Решение задач на экстремум

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Глава 1. Методы решения задач на экстремумы

§1.История развития задач на экстремумы.

§2.Способы решения задач на экстремумы.

2.1 Элементарные приемы решения задач на экстремумы.

2.2 Универсальный метод решения задач на экстремум.

Глава 2.Применение уровневой дифференциации в обучении математике на примере темы «Задачи на экстремум».

§1.Дифференциация обучения.

1.1 Понятие дифференциации.

1.2 Уровневая дифференциация.

1.3 Плюсы и минусы уровневой дифференциации.

§2. Методические основы обучения решению задач на экстремумы

2.1 Задачи на экстремумы в школьном курсе математики (обзор учебников)

2.2 Методика обучения решению задач

Глава 3. Разработка факультативных занятий по теме «Решение задач на экстремум».

Занятие 1 - Тема: «Геометрический подход к решению задач на экстремумы»

Занятие 2 - Тема: «Геометрический подход к решению задач на экстремумы»

Занятие 3 - Тема: «Алгебраический подход к решению задач на экстремумы»

Занятие 4 - Тема: «Алгебраический подход к решению задач на экстремумы»

Занятие 5 - Тема: «Универсальный метод решения задач на экстремумы».

Заключение.

Библиография

Введение

С давних времен перед человеком возникают практические проблемы выбора оптимального значения некоторой величины при определенных условиях.

Как правило, в задачах подобного рода достижение некоторого результата может быть осуществлено не единственным способом и приходится отыскивать наилучший способ достижения результата.

Однако в одной и той же задаче в разных ситуациях наилучшими могут быть совершенно разные решения. Здесь все зависит от выбранного или заданного критерия. Например, каковы должны быть наилучшие очертания судна? Ответы будут разными в зависимости от того, для каких целей предназначено судно. Для разных целей различны будут и главные критерии. Критерии могут быть следующими:

1.Необходимо, чтобы при движении в воде судно испытывало наименьшее сопротивление (это главный критерий быстроходного судна)

2.Необходимо, чтобы судно было максимально устойчивым при сильном волнении и сильном ветре.

3.Необходимо, чтобы судно имело наименьшую осадку (в случае если судно предназначается для эксплуатации на мелких водоемах).

Задачи такого характера, получившие название задачи на экстремумы или задачи на оптимизацию, возникают в самых различных областях человеческой деятельности. И их роль в жизни людей действительно очень важна. Решением таких задач занимались крупнейшие математики прошлых эпох - Евклид, Архимед, Аполлоний, Герон, Тарталья, Торричелли, Ньютон и многие другие. Ведь, несмотря на все разнообразие, их объединяет одна особенность - поиск наиболее выгодного, в определенном отношениях, наиболее экономного, наименее трудоемкого, наиболее производительного. Этот поиск кратко можно назвать поиском лучшего.

Целью дипломной работы является изучение различных методов решения задач на экстремумы и адаптация их к школьному курсу математики.

Для достижения цели поставлены следующие задачи:

- подбор и изучение соответствующей теоретической и методической литературы;

- изучение элементарных (геометрических и алгебраических) методов решения задач на экстремумы;

- изучение применения методов математического анализа к решению задач на экстремумы;

- отбор теоретического материала, доступного для понимания школьниками;

- разработка факультативных занятий по изучению данной темы.

В первой главе дипломной работы рассматриваются история задач на экстремум, и различные методы решения задач на экстремумы.

Вторая глава дипломной работы посвящена изучению данной темы в школе с применением дифференцированного подхода: вводится понятие дифференциации и целесообразность использования дифференцированного подхода в обучении. Более подробно в работе рассмотрена уровневая дифференциация.

Далее в дипломной работе проведена методика обучения решению задач на экстремумы и, в частности, анализ изложения темы «задачи на экстремум» в школьных учебниках различных авторов. Были рассмотрены учебники под редакцией: Алимова Ш.А., Александрова А.Д., Погорелова А.В., Колмогорова А.Н., Башмакова М.И., Мордковича А.Г., Дорофеева Г.В., Виленкина Н.Я..

Третья глава диплома посещена разработке цикла факультативных занятий на тему: «Решение задач на экстремум», с применением дифференцированного подхода.

В заключении подведены итоги проведенной работы.

Глава 1. Методы решения задач на экстремумы

§1 История развития задач на экстремумы

Экстремальными задачами человек интересуется с античных времен. В Древней Греции уже давно (во всяком случае до VI века до н.э.) знали об экстремальных свойствах круга и шара: среди плоских фигур с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет круг (среди пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности (решение изопериметрической экстремальной задачи); шар имеет максимальный объем (решение изопифанной экстремальной задачи). История сохранила легенду о следующей самой древней экстремальной задаче, известной как задача Дидоны. Финикийская царевна Дидона (IX век до н.э.) решила организовать поселение на берегу понравившегося ей залива в Северной Африке. Она уговорила вождя местного племени отдать ей клочок земли, который можно охватить воловьей шкурой. Воины Дидоны разрезали шкуру на тонкие полоски, и Дидона охватила ремнем, составленным из этих полосок, участок земли на берегу залива. Так возник город Карфаген. Задача Дидоны состоит в указании формы границы участка, имеющей заданную длину, при которой площадь участка максимальна. Если знать экстремальное свойство круга, то решение получается немедленно: граница участка представляет часть окружности, имеющей заданную длину. Экстремальными задачами занимались многие античные ученые (Евклид, Архимед, Аристотель и др.). Известна следующая задача Евклида (IV век до н.э.): в заданный треугольник ABC вписать параллелограмм ADEF наибольшей площади. Нетрудно доказать, что решением этой задачи является параллелограмм, вершины D, E, F которого делят соответствующие стороны треугольника пополам.

