартных неравенств, которые были рассмотрены в предыдущих главах, а также помогает разложение на множители. А решение неравенства вида >0 можно представить в виде совокупности систем, но если множители являются линейными или произведениями линейных, то проще применить метод интервалов, который сильно сокращает количество вычислений.

Комплект учебников 7-11 по алгебре для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики Виленкина Н.Я. и др.;

Тема «неравенства» в данном курсе впервые встречается в середине 8 класса в параграфе «неравенства и приближенные вычисления», где рассматриваются основные свойства числовых неравенств. Решение же неравенств выделено отдельной главой, завершающей 8 класс. В этой главе последовательно рассматриваются неравенства первой степени, квадратные (их решение сразу основывается на разложении на множители); дробно - линейные (сначала только вида , решение которых сводится к решению квадратных путем умножения дроби на знаменатель, и его дальнейшее отбрасывание как положительное выражение); системы неравенств с одним неизвестным (представляющих собой системы ранее изученных неравенств); далее решение всех вышеупомянутых неравенств обобщается в пункте «метод промежутков», который вводится на примерах; и завершает курс алгебра8 пункт «неравенства и системы неравенств с двумя переменными», идея решения которых вначале иллюстрируется на примере, и далее дается описание решения подобных задач в общем виде: чтобы изобразить наглядно решение какого-нибудь неравенства, нужно сначала заменить знак неравенства знаком равенства и начертить линию, имеющую полученное уравнение. Эта линия делит плоскость на части. В каждой части следует выбрать пробную точку и подставить ее координаты в неравенство. Если получится верное числовое неравенство, то вся часть, содержащая данную точку, принадлежит решению (граница части - лишь в случае нестрого неравенства). Объединяя все такие части, получим наглядное изображение решения неравенства.

В начале 10 класса также встречается метод интервалов в главе «рациональные выражения. Уравнения и неравенства с одной переменной» в пункте «решение неравенств». Здесь идет повторение уже изученного материала, сам метод интервалов описывается в общем виде и более детально обосновывается. Прилагается система упражнений особо не отличающаяся от заданий в других учебниках, поэтому не будем останавливаться на ней подробнее. Далее имеется пункт на решение неравенств, содержащих знак модуля (этот пункт также не отличается содержанием от других рассмотренных здесь учебников). Глава по тригонометрии содержит пункты «решение простейших тригонометрических неравенств» и «решение тригонометрических неравенств». В последнем указано, что: в более общем случае тригонометрические неравенства, как и алгебраические, решаются методом интервалов, который описан далее для общего случая и затем разобран на примерах. В курсе 11 класса рассматриваются показательные и логарифмические неравенства, решение которых основывается на известных свойствах (см. выше). Решение иррациональных неравенств осуществляется путем возведения в степень (при учете знаков правой и левой части неравенств). Также в данном учебнике присутствуют пункты «решение рациональных неравенств с параметрами» (содержание материала учебника в целом совпадает с изложенным во второй главе данной работы, поэтому не будем сейчас заострять на этом внимание); «решение иррациональных неравенств с параметрами», которое происходит по алгоритму решения иррациональных неравенств только с добавлением дополнительных условий. Также, в курсе за 11 класс в главе «Многочлены от нескольких переменных. Системы уравнений и неравенств» повторяется материал, пройденный в 8 классе.

метод интервал произвольный неравенство



Глава 2. Ориентировочная основа учебной деятельности в процессе решения неравенств методом интервалов

2.1 Сущность решения неравенств

Уравнения, неравенства и системы уравнений и неравенств являются математическими моделями очень многих физических и иных явлений. Поэтому решение различных практических задач сводится к решению уравнений, неравенств и их систем.

Неравенства в различных учебниках определяются несколько по-разному. Однако более важно усвоить не те или иные определения, а основные признаки этих понятий:

1. Всякое неравенство есть задача.

2. Записью этой задачи является неравенство с переменной (переменными). Заметим, что раньше вместо «переменная» говорили «неизвестная».

3. Неравенство - это такая задача, в которой требуется найти значения этой переменной (или переменных).

4. Искомые значения переменной (переменных), которые нужно найти в задаче - неравенстве, должны быть такими, чтобы, будучи подставлены вместо переменной (переменных) в неравенство, они обращали его в истинное высказывание (верное неравенство).

Эти значения переменной (переменных), удовлетворяющие неравенству, называются решениями неравенства. Решить неравенство с переменной - значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Помните, что слово «решение» обозначает также и процесс отыскания решения. Так что каждый раз следует отдать себе отчет, о каком смысле слова «решение» идет речь. В чем же смысл решения (как процесса) неравенства? Рассмотрим пока неравенства с одной переменной. Всякое неравенство можно записать, как было указано, в виде неравенства с переменной. Следовательно, всякое неравенство имеет вид: (1), где знак ? обозначает один из следующих: >, <, или .Здесь и суть некоторые выражения (функции) от одной переменной х. Притом одно из них, т.е. или , может представлять собой некоторую постоянную функцию (число), в частности, нуль.Областью определения неравенства (1) называется общая область определения функций и .

Простейшим неравенством считается неравенство вида х?а (2) или двойное неравенство вида a?x?b (3) , где а и b - некоторые числа. Это неравенство считается простейшим потому, что оно есть и запись задачи (найти значения, удовлетворяющие этому неравенству), и запись ответа задачи, так как решением простейшего неравенства является числовой промежуток. Так, неравенству x>a соответствует промежуток (а; +); неравенству соответствует промежуток (-; a], а неравенству a<x<b соответствует промежуток (a; b) и т.д.

