Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

математика познавательный учебный мышление

Учебный процесс в школе представляет собой единство содержания, методов и организационных форм обучения. Вопрос, касающийся определения методов и их классификации, вызывал много споров. В научном плане усилилось внимание к проблеме упорядочения всех сложившихся методов. Первое, наиболее полное, описание системы методов, сложившихся в 60-е годы ХХ в., дал Е.Я. Голант. Позже по вопросам классификации методов в структуре общих работ по дидактике выступили М.А. Данилов, Б.П. Есипов, М.Н. Скаткин, И.Я. Лернер и др. Обстоятельный анализ классификации методов провёл Ю.К. Бабанский, предложивший также свою классификацию.

В настоящее время накоплен обширный научный фонд, раскрывающий многообразие методов обучения, среди которых эмпирические методы обучения занимают важное место наряду с другими методами обучения.

Многие преподаватели математики убедились на личном опыте, что заинтересовать учащихся своим предметом возможно, сочетая и комбинируя различные методы обучения. Любой руководитель методического объединения скажет, что в подведомственной ему школе каждый педагог использует современные технологии при проведении комбинированного урока. И хотя использование современных технологий на уроке подчас отнимает большую часть времени, (соответственно на закрепление и подведение итога, важнейшим составляющим урока, не остается времени), учитель жертвует этим временем ради модернизации урока. Современный ученик заинтересован в наглядном познании мира. При изучении такой науки как математика, большую роль играет эксперимент, наблюдение. Ведь познание нового начинается с восприятия, опыта. В том числе и познание математики как учебного предмета. Внедрение эмпирических методов познания в процесс обучения математике позволяет учителю показать пути зарождения математических знаний, включить учащихся в активную эвристическую деятельность, обосновать необходимость изучения компонентов математического содержания. Всё это обуславливает актуальность темы выпускной квалификационной работы.

Объект исследования - методы обучения математике учащихся основной школы.

Предмет исследования - эмпирические методы обучения математике учащихся основной школы.

Цель исследования - изучить и обобщить методику использования эмпирических методов в обучении математике учащихся основной школы.

Для её достижения необходимо решение следующих задач:

1. Изучить теорию данного вопроса в психолого-педагогической и методической литературе.

2. Охарактеризовать основные группы методов обучения математике, уделив внимание эмпирическим методам.

3. Раскрыть особенности методики применения наблюдения, опыта, измерения в обучении математике учащихся основной школы.

4. Изучить педагогический опыт применения эмпирических методов в обучении математике учащихся основной школы.

5. Разработать урок математики для учащихся 5-6 классов, включающий применение эмпирических методов. Показать урок опытных учителей с применением эмпирических методов.

Сформулированные задачи обусловили структуру выпускной квалификационной работы, которая состоит из введения, двух разделов, заключения, списка использованной литературы и приложения.

Во введении обосновывается актуальность темы выпускной квалификационной работы, характеризуется методологический аппарат

(объект, предмет, цель и задачи), описывается её структура, характеризуется содержание разделов.

Первый раздел выпускной квалификационной работы носит теоретический характер и рассматривает проблему методов обучения, их классификацию.

Второй раздел работы раскрывает особенности применения эмпирических методов в обучении математике основной школы.

1. Научно-теоретические основы методов обучения

1.1 Методы обучения в процессе учебно-познавательной деятельности: понятие, функции

Учебный процесс в школе представляет собой единство содержания, методов и организационных форм обучения.

Методы обучения являются и исторической, и социальной категорией, так как они меняются в зависимости от исторических и социальных условий. Реформируются учебные учреждения, меняется содержание образования, вслед за этим меняются и способы деятельности обучающих и обучающихся. Перед школой встают новые задачи, меняется содержание образования, а значит и изменяются методы обучения. Для этого используются новые средства или совершенствуются традиционные. Все это очень усложняет толкование сущности методов обучения.

Эффективность процесса обучения прежде всего зависит от организации деятельности учащихся. Поэтому педагог стремится самыми разнообразными приемами активизировать эту деятельность, и потому наряду с понятием методы обучения мы употребляем и понятие приемы, обучения. Прием - это действие учителя, вызывающее ответную реакцию учащихся, соответствующую целям этого действия. Прием - это более частное понятие по отношению к понятию метод обучения, это деталь метода.

Приемы могут определяться особенностями обучающей системы; при проблемном обучении - это постановка проблемных ситуаций, при объяснительно-иллюстративном - это подробное планирование действий учащихся для достижения конкретных целей и т.п. Располагая разнообразными приемами и по-разному организуя характер деятельности учащихся и педагогов, мы, тем не менее, не можем однозначно определить сущность методов обучения.

Если процесс обучения носит в основном характер включения учащихся в непосредственную практическую деятельность (процесс обучения, как таковой, носил характер подражательной деятельности на первых этапах своего возникновения), то методы обучения можно определить как способы включения учащихся в практическую деятельность с целью формирования у них соответствующих умений и навыков.

При догматическом обучении, когда формируются знания о явлениях без раскрытия их сути, когда такие знания не играют особой роли в предстоящей практической деятельности, методы обучения можно рассматривать как способы передачи знаний учителем учащимся в готовом виде. Общество не может позволить, чтобы подрастающее поколение каждый раз повторяло путь познания, пройденный всеми предыдущими поколениями. И поэтому всегда какая-то часть накопленной информации, накопленных знаний будет передаваться в готовом виде.