После гибели античной цивилизации научная жизнь в Европе стала возрождаться только в XV веке. Задачи на экстремумы оказались среди тех, которыми интересовались лучшие умы того времени. Если в античные времена задачи на экстремумы исследовались только геометрическими методами и каждая задача для своего решения требовала специфического приема, то в XVII веке появились общие методы изучения задач на экстремумы, которые привели к созданию дифференциального и интегрального исчислений. Первые элементы математического анализа были созданы И. Кеплером (1615 год), который так описывает появление своего открытия: "Мне как хорошему хозяину следовало запастись вином. Я купил его несколько бочонков. Через некоторое время пришел продавец - измерить вместимость бочонков, чтоб назначить цену на вино. Для этого он опускал в каждый бочонок железный прут и, не прибегая ни к какому вычислению, немедленно объявлял, сколько в бочке вина". После размышлений Кеплер открыл секрет такого простого способа измерения объема бочек. Оказалось, что бочары за долгую историю научились изготавливать бочки такой формы, при которой они имели наибольший объем при заданной длине мокрой части прута. А поскольку в окрестности максимума значения функции изменяются мало (в этом суть открытия И. Кеплера), то торговец вина почти не ошибался при объявлении объема бочки по одному измерению.

Открытое И. Кеплером основное свойство экстремумов было затем оформлено в виде теоремы сначала П. Ферма (для многочленов), потом И. Ньютоном и Г. В. Лейбницем для произвольных функций и носит теперь название теоремы Ферма, согласно которой в точке экстремума x0 непрерывной функции f (x) производная функции равна нулю:

С тех пор исследование функций с помощью анализа бесконечно малых величин стало одним из мощнейших математических методов и привело к созданию современного математического анализа.

§2 Способы решения задач на экстремумы

Различны и многообразны приёмы и методы решения задач на экстремумы, как аналитические (перебора, оценки, неравенств и др.) так и геометрические (преобразование плоскости, оценка, перебор…). Каждый метод по-своему уникален и неповторим. Эти приёмы можно отнести к элементарным, т.к. они не предполагают применения математического анализа, а ограничиваются алгебраическим или геометрическим подходом к решению задачи на экстремум. Каждый их таких элементарных приемов является мостиком к решению не большого класса задач на экстремум, но методически для нас важен тем, что актуализирует знания учащихся из области алгебры или геометрии. Кроме того, применение этих методов для ряда задач будет более рационально, чем использование инструментов математического анализа, ибо незачем "стрелять из пушки по воробьям".

В отличии от элементарных приёмов, использование производной даёт нам метод действительно универсальный. Который можно применять для решения всего этого широкого спектра задач.

В этом разделе рассмотрены основные методы решении задач на экстремумы и их применение при решении конкретных задач.

2.1 Элементарные приемы решения задач на экстремумы

Геометрический подход к решению задач

Метод преобразования плоскости

В качестве одного из основных методов решения геометрических задач на экстремумы используется метод преобразования плоскости. Суть метода заключается в следующем.

Пусть требуется найти экстремум элемента х фигуры F, однозначно определенного элементами x,аi,i = 1,2,...,n.

Метод нахождения экстремума:

Элементу х зададим определенное значение х = С и решим задачу на построение фигуры F по заданным элементам х и аi.

Решив эту задачу, считаем элемент с перемещением. Затем, применяя те или иные преобразования плоскости, замечаем те особенности, которые возникают при достижении элементом х максимального или минимального значения.

Выделение указанной особенности позволяет сделать заключение об экстремуме элемента х фигуры F.

Посмотрим применение метода при решение конкретной задачи.

Пример 1:

Среди всех возможных треугольников с данным основанием а и противолежащим углом б найти треугольник, имеющий медиану максимальной длины.

Решение:

1)Обозначим длину медианы АК = х (рис.8). Пусть х = та (определенное число) и решим задачу: построить треугольник ABC по данному углу А = б, противолежащей стороне а и медиане та

2) Решив эту задачу (используя методы построения), считаем длину медианы та переменной и замечаем особенности, возникающие при достижении медианой максимального значения.

3) Если точка А перемещается по окружности, то ВС и угол BAC остаются постоянными, и длина медианы изменяется в пределах: А2К <та < А1 К.

4) Значит, из всех треугольников с данным основанием и противолежащим углом равнобедренный треугольник имеет наибольшую медиану.

Пример 2:

На плоскости нарисован угол A<900, внутри него задана точка М. Укажите на сторонах угла такие точки В и С, чтобы выполнялись условия: АВ = АС и сумма МВ+МС принимала наименьшее значение.

Решение:

Используем общие рассуждения метода преобразования плоскости. Неизвестный элемент в этой задаче представляет сумму MB + МС, т.е. х = МВ+ МС. Численное значение элемента х зависит от определения места расположения двух точек В и С.

Но так как граничного значения элемента х не видно, то решение задачи нужно свести к определению одной точки.

С этой целью применим поворот плоскости вокруг точки А на угол А=б. Точка В перейдет в точку С, точка С в С', точка М в М'. Теперь легко заметить, что численное значение х= МС+МВ = МС +М'С зависит только от расположения точки С, которая определит граничное значение элемента х = МС+М'С, и если C1=MM'AE, то M'C1 + MС1 = М M'. Но MB = М'С, поэтому min (МС + MB) = ММ1, где М'= RбА(М).

Пример 3:

Дан треугольник АВС и внутри него две точки D и Е. Как кратчайшим путем пройти из одной точки в другую, побывав на каждой стороне треугольника?

Решение:

Выполним следующее построение. Построим точки D1 и Е1, симметричные D и Е относительно АС и ВС. Построим также точку D2, симметричную D1 относительно АВ. Проведем отрезок D2Е1 и построим ломаную DMKLE. Длина ее равна длине отрезка D2Е1. Легко сообразить, что всякий иной путь из D в Е, с тем же порядком захода на стороны данного треугольника, будет длиннее. Но можно было бы порядок захода на стороны треугольника избрать иной (выполнив такие же построения). Всего таких ломаных линий, как DMKLE, получится три. Останется выбрать из них имеющую наименьшую длину, для чего достаточно сравнить три таких отрезка, как D2E1.

Метод перебора.

При решении геометрических задач на экстремумы в школе встречаются задачи, решение которых представляет собой выборку на конечном множестве объектов. Метод решения этих задач не является универсальным, так как он связан с решением задач, в которых рассматривается конечное множество фигур или фигура с размерами, выраженными натуральными числами. Однако роль этого метода очень важна, он воспитывает практические навыки учащихся, развивает потребность в нахождении оптимального результата оптимальной модели.

Рассмотрим задачу, в которой нахождения наибольшего (наименьшего) значения зависит от взаимного расположения фигур.

