Использование мультимедийных средств на начальном этапе изучения обыкновенных дробей и процентов в 5-6 классах общеобразовательной школы

Большее из двух чисел расположено правее, а меньшее - левее.

Авторы оговаривают тот случай, когда числовой луч не позволяет выполнять сравнение: числа «неудобно» изобразить. Таким образом, мотивируя дальнейшее изучение дробей.

Затем, авторы предлагают ряд упражнений для классной работы, среди которых можно выделить задания на применение полученных знаний.

Класс визуальных задач «Посмотри и найди»:

№17. Какую часть отрезка АВ составляет отрезок CD? Какую часть отрезка CD составляет отрезок АВ?

№18. Какую часть каждый из отрезков АВ, CD и EF составляет от других отрезков? Сделай записи.

Авторы «приучают» детей сознательно разбираться в особенностях дробей, чтобы использовать эти свойства в различных преобразованиях.

Глава 3, § 1, п. 2. «Основное свойство дроби. Преобразование дробей». Основное свойство дроби выводится из рассмотрения примеров на увеличение или уменьшение величины дроби в связи с увеличением и уменьшением ее челнов в несколько раз. Рассмотрение примеров иллюстрируется чертежом.

= , числитель и знаменатель второй дроби в 5 раз превышает числитель и знаменатель первой дроби. Вывод из рассуждений записывают в виде правила, основного свойства дроби: Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь:

Приводится замечание: основное свойство дроби показывает, что всякое целое или дробное число можно записать в виде дроби бесконечным числом способов, например:

3 = = = = = …

Выделяют обучающие визуальные задачи «Посмотри и определи»:

№60. Объясните равенство дробей сначала с помощью рисунка, а потом с помощью основного свойства дроби:

№115. Перерисуйте фигуры в тетрадь. Закрасьте части фигур, соответствующие указанным дробям. Какими еще дробями можно выразить закрашенные части фигур? Запиши ответ с помощью равенств.

Опираясь на основное свойство дроби, авторы отмечают, что всегда можно добиться, чтобы дроби имели или один и тот же знаменатель, или один и тот же числитель, что затем их можно было сравнить. Правило сравнение дробей очевидно из самого понятия дроби: ясно, если мы делим какую-то сумму денег на несколько равных частей, то чем больше мы возьмем таких частей, тем больше денег нам достанется; если делим предмет на большее число частей, то каждая часть получается меньше. Отсюда правила:

из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та дробь, у которой числитель меньше;

из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та дробь, у которой знаменатель больше.

В качестве специального вопроса рассматриваются примеры решения задач на нахождение части целого и целого по его части.

Выделяют три задачи:

1. Задачи на нахождение части от числа, выраженной дробью.

2. Задачи на нахождение числа по его части, выраженной дробью.

3. Задачи на нахождение дроби, которую одно число составляет от другого.

Тип задачи определяется тем, что неизвестно - a, b или , где а - некоторая величина, принятая за единицу («целое»), b - некоторая часть целого, выраженная дробью .

Учащиеся решают такие, опираясь на смысл понятия дроби. Затем показываются формальные приемы решения этих задач умножением или делением на дробь.

Перевод алгоритма решения всех трех задач на математический язык можно представить в виде одного равенства:

Полученное равенство верно как для случая, когда дробь является правильной (b - правильная часть а), так и случая, когда эта дробь является неправильной (b - неправильная часть а).

Линия задач продолжается при рассмотрении комбинированных задач на дроби.

Закреплению задач на дроби способствуют следующая визуальная задача:

№508. Составь и реши задачи по схеме. Придумай и реши для них обратные задачи.

Учебное пособие содержит упражнения на дроби, которые необходимо записать в виде знака процента.

№14. Запишите с помощью дробей, какие части фигур закрашены. Какую дробь можно записать в виде натурального числа, а какую - с помощью знака процента?

Рассмотрим проценты в контексте темы «Обыкновенные дроби».

Данная тема предложена авторами для изучения в начале 6 класса. §2 «Проценты» рассматривается в Главе 2. Арифметика. К этому времени ученики уже познакомились с дробями и действиями над ними. Изучение процентов идет в 4 этапа:

1. Понятие о проценте.

2. Задачи на проценты.

3. Простой процентный рост.

4. Сложный процентный рост.

В пункте 1 «Понятие о проценте», авторы описывают что такое «проценты»: «Процентом от любой величины называется одна сотая часть. Обозначается -%.

1% = 0,01 =

Один процент от минимальной заработной платы (1997 г) 83490 руб. - это 834,9 руб.».

После основного понятия представлена историческая справка о происхождении «процента» и правила выражения процента десятичной дробью или натуральным числом. А так выражение числа в процентах. «Чтобы выразить проценты десятичной дробью или натуральным числом, нужно число, стоящее перед знаком %, разделить на 100. А чтобы выразить число в процентах, надо его умножить на 100».

Затем, авторы предлагают ряд упражнений для классной работы на применение сформулированных правил.

№308. Найди 1% от: а) 340 руб.; б) 1 км.; в) 0,3 л. …

Рассмотрим систему таких упражнений в соответствии с классификацией Н. А. Резник.

№313 («Посмотри и определи»). Какую часть числа составляют 5%, 10%, 20%, 25%, 40%, 50%, 60%, 75%, 80% ? Перерисуй в тетрадь, заполни и выучи таблицу:

Проценты	5%	10%	20%	25%	40%	50%	60%	75%	80%
Десятичная дробь
Обыкновенная дробь

№319 («Посмотри и определи»). Расшифруйте название европейского государства, подобрав указанные доли величины. Выразите в процентах, какую примерно часть площади Москвы оно составляет и какую часть населениям Москвы составляет его население? (Необходимые числовые данные узнай в энциклопедии.)