Сведение неравенства (1) к неравенствам простейшего вида производится с помощью правил равносильности неравенств. Напомним, что равносильными неравенствами считаются такие два неравенства, множества решений которых совпадают на множестве чисел, на котором рассматривается решение неравенств; в частности, неравенства равносильны, если оба не имеют решений. Это значит, что всякое решение первого неравенства удовлетворяет и второму неравенству и, обратно, всякое решение второго неравенства удовлетворяет и первому.

В математике установлены правила (теоремы), позволяющие преобразовывать данное неравенство в ему равносильное. Приведем все эти правила (без доказательств, так как это не является целью данной работы, а лишь средством), для сохранения научной обоснованности нижеследующих действий. Будем считать все эти теоремы известными фактами и их использование сформированными умениями и навыками.

Для преобразований неравенств используются такие правила:

· Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное данному;

· Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное данному;

· Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное данному;

· Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному;

На практике иногда еще бывают полезны теоремы, являющиеся обобщениями двух последних:

· Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же выражение, принимающее при всех значениях переменной положительные значения, то получится неравенство, равносильное данному;

· Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же выражение, принимающее при всех значениях переменной отрицательные значения, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному;

Теперь рассмотрим факты, полезные при решении отдельных видов неравенств.

2.1.1 Поэтапное формирование умения решать неравенства методом интервалов

В зависимости от учебника, по которому проходит изучение курса алгебры может варьироваться место рассматриваемой темы, способ введения данной темы, количество отведенных часов и пр. Поэтому мы остановимся на основных моментах, опираясь на которые можно будет разработать план изложения материала для каждого отдельного учебника, приняв во внимание тот факт, что сведения, изложенные в пункте 2.1.1. считаются уже известными. Т.е., например, умение решать линейные неравенства и их системы является уже сформированным к моменту изучения квадратных неравенств.

2.1.2 Квадратные неравенства

Решение квадратных неравенств - это традиционно обособленная часть исследования свойств квадратичной функции. Так, например, задача о решении неравенства может быть переформулирована как задача о нахождении промежутков, на которых функция принимает положительные значения, и легко решается с помощью эскиза графика. Поэтому этот способ решения квадратных неравенств представлен во многих учебниках как основной.

Вместе с тем, рассматривается и другой способ решения неравенства - разложением квадратного трёхчлена на множители и сведением неравенства к решению двух систем линейных неравенств. Этот способ фактически является строгим обоснованием графического способа. При решении системы линейных неравенств целесообразно пользоваться наглядным изображением решений каждого из неравенств системы на числовой оси.

Метод интервалов позволяет решать более сложные неравенства, когда левая часть неравенства - многочлен любой степени, представленный в виде простых множителей, или когда левая часть - дробь, у которой числитель и знаменатель - многочлены, и эти многочлены можно разложить на множители (правая часть неравенства равна нулю).

Метод интервалов основан на том, что графиком многочлена является некоторая непрерывная кривая, которая несколько раз пересекает ось Ох, и при этом, как правило, знак значения многочлена меняется на противоположный. Представление многочлена в виде простых множителей определяет и точки пересечения его с осью Ох, и интервалы знакопостоянства. Последовательный перебор знаков при переходе от одного интервала к другому позволяет установить промежутки, составляющие решение данного неравенства. Рассмотрим рациональные неравенства подробнее.

2.1.3 Рациональные неравенства

Основными рациональными неравенствами являются линейные, системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной. Всякое линейное неравенство, а также системы линейных неравенств легко сводятся к одному из простейших неравенств, а совокупности линейных неравенств - к одному или совокупности нескольких простейших. Здесь возможны следующие случаи.

Линейные неравенства с одной переменной всегда с помощью тождественных преобразований обеих частей неравенства сводятся к неравенству вида , а затем и к неравенству . Дальнейшее решение зависит не только от значений коэффициентов в левой и правой частях неравенства, но и от смысла знака *.

Например, неравенство или выполняется при любом значении х, и, следовательно, его решением является вся область , а неравенство или не выполняется ни при каком значении х, и, следовательно, это неравенство не имеет решений.

Системы линейных неравенств с одной переменной одного и того же смысла всегда можно заменить одним простейшим неравенством того же смысла. Например, система равносильна неравенству Заметим, что 5 есть наибольшее из чисел, стоящих в правых частях простейших неравенств данной системы.

Системы неравенств с одной переменной разного смысла или же приводятся к одному простейшему неравенству (двойному), или же противоречивы и не имеют решения. Например, система равносильна системе двух систем: . Последняя система равносильна такой системе: А эта система противоречива и не имеет решений.

Совокупности линейных неравенств, очевидно, всегда можно свести к совокупности простейших неравенств.

Что касается нелинейных рациональных неравенств с одной переменной, то они с помощью особых преобразований и приведенных ниже двух теоремах, сводятся к линейным неравенствам.

Теорема 1. Если в системе неравенств одно из них удовлетворяется при всех значениях переменной (такое неравенство иногда называют тождественно - истинным), то отбросив его, получим систему, равносильную исходной.

Следствие. Если в неравенстве множитель f(x) такой, что f(x)>0 при всех , то этот множитель можно отбросить, т.е. исходное неравенство равносильно неравенству .

Теорема 2. Неравенство или равносильно соответственно неравенству или .

Заметим, что если неравенство нестрогое, то эта теорема верна лишь при некоторых дополнительных условиях. Например, неравенство равносильно неравенству при условии, что

Решение нелинейных рациональных неравенств можно производить в такой последовательности:

1-й ш а г. Все члены неравенства переносим в одну сторону (например, в левую), с тем чтобы правая сторона неравенства была равна нулю.

2-й шаг. Если левая часть неравенства есть дробное выражение, то приводим его к виду дроби, которую на основе теоремы 2 заменяем произведением многочленов, стоящих в числителе и знаменателе дроби.

3-й ша г. Многочлены, если их степень больше первой, разлагаем на линейные множители или квадратные с отрицательным дискриминантом.

