II. Актуализация опорных знаний:

1) Повторение.

Учитель: - Итак, повторим.

- Что называется линейным уравнением с параметрами?

- Какие случаи вы знаете при решении таких уравнений?

- Приведите примеры линейных уравнений с параметрами.

2) Устная работа.

Задание: Приведите данное уравнение к линейному виду (уравнения записаны на доске):

а) ;

б) ;

в) .

3) Работа по карточкам.

1) Решить линейное уравнение:	2) При каком значении уравнение имеет корень, равный 2?	3) При каком значении прямая проходит через точку ?

III. Решение упражнений.

Задание 1. Решите уравнение с параметром :

Задание выполняется на доске и в тетрадях.

Задание 2. При каком значении прямая проходит через точку ?

Задание выполняется самостоятельно у доски одним учеником. Остальные работают в тетрадях, затем сверяются с доской.

Задание 3. При каком значении уравнение имеет бесконечно решений?

Данное задание предлагается решить самостоятельно учащимся в тетрадях, затем проверить ответы.

Задание 4. Найдите натуральные значения , при которых является натуральным числом корень уравнения:

а) ;

б) .

Задание выполняется самостоятельно у доски двумя учениками. Остальные работают в тетрадях, затем сверяются с доской.

IV. Выполнение теста.

Учащимся выдаются индивидуальные листы с заданиями:

1) Является ли уравнение линейным?

а) да; б) нет; в) можно привести к линейному.

2) Уравнение приведено к виду линейного уравнения?

а) нет; б) да.

3) При каком значении параметра прямая проходит через точку ?

а) ; б) ; в) ; г) .

4) При каком уравнение имеет корень, равный ?

а) ; б) ; в) ; г) .

Ответы к тесту: в; а; в; в.

V. Подведение итогов урока.

Учитель: - Сегодня на уроке мы повторили и закрепили знания, полученные на прошлых уроках, отработали необходимые умения при выполнении различных заданий. Урок окончен.

Урок по элективному курсу на тему: «Решение тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами»

Цели урока:

1. формирование у обучающихся способностей к обобщению, структурированию и систематизации материала по теме урока;

2. систематизировать учебный материал и выявить логику развития содержательной линии предмета, укрепить связи между основным и дополнительным образованием на базе факультатива курса по выбору, подготовить учащихся к решению задач высокого уровня сложности на ЕГЭ;

3. пробудить интерес к самостоятельному решению задач, побудить учащихся к активному поиску рациональных путей решения задач, развить умение выразить собственную позицию в дискуссии, развить умение формулировать и аргументировать предложения по продвижению к достижению результата.

Задачи:

1. Образовательные:

o преодоление барьера перед необходимостью решения нестандартных задач;

o формирование базы способов алгоритмизации решения тригонометрических уравнений и неравенств с параметром;

o отбор методов решения задач на основе обобщения ранее изученного материала;

o оценка своих достижений на данном этапе и формирование планов по дальнейшему самообразованию.

2. Развивающие:

o развитие логического мышления, памяти, наблюдательности, умения правильно обобщать данные и делать выводы;

o содействие развитию умений применять полученные знания в нестандартных условиях;

o развитие умения устанавливать причинно-следственные связи;

o развитие критического мышления.

3. Воспитательные:

o воспитание положительного интереса к изучаемому предмету;

o обеспечение условий для овладения учащимися алгоритмом решения проблемных и исследовательских задач;

o укрепление коллективно-творческой среды;

o обеспечение условий для развития высказывать свою точку зрения.

Ход урока.

I. Организационный момент.

Учитель: - Здравствуйте, ребята! Я рада видеть вас на сегодняшнем занятии. Как вы уже знаете, сегодня мы поговорим о тригонометрических уравнениях и неравенствах с параметром.

II. Актуализация знаний.

Повторение:

- Что называется тригонометрическим уравнением?

- Приведите частные случаи решения тригонометрических уравнений.

Проверка готовности к уроку (учащиеся рассаживаются по группам, в составе которых они готовились к представлению результатов домашней работы):

Для того чтобы оценить исходные условия, учитель раздает группам таблицы и предлагает разнести номера в соответствии с предложенной классификацией.

Предлагаемые задания	Задание для классификации
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет на отрезке четное число корней.	По уровню сложности
Найдите все значения параметра , при которых уравнения и равносильны.	По используемым приемам преобразования тригонометрических выражений
Найдите все значения параметра , при которых уравнение имеет решение.	Использующие при своем решении информацию об области определения тригонометрических выражений
Решите уравнение при всех значения параметра .	Использующие при своем решении информацию о множестве значений тригонометрических функций
Решите уравнение при всех значения параметра .	Сводящиеся к исследованию множества решений квадратного уравнения или неравенства
Решите неравенство при всех значения параметра .	Требующие умения выполнять разложение выражений на множители
При каких значениях параметра уравнение имеет ровно 2 корня на промежутке .	Предполагающие аналитический способ решения
Найдите все значения параметра , при каждом из которых множество значений функции содержит отрезок .	Предполагающие использование геометрической интерпретации с использованием плоскости «переменная - значение»
При каких значениях параметра уравнение имеет решение?
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение на отрезке

Примечание: одно и то же задание может попасть в несколько классификационных групп.