Для того, чтобы использовать знания в практической деятельности, в каких-то совершенно новых условиях, подрастающие поколения какую-то часть накопленной обществом информации должны усваивать осознанно, понимать суть изучаемых явлений. В этом случае педагог использует различные средства доказательности, он не просто передает знания в готовом виде, а стремится, чтобы учащиеся понимали их суть. Поэтому методы обучения можно рассматривать и как способы совместной деятельности учителя и учащихся по достижению конкретных учебных целей.

На определенном этапе развития общества, при более быстром изменении характера общественного производства возникала необходимость формировать у учащихся в процессе обучения навыки и умения самостоятельной познавательной и творческой деятельности. Это привело к новому пониманию сущности методов обучения, которые стали трактоваться как способы организации самостоятельной познавательной деятельности учащихся в процессе обучения.

В последнее время мы все больше внимания уделяем развитию мотивационной стороны обучения, поэтому и методы обучения можно рассматривать как способы стимулирования познавательной деятельности учащихся.

Таким образом, методы обучения - это и способы передачи знаний учащимся в готовом виде, и способы совместной деятельности учителя и учащихся при познании сути отдельных явлений, и способы организации самостоятельной практической и познавательной деятельности учащихся и одновременно - способы стимулирования этой деятельности.

В разных учебниках приводятся различные определения методов обучения, но все они отражают лишь отдельные стороны этого педагогического явления. Дать однозначное определение методу обучения, или точно назвать их количество практически нельзя. Все зависит от того, какие стороны процесса обучения, какие классические системы обучения рассматриваются как приоритетные и что берется за основу классификации методов обучения.

В наиболее общем понимании «метод» - система практических и теоретических действий человека, направленных на достижение поставленной цели, на овладение тем или иным объектом (в переводе с греческого «методос» означает способ изложения). В словаре русского языка «метод» определяется как способ теоретического исследования и практического осуществления чего-либо.

Теоретические основы методов обучения разработаны И.Я. Лернером в 60 - 80 гг. ХХ века. Был предложен путь от целей обучения к содержанию образования, в котором эти цели воплощаются, через способы усвоения каждого элемента содержания и деятельности ученика по усвоению, через средства, которыми может оперировать учитель в процессе обучения. Соотнесение деятельностей учащегося и учителя с целями обучения позволит выяснить систему методов. Методы обучения характеризуют: цель, способ усвоения содержания образования, характер взаимодействия субъектов обучения. Таким образом «метод обучения является системой последовательных действий учителя, организующего познавательную и практическую деятельность ученика, устойчиво ведущую к усвоению им содержания образования» [8]

Большинство дидактов, отмечал Ю.К. Бабанский, рассматривает методы как способы упорядоченной взаимосвязанной деятельности учителя и учащихся, направленные на решение комплекса задач образовательного процесса. Философы же отмечают, что в общественной материальной деятельности нет никаких методов и имеются лишь объективные законы. То есть методы имеются в головах, в сознании, а отсюда - в сознательной деятельности человека. Метод - это правило действия. Метод непосредственно фиксирует не то, что есть в объективном мире, а то, как человек должен поступить в процессе познания и практического действия (П.В. Копнин). Главная мысль, основная идея, заключённая в методе как педагогическом термине, - это указание к педагогически целесообразному действию, предписание, как действовать.

В настоящее время в методах выделяют две стороны: внешнюю и внутреннюю (М.И. Махмутов). Внешняя отражает то, каким способом действует учитель, внутренняя-то, какими правилами он руководствуется.

Таким образом, в этом понятии должно быть отражено единство внутреннего и внешнего, связь теории и практики, связь деятельности педагога и учащегося. В этом случаи можно дать следующее определение метода.

Метод обучения - это система регулярных принципов и правил организации педагогически целесообразного взаимодействия педагога и учащихся, применяемая для определённого круга задач обучения, развития и воспитания. Таким образом, в этом определении подчёркивается, что метод содержит в себе и правила как действовать, и сами способы действия.

Методы обучения как способы деятельности характеризуются специфическими особенностями. Прежде всего следует отметить, что с помощью методов обучения учащиеся приобретают знания, умения и навыки; у них формируется научное мировоззрение, развиваются способности к дальнейшему самостоятельному обучению, они влияют на формирование эмоционально-целостного отношения к действительности. Учитель выступает в роли посредника между знаниями, зафиксированными в опыте человечества, и сознанием ребёнка, который не имеет этого опыта. Учитель организует с помощью определённых путей, способов и средств познавательную деятельность учащихся по овладению учебным материалом. Поэтому методы обучения всегда включают в себя деятельность учителя и учащихся и соответствующие им методы преподавания и учения. Методы преподавания выполняют информативную и управляющую функции (учитель объясняет, показывает, инструктирует). Методы учения - это способы познавательной деятельности школьника (школьник слушает, наблюдает, читает). Управляя познавательной деятельностью школьника, учитель должен видеть внутренние и внешние стороны обучения.

Другой характерной особенностью методов обучения является то, что они развиваются с изменением позиции ученика в учебном процессе. Каждый метод потенциально может эволюционировать от элементарно простого до сложносоставного, требующего разнообразных видов познавательной деятельности учащихся. Обучение постепенно усиливает самостоятельность ученика в познании, что обеспечивает возможность включения в учебный процесс самообразования. Эта задача решается учителем в ходе управления учебно-познавательной деятельностью школьников. Таким образом, методы обучения являются одним из компонентов учебного процесса, обслуживающего все стороны деятельности учителя и учащихся.