4-й шаг. Отбрасываем все множители, значение которых положительно при всех значениях переменной. Здесь можно использовать следующую теорему:

Теорема. Если дискриминант квадратного трехчлена ax²+bx+c отрицателен, а старший коэффициент а положителен, то при всех значениях х выполняется неравенство

ax²+bx+c>0.

Дальнейшее решение возможно несколькими способами. Можно заменить данное неравенство совокупностью систем линейных неравенств, рассуждая таким образом. Например, в левой части после выполнения шагов 1 - 4 получилось неравенство:

Очевидно, это будет тогда, когда или все сомножители положительны, или один положителен, а остальные два отрицательны. Это утверждение можно записать как совокупность соответствующих систем неравенств, решив которые, получим решение исходного неравенства, конечно, при учете дополнительных условий.

Однако такой способ очень громоздок. Более удобен так называемый способ промежутков, который еще называют методом интервалов. Состоит он в следующем. Найдем корни левой части неравенства, т.е. те значения переменной, при которых каждый из множителей левой части обращается в нуль. Далее следует изобразить их на числовой оси, при этом если неравенство строгое, то изобразить их в виде пустых кружочков. Если же неравенство нестрогое, то в виде заштрихованных кружочков. Также пустыми кружочками следует нанести точки, соответствующие дополнительным условиям. Точки, соответствующие корням левой части неравенства, разбивают всю прямую на области. Теперь необходимо рассмотреть знак левой части в каждой из этих областей. Сделаем это для общего случая.

Пусть левая часть представлена в виде:

*

где Q(x) действительных корней не имеет и либо положителен, либо отрицателен при всех .Положим, для определенности, что Q(x)>0. Тогда при x>c₁ все сомножители в разложении * положительны и P(x)>0. Если с₁ - корень четной кратности (k₁ - нечетное), то при c₂ < x < c₁ все сомножители в разложении * , за исключением первого, положительны и P(x)<0. В этом случае говорят, что многочлен P(x) меняет свой знак при переходе через корень c₁. Если же c₁ - корень четной кратности (k₁ - четное), то все сомножители ( в том числе и первый) при c₂ < x < c₁ положительны и, следовательно, P(x)>0. В этом случае говорят, что многочлен P(x) не меняет своего знака при переходе через корень c₁.

Аналогичным образом, используя разложение (*), нетрудно убедиться, что при переходе через корень c₂ многочлен P(x) меняет знак, если k₂ нечетно, и не меняет знака, при четном k₂.

Рассмотренное свойство многочленов используется для решения неравенств методом интервалов. Чтобы найти все решения неравенства P(x)>0, достаточно знать действительные корни многочлена P(x), их кратности и знак многочлена P(x) в произвольно выбранной точке x₀, не совпадающей с корнем многочлена.

Итак, процесс решения рациональных неравенств методом интервалов разбивается на следующие шаги:

1) Нахождение корней числителя и знаменателя по - отдельности (особые точки неравенства). Подробно на этом пункте мы не останавливаемся. Будем считать это действие (как и последующие) уже сформированным навыком.

После этого следует разложить числитель и знаменатель на множители; отбросить строго положительные или неотрицательные множители так, чтобы множество решений не изменилось. В то же время, производить эти операции не обязательно, так как для выполнения последующих шагов достаточно знать лишь особые точки.

2) Нанесение особых точек неравенства на числовую ось.

Этими точками числовая ось разбивается на промежутки: интервалы и два луча (полубесконечные интервалы), на каждом из которых левая часть неравенства имеет определенный знак. Это следует из свойства непрерывной функции сохранять знак внутри каждого промежутка, на которые разбивается ее область определения корнями функции.

3) Определение знаков левой части неравенства на полученных промежутках (интервалах).

Для этой цели можно использовать следующие правила и свойства (одно или их комбинации):

- правило отдельной точки: внутри рассматриваемого промежутка берется какая-нибудь отдельная «удобная» точка и в этой точке определяется знак левой части неравенства, который сохраняется на всем промежутке (по свойству сохранения знака непрерывной функции);

- свойство кратности особой точки: если особая точка неравенства имеет нечетную кратность, т.е. является корнем нечетной кратности для числителя или для знаменателя или для числителя и знаменателя в совокупности, то при переходе через эту точку знак левой части неравенства меняется. Если особая точка имеет четную кратность, то при переходе через нее знак левой части неравенства не меняется;

- правило большого числа: в предположении, что неизвестная переменная есть большое положительное или большое по абсолютной величине отрицательное число, определяется знак левой части неравенства, который имеет место на первом справа или слева промежутке (луче).

4) Выяснение принадлежности особых точек множеству решений неравенства.

Если неравенство строгое (> или <), то все особые точки не принадлежат множеству решений неравенства и отмечаются на числовой оси маленьким кружочком («выколотой» точкой). Если неравенство нестрогое ( или ), то особые точки, являющиеся корнями только числителя, принадлежат множеству решений неравенства и отмечаются жирной точкой, а корни знаменателя множеству решений не принадлежат.

5) Выбор промежутков, на которых знаки соответствуют неравенству, и запись ответа.

Замечание 1. Если правая часть неравенства не равна нулю, то перенося ее влево и приводя дроби к общему знаменателю, надо сначала записать неравенство в стандартной форме (1).

Замечание 2. Не ставьте лишние (отличные от особых) точки на числовой оси. Это может привести к путанице при определении знаков.

Замечание3. При нанесении особых точек на числовую ось необязательно соблюдение масштаба. Важно только соблюдение порядка следования этих точек друг за другом.