№328 («Посмотри и определи»). Фонд общественного мнения города N опубликовал следующие данные о зрителях популярных телесериалов:

Можно ли на основании этих данных утверждать, что:

1) хотя бы один житель города N смотрит оба телесериала;

2) хотя бы один житель города N смотрит дважды в день телесериал «Петербургские тайны»;

3) хотя бы один житель города N смотрит дважды в день телесериал «Санта-Барбара»;

4) телесериал «Санта-Барбара» смотрит меньшее число жителей города N;

5) телесериал «Петербургские тайны» смотрит большее число жителей города N?

Какие еще выводы позволяют сделать приведенные данные?

№339 («Выбери ответ»). Определите по каждому рисунку, какой примерно процент фигуры закрашен, и выбери наиболее подходящий ответ из трех данных. Прочитай название столицы европейского государства. Какое это государство?

После несложных упражнений на закрепление, рассматриваются задачи.

Например:

№323. Три человека организовали предприятие и договорились, что первый из них будет получать третью часть прибыли, двое других по 20%, а остальные деньги они будут вкладывать в развитие своего предприятия. Сколько процентов от прибыли они будут вкладывать в развитие предприятия? Вырази эту часть числом и в процентах.

Решение.

Вся прибыль составляет 100%: 100% = 1

+ + = , где = 20% ()

1 - = , тогда · 100% = 26 %.

Ответ: или 26 %.

Чтобы ученики не забывали понятие дроби, после классных упражнений представлены задачи на повторение.

Пункт 2 «Задачи на проценты». Авторы говорят: «поскольку проценты выражаются дробями, то задачи на проценты являются по существу теми же задачами на дроби». Задачи делятся на 3 типа:

1. Нахождение процента от числа.

2. Нахождение числа по проценту.

3. Нахождение процентного отношения двух чисел.

Для каждого типа сформулировано правило. В простейших задачах на проценты некоторая величина «а» принимается за 100%, а ее часть «b» выражается числом «p%». Например, чтобы найти процент от числа, надо это число умножить на соответствующую дробь, т.е. чтобы найти от а, надо а умножить на .

Задача 1. У Ани было 12 000 р. Из них 40% она затратила на завтрак в буфете, а на остальные деньги купила 10 тетрадей. Сколько рублей стоит 1 тетрадь?

Из расчетных задач основное внимание здесь уделяется нахождению процента от некоторой величины. Заметим, что изучение процентов будет продолжено в теме «Отношения и проценты», а также в последующих классах.

Учебник: Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Арифметика, 5-6 Кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2000. - 255 с. [1, 2]

Введение понятия дроби рассматривается в последней главе IV «Обыкновенные дроби» учебника за 5 класс. Появление дроби происходит в результате деления на любое число равных отрезков, в качестве примера приводится деление длины отрезка. Измерение, которого не всегда дает в результате целые числа. Записи чисел , , , , , … называют обыкновенными дробями или короче дробями. Таким образом, смысл дробей , , - это одна из равных долей или несколько равных долей единицы, дробь обозначается через , где p и q - натуральные числа, а дробь означает пэ части единицы, называют дробью или рациональным числом. Авторы сообщают, что дробь можно получить, записав любое натуральное число p с числителем p и знаменателем 1: p = .

После небольшой теоретической справки приводится ряд упражнений, направленных на закрепления понятия дроби, выделим из них лишь некоторые:

№737 («Посмотри и определи»). На рисунке изображены часы.

а) Какая часть окружности заключена между часовой и минутной стрелками, считая от минутной стрелки к часовой по их ходу, в 6 ч 00 мин; в 3 ч 00 мин?

б) Какую часть окружности пройдет конец минутной стрелки: за 30 мин; за 15 мин; за 20 мин; за 45 мин; за 40 мин?

в) Какую часть часа составляет: 10 мин; 5 мин; 25 мин; 55 мин?

№738 («Тренажер»). Перечертите в тетрадь квадрат 4 x 4 клетки рисунок. Закрасьте:

а) квадрата; б) квадрата; в) квадрата.

№739 («Посмотри и найдите»). На рисунке отрезок АВ разделен на 6 равных частей. Какую часть отрезка АВ составляет отрезок AD?

Пункт 4.2 «Равенство дробей». Авторы говорят о дробях, определяющих одно и то же число, записанное разными способами: = .

Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь: = или наоборот: = - основное свойство дроби. Авторы придерживаются одного обозначения дроби на протяжении всего курса. Из основного свойства следует правило сокращение дробей: если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель (n), то дробь можно сократить на этот множитель, т. е. разделить на него и числитель и знаменатель. Здесь же отмечается что, если числитель дроби делится на знаменатель, то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель. Таким образом, дробь представляется результат деления числителя на знаменатель.

Закрепить основное свойство предлагается примерами:

№761. Объясните с помощью рисунка, почему = = = .

При вычислениях с дробями допускается сокращение дроби на любой общий делитель ее числителя и знаменателя (необязательно наибольший), а также приведение дробей к любому общему знаменателю (необязательно к наименьшему). Но в этом и в другом случае разъясняется, когда вычисления будут наиболее рациональными.

Формирование понятия дроби сопровождается обучением решению простейших задач на нахождение части числа и числа по его части. В пункте 4.3 «Нахождение части числа и числа по его части» соответственно рассматриваются только две задачи:

Задача 1. Было 1000 рублей, этой сумы истратили. Сколько денег истратили?

Решение. Будем считать, что 1000 р. Состоит из пяти пятых долей. Тогда на одну пятую приходится 1000 : 5 = 200 р., а на две пятых - в два раза больше: 200 · 2 = 400 р. Эти два действия можно объединить: 1000 : 5 · 2 = 400 р.

Чтобы найти числа 1000, можно это число разделить на знаменатель дроби и результат умножить на числитель.

Задача 2. Потратили 600 рублей, что составило имевшейся суммы денег. Сколько было денег?

Решение. Будем считать, что искомое число состоит из трех третьих долей. По условию его две трети равны 600. Тогда на одну треть приходится 600 : 2 = 300 р., а на три трети 300 · 3 = 900 р. Эти два действия можно объединить: 600 : 2 · 3 = 900 р.

