Изучение элементов теории множеств в начальном курсе обучения математике

Общий подход к операциям над числами и буквенная запись свойств этих операций позволяет раскрыть перед учащимися общность текстовых задач, имеющих внешне различные фабулы, но единое математическое содержание. Учащийся, усвоивший, что всегда a-(b+c)=a-b-c, не затруднится применить это правило и для решения задач про яблоки, и про длины отрезков, и при отыскания площадей. Тем самым в неявном виде дети усваивают идею изоморфизма математических моделей, что создает условия для разъяснения им роли и значения математического метода исследования реального мира.

Работа с учебником «Математика-3» проводится по программе четырехлетней начальной школы в 3-м классе.

Одновременно с развитием числовой линии и линии текстовых задач дети знакомятся с множествами и операциями над ними, с истинными и ложными высказываниями, учатся выделять зависимые характеристики процессов и строить формулы зависимостей между величинами.

В 3 классе вводится понятие «множество» и «элементы множества». Изучение множеств подготовлено изучением в 1 классе свойств совокупностей предметов и действий над ними. Этот материал здесь повторяется на новом, более высоком уровне. Однако следует иметь в виду, что множества и рассмотренные ранее «мешки» (мультимножества) имеют некоторое отличие.

Работа по изучению нового материала организованна следующим образом.

В №1, стр. 1 учащиеся подбирают название для различных объединений объектов: коллекций марок, набор карандашей, стая птиц, чайный сервиз, букет цветов, стадо коров. Тогда вводится термин множество, как слово, позволяющую выразить идею объединения любой совокупности предметов в одно целое можно сказать: множество марок, множество карандашей, множество птиц и т.д.

Так же на этом уроке вводится понятие «элементы множества». В заданиях №4 - 10 стр. 2 - 3 закрепляются и отрабатываются понятия множества и его элементы.

На 2 уроке учащиеся знакомятся с обозначением множеств, рассматривают различные способы задания множеств перечислением и общим свойством его элементов.

В заданиях №5 - 7, стр. 5 надо сопоставить эти 2 способа задания множеств. Например: №6, стр. 5 задайте множество общим свойством его элементов.

а) {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

А - множество________________________________________________

б) {0; 2; 4; 6; 8}

В - множество_________________________________________________

в) {а; я; у; ю; э; е; о; ё; ы; и}

С - множество_________________________________________________

№7, стр. 5 задайте множество перечислением.

а) А - множество букв в слове «крот».

б) В - множество нечетных однозначных чисел.

в) С - множество двузначных чисел кратных 10.

г) D - множество трехзначных чисел, больших 603, но меньших 608.

На 3 уроке рассматривается понятие равенства множеств. Формируются представление о пустом множестве и его обозначении. Смысл понятия равенства раскрывается в №1-7, стр. 7-8. важно, чтобы, выполняя их, учащиеся обосновывали свои убеждения, а непросто называли их. Например, №3, стр. 8

а) { ?; ?; _; ¦; ^; ?} = {?; _; ?; ^; ¦; ?} первое равенство верно, так как оба множества состоят из одних и тех же элементов, но записаны в разном порядке.

б) {?; _; ?;?} = {?;_; ?} второе равенство неверно, поскольку множестве, записанном слева, лишний элемент «треугольник».

в) {?; _; ?; ¦} ? {?; ?; _; ?} третье равенство верно, так как черный квадрат из первого множества поменялся на черный круг, и, значит, множества не равны.

В №8 - 19 стр. 8 отрабатываются понятия пустого множества. Дети должны обратить внимание на правильный наклон черты в его записи и на то, что это множество записывается без скобок .

На 4 уроке происходит знакомство детей с графическим изображением множества - диаграмма Венна. Формируются способности к использованию знаков и для обозначения принадлежности элемента множеству.

Диаграмма Венна позволяет наглядно иллюстрировать операции над множествами и их свойства, решать самые разнообразные задачи. Этот материал отрабатывается в №2 - 6, стр. 10 - 11.

№ 5, стр. 11.

26 D 8 ?D 15 ?D

307?D 940?D 60 ?D

№6, стр. 11. это задание готовит детей к изучению операции пересечения множеств.

На 6 - 7 уроках формируются представления о подмножестве как части множества. Учатся устанавливать отношение включения множеств и использовать для этого знаки и .

На 8 уроке формируется представление о разбиение множества на части по свойствам (классификации). Подготовка к изучению пересечений множеств.

В №1, стр. 22 учащиеся делят все элементы множеств А и В на 2 части: съедобные и несъедобные предметы. Выясняется, что каждый предмет либо съедобный, либо несъедобный, и, значит он попадает только в одну часть.

Данный материал закрепляется №2 - 4, стр. 22 - 23.

На 9 - 11 уроках дети знакомятся с записью операции пересечения множеств с помощью знака ? и ее основными свойствами (переместительным, сочетательным), однако подготовительная работа была проведена в №7, стр.11, №3, стр. 13.

В №2, стр. 25 рассматривается конкретный пример пересечения множеств К и Т;

По рисунку явно видно, что общим элементом данных множеств является Надя и Петя. Учащиеся подчеркивают эти имена в записи множеств К и Т и обозначают пересечение множеств на диаграмме цветным карандашом.

На 10-м уроке рассматриваются свойства пересечения множеств:

А ? В = В ? А - переместительное,

(А ? В) ? С = А ? (В ? С) - сочетательное.

На 12 уроке формируется представление об объединении множеств, учащиеся знакомятся с основными свойствами этой операции (переместительным, сочетательным) и ее записью с помощью знака . Задания по теме «Множества и его элементы» встречаются в учебнике в течение всего учебного года в упражнениях для закрепления, пройденного материала.

2.2 Выявления уровня сформированности у младших школьников знаний элементов теории множеств

Экспериментальное исследование было направлено на выявление сформированности знаний, умений и навыков младших школьников по теме «множества».

Базой для проведения констатирующего эксперимента была определена Никольская средняя школа №3. В эксперименте участвовали школьники 3 класса в количестве 15 человек. Обучение детей велось по программе «Школа 2000...».

Знания, умения и навыки выявлялись в процессе самостоятельной работы, целью которой было выявление знаний по теме: «Диаграмма Венна. Знаки и ».

Школьникам были предложены следующие задания:

1. А - множество однозначных нечётных чисел. Поставь знак или :

8…….А 3…….А 21…...А 5……..А

На диаграмме множества В отметь элементы а, с, р, 4, ?, 15, если

известно, что:

а В р В ? В

с В 4 В 15 В

75

В

Рисунок 2

3. Выполни деление с остатком и сделай проверку,

32:5= _____________________ 90:7=______________________

4. В рулоне 50 м ткани. От него отрезали кусок на 4 костюма по 3 м в каждом. Сколько метров ткани осталось?