Методы обучения реализуют своё назначение только в том случае, если они выполняют следующие основные функции: функцию побуждающего действия, образовательную, воспитывающую, развивающую функцию.

Функция побуждающего действия - её задача пробудить познавательную потребность, интерес учащихся к решению той или иной задачи, то есть закрепить у учащихся положительное отношение к учению.

Обучающая функция методов обучения - ведущая в учебном процессе.

Суть обучающей функции выражается в точном подборе методов обучения соответственно дидактической задаче, обеспечения предельной ясности и выразительности в раскрытии сущности изучаемого материала. Ведущим критерием эффективности обучающей функции является способность ученика использовать усвоенное содержание для приобретения нового.

Развивающая функция должна стать принадлежностью каждого метода.

Особенностью этой функции является её многосторонность: реализация её предполагает последовательное развитие качества знаний детей, постоянное усложнение и развитие их умений и навыков, способов деятельности, развитие познавательных интересов, ценностей, самостоятельности и творчества школьников.

Воспитывающая функция методов обучения: формирование научного мировоззрения школьников, воспитание необходимых нравственных, эстетических, духовных свойств и качеств личности.

Все эти функции методов обучения тесно взаимосвязаны и реализуются в педагогическом процессе в комплексе.

1.2 Различные классификации методов обучения математике

Классифицировать методы - это значит группировать (объединять) их по каким-то общим признакам. Можно это делать в соответствии со средствами обучения, такими как: слово (устное слово учителя или печатное слово учебника), наглядные пособия, технические средства и т.д. В практике работы школы возникла и другая классификация, когда методы обучения группируются по основным этапам (звеньям) традиционного классического понимания процесса обучения: методы начального этапа усвоения знаний (устное изложение, беседа, лабораторная работа, работа с книгой и пр.); методы совершенствования знаний (упражнения, повторение); методы закрепления; методы развития навыков; методы творческой деятельности и т.п. Такая классификация, так же как и предыдущая, не может быть признана удовлетворительной, так как здесь любой метод (например, упражнение) может использоваться на любом этапе усвоения учебного материала.

Рассмотрим общие принципы основных подходов к группировке методов обучения. Предлагается, например, подразделить методы обучения в зависимости от характера учебной деятельности школьников на две группы: активные, если ученик работает самостоятельно (лабораторный метод, работа с книгой), и пассивные, если ученики слушают и смотрят (рассказ, лекция, объяснение, демонстрационный метод, экскурсия) (Е.Я. Голант). Такое подразделение оказалось неприемлемым, так как оно искажает принцип сознательности и активности учащихся в обучении и находится в противоречии с теорией процесса обучения, согласно которой - процесс двусторонний, предполагающий активность ученика на всех его этапах.

Другая классификация предполагала делить методы по деятельности учителя и деятельности школьников на две группы: методы изложения предмета преподавателем (рассказ, лекция, беседа) и методы самостоятельной работы учащихся (наблюдения, опыта, работа с учебником) (П.И. Боровицкий, Б.В. Всесвятский и др.). Достоинством этой классификации является стремление учёных дать углубленную характеристику особенностей методов учебно-познавательной деятельности школьников и методов преподавания.

Однако в характеристике каждого метода необходимо показать как бы две стороны: руководящую роль учителя и самостоятельную работу учащихся[12]. Поэтому нет смысла выстраивать каждую из них в самостоятельный ряд, закреплённый классификационной системой:

методы изложения нового материала учителем;

методы самостоятельной работы учащихся.

В этом случае обе стороны метода как бы разделяются на две независимые части процесса обучения.

В зависимости от источников знаний многие дидакты и методисты предлагают делить все методы обучения на три группы: словесные (живое слово учителя, беседа, работа с книгой), наглядные (демонстрация, иллюстрация, экскурсия), практические (упражнения, творческие работы, лабораторные, графические) (Н.М. Верзилин, Н.А. Сорокин, С.Г. Шаповаленко и др.). Деление методов на словесные, наглядные, практические привлекает своей простотой, имеет исторические корни. Эта классификация удобна и для практического применения. Всё это обеспечило её довольно широкое распространение в отечественной научной и педагогической литературе, хотя она и не стала общепризнанной. Наиболее серьёзным возражением против неё было несогласие ряда авторов с исходной посылкой данной классификации: предложение делить методы по источникам передачи и приобретения знаний. По мнению Р.Г. Лемберг, слово, речь - не источник знания, важнейший компонент познавательного процесса; создание представления, образа - это первичная ступень познавательного процесса, этап формирования знаний, а не его источник; практика же в процессе познания играет роль не только источника, но и критерия истины[7]. По мнению других учёных, эта классификация не вскрывает тех внутренних процессов, которые составляют сущность метода.

В классификации, предлагаемой Ю.К. Бабанским, выделяют три большие группы методов обучения.

1) методы организации и осуществления учебно-познавательной деятельности;

2) методы стимулирования и мотивации учебной деятельности;

3) методы контроля и самоконтроля за эффективностью учебно-познавательной деятельности.