Чтобы найти число, которого равны 600, можно 600 разделить на числитель дроби и результат умножить на знаменатель.

После приведения дробей к общему знаменателю появляется потребность в сравнении дробей. Сравнение осуществляется при помощи чертежа.

Из двух дробей с общим знаменателем больше та дробь, у которой числитель больше. Вводятся обозначения: если p > r, то > .

Здесь же авторы вводят определение правильной и неправильной дробей. Доказывается следующее утверждение: если первая дробь меньше второй, а вторая дробь меньше третьей, то первая дробь меньше третьей.

После чего приводятся примеры для решения.

№807. Сравните правильную и неправильную дроби:

а) с 1; б) между собой.

№808. С помощью рисунка объясните, почему > , < .

Смешанная дробь рассматривается как другая запись обыкновенной неправильной дроби.

Заключительный этап изучения темы - изображение дробей точками на координатной прямой.

В данной теме решаются задачи на умножение и деление дробей, а также обращается особое внимание на то, что рассмотренные ранее задачи на дроби можно решать с помощью умножения и деления на дробь.

Перейдем к рассмотрению темы «Проценты». Учебник 6 класса открывает глава 1. «Отношения, пропорции, проценты». Поскольку тема предшествует теме «Десятичные дроби», то понятие процента определяется через обыкновенную дробь и только: процент - это одна сотая часть числа, = 1%.

С процентами связаны задачи трех основных типов на нахождение:

- процентов данного числа;

- числа по его процентам;

- процентного отношения двух чисел.

Задача 1. Найти 1% от 600 м.

Решение. 1% от 600 м равен от 600 м: · 600 = 6 (м).

Ответ: 6 м.

Задача 2. Найти число, 1% которого равен 5.

Решение. Так как 1% числа равен 5, то само число в 100 раз больше: 5 · 100 = 500.

Ответ: 500.

Задача 3. Из 30 учащихся класса в различных кружках занимается 12. Сколько процентов учащихся класса занимается в кружках?

Решение. В кружках занимается всех учащихся класса. Задача заключается в том, чтобы выразить отношение в процентах, т. е. узнать, сколько раз (процент) содержится в числе : = % = 40%.

Сначала решаются задачи на нахождение одного процента от данного числа и числа по его одному проценту. Затем задачи усложняются.

Так как задачи на проценты являются задачами на дроби, то авторы предлагают решать известным способом - умножением или делением на обыкновенную дробь. Таким образом, более сложные задачи рассматриваются в пунктах 1.7 «Задачи на проценты», 1.8 «Круговые диаграммы». Например:

№137. На круговой диаграмме показан процентный состав населения города N. Сколько мужчин, женщин и детей живет в городе N, если всего в нем 48 тыс. жителей?

Более глубоко и подробно рассмотрение процентов проходит после изучения десятичных дробей.

В данном учебном пособии использование визуальных задач преимущественно приведено на начальном этапе введения основных понятий дроби и достаточно мало при рассмотрении темы «Проценты».

Вывод.

Проанализировав учебные пособия по математики для 5 - 6 классов таких авторов как: Н.Я. Виленкина, И.И. Зубарева, В.Г. Дорофеева, С.М. Никольского можно сделать следующий вывод, что визуальные задачи при изучении темы «Проценты» используются крайне редко.

Хотелось бы отметить, что наиболее распространенное применение визуальных задач реализовано в учебных пособиях таких авторов как: И.И. Зубарева, Г.В. Дорофеев. В данных учебниках визуальные задачи используются, как правило, при введении новых понятий, а так же используются в системе упражнений на закрепление изученного материала.

Так же хотелось бы отметить, что в учебнике Г.В. Дорофеева прослеживается связь между процентами и обыкновенными дробями.

2.2 Методические основы изучения тем «Обыкновенные дроби и

проценты» в школе

Умение решать задачи на дроби и проценты в значительной мере определяются тем, как понятия дроби и процента предварительно сформированы у учащихся. Усвоение же этих понятий для многих учащихся связано с большими трудностями. Трудности в освоении дробей заключаются, в частности, в том, что ученику надо одновременно осмыслить количество долей (числитель), величину их (знаменатель) и осознать их отношение (числителя к знаменателю). Оперируя дробями, ученику приходится одновременно пользоваться правилами, которые распространяются на целые числа и противоположные им. Так, например, при сложении дробей с одинаковым знаменателем числители складываются, а знаменатели нет; с увеличением числителя (при том же знаменателе) дробь увеличивается, а с увеличением знаменателя (при том же числителе) дробь уменьшается; величина дроби не зависит от абсолютной величины числителя и знаменателя. Все это противоречит прошлому опыту ученика, а поэтому и усваивается с трудом. Формирование понятия дроби связано с отвлечением от ряда признаков, которые входили в понятие целого числа как существенные, и с выделением тех зависимостей, которые существуют между числителем и знаменателем (выделение отношений).

Необходимо правильно ввести понятие дроби, ее обозначение, научить сравнивать дроби, научить решать задачи на нахождение дроби числа. Все названные вопросы становятся для учащихся яснее, если раскрывать их на наглядной основе. Ознакомить детей с долями - значит сформировать у них конкретные представления о долях, т.е. научить детей образовывать доли практически. Например, чтобы получить одну четвертую долю круга, надо круг разделить на четыре равные части и взять одну такую часть.

Для формирования правильных представлений о долях надо использовать достаточное количество разнообразных наглядных пособий: геометрические фигуры, вырезанные из бумаги; рисунки фигур, выполненные на бумаге или в диапозитивах (круги, прямоугольники, треугольники, бруски, отрезки и т.п.); ТСО (технические средства обучения).

Эффективным упражнением для формирования представлений о долях является сравнение долей одной и той же величины, которое выполняется чисто практически.

Например, предлагается сравнить доли и и поставить знак “>”, ”<”.