Пример 1: Из листов материала прямоугольной формы размером 60x130 мм выкроить заготовки двух типов, в таком количестве:

Тип заготовок	Размер заготовки	Число штук
М	2x3 мм	150
В	4x5 мм	50

Определите минимальный процент отходов.

Решение:

Эта задача играет важную иллюстративную роль. Она позволяет разъяснить учащимся характер задачи рационального раскроя промышленных материалов и основные методические приемы, которые нужны при их решении.

С целью облегчения поисков решения данной задачи следует предложить учащимся исходные данные листа материала и заготовок с соответствующим масштабом на рисунке. Далее нетрудно видеть, что каждый лист материала можно раскроить различными способами, получая при этом большее или меньшее количество заготовок. Приведем возможные способы раскроя листа материала

1 способ:

2 способ:

3 способ:

4 способ:

5 способ:

6 способ:

И посчитаем в каждом случае потери материала при каждом раскрое. Это дает возможность рассмотреть все возможности варианты раскроя и выбрать наилучший. На этом пути приходится встречаться с методом перебора. Результаты рассуждений целесообразно свести в таблицу, из которой легко сделать вывод об оптимизационном расходе материала

Способ	1	2	3	4	5	6
Количество заготовок типа М	9	5	6	1	0	13
Количество заготовок типа В	1	2	2	3	3	0
Потери площади в кв. ед.	4	8	2	12	18	0

Оптимальный план раскроя состоит в том, что 25 листов материала нужно раскроить способом 3, при этом потеря материала будет минимальной, то есть 2,6 %.

Достаточно изменить число заготовок и задача станет более сложной, тогда она может быть предложена учащимся для индивидуальной работы.

Пример 2: (Задача о наименьшей площади.)

Дан угол и точка внутри него. Требуется провести через эту точку прямую, отсекающую от угла треугольник наименьшей площади.

Решение.

Покажем, что искомая прямая обладает тем свойством, что отрезок ее, лежащий внутри угла, делится заданной точкой пополам. Такую прямую нетрудно построить. Можно, например, соединить заданную точку М с вершиной А, на продолжении отрезка [AM] отложить отрезок [MA'], равный по длине отрезку [AM], и провести через точку А' прямую параллельно АС. Пусть D- точка пересечения этой прямой и стороны АВ. Тогда, как легко понять, прямая, соединяющая точку D с точкой М и пересекающая АС в точке Е, обладает тем свойством, что |DM| = |ME| (ибо треугольники

MDA'и МЕА равны)

Искомая прямая построена. Возможны и другие способы построения.

Докажем теперь, что построенная прямая

действительно является искомой. Для этого проведем какую-нибудь еще прямую D'E'. Пусть для определенности точка Е' лежит вне Е. тогда площадь треугольника AE'D' равна площади треугольника AED минус площадь треугольника EME' и плюс площадь треугольника MDD'. Обозначим через F точку пересечения прямой DA' с прямой D'E'. Тогда треугольники EME' и MDF равны. Но второй из этих треугольников содержится в треугольнике DD'M. Из сказанного вытекает, что площадь треугольника ADE меньше площади треугольника AD'E'.

Пример 3.

В шар радиуса R вписан конус, осевое сечение которого - равносторонний треугольник. Определить, между какими пределами может изменяться разность площадей двух сечений, из которых первое (КGFD) получается в результате пересечения шара плоскостью, параллельной основанию конуса, а второе(NPF) - в результате пересечения конуса той же плоскостью.

Решение.

Площади обоих сечений равны нулю в том случае, когда проводимая плоскость касается шара в точке В (вершина конуса). Площади обоих сечений будут равны, когда проводима плоскость совпадает с плоскостью основания конуса. Когда же проводимая плоскость занимает промежуточное положение между положениями рассмотренными выше, то площади сечений шара и конуса не равны. Итак, разность S площадей сечений шара и конуса изменяется от нуля до нуля, переходя через максимум, который мы определим.

S=( MK2- MN2 ); OB=R; MB=x;

MK2 = OK2 - OM2 = R2- (R - x)2 = 2Rx - x2/

Так как ? АВС равносторонний по условию и АС || NP, то и ? NBP также равносторонний, следовательно, MN2 = .



Следовательно S= 2x (3R - 2x),

которое будет максимально, когда максимально S1= 2x(3R- 2x). Так как сумма множителей 2x + 3R - 2x = 3R, то S1 максимально, когда 2х= 3R- 2х, т.е. х= ѕR. Следовательно, максимальное значение S равно .

Метод оценки.

Суть метода состоит в следующем. Рассматривается конкретная геометрическая фигура F, выделяется одна или несколько величин, которые характеризуют данную фигуру. Требуется оценить выделенную величину или совокупность величин, то есть доказать, что величина Z удовлетворяет одному из неравенств вида: Z<M или Z>m, (1) где т и М определяются условием задачи.

Для решения задачи требуется установить справедливость одного из неравенств (1), то есть доказать, что для каждого Z, принадлежащего одному из неравенств (1), фигура F существует и ни для одного числа Z, не удовлетворяющего неравенству, фигура F не существует. Заключительным этапом решения задачи является определение экстремальных значений т и М.

Задачи, имеющиеся в учебниках геометрии, чаще всего решаются методом оценки.

Пример 1:

Примером может послужить такая задача.

Расстояние от пункта А до В 4 км, а от В до С в двое больше. Какое наибольшее и наименьшее расстояние может быть от пункта А до пункта С.

Решение:

Расстояние АС зависит от места расположения точки С. Так как расстояние ЕС постоянное, то точка С принадлежит точкам окружности с

R = BC, В - центр. Легко заметить какие граничные значения может принимать АС,4 = АС2 < AСi <АВ + BCi = 12.

Отсюда, наибольшее: [АСi] = 12км;

наименьшее: [АСi ] = 4 км.

Искомыми точками Сi являются концы диаметра длиной 16 км с центром окружности в точке В.

Пример 2:

На озере, имеющем форму круга, расположен объект длиной ОА. В каком месте на берегу должен остановиться наблюдатель, чтобы наилучшим образом рассмотреть объект ОА (О - центр круга)?