2.1.4 Иррациональные неравенства

Под иррациональным неравенством понимается неравенство, в котором неизвестные величины стоят под знаком радикала. Решение таких неравенств обычно состоит в том, что с помощью некоторых преобразований их заменяют равносильными им рациональными уравнениями, неравенствами или системами уравнений и неравенств (зачастую смешанными системами, т.е. такими, в которые входят как уравнения, так и неравенства), и дальнейшее решение может идти по шагам, изложенным выше. Этими преобразованиями является, кроме замены переменных (введение новых переменных) и разложения на множители, еще и возвышение обеих частей неравенства в одну и ту же степень. Однако, при этом надо следить за равносильностью переходов от одного неравенства к другому. При бездумном возведении в степень корни неравенства могут одновременно и теряться, и приобретаться. Например, возведя в квадрат верное неравенство -1<2, мы получим верное неравенство 1<4; из верного неравенства -5<2 получается уже неверное неравенство 25<4;из неверного неравенства 1<-2 получим верное неравенство 1<4; наконец, из неверного неравенства 5<2 получим неверное неравенство 25<4. Вы видите, что возможны все комбинации верных и неверных неравенств!

Однако верно основное используемое здесь утверждение: если обе части неравенства неотрицательны, то оно равносильно неравенству, полученному из него почленным возведением в степень.

При решении неравенств таким способом нужно следить, чтобы не приобрести посторонних решений. Поэтому полезно там, где это возможно, находить область определения неравенства, а также область возможных значений решений.

2.1.5 Показательные и логарифмические неравенства

Решению показательных и логарифмических неравенств предшествует изучение свойств соответствующих функций; выполнение множества заданий на преобразования показательных и логарифмических выражений; решение уравнений, содержащих логарифмы и переменные в показателе степени. Решение простейших неравенств, которыми считаются

,

где означает одно из неравенств <,>,.

Все эти умения мы будем считать сформированными, и перейдем к рассмотрению более сложных неравенств для решения которых применим метод интервалов.

Дело в том, что обычно данная тема вводится как абсолютно новая, опирающаяся лишь на изученные ранее свойства этих функций. Целесообразно, на мой взгляд, связывать её и с решением неравенств в целом (т.е. с уже известным алгоритмом). Стоит заметить, что на прямую метод интервалов использовать нельзя. Но решение разнообразных показательных и логарифмических неравенств производится на основе следующих правил:

Если a>1, то ,

Если 0<a<1, то.

Если a>1, то

Если 0<a<1, то

.

Где знак означает противоположный по значению знаку .

Пользуясь которыми показательные и логарифмические неравенства обычно сводят к рациональным, которые уже можно решать описанным выше методом интервалов.

2.1.6 Неравенства, содержащие тригонометрические функции

Данная тема плохо освещена в учебной литературе, а в некоторых учебниках вообще вынесена за рамки изучаемого курса (о чем уже говорилось в I главе данной работы). Из тригонометрических неравенств рассматриваются, как правило, только простейшие типа

и проч.

Тогда как задания, представленные в практической части, относящейся к данному пункту, встречаются в сборниках конкурсных задач, в сборниках для абитуриентов и материалах для вступительных экзаменов на технические факультеты ВУЗов. Т.е. данный материал не входит в обязательный для изучения в основной и старшей школе, но является полезным.

Метод интервалов особенно эффективен при решении неравенств, содержащих тригонометрические функции. При решении этим методом чисто тригонометрических неравенств вместо числовой оси удобно использовать числовую окружность, которая корнями соответствующих тригонометрических уравнений (числителя и знаменателя) разбивается на дуги, играющие ту же роль, что и интервалы на числовой оси. На этих дугах тригонометрическое выражение, соответствующее решаемому неравенству, имеет постоянные знаки, для определения которых можно использовать правило отдельной «удобной» точки и свойство кратности корней. Часто для определения самих дуг вовсе не надо находить все (бесконечное) множество корней соответствующих уравнений; достаточно из этих уравнений найти значения основных тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса, котангенса) и на числовой окружности отметить точки, соответствующие этим значениям.

Использовать числовую окружность непосредственно для решения исходного тригонометрического неравенства метод интервалов можно, если все функции, через которые записано неравенство, имеют основной (наименьший положительный) период или , где m - некоторое целое положительное число. Если основной период этих функций больше или , то следует сначала произвести замену переменных, а затем использовать числовую окружность.

Если неравенство содержит как тригонометрические, так и другие функции, то для решения его методом интервалов следует использовать числовую ось.

2.2 Система заданий

Практически любое неравенство можно решать методом интервалов, хотя это не всегда выгодно. Например, при решении линейного неравенства < 0 методом интервалов надо выполнять больше операций, чем при решении традиционным способом: 2x < 3 x<3/2. В то же время, немало однотипных неравенств (иррациональных, с модулями, логарифмических, показательных), которые выгодно и удобно решать методом интервалов. К их мы рассмотрению мы и переходим.

2.2.1 Решение квадратных неравенств

На начальных уроках в устную работу можно включить задания следующего содержания:

1. какой знак при х = - 2 имеет выражение:

1) x + 4; x + 1; (x + 4)(x + 1);

2) x - 7; x + 2; (x - 7)(x + 2)?

2.

3. Какой знак имеет выражение x - 3; x - 8; (x - 3)(x - 8) при 3 < x < 8?

4. При каком значении х значение функции y = x - 5; y = x + 6; y = 4x - 2 меняет свой знак с «+» на «-»?

5. При каких значениях двучленов x + 1 и x + 5 имеют одинаковые знаки?

После разбора подобных заданий можно переходить к решению неравенств типа

(x + 2)(x +5)>0; 2x² - x <0; x² - 2x -12 <0; x³ - 16x>0; и т.п.

Сколько неравенств каждого типа понадобиться решить зависит от конкретного случая. Следует обсудить можно учащимися вопрос о том, в каких точках будет менять знак выражение, представляющее собой произведение трех линейных множителей (например, x(x - 3)(x + 2)) и более.