III. Представление заданий учащимися из групп.

Учитель предлагает учащимся:

1) выбрать те задачи, которые с их точки зрения учащиеся могут решить;

2) выбрать те задачи, которые учащимся понравилось бы решать;

3) подобрать аргументы для обоснования выбора.

Учениками выбираются 5 заданий, решение которых они хотели бы разобрать. Далее жребием выбирается номер задания, алгоритм решения которого будет представлять каждая группа.

Комментарии и краткое решение предложенных задач.

1. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет на отрезке четное число корней.

Решение: Сгруппируем слагаемые левой части уравнения:

,

Первое уравнение на указанном промежутке имеет единственный корень . Интересующий нас случай может реализоваться, если

а) (2) имеет четное число корней, не совпадающих с (1), а (3) - нечетное;

б) (3) имеет четное число корней, не совпадающих с (1), а (2) - нечетное;

в) одно из уравнений (2) или (3) имеет на промежутке нечетное число корней, а другое вообще корней на данном промежутке не имеет.

Функция на указанном промежутке единожды принимает значения 1 или . Значения из полуинтервала принимаются дважды, другие значения приниматься не могут.

Существование единственного решения уравнений (2) или (3):

(2):

(3): .2(a+1)

Совпадение множеств решений (2) и (3) при .

При (2) и (3) имеет единственное решение , которое не совпадает с решением (1).

Общее число решений исходного уравнения равно 2. При уравнения (2) и (3) имеют по одному несовпадающему решению, число решений исходного уравнения равно 3. При второе уравнение имеет один корень, а третье имеет два корня на указанном промежутке. Общее число корней исходного уравнения равно 4. При общее число корней исходного уравнения равно 2, так ка (3) имеет единственный корень . При число корней (2) на указанном промежутке равно 1, общее число решения исходного уравнения равно 2. При число корней (2) на равно 2, общее число корней исходного уравнения равно 3. При исходное уравнение имеет единственный корень на данном промежутке. Объединяя удовлетворяющие нас значения , получаем ответ.

Ответ: .

2. Найдите все значения параметра , при которых уравнения и равносильны.

Решение: Решим второе уравнение.

Преобразуем первое уравнение, используя формулы :

Пусть . Тогда . Очевидно, что является решением уравнения при любом значении . Если не имеет других корней , кроме тех, что больше 1 или меньше -1 (это нее позволит найти при возврате к прежней переменной) или равны 0, то исходная пара уравнений будет равносильной парой. Уравнение имеет корень при . При у него нет корней.

Найдем все значения параметра , при которых имеет решение совокупность .

Объединяя найденные значения , получаем ответ.

Ответ: .

3. Найдите все значения параметра , при которых уравнение имеет решение.

Решение: Преобразуем уравнение к виду . Уравнение имеет решение при .

Ответ: .

4. Решите уравнение при всех значениях параметра .

Решение: Уравнение квадратное относительно .

Уравнение имеет решение только при .

Ответ: при ;

при .

5. Решите уравнение при всех значениях параметра .

Решение: Используя формулу приведения степени, преобразуем уравнение к виду: , откуда с очевидностью следует ответ.

Ответ: .

6. Решите неравенство при всех значениях параметра .

Решение:

Первый способ: Применяем формулы понижения степени:

Еще раз применяя формулы понижения степени, получаем:

При неравенство верно при всех , при решений у неравенства нет.

При решением неравенства является объединение промежутков .

Ответ: при решением неравенства является любое действительное ; при решением неравенства является объединение промежутков ; при решений у неравенства нет.

Второй способ: Можно преобразовать левую часть неравенства, используя основное тригонометрическое тождество:

Получаем из исходного неравенства следующее:

Ответ: при решением неравенства является объединение промежутков .

7. При каких значениях параметра уравнение имеет ровно два корня на промежутке .

Решение: Используя теорему Виета, получаем:

Первое уравнение на указанном промежутке имеет единственный корень . Учтем, что для указанного промежутка. Второе уравнение совокупности имеет на данном промежутке один корень при , при этом отличающийся от корня первого уравнения при . Следовательно, условию задачи удовлетворяют все .

Ответ: .

8. Найдите все значения параметра , при каждом из которых множество значений функции содержит отрезок .

Решение: Пусть , используя основное тригонометрическое тождество, получаем:

Выполним замену переменных , где .