Решение:

Пусть М - произвольная точка окружности k. Ставится задача оценить величину угла AMiO.

Если M k, а С МiА и МiА ОС, то

0° < АМiO < AM'О так как ОС ? ОА.

Задача имеет два решения:

max(AMiO) = AM'О= AM'iО,

где ОА M'M'i

Пример 3:

Рассмотрим еще задачу об экономном расходовании материалов. Попытаемся установить, для какой крыши (двускатной или четырехскатной) потребуется больше кровельного материала.

Решение:

Будем считать, что оба ската двускатной крыши наклонены к горизонтальной плоскости под углом ц, скаты 1 и 2 четырехскатной крыши - под тем же углом ц, а 3 и 4 - под углом б. При этих предположениях и указанных на чертеже размерах площадь двускатной крыши будет равна , а четырехскатной - . Для сравнения этих площадей рассмотрим разность их . Здесь b>0, m>0, 0<б<900 и 0<ц<900. Поэтому при б<ц получим S2-S1<0, при б=ц будем иметь S2-S1=0, а при б>ц S2-S1<0. Следовательно, если все скаты как двускатной, так и четырехскатной крыш будут одинаково наклонены к горизонтальной плоскости, то кровельного материала понадобится одинаково на обе крыши. Если же скаты 3 и 4 четырехскатной крыши будут иметь больший угол наклона, чем скаты 1 и 2, то для четырехскатной крыши кровельного материала понадобится больше, чем для двускатной, а при меньшем угле - меньше.

Алгебраический подход к решению задач

Встречаются такие задачи на отыскание наибольшей и наименьшей величины, которые оптимальнее всего решать методами элементарной математики.

Использование квадратичной функции

При решении задач этим методом мы будем опираться на следующую теорему:

Теорема 1. Функция ах2 + вх + с при а>0 имеет наименьшее значение, равное (4ас-b2)/4, и при а<0 - наибольшее значение, равное тоже (4ас-b2)/4. Эти наименьшие и наибольшие значения получаются при х = - b/2а.

Доказывается эта теорема с помощью выделения полного квадрата. Приведем примеры.

Пример:

Найти наименьшее значение функции



и построить ее график.

Поиски решения.

Данную функцию можно изобразить аналитически так:

Отсюда видно, что при х = -1 она теряет смысл, а при всех других действительных значениях х принимает только положительные значения. Следовательно, ее наименьшим значением может быть только положительное число. Обнаружить это наименьшее значение непосредственно не представляется возможным. Поэтому надо обратиться к каким-то целенаправленным преобразованиям данного аналитического изображения функции.

Решение:

Очевидно, что

Обозначив дробь буквой u, получим:

Искомое наименьшее значение равно и получается оно при т.е. при

х = 1

Перейдем к построению графика данной функции. Составим таблицу нескольких значений х и у, пользуясь формулой

х	-3	-2	-3/2	-1	-1/2	0	1	2	3	…
у	7/4	3	7	Х	3	1	3/4	7/9	13/16	…

Если аргумент х будет приближаться к -1 (слева или справа), то у будет неограниченно возрастать.

Теперь посмотрим, как будет вести себя у, когда х станет стремиться к плюс бесконечности или минус бесконечности. Очевидно, что

Отсюда видно, что при стремлении х к бесконечности у стремится к 1.

Пример 2:

Требуется соорудить канал с поперечным сечением ABDC, где АВ=CD, АВ и CD перпендикулярны к BD. Сумма длин АВ, ВD и СD должны быть равной Р метрам.

Спрашивается, какими надо сделать ширину и глубину канала, чтобы площадь его поперечного сечения, т.е. площадь прямоугольника с вершинами в точках А, В, С, D, оказалась бы наибольшей?

Поиски решения.

Поскольку мы еще не знаем, какими надо сделать глубину и ширину канала, то естественно обозначить эти переменные какими-либо подходящими буквами. Например, положить АВ = х и BD = у. Далее надо выразить через х и у ту величину, наибольшее значение которой нам надо найти, т.е. площадь сечения канала. Эта площадь выразится произведением ху, т.е. будет зависеть от двух переменных величин х и у. Но наше исследование облегчится, если нам удастся выразить площадь в зависимости только от одной переменной. Очевидно, что в данном случае это сделать легко, т.к. по условию задачи 2х + у = Р.

Решение.

Пусть АВ = х, тогда и CD = х, а BD = P - 2x. Площадь сечения будет равна х (Р - 2х). Задача сводится к определению наибольшего значения функции х (Р - 2х), которая представляет собой многочлен второй степени, имеющий вид -2х2+Рх. Очевидно, что

Отсюда видно, что наибольшая площадь получится в том случае, когда мы сделаем глубину канала х = Р/4. Тогда окажется ширина у равной Р/2, а наибольшая площадь равной Р2/8.

Пример 3:

Найти наименьшее и наибольшее значение функции y=4x+6|x-2|-x2 на отрезке [-1;3].

Решение:

y=-( x2-4x+4-4)+ 6|x-2|=-(x-2)2 +6|x-2|+4. Так как а2=|а|2, то

y= -|x-2|2+6|x-2|+4. Пусть t=|x-2|. Поскольку -1 ? х ? 3, то 0 ? t ? 3. При этом y=-t2+6t+4 возрастает и, следовательно,

min y(t)=y(0)=4, max y(t)=y(3)=13.

[0;3] [0;3]

Если t=0, то x=2. Если t=3, то |x-2|=3

Но по условию х[-1;3], поэтому остается только значение х=-1.

Ответ: min y(х)=y(2)=4, max y(х)=y(-1)=13.

[-1;3] [-1;3]

Оценок и неравенств

Теорема 2.

Функция х + , где а > 0 и x > 0, имеет наименьшее значение равное 2. Это наименьшее значение получается при х = .

или

Очевидно, что .

Отсюда следует, что наименьшее значение получается при х - 2 = , т.е. при х = 6, а само наименьшее значение равно 10.

Теорема 3.

Если сумма двух положительных переменных величин постоянна, то произведение этих переменных имеет наибольшее значение, когда оба сомножителя принимают одинаковые значения.

Доказательство.