Учащиеся изображают доли, например, с помощью деления квадрата на 3 и 2 равные части (рис. 1). Сравнивают соответствующие части квадрата и убеждаются, что меньше, чем .

Рис. 1

Для сравнения дробей обычно используются иллюстрации с равными прямоугольниками (рис. 2). Учащимся предлагают начертить в тетради прямоугольник, длина которого 16 см, а ширина 1 см. Это один прямоугольник. Запишем (в первом прямоугольнике записывают число 1). Начертите под первым прямоугольником такой же второй и разделите его на 2 равные части (выполняют). Какие доли получили (вторые, половины). Сколько вторых долей в целом прямоугольнике? Подпишите. Ниже начертите такой же прямоугольник и разделите его на 4 равные части. Как называется каждая часть? Сколько четвертых долей в целом прямоугольнике? Сколько четвертых долей в половине? Что больше: одна вторая или две четвертые? Начертите четвертый такой же прямоугольник и разделите его на 8 равных частей.

Рис. 2

Как называются полученные доли? Сколько восьмых долей в целом? Сколько восьмых долей в четверти, в половине прямоугольника? Что больше: три восьмых или одна четвертая? Какой дроби равна одна вторая?

Ответы на все перечисленные вопросы дети дают, глядя на рисунок.

Образование дробей, как и образование долей рассматривается на практике.

Пример: Разделите круг на 4 равные части.

Как назвать каждую такую часть?

Запишите.

Покажите три четвертые доли.

Вы получили дробь - три четвертых.

Кто сможет записать эту дробь?

Что показывает число 4 (на сколько равных частей разделили круг)? Что показывает число 3 (сколько таких частей взяли)? [46]

Аналогичным образом учащиеся получают и записывают другие дроби, объясняя, что показывает каждое число.

Для закрепления полученных знаний выполняются такие же упражнения, как и при ознакомлении с долями: по данным иллюстрациям называют и записывают, какие дроби изображены, или же изображают дробь с помощью чертежа, рисунка. Уяснению конкретного смысла дроби помогают упражнения на сравнение дробей, а также решение задач на нахождение дроби числа.

Для ребенка 7-8 лет «часть» - кусок, немного и т. п. Он еще плохо разбирается даже в отношениях между видимыми конкретными явлениями. Тем труднее для него, конечно, разбираться в отношениях между отвлеченными числами, а так как дробь есть как раз такое отношение, то изучение дробей начинается сравнительно поздно и представляет значительные трудности.

Многочисленные исследования, произведенные различными исследователями (Липман и Боген, Пиаже, Штерн и др.), притом часто по различной методике, почти единодушно утверждают, что особенно быстрый рост способности устанавливать отношения бывает у детей приблизительно около 10-11 лет. Как раз с этого возраста школа начинает изучение дробей. На трудность их для детей указывает тот факт, что когда дети изучают дроби, неуспеваемость их по арифметике значительно увеличивается. При оперировании с дробями детей в особенности затрудняет: 1) обращение со знаменателями и 2) понимание значения умножения и деления дробей [5, стр. 210].

Умножать и делить на дробь необходимо при решении текстовых задач на нахождение части от числа и числа по данной величине его части. Эти задачи, в отличие от задач, решаемых до изучения дробей, обладают некоторыми своими специфическими особенностями. Так, если до изучения дробей одно арифметическое действие всегда соответствовало одной арифметической операции (сложить, вычесть, умножить, разделить), то теперь при решении рассматриваемых задач, одно арифметическое действие выполняется с помощью двух операций (при умножении и делении на дробь).

Кроме того, в начальной школе число по данной одной какой-нибудь части его находится умножением, а часть данного числа находится делением. В V же классе при изучении дробей происходит расширение понятий «умножить» и «разделить»; теперь часть от числа находится не делением, а умножением, число же по известной его части не умножением, а делением. Следовательно, для решения тех же простых задач надо выполнять действия, обратные тем, которые выполнялись раньше.

Помимо всего этого для учеников до изучения дробей, умножение было равнозначно увеличению, а деление - уменьшению; при умножении же на правильную дробь число не увеличивается, а уменьшается, а при делении не уменьшается, а увеличивается. Всё это противоречит прошлому опыту учащихся.

Чтобы подготовить учащихся к наиболее трудному случаю умножения - умножению на дробь, необходимо повторить нахождение части от числа делением или двумя действиями. Сначала решаются задачи и примеры на нахождение одной части числа: ; и т. п.

Например: «Поле занимает 720 га; его занята горохом. Какая площадь занята горохом?»

Решение: чтобы найти часть площади 720 га, надо 720 разделить на 40 равных частей: 720 : 40 = 18 (га).

Учащимся можно предложить самим придумать задачи и примеры аналогичного содержания, с последующим объяснением и решением. Решение такого рода задач и примеров желательно сопровождать графической иллюстрацией. Для этого, например, чертят прямоугольник на клетчатой бумаге, где отмечают дроби, обозначающие какую-либо часть целого, т. е.

Дальше переходим к задачам на отыскание нескольких частей от целого: «Скорость полета стрижа 1600 м в минуту, скворца и ястреба скорости полета стрижа. Найти скорость полета скворца и ястреба в минуту».

Решение: Надо найти , от числа 1600 м. Начинать решение целесообразно со следующих вопросов:

Сколько четвертых частей числа можем (умеем) найти? (.)

Как это сделать? (1600 разделить на 4 равные части.)

Сколько получится? (1600 : 4 = 400 м.)

Как найти от числа 1600 м? (Надо 400 м умножить на 3.)

Почему? ( больше в 3 раза.)

Сколько получится? (400 • 3 = 1200 м.)

Что показывает число 1200 м? (Скорость полета скворца в минуту.)

Применяя правила увеличения и уменьшения дробей в несколько раз, учащиеся могут решать задачи на нахождение части от дробного числа, осуществляя наглядно нахождение одной или нескольких долей от дроби.