Приведем пример решения квадратного неравенства методом интервалов:

Пример 1. Решить неравенство методом интервалов

Решение. Найдем корни уравнения

:

Поэтому

Точки (см. рис.) разбивают числовую ось на три промежутка:

Эти промежутки называются интервалами. Двигаясь вдоль числовой оси справа налево, видим, что на интервале трехчлен принимает положительные значения, так как в этом случае оба множителя х - 1 и х - 3 положительны.

На следующем интервале этот трехчлен принимает отрицательные значения и, таким образом, при переходе через точку х = 3 меняет знак. Это происходит потому, что в произведении при переходе через точку х = 3 первый множитель х - 1 не меняет знак, а второй х - 3 меняет знак.

При переходе через точку х = 1 трехчлен снова меняет знак, так как в произведении первый множитель х - 1 меняет знак, а второй х - 3 не меняет.

Итак, при движении по числовой оси справа налево от одного интервала к соседнему знаки произведения чередуются.

Таким образом, задачу о знаке квадратного трехчлена можно решить следующим образом:

1. Отмечаем на числовой оси корни соответствующего уравнения. Они разбивают числовую ось на интервалы;

2. Замечаем какое значение исходный трехчлен принимает на крайнем левом промежутке и расставляем его знаки на остальных интервалах в порядке чередования;

3. Выбираем промежутки, соответствующие исходному неравенству;

4. Записываем ответ.

Пользуясь данным алгоритмом решаются квадратные неравенства методом интервалов. Знание его, а также умение применять на практике является необходимым условием для дальнейшего изучения интересуемой нас темы. К тому же, примеры на решение квадратного неравенства входят в задания контрольных работ по теме «квадратные неравенства», о чем уже было сказано в I главе настоящей работы. Перейдем теперь к рассмотрению более сложных рациональных неравенств, степеней выше второй.

2.2.2 Решение рациональных неравенств

Пример 2. решить неравенство:

Решение: Находя корни x₁ = - 2, x₂ = 3 уравнения x² - x - 6 = 0 и разложив левую часть неравенства на множители, имеем:

Отбросив неотрицательные множители (x+2)² , x² и сократив числитель и знаменатель на множитель (x - 1), получим:

При этом надо учесть, что x = - 2 является решением, а x = 0, x = 1 не являются решениями исходного неравенства, т.е. оно эквивалентно совокупности

Решим последнее неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой (Рис.1) корни числителя x = 2, x = 3 (жирно, так как неравенство нестрогое) и корень знаменателя x = -1 (маленьким кружочком).

• Рис. 1
• По правилу большого числа, считая x большим положительным числом (например, x = 100), найдем знак левой части неравенства: . Следовательно, на всем промежутке (3,+) левая часть неравенства имеет знак плюс. Так как все отмеченные точки для последнего неравенства являются критическими точками кратности 1, то при переходе через них левая часть неравенства меняет знак. Распределение и кривая этих знаков изображены на рис.1.
• Выберем промежутки, соответствующие знаку плюс, и заштрихуем их. После этого отметим жирно точку x = - 2 - решение исходного неравенства и выколотыми точки x = 0, x = 1 (рис.2).

Рис. 2

Ответ:

x {-2} (- 1; 0) (0; 1) (1; 2] [3; + ).

Пример 3. Решить неравенство

Решение. Разложив квадратичные функции на линейные множители, получим

Не отбрасывая ни один множитель, отметим на числовой оси все особые точки неравенства: корни числителя x = - 2, x = - , x = , и корни знаменателя , x = - 2, x = - 1, x = 1 (двукратный). Точки x = - и x = отмечаются жирно, так как они являются корнями только числителя, а все остальные точки - «выколотыми» (рис. 3).

Рис. 3

На промежутке (, +) все множители числителя и знаменателя дроби положительны, поэтому она на этом промежутке имеет знак плюс. Особые точки x = - 2, x = 1 имеют кратность 2 (на рисунке, чтобы не забыть, они подчеркнуты двумя черточками), а остальные точки имеют кратность 1, поэтому знак дроби при переходе через точки x = - 2, x = 1 не меняется, а при переходе через остальные точки меняется. Кривая знаков и промежутки, соответствующие рассматриваемому неравенству (), изображены на рисунке 3.

Ответ:

x (-; - 2) (- 2; - ] (- 1; 1) (1; ].

Пример 4. Решить неравенство

Решение. Перенося левую часть неравенства в правую и находя общий знаменатель, получим

Разделив обе части неравенства на -3 (при этом изменится знак неравенства), получим

Особыми точками неравенства являются: x = 2 - двукратный корень числителя и x = - 1, x = 1/3 - корни знаменателя. Отметим их на числовой оси и определим знаки дроби (рис. 4).

Рис. 4

Ответ:

x(- 1; 1/3) {2} .

2.2.3 Решение неравенств, содержащих модуль

Одним из видов рациональных неравенств являются неравенства с модулем. Рассмотрим применение к ним метода интервалов на практике.

Пример 5. Решить неравенство

Решение. Для сравнения приведем решение двумя методами.

1. Метод интервалов. ОДЗ есть вся числовая ось, что можно и не указывать. Корни уравнения

Рис. 5

Приведем неравенство к стандартному виду

При x = 0 левая часть последнего неравенства равна -10, поэтому она в интервале

(-) имеет знак минус, а в остальных интервалах ее знаки чередуются, так как все корни имеют кратность 1. Решение неравенства изображено на рис.5.