Пусть х и у - положительные переменные величины и пусть х + у = с, где с - постоянная величина. Применяя неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, получим:

 или, наконец,

Отсюда очевидно, что наибольшее значение произведения ху равно с2/4 и получается оно при х = у.

Теорема 4.

Если сумма n положительных переменных величин постоянна, то произведение этих переменных имеет наибольшее значение, когда все эти переменные принимают одинаковые значения. (Эта теорема является обобщением теоремы 3.)

Доказательство.

Пусть х1, х2, …, хn - положительные переменные величины и пусть х1 + х2 + … + хn = с, где с - постоянна. По теореме Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом имеем:

Отсюда х1х2…хn?(с/n)n ( здесь знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда х1 = х2 = …= хn). Следовательно, наибольшее значение произведения х1х2…хn равно (c/n)n и получается оно при х1 = х2 = …= хn. Теорема доказана.

Пример 1:

Найти наибольшее значение функции х4(32-х4).

Поиски решения.

Данная функция принимает отрицательные значения при , а при -положительные. Поскольку ее наибольшее значение надо искать среди значений х меньших , чем

Если мы положим х4 = у, то задача сведется к нахождению наибольшего значения многочлена второй степени, имеющего вид:

- у2 +32у.

Однако если проявить наблюдательность и заметить, что сумма множителей х4 и (32 - х4) является величиной постоянной, то можно воспользоваться теоремой 3 и решить задачу проще.

Пример 2:

Найти наибольшее значение функции 3х2 - 2х3 при 0<х<3/2.

Поиски решения.

Во-первых, выясним, почему здесь на независимую переменную х наложены ограничения. Если допустить, что х<0, то данная функция не будет иметь наибольшего значения, так как она будет неограниченно возрастать при неограниченном возрастании абсолютной величины аргумента х, принимающего отрицательные значения. Например, при х = -1000 значение данной функции будет равно 3 10002 + 2 10003. Если же допустить, что х>3/2, то окажется, что 3х2 - 2х3<0. При значениях же х, заключенных между нулем и числом 3/2, все значения данной функции будут положительными. Поэтому наибольшее значение надо искать при таких значениях х, которые удовлетворяют неравенствам 0<х<3/2.

Если мы запишем нашу функцию в виде х2 (3 - 2х), то увидим, к сожалению, что сумма сомножителей х2 и (3 - 2х) не постоянна. И вот тут-то надо проявить изобретательность и записать данную функцию в виде произведения трех сомножителей, а именно так: х х (3 - 2х).

Решение. Очевидно, что 3х2 - 2х3 = х2(3 - 2х) = х х (3 - 2х).

При условиях нашей задачи в последнем произведении все три множителя положительны и их сумма равна 3, т.е. является величиной постоянной.

По теореме 4 наша функция будет иметь наибольшее значение при условии, что х = х = 3 - 2х, т.е. при х = 1. И само наибольшее значение нашей функции будет равно тоже 1. Если мы положим, например, х = 5/4, то значение нашей функции окажется равным 25/32, т.е. окажется меньшим единицы.

Пример 3:

Найти наибольшее значение функции

y=4 на интервале (-?;).

Решение:

y=4===2x-1+.

Так как по условию х<1/2, то 2х-1<0 и <0. Воспользуемся неравенством | at+b/t | ?2

для случая t<0. Тогда y=2х-1+?-2, причем знак неравенства достигается тогда и только тогда, когда

2х-1=, и 2х-1<0 .

И последней системы находим х=

Ответ: max y(x)=y()=-2

(-?;)

2.2 Универсальный метод решения задач на экстремумы

Мы рассмотрели довольно много задач на нахождение экстремумов. Те приемы, которыми мы решали эти задачи, оказались весьма разнообразными и порой, довольно искусственными. Дело обстоит так, что почти для каждой задачи на экстремум приходилось «изобретать» подходящий для нее прием. Возникает поэтому вопрос: а нет ли достаточно общего приема решения задач на экстремумы? Такой прием есть. Его дает математический анализ.

Общий прием решения задач на экстремум опирается на теорему Ферма.

Если функция у = f(х) (имеющая локальную производную) при х = х0 принимает локальный максимум или минимум, то производная от этой функции при х = х0 обращается в 0.

Геометрически это означает, что касательная к графику функции в соответствующей точке его параллельна оси х-ов

Теорема Ферма очень наглядна. И все же докажем ее.

Пусть х0 - точка максимума функции у = f(x), т.е. при х = х0 эта функция принимает наибольшее значение. Дадим х0 достаточно малое приращение h. Новое значение аргумента х0 + h будет достаточно близким к х0, и т.к. при х = х0 данная функция имеет максимум, то f(x0+h)-f(x0)?0. Поэтому

Если же дать х0 отрицательное приращение (достаточно малое по абсолютной величине), то получим:

Оказалось, что одно и то же число f '(x0) не положительно и неотрицательно. Это означает, что это число равно 0, т.е. f '(x0) = 0. Рассуждения в случае минимума аналогичны.

Чему же учит нас теорема Ферма? Она учит нас тому, что значения аргумента, при которых данная функция f(x) имеет локальные минимумы, следует искать среди корней уравнения f '(x) = 0. Она выражает необходимое условие экстремума:

Для того чтобы функция (имеющая производную) имела при х = х0 максимум или минимум, необходимо, чтобы производная при этом значении х была равна 0.

Необходимо, но не достаточно! Производная может быть равна 0, и все же при этом значении х функция экстремума может и не иметь. Так, например, производная функции у = х3 (у' = 3х2) при х = 0 обращается в 0, но эта функция при х = 0 экстремума не имеет (рис.2). Значит, уравнение f '(х) = 0 дает лишь «подозрительные» на экстремум значения х.

Как же из этих «подозрительных» значений выделить те, при которых рассматриваемая функция действительно имеет экстремумы?

Как для выделенных значений установить вид экстремума?

По этим вопросам мы ограничимся соображениями, источником которых является наглядность. Рассмотрим рисунок, на котором изображены максимум и минимум функции у = f(x). По этому рисунку установим, какие по знаку значения принимает производная функция f '(x) для значений х, достаточно близких к х0, меньших и больших его. Если при х = х0 данная функция имеет максимум, то для значений х, меньших х0, но достаточно близких к х0, производная будет положительна, а для больших- отрицательна, т.к. в первом случае касательная к графику функции образует с положительным направлением оси х-ов острый угол, а во втором- тупой.