Пользуясь диаграммой множеств С и D, поставь знак или ;

Рисунок 3

7___С m___C A___C Д___C

7___D m___D A___D Д___D

Нами были выделены критерии и уровни сформированности выполнения заданий самостоятельной работы:

Высокий уровень выполнения заданий характеризовался правильностью выполнения задания; осознанностью выбора правильного варианта; обобщенностью знаний, то есть был способен перенести прием выполнения заданий на новые случаи; автоматизмом (ученик выполнял задание быстро); прочностью (сохранение навыков выполнения заданий на длительное время).

Для среднего уровня выполнения заданий самостоятельной работы характерно небольшое количество ошибок; ученик осознает на основе каких знаний сделано задание, однако не может самостоятельно объяснить, почему сделал именно так» а не иначе; ученик может правильно выполнить задание только в стандартных условиях; ученик не всегда выполняет задания быстро; навыки правильного выполнения заданий сохраняются на короткий срок.

Для низкого уровня выполнения заданий самостоятельной работы свойственно ученик неправильно выполняет то или иное задание, не осознавая правильность его выполнения; медленное выполнение заданий; отсутствие сформированности навыков выполнения заданий.

Результаты выполнения заданий представлены в таблице №1.

Таблица №1 - Уровень усвоения знаний по теме «Диаграмма Венна. Знаки и »

№	Ф. И.	Задания см. работы	Оценка	Уровень
		1	2	3	4	5
1	А. Виталий	+	-	+	-	-	4	средний
2	Б. Екатерина	+	-	+	+	-	4	средний
3	Б. Александр	+	+	+	+	+	5	высокий
4	Д. Андрей	+	+	+	+	+	5	высокий
5	З. Наталья	+	+	+	-	-	4	средний
6	К. Николай	+	+	+	+	+	5	высокий
7	К. Максим	+	+	+	+	-	5	высокий
8	Л. Екатерина	+	-	+	+	-	5	высокий
9	М. Андрей	+	-	+	+	-	5	высокий
10	М. Елена	+	-	+	+	+	5	высокий
11	Н. Евгений	+	+	+	+	-	4	средний
12	О. Елена	+	+	+	-	-	4	средний
13	П. Александр	-	+	-	+	-	3	низкий
14	П. Анна	-	+	+	+	-	3	низкий
15	У. Мария	+	+	+	+	-	4	средний
	ИТОГО	13	10	14	12	4

Опираясь на данные таблицы 1 можно сделать вывод о том, что самым сложным заданием оказалось задание 2, в котором необходимо на диаграмме множества В отметить элементы а, с, р, 4, ?, 15, если известно, что: аВ, рВ, ?В, сВ, 4В, 15В. Данное задание сделали правильно 50% школьников.

Первое задание, в котором требовалось поставить знак или . Данное задание выполнили правильно 86,6% школьников.

В процессе анализа самостоятельной работы высокий уровень знаний по теме «Диаграмма Венна» был выявлен у 46% школьников, средний уровень у 40% детей, а низкий уровень у 14% школьников.

Таким образом, учащиеся обучающиеся по программе «Школа 2000…» имеют уровень знаний о множествах выше среднего и могут осознанно выполнять задания самостоятельной работы.

2.3 Методические рекомендации по изучению элементов теории множеств в начальном курсе математике

Знакомство с множествами и операциями над ними имеет важное значение для дальнейшего изучения многих вопросов школьной программы по математике и вместе с тем способствует интенсивному развитию мыслительных операций и речи учащихся: дети постоянно должны сравнивать объекты, выявлять в них сходства и различия, классифицировать, строить обобщения, выражать в речи и обосновывать наблюдаемые свойства и отношения.

Изучение множеств подготовлено изучением в 1 классе свойств совокупностей предметов и действий с ними. Этот материал здесь как бы повторяется на новом, более высоком уровне.

В науке и повседневной жизни часто приходится рассматривать совокупности некоторых объектов как единое целое: армия, флот, бригада, класс, род и вид животных, коллекция и т.д. Для математического описания таких совокупностей и было введено понятие множества. Можно говорить о множестве книг в библиотеке, множестве зрителей в кинотеатре, множестве точек прямой, множестве кругов на плоскости, множестве решений уравнения, множестве хищных животных, множестве парнокопытных, ластоногих и т.д. Таким образом, термин «множество», в отличие от всех других слов, выражающих идею объединения объектов (сервиз, табун, эскадра, стая, команда, батальон и т.д.), может применяться к объектам любой природы, объекты, собранные в множество, называют элементами множества.

В качестве методических рекомендаций представляем разработку урока математики в 3 классе по теме «Множества». Основная цель данных разработок: представить, опираясь на опыт практического преподавания в начальной школе, возможную структуру урока и условия его организации, позволяющей реализовать технологию деятельного метода. Обучение ведется с учетом возрастных особенностей младшего школьного возраста.

Урок 1

Тема урока: Множество и его элементы.

Цель урока: познакомить с понятием «множество» и его элементами.

Задачи урока:

-учить находить элементы определенных множеств в повседневной жизни;

-повторить приемы решения задач, уравнений, название компонентов Действий сложения и вычитания;

-формировать вычислительные навыки при решении выражений на порядок действий.

Ход урока

1. Организационный момент

О математика, гордись собой!

Ты всем наукам мать родная,

И дорожат они тобой.

В веках овеяна ты славой,

Светило всех земных светил.

Тебя царицей величавой

Недаром Гаусс окрестил.

Строга, логична, величава,

Стройна в полете, как стрела,

Твоя немеркнущая слава

В веках бессмертье обрела.

- Мы с вами открываем новый учебник, который поможет нам продолжить путешествие по стране Математика. Нас ждут новые открытия, увлекательные задания, сложные задачи, равенства и неравенства, множества, действия над многозначными числами.

- Какое новое понятие вам встретилось? (Множества?)

- Давайте вместе подумаем над тем, что же такое множество.

2. Постановка цели урока

- Сколько цифр вы знаете? Назовите их.

- А сколько чисел можно составить из этих цифр? (Очень много, множество.)

- А сколько чисел мы сможем назвать хором за одну минуту, начиная с единицы?

Дети называют числа, учитель засекает время.

- А можем мы перечислить все числа за урок? (Нет, их очень много.)

- Вместо слов «очень много» какое одно слово можно сказать? (множество).

- Множество - это тема нашего урока.

3. Знакомство с новым материалом

В толковом словаре русского языка СИ. Ожегова и Н.Ю. Шведовой дается следующее определение слова «множество»:

1) Очень большое количество, число чего-нибудь, например, людей.

2) В математике совокупность элементов, объединенных по какому-нибудь признаку.

- Какие бы вы привели примеры множеств, встречающихся в жизни? А в математике?

- По какому признаку объединены предметы в вашем множестве?

Упражнение №1

Придумай название для предметов и животных, собранных вместе.

Знакомство с определением данным автором в учебнике.

