Методика изучения занимательных задач по теории графов на занятиях математического кружка в 7-8 классах

Подростковый возраст, согласно многим периодизациям, определяется отрезком жизни человека от 11-12 до 14-15 лет - период между детством и юностью. Он является одним из наиболее кризисных возрастных периодов, т.к. связан с бурным развитием всех ведущих компонентов личности и физиологическими перестройками, а так же половым созреванием.

Ученики средних классов и являются контингентом подросткового возраста. Обучение и развитие школьников в средней школе сильно отличается от обучения и развития в младшей школе. Такая специфичность обусловлена «кризисностью» самого возраста, а так же появлением новых предметов, учителей и т.д.

Подростковый период как правило делится на две фазы: негативную (собственно критическую) - это период младшего подросткового возраста (11-13 лет), и позитивную - это период старшего подросткового возраста (13-15 лет).[6]

Социальный статус подростка не меняется в этом возрасте. Все подростки, как и прежде, продолжают учиться в школе, остаются по прежнему зависимы от государства и родителей. Однако отличия находят место во внутреннем содержании. Меняется мировоззрение, акценты расставляются иначе. Школа, семья и социум приобретают новый смысл для подростка.

Подростки, как правило, начинают себя сравнивать со взрослыми. И, приходя r выводу о том, что различия между ними и взрослыми не так уж велики, начинают претендовать на равноправие в отношениях со старшими. Отстаивая свою «взрослую» позицию подростки часто выходят на конфликты со старшими. «Взрослая» позиция подростка чаще всего проявляется в манерах и внешнем облике. Объективно до действительной взрослости подросткам, конечно, далеко. Не только физически, но так же психологически, социально и во многих других аспектах. Такая субъективная взрослость и считается новообразованием младшего подросткового периода.

Важным показателем чувства взрослости у подростков является наличие определенных взглядов, собственной линии поведения, оценок и их отстаивание, несмотря на несогласие взрослых.

К старшему подростковому возрасту происходят некоторые изменения. Взрослый начинает играть роль наставника. В школьных учителях подростки начинают видеть не только личностные качества, но и профессионализм.

Часто в подростковом возрасте мы сталкиваемся с тем, что взрослые, а чаще всего родители, не готовы принять такое стремление к взрослости.

В связи с этим частое явление в подростковом возрасте - это отчуждение от взрослых. Более авторитетными для подростка становятся сверстники. В своей среде, взаимодействуя друг с другом, подростки учатся рефлексии на себя, а так же развиваются навыки взаимопонимания, взаимодействия и взаимовлияния.

В этот период очень важна обстановка в семье. Авторитарное воспитание приводит к тому, что подросток порой демонстрирует свою свободу неуважительными методами и способами по отношению к окружающим, т.к. чувствует свою безнаказанность. Ребенок, воспитанный в попустительской среде более всего подвержен влиянию из вне. Попав в плохую компанию есть большой риск того, что ребенок будет подвержен ее влиянию. [45]

Демократический тип воспитания лучше всего будет влиять на формирования личности подростка и его отношения со сверстниками. Он способствует воспитанию самостоятельности и ответственности.

Итак, к 13-15 годам подросток становится более взрослым, ответственным. Происходит дифференциация дружеских компаний. Для человека перестают быть «друзьями» вся, кто его окружают. Дружеские связи начинают формироваться на основе интеллектуальной и эмоциональной близости людей.

Далее для подростка школа и обучение отходят на второй план. В возрасте отрочества для человека, куда большую значимость имеют взаимоотношения со сверстниками.

В то время, как подросток придает больше значение общению, он не игнорирует учебную деятельность. Скорее наоборот, интерес к обучению переходит на другой уровень. Для подростков становятся более привлекательными самостоятельные формы занятий. Так они чувствуют себя более взрослыми, и это мотивирует их к учению.

Стимулом для младших подростков является признание сверстников, а так же, положение в классе. Оценки в этом возрасте по прежнему имеют для них большое значение.

В старшем отрочестве подростки нуждаются в профессиональном самоопределении, это связано с тенденцией этого возраста - найти свое место в жизни. Исходя из этого, стимулом к учению может выступать и истинный интерес к предмету, и необходимость знания определенных предметов для поступления в ВУЗы или колледжи.

В подростковом возрасте подросток приобретает способность к гипотетико-дедуктивным рассуждениям. Именно этим характеризуется развитие интеллекта. Учителя и родители должны понимать на сколько этот феномен значим для дальнейшего развития личности. Это связано с тем, «что он совпадает с периодом развития самосознания. В это время подростки и юноши начинают активно интересоваться проблемами общения, самосовершенствования, поиска смысла жизни, социальной справедливости и т. д. Нередко они выходят на уровень анализа вечных философских истин, не находя решения вопросов, стоящих перед ними»

Подростки становятся склонны к самонаблюдению, так происходит развитие рефлексии. Именно на основе рефлексии развивается самосознание.

Характерно для такого возраста и чувство одиночества. Это связано с формированием «Я концепции» и « образа Я». Мысли о своей индивидуальности и уникальности порой приводят к обостренному чувству одиночества. Тем не менее, это важнейший этап самопознания.[36]

Интересы в подростковом возрасте еще неустойчивы и разноплановы, но происходит их развитие. Проявляется сенсорная жажда. Это потребность в получении новых ощущений. С одной стороны такая жажда способствует развитию любознательности, с другой - быстрому переключению с одного дела на другое при поверхностном его изучении.

Как правило, интересы, появившиеся в этом возрасте у учащихся, не превращаются в долгие увлечения, однако, и тут есть исключения. Очень важно в этот период поддерживать начинания и интересы подростка.

Раздражительность и повышенная возбудимость - неотъемлемая часть подросткового периода. Особенно характерно такое поведение для младших подростков, которые находятся в пубертатном периоде. Подростки особое внимание обращают на свою внешность. Важной задачей является не развить в ребенке комплексы в этом возрасте и не нарушить часть психосексуального развития.

Подытоживая сказанное ранее можно сказать, что подростковый возраст

– очень непростой период жизни ребенка, период формирования мировоззрения человека, формирование взглядов на самого себя и других людей. В этот период совершенствуется самопознание и самооценка. По мнению многих психологов, самооценка является нообразованием, а ведущая деятельность этого возраста - общение. Важным становится положение в коллективе, из-за недопонимания в семье часто возникают конфликты, а сверстники становятся более авторитетными. Подросток пытается понять, каков он среди других, чем поход и чем отличается.

Психологические задачи подростков этого возраста могут быть определены как задачи самоопределения в трех сферах: сексуальной, психологической (интеллектуальной, личностной, эмоциональной) и социальной. [35]

Проблемы такого возраста могут быть связаны с поиском путей удовлетворения таких потребностей, как:

· физиологической потребности;

· потребности в безопасности;

· потребности в независимости и эмансипации от семьи;

· потребности в привязанности;

· потребности в успехе, в проверке своих возможностей;

· потребности в самореализации и развитии собственного Я.

Психолого-педагогические аспекты изучения теории графов в основной школе

Теория графов - одна из молодых областей дискретной математики и носит прикладную направленность, что позволяет на простых примерах показать учащимся, как можно применять теорию графов в решении прикладных задач. Применение теории графов часто упрощает расчеты и повышает производительность. Поэтому применяется она в разных областях. В биологии, химии, психологии, экономике и многих других отраслях.

Понятие «граф» довольно тесно связано с многими основными понятиями, на которых строятся в том числе и школьные знания математики. [26]

Графы используются для наглядности решения и изображения порядка вычисления, а так же для того, чтобы сформировать у учеников представление о действии, обратном данному.

Графы используются не только в математике, но и для описания схем организаций, логических возможностей, классификаций, а так же в биологии, химии, географии и других предметах.

Использование графов имеет естественную тенденцию к развитию. Применение графов помогает развитию абстрактного и творческого мышления, способствует умению наглядно мыслить.

Одним из основных в современной науке является понятие модели. Многие объекты и ситуации могут быть представлены в виде графовых моделей: схемы электрических и электронных приборов, коммуникационные сети, химические молекулы, отношение между людьми и др.

Язык графов отличается простотой и понятностью, он очень естественный. Мы часто используем графы, но не догадываемся или не задумываемся над этим. Графы могут выступать отличным средством для знакомства школьников с построением моделей. Еще до того, как ученики познакомятся с понятием модели, их можно учить строить простейшие модели с помощью графов.

Таким образом, с помощью теории графов учащихся можно познакомить с таким важным способом познания, как моделирование.

Построение и изучение графовых моделей может помочь структурировать полученные знания и избежать формализма.

Использование графических изображений помогает прочному усвоению знаний. Например, некоторые теоремы, определения и свойства некоторых объектов можно изобразить вершинами графа, а взаимосвязи между ними - его ребрами. Это способствует лучшему запоминанию.

Графовые задачи помогают улучшить логическое мышление. Представляя объекты в наглядной форме, графы помогают лучше запоминать и усваивать новые знания, а так же устанавливать связь между ними.

Схемы и графы помогают ученикам не только выявлять связь между объектами, но и искать более рациональные пути решения задач, помогают научиться не только усваивать знания, но и применять их, что способствует развивающему характеру обучения.

Графы, используемые при решении задач, помогают ученикам осознать смысл проблемной ситуации, а затем найти возможный путь решения. математические связи и зависимости приобретают для учеников наглядный смысл, а в процессе их использования происходит углубление, закрепление и развитие математических способностей учащихся.

Графы могут изображать элементы и отношения между ними. Их можно рассматривать как средство наглядности, применяющееся при решении задач. Такое представление способствует развитию абстрактного мышления.

Таким образом, наглядность рассматривалась в качестве временной опоры для развития абстрактного мышления.

В дальнейшем наглядность нужна уже для другой цели - для развития более сложных форм конкретного мышления.

«Учитель должен так организовать учебный процесс, чтобы заинтересовать ученика, привить ему интерес к предмету».

Преимуществами графовых задач является то, что они допускают изложение в игровой, а так же занимательной форме. [26]

Точность и аккуратность при выполнении рисунков и схем имеет не только учебное значение, а так же воспитательное. Это важно, учитывая, что обучение самым тесным образом связано с воспитанием. Аккуратное выполнение схем и рисунков способствует эстетическому воспитанию детей, стимулирует поиск рациональных решений, повышает внимание. Ко всему прочему графические упражнения несут для детей меньше утомляемости, нежели устные и письменные вычисления.

На уроках не всегда есть возможность строить графы. Как правило из за отсутствия достаточного количества времени. Однако эта деятельность остается полезной и может быть реализована как дома, так и на внеклассных занятиях.

Применение графов в решении задач способствует повышению внимания, т.к. мыслительная деятельность сопровождается соответствующей моторной деятельностью, а объекты, которыми мы оперируем, воспринимаются зрительно.[26]

Подводя итог, можно сказать, что элементы теории графов помогают решить сразу несколько важных задач школьного образования.

С помощью графов есть возможность облегчить ученикам в дальнейшем изучение математики, информатики и других предметов. Изучение теории графов способствует повышению логического мышления, а так же умственному развитию, приучает их к самостоятельной работе и самоконтролю, развивает их воображение.

§3. Роль кружковой работы как одной из форм внеурочной деятельности учащихся

Для того, чтобы к 14-15 годам у ученика сформировался устойчивый интерес к математике, нужно, чтобы ученик в 7-8 классе начал всерьез заниматься математикой и почувствовал радость от решения нестандартных задач.

Организация внеклассной работы - это неотъемлемая часть учебно- воспитательной работы в школе. Одной из таких форм работы является кружковая деятельность. Кружковая деятельность имеет большое воспитательное значение. Такая деятельность оказывает влияние на развитие творческих способностей, развивает логическое мышление, углубляет знания, полученные на уроке, расширяет общий кругозор ребенка. [59]

Содержание и формы работы предметных кружков зависят от специфики учебного предмета, уровня знаний и возраста учащихся (обычно в предметные кружки входят учащиеся одной параллели, иногда разных, но примерно с одинаковой подготовкой). Программа работы предметных кружков включает в качестве основных вопросы, дополняющие и углубляющие, но не дублирующие школьный курс.

В кружок объединяются дети одного возраста и с одинаковыми интересами. Как правило, в один кружок определяются дети с примерно одинаковым уровнем подготовки.

Формы и методы организации отличают кружковую работу от учебной. В кружковой деятельности могут присутствовать элементы соревнования или игры.

Тематика и содержание кружковых работ обычно отражают новейшие достижения науки, техники, искусства.

Кружковые занятия могут проходить в самых разнообразных формах, в форме бесед, рефератов, докладов, экскурсии и походов, лабораторных и практических работ, изготовления моделей и приборов, опытов и наблюдении, соревновании, участия в конкурсах и массовых выступлениях.

Кружковая работа будет более эффективной, если будет носить общественно полезный характер. Высшей формой кружковой работы являются разнообразные детские и юношеские клубы.

В работе кружка огромное значение имеет занимательность материала и систематичность его изложения. Занимательность как ни что другое повышает интерес к предмету и способствует осмыслению. Систематичность изложения материала может быть направлена на общее умственное развитие учащихся.

Математический кружок - одна из наиболее действенных и эффективных форм внеклассных занятий. В кружок дети записываются добровольно.

Как правило, кружковые занятия организуются для хорошо успевающих учащихся. Однако иногда и отстающие ученики проявляют большой интерес к тому или иному кружку, учителю не следует этому препятствовать, а скорее наоборот, более внимательно относиться к таким ученикам и укреплять проявившийся интерес. Кружок должен быть доступен всем желающим.[59]

При организации кружка важно заинтересовать учащихся, акцентировать внимание на том, что работа в кружке - это не очередное занятие в классе, а увлекательная работа, которая приближена больше к досугу, нежели к процессу обучения.

На первом занятии необходимо рассказать ученикам о содержании предстоящей деятельности, выбрать старосту, назначить ответственных, определить правила членов кружка. Это делается для того, чтобы показать отличия от классных занятий и для создания дружеской, но ответственной атмосферы.

Важной особенностью кружка является атмосфера обмена мнениями и активная дискуссия. Для этого хорошо подходят задания в виде подготовки сообщений, докладов и рефератов. Выполнение таких заданий способствует развитию самостоятельности, самоорганизации. Однако индивидуальное задание должно иметь ценность для всех учащихся, быть интересным и познавательным.

Кружковые занятия разумно проводить 1 раз в неделю по 1 часу. [59]

В кружковых занятиях не обязательно много времени уделять формализации знаний и огромным доказательствам. В таких лекциях большое место занимает история, примеры из современной жизни и производства. Достаточно, чтобы дети усвоили основные факты и понятия. Вся дальнейшая работа будет направлена на применение знаний и методов решения задач, а не на зазубривание правил и теорем.

При проведении лекции возможны беседы с учениками, обсуждение возникающих по ходу рассказа вопросов, постановка задач и др. Желательно учащимся давать больше инициативы, больше возможностей высказывать свои суждения. Надо учесть, что иногда ошибочные рассуждения и их опровержения, тренировка в «разговоре» на математические темы дает учащимся больше пользы, чем изложение учителем готовых решений.[59]

Важно не навязывать ученикам свое решение, а напротив поощрять их за нестандартные подходы к рассуждению и решению. Это нужно учитывать в проведении не только внеурочных занятий.

Основной отличительной особенностью кружковой работы является принцип добровольности вовлечения в работу.

На кружковых занятиях школьников обязательно надо учить ориентироваться в незнакомых ситуациях и областях, решать задачи на незнакомые темы.

Т.к. основная задача кружковой работы - развитие творческого подхода, то нецелесообразно на занятиях кружка проводить систематическое повторение ранее пройденных вопросов.

К занятию учителю необходимо тщательно готовиться. Следует обдумывать план каждого занятия кружка, учитывая разнообразие методов работы с учащимися.

Творческому учителю самому составить систему занятий в математическом кружке не так уж сложно, важно правильно отобрать и распределить материал, а так же прививать интерес к математике, развивать творческие математические способности школьников.

Математический кружок - одна из наиболее эффективных и действенных форм внеклассных занятий.

Индивидуализация обучения математике не означает отказ от коллективной деятельности учащихся в процессе обучения. Основными целями индивидуализации обучения любому учебному предмету, и в частности математике, следует считать:

1. Развитие и использование индивидуальных качеств личности школьника в обучении.

2. Развитие и использование познавательных интересов каждого школьника в обучении.

3. Развитие и использование интеллектуальных способностей и талантов каждого школьника в обучении.

4. Оптимальное развитие способностей к обучаемости у каждого школьника.

5. Подготовка к сознательному выбору профессии.

6. Развитие у каждого школьника навыков самостоятельной учебной деятельности.

Для того, чтобы успешно это осуществить, полезно применять определенную систему тестовых упражнений, имеющих целью проверить:

· уровень обучаемости;

· умение самостоятельно работать;

· умение читать с пониманием и нужной скоростью учебный текст;

· способность к сообразительности;

· уровень развития того или иного компонента математического мышления;

· познавательные интересы и т. п.

На кружке можно уделить этому достаточное время, в то время как на уроке для этого значительно меньше возможностей из-за необходимости следовать четкому плану. На кружковых занятиях можно в большей степени индивидуализировать обучение путем беседы, разными творческими заданиями каждому конкретному ученику в зависимости от его увлечений, способностей и возможностей и др. Кроме того, в рамках проблемного обучения является эффективной и групповая работа учащихся. В рамках кружка её целесообразно организовать. [20],[59]

Кружковые занятия направлены мотивировать учащихся на изучение математики, особенно это актуально при проведении занятий в 7-8 классах.

§4. Методика использования занимательных задач в ходе внеурочной деятельности учащихся

Место и роль занимательного материала рассматривается с разных позиций относительно истории развития методики формирования математических представлений.

В начале нынешнего столетия занимательный материал включался в общие сборники по занимательной математике. Указывалось на возможность использования его с целью подготовки детей к обучению в школе, развития смекалки. Но это то, что касается подготовки к школе. Занимательность задач в таком возрасте очень сильно привлекает детей и уже тогда дает задатки интереса к предмету. Не стоит забывать, что прививать интерес к предмету и в целом к обучению следует продолжать на протяжении всего обучения, а не только в дошкольный период.[19]

Любая задача на смекалку несет в себе определенную умственную нагрузку, на какой бы возраст она не была рассчитана. Как правило, такие задачи имеют яркий сюжет.

Развитие находчивости, смекалки, инициативы происходит в активной умственной деятельности, основанной на интересе.

Игровые элементы, которые содержатся в задаче, придают занимательность этому материалу.

Например, в вопросе: "Как с помощью двух палочек сложить на столе квадрат?" - необычность его постановки заставляет ребенка задуматься в поисках ответа.

Многообразие занимательного материала - задач, игр, головоломок, дает основание для их классификации.

Классифицировать занимательный материал можно по разным признакам:

· по содержанию и значению;

· по характеру мыслительных операций;

· по признаку общности;

· по направленности на развитие тех или иных умений.

Занимательные задачи интересны для детей. В ходе заданий и упражнений с занимательным математическим материалом ученики овладевают умением вести поиск решения самостоятельно. А процесс решения, поиска ответа, невозможен без активной работы мысли.

Решение нестандартных задач способствует формированию и совершенствованию общих умственных способностей, таких как: логика мысли, рассуждений и действий, гибкость мыслительного процесса, смекалка и сообразительность, пространственное представление. Эти навыки важны в не зависимости от возраста учащихся.

В обучении школьников нестандартная задача может выступать в роли проблемной.

В сборниках занимательной математики представлены математические развлечения: числовые курьезы, головоломки игры на пространственное преобразование, лабиринты, и др. Они отличаются необычностью решения, парадоксальностью результата.

Математическими считаются игры, в которых могут быть смоделированы математические построения, а так же отношения и закономерности.

Для нахождения решения необходим предварительный анализ условий задачи или игры. А вот уже в ходе решения требуется применение математических методов и умозаключений.

Повышению интереса к учебе и знаниям и формированию дружного коллектива способствует использование такого вида учебного процесса, как внеклассные мероприятия. Видов внеклассных мероприятий существует большое множество. Самые популярные - это как правило широко известные игры: КВН, Звездный час, Своя игра, Брейн-ринг, Поле чудес, Слабое звено и т.д.

Игра «Звездный час» проводится в рамках предметных недель в школе. Данная игра позволяет использoвать выступления ребят, при этoм учащиеся обязаны получить знания, навыки и умения по организации и поиску информации, которая потрeбуется для представления данной темы.

Новые информационные технологии могут дать возможность применять в обучении всё новые и новые формы работы. К примеру, самостоятельная подготовка доклада в форме презентаций повышает уровень заинтересованности учащихся. Если использовать элементы игры, то можно повысить мотивацию познавательной деятельности, внимательность учащихся к прослушиванию докладов и выступлений. Так удается проверить и закрепить полученные знания.

Такая игра как КВН будет интересна для всех возрастов учащихся. Как правило, КВН проводится во внеурочное время. Во время подготовки проведения КВНа следует ответственно отнестись к организации и продумать следующие моменты:

· количественный состав команд, оформление команд;

· оформление помещения;

· счетная комиссия, ее состав, обязанности;

· состав жюри и порядок его работы;

· система оценок каждого конкурса;

· оформление итогов конкурса.

Игра «Счастливый случай» направлена на повышение уровня математического мышления, а так же на стимуляцию и углубление теоретических знаний. Она способна пробудить интерес к математике, расширить кругозор, воспитать стремление к совершенствованию своих знаний, а также является одним из способов организации свободного досуга учащихся. Данная игра во многом способствует формированию у учащихся навыков коллективного поиска ответов на вопросы, помогает сплочению дружного коллектива, формированию дружеских, товарищеских отношений, и что немаловажно, во время игры выявляются творческие и организаторские способности детей.

Игра «Слабое звено» вызывает у учащихся стремление к победе, способствует развитию логического мышления, а так же способствует дружественной атмосфере и формированию сплоченного коллектива.

Интеллектуальная игра «Брейн-ринг» развивает не только познавательные, но и творческие способности у учащихся, логическое мышление, интуицию и внимание.

«Своя игра» рассчитана на более узкий круг участников, и будет интересна, прежде всего, ученикам, посещающим факультативные и кружковые занятия, и ученикам, проявляющим интерес к данной науке.

Эту игру может проводить учитель, устраивая соревнования между командами. Так же ученики могут сами организовать подобную игру, с помощью учителя. У них появляется возможность проявлять творческую активность при составлении задач для викторин Во внеклассных мероприятиях, где задействованы многие учащиеся, царит атмосфера соревнования, борьбы за лучшее составление задач.

Практически все формы занимательной математики являются средствами воспитательного воздействия на учеников. Каждой из них свойственно свое построение и содержание. Очень важно, что практически все формы занимательной математики несут в себе определенную степень игры. А, как известно, привить интерес, а может даже и любовь к сложному предмету, можно лишь через игру.[19]

Глава II: Методическое обеспечение кружка «Занимательные задачи по теории графов» для учащихся 7-8 классов