Если же при х = х0 функция принимает минимальное значение, то получается наоборот. Таким образом, будет ли «подозрительная» точка х0 точкой экстремума и, если будет, то какого именно (максимума или минимума), зависит от значений, принимаемых в достаточной близости слева и справа от точки х0 производной функцией. Все возможные случаи можно записать в следующей таблице.

	х0+Дх, Дх<0	х0	х0+Дх	Поведение f(x)
f '(x) f '(x) f '(x) f '(x)	+ - + -	0 0 0 0	- + + -	максимум минимум возрастает (экстремума нет) убывает (экстремума нет)

Вот этой таблицей и можно пользоваться при решении задач на экстремумы.

Но можно из этой таблицы сделать новые выводы и пользоваться ими. Вот о каких выводах идет речь. В случае максимума с возрастанием х и переходом через значение х0 производная убывает, поэтому производная от этой производной(т.е. производная второго порядка) отрицательна. В случае минимума производная при переходе х через х0 возрастает, а значит, производная второго порядка положительна. Поэтому если в «подозрительной» точке х0 производная второго порядка f ''(x0) отрицательна, то в этой точке данная функция имеет максимум, если же f ''(x0) положительна, то функция принимает минимальное значение.

Чтобы проиллюстрировать рассмотренный общий прием решения задач на экстремумы, рассмотрим пример.

Пример 1: (Задача о прямоугольнике наибольшей площади)

Из куска стекла, имеющего указанные форму и размеры, нужно вырезать прямоугольную пластину наибольшей площади.

Решение.

Площадь пластины S = xy. За независимую переменную примем х (0<х?100). Тогда из подобия треугольников АВЕ и СDЕ следует:

Найденное значение х выходит из промежутка изменения х. Поэтому внутри этого промежутка стационарных точек нет. Значит, наибольшее значение S принимает в одном из концов промежутка, а именно при х = 100 (мм), а тогда у = 60 (мм) и S = 6000 (мм2).

Пример 2: (Задача о скорости течения воды в трубе)

По трубе, сечение которой круг с радиусом r, течет вода. Известно, что скорость течения пропорциональна так называемому гидравлическому радиусу профиля сечения (заполненного водой). Гидравлическим же радиусом профиля называется отношение площади профиля к длине смоченного (подводного) периметра профиля. При каком заполнении трубы водой скорость течения (при неизменных других условиях) будет наибольшей?

Решение:

Воспользуемся обозначениями: б - центральный угол сегмента заполнения трубы водой (в радианах), F- площадь этого сечения и R- гидравлический радиус. Тогда площадь сегмента OABC равна Ѕ r2б, а площадь треугольника AOB равна

Поэтому

Смоченный периметр равен rб, а значит,

R=

Эта формула будет верна и в том случае, когда б будет больше р. Вообще, б может меняться от 0 до 2р.

Найдем R'и составим уравнение для нахождения критических значений б. Получаем

но б ? 0, поэтому sin б - б cos б = 0, или tg б = б. Полученное уравнение может быть решено графически. Единственный корень его б ? 4,5, или б ? 2580.

Нетрудно сообразить, что производная от R, равная

при переходе через б ? 4,5, меняет знак с + на -. Значит, при б ? 2580 скорость течения будет наибольшей.

Пример 3:(Задача о наибольшем количестве теплоты).

Рассматривая основной метод решения задач на экстремум, мы ограничивались функциями, имеющими во всех точках области определения производную. Но экстремум может достигаться функцией и в такой внутренней точке области определения, где производная не существует. Такими точками являются точки излома графика, угловые точки и, в частности, может быть точки, разделяющие график на части, задаваемые разными формулами. Приведем пример.

На электроплитке кипятится чайник. Установить, когда он обладает наибольшим количеством теплоты.

Для облегчения решения будем считать коэффициент полезного действия плитки равным 100 %. Отсчет времени проведем с момента, когда чайник был поставлен на плитку. Пусть в этот момент чайник обладал q калориями теплоты. Количество теплоты (в калориях), выделенное плиткой, выражается функцией Q = 0,24J2Rt, где J- сила тока в амперах, R- сопротивление в Омах и t- время нагревания в секундах, а количество теплоты в чайнике в момент времени t равно q + 0,24J2Rt. Когда чайник закипит (в момент времени t0), вода начнет испаряться. Известно, что на образование одного грамма пара уходит 539 калорий. За одну секунду плитка выделит теплоты 0,24J2R калорий, которая идет полностью на парообразование. Поэтому за 1 секунду выкипает

воды, и с ней уносится из чайника



калорий (множитель 100 здесь появляется потому, что температура кипящей воды 1000 С). Если t > t0, то выкипевшая вода унесет из чайника 0,041J2R(t - t0) калорий и останется q + 0,24J2Rt0 - 0,041J2R(t - t0) = -0,041J2Rt + q + 0,281J2Rt0 калорий. Значит, количество теплоты в чайнике выражается функцией

График этой функции состоит из двух прямолинейных участков. Угловой точкой его является точка А, в которой функция не имеет производной. По графику видно, что рассматриваемая функция имеет максимум при t = t0, равный 0,24J2Rt0 + q.

Подведем итог. Для разыскания экстремальных значений функции нужно прежде всего найти все локальные экстремумы. С этой целью нужно найти все стационарные точки, для каждой из них воспользоваться достаточными условиями минимума и максимума и вычислить экстремум в этих точках. Далее нужно вычислить значение функции в точках (если функция в них определена), где не существует производная от данной функции. Из всех найденных таким образом значений функции надо выбрать наибольшее и наименьшее.

Можно поступать и иначе. Сначала вычислить значения рассматриваемой функции во всех “подозрительных” (в отношении существования экстремумов) точках: стационарных, концевых и где не существует производная. Наибольшее и наименьшее из этих чисел и будут искомыми наибольшим и наименьшим значениями функции.

Глава 2. Применение уровневой дифференциации в обучении математики на примере темы «Задачи на экстремумы»

§1 Дифференциация обучения

1.1 Понятие дифференциации

Обучение всех школьников по единым программам не позволяет ребенку получить образование на уровне своих возможностей. Для кого-то оказывается непосильным даже средний уровень требований, а кто-то, наоборот, недополучает знаний.