- непрерывная убывающая функция. Для выполнения условия задачи необходимо, чтобы , а . . Получаем для условие: . Поскольку , нам может удовлетворять только . . При . При .

Ответ: .

9. При каких значениях параметра уравнение имеет решение?

Решение: Пусть . Используя метод вспомогательного угла, получаем . Из основного тригонометрического тождества тогда имеем . Для находим множество значений функции для . Непрерывная функция принимает наибольшее значение при , оно равно 1. Наименьшее значение функция принимает при , оно равно .

Ответ: .

10. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение на отрезке .

Решение: Учитывая ОДЗ, получаем . На ОДЗ исходное уравнение принимает вид: . При уравнение имеет решение . При можно сделать замену переменных: , где , причем для отрезка . В новых переменных уравнение принимает вид . При . при . Из уравнения и условия получаем . Так как запрещенным значением на указанном промежутке для синуса является , получаем, что .

Ответ: или .

IV. Рефлексия («Пять шляп»).

Каждая из 5 групп выбирает цвет шляпы и выражает свое отношение к прошедшему занятию.

«Белая шляпа»: из предложенных десяти заданий успели рассмотреть только 6. Во многих задачах были недочеты в решениях. Использование компьютера в качестве помощника на стадии подготовки переросло в неверное доказательство. Тригонометрические неравенства мы решать не умеем.

«Черная шляпа»: уровень задач явно превышает наши возможности. На ЕГЭ тригонометрия только в простейшей задаче с полным решением, нам не нужны подобные модели к задаче ЕГЭ с параметром. У нас есть ошибки в отборах корней тригонометрических уравнений на промежутках, этому надо уделять время учебных занятий. Состав групп неравноценен. Жребий позволял первым группам выбирать более простые задания.

«Желтая шляпа»: У рассмотренных задач есть алгоритмы решения, просто к ним нужно приучить свои мозги.

«Зеленая шляпа»: мне представляется, что решение подобных задач более всего подходит программистам. Им необходимо делать условные переходы, обходить критические значения, чтобы программы не повисли, наверняка, существует банк программ, рассматривающих вопросы тригонометрии. Нужно только принять позицию программиста, и дело тронется.

«Синяя шляпа» (учитель): хочется согласиться со всеми замечаниями и высказываниями, кроме совсем прагматических. Да и прагматикам, стоит иметь ввиду, что никогда не можешь знать, что от тебя потребует жизнь в той или иной ситуации.



Заключение

Уравнения и неравенства с параметрами - прекрасный материал для исследовательской работы, но в школьной программе для задач с параметрами не выделена отдельная тема потому, что материал достаточно сложный для всех учеников класса. Освоение данного материала требует большого количества времени. Но изучение данной темы не избежать в процессе обучения, так как задания, связанные с параметрами, включены и в задания ЕГЭ, и в задания ОГЭ.

При выполнении данной работы были выполнены следующие задачи:

1) Проведен анализ действующих школьных учебников по алгебре с целью выявления использования параметра и методов решения уравнений и неравенств с параметрами. Проведенный анализ позволяет сделать следующий выводы: в основном все задания, связанные с решением уравнений и неравенств с параметрами, носят повышенный уровень сложности; ни в одном из учебников не дается четкого определения параметра.

2) Разработана методика решения уравнений и неравенств с параметрами за курс 7 - 11 классов. Выделены основные виды уравнений и неравенств и методы их решения. Рассмотрены все типы заданий, которые встречаются в школьных учебниках.

3) Разработан курс по выбору в 11 классе по теме «Уравнения и неравенства с параметрами».



Список литературы

1. Алгебра и начала математического анализа. 10 - 11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений (базовый уровень) / Под ред. А. Г. Мордковича. - М., 2014.

2. Алгебра и начала математического анализа. 10 - 11 классы. В 2 ч. Ч. 2. Учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений (базовый уровень) / Под ред. А. Г. Мордковича. - М., 2014

3. Алгебра, 7 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов [и др.]. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2013. - 191 с.

4. Амелькин, В. В. Задачник с параметрами / В. В. Амелькин - Минск: Асар, 2002.

5. Артюхова, И. С. Проблема выбора профиля обучения в старшей школе / И. С. Артюхова // Педагогика. - 2004. - № 2. - С. 28 - 33.

6. Богатырев, С. В. Тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ по математике: учебное пособие / С. В. Богатырев, Ю. Н. Неценко, Т. П. Шаповалова. - Самара: ГО СИПКРО, 2016.

7. Болотов, В. А. Перспективы перехода школы на профильное обучение / В. А. Болотов // Воспитание школьников. - 2004. - № 1. - С. 2 - 8.