Что объединяет множество, о котором можно сказать «хор»? (множество людей (птиц)поющих вместе.)

- Каждого певца этого хора мы представляем как элемент этого множества.

- Назовите элементы остальных множеств.

Знакомство с понятием «элементы множества» в учебнике.

Предметы или живые существа входящие в множество, называют элементами этого множества.

- Элементы какого множества я называю: дубы, березы, ели, осины. (Множество деревьев). Песок, глина, мел, уголь, торф (Множество полезных ископаемых.) Машины, самолеты, велосипеды, (Множество техники.)

- Назовите элементы множества сказочных героев. (Золушка, Оле-Лукойе, Синдбад-Мореход, Дюймовочка и т. д.)

- Элементы множества поэтов, (Пушкин, Лермонтов, Бунин, Тютчев и д.р.)

- Назовите элементы множества художников. (Репин, Васильев, Шишкин, Левитан и др.)

Упражнение № 8 для самостоятельной работы.

С каких деревьев взяты эти листья? Назови еще 3 элемента множества деревьев. Всегда ли на деревьях есть листья? У всех ли деревьев есть листья?

4. Физкультминутка

5. Повторение ранее изученного

№ 10 - решение задач с включением нового материала.

Задача 10 (а) - Ласточка пролетает в час 40 км, а стриж - в 3 раза больше. Сколько километров в час пролетает стриж?

- Об элементах какого множества идет речь? (Об элементах множества птиц.)

- Что необходимо узнать?

- Как это узнать? (Стриж; пролетает в 3 раза больше, чем ласточка, это значит 3 раза по 40 км.)

40-3 = 120 (км.)

- Запишите решение.

- Прочитайте условие задачи № 10 (б).

Задача 10 (б) - Сосна живет примерно 400 лет. Это на 250 лет больше, чем живет липа. Сколько лет живет липа?

- Об элементах какого множества идет речь? (Об элементах множества деревьев.)

- Как называются задачи, заданные в таком виде, и как они решаются? (Это задача в косвенном виде. Все данные в ней о сосне: она живет 400 лет, и она же живет на 250 лет больше, чем липа. Значит липа живет на 250 лет меньше, чем сосна.)

400-250= 150 (лет.)

Задача 10 (в) - Для нормальной жизни рыбок скалярий им требуется по 3 литра воды на каждую. Сколько рыбок могут жить в аквариуме, вмещающем 24 литра воды?

Дети комментируют:

- Надо найти, сколько рыбок могут жить в аквариуме. Для этого надо количество воды в аквариуме разделить на количество воды, необходимое одной рыбке:

24: 3 = 8 (рыбок.)

Задача 10 (г) - Масса пингвина-папы 42 кг, пингвина-мамы - 32 кг, а их детеныша - 8 кг. Какова масса все пингвиньей семьи? На сколько папа тяжелее, чем мама с детенышами вместе?

Дети комментируют:

- Чтобы найти массу всей пингвиньей семьи, надо найти целое, т. е. сложить части: 42 + 32 + 8. Удобно применить сочетательное свойство сложения: 42 + (32 + 8) = 82 (кг).

- Чтобы найти, на сколько папа тяжелее, чем мама с детенышем вместе, надо сравнить, т. е. из большего числа вычесть меньшее. Тяжелее папа: значит из 42 кг надо вычесть сумму (32 + 8) кг:

42 - (32 + 8) = 2 (кг.) После решения задач учитель читает стихотворение

Аквариум

Целый день снуют, толкутся

Крошки рыбки за стеклом,

То гурьбою соберутся.

То плывут в воде гуськом.

Водоросли, как аллеи;

Дно песчаное светло,

Вот одна всех порезвее

Трется боком о стекло.

Золотая спинка блещет,

Как коралл, горят глаза,

Хвост и плавники трепещут

Ждет подачки, егоза.

Горстку крошек бросим в воду,

Рыбок нечего томить.

Если отняли свободу,

Надо лучше их кормить.

Блиц-турнир (самопроверка по эталону).

а) На полке 7 книг со сказками, а книг о природе в 3 раза больше. Сколько

всего книг на полке?

б) На школьных спортивных соревнованиях 4 спортсмена набрали по 10

очков и 8 спортсменов по 7 очков. Сколько всего очков они набрали?

в) У Ани 27 красных гвоздик и 18 белых. Она сделала букеты по 3 цветков

в каждом. Сколько получилось букетов?

Эталон для проверки:

а) 7 + 7?3 = 28 (к.)

б) 10?4 + 7?8 = 40 + 56=96 (оч.)

в) I способ: (27 + 18): 3 = 45: 3 = 15 (б.)

II способ: 27: 3 + 18: 3 = 9 + 6 = 15 (б.)

Обратите внимание, что для проверки по эталону учитель прописывает на доске промежуточные результаты, чтобы дети могли определить, где они допустили ошибку и почему.

№ 11 - коллективный разбор задачи.

Пират нашел клад из 900 монет. Чтобы побыстрее его унести, он положил 186 монет в шапку, 215 -- в карман, 74 монеты запихнул в рот, 125 положил в правую ладонь, а 68-е - левую. Сколько монет он не смог унести?

- Сможем ли мы сразу ответить на вопрос задачи? (Нет, не сможем, незнаем, сколько всего монет унес пират.)

- Составьте план решения задачи. Рассуждение детей:

- Нам известно целое - 900 монет, которые нашел пират. Известны 5 частей: в шапке он унес 186 монет, в кармане - 215 монет, во рту - 74 монеты, в правой ладони - 125 монет, в левой - 68 монет. Неизвестна шестая часть -сколько монет осталось. Чтобы найти неизвестную часть, надо из целого вычесть известные части:

900- 186-215-74-125-68.

- Удобнее сначала вычислить, сколько всего монет унес пират, применив Сочетательный закон, а затем вычесть полученную сумму из числа 900;

1) 186+ 215+ 74+125+ 68 = (186+ 74)+ (215+ 125)+ 68 = 260+ 340+ 68= 8(м.)

2) 900 - 668 = 232 (м.)

Ответ: пират не смог унести 232 монеты.

Дети заполняют схему в учебнике, решение записывают в рабочих тетрадях.

№12 - решение уравнений,

Х+215=612 500-Х=346 Х-485=197

- Что значит «решить уравнение»? (Решить уравнение - значит найти неизвестный компонент.)

- Как называется число, которое находят в результате решения уравнения? (Корень уравнения.)

- Назовите неизвестные компоненты. (В первом уравнении -слагаемое, во втором - вычитаемое, в третьем - уменьшаемое?)

Вспомнить правила нахождения неизвестных компонентов.

- Как объяснить решение на основе взаимосвязи «части - целое»? (В первом и втором уравнении неизвестна часть, а в третьем - неизвестно целое. Чтобы найти часть, надо из целого вычесть известную часть; чтобы найти: целое, надо сложить части.)