Введем понятие дифференциации. Это слово происходит от латинского differentia - различие, разделение. Что же разделяется в процессе обучения? Разделяются, а точнее, выделяются отдельные группы учащихся, обучение которых строится по-разному.

Для чего выделяются эти группы? Ответив на данный вопрос, мы определим цели дифференциации.

В условиях классно-урочной системы, без введения дифференциации процесс обучения, организуется одинаково для всех учащихся и оказывается, по-разному эффективен для них. Общие интеллектуальные способности учеников разные, разная у них и обучаемость кто-то может очень быстро усвоить новый материал, кому-то нужно гораздо больше времени, большее число повторений для закрепления его, для кого-то предпочтительнее слуховое восприятие новой информации, для кого-то зрительное. Есть ученики, обладающие хорошо развитым логическим мышлением и хорошо усваивающие предметы естественно-математического цикла, но не испытывающие склонности и интереса к гуманитарным дисциплинам. А есть ученики с хорошо развитым образным мышлением, глубоко чувствующие, но... не любящие математику, физику, химию. Конечно, можно учить столь разных индивидов одинаково, но качество образовательного процесса, естественно, снизится.

Дифференциация обучения позволяет организовать учебный процесс на основе учета индивидуальных особенностей личности, обеспечить усвоение всеми учениками содержания образования, которое может быть различным для разных учащихся, но с обязательным для всех выделением инвариантной части. При этом каждая группа учеников, имеющая сходные индивидуальные особенности, идет своим путем. Процесс обучения в условиях дифференциации становится максимально приближенным к познавательным потребностям учеников, их индивидуальным особенностям.

Немаловажной задачей процесса обучения является развитие ученика: его интеллектуальной, эмоционально-ценностной, волевой сфер. Организуя дифференцированное обучение, мы усиливаем развивающие функции процесса обучения: например, в естественно-математических классах будет обращаться внимание на развитие таких мыслительных операций ученика, как анализ, синтез, выявление закономерностей и т.п., таких элементов творческой деятельности, как видение и формулирование проблемы, выдвижение гипотез, их проверка и т.д. В гуманитарных классах больше внимания будет уделено развитию образного мышления, выразительности речевых средств и т.д. В классе коррекционно-развивающего обучения на первый план выступят задачи развития тех школьно-значимых функций, которые не достаточно развиты у ученика.

Таким образом, цель дифференциации процесса обучения - обеспечить каждому ученику условия для максимального развития его способностей, склонностей, удовлетворения познавательных потребностей и интересов в процессе усвоения им содержания общего образования.

Указанная формулировка целей дифференциации свидетельствует, что характерным для нашего понимания дифференциации является выделение ее направленности на максимальное развитие каждого ученика, создание ему комфортных условий образовательного процесса. Дифференциация не направлена на селекцию детей и отбор самых талантливых с предоставлением им наиболее благоприятных условий развития. В условиях дифференциации педагог так видоизменяет процесс обучения, чтобы и менее способные дети смогли максимально развить свои способности и склонности и успешно освоить инвариантное содержание образования.

Учитывая все вышесказанное, в понимании дифференциации можно выделить три основных аспекта:

1.Учет индивидуальных особенностей учащихся.

2.Группирование учеников на основании этих особенностей.

3.Вариативность учебного процесса в группах.

Любые ли особенности нужно учитывать при дифференциации? Конечно же, нет, только те, которые важны для организации процесса обучения. Например, цвет глаз или волос ребенка учитываться не будут, тогда как скорость протекания нервных процессов, преобладающий тип памяти, сформированность интеллектуальных операций - в условиях дифференциации учитываются.

Рассмотрим кратко те особенности, которые следует учитывать в первую очередь при дифференциации учебной работы.

Сюда относится, прежде всего, уровень умственного развития учащегося. Это понятие включает предпосылки к учению (обучаемость - способность достигать в более короткий срок более выгодного уровня усвоения) и приобретенные знания (обученность).

К понятию обучаемости близко понятие общих умственных способностей. Под ними обычно понимается комплекс способностей, требуемых для осуществления учащимися учебной деятельности. Сюда относится способность запоминать материал, способность проведения логических операций, способность творческого мышления.

С умственными способностями тесно связана способность учащихся самостоятельно усваивать, знания, предполагающая наличие у них соответствующих интеллектуальных умений.

Следующей важной особенностью является скорость усвоения - комплексное явление, существенный показатель которого не столько скорость запоминания, сколько темп обобщений.

Кроме умственных способностей в учебной работе проявляются и специальные особенности, а также одаренность детей (прирожденные задатки для формирования способностей).

Школьные программы построены так, что все последующее опирается на уже пройденное, усвоенное. На каждом этапе обучения приобретаются соответствующие знания, вырабатываются определенные умения и навыки. Умственные способности представляют собой потенциальные возможности для учения, полученные же знания, являются базой для реализации способностей. При обучении предмету следует учитывать также индивидуальные различия в знаниях. Эти различия могут быть вызваны тем, что кто-то из учащихся может владеть предметом (например, школьник дополнительно обучается в музыкальной или художественной школе).

Кроме личностных психологических факторов на учебный процесс свое влияние оказывают:

- социальные факторы (статус ученика в классе, домашняя обстановка);

- состояние здоровья ребенка. Болезни, в зависимости от их характера, оказывают на учащегося временное или постоянное отрицательное воздействие, снижают его трудоспособность; и многое другое.

Резюмируя сказанное, можно выделить следующие обобщенные особенности учащихся, которые в первую очередь следует учитывать при индивидуализации учебной работы:

1) обучаемость, т.е. общие умственные способности, а также специальные способности;

2)учебные умения;

3)обученность, которая состоит как из программных, так и внепрограммных знаний, умений и навыков;

4)познавательные интересы;

5)социальные факторы.

Обратимся к практике дифференциации, которая в настоящее время представлена множеством различных проявлений, попытаемся их систематизировать.

Конкретные проявления дифференциации мы называем формами дифференцированного обучения, которые могут быть объединены в виды и реализовываются на различных уровнях.