2. Метод раскрытия модулей. Поскольку корнями многочленов и являются числа -1; 2 и -4; 3 соответственно, то числовая ось точками x = -4, x = -1, x = 2, x = 3 разбивается на пять промежутков, на каждом из которых указанные многочлены имеют определенные знаки. В соответствии со сказанным неравенство (9) равносильно совокупности следующих пяти систем:

x ;

Объединяя решения всех пяти систем, получим множество решений исходного неравенства, изображенное на рис.5.

Ответ:

Пример 6. Решить неравенство

Решение. ОДЗ: x .

Корни уравнения

Знаки левой части неравенства изображены на рис.6.

Рис. 6

Ответ:

Пример 7. Решить неравенство

Решение. ОДЗ: x .

Корни уравнения

Заметим, что x = 1 является особой точкой кратности 2 (на рис.7 она подчеркнута двумя черточками).

Рис. 7

По правилу большого числа левая часть неравенства на промежутках (-; -1) и (1; +) имеет знак плюс. При переходе через точку x = 1 ее знак не меняется, а при переходе через точки x = 0, x = - 1 - меняется.

Ответ:

2.2.4 Решение иррациональных неравенств

Приступая к решению иррациональных неравенств следует обратить внимание учащихся на то, что полезно находить область определения неравенства, а также область допустимых значений. Важность этой процедуры можно иллюстрировать примером:

Пример 8. Решить неравенство

Решение. Приступая к решению, обращаем внимание на то, что левая часть неравенства есть разность двух корней, при этом при любых значениях х , а поэтому и , следовательно, эта разность всегда отрицательна и не может быть больше неотрицательного значения корня. Значит, это неравенство не имеет решения.

Пример 9. Решить неравенство

Решение. ОДЗ:

Уравнение имеет единственный корень x = 3. Отметим его на числовой оси и найдем знаки левой части приведенного неравенства

на промежутках, на которые разбивается ОДЗ точкой x = 3. При большом x (например, x = 100) имеем знак минус, при x = 0 - знак плюс.

Ответ:

Пример 10. Решить неравенство

(2)

Решение. Для сравнения приведем решение двумя методами.

1. Метод интервалов. Найдем ОДЗ:

Найдем корни числителя.

= 1 - 2x (3)

1 - x = 1 - 4x + 4x² 4x² - 3x = 0 x₁ = 0, x₂ = 3/4.

Подставив найденные значения x в уравнение (3), определяем, что x = 0 является, а x = 3/4 не является корнем уравнения.

На числовой оси дугообразной кривой выделим ОДЗ (рис. 8) и в пределах ОДЗ отметим корень числителя x = 0 (жирно, так как неравенство нестрогое) и корень знаменателя x = - 1 (маленьким кружочком). Точку x = 1, являющуюся концом ОДЗ, сначала, до выяснения ее принадлежности множеству решений неравенства отметим короткой вертикальной черточкой.

Рис. 8

Найдем знаки дроби (2) на полученных промежутках. По правилу большого числа, считая x большим по величине отрицательным числом (например, x= - 100), найдем ее знак на самом левом промежутке: Так как точки x = - 1, x = 0 являются корнями кратности 1, то при переходе через них знак дроби меняется (рис.5).

Проверим принадлежность точки x = 1 множеству решений неравенства. Подставив значение x = 1 в неравенство, получим - верное числовое равенство. Значит, x = 1 - решение неравенства и теперь точку x = 1 отметим жирно.

2. Метод сведения к совокупности систем

Неравенство равносильно совокупности

Ответ:

Очевидно, что последнее решение более громоздко и нерационально: в таком обилии совокупностей и систем можно запутаться, к тому же, при решении приходится одно и то же неравенство дублировать для нескольких систем, что приводит к излишнему нагромождению.

Заметим еще, что знаки левой части неравенства (2) можно было бы найти по правилу отдельной точки:



При x = - 2 имеем - положительное число; при x = - 0,5 имеем - отрицательное число; при x = 0,5 имеем - положительное число.

Таким образом, на промежутках (-; - 1) и (0; 1) имеем знак плюс, а на промежутке (- 1; 0) - знак минус (рис. 8).

Пример 11. Решить неравенство

Решение: ОДЗ:

Найдем корни уравнения

(4)

Сделав проверку, определяем, что x = - 1 не является, а x = 2 является корнем уравнения (4).

На числовой оси выделим ОДЗ и отметим точку x = 2. Концы ОДЗ: x = - 2, x = 3 отметим пока короткой вертикальной черточкой (рис. 9).

Рис. 9

Приведем неравенство к стандартному виду

(5)

При x = 0 имеем - отрицательное число; при x = 2,5 имеем - положительное число. Значит, в интервале (- 2; 2) имеем знак минус, а в интервале (2; 3) - знак плюс.

Подставив в исходное неравенство значения x = - 2 и x = 3, определяем, что оно при x = - 2 не выполняется, а при x = 3 выполняется, после чего точку x = 3 отметим жирно, а точку x = - 2 - кружком.

Ответ:

Обращаем внимание на то, что x = 3 является решением неравенства, хотя само неравенство строгое. Объяснение этому дает график левой части неравенства (5), изображенный схематично на рис. 10.

Рис. 10

Пример 12. Решить неравенство

Решение. ОДЗ:

Возводя обе части уравнения

(6)

в квадрат до тех пор, пока не освободимся от радикалов, получим:

Сделав проверку, определяем, что x = - 7/ 2 не является, а x = 3/ 2 является корнем уравнения (6).

Отметим точку x = 3/ 2 на числовой оси в пределах ОДЗ и найдем знаки левой части приведенного неравенства:

на полученных промежутках (рис.11).

Рис. 11

При x = 100 имеем - отрицательное число, поэтому на промежутке (3/ 2; + ) имеем знак минус, а в интервале (1; 3/ 2) - знак плюс.

При x = 1 исходное неравенство не выполняется.

