Графы в обучении математике

Оформление записи решения также играет немаловажную роль. Оно прежде всего должно быть наглядным. При традиционном словесно-символическом оформлении решения учащимся трудно увидеть его жесткий стержень, скрепляющий все решение в единое логически завершенное целое. Но видение учащимися самого процесса решения в его развитии и в целом очень важно для формирования их воображения. Как говорят, видение рождает мышление. Научив видеть ход решения задач как в его непосредственном рождении, так и в итоге, нетрудно сформировать у учащихся представление о взаимосвязи между различными понятиями всего курса и пониманием особой значимости этих взаимосвязей.

Весьма популярным методом, позволившим сделать доказательство более наглядным, является метод граф-схем. Он чаще всего применяется при изучении теоретических вопросов и при решении задач.

Самый бросающийся в глаза признак прогресса в решении задач - это появление все новых и новых подробностей на графической иллюстрации решения. По мере того как решающий успешно продвигается вперед, на геометрических фигурах и на диаграмме связей возникают все новые и новые линии. За все увеличивающейся сложностью чертежа мы должны ощущать развитие мысленных построений решающего. С каждым новым шагом он включает в работу новые относящиеся к делу сведения; он узнает на изучаемом рисунке какую-то знакомую конфигурацию, применяет некоторую известную ему теорему. Таким образом, умственная работа решающего представляет перед нами как воскрешение относящихся к делу элементов его опыта, как связь этого опыта с решаемой задачей, как мобилизационная и организационная работа.

Итак, рассмотрим это подробно.

Пример 1. Если прямая линия проходит через точку пересечения двух данных прямых и перпендикулярна им обеим, то она перпендикулярна и любой третьей прямой, лежащей в той же плоскости, что и данные две прямые, и проходящей через точку их пересечения.

Построим фигуру, введем нужные обозначения, а затем придадим стандартную форму предложению, которое мы собираемся доказать, расчленив его на условие и заключение.

Условие. Три отрезка ОА, ОВ и ОС пересекаются в одной и той же точке О, лежат в одной и той же плоскости и не совпадают друг с другом; кроме того, РО ОА, РО ОВ. Заключение. РО ОС.

Следующее поэтапное построение и разбор рисунка позволяет составить граф-схему для доказательства соответствующего предложения/

Пример 2. Найти объем V правильной четырехугольной усеченной пирамиды, если даны ее высота h, сторона а верхнего основания и сторона b нижнего основания.

В начале нашей работы имелся некоторый элемент неопределенности. На каждом новом этапе мы надеялись, что следующий шаг приведет нас к желаемой цели, к ликвидации разрыва между неизвестным и данным. Мы так предполагали, но не были в этом уверены; на каждом этапе нам нужно было изобретать (без полной уверенности в успехе) следующий шаг. Теперь же выдумка больше не нужна, неуверенность исчезла; мы ясно видим, что сможем благополучно достичь неизвестного V, отправляясь от данных а, h и b и следуя по нитям непрерывных связей, представленных на рис.5.

Каждая линия связи на этом рисунке снабжена стрелкой, указывающей направление, в котором эта связь была использована. Мы начинали с данных величин, а, h и b и продвигались через вспомогательные неизвестные х, А и В по направлению к первоначальному, основному неизвестному V, выражая эти количества, одно за другим, через данные величины.

Рис.5

Пример 3. Определить площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 10 см и 26 см, а диагонали перпендикулярны к боковым сторонам (рис.6).

Дано: АВСД-трапеция, АВ=СД, АС СД, ВД АВ, ВС=10 см, АД = 26 см. Найти: S

Анализ: В соответствии с приемом выявления структуры задачи сначала необходимо установить основное отношение, реализованное в задаче. В данной задаче искомое находят по формуле S = Ѕ (ВС + АД) х ВЕ.

Выполним аналитический поиск решения данной задачи:

1) S = Ѕ (ВС + АД) х ВЕ, где ВС и АД известны, ВЕ неизвестно;

2) ВЕ = , где АВ и АЕ неизвестны;

3) АВ2 = АЕ х АД, где АЕ неизвестно, АД известно;

4) АЕ = Ѕ (АД - ВС), где АД и ВС известны.

Рассмотрим другой путь поиска решения задачи:

1) S = Ѕ (ВС + АД) х ВЕ, где ВС и АД известны, ВЕ неизвестно;

2) ВЕ2 = АЕ х ЕД, где АЕ и ЕД неизвестны;

3) АЕ = Ѕ (АД - ВС), где АД и ВС известны;

4) ЕД = АД - АЕ, где АД известно, АЕ неизвестно, не было определено выше на 3-м шаге поиска решения.

Поиск решения задачи закончен.