Например, от .

Нахождение неизвестного числа по его дроби (части), когда известно, какая именно часть дана и сколько единиц она составляет, тоже рассматривают, опираясь на наглядность, что приводит к лучшему усвоению детьми данного материала. Проиллюстрируем задачу: «В колхозе засеяно 52 га, что составляет часть всего поля. Как велика площадь поля?» [42, с. 237]

Таким образом, с введением дробных чисел в курс математики происходит расширение числовой области:

– новое понятие числа требует введения нового определения понятия равенства чисел, суммы и произведения;

– введение дробных чисел снимает ограничения с действия деления целых чисел (кроме деления на нуль);

– дробные числа подчиняются всем законам арифметических действий, установленным для чисел натуральных.

Изучение дробных чисел в школьном курсе продолжается с появлением процента. Тему «проценты» тоже нельзя отнести к легко усеваемым. Это связано, прежде всего, с путаницей изучаемых понятий, поскольку процент представляет собой обыкновенную дробь. Ее традиционное изучение сосредоточено в строгих временных рамках курса V - VI классов, что не позволяет расширить спектр практических приложений и полноценно учитывать возрастные возможности учащихся в формировании ряда практических умений в работе с процентами.

Тема разворачивается по спирали и изучается в несколько подходов с V по IX класс включительно. При каждом проходе учащиеся возвращаются к процентам на новом уровне, их знания пополняются, добавляются новые типы задач и приемы решения. Такое многократное обращение к понятию приводит к тому, что постепенно оно усваивается прочно и осознано.

Вопросы, связанные с процентами, позволяют сделать курс практически-ориентираванным, показать учащимся, что приобретаемые ими математические знания применяются в повседневной жизни. Интерес в значительной степени поддерживается также и содержанием задач, что служит достаточно сильным мотивом для решения предлагаемых задач.

Введение процентов опирается на предметно практическую деятельность школьников, на геометрическую наглядность и геометрическое моделирование. С самого начала освоения понятия учащиеся выполняют много заданий, в которых требуется заштриховать, закрасить, начертить, вырезать часть фигуры. Широко используются рисунки и чертежи, помогающие разобраться в задаче и увидеть путь решения.

При изложении этой темы могут быть реализованы широкие возможности для дифференцированного обучения учащихся. Использованы задачи широкого диапазона сложности - от самых простых, базовых, до достаточно трудных. Учитель может подобрать материал, соответствующий возможностям учащихся.

При обучении решению задач на проценты учащиеся знакомятся с разными способами решения задач. Ученик овладевает разнообразными способами рассуждения, обогащая свой арсенал приемов и методов. Но при этом также важно, что он имеет возможность выбора и может пользоваться тем приемом, который ему кажется более удобным.

Впервые о процентах учащиеся узнают в V классе. В одних учебных пособиях проценты рассматриваются в начале учебного года, то есть до изучения десятичных дробей (при повторении и систематизации материала, связанного с обыкновенными дробями), в других в середине учебного года после изучения десятичных дробей.

«Что такое процент» - это первая тема изучаемой линии. Основная цель данного этапа - сформировать понимание процента как специального способа выражения доли величины, выработать умение выражать процент соответствующей обыкновенной дробью. Учащиеся должны понять, что проценты это универсальная величина измерения, которая появилась из практической необходимости измерения различных величин и не только денежных.

Учащиеся осваивают фактически другую терминологию, к которой ученики привыкают через систему упражнений, нацеленных на «перевод» задач с языка долей и дробей на язык процентов и обратно. В результате еще до решения основных задач на проценты, учащиеся прочно овладевают достаточно большим набором фактов, которые помогают им в дальнейшем при изучении как темы проценты, так и математики в целом. Так, они усваивают некоторые «эквиваленты»:

25% величины - это этой величины;

половина некоторой величины - это ее 50%;

30% величины втрое больше, чем ее 10% и т.п.

Ребята учатся сравнивать доли величины, заданные разными способами:

больше, чем 25%;

некоторой величины больше 50% этой величины;

23% меньше четверти; вся величина - это 100%. И т. д. [14]

Выработке навыков может помочь работа учащихся с серией практических заданий, способствующих усвоению учащимися понятия процента. Приведем несколько примеров.

Пример: Заштрихуйте на рисунки указную часть круга:

Среди упражнений, направленных на сознательное усвоение материала, могут предлагаться такие задачи:

Примеры:

1. Для каждой фразы из первого столбца подберите соответствующую фразу во втором:

1. 100% учащихся школы

2. 25% учащихся школы

3. 10% учащихся школы

4. 50% учащихся школы

а) половина всех учащихся школы

б) все учащихся школы

в) четверть всех учащихся школы

г) десятая часть всех учащихся школы.

2. Туристы проехали 50% пути на поезде и 40% пути на автобусе. Весь ли путь они проехали?

3. В классе 40% девочек. Кого в классе больше - мальчиков или девочек?

4. Что больше:

а) 60% всего класса или половина класса?

б) 10% зарплаты или четверть зарплаты?

в) половина или 45% всего населения страны? [46]

Для формирования понятия процента очень полезны следующие задания.

Задание 1. Закрасьте: а) 10% сердечек (рис. 3); б) 60% птичек (рис. 4).

Рис. 3 Рис. 4

Задание 2. На рис. 5 изображена указанная часть фигур. Дополните рисунок так, чтобы получилось 120% фигур.

Рис. 5

Теперь, когда учащиеся достаточно свободно и осознано, владеют понятием процента, можно перейти к задаче на нахождение процентов некоторой величины. Методически целесообразно сначала находить один процент величины, а потом - несколько процентов этой величины (желательно чтобы у педагога уже были сформированы основные алгоритмы по методике нахождению процентов). Что касается второго приема решения (путем умножения на обыкновенную дробь), то конечно, его рассмотрение необходимо, но в более поздние сроки [17].

Рассмотрим, как развертывается соответствующая линия задач.