Ответ:

Пример 13. Решить неравенство

Решение. ОДЗ определяется неравенствами которые должны выполняться одновременно. Отсюда

Найдем корни уравнения

(7)

Будем возводить обе части уравнения в квадрат до тех пор, пока не освободимся от радикалов.

Сделав проверку, убеждаемся, что x = 2 - корень уравнения (7). Если для последнего уравнения (x - 2) ² = 0 он является корнем кратности 2, то такое утверждение по отношению к исходному уравнению (7) будет, вообще говоря, неверным, так как при возведении в четные степени кратность корня может измениться.

На числовой оси выделим ОДЗ и отметим точку x = 2 (рис.12).

Рис.12



Приведем неравенство к стандартному виду

и определим знаки левой его части на полученных промежутках. По правилу большого числа на промежутке ( 2; + ) получим знак минус. Например, при x = 100 имеем:

Так как кратность корня x = 2 в данном случае неизвестна, то для определения знака будем использовать правило отдельной точки. При x = 1,9 имеем: . Следовательно, на интервале (9/ 5; 2) имеем знак плюс.

Подставив x = 9/ 5 в исходное неравенство, убеждаемся, что оно выполняется. Значит, x = 9/ 5 - решение с решениями, полученными методом интервалов.

Ответ:

В качестве дополнительного упражнения может решить примеры 6, 7 другими методами и сравнить эти решения с решениями, полученными методом интервалов.

Пример 14. Решить неравенство

Решение. ОДЗ: и знаменатель .

Корни знаменателя: x² +2 x - 3=0 x₁ = - 3, x₂ = 1.

Корни знаменателя:

На числовой оси выделим луч x - 3 (Рис. 13), отметим вертикальной черточкой точку x = - 3 и маленьким кружочком точку x = 1 - особую точку кратности 2, так как она является как корнем числителя, так и знаменателя.

Рис. 13

По правилу большого числа на промежутке ( 1; + ) дробь имеет знак При переходе через особую точку x = 1 кратности 2 этот знак не меняется.

Подставив x = - 3 в неравенство, получим Значит, x = - 3 - решение неравенства, поэтому теперь точку x = - 3 отметим жирно.

Ответ: x = - 3.

Пример 15. Решить неравенство

Решение. Перенося правую часть влево, получим

• (8)
• ОДЗ:
• Корни числителя:
• На числовой оси выделим лучи (рис.14) и отметим точки x = -1, x = 4 (сначала черточками), x = -2 (кружочком), x = - 8/ 7 (жирно).
• Рис.14
• При x = 5 имеем - отрицательное число. Так как на промежутке (4; +) нет критических точек, то на всем промежутке дробь (8) имеет знак минус. Считая x большим по величине отрицательным числом, найдем знак на промежутке (-; -2). Далее знаки чередуются. Заметим, что интервал (-1; 4) в ОДЗ не входит, поэтому здесь знак дроби не определяется.
• Подставив в исходное неравенство значения x = -1 и x = 4, в обеих случаях получим Значит, эти значения x входят в множество решений неравенства.
• Ответ:

2.2.5 Решение показательных и логарифмических неравенств

Пример 16. Решить неравенство

Решение. Перенося правую часть влево и находя общий знаменатель, получим

(10)

Для сравнения решим полученное неравенство двумя методами.

1. Метод интервалов. Найдем особые точки:

Отметив их на числовой оси, найдем знаки дроби. По правилу большого числа на промежутке (1; + ) имеем знак плюс, а на остальных промежутках знаки чередуются (рис.15).

Рис. 15

2. Метод замены переменной.. Обозначив , получим неравенство

(11)

решение которого все равно найдем методом интервалов (рис.16): или

Рис.16

Таким образом, неравенство (10) равносильно совокупности

Сравнивая приведенные методы решения, замечаем, что при применении метода интервалов непосредственно к неравенству (10) из процесса решения исключаются промежуточные этапы сведения этого неравенства к рациональному неравенству (11) и обратного перехода от переменной у к переменной х.

Ответ:

Пример 17. Решить неравенство

Решение. Обозначив 3^х=у, найдем корни уравнения

На числовой оси отметим точку x = 1 (рис.17) и найдем знаки левой части неравенства (17).

Рис. 17

Ответ:

Пример 18. Решить неравенство

Решение. Для сравнения приведем два метода решения.

1. Метод интервалов. ОДЗ:

или

Найдем корни уравнения

Оба значения х₁ и х₂ входят в ОДЗ.

На числовой оси выделим ОДЗ и отметим точки х₁ и х₂ (рис.18). Эти точки, как корни уравнения, отмечаются жирно, а концы ОДЗ - маленькими кружочками, так как они не входят в ОДЗ.

Рис.18

Найдем знаки приведенного неравенства

на полученных промежутках. При x = 3 имеем log ₄5 -1 - положительное число. Значит, на самом правом интервале имеем знак плюс. Далее, при переходе через особые точки, в том числе и точку x = 0, знак меняется (рис.18). Это объясняется формулой

согласно которой точки, где основание (в нашем случае ), обладают теми же свойствами, что и корни знаменателя дроби.

2. Метод сведения к совокупности систем. Неравенство равносильно совокупности следующих двух систем:

откуда



откуда

.

Объединение найденных решений изображено на рис.18.

Ответ:

Пример 19. Решить неравенство

Решение. ОДЗ:

Корнями уравнения

являются

x₁ = ОДЗ,

эти корни, распределение знаков левой части приведенного неравенства

и решение неравенства изображены на рис.19.

Рис. 19

Ответ:

Пример 20. Решить неравенство

Решение.

ОДЗ:

Уравнение имеет единственный корень x = 1.

ОДЗ, этот корень, распределение знаков левой части приведенного неравенства

и решение неравенства изображены на рис.20.