Предлагаемая классификация методов обучения является относительно целостной потому, что она учитывает все основные структурные элементы деятельности (ее организацию, стимулирование и контроль). В ней целостно представлены такие аспекты познавательной деятельности, как восприятие, осмысление и практическое применение. Она учитывает все основные функции и стороны методов, выявленные к данному периоду педагогической наукой, не отбрасывая не одну из них. Но она не просто механически соединяет известные подходы, а рассматривает их во взаимосвязи и единстве, требуя выбора их оптимального сочетания. Наконец, предлагаемый подход к классификации методов не исключает возможности дополнения его новыми частными методами, возникающими в ходе совершенствования процесса обучения в современной школе.

Итак, нами рассмотрены подходы к классификации методов обучения. Уделим внимание особенностям и видам методов обучения математике.

Приведём различные классификации методов обучения математике и дадим им краткую характеристику.

Г.И. Саранцев по характеру учебно-познавательной деятельности и организации содержания материала выделяет следующие методы обучения математике: [14]

· индуктивно-репродуктивный (учитель создает такую ситуацию, в которой ученик воспроизводит понятие или теорему в процессе рассмотрения частных случаев. Например, посредством решения задач на выделение ситуаций, удовлетворяющих условию теоремы, или решение задачи (изучение теоремы) осуществляется по плану, предложенному учителем);

· индуктивно-эвристический (метод предполагает самостоятельное открытие фактов в процессе рассмотрения частных случаев. Например, упражнения на умножение (деление) степеней с одинаковым основанием приводят к открытию определения произведения (частного) степеней с одинаковыми основаниями);

· индуктивно-исследовательский (метод заключается в проведении исследований различных феноменов посредством изучения их конкретных проявлений. Например, изучая свойства четырехугольников в зависимости от наличия у них осей симметрии, приходим к таким видам четырехугольника, как прямоугольник, ромб, квадрат);

· дедуктивно-репродуктивный (метод предполагает воспроизведение частных случаев в процессе решения задач, где используется общее положение. Например, теорема о сумме смежных углов воспроизводится посредством решения задач на нахождение одного из смежных углов, если задан другой);

· дедуктивно-эвристический (метод заключается в открытии частностей какого-либо факта при рассмотрении общего случая. Примером проявления этого метода может служить решение любой конкретной задачи на применение какой-либо теоремы);

· дедуктивно-исследовательский (сутью этого метода обучения является организация исследований посредством дедуктивного развития учебного материала. Например, аксиоматический метод, метод моделирования, решение задач на применение теорем);

· обобщенно-репродуктивный (цель достигается путем воспроизведения изученных фактов. Например, усвоение векторного метода предполагает овладение действиями перевода геометрического языка на векторный и обратно, сложения и вычитания векторов, представления вектора в виде суммы, разности векторов и т.п.);

· обобщенно-эвристический (метод предполагает создание учителем такой ситуации, в которой ученик самостоятельно (или с небольшой помощью учителя) приходит к обобщению. Например, измеряя стороны и углы произвольных треугольников, ученики могут открыть следующую зависимость между углами и сторонами треугольника: против большей стороны треугольника лежит больший угол и наоборот);

· обобщенно-исследовательский (метод предполагает наличие в учебном материале ситуаций, исследование которых приводит к обобщенному знанию. Например, рассматривая различные случаи расположения вписанных в окружность углов, можно прийти к известной теореме о том, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается).

Приведём и другие, имеющиеся в научной литературе, классификации методов обучения математике.

Классификация Р.С. Черкасова и А.А. Столяра

Система методов обучения математике:

· Общие (разработанные дидактикой и адаптированные к обучению математике);

· Частные (отражают основные методы познания, используемые в математике)

Классификация Ю.М. Колягина

Методы обучения математике:

· Методы преподавания: беседа, рассказ, управление самостоятельной работой учащихся;

· Методы изучения: анализ, синтез, сравнение, моделирование и др.

Классификация О.Б. Епишевой

Методы обучения математике:

· Методы педагогики;

· Методы психологии;

· Методы логики;

· Методы математики;

· Методы информатики;

· Методы эмпирические

· Методы истории.

Каждая из приведённых классификаций имеет определённое основание и позволяет раскрыть сущность методов обучения с различных сторон, подчеркнуть сложность и многоаспектность этой проблемы.

В нашей работе мы в дальнейшем уделим внимание эмпирическим методам обучения математике (согласно классификации О.Б. Епишевой).

1.3 Выбор оптимального сочетания методов обучения. Критерии выбора методов обучения

Большинство исследователей проблемы методов обучения, приходит к выводу о том, что поскольку понятие «метод» многоаспектное, многостороннее, то метод обучения в каждом конкретном случае должен конструироваться преподавателем. В любом акте учебной деятельности всегда сочетается несколько методов. Методы всегда как бы взаимно проникают друг в друга, характеризуя с разных сторон одно и то же взаимодействие педагогов и обучаемых. И если мы говорим о применении в данный момент какого-то определенного метода, то это означает, что он доминирует на данном этапе, внося особенно большой вклад в решение основной дидактической задачи. В дидактике установлена следующая закономерность. Чем в большем числе аспектов был обоснован преподавателем выбор методов обучения (в гностическом, логическом, мотивационном, контрольно-оценочном и др.), тем более высокие и прочные учебно-воспитательные результаты будут достигнуты в процессе обучения, причем за меньшее время.

Выбор метода, прежде всего, определяется целями обучения. Если четко продумана последовательность целей на уроке, значит, и методы должны соответствовать требованиям этих целей.

В не меньшей мере выбор метода зависит от особенностей содержания изучаемого материала, от специфики учебного предмета (уроки иностранного языка, или уроки физкультуры).