Умение решать задачи на проценты тесно связано с умением решать задачи на отыскание части от целого, а также целого по его части. Анализируя условия и тех и других задач, сначала надо определить, какая величина принята за целое (в задачах на проценты - за 100%). Далее следует выяснить, известна ли эта величина. После этого уже нетрудно определить, какая величина приходится на одну долю, и выполнить действия, необходимые для нахождения ответа на вопрос задачи.

В своей статье И. И. Зубарева говорит, что в учебниках и V и VI классов перед набором задач, в которых надо найти часть от целого по его части, целесообразно давать учащимся указание.

Прежде чем приступать к решению задачи необходимо ответить на вопросы:

· Какая величина принята за целое?

· Известна ли эта величина?

· Как найти величину, которая приходится на одну долю?(этот вопрос формулируется только в V классе)

· Что требуется найти - часть от целого или целое по его части?

Перед задачами на проценты дается аналогичное указание.

Прежде чем приступать к решению задачи ответьте на вопросы:

· Какая величина принята за 100%?

· Известна ли эта величина?

· Как найти величину, которая приходится на 1%?(этот вопрос ставится в V классе и в VI классе до изучения §21 «Нахождение части от целого и целого по его части»)

· Что требуется найти - процент от числа или число по его проценту?

При этом важно, чтобы учащиеся в случае, если величина, принятая за 100%, известна, при ответе на первый вопрос называли бы не числовое ее значение, а описывали бы величину словами. Например, вместо «50 га» говорили бы «площадь всего поля», а вместо «230 км» - «длина всего пути».

Замечание. В V классе мы рассматриваем задачи на проценты лишь двух типов: на нахождение процента от числа и нахождение числа по его проценту. Задачи на процентное отношение рассматриваются только в VI классе после изучения пропорций.

Это обусловлено многолетними наблюдениями за усвоением темы «Проценты» учениками V классов, обучавшимися по учебнику Н. Я. Виленкина и др. Опыт показывает, что задачи первых двух типов учащиеся в той или иной мере решают, а задачи третьего типа для абсолютного большинства из них недоступны. Сталкиваясь с задачами третьего типа, пятиклассники, как правило, обращаются за помощью к родителям, которые решаю задачи с помощью той же пропорции.

Итак, в V классе при изучении темы «Проценты» главное - приучить детей при анализе условия задачи определять, какая величина принята за 100% и известна ли эта величина. Если этого не происходит, учащиеся зачастую начинают действовать наугад, что приводит к неверному решению.

В VI классе уровень сложности задач повышается. Сначала возникают задачи с разными процентными базами. Приведем примеры.

Задача 1 (№281). Мотоциклист проехал 120 км, 30% из которых - по шоссе.

60% оставшегося расстояния он проехал по грунтовой дороге, а далее - по лесной тропе.

Прочитайте первое предложение и ответьте на вопросы.

Что принято за 100%? Известна ли эта величина?

Какая величина приходится на 1%?

Сколько километров мотоциклист проехал по шоссе?

Прочитайте второе предложение и ответьте на вопросы.

Что принято за 100%? Известна ли эта величина?

Сколько километров составляет путь, пройденный мотоциклистом по грунтовой дороге и по лесной тропе?

Чему равен 1% этой величины?

Сколько километров мотоциклист проехал по грунтовой дороге? Сколько километров мотоциклист проехал по лесной тропе?

Задача 2 (№282). Мотоциклист проехал по шоссе 8 км, что составило 20% всего пути. 45% оставшегося пути он ехал по грунтовой дороге, а далее - по лесной тропе.

Ответьте на вопросы.

Что принято за 100% в первом предложении, а что во втором? Известны ли эти величины? Чему равен 1% всего пути? Какова длина всего пути?

Сколько километров составляет путь, пройденный мотоциклистом по грунтовой дороге и по лесной тропе?

Чему равен 1% этой величины?

Сколько километров проехал мотоциклист по грунтовой дороге? Сколько километров проехал мотоциклист по лесной тропе?

Что общего в условиях предыдущих двух задач и чем они отличаются?

Замечание. Для учеников основная трудность при выполнении этих заданий заключается в том, чтобы понять: в первом предложении за 100% принята длина всего пути, а во втором - длина грунтовой дороги и лесной тропы вместе (оставшийся путь). Результатом выполнения таких упражнений является осознание учениками того, что в одной и той же задаче за 100% могут быть приняты разные величины.

Многие учителя, обучая детей решению задач на проценты, уже в V классе знакомят их с методом решения путем умножения (если надо найти процент от числа) или деления (если надо найти число по его проценту) числа на десятичную дробь, соответствующую данному числу процентов. Для этого достаточно показать, что, решая задачу в два этапа: сначала находим величину, которая приходится на 1%, затем отвечаем на вопрос задачи, получаем тот же результат, что и в случае умножения (деления) на десятичную дробь.

Такой подход к формированию умений решать задачи на проценты находится в единстве с подходами к изучению других тем программы. Знания по изучаемому вопросу формализуются только после того, как учащиеся полностью усвоили все понятия, свободно оперируют терминами, демонстрируют понимание смысла условий и вопросов тех или иных задач и упражнений по данному разделу, осознанно осуществляют поиск решения задач (Зубарева И. И.) [17].

Таким образом, методика изучения дробей и процентов в 5-6 классе строится, опираясь на:

· логику построения содержания начального курса математики, в основе которой лежит тематический принцип, позволяющий сориентировать курс на усвоение системы понятий и общих способов математических действий.

· методические подходы к усвоению школьниками математических понятий, в основе которых лежит установление соответствия между предметными, вербальными, схематическими (графическими) и символическими моделями, а также формирование у учащихся представлений об изменении, правиле (закономерности) и зависимости.

· систему учебных заданий, процесс выполнения которых носит продуктивный характер и, исходя из психологических особенностей младших школьников, определяется соблюдением баланса между логикой и интуицией, словом и наглядным образом, осознанным и подсознательным, догадкой и рассуждением.