Виды дифференциации определяются, исходя из тех индивидуально-типологических особенностей учащихся, которые в данном случае учитываются.

Традиционно выделяются следующие виды дифференцированного обучения: по общим и специальным способностям, по интересам, склонностям, по проектируемой профессии.

Понимание дифференциации по общим способностям предполагает учет уровня общих способностей учащихся, т.е. низкий уровень их развития и будет являться основанием для дифференциации по неспособностям.

К традиционным видам дифференциации в настоящее время добавилась дифференциация по национальному признаку, когда создаются специальные школы для детей различные национальностей, например в г. Москве -- это армянские, грузинские, еврейские школы (сейчас они называются школами с этнокультурным компонентом); по религиозной принадлежности -- православные школы, есть школа ведической культуры «Гурукула»; по социальному и имущественному положению родителей -- в некоторых негосударственных образовательных учреждениях могут учиться только дети обеспеченных родителей, т.к. велика плата за образование.

Дифференциация может осуществляться на различных уровнях. Обычно выделяют три уровня:

I-й микроуровень, когда различный подход осуществляется к отдельным группам детей внутри класса. Этот уровень дифференциации иногда называется внутренней или внутриклассной.

II-й мезоуровень - уровень школы, когда дифференциация осуществляется внутри школы между отдельными классами, профилями, направлениями.

III-й макроуровень - дифференциация между школами, создание различных типов школ. Второй и третий уровень представляют собой дифференциацию внешнюю.

Разновидностью внутриклассной дифференциации по общим способностям является уровневая дифференциация. Остановимся на ней белее подробно.

1.2 Уровневая дифференциация

Очень плотно уровневой дифференциацией занимались Г.В. Дорофеев, В.В. Фисов и др. Организацию учебного процесса с учетом уровневой дифференциации они назвали разноуровневым обучением. Оно выражалось в том, что, обучаясь в одном классе, по одной программе и учебнику, школьники могут усваивать материал на разных уровнях. Определяющем при этом является уровень обязательной подготовки. Его достижение свидетельствует о выполнении учеником минимально необходимых требований к усвоению содержания. На его основе формируются более высокие уровни овладения материалом.

При такой дифференциации учитель четко выделяет содержание учебного материала, который ученики должны усвоить, занимаясь на том или ином уровне, и перед началом изучения темы должен познакомить учеников с результатами которых они должны достичь (т.е. с планируемыми результатами обучения).

В основе данного вида дифференциации лежат не только общие способности учеников, но и их интересы. Ученик может выбрать минимальный уровень изучения предмета не потому что не способен изучить его глубже, а потому что его интересы лежат в другой познавательной области.

Предлагая обязательные результаты обучения, их авторы исходили из того, что в процессе обучения учителя всегда ориентировались на максимум содержания материала. Если ученик полностью осваивал этот максимум, его знания оценивались 5 баллами, если был незначительные пробелы или неточности - 4 баллами и т.д. Добросовестный ученик был ориентирован именно на максимум знаний и изо всех сил старался его усвоить. Это вызывало у него перегрузку, так как на максимум знаний надо было усвоить по всем предметам.

Авторы идеи уровневой дифференциации предложил перейти в процессе обучения от ориентации на максимум содержания к ориентации на его минимум. При этом необходимым является четкое определение того минимума, которым должен овладеть ученик и без которого он не сможет двигаться дальше в изучении данного предмета. Это минимальный уровень общих требований, который задается в виде перечня понятий, законов, закономерностей, которые ученик должен уметь решать. Определяется также содержание, которое необходимо усвоить ученику на повышенных уровнях.

Каждый ученик получает право и возможность самостоятельно определять, на каком уровне он усвоит учебный материал. Важно, что бы этот уровень не был ниже уровня обязательной подготовки.

Авторы концепции уровневой дифференциации выдвинули ряд условий, выполнение которых необходимо для успешного и эффективного ее осуществления:

Выделенные уровни усвоения материала и в первую очередь обязательные результаты обучения должны быть открытыми для учащихся.

Если цели известны и посильны ученику, а их достижения поощряется, то подросток стремится к их выполнению, т. е. формируются положительные мотивы учения, сознательное отношение к учебной работе; можно привлечь самооценку ученика для организации дифференцированной работы.

Наличие определенных «ножниц» между уровнем требований и уровнем обучения. Уровень требования должен быть в целом существенно выше, чем обязательный уровень усвоения материала. То есть уровневая дифференциация осуществляется не за счет того, что одним ученикам дают меньше, а другим больше, а в силу того, что, предлагая ученикам, одинаковый объем материала, предъявляют различные уровни требований к его усвоению. В силу этого ученик должен иметь учебник, в котором были бы предусмотрены (и явно выделены) все уровни усвоения материала (в том числе и минимально обязательные).

В обучении должна быть обеспечена последовательность в продвижении ученика по уровням. То есть не следует предъявлять более высоких требований тем учащимся, которые не достигли уровня обязательной подготовки, но при этом не следует необоснованно задерживать остальных на этом этапе.

Содержание контроля и оценка должны отражать принятый уровневый подход. Контроль должен предусматривать проверку достижения всеми учащимися обязательных результатов обучения как государственных требований, а также дополняться проверкой усвоения материала на более высоких уровнях. При этом достижении обязательных результатов целесообразно оценивать «зачтено» - «не зачтено», для более высоких уровней

целесообразно соответствующую шкалу оценивания (например, отметка «4», «5»).

Добровольность в выборе уровня усвоения и отчетности.

Эти идеи легли в основу проекта стандарта школьного образования, в котором требование к математической подготовке школьников задается на двух уровнях: уровне обязательной подготовки и уровне, условно названном, уровнем возможностей. Уровень обязательной подготовки характеризует тот минимум, который должны получить все учащиеся и определяет нижнюю допустимую границу результатов математического образования. Уровень возможностей характеризует результаты, к которым могут стремиться и достичь учащиеся, изучающие общеобразовательный курс.

Таким образом, введение стандарта полностью соответствует концепции уровневой дифференциации, предполагая наличие хотя бы двух уровней овладения материалом: обязательного и повышенного. Однако, количество уровня овладения материалом может быть увеличено. В работах современных авторов обычно идет речь, как минимум, о трех (и более) уровнях.