Выбор метода обучения зависит от возрастных особенностей учащихся (можно предложить двухчасовую обзорную лекцию старшеклассникам, но этого нельзя делать в младших классах) и от уровня их развития (даже уровень развития трех параллельных классов может быть разным, не говоря уже о классах выравнивания и т.п.). При выборе методов обучения необходимо учитывать и особенности мышления у учащихся разного возраста.

Выбор метода зависит от материальной базы учебного заведения (на уроках физкультуры - это спортзал и его оборудование, на уроках физики - это наличие приборов, это аудио средства в кабинете иностранного языка и т.п.).

При выборе метода необходимо учитывать географические и демографические особенности местности, где находится учебное заведение, особенности жизненного опыта учащихся. Необходимо также учитывать психологические и физиологические особенности детей.

При выборе и сочетании методов обучения необходимо руководствоваться следующими критериями:

	· соответствие методов принципам обучения;
	· соответствие целям и задачам обучения;
	· соответствие содержанию данной темы;
	· соответствие учебным возможностям обучаемым: возрастным, психологическим; уровню подготовленности (образованности, воспитанности и развития);
	· соответствие имеющимся условиям и отведенному времени обучения;
	· соответствие возможностям вспомогательных средств обучения;
	· соответствие возможностям самих преподавателей. Эти возможности определяются их предшествующим опытом, уровнем настойчивости, специфическими особенностями доминантности власти, педагогическими способностями, а также личностными качествами преподавателей.

В зависимости от времени и места применения метода, особенностей сочетания в нем различных способов, приемов и средств один и тот же метод обучения может оказаться эффективным или неэффективным. Найти удачный метод обучения в каждом конкретном случае означает найти удачную комбинацию различных приемов и средств, позволяющих достичь поставленной заранее цели (или целей) наиболее оптимальным в данных условиях путем. Чтобы успешно применять в процессе обучения математике тот или иной метод учителю необходимо в совершенстве овладеть этим методом. Это означает, что он должен:

· понимать сущность этого метода и уметь применять его в различных конкретных ситуациях обучения;

· знать наиболее часто встречающиеся формы проявления того или иного метода в процессе обучения (явные или скрытые);

· знать положительные и отрицательные стороны применения этого метода, проявляющиеся в процессе обучения; уметь оценивать его эффективность;

· знать, какие вопросы школьного курса математики целесообразно изучать именно этим методом;

· уметь научить учащихся работать именно этим методом в процессе изучения ими определенного учебного материала.

В настоящий момент учителя поставлены перед необходимостью осваивать эффективные методы обучения. Учителю не стоит путать интерес к математике как к средству поступления в какое-либо учебное заведение с интересом к ней как учебному предмету, как к науке. Необходима перестройка форм и методов обучения математике, направленная на продуктивное усвоение школьниками системы ведущих знаний, на эффективное их воспитание и развитие. Сегодня шире используется обучение в сотрудничестве, метод проектов, лекционно-практическая система обучения, а также социальные практики, научно-практические поисковые» работы на страницах книг, журналов и сайтов в Интернете и т.д.

Ученические исследовательские, проектные работы в рамках обучения математике нацелены на развитие познавательной деятельности учащихся и их самостоятельной работы по сбору, обработке и анализу получаемых математических фактов и результатов.

Являясь одним из самых современных методов обучения школьников, метод исследовательских проектов не может не опираться на использование различных информационных технологий и средств информатизации. При этом могут быть задействованы как образовательные электронные издания, так и средства автоматизации вычислений, проводимых в рамках достижения целей проекта. Возможно также использование коммуникационных ресурсов, что дает возможность получения необходимой информации из разнообразных источников, опубликованных во всем мире, предоставляется возможность оперативного обмена информацией и идеями с коллегами (учащимися), а в случае необходимости и со специалистами.

При таком подходе осуществление исследовательского проектирования способствует: повышению мотивации к приобретению новых знаний, необходимых в работе, и овладению умениями решения математических задач, тематика которых связана с тематикой выполняемой работы; развитию самостоятельности в деятельности учащихся; формированию недостающих знаний и навыков, необходимых для выполнения математических и вычислительных заданий; развитию творческих способностей, позволяющих проводить выполнение заданий в соответствии с собственными оригинальными идеями и походами; развитию навыков общения с коллегами относительно решения математических задач; работы в коллективе в интеграции с исследованиями, проводимыми педагогами и другими учащимися.

1.4 Эмпирические методы обучения математике

В рассмотренной ранее классификации методов обучения О.Б. Епишевой отдельную группу составляют эмпирические методы.

К эмпирическим методам познания относятся наблюдение, описание, измерение и эксперимент. Наиболее часто эти методы применяются в естественнонаучных дисциплинах (химии, биологии, астрономии, физике, географии и т.д.).

Эмпирические методы включают следующие виды методов:

1. Наблюдение - целенаправленное восприятие явлений объективной действительности.

2. Измерение - сравнение объектов по каким-либо сходным свойствам или сторонам.

3. Опыт (эксперимент) - наблюдение в специально создаваемых и контролируемых условиях, он позволяет восстановить ход явления при повторении условий.

Далее в п. 1.5. уделим этим методам более пристальное внимание. А в данном разделе дадим им общую характеристику.