Рис. 20

Ответ:

2.2.6 Решение неравенств, содержащих тригонометрические функции

Пример 21. Решить неравенство

Решение. Рассмотрим уравнение

или

На числовой окружности отметим точки, соответствующие найденным значениям косинус-функции (рис.21). Для этого вовсе не надо выписывать все множество решений уравнений и Достаточно на оси косинусов (оси абсцисс) отметить точки 0, -1/2 и, поставив перпендикуляр, найти нужные точки на окружности.

Рис.21

При x = 0 имеем 1+1+1 - положительное число. Следовательно, на правой полуокружности левая часть неравенства имеет положительный знак, а на остальных дугах знаки чередуются, так как все корни имеют кратность 1.

Ответ:

или

Пример 22. Решить неравенство

( 16 )

Решение. Из уравнения находим

или

Найденным значениям синуса на числовой окружности соответствуют три точки, разбивающие окружность на три дуги (рис.22).

Рис. 22

При x = 0 и левая часть неравенства равна 1, а при x = - она равна -2. Значит, на дуге она имеет знак минус, а на оставшихся двух дугах - знак плюс.

Ответ:

Следует обратить внимание на то, что при переходе через точку x = , т.е. при sin x = 1 знак левой части неравенства (16) не меняется, хотя эта точка для уравнения является корнем кратности 1. Подобная ситуация имеет место и в случаях, когда sin x = 1 или Это обусловлено тем, что всегда , поэтому точки, в которых или , играют роль особых точек кратности 2: при переходе через такие точки знак соответствующей тригонометрической функции не меняется.

Пример 23. Решить неравенство

Решение. ОДЗ:

На числовой окружности отметим маленькими кружочками точки

и жирно точки, в которых или

Рис. 23

При левая часть неравенства равна т.е. на дуге она имеет знак минус, а на остальных дугах знаки чередуются (рис. 23).

Ответ:

Пример 24. Решить неравенство

Решение. Найдем значения основных тригонометрических функций, при которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.

или

На числовой окружности отметим точки, в которых и на полученных дугах найдем знаки левой части неравенства. При этом будем учитывать, что точки, в которых sin x = 0, являются корнями числителя кратности 2, поэтому они принадлежат множеству решений неравенства и, кроме того, знак левой части неравенства при переходе через эти точки не меняется (убедиться в этом можно, определив знаки по правилу отдельной точки, взяв, например, точки x = -, x = и т.д.).

Рис. 24

Учитывая, что изображенное на рис. 24 множество решений неравенства является периодическим с основным периодом , получаем

Ответ:



Пример 25. Решить неравенство

Решение. Найдем корни числителя

и корни знаменателя

,

которые являются также корнями числителя, т.е. особыми точками кратности 2. С учетом этого, предварительно определив знак левой части неравенства при , расставим знаки на дугах числовой окружности, на которые она разбивается корнями числителя и знаменателя.

Рис. 25

Из рис. 25 видно, что множество решений неравенства является периодическим с основным периодом .

Ответ:

Пример 26. Решить неравенство

Решение. Левая часть неравенства является периодической функцией с основным периодом 4, поэтому для решения неравенства использовать числовую окружность непосредственно невозможно.

Сделаем замену Тогда получим неравенство (17)

левая часть которого является периодической функцией уже с основным периодом 2. Решим ее методом интервалов, используя окружность изменения переменной t.

Найдем корни числителя и знаменателя.

Рис. 26

Найденные корни отметим на числовой окружности и найдем знаки левой части неравенства (17) на полученных дугах. Так как при t = 0 левая часть этого неравенства равна 1, то на дуге она имеет знак плюс, а на остальных дугах ее знаки чередуются (рис. 26).

Записав решение неравенства (17) и заменив t на x/2, получим

Ответ:

Пример 27. Решить неравенство

Решение. ОДЗ: Часть числовой окружности, соответствующую ОДЗ, изобразим сплошной дугой (рис. 27), а остальную часть - пунктирной (для этого саму окружность сначала надо изобразить пунктирно). Концы ОДЗ сначала отметим короткими черточками.

Найдем корни уравнения



В пределах ОДЗ отметим точку, в которой одновременно и на полученных двух дугах найдем знаки левой части неравенства

Рис. 27

При имеем положительное число. Следовательно, на большой дуге имеем знак плюс, а на маленькой - знак минус. Подставив значения и в неравенство, убеждаемся, что при оно выполняется, а при не выполняется, после чего точку на числовой окружности отметим жирно, а точку - маленьким кружочком.

Ответ:



Глава 3. Обобщенный метод интервалов (решение произвольных неравенств методом интервалов)

Содержание данной главы будет посвящено решению неравенств произвольного типа (содержащих не одну, а несколько рассмотренных выше функций), а также уделим внимание решению неравенств с параметрами и систем неравенств с двумя переменными, к которым тоже применим метод интервалов. Приведем алгоритм для общего случая, считая, что неравенство представлено в виде произведения или частного нескольких непрерывных функций.

Иначе, данная глава и следующая, которая является практической частью настоящей, содержат материал не обязательный для изучения курса алгебры основной и старшей общеобразовательной школы, а некоторые пункты включены в материал углубленного курса алгебры и начал анализа. Приведенные ниже сведения можно использовать на уроках обобщения, итогового повторения, для подготовки к выпускным и вступительным экзаменам, а также для проведения факультативных занятий.

3.1 Обобщенный метод интервалов

Описанный выше метод интервалов с небольшими изменениями и дополнениями может быть использован для решения не только рациональных, но и произвольных неравенств видов

,

где f(x) , g(x) - непрерывные функции, а символ есть одно из неравенств:, <, , >. Применительно к таким неравенствам этот метод, называемый еще обобщенным методом интервалов, включает в себя следующие операции.