Учащиеся в результате практических действий, анализа ситуаций, соотнесения различных моделей подходят к осознанию основных понятий их свойств, формулируют их и применяют при выполнении различных заданий.

С учетом требований, предъявляемых к дидактическим программным средствам, было разработано мультимедийное пособие, отражающее системный подход к изучению обыкновенных дробей и процентов, которое может применяться на начальном этапе формирования основных понятий в рамках данной темы школьного курса математики.

Глава 3. Мультимедийное пособие по теме «Обыкновенные дроби и

проценты»

3.1 Основные характеристики пособия

Информационная функция средств обучения, применяемых на уроке, в современном мире меняется. Слово учителя, учебник перестали быть единственным источником информации.

С расширением видов и форм представления информации, с развитием возможностей электроники и техники, с появлением телевидения и компьютеров, статические изображения в значительной мере утрачивают свое значение и уступают место динамическим картинам. Подвижные изображения способны дольше и крепче удерживать внимание зрителей, отображать действительность более полно и объемно.

Реализовать динамическое сопровождение урока можно посредством Flash-технологий, на основе которых школьный учитель может создавать электронные учебники, виртуальные лабораторные работы, демонстрации, интерактивные мультимедиа-презентации. Такое интерактивное дидактическое пособие, разработанное при помощи программы Macromedia Flash, является компьютерным программным средством, не требующим никаких специальных и дополнительных программных или технических средств. Запуск файла пособия может быть осуществлен при помощи программы Internet Explorer, которая имеется на большинстве персональных компьютеров, а маленький размер файла позволяет размещать его на странице Интернета. Таким образом, можно реализовать использование данного пособия не только в классе, но и на удалённых компьютерах.

Этим и обусловлен выбор формы пособия - Flash-фильм, просматривая который, пользователь имеет возможность либо наблюдать за происходящими изменениями, либо изменять картинку самостоятельно, выделяя закономерности и приходя к определенным умозаключениям.

Выбор темы Flash-фильма обусловлен трудностью усвоения многими учащимися понятий дроби и процента. Восприятие предложенного материал противоречит прошлому опыту ученика, а поэтому и усваивается с трудом. Формирование понятий связано с отвлечением от ряда признаков, которые входили в понятие целого числа как существенные. Кроме того, введение дроби, процента в школьном курсе математики в большинстве учебников опирается на ряд визуальных задач. То есть в ходе решения таких задач описывается процесс, который носит динамический характер и для более глубокого усвоения и осмысления требует динамической иллюстрации. При использовании Flash-технологии становится возможным смоделировать такого рода процессы, тем самым, повысив уровень их осмысления.

Интерактивное пособие разрабатывалось с учётом требований, предъявляемых компьютерным программным средствам, использующимся в учебном процессе: дидактических, методических и эргономических.

Предложенный Flash-фильм является наглядным пособием к уроку математики. Способ подачи материала с опорой на визуальное мышление, представленный в этом пособии, мог бы облегчить восприятие учащимися довольно сложной для них теории.

Данное пособие можно использовать на различных этапах урока: в первую очередь - на уроках изучения нового материала, проводимых объяснительно-иллюстративным методом в качестве вспомогательного демонстрационного пособия, кроме того, можно использовать его и на уроках закрепления, а так же при обобщении и систематизации знаний, при этом просматривая лишь его фрагменты, используя тест. Пособие может применяться не только в процессе фронтальной работы учителя с классом, но и предлагаться учащемуся для самостоятельного просмотра, в качестве дополнения к учебнику.

Объем Flash ролика составляет 1,25 МБ.

Системные требования:

- Pentium;

- CD ROM x 4

-Windows 95/98/2000/XP

- Macromedia Flash Player 7

Структура Flash-фильма.

Flash-фильма состоит из четырех блоков:

1. Обыкновенные дроби.

2. Задачи на дроби.

3. Проценты.

4. Тест: «Порешаем задачи».

Тема «Обыкновенные дроби и проценты» выбрана не случайно. Эта тема изучается не компактно, а блоками, и потому встречается фрагментарно в различных разделах учебников математики 5 и 6 классов. Данное пособие группирует основные понятия и типовые задачи на дроби и проценты в единую структуру. Поэтому пособие можно использовать как при изучении конкретного раздела темы, так и на этапе обобщения и систематизации представлений о дробях и процентах.

Интерактивное дидактическое пособие является компьютерным программным средством, разработанным при помощи программы Macromedia Flash. Предназначено для работы на персональном компьютере. Для работы с пособием не требуется никаких специальных и дополнительных программных или технических средств.

Flash-фильм может просматриваться учащимися самостоятельно, без помощи и управления со стороны преподавателя. Предполагаемый просмотр сцен осуществляется в порядке, указанном в содержании, где выделены два направления: линия дроби и линия процента. Пользователь просматривает теоретическую информацию, содержащуюся во Flash-фильме, используя в основном кнопки перехода на следующую страницу или возращения к содержанию Flash-фильма.

Просмотр охватывает сначала первую тематическую линию и начинается с введения понятия дроби, после чего выделяются основные теоретические вопросы, связанные с обыкновенными дробями:

· дробь, как часть целого;

· правильные и неправильные дроби. Смешанные числа;

· сравнение дробей;

· основное свойство дроби;

· нахождение части от числа;

· нахождение числа по его части;

· нахождение дроби, которую одно число составляет от другого.

Последующий просмотр выделяет вторую тематическую линию, связанную с понятием процента:

· понятие процента;

· нахождение процента от числа;

· нахождение числа по его проценту.

Каждый раздел подкреплен конкретными примерами, на основе которых учащиеся могут попробовать применить теорию к практике. Причем, решая эти задачи, ученик может проверить свой ответ или получить подсказку. Затем учащийся может перейти к выполнению заданий теста: «Порешаем задачи». Кроме того, каждое теоретическое обоснование понятия или свойства подкрепляется соответствующим определением понятия или правилом выполнения действий, ключевым для данного раздела.