8. Вавилов, В. В. Задачи по математике. Уравнения и неравенства: справочное пособие / В. В. Вавилов, И. И. Мельников, С. Н. Олехник, Л. И. Пасиченко. - М., 2011.

9. Галицкий, М. Л. Сборник задач по алгебре: учебное пособие / М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич. - М., 2014.

10. Гельфанд, И. М. Функции и графики (основные приёмы) / И. М. Гельфанд, Е. Г. Глаголева, Э. Э. Шноль. - М.: МЦНМО, 2006. - 120 с.

11. Горштейн, П.И.Задачи с параметрами: учебное пособие / П. И. Горштейн, В. Б. Полонский, М. С. Якир. - Москва - Харьков Гиназия, 2010.

12. Гузеев, И. С. Содержание образования и профильное обучение в старшей школе / И. С. Гузеев // Нар. образование. - 2002. - № 9. - С. 113 - 123.

13. Дворянинов, С. В. Функции, графики, задачи с параметром / С. В. Дворянинов. - Самара, 2009.

14. Дорофеев, Г. В. Решение задач, содержащих параметры / Г. В. Дорофеев, В. В. Затахавай. - М.: Науч.-пед. об-ние «Перспектива», 2010.

15. Звавич, Л. И. Алгебра и начала анализа. 8 - 11 классы: пособие для школ и классов с углубленным изучением математики / Л. И. Звавич, Л. Я. Шляпочник, М. В. Чинкина. - 2-е изд. - М.: Дрофа. - 2013.

16. Ивлев, Б. М. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа / Б. М. Ивлев, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын, С. И. Шварцбург. - М., 1990.

17. Качалова, Г. А. Методический анализ школьных учебников по алгебре (7 - 9 классов) в контексте содержательно-методической линии «Задачи с параметрами» / Г. А. Качалова // Молодой ученый. - 2013. - № 2. - С. 376 - 378.

18. Колесникова, С. И. Подготовка к ЕГЭ. Математика. Решение сложных задач ЕГЭ / С. И. Колесникова. - М., 2015.

19. Концепция профильного обучения старшей ступени общего образования: офиц. док. в образовании. - 2002. - 40 с.

20. Крутихина, М. В. Элективные курсы по математике: учеб.-метод. Рекомендации / М. В. Крутихина, З. В. Шилова. - Киров, 2006. - 40 с.

21. Кузнецов, А. А. Базовые и профильные курсы: цели, функции, содержание / А. А. Кузнецов // Педагогика. - 2004. - № 2. - С. 28 - 33.

22. Локоть, В. В. Задачи с параметрами. Иррациональные уравнения, неравенства, системы, задачи с модулем: учебное пособие / В. В. Локоть. - М., 2010.

23. Макарычев, Ю. Н. Алгебра: 7 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк [и др.]. - М.: Мнемозина, 2015

24. Математика. Подготовка к ЕГЭ - 2016. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии на 2016 год: учебно-методическое пособие / Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Калабухова. - Ростов-на-Дону: Легион, 2015. - 352 с.

25. Мордкович, А. Г. Алгебра: 7 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Тульчинсккая [и др.]. - М.: Мнемозина, 2015 - 160 с.

26. Немов, Р. С. Психология: в 3 кн., кн. 2: Психология образования / Р. С. Немов. - М.: ВЛАДОС, 2002.

27. Никольский, С. М. Алгебра: 7 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников [и др.]. - М.: Московские учебники, 2014.

28. Потапов, М. К. Математика. Методы решения задач / М. К. Потапов, С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко. - М.: Дрофа, 1995.

29. Саакян, С. М. Задачи по алгебре и началам анализа / С. М. Саакян, Л. М. Гольдман, Д. В. Денисов. - М., 2009.

30. Теляковский, С. А. Алгебра: 7 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / С. А. Теляковский. - М.: Просвещение, 2015.

31. Цыганов, Ш. Квадратный трехчлен и параметры / Ш. Цыганов // Математика. - 1999. - № 5.

32. Черкасов, О. Ю. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену / О. Ю. Черкасов, А. Г. Якушев. - М.: Рольф, 2015.

33. Шарыгин, И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач: учебное пособие для 10 - 11 кл. средней школы / И. Ф. Шарыгин, В. И. Голубев. - М.: Просвещение, 2014.

34. Шевкин, А. В. Задачи с параметром. Линейные уравнения и их системы: 8 - 9 классы / А. В. Шевкин. - М.: ТНД «Русское слово - РС», 2011.

35. Элективные курсы в профильном обучении / Под ред. А. Г. Каспржак. - Национальный фонд подготовки кадров, 2010.

36. Ястребинецкий, Г. А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры: пособие для учителей / Г. А. Ястребинецкий. - М.: Просвещение, 2000 - С. 128.

Размещено на Allbest.ru