Для математики эти методы не являются характерными, поскольку математика не является экспериментальной наукой, и, следовательно, опытное подтверждение не может служить достаточным основанием истинности ее предложений. Это несомненно верно, если под математикой понимать совокупность готовых, уже построенных дедуктивных теорий, но это неверно, если под математикой понимать мыслительную деятельность, результатом которой являются подобные теории. В последнем случае дедуктивная теория лишь одна фаза математики. Но она имеет еще две фазы - предшествующую дедуктивной теории фазу накопления фактов (опытную, интуитивную) и следующую за ней фазу приложений. Эти две фазы независимо от того, считают ли их собственно математическими или около математическими, не менее важны в обучении, чем сама дедуктивная теория: первая - для понимания этой теории, вторая - для ее оправдания.

Русский методист естествознания Александр Яковлевич Герд (1841-1888), сформулировал важные положения обучения: «Все реальные знания приобретены человечеством путем наблюдения, сравнения и опытов, при помощи постепенно расширяющихся выводов и обобщений. Только таким путем, а никак не чтением статей, могут быть переданы эти знания детям. Ученики должны под руководством преподавателя наблюдать, сравнивать, описывать, обсуждать наблюдаемые факты и явления, делать выводы и обобщения и проверять их простыми, доступными опытами на практике» [19]

История развития математики свидетельствует о том, что эмпирические методы сыграли неоценимую роль в зарождении математических знаний, становлении математики как самостоятельной теоретической дисциплины. Школьное обучение математике в определенной мере повторяет ее исторический путь развития. Использование средств наглядности и технических средств обучения, как правило, предполагает применение различных эмпирических методов. Часто имеет место одновременное использование методов наблюдения, измерения и эксперимента. Это помогает избежать пассивной созерцательности, активизировать действия учащихся, вовлечь их в целенаправленную работу по использованию демонстрационных наглядных пособий, приборов, моделей и т.п.

Эмпирические методы служат средствами сбора эмпирического материала и средствами создания эмпирического знания. Множественность эмпирического материала и знания обусловлена:

Во-первых, в окружающей исследователя эмпирической действительности, он непосредственно имеет дело только с множеством многообразных единичных явлений, восприятие которых и составляет исходный материал эмпирического знания. Т.е. объектом научного исследования могут выступать различные явления или множества явлений.

Во-вторых, многообразие обусловлено тем, что сам объект исследования может быть различен у разных исследователей. Точно так же обстоит дело и с предметом исследования: исследуемое явление (эмпирический объект) непосредственно открыто исследователю только во множестве своих единичных сторон и свойств, что и позволяет тому или иному исследователю выбирать в качестве предмета ту или иную сторону явления, что опять же обуславливает многообразие содержания эмпирического знания даже при условии наличия одинакового объекта.

В-третьих, при создании, придумывании эмпирических методов многими учеными-педагогами подчеркивается необходимость творческого подхода и воображения, что также способствует многообразию.

Итак, многообразие эмпирического материала, многообразие выделяемых эмпирических сторон для исследования и многообразие при творческом создании метода - все это обуславливает многообразие содержания, получаемого эмпирическими методами.

1.5 Наблюдение, опыт и измерение в обучении математике и их основные этапы

Понятие метода наблюдения

Ранее в п. 1.4. нами были рассмотрены виды эмпирических методов. Теперь раскроем подробнее их особенности.

Наблюдением называется метод изучения, фиксирования свойств и отношений отдельных объектов и явлений окружающего мира, рассматриваемых в их естественных условиях и в той естественной связи признаков объекта, в какой они существуют в самом объекте.

Необходимо отличать наблюдение от простого восприятия.

Восприятие того или иного объекта представляет собой процесс непосредственного отражения в сознании этого объекта в момент его воздействия на наши органы чувств. Наблюдение за объектом включает в себя восприятие объекта, но не исчерпывается им.

Наблюдение невозможно без фиксирования в памяти и последующего фиксирования в слове (или записи) результатов наблюдения.

Таким образом, наблюдение представляет собой целенаправленное восприятие исследуемого объекта, процесса или явления, в результате которого исследователь получает конкретный фактический материал. Наблюдение проводится обычно по заранее намеченному плану с выделением конкретных объектов наблюдения.

Можно выделить следующие этапы наблюдения:

· определение задач и цели (для чего, с какой целью ведется наблюдение); выбор объекта, предмета и ситуации (что наблюдать);

· выбор способа наблюдения, наименее влияющего на исследуемый объект и наиболее обеспечивающего сбор необходимой информации (как наблюдать);

· обработка и интерпретация полученной информации (каков результат).

Наблюдение - это очень доступный метод, но он имеет свои недостатки, связанные с тем, что на результаты наблюдения оказывают влияние личностные особенности (установки, интересы, психические состояния) исследователя.

Наблюдение свойств, отношений отдельных объектов или явлений окружающего мира осуществляется в их естественных условиях. Если же наблюдение ведется при создании искусственных условий, позволяющих следить за ходом явления и воссоздавать его при повторении этих условий, то такой метод изучения называется опытом или экспериментам.

Опыт - как один из эмпирических методов обучения

Под опытом (экспериментом) обычно понимают такой метод изучения объектов и явлений, посредством которого мы вмешиваемся в их естественное состояние и развитие, создавая для них искусственные условия, искусственно их расчленяя на части и соединяя с другими объектами и явлениями.

Этапы организации опыта:

· Определение задач и целей (для чего проводиться опыт);

· Выбор определённого объекта над которым будет ставиться опыт;

· Создание искусственных, специальных условий для объкта, фиксация результатов;

· Обработка результатов опыта.

Любопытные суждения об «опыте» в его взаимоотношениях с теорией оставил Леонардо да Винчи: «Истолкователем природы является опыт. Он не обманывает никогда; наше суждение иногда обманывается, потому что ожидает результатов, не подтвержденных опытом. Надо производить опыты, изменяя обстоятельства, пока не извлечем из них общих правил, потому что опыт доставляет истинные правила… Люди, занимающиеся… науками… и при этом совещающиеся не с природой, а с книгами, недостойны названия детей природы: я бы назвал их только внуками природы. Она одна учительница истинных гениев… Если я занимаюсь каким-нибудь предметом, я сначала произвожу опыты, а потом делаю выводы и собираю доказательства. Таков метод, которому надо следовать, изучая явления природы» [26].Всякий эксперимент (опыт) связан с наблюдением. Экспериментатор наблюдает за ходом эксперимента, т.е. за состоянием, изменением и развитием объектов и явлений в тех искусственных условиях, в которых они изучаются.

Эти методы занимают центральное положение в так называемых экспериментальных науках (физике, химии). Математика, вообще говоря, не является экспериментальной наукой; если окажется, что какое-либо свойство справедливо в частных или конкретных случаях, математик не будет считать его универсальным.

Поэтому наблюдение и опыт не являются ведущими методами в математическом исследовании. Вместе с тем наблюдение и опыт призваны иллюстрировать некоторое математическое свойство объекта изучения или сам объект, призваны подтверждать, верно или неверно изучаемое свойство. В этом смысле наблюдение и опыт приобретают большое значение для преподавания математики.

Понятие измерения и его значение для развития математики

Измерение - метод, при помощи которого объекты исследования, рассматриваемые как носители определенных отношений между ними и как таковые составляющие эмпирическую систему, отображаются в некоторую математическую систему с соответствующими отношениями между ее элементами.

В качестве объектов измерения могут выступать любые интересующие объекты. При измерении каждому объекту приписывается определенный элемент используемой математической системы. В практике чаще всего используются числовые математические системы, т.е. такие, элементами которых являются действительные числа (отношения между ними, задействованные в процессе измерения, могут быть различными). Однако возможно использование нечисловых систем: частично упорядоченных множеств, графов, матриц и т.д.

В отношения, моделируемые при измерении, объекты вступают как носители определенных свойств. Поэтому вместо термина «измерение объектов» часто используется термин «измерение свойств объектов».

Этапы выполнения измерений:

· Определение задач и целей (для чего выполнять измерение);

· Выбор объекта измерения (что измерять);

· Выбор конкретного измерительного прибора (для непосредственного измерения) или формулы (для косвенного измерения)

· Обработка результатов измерения.

Хорошо известно, что арифметика родилась из счета, а геометрия из измерения. Вопросы измерения были важным элементом научных воззрений древних египтян. В Древней Греции формируется уже проблематика измерения, например, впервые появляется теоретически важное представление о соизмеримых отрезках. Впоследствии это представление переросло в более общее понятие о соизмеримых и несоизмеримых величинах, для которого определяющей стала идея общей меры, т.е. такой величины, которая имеет ту же природу, что и сравниваемые величины, и которая содержится целое число раз в каждой из них. Естественно, что возникновение представлений о соизмеримости и несоизмеримости оказалось неотделимым от развития понятия о числе: для измерения величин в общем случае требуются только натуральные и даже не только рациональные, но и иррациональные числа.

1.6 Опыт, интуиция и логика при обучении математике

Проследим, какое место занимают эмпирические методы (опыт и наблюдение) в изучении школьной математики и как они влияют на формирование интуиции учащихся. Охарактеризуем важность логического обоснования эмпирических фактов.

Опыт и наблюдение являются самыми надежными источниками знаний и основанием для заключений в обучении математике учеников младших классов.

Почти все арифметические законы выводятся в результате рассмотрения конкретных примеров и опытных преобразований; свойства уравнения выводятся на основании рассмотрения числовых примеров, начала курса геометрии в VII классе изучаются преимущественно опытно-интуитивным путем. Математическая интуиция, догадка, основанная на зрительных впечатлениях и на некотором уже накопленном запасе знаний, занимает значительное место в обучении математике учащихся средней школы.

Способность детей догадываться о некоторых математических законах развивается по мере накопления опыта, зрительных впечатлений, знаний.

Перед учителем всегда стоит задача воспитать у школьников правильное отношение к заключениям, полученным из опыта и на основании интуиции. В соответствии с возрастными особенностями учеников учитель должен показать им, что эти источники знания могут привести к неверным суждениям даже в том случае, когда суждение вынесено после рассмотрения многих аналогичных фактов.

Опыт, наблюдения и интуиция помогают делать предположения, строить гипотезы, которые иногда верны, но иногда опровергаются последующими исследованиями. Логические рассуждения во многих случаях непосильны для детей, потому-то многие математические законы в курсе VI-IX классов выводятся на основании наблюдения и опыта.

Неполноценность математических заключений на основании опыта и интуиции в средних классах учитель может иллюстрировать.

Так, например, на основании того, что 2⁴ = 4², нельзя сделать заключения о переместительном законе возвышения в степень или на основании того, что =; =; = =.

нельзя установить правило сокращения дробей с помощью зачеркивания одинаковых цифр в числителе и знаменателе.

Недостаточность заключений, основанных на зрительных восприятиях, легко иллюстрируется примерами «зрительных обманов», которые учитель найдет во многих сборниках «Математических развлечений».

Эти примеры могут служить, конечно, только для начального воспитания правильного отношения к наблюдениям, опыту и интуиции. Надо довести до сознания учащихся, что только логика позволяет прийти к неоспоримым заключениям и выводам. Но понимание этого приходит к учащимся не так просто и быстро, его можно добиться систематической работой на протяжении нескольких лет.

В программе по геометрии прямо указано, что особое внимание должно быть уделено воспитанию у детей потребности в логических доказательствах.

Для иллюстрации отношения экспериментального и логического методов в начале систематического курса геометрии 7 класса приводим описание изучения отдельных фрагментов этого курса. Применяемая методика характеризуется следующими особенностями:

а) при введении новых понятий и установлении новых

истин широко применяется эксперимент - специально постав-

ленный опыт в виде практической работы, выполняемой всеми

учащимися;

б) результаты опыта служат посылками для обнаружива-

ния индуктивным путем общих закономерностей;

в) некоторые из обнаруженных экспериментально

свойств могут быть получены с помощью рассуждений из

других свойств, что сокращает эксперимент;

г) ведется разъяснение значения и недостаточности опыта,

индуктивных выводов, что постепенно подводит учащихся

к пониманию необходимости логического, интуитивного доказательства;

д) разрабатывается эксперимент, подсказывающий идею

логического доказательства, или же само логическое доказа-

тельство проводится в виде эксперимента.

Приведём описание изучения свойств равнобедренного треугольника, используя опыт, логику и интуицию.

Учащимся предлагается начертить равнобедренный треугольник, провести в нем с помощью транспортира биссектрису угла при вершине, опустить с помощью чертежного треугольника высоту на основание, разделить с помощью линейки со шкалой пополам основание и провести медиану.

У большинства учащихся обычно биссектриса, высота и медиана совпадают, однако у некоторых учеников эти линии очень близки или совпадают только две линии.

Создается удобная ситуация для того, чтобы обратить внимание учащихся на значение и недостатки опытного подтверждения свойств фигур.

Проведенный опыт приводит учеников к открытию важного свойства равнобедренного треугольника. Но можно ли на основании этого опыта утверждать, что во всяком равнобедренном треугольнике имеет место это свойство? Ведь у некоторых учеников опыт не подтвердил наличие этого свойства. Те, у которых линии совпали, утверждают, что у них правильно проведены эти линии, те, у которых линии не совпали, утверждают, что у них тоже все правильно. Кто же прав? На основании проведенного опыта можно делать предположение о наличии указанного свойства в любом равнобедренном треугольнике. Это предположение станет утверждением, т.е. истинным высказыванием, в том случае, если мы сможем его доказать, установить наличие указанного свойства в любом равнобедренном треугольнике с помощью рассуждений (доказательства), исходя из ранее известных истин. Как провести это доказательство, подскажет опыт.

Учащимся предлагается согнуть вырезанный из бумаги равнобедренный треугольник АВС так, чтобы равные стороны АВ и ВС совпали (рис. 1). Отмечается, что два треугольника, на которые линия сгиба ВD разделила треугольник AВС, полностью совпадают.

Таким образом устанавливают, что линия сгиба ВD является осью симметрии треугольника AВС.

Задаются следующие вопросы. - Какие углы совпали при сгибании треугольника? Чем является ВD для угла В треугольника АВС? Какие отрезки совпали при этом сгибании? Чем является отрезок ВD для треугольника АВС (исходя из того, что отрезки АD и СD совпали)? Что следует о расположении прямых АC и BD.из того, что точни А и С симметричны относительно ВD. Приходят к выводу, что: а) ось симметрии рис. 1 равнобедренного треугольника является биссектрисой угла при вершине и на ней лежат высота и медиана, проведенные из этой вершины, и б) углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Возникает вопрос, нельзя ли доказать это свойство, не прибегая к сгибанию треугольника? Проведенный опыт показывает, что биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника является осью симметрии этого треугольника и тем самым подсказывает идею доказательства. Проведем биссектрису ВD угла В при вершине. Она является осью симметрии угла В (это учащиеся уже должны знать из предыдущего), и так как АВ = ВС, то отрезки АВ и ВС симметричны относительно ВD, следовательно, и точки А к С симметричны, поэтому АD = DС и ВD перпендикулярно АD. Углы при основании также симметричны относительно ВD и, следовательно, равны.

1.7 Особенности математического мышления учащихся и роль эмпирических методов в развитии его качеств

Возможность использования на уроках математики эмпирических методов зачастую зависит от возрастных особенностей учащихся. Нами уже говорилось ранее, что использование метода наблюдения, измерения и опыта может вызвать большой интерес у учащихся к изучению математики, а так же показать связь данной дисциплины с другими науками. Но не всегда в каждом классе будет уместен тот или иной метод, например, в младших классах больший интерес вызовет наблюдение за тем или иным объектом, а вот, например, в классах по старше большую роль играет эксперимент (опыт).

Перейдём подробнее к характеристике математического мышления школьников.

В процессе эволюции науки математики и методики математики естественно изменилось то содержание, которое вкладывалось в понятие «математическое мышление», существенно возросла роль проблемы развития мышления в процессе обучения математике.

Известно, что между системой обучения и ходом умственного развития учащихся существует тесная взаимосвязь, подчиняющаяся определенным закономерностям, поиски которых являются в настоящее время одной из центральных проблем педагогической психологии.