Трое учащихся решают уравнения на доске, остальные - в рабочих тетрадях.

Дополнительные задания

1. Сравните:

7 м 46 см * 74 дм 6 см 86 мм * 8 дм 6 мм

56 дм 8 см* 5 м 86 см 4 м2 40 дм2 * 44 дм

2. Составьте программу действий и вычислите результат.

490: (120 - 50) * 80 - 85 * 4 + 96: (36:3)

Вычислите удобным способом.

- Какие математические свойства и приемы позволят выполнить задание? (Сочетательное, переместительное свойства сложения и умножения; приемы вычитания числа из суммы, суммы из числа.)

(978+ 156)-178 5 * (4 * 36)

384+-(216+ 216) 854-(86+ 654)

(6 * 48) * 5 84 + 219 + 81+36

6. Подведение итогов урока

- Что такое множество?

- Что является элементом множества?

Домашнее задание

Упражнение №13.

Составь программу действий и вычисли:

21: 3 * 6 - (18+ 14): 8 =

63: (3- 3) + (8 -7- 2): 6 =

Методические рекомендации к уроку 1

Рассматривая взаимосвязи множества и его элементов, надо обратить внимание детей на то, что части элементов, вообще говоря, не являются элементами данного множества. Например, нос ученика не является элементом множества учеников, корни деревьев не являются элементами множества деревьев и т.д.

В отличие от «мешков» (мультимножеств) равные (совпадающие, тождественные) элементы в множествах не повторяются (один предмет в одном множестве является элементом только один раз, даже если он повторяется несколько раз). Например, в слове «МАТЕМАТИКА» пять гласных звуков: А, Е, А, И, А. Но в то же время гласный звук А тождествен другому гласному звуку А. Поэтому говорят, что множество гласных звуков в слове «МАТЕМАТИКА» состоит из 3 элементов: А, Е, И. Точно так же множество в слове «МАМА» состоит из двух элементов: М, А. Работу по изучению нового материала на уроке можно организовать так.

В № 1 учащиеся подбирают названия для различных объединений объектов: коллекция марок, набор карандашей, стая птиц, чайный сервиз, букет цветов, стадо коров. Учитель спрашивает, можно ли эти названия использовать для других объединений предметов, т. е. сказать, например: букет карандашей, сервиз коров и т.д. Выясняется, что нет. Тогда перед детьми ставится проблема; подобрать слово, которым можно обозначить объединение любых предметов. Дети предлагают свои варианты. В завершение обсуждения учитель знакомит их с общепринятым в математике термином «множество», выражающим идею объединения любой группы предметов в «неделимое целое». Можно сказать: множество марок, множество карандашей, множество птиц и т.д.

Определенную трудность при введении понятия множества представляет то, что этот термин ассоциируется у детей со словом «много», в то время как «множество» должно мыслиться как синоним слова «вместе». Поэтому очень важно с самого начала сопоставить эти два слова: «множество» - «вместе», подчеркнув тем самым существенный признак множеств - объединение в одно целое.

В № 2 учащиеся подбирают общепринятые названия различных множеств: отара овец, табун лошадей, команда футболистов, эскадра кораблей, армия, полк, батальон и т.д.

В №3 решается обратная задача: обозначить объединение различных объектов с помощью термина «множество»:

Хор - множество людей, поющих вместе.

Оркестр - множество людей, играющих вместе на различных музыкальных инструментах.

Класс - множество детей, которые вместе учатся.

Коллекция - множество предметов, собранных вместе по некоторому признаку.

Библиотека - множество книг, собранных вместе.

В заданиях № 4 - 9 закрепляется и отрабатывается понятие множества и элементов.

В Задании № 6 учащиеся должны обвести замкнутой линией множество детей и множество взрослых, назвать элементы этих множеств и ответить на поставленные вопросы: объяснить, почему Петю, когда он вырастет, будут звать Петром Ивановичем, а Аню -- Анной Ивановной и т.д.

В задании № 7 роза, фиалка, гвоздика, василек, тюльпан -- это цветы. Ромашка тоже принадлежит множеству цветов, а сосна, баран, шипы от розы этому множеству не принадлежат.

Аналогичные рассуждения проводятся в № 8 для множества деревьев и в № 9 для множества плодов. Следует обратить внимание детей на то, что листья не являются элементами множества деревьев, точно так же как косточки (семена) не являются элементами множества плодов.

В задании № 10 понятие множества связывается с решением текстовых задач. Дети повторяют смысл арифметических действий, разностное и кратное сравнение. При этом они устанавливают, что ласточка, стриж и пингвины - это элементы множества птиц, сосна и липа - элементы множества деревьев, а скалярии - элементы множества рыб.

Таким образом, проанализировав содержание учебников Л.Г. Петерсон мы выяснили с какого класса вводится понятие «множества». Выявили уровень сформированности знаний элементов теории множеств у младших школьников в процессе самостоятельной работы, учащиеся обучающиеся по программе «Школа 2000…» имеют уровень знаний о множествах выше среднего и могут осознанно выполнять задания самостоятельной работы. Так же разработали методические рекомендации по обучению элементам теории множеств.

Урок 2

Тема урока: Способы задания множеств

Цель урока: учить задавать множество путем перечисления его элементов или общим свойством его элементов; научить обозначать множества при письме.

Задачи урока:

- отрабатывать навыки устного счета,

- повторить алгоритм сложения и вычитания чисел в пределах ста, действия с именованными числами, преобразование именованных табличное и внетабличное умножение и деление;

- закреплять навыки решения задач.

Ход урока

1. Организационный момент

- С каким понятием познакомились на предыдущем уроке?

- Что мы называем множеством? (Множеством в математике называется совокупность нескольких предметов (элементов), объединенных по какому- нибудь признаку.)

- Что называем элементами множества?

- Какие множества вы составили дома?

- Перечислите элементы своего множества.

2. Проверка домашнего задания

4 ученика работают по карточкам, остальные дети упражняются в устном

счете.

Вариант I

3 * 5= 9 * 3= 3 * 8 =

4 * 3= 6 * 2= 2 * 9 =

12:3= 15:5= 21:7 =

18:6= 24:8= 12:4 =

Вариант II

6 * 3= 3 * 7= 9 * 3 =

3 * 4= 8 * 2= 2 * 7=

27:9= 18:9= 21:7 =

18:2= 24:8= 15:3 =

Актуализация знаний и постановка темы урока

- Назовите элементы множества цветов, растущих у нас в классе. (Бегония, фикус, пальма и т. д.)

- Девочки, назовите элементы множества одежды.

- Мальчики, назовите элементы множества спортивных игр. (Футбол, волейбол, баскетбол, теннис, бадминтон и т. д.)

- Представители от девочек и мальчиков выйдите к доске и запишите названные элементы множества.

- Можно ли по этой записи определить, что перед нами - множество?

Если дети скажут «да», то спросить: «Сколько всего множеств вы видите на доске?» Скорее всего дети ответят: «Два». Тогда учитель говорит:

- А я вижу одно множество - множество слов, записанных учениками на доске. Как же быть? Попробуем найти ответ в учебнике?

4. Знакомство с новым материалом

Упражнение №1.

Найди общее свойство всех предметов, изображенных на рисунке [21, 4].

По ходу работы учитель задает вопросы:

- Какие предметы можно добавить в эти множества?

- А какие предметы добавить нельзя?

- Покажите множество предметов:

а) предметы имеют форму прямоугольного параллелепипеда;

б) предметы одинакового цвета;

в) предметы цилиндрической формы;

г) стеклянные предметы;

д) инструменты;

е) одежда.

- А теперь ответьте на вопрос, верно ли ваши одноклассники записали элементы множеств одежды и игр на доске?

- Как исправить ошибку? (Поставить фигурные скобки.)

{Платье, шарф, юбка, кофта, топик, свитер}

{Футбол, волейбол, баскетбол, теннис, бадминтон}.

5. Физкультминутка

6. Повторение с включением нового материала

№ 5 - первичное закрепление с проговариванием вслух.

1) Перечисли множество девочек класса, сидящих в первом ряду.

2) Перечисли множество вторых классов в твоей школе.

3) Придумай множество, в котором легко перечислить элементы.

№ 6 - самостоятельная работа с проверкой по эталону.

Задай множество общим свойством его элементов:

а) А - множество арабских цифр (или однозначных чисел);

б) В - множество однозначных четных чисел;

в) С -- множество гласных букв русского алфавита [21, 5].

Упражнение № 7 - выполнить коллективно.

Задай множество перечислением:

А- множество букв в слове «крот».

В - множество нечетных однозначных чисел.

С - множество двузначных чисел, кратных 10.

D - множество трёхзначных чисел, больших 603, но меньших 608 [21, 6].

Упражнение № 10 - решение задач у доски с комментированием.

В один день Ира прочитала 21 страницу1 во второй -- в 2 раза больше, чем в первый, а в третий -- на 15 страниц меньше, чем во второй день. Сколько страниц прочитала Ира за 3 дня? [21, 6]

Примерный ответ учащегося у доски:

- Надо узнать, сколько страниц прочитала Ира за 3 дня, т. е. найти целое. Чтобы найти целое, надо сложить части. Первая часть известна - 21 страница. Вторая и третья части неизвестны. По условию во второй день Ира прочитала в 2 раза больше, чем в первый, значит в первом действии узнаем, сколько страниц прочитано во второй день.

1) 21 * 2 = 42 (стр.) - прочитала Ира во второй день.

Ученик записывает на доске первое действие, а второй ученик с места объясняет как выполнить умножение. Третий учащийся комментирует пояснение к первому действию.

- Во втором действии узнаем, сколько страниц прочитала Ира в третий день. По условию известно, что в третий день было прочитано на 15 страниц меньше, чем во второй.

2) 42 - 15 = 27 (стр.) - прочитала Ира в третий день.

Ученик с места комментирует прием вычитания, другой - запись пояснения.

- Теперь, чтобы найти целое, сложим три части:

3) 21+42 + 27 = 90 (стр.)

- Удобнее сложить все единицы - получаем 10; дальше складываем десятки. Записываем ответ: Ира прочитала 90 страниц.

№ 11 - сложение и вычитание именованных чисел.

- Какую операцию нужно выполнить, чтобы найти результаты данных выражений? (Преобразовать более крупные единицы измерения в более мелкие. Затем найти результат, записав в столбик, и вновь преобразовать в более крупные единицы.) [21, 6].

7. Устный счет

1. Установите закономерность и допишите по пять чисел в каждом ряду.

а)4, 8, 12, 16... б)7,14,21,28...

Ответы:

а)... 20, 24,28, 32, 36; б)... 35,42,49, 56,63.

2. Упражнение № 8 [21,6].

Вычисли устно:

7 + 8= 12-5= 27 + 43 =

16 + 4= 39-9= 36+ 17 =

8+ 15= 42-8 = 50-32 =

21 +34= 36-14= 85-39 =

- Что общего в примерах каждого столбика? (В первом столбике надо найти сумму, во втором столбике - разность, в третьем - и сумму и разность.)

Игра «Минутка»: за 30 с. найти значение этих выражений. Примеры, в которых допущены ошибки, решаются у доски с объяснением способа вычисления.

3. Найти значения выражений:

30 * 7 = 24* 4 = 540: 9 =

360:60= 71: 3= 75: 25=

- Как мы называем такое деление и умножение? (Внетабличное.)

- Как называются числа при делении?

- Как называются числа при умножении?

- Как найти неизвестный множитель?

- Как найти неизвестный делитель?

- Как найти неизвестное делимое?

4. Вопросы по теме «Множества».

- Сорванные цветы поставили в вазу. Как можно назвать множество цветков, поставленных в вазу? (Букет.)

- За нашей школой растут яблони, вишни, сливы, груши. Как можно назвать множество фруктовых деревьев, которые растут за школой? (Сад.)

8. Итоги урока

- Что означает выражение «множество задано»?

- Какие способы задания множеств вы знаете?

Домашнее задание.

Упражнение №11.

Вырази в сантиметрах и вычисли:

Зм 7 дм 6 см + 4м 3 дм 8 см

1м 6 дм 9 см + 47дм 2 см

9м 72 - 5дм 9 см

7м4см - 32 дм 6см

Повторить таблицу умножения на 5,6, 7

Методические рекомендации к уроку 2

Основной целью урока 2 является формирование способности к заданию множеств перечислением и общим свойством элементов, знакомство с обозначением множеств.

Множество считается известным (множество задано), если известны его элементы, т. е. о любом объекте можно однозначно сказать, является он элементом данного множества или нет.

Множество можно задать либо перечислением его элементов (например, множество учеников в классе задается их списком), либо указав свойство, которым обладают все элементы данного множества, но не обладают никакие элементы, не принадлежащие этому множеству (например, множество букв русского алфавита, множество жителей Москвы, множество двузначных чисел и т.д.).

Для обозначения множеств обычно применяют заглавные латинские буквы. Если элемент х принадлежит множеству А, то пишут: х А, в противном случае пишут: х А.

Для записи множеств часто применяют также фигурные скобки, внутри которых заключаются элементы множества. Например, если множество А состоит из элементов a, d, с, то пишут: А = {a; d; с}.

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными, а остальные множества - бесконечными. Учащиеся работают в основном с конечными множествами, но встречаются также и с некоторыми примерами бесконечных множеств: множеством натуральных чисел, множеством точек прямой и т.д.

Материал на уроке рассматривается в следующей последовательности. Сначала в № 1 учащиеся повторяют известные им свойства предметов: форма, цвет, материал, из которого сделаны предметы, назначение предметов и т.д. Для этого они ищут общие свойства предметов, изображенных на каждом рисунке:

а) Предметы имеют форму прямоугольного параллелепипеда.

б) Предметы одинакового цвета.

в) Предметы формы цилиндра.

г) Стеклянные предметы.

д) Инструменты.

с) Одежда [21, 4].

Рассматривая эти примеры, учитель ставит вопросы:

- Назовите другие предметы, имеющие форму параллелепипеда.

- Принадлежит ли множеству параллелепипедов мяч? Какую форму имеет мяч? (Форму шара.) и т.д.

В №2 рассматриваются множества, заданные общим свойством их элементов (ягоды, грибы и т.д.). В итоге выполнения задания учитель обращает внимание детей на то, что если известно общее свойство элементов множества, то о любом предмете можно определенно сказать, принадлежит он этому множеству или нет. Для этого достаточно определить, обладает ли данный предмет указанным свойством [21, 4].

Однако бывает так, что вместе объединяются предметы, не имеющие общего свойства (№ 3-4). Общее у элементов таких множеств только то, что они собраны вместе. В таком случае множество можно задать, перечислив все его элементы. Обычно элементы множества записываются в фигурных скобках [21, 5].

Таким образом, множество можно задать двумя способами: перечислением и общим свойством его элементов. Некоторые множества, такие, как в № 3-4, можно задать только перечислением. Если число элементов множества велико, то его задают свойством. А иногда множество можно задать как одним, так и другим способом. В задачах №5 надо сопоставить эти 2 способа задания множеств [21, 5].

Урок 3

Тема урока: Равные множества. Пустое множество.

Цель урока: формировать умение определять равные множества, познакомить с понятием пустого множества и знаком его обозначения.

Задачи урока:

- доводить знание табличных случаев умножения и деления до автоматизма;

- повторить решете задач.

Ход урока

1. Организационный момент

А сейчас проверь, дружок,

Ты готов начать урок?

Все ль на месте,

Все ль в порядке;

Ручка, книжка и тетрадка?

Все ли правильно сидят?

Каждый хочет получать

Только лишь оценку «пять».

Начинаем мы опять

Решать, отгадывать, смекать.

- Какую тему изучали на предыдущем уроке?

- Когда мы говорим, что множество задано?

- Кто не совсем четко понимает» о чем сейчас идет речь?

- У вас будет возможность на уроке разобраться с чем, что вы не поняли на предыдущем уроке. Для этого вам нужно быть очень внимательным.

2. Актуализация знаний

- На с. 9, выполнив задание № 12, мы сможем повторить материал, с которым познакомились на предыдущем уроке.

Соедините точки в порядке решения примеров.

- Кто у вас получился? (Собачка.)

- Среди множества собак нагоните элементы множества не по породам, а в соответствии с их назначением. (Гончие, сторожевые, бойцовые, комнатные и

т.д.)

- Перечеркните элементы множества комнатных собак, (Спаниель, лабрадор, пудель, бульдог, шнауцер).

- Какие способы задания множеств вы знаете? (Перечислением, заданием общих свойств.)

- Множество собак, элементы которого определены в соответствии со свойствами этих животных, задано общим свойством элементов. А перечисление мы использовали, когда перечислили породы комнатных собак.

- Множество легавых собак: {ретривер, веймаранер, спаниель, сеттер…}

Вывод: под множеством понимают совокупность определенных объектов, которые называют элементами множества. Множество можно задать, указав свойство, присущее всем элементам этого множества.

- Перечислите элементы множества треугольников. (Прямоугольные, остроугольные, тупоугольные треугольники.)

3. Знакомство с новым материалом

- А теперь перечислите элементы множества автомобилей, которые стоят перед доской.

Дети удивлены, перед доской ничего не стоит.

- Чему вы удивились? (Задано множество, элементы которого невозможно перечислить из-за их отсутствия.)

- Множество, не содержащее элементов, называется пустым, и его обозначают символом?.

- А какую цифру в математике можно считать родственницей данному символу? (Нуль.)

- Что вы можете сказать об этих двух множествах?

- Какой знак поставим между этими множествами? (Знак равенства.)

- Обратите внимание на доску. Что вы видите?

Рисунок 4

- Что вы можете сказать об этих двух множествах?

- Какой знак поставим между этими множествами? (Знак равенства).

- А что можете сказать о следующих двух множествах? (Они не одинаковы, у них есть элементы, которые не совпадают.)



Рисунок 5

- Какой знак в таком случае поставим? (Неравенства.)

- Что новое узнали о множествах? (Множества могут быть равными, неравными, пустыми.)

Работа по учебнику.

Задача № 1 -- Сравни элементы множеств в первом и во втором рядах. Есть ли в первом ряду элемент, которого нет во втором ряду? Есть ли во втором ряду элемент, которого нет в первом ряду?

Задача №2 -- Сравни множества в первом и во втором рядах. В каком ряду есть лишний элемент?

Задача №3 - Верно ли записано равенство? Почему? [21, 8]. Варианты могут отличаться, т. к. можно переставлять местами элементы, чтобы составить равные множества, и ввести или убрать любой элемент из; данного множества, чтобы получить не равные множества.

№ 6, 7, 8 - выполняется устно.

Задача №6 -- Составь все множества, равные множеству {О; ?}.

Задача №7 - Сколько элементов содержит: а)множество дней недели; б) множество парт в первом ряду; в) множество букв русского алфавита; г) множество хвостов у кошки Мурки?

Задача №8 - Растут ли в вашем школьном саду тропические пальмы? Каково множество пальм в школьном саду?[21, 8].

№ 9 - самостоятельная работа с проверкой по эталону.

Найди правильное обозначение пустого множества, а остальные зачеркни.

Обратить внимание: множество {?} не является пустым, т. к. содержит один элемент - символ пустого множества.

Физкультминутка

Повторение изученного. Устный счет

Задача № 10:

Во сколько раз 12 меньше 96? (В 8раз.)

Сумму чисел 35 и 60 уменьшить в 19 раз. (5.)

От суммы чисел 48 и 36 отнять разность чисел 100 и 76. (60.)

Частное от деления 72 и 4 увеличить в 5 раз. (90.)

К произведению 12 и 5 прибавить 28. (Восемьдесят восемь.)

Задача №11- «Блиц-турнир» с самопроверкой по эталону.

а) Шапка стоит А рублей, а пальто - в 9 раз дороже. Сколько стоят пальто и шапка вместе?

б) Масса арбуза В кг, а масса тыквы -- на 2 кг меньше. Какова общая масса арбуза и тыквы?

в) В ведро входит С воды, а в кастрюлю -- в7 раз меньше

а) а + а * 9; б) b + (b-2);

в) с- с: 7; г) d-n * 8.

Индивидуальные задания (у доски)

1. Вырази в указанных единицах измерения:

4 дм 5 см =…см 450см = …м…дм

37дм = …м…дм 68см = …дм…см

800см = …дм

2. Реши уравнение:

420: х = 6 х * 40 = 160

6. Самостоятельная работа

1. Арифметический диктант

- Найти произведение чисел 9 и 7.

- Найти разность чисел 87 и 9.

- Найти частное чисел 81 и 9.

- Увеличить 72 на 8.

- Уменьшить 63 в 7 раз.

- Увеличить 12 в 3 раза.

- Уменьшить 56 на 8.

- На сколько 36 больше 6?

- Во сколько раз 48 больше 8?

2. Решите задачу.

Ученики школы интересно провели лето. Из них 30 человек ездили на Черное море, в санаторий - в 4 раза больше, чем на море. В лагере отдыхало - в 2 раза меньше, чем в санатории. А в турпоход сходило столько учащихся, сколько отдыхало в санатории и лагере вместе. Сколько учеников в школе?

3. а) Задайте общим свойством множество С:

С= {Хлеб; масло; соль; крупа; перец; сыр; колбаса},

б) Запишите множество К чисел, кратных 3.

К={ }.

4. Решите примеры.

70 * 5= 63: 21= 630:7 =

90: 6= 88: 4= 560: 80 =

7. Подведение итогов урока

- Приведите примеры элементов пустого множества. (Лошади, пасущиеся на Луне; яблоки и груши, растущие на березе и т. п.)

Домашнее задание

Задание № 4. Пусть А = {0; 1; 2}. Какие из множеств В = (2; 0; 1}, С = {1; 0}, D = {3; 2; 110} равны множеству А, а какие ему не равны? Сделай записи и объясни их.

Методические рекомендации к уроку 3

Основной целью третьего урока является формирование способности к, усвоению равенства множеств, знакомство с понятием пустого множества и его обозначением.

Понятие равенства множеств ничем не отличается от понятия равенства «мешков», с которым учащиеся встречались в первом классе. Равными называются множества, состоящие из одних и тех же элементов. Очевидно, равные множества могут отличаться лишь порядком их элементов, например: {а; b; с)= {с; а; b}

Смысл этого понятия раскрывается в № 1-7. Важно, чтобы, выполняя их, учащиеся обосновывали свои утверждения, а не просто называли ответ. Например, в упражнении № З первое равенство верно, так как оба множества состоят из одних и тех же элементов, но записанных в разном порядке. Поэтому рядом с равенством надо подчеркнуть слово «да» и зачеркнуть «нет». Второе равенство неверно, поскольку в множестве, записанном слева, лишний элемент «треугольник». Третье равенство верно, так как черный квадрат из первого множества поменялся на черный круг, и, значит, множества не равны [21, 8].

Упражнение № 4. Дети делают записи в тетради и устно дают пояснения:

А = В Множества А и В равны, так как они состоят из одних и тех же элементов: 0, 1 и 2.

А?С Множества А и С не равны, так как в множестве А есть элемент 2, а в множестве С его нет.

А? D Множества А и D не равны, так как в множестве А нет элемента 3, а в множестве D он есть [21, 8].

Упражнение № 5. Каждый ребенок записывает в тетради свой вариант. Можно проговорить с ними, что различных вариантов составления множества А может быть всего 6, а различных вариантов составления множества В - бесконечно много [21, 8].

В упражнении № 6 следует обратить внимание на упорядоченный перебор вариантов:

{а, б, в} {б, а, в} {в, а, б)

{в, в,,6} {б, в, а} {в, б, а}

На первом месте последовательно записываются сначала а, потом б, потом в, и в каждом случае два остальных элемента переставляются [21, 8].

В № 7 ставится вопрос о числе элементов множества. Выясняется, что есть множества, содержащие всего лишь 1 элемент (множество хвостов у Мурки, множество носов у Пети) и даже не содержащие ни одного элемента (множество лошадей, пасущихся на Луне). В последнем случае множество называют пустым и обозначают символом:? [21, 8].

В № 8-9 отрабатывается понятие пустого множества. Дети должны обратить внимание на правильный наклон черты в его записи и на то, что это множество записывается без скобок (множество {} не является пустым, оно содержит 1 элемент) [21, 8].

Таким образом, правильное обозначение пустого множества в № 8 лишь второе:?. Дома можно предложить учащимся придумать примеры равных и неравных множеств, пример пустого множества.

Заключение

Настоящее исследование посвящено методике преподавания элементов теории множеств в начальном курсе математики «Школа 2000...». В соответствии с поставленными задачами были сделаны следующие выводы:

1. Спецификой программы по математике «Школа 2000...» является то, что среди общих целей математического образования по программе «Школа 2000...» центральное место занимает развитие абстрактного мышления. Необходимой компонентой абстрактного мышления является логическое мышление - как дедуктивное, в том числе и аксиоматическое, так и продуктивное - эвристическое и алгоритмическое мышление.

В целом, представленная программа содержит довольно большой объем математического и, формально говоря, внематематического содержания. Следует, однако, иметь в виду, что изучаемый материал в определенном смысле разнороден, и изучение различных вопросов проводится, естественно, на разном уровне.

2. Экспериментальное исследование было направлено на выявление сформированности знаний, умений и навыков по теме «Множества». Базой для проведения констатирующего эксперимента была определена Никольская средняя школа №3. В эксперименте участвовали школьники 3 класса в количестве 15 человек. Обучение детей велось по программе «Школа 2000...».

Знания, умения и навыки выявлялись в процессе самостоятельной работы, целью которой было выявление знаний по теме: «Диаграмма Венна. Знаки и ».

Нами были выделены критерии и уровни сформированности выполнения заданий самостоятельной работы:

Высокий уровень выполнения заданий характеризовался правильностью выполнения задания; осознанностью выбора правильного варианта; обобщенностью знаний, то есть был способен перенести прием выполнения заданий на новые случаи; автоматизмом (ученик выполнял задание быстро); прочностью (сохранение навыков выполнения заданий на длительное время).

Для среднего уровня выполнения заданий самостоятельной работы характерно небольшое количество ошибок; ученик осознает на основе каких знаний сделано задание, однако не может самостоятельно объяснить, почему сделал именно так, а не иначе; ученик может правильно выполнить задание только в стандартных условиях; ученик не всегда выполняет задания быстро; навыки правильного выполнения заданий сохраняются на короткий срок.

Для низкого уровня выполнения заданий самостоятельной работы свойственно ученик неправильно выполняет то или иное здание, не осознавая правильность его выполнения; медленное выполнение заданий; отсутствие сформированности навыков выполнения заданий.

Таким образом, было выявлено, что младшие школьники обучающиеся по программе «Школа 2000...» имеют уровень знаний о множествах выше среднего и могут осознанно применять свои знания на практике.

Знакомство с множествами и операциями над ними имеет важное значение для дальнейшего изучения многих вопросов школьной программы по математике и вместе с тем способствует интенсивному развитию мыслительных операций и речи учащихся: дети постоянно должны сравнивать объекты, выявлять в них сходство и различие, классифицировать, строить обобщения, выражать в речи и обосновывать наблюдаемые свойства и отношения.

Данные разработки носят рефлексивный характер, предполагают использование наглядно-предметного и демонстрационного материала, базируясь на принципах деятельности, непрерывности и целостного представления о мире.

Обучение и контроль знаний учащихся осуществляется на основе принципов минимакса, комфортности и вариативности.

Список используемых источников

1. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах / под ред. М.И. Моро, A.M. Пышкало. - М.: Педагогика, 1977. - 358 с.

2. Артемов, А.К. Теоретические основы методики обучения математике в начальных классах / А.К. Артемова, Н.Б. Истомина. - М.: Владос, 1996. - 347 с.

3. Амонашвили, Ш.А. В школу - с шести лет / Ш.А. Амонашвили. - М.: Просвещение, 1986. - 258 с.

4. Амонашвили, Ш.А. Как живете, дети? / Ш.А. Амонашвили. - М.: Педагогика, 1987. - 214 с.

5. Бантова, М.А. Методика преподавания математики в начальных классах / М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова. - М.: Просвещение, 1984. - 258 с.

6. Бугрименко, Е.А. Руководство по оценке качества математических и

лингвистических знаний школьников. Методические разработки /Е.А. Бугрименко/ под ред. В.И. Слободчикова. - М.: Академия, 1993. - 266 с.

7. Давыдов, В.В. Проблемы развивающего обучения / В.В. Давыдов. - М.: Педагогика, 1986.- 189 с.

8. Давыдов, В.В. Психическое развитие в младшем школьном возрасте / под ред. А.В. Петровского. - М.: Наука, 1973. -256 с.

9. Истомина, Н.Б. Методические рекомендации к учебнику «Математика 3 класс» / Н.Б. Истомина. - М.: Проект, 1995. - 258 с.

10. Максимова, T.B. Поурочные разработки по математике. 3 класс. К

учебному комплекту Л.Г. Петерсон / Т.В. Максимова. - М.: ВАКО, 2004. -

400 с.

11. Маркова, А.К. Мотивация учения и ее воспитание у школьников / А.К. Марков, А.Б. Орлов, Л.М. Фридман. - М.: Просвещение, 1983. - 328 с.

12. Маркова, А.К. Формирование мотивации учения в школьном возрасте / А.К. Маркова. - М.: Просвещение, 1983. - 391 с.

13. Матюшкин, A.M. Проблемные ситуации в мышлении и обучении / А.М. Матюшкина. - М.: Педагогика, 1977, --214 с.

14. Менчинская, Н.А. Вопросы умственного развития ребенка / Н.А. Менчинская. в М.: Просвещение, 1970. --258 с.

15. Менчинская, Н.А. Проблемы учения и умственного развития школьника / П.А. Менчинская. - М.: Просвещение, 1989.-358 с.

16. Методика начального обучения математике / под ред. А.А. Столяра, В.Л. Дрозда. - Минск, 1988. - 322 с.

17. Моро, М.И. Методика обучения математике первых-третих классах / M.И. Моро, A.M. Пышкало. - М.: Просвещение, 1978.-222 с.

18. Обучение и развитие / под ред. Л.B. Занкова. - М.: Просвещение, 1975.-179 с.

19. Пиаже, Ж. Избранные психологические труды / Ж. Пиаже. - М.: Педагогика, 1969. - 258 с.

20. Пидкасистый, П.И. Самостоятельная познавательная деятельность школьников в обучении / П.И. Пидкасистый. - М.: Просвещение, 1980.-213 с.

21. Петерсон, Л.Г. Математика. 3 класс. Часть 1 / Л.Г. Петерсон. - М.: Баллас, 2001.- 112 с.

22. Петерсон, Л.Г. Математика. 3 класс. Часть 2 / Л.Г. Петерсон. - М.: Баллас, 2001.- 116 с.

23. Петерсон, Л.Г. Математика. 3 класс: методические рекомендации для учителей / Л.Г. Петерсон. - М.: Ювента, 2008. - 304 с.

24. Петерсон, Л.Г. Информационно-методическое письмо к работе по новым учебникам «Математика» / Л.Г. Петерсон // Начальная школа. - 1997. -№10.-С. 31-34.

25. Петерсон, Л.Г. Использование деятельного метода в работе по курсу «Школа 2000...» / Л.Г. Петерсон // Начальная школа. - 2000. - №10. - С. 5-12.

26. Петерсон, Л.Г. Программа «Учись учиться» по математике для 1-4 классов начальной школы по образовательной системе деятельностного метода обучения «Школа 2000…». - М.: УМЦ «Школа 2000…», 2007. - 112с.

27. Рубинштейн, СЛ. Проблемы общей психологии / С.Л. Рубинштейн. - М.: Просвещение, 1973. - 258 с.

28. Стрезикозин, В.П. Актуальные проблемы начального обучения В.П. Стрезикозин. - М.: Просвещение, 1976. - 352 с.

29. Суворова, Г.Ф. Совершенствование учебного процесса в малокомплектной начальной школе / Г.Ф. Суворов. - М.: Просвещение, 1980. - 321с.

30. Талызина, Н.Ф. Формирование познавательной деятельности младших школьников / Н.Ф. Талызина. - М.: Просвещение, 1978. - 259 с.

31. Труднев, В.П. Внеклассная работа по математике в начальной школе / В.П. Труднев. - М.: Педагогика, 1975. - 366 с.

32. Теоретические основы методики обучения математике в начальных

классах: пособие для студентов / под ред. Н.Б. Истоминой. -- М.: Институт

практической психологии, 1996. - 224 с.

33. Фридман, Л.М. Психологическая наука - учителю / Л.М. Фридман, К.Н. Волков. - М.: Просвещение, 1985. - 247 с.

34. Фридман, Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач / Л.М. Фридман. - М.: Наука, 1977. - 329 с.

35. Фридман, Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе / Л.М. Фридман. - М.: Педагогика, 1983. - 141 с.

36. Цукерман, Г.А. Виды общения в обучении / Г.А. Цукерман. - Томск, 1993. - 320 с.

37. «Школа 2000...». Концепция и программы непрерывных курсов для общеобразовательной школы / под ред. А.А. Леонтьева. - М.: Баллас, 1997. - 208 с.

38. Эльконин, Д.Б. Избранные психологические труды / под ред. В.В. Давыдова, В.II. Зинченко. - М.: Педагогика, 1989. - 284 с.

39. Якиманская, И.С. Развивающее обучение / И.С. Якиманская. - М.: Просвещение, 1979. - 385 с.