Выявленные структуры задачи показывают, что она является задачей с переменной структурой и, следовательно, имеет не менее двух способов решения.

Выше было отмечено, что у учителя математики имеется теперь возможность ранжировать задачи по степени сложности. Так, при составлении систем упражнений для фронтальной, коллективной, групповой и индивидуальной форм деятельности учащихся на уроке задачи могут предлагаться учащимся с учетом постепенного возрастания их сложности.

Остановимся на приеме применения восходящего анализа к поиску решения геометрических задач на вычисление. Он содержит следующую последовательность действий:

1) записать формулу (в обозначениях чертежа) для нахождения искомого задачи;

2) в этой формуле выявить неизвестные величины, которые достаточно определить, чтобы найти искомое;

3) для каждой неизвестной величины, входящей в исходную формулу, подобрать формулы для нахождения этих величин (последовательно для каждой величины);

4) процесс поиска завершить в тот момент, когда:

а) для последовательности неизвестных величин, участвующих в поиске решения задачи, будут указаны формулы их нахождения;

б) для последней неизвестной величины (в этой последовательности) указана формула, в которой неизвестные величины определяются данными задачи.

Прием аналитико-синтетического поиска решения геометрических задач фактически аналогичен соответствующему приему поиска решения текстовых алгебраических задач.

Также метод граф-схем используют, когда проводят самостоятельные, проверочные или контрольные работы. Для этого используют карточки-задания, которые имеют вид готовой схемы. В них дается следующая информация: чертеж, утверждение, которое нужно доказать, условие задачи и последовательность логических связок в виде незаполненных клеточек-ячеек, которые соединены стрелками. Данная схема представляет собой каркас решения.

При оформлении карточек необходимо придерживаться следующих правил:

1) данные заносить в схему в том порядке, в каком они упомянуты в тексте задачи;

2) ячейка или клеточка, стоящая в схеме не на первой полосе, заполняется дополнительной информацией, не заданной явно в условии и полученной в процессе решения;

3) конец схемы содержит доказываемое утверждение.

Учащиеся последовательно заполняют клеточки посылками и заключениями силлогизмов, составляющих решение, и после этого устно подробно разъясняют каждое звено логических цепочек, которые для удобства пронумерованы. В своих комментариях учащиеся указывают, какие определения, аксиомы и теоремы они использовали в той или иной логической связке. Комментарии учащиеся позволяют учителю проверить не только умение решать задачи, но и теоретические знания, а также умение переходить от схематической формы рассуждения к словесной.

Рассмотрим образец такой карточки-схемы для проведения самостоятельной работы при решении следующей задачи:

«Треугольник АДЕ равнобедренный, ДЕ - основание. Докажите, что если ВД = СЕ, то и АВ = АС”.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Отметим в заключение, что использовать графы в процессе обучения можно, даже не читая специальных курсов и факультативов. С одной стороны, графовые задачи, без сомнения, нужно использовать для развития сообразительности учеников на математических кружках, при подготовке к олимпиадам. С другой стороны, использование графов как языка на уроках алгебры, геометрии, информатики поможет решать методические задачи обучения математике и повысить качество этого обучения.

Литература

1. Асеев Г.Г., Абрамов О.М., Ситников Д.Э. Дискретная математика: Учебное пособие. - Ростов н/Д: Феникс, Харьков: Торсинг, 2008. - 144 с.

2. Атанасян Л.С. и другие. Геометрия. Учебник для 7-9 классов средней школы. - М.: Просвещение, 1990.

3. Березина Л.Ю. Графы и их применение.-М., Просвещение, 1979.-143 с.

4. Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности: кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1990 - 128 с.

5. Канин Е.С. К изучению соответствия и функции в VI классе // Математика в школе. - 2009. - №5.

6. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л. и другие. Методика преподавания математики. - М.: Просвещение, 1977.

7. Мельников О.И. Графы в обучении математике // Математика в школе. - 2003. - №8.

8. Мешкова И.А. Графовая модель поиска рационального решения // Математика в школе - 2007. - №1.

9. Оре О. Теория графов. М., Наука, 1968. - 352 с.

10. Погорелов А.В. Геометрия. Учебник для 7-11 классов средней школы. - М.: Просвещение, 1990.

11. Пойа Д. Математическое открытие. - М.: Наука, 1970.

12. Столяр А.А. Методы обучения математике. - Минск: Высшая школа, 1966.

13. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н., Стеценко В.Я. Как научиться решать задачи. - М.: Просвещение, 1979.

14. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. - М.: Просвещение, 1983.

15. Хабибуллин К.Я. Граф-схемы в геометрических задачах // Математика в школе. - 2009. - №4.

Размещено на Allbest.ru