С другой стороны просмотр может быть организован учителем на уроке математики. В этом случае учитель вызывает сцены в порядке, соответствующем методике изложения материала. Переход от одной сцены к другой при таком порядке просмотра осуществляется возвратом к содержанию с последующим переходом к нужной сцене.



Ниже подробнее рассмотрим способы организации работы с пособием.

Управление данным мультимедийным пособием осуществляется с помощью следующих элементов навигации:

или - кнопки, при нажатии которых осуществляется переход от титульной страницы на сцену «Содержание».

- данная кнопка позволит вернуться из любой сцены на сцену «Содержание».

- эта кнопка позволит вам листать мультимедийное пособие вперед, как книгу, в соответствии с предложенным содержанием.

- кнопка, позволяющая вернуться к началу текущей сцены.

- кнопка обозначающая продолжение просмотра в данной сцене.

- кнопка продолжения просмотра, переход к следующей сцене.

- появляющаяся кнопка, указывающая на ответ в примере.

- появляющаяся кнопка, позволяющая повторить то или иное действие.

- кнопка демонстрирующая правило, которым следует воспользоваться при решении того или иного примера (задачи).

- кнопка всплывающей подсказки.

- кнопка проверки решенного примера и в случае положительного результата перехода к следующему примеру.

- кнопка перехода к решению рассматриваемой задачи.

Перейдем к рассмотрению каждой части интерактивного пособия.

«Дробь, как часть целого»

При просмотре сцены «Дробь, как часть целого» учащиеся знакомятся с дробным числом. На этом этапе осуществляется подготовка учащихся к изучению нового материала, здесь возможно обсудить понятие обыкновенной дроби; ее составляющие: числитель и знаменатель.



Визуально сцена разбита на две зоны: левую и правую. Правый лист представляемой книги отведен под динамическую картинку, левый под сопровождающий ее текст. В последующих сценах структура сохраняется. Данная сцена включает в себя ряд примеров, на основе которых выводится определение обыкновенной дроби. Сразу же вводится символика, буквенное обозначение числителя и знаменателя. Это удобно, поскольку, как уже отмечалось, тема обширная, и данное пособие охватывает лишь ключевые моменты, завязанные на специальном обозначении и терминологии.

После просмотра данной сцены, предлагается подкрепить теорию наглядными примерами, с интерактивными элементами. Предлагается ряд задач, представленных в разной форме: теста или безвариативной форме ответа, на предлагаемое задание, но с осуществляемой проверкой. Однако переход к таким примерам-задачам возможен лишь после теоретической справки, и не осуществляется через содержание. Задачи не выступают как самостоятельная практическая часть, а служат первичным закреплением данного в первой сцене понятия.



Основная мысль, объединяющая эти задания - разбиение фигур на равные части, где закрашенная часть обозначает взятую долю. Первый пример в данной серии является примером-шпаргалкой.

Форма проверки таких заданий безоценочная, что вполне объясняется типом таких упражнений и поставленной целью: первично закрепить введенное понятие.

Перейдем к рассмотрению сцены “Правильные и неправильные дроби, смешанные числа”. Еще раз хочется отметить, что данное пособие не отвечает точной тематической линии ни одного из учеников. В данной сцене определения появляются поэтапно, что позволяет лучше увидеть суть данных понятий. После появления определенных фраз появляется картинка - внимание переходит с текста на графическую иллюстрацию, что позволяет свести воедино, наглядно-образное и словесно-логическое мышление.

Динамически отмечен момент перехода неправильной дроби через единицу при преобразовании в смешанное число - момент, вызывающий особые трудности у учащихся. Схема перехода показана на простых фигурах и подкреплена соответствующим выводимым текстом, записью примера.



После чего целесообразно рассмотреть преобразование неправильной дроби в смешанное число и, наоборот, из смешанного числа в неправильную дробь.

Переход к правилу осуществляется за счет нажатия на кнопку, после чего включается соответствующий ролик с пошаговой анимацией. Некоторые фрагменты анимации в этой части пособия можно повторить, осуществив запуск одного или второго преобразования. Преобразования представлены конкретными примерами, взятыми из теоретической справки предыдущего текста. Таким образом, можно видеть, что одна сцена разбита на две логические составляющие.

После нажатия на кнопку «Дальше» или перехода («Вперед») на следующую сцену, пользователю предлагается прейти к выполнению задания по преобразованию обыкновенных дробей. Однако, можно отказаться от решения данного задания и вернуться в содержание. Как и в случае с понятием дроби, преобразования являются первичным закреплением полученных знаний. Система оценки отсутствует. Учащиеся раскрепощаются, так как не боятся получить плохую отметку, показаться неспособным или глупым по сравнению с другими обучающимися. Но, в отличие от предыдущей сцены с задачами, эта сцена выстроена несколько иначе.

Упражнение подразумевает ввод с клавиатуры в соответствующие ячейки числа. Ученику предоставляется помощь в виде правила или подсказки, которыми можно воспользоваться в любой момент прохождения задания. Проверкой такого упражнения служит соответствующая кнопка: если пример решен неверно, то появляется надпись: «нет, неверно!», в противном случае: «да, верно!». Только в случае положительного ответа появляется кнопка, дающая возможность перехода к следующему примеру. Таким образом, учащийся лишен возможности случайного выбора правильного ответа.

Задания на преобразования разделены на две группы. Первая включает примеры на выделение целой части из неправильной дроби, вторая - примеры на представление смешанного числа в виде неправильной дроби. Каждая группа имеет свою систему подсказок и правил. Такого рода упражнения содержат функцию самопроверки.

Сцена «Сравнение дробей».

Эта сцена пособия так же содержит две части: теоретическую и практическую. В теоретической части сначала рассматривается сравнение дробей по расположению соответствующих им точек на числовом луче, затем - сравнение дробей с одