Методика изучения занимательных задач по теории графов на занятиях математического кружка в 7-8 классах

В этом занятии, подходя в определению компонент связности, стоит обратить внимание учеников на то, что даже если между какими-то двумя вершинами нет маршрута, это может быть один граф, а не несколько. Сделать это можно с помощью наглядного объяснения. Привести в пример город, который расположен на 2-х сторонах реки, а мост через реку был разрушен. Через это же объяснение можно подойти к определению моста.

В данное занятие включаются такие новые понятия как: путь, длина пути, цепь, простая цепь, цикл и простой цикл, расстояние между двумя вершинами, связность графа, компоненты связности, мост.

На данном занятии предлагаются как формальные задания, так и текстовые задачи с занимательным сюжетом.

Решению таких задач можно придать больше творческой направленности, используя игровую форму. Следующая задача может быть решена в форме игры. На листах бумаги нарисовать пни и разложить их на полу. Ученики в заранее подготовленных масках белок и кроликов будут перемещаться по этим пням.

Примеры заданий:

Задание 1.

Перед вами восемь пней, перенумерованные на нашем рисунке. На пнях№ 1 и № 3 сидят кролики, на № 6 и № 8 - белки. Но и белки, и кролики почему-то недовольны своими местами и хотят обменяться пнями: белки желают сидеть на местах кроликов, а кролики - на местах белок. Они могут сделать это, перепрыгивая с пня на пень - однако только по линиям, обозначенным на рисунке.

Рис. 2

Как они могли бы это сделать? Помните следующие правила:

1. прыгать с пня на пень можно только по тем линиям, которые обозначены на рисунке; каждый зверёк может делать и несколько прыжков кряду;

2. два зверька на одном пне поместиться не могут, - поэтому прыгать можно только на свободный пень.

Имейте также в виду, что зверьки желают обменяться местами наименьшим числом прыжков. Впрочем, меньше чем 16-ю прыжками они сделать этого не могут

Задание 2.

Каждый из семи мальчиков имеет 3 родных брата. Докажите, что все 7 мальчиков родные братья.

Рис. 3. Раздаточный материал к Заданию 1

математический граф внеурочный занимательный

Рис. 4. Раздаточный материал к заданию 1

Занятие 4. Деревья.

В начале занятия ученикам предлагается постараться построить схему следующей игры:

Первый игрок называет одно из двух чисел -- 1 или 2. На каждом шаге игроки по очереди прибавляют к результату 1 или 2. Выигрывает тот, кто первым назовет число 20.

Далее ученики рисуют древо своей семьи. Не большое, до бабушек и дедушек. Таким образом можно подойти к определению дерева и др. Попросить учеников посмотреть, какие члены семьи будут являться «висячими вершинами»?

Для большего интереса к подобным заданиям можно заранее предложить ученикам принести маленькие фотографии родственников, для того, чтобы сделать дерево семьи.

Примеры заданий:

Задание 1.

В соревнованиях по борьбе, проходящих по олимпийской системе, участвуют 20 борцов. За какое минимальное время можно провести соревнование, если в спортивном зале есть только 3 борцовских ковра, и на каждую схватку, включая разминку и отдых, отводится час?

Задание 2.

Бабушка печет несладки и сладкие пирожки. Несладкие пирожки с мясом или капустой, сладкие с медом или вареньем: клубничным, малиновым или черничным. Изобразите это с помочью графа.

Рис. 5. Раздаточный материал к заданию 2

Занятие 5. Эйлеровы и Гамильтоновы графы.

Подведением к теме занятия будет служить историческая задача о Кененгсбергских мостах, а так же Задача коммивояжера. В этих примерах необходимо заострить внимание на том, что графы уже очень давно были нужны и полезны в жизни. Далее стоит попросить учеников вспомнить, что же такое цикл и путь. Далее можно перейти к изучению нового материала, а именно к таким определениям как: эйлеров путь, эйлеров цикл, эйлеров граф, гамильтонов путь, гамильтонов цикл, гамильтонов граф и рассмотрению критерия эйлерововсти.

Примеры заданий:

Задание 1.

На рисунке изображена схема зоопарка. Вершины графа - вход, выход, перекрестки, повороты, тупики. Ребра - дорожки, вдоль которых расположены клетки. Найдите маршрут, по которому экскурсовод мог бы провести посетителей, показав им всех зверей и не проходя более одного раза ни одного участка пути.

Рис. 6

Задание 2.

Можно ли обвести данные фигуры не отрывая карандаша от бумаги?

Каждую точку можно проходить не более 1 раза.

Рис. 7. Раздаточный материал к заданию 2

Занятие 6. Плоские и планарные графы.

Историческая задача о трех колодцах станет подводящей к теме плоских и планарных графов. Для большей наглядности и занимательности занятия можно использовать пластилин и нитки (веревки). Пластилиновые шарики, прилепленные к бумаге будут являться вершинами, а нитки между ними- ребрами. Так наглядно ученики смогут посмотреть, а главное проверить, что некоторые планарные графы можно изобразить в виде плоских. Так же хорошим наглядным и подвижным примером будет служить игра в «путанницу». Ученики - вершины. Веревки, взятые в руки - ребра. Учитель может «рисовать» из них граф, а в зависимости от того, распутаются ученики или нет можно будет делать вывод, является ли граф планарным. Игровая форма сделает занятие более увлекательным, а пройденный материал более интересным и понятным для учеников.

Примеры заданий:

Задание 1.

На какое наибольшее число областей могут разбить плоскость 2 треугольника?

Задание 2.

Можно ли так соединить дорожками 5 домов, чтобы дорожки не пересекались, и каждая пара домов была соединена одной дорожкой? (Две дорожки считаются пересекающимися, если они имеют хотя бы одну общую точку).

Занятие 7. Раскраска графов.

Самое яркое и творческое занятие кружка. История задачи о четырех красках станет вводной в тему занятия. В ходе занятия будут рассмотрены 3 вида раскрасок: вершинная, реберная, раскраска карт. Для наглядности можно использовать разноцветный пластилин. К примеру, раздать листочки с разноцветными вершинами из пластилина и определенное количество ребер ( ниток). Задача будет состоять в том, чтобы расположить эти ребра так, чтобы получилась правильная раскраска графа. Тоже самое можно делать с разноцветными нитками и пластилином одного цвета. Для занимательности раскраски карт можно попросить учеников нарисовать карты своей страны. ( например, страна « Графия»), подписать названия областей. После чего ученики меняются своими картами и раскрашивают «сказочные владения» друг друга. Естественно, карта государства соседа по парте должна быть раскрашена правильно.

Примеры заданий:

Задание 1.

Известна интересная игра, основанная раскраске карт. Первый игрок рисует произвольную область. Второй игрок раскрашивает её и пририсовывает новую область. Первый игрок раскрашивает эту область и пририсовывает ещё одну. Игра продолжается. Каждый из игроков раскрашивает область, нарисованную противником, и дорисовывает свою область. Проигрывает тот, кто вынужден воспользоваться пятой краской.

Занятие 8. Защита докладов.

Это занятие посвящено защите тех работ, которые ученики делали самостоятельно. На первом занятии они выбрали темы докладов, а на этом занятии они представят свои доклады и презентации. Доклады не должны быть очень объемными.

Примерные темы докладов:

1. Графы в повседневной жизни.

2. Теория графов в биологии.

3. Применение теории графов в химии.

4. Использование графов в физике.

5. Графы в астрономии.

6. История возникновения теории графов.

Занятие 9. « Своя игра».

Данное занятие является заключительным. Контрольное мероприятие проводится в форме известно телевизионной игры « своя игра». Группа заранее разбивается на 2 команды, каждая из которых придумывает название, девиз, по желанию рисуют плакаты. В каждой команде выбирается капитан. Команды по очереди выбирают категорию и цену вопроса. На подготовку ответа команде дается 1 минута. Если команда дает неверные ответ, право отвечать переходит другой команде. За правильный ответ командам начисляются баллы в размере цены вопроса. Если же обе команды ответили неверно, баллы не присуждаются никому. Побеждает команда, набравшая больше баллов.

Примеры занятий

Занятие 1. Задачи, приводящие к теории графов.

Задача 1.

В деревне 9 домов. Известно, что у Петра соседи Иван и Антон, Максим сосед Ивану и Сергею, Виктор - Диме и Никите, Евгений сосед Никиты, а больше соседей в этой деревне нет. ( соседними считаются дворы, у которых есть общий участок забора). Может ли Петр огородами пробраться к Никите ?

Решение:

Выпишем все имена мальчиков и соединим соседей линией. Получим: Сергей - Максим - Иван - Петр - Антон

Дима - Виктор - Никита - Евгений

Ответ: нет

Задача 2.

Как вы помните, охотник за мертвыми душами Павел Иванович Чичиков побывал у известных вам помещиков по одному разу у каждого. Он посещал их в следующем порядке: Манилова, Коробочку, Ноздрева, Собакевича, Плюшкина, Тентет-никова, генерала Бетрищева, Петуха, Констанжогло, полковника Кошкарева. Найдена схема, на которой Чичиков набросал взаимное расположение имений и проселочных дорог, соединяющих их (рис. 1.1). Установите, какое имение кому принадлежит, если ни по одной из дорог Чичиков не проезжал более одного раза.

Решение.

По схеме видно, что путешествие Чичиков начал с имения Е, а кончил имением О. Замечаем, что в имения В и С ведут только по две дороги, поэтому по этим дорогам Чичиков должен был проехать. Отметим их жирной линией (рис. 1.2). Определены участки маршрута, проходящие через А: АС и А В. По дорогам АЕ, АК и AM Чичиков не ездил. Перечеркнем их (рис. 1.2). Отметим жирной линией ED; перечеркнем DK. Перечеркнем МО и МН; отметим жирной линией МF; перечеркнем FO; отметим жирной линией FH, НК и КО (рис. 1.3). Найдем единственно возможный при данном условии маршрут.

Подведем первый итог: задача решена в ходе преобразования картинки. С рисунка 1.3 остается только считать ответ: имение Е принадлежит Манилову, D -- Коробочке, С -- Ноздреву, А -- Собакевичу, В -- Плюшкину, М -- Тентетникову, F -- Бетрище-ву, Я -- Петуху, К -- Констанжогло, О -- Кошкареву.

Задача 3.

Рис. 8. Решение к задаче 2

Лист бумаги Плюшкин разрезает на три части. Некоторые из полученных листов он также разрезает на три части. Несколько новых листиков он вновь разрезает на три более мелкие и т. д. Сколько Плюшкин получает листиков бумаги, если разрезает k листов?

Решение.

Листы бумаги обозначим на рисунке кружками. Кружки, соответствующие листам, которые разрезаются, закрасим целиком; остальные кружки оставим незакрашенными.

Рисунок 1.4 помогает увидеть, что при разрезании одного листка на три части число листков увеличивается на два (появляются три новых вместо одного). Если же было разрезано k листов, то образовалось 1 + 2k листов (рис. 1.5).

На рисунке 1.5 показано пять разрезаний. Сколько в этом случае получено листов?

Кстати, вам не кажется, что схемы на рисунках 1.4 и 1.5 напоминают ветку дерева с листочками? Математики, обратив внимание на это сходство, назвали такие схемы «деревьями».

Рис. 9

Задача 4.

Сколько различных обедов П. И. Чичиков мог насчитать из блюд, выставленных на столе у П. П. Петуха, если бы на каждый обед выбирать только одно холодное блюдо, одно первое, одно второе, одно третье? На столе у П. П. Петуха на этот раз были выставлены из холодных блюд студень с хреном, свежая икра стерляжья, свежепросоленнаябелужина; на первoe -- уха из стерлядей, щи с грибами; на втo-рое -- осетрина жареная, теле-нок жареный на вертеле, натретье -- арбузы, груши.

Решение.

Каждое блюдо изобразим кружком, а соответствие блюд одного обеда --отрез- ками, соединяющими кружки. Каждый кружок обозначим первой буквой названия блюда. Возникает схема, изображенная на рисунке 1.6. А теперь ответьте на вопрос задачи. Схема помогает сосчитать число возможностей. Она же поможет узнать, сколько различных обедов можно составить, например, с икрой; сколько различных обедов с арбузом.

Полученная схема немного сложней, чем схема на рисунке 1.5. Она состоит из трех деревьев. Такую схему называют «лесом».

Рис. 10

Графы - замечательные математические объекты, с их помощью можно решать очень много различных, внешне не похожих друг на друга задач. теория графов стала простым, доступным и мощным средством решения вопросов, относящихся к широкому кругу проблем: это проблемы проектирования интегральных схем и схем управления, исследования автоматов, логических цепей, блок-схем программ, экономики и статистики, химии и биологии, теории расписаний и дискретной оптимизации.

Темы докладов:

3. История возникновения теории графов.

4. Графы в повседневной жизни

5. Теория графов информатике

6. Графы в биологии

7. Теория графов в медицине

8. Теория графов в экономике

9. Теория графов в астрономии

Занятие 2. Основные понятия теории графов.

Задача 1.

Утверждают, что в одной компании из пяти человек каждый знаком с двумя и только с двумя другими. Возможна ли такая компания?

Решение:

Каждого из этой компании изобразим на рисунке кружком. Если двое знакомы, соединим соответствующие кружки отрезком. Оказывается, что такие ситуации не только возможны, но все их можно описать аналогичными схемами (рис. 1.7). Из рассматриваемой компании нельзя выделить ни «четырехугольник», ни «треугольник», поскольку тогда из оставшихся нельзя будет составить компанию, удовлетворяющую условию, т.о. схема знакомства напоминает многоугольник. Такую схему принято называть циклом.

(Древние греки «цикл» называли «колесом»; и действительно, на Рисунке изображено нечто, напоминающее колесо и с успехом заменяющее в рассматриваемой ситуации многоугольник.)

Рис. 11

Что общего у схем, которые помогли нам решить задачи? Все они состоят из точек (кружков) и отрезков, соединяющих пары точек. Рассмотрение таких схем и приводит к понятию графа.

Граф представляет собой непустое множество точек и множество отрезков, оба конца которых принадлежат заданному множеству точек. Обозначать граф будем буквой G.

При изображении графов на рисунках или схемах отрезки могут быть прямолинейными или криволинейными; длины отрезков и расположение точек произвольны.

Все три фигуры на рисунке 12 изображают один и тот же граф.

С позиции теории графов нет различий между «мышкой» и «слоном» на рисунке 13.

Рис. 12 Рис. 13

Точки иначе называют вершинами, отрезки -- ребрами графа. Вершины графа на рисунке выделяют обычно кружками или квадратиками хотя бы потому, что не всегда точки пересечения ребер принимаются за вершины графа. Например, по условию на рисунке 14 точка пересечения «диагоналей четырехугольника» вершиной не является.

Рис. 14

Примеры:

На рисунке 14 изображен граф с четырьмя вершинами и шестью ребрами.

На рисунке 15 изображен граф с пятью вершинами и четырьмя ребрами.

Рис. 15

Степенью вершины называется число рёбер графа, которым принадлежит эта вершина. Степень вершины обозначается символом d(v). Вершина называется нечётной, если d(v) ? нечётное число. Вершина называется чётной, если d(v) ??чётное число. Изолированной вершиной называется вершина, степень которой равна 0.

Две вершины называются смежными, если они соединены ребром. В этом случае говорят, что данное ребро инцидентно указанным вершинам.

Подграфом называется часть графа, образованная подмножеством вершин вместе со всеми рёбрами, соединяющими вершины из этого множества. Если в графе удалить часть рёбер, то получим частичный граф.

Полный граф -- простой граф, в котором каждая пара различных вершин смежна.

Примерами графов могут служить схема метрополитена, схемы железных или шоссейных дорог, структурные формулы молекул, мы выставок и т. д., словом, схемы и планы (или карты) без указания масштабов, показывающие лишь связи между принадлежащими им объектами.

Поскольку графы изображаются особыми рисунками, сначала будем рисовать на бумаге, а позже рисунки графов можно будет представлять уже мысленно.

Упражнение. Нарисуйте полный граф с п вершинами, если а) п = 2; б) п = 3; в) п = 5.

У графа на рисунке 16 (а): степ. А = 1; степ. В = 2. У графа на рисунке 16 (в) степени всех вершин равны нулю.

Вершина называется нечетной, если ее степень -- число не четное. Вершина называется четной, если ее степень -- число четное.

Имея даже общие представления о графе, иногда можно судить о степенях его вершин. Так, степень каждой вершины полного графа на единицу меньше числа его вершин. При этом некоторые закономерности, связанные со степенями вершин, присущи не только полным графам.

Рис. 16

Лемма «о рукопожатиях». Сумма степеней вершин любого графа равна удвоенному числу его ребер.

Задача 1.

Утверждают, что в одной компании из пяти человек каждый знаком с двумя и только с тремя другими. Возможна ли такая компания?

Ответ: Нет. Это противоречит Лемме о рукопожатиях.

Упражнения.

1. Изобразите граф с 6 вершинами, все из которых четные.

2. Нарисуйте граф с 5 вершинами, степень каждой из которых равна 4. Как называется такой граф?

Вопросы:

1. Какие новые определения вы сегодня узнали?

2. Где могут применяться графы в повседневной жизни?

Занятие 4. Деревья.

Мы уже знаем из первого занятие, как изображается граф, называемый деревом. Но прежде, чем дать четкое определение графа и посмотреть чем он отличается от других графов, предлагаю поиграть в такую игру:

Кто назовет 20?

Первый игрок называет одно из двух чисел -- 1 или 2. На каждом шаге игроки по очереди прибавляют к результату 1 или 2. Выигрывает тот, кто первым назовет число 20.

Разбейтесь на пары и сыграйте несколько конов в эту игру.

Попробуйте построить « схему этой игры» . Записать схематично возможные варианты хода игры.

В ходе построения такой « схемы игры» мы получили ни что иное, как граф. И граф такой называется деревом.

Задания:

1. Нарисуйте граф с семью вершинами и шестью ребрами, который не имеет ни одного цикла

2. Нарисуйте связный граф, имеющий 7 вершин и 6 ребер.

Итак, теперь разберемся что же такое дерево, чем такие графы отличаются от других, а так же, узнаем, что такое лес.

Деревом называется всякий связный граф, не имеющий циклов

Вершина дерева, степень которой равна единице, называется t висячей вершиной

Для каждой пары вершин дерева существует единственный соединяющий их путь.

Лесом называется несвязный граф, представляющий объединение деревьев.

Теорема (О количестве ребер дерева)

В дереве с p вершинами число ребер равно p - 1

Задачи:

1. В турнире, проводимой по олимпийской системе принимают участие а) 16; б)18; в)25; г)48; д) 105 команд. Какое количество встреч нужно провести для определения победителя?

Ответ: после каждой встречи число участников уменьшается на одного, поэтому количество встреч будет соответственно: 15,17,25,48,104.

2. В соревнованиях по борьбе, проходящих по олимпийской системе, участвуют 20 борцов. За какое минимальное время можно провести соревнование, если в спортивном зале есть только 3 борцовских ковра, и на каждую схватку, включая разминку и отдых, отводится час?

Ответ: на соревнование уйдет 7 часов.

Рис. 17

3. Бабушка печет несладки и сладкие пирожки. Несладкие пирожки с мясом или капустой, сладкие с медом или вареньем: клубничным, малиновым или черничным. Изобразите это с помочью графа.

Ответ.

Рис. 18

Занятие 9. Итоговое занятие. «Своя игра».

Контрольное занятие. Проводится в форме известной телевизионной игры « своя игра». Основная часть вопросов ориентирована на проверку теоретических знаний. Так же, присутствуют задачи на каждую из предложенных тем. Игра проводится следующим образом: ученики делятся на 2 команды. Для каждой из команд определяется капитан. Команды по очереди выбирают категорию вопросов и цену вопроса. На ответ дается минута. После чего, если команда отвечает верно, им присуждаются баллы, если неверно, право ответа переходит другой команде. В случае неверного ответа второй команды баллы не присуждаются никому. Побеждает команда, набравшая большее количество баллов.

Некоторые фрагменты игры:

Рис. 19 Рис. 20

Рис. 21 Рис. 22

Рис. 23 Рис. 24

§4.Результаты опытно-экспериментальной проверки

Экспериментальная проверка полученных результатов учебных материалов проводилась в 2016 году в ГБОУ СОШ №1231 г. Москвы. Весь эксперимент был разбит на следующие этапы:

1. Констатирующий эксперимент

2. Поисковый эксперимент

3. Обучающий и контролирующий эксперимент

На первом этапе задачей было выяснить степень мотивации детей к изучению математики, отношение к данному предмету. Определить уровень знаний относительно теории графов, а так же выяснить, видят ли ученики связь математики с другими предметами и находят ли применение для нее в повседневных ситуациях.

В ходе беседы с учениками и проведенного анкетирования удалось сделать следующие выводы:

1. Некоторые из учеников выделяют предмет « математика» из ряда других как «интересный».

2. Большинство считает математику сложным и скучным предметом.

3. Почти никто из учеников не находит связи математики с другими предметами. Или по меньшей мере затрудняются в ответе на вопрос « а как именно она связана?» с теми или иными дисциплинами.

4. Понятия « граф» и в целом о теории графов практически никто из учеников не слышал. Несколько человек ответили « да, где-то слышал, но не помню что это».

5. Практически никто из учеников не интересовался и не интересуется фактами биографии ученых, историческими сведениями о математике и т.д.

На втором этапе была разработана программа кружка «Занимательные задачи теории графов», произведен отбор математического содержания курса, осуществлен подбор заданий для каждой темы. Задачей разработки данного курса было не просто пополнить новыми знаниями и научными фактами багаж знаний учеников, но так же постараться привить любовь и интерес к математике, показать что математика может быть красивой и изящной, показать связь творчества и математики. Задачи должны были быть занимательными, жизненными, такими, чтобы ученикам было интересно их решать. Поскольку занятия должны были проходить в рамках именно кружка, хотелось не «начитывать» определения и теоремы, а создать эффект путешествия в «страну математики» и показать удивительную связь математики со всем миром.

Курс содержит в себе 9 занятий. Более подробно они рассмотрены в предыдущей главе.

На третьем этапе были проведены занятия кружка с целью проверки доступности разработанных занятий и отобранного материала, качества его усвоения, а так же, с целью проверки эффективности методики проведения. Краткое содержание и примеры занятий описаны в предыдущей главе.

В эксперименте участвовало 10 человек. 6 из 7 -х классов и 4 из 8-х классов.

Апробация проводилась во время педагогической практики. К сожалению, из-за нехватки времени занятие 8, посвященное докладам учащихся пришлось не проводить. Ученики выступали с докладами в конце каждого занятия.

Было проведено 6 занятий:

1. Задачи, приводящие к теории графов.

2. Основные понятия теории графов.

3. Пути и циклы в графах.

4. Плоские и планарные графы.

5. Раскраска графов.

6. Итоговое занятие «Своя игра».

Все занятия прошли в дружеской и теплой атмосфере. На каждом занятии я старалась использовать как можно больше ярких материалов, таких как пластилин, цветные нитки, цветные карандаши. Некоторые задачи решались не только в тетрадях, но и в игровых формах.

На следующих рисунках фрагменты решений некоторых задач.

Рис. 25. Решение задачи 1 из занятия 1

Рис. 26. Способы изображения одного и того же графа из занятия 2

В занятии 3 для решения задачи о зайчиках, белочках и пеньках я использовала листы с нарисованными пнями и маски в виде зайцев и белок. Решение задачи проходило в игровой форме.

Рис. 27. К задаче 1 Занятия 3

9 занятие стало контролирующим. Самостоятельных, контрольных и итоговых работ в данном курсе не планировалось. Провести контрольное мероприятие было решено в игровой форме. Для этого был выбран мотив известной игры «Своя игра». Туда включались теоретические вопросы из курса, а так же задачи, связанные с пройденными темами. Т.к. были приведены не все 9 занятий, то из игры пришлось убрать некоторые темы.

Заранее ученики должны были разбиться на 2 команды, придумать названия и девизы своим командам, а так же, по желанию, нарисовать плакаты своей команды.

Отборочным туром стало такое задание:

Команды по очереди называют области и дисциплины, в которых могут быть применены графы. На размышление дается 10 секунд. Команда, не назвавшая область применения, начинает второй. В прохождении этого этапа игры ученикам очень помогли доклады, которые они делали и представляли на протяжении всего кружка. В темах, затронутых в их выступлениях, говорилось именно о применении графов в различных областях.

Ирга прошла в атмосфере увлечения и азарта. Практически все вопросы игры были разыграны, а это означает, что материал, пройденный на кружке, был хорошо усвоен. Относительно первого занятия группа стала более дружной и сплоченной.

Из результатов анкетирования, бесед с учащимися и итогов последнего занятия можно сделать следующие выводы:

1. Интерес обучающихся к математике повысился.

2. Ученики познакомились с историей графов.

3. Ученики усвоили основные понятия теории графов.

4. Научились решать задачи с применением теории графов.

5. У учеников развились навыки работы в коллективе.

6. У учеников развились навыки самостоятельной работы.

7. У учеников повысились творческие способности.

Заключение

В ходе теоретического и экспериментального исследования, проведенного в данной работе, были получены следующие результаты и выводы.

1. Определены методические особенности изучения теории графов на кружковых занятиях в основной школе.

2. Проанализированы психолого-педагогические основы преподавания занимательных задач по теории графов в основной школе.

3. Определены формы, методы и средства проведения кружковых занятий по теории графов в основной школе.

4. Разработана методика преподавания кружка «Занимательные задачи по теории графов» для учащихся 7-8 классов.

5. Проведена опытно-экспериментальна проверка разработанной методики преподавания кружка «Занимательные задачи по теории графов» для учащихся 7-8 классов. В ходе опытной проверки была подтверждена эффективность предложенной методики, доказано, что материал кружка доступен для учащихся основной школы, способствует углублению математических знаний школьников, повышению их интереса к предмету, развитию у учащихся интеллектуальных и творческих способностей.

Таким образом, цель исследования достигнута, поставленные задачи решены. В перспективе кажется целесообразным исследование проблемы изучения элементов теории графов на занятиях курса по выбору для учащихся 10-11 классов, поиск возможностей введения элементов теории графов на уроках математики в основной и старшей школе, использование особенностей теории графов для реализации внутри- и межпредметных связей в ходе образовательного процесса на основной и старшей ступенях общего образования.

Список литературы

1. Бабанский Ю.К. Педагогика. - М.: Просвещение, 1988.

2. Березина Л. Ю. Графы и их применение: Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1979.

a. Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Сурвилло Г.С. и др. Алгебра: Учеб. пособие для учащихся 8 классов школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 1995.

3. Виленкин Н.Я., и др. Математика: Учебник для 5 класса средней школы - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1992.

4. Виленкин Н.Я., Чесноков А.С., Швацбурд СИ., Жохов А.И. Математика: Учеб. для 6 класса средней школы - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1993.

5. Возрастная и педагогическая психология. Учеб. Пособие для студентов пед. ин-тов. Под ред. проф. А.В. Петровского. - М.: Просвещение, 1973.

6. Г.В. Бурменская, Е.И. Захарова О.А. Карабанова и др. Возрастно- психологический подход в консультировании детей и подростков: Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений. - М.: Издательский Центр «Академия», 2002.

7. Деза Е.И., Модель Д.Л., Основы дискретной математики. - М.: Либроком, 2011.

8. Дорофеев Г.В. и др. Математика: 5 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. - М.: Просвещение, 1994.

9. Дорофеев Г.В. и др. Математика: 6 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. - М.: Дрофа, 1995.

10. Еникеев М.И. Общая и социальная психология: Учебник для вузов. - М.: НОРМА-ИНФА М, 2000.

11. Мельников О.И. Занимательные задачи по теории графов, учебно-методическое пособие 2. - М.: КомКнига, 2001.

12. Занков Л.В. Учебник для 3 кл. - М.: Дрофа, 1996.

13. Данилова Ю.А., Под ред. Алексеева В.М. Избранные задачи: Сборник. - М.: Мир, 1977.

14. Кон И.С. Психология старшеклассника: пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1980.

15. Концепция Федеральной целевой программы развития образования на 2016 - 2020 годы

16. Концепция модернизации Российского образования

17. Кордемский Б.А. Очерки о математических задачах на смекалку: Пособие для учителей. - М.: Учпедгиз, 1958.

18. Кордемский Б.А. Увлечь школьников математикой: (Материал для клас. и внеклас. занятий). - М.: Просвещение, 1981.

19. Кузнецова Е.В. Занимательные задачи как средство формирования творческой деятельности учащихся 5-6 классов в обучении математике: Дисс. канд. пед. наук. - М.; 1997.

20. Кулагина И.Ю. «Возрастная психология (развитие ребенка от рождения до 17 лет)», учебное пособие, 4-е изд-е, - М.: «УРАО», 1998.

a. Лоповок Л.М. Тысяча проблемных задач по математике: Кн. для учащихся. М.: Просвещение, 1995.

21. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра: Учеб. для 7 класса общеобразовательных учреждений / под ред. С.А. Теляковского. - 10-е изд. - М.: Просвещение, 2001.

22. Гнеденко Б. В., Титов В. А. Математическое образование сегодня. Сост. - М.: Знание, 1974.

23. Мельников О.И. Незнайка в стране графов: Пособие для учащихся. Изд. 3-е, стереотипное. М.: КомКнига, 2007.

24. Мельников О.И. Теория графов в занимательных задачах. Изд.3, испр. и доп. 2009.

25. Минковский В. Л. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся VI кл. - М.: Просвещение, 1966.

26. Мордкович А.Г. Алгебра. 7 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. - 3-е изд., доработ. - М.: Мнемозина, 2000.

27. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. - 3-е изд., доработ. - М.: Мнемозина, 2001.

28. Мордкович А.Г. Алгебра. 9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. - 3-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2001.

29. Мордкович А.Г. и др. Алгебра. 7 кл.: Задачник, для общеобразоват. учреждений. - 3-е изд., доработ. - М.: Мнемозина, 2000.

30. Мордкович А.Г. и др. Алгебра. 8 кн.: Задачник, для общеобразоват. Учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. - 3-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2001.

31. Мордкович А.Г. и др. Алгебра. 9 кл.: Задачник, для общеобразоват. учреждений - 3-е изд. - М.: Мнемозина, 2001.

32. Мочалов Л.П. Головоломки: Книга для учащихся. - М.: Просвещение: АО

33. «Учебная литература», 1996.

34. Мухина В.С. Возрастная психология: феноменология развития, детство, отрочество. - М.: «Академия», 1997.

35. Мухина В.С. Возрастная психология: феноменология развития, детство, отрочество. - 2-е изд., доработ. - М.: «Академия», 1997.

36. Мухина В.С. Возрастная психология: феноменология развития, детство, отрочество. М.: «Академия», 1997.

37. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. Математика: Учеб. для 5 кл. средней школы. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1992.

38. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. Математика: Учеб. для 6 кл. средней школы. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1991.

39. Олехник СП., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные занимательные задачи. - М.: Вита-Пресс, 1994.

40. Потоцкий М.В. О педагогических основах обучения математике. - М.: Учпедгиз, 1963.

41. Потоцкий М.В. Психолого-педагогические основы обучения математике в средней школе. - М.: Прометей, 1992.

42. 'Приказ Минобразования РФ от 11 февраля 2002 г. N 393 'О Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года''\Психология человека от рождения до смерти./под общ. ред. А.А. Реана - СПб.:

43. «Прайм-ЕВРОЗНАК», 2002.

44. Рождественская Н.А. Как понять подростка: Учебное пособие для студентов факультетов психологии высших учебных заведений по специальностям 52100 и 020400 - «Психология». 2-е изд. - М.: Российское психологическое общество, 1998.

45. Рождественская Н.А. Как понять подростка: Учебное пособие для студентов факультетов психологии высших учебных заведений по специальностям 52100 и 020400 -- «Психология». 2-е изд. - М.: Российское психологическое общество, 1998).

46. Совайленко В.К., Лебедева О.В. Математика 6 класс: Учебник для учащихся средней школы. - Ростов-на-Дону: Феникс, 1995.

47. Спивак А. В. Математический праздник. - М.: Бюро Квантум, 2000.

48. Спивак А. В. Тысяча и одна задача по математике. - М.: Просвещение, 2002.

49. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования (утвержден приказом Минобрнауки России от 17 декабря 2010 г. № 1897).

50. Шеврин Л.Н. и др. Математика: Учебник-собеседник для 5 класса средней школы . - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1994.

51. Шеврин Л.Н. и др. Математика: Учебник-собеседник для 6 класса средней школы. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1995.

52. Шуба М.Ю. Занимательные задания в обучении математике: Книга для учителя. -2-е изд. - М.: Просвещение, 1995.

53. Якиманская И.С., Столетов В.С., Каплунович И.Я. и др. Возрастные и индивидуальные особенности образного мышления учащихся / под. ред. И.С. Якиманской. - М.: Педагогика, 1989.

54. [Электронный ресурс] // URL: http://5fan.ru/wievjob.php?id=64169

55. [Электронный ресурс] // URL: http://dok.opredelim.com/docs/index-3241.html

56. [Электронный ресурс] // URL: http://festival.1september.ru/articles/596714/

57. [Электронный ресурс]// URL:http://revolution.albest.ru/pedagogics/00257935_0.html

58. [Электронный ресурс] // URL: http://www.docme.ru/doc/250574/kruzhkovaya- rabota-po-matematike

Размещено на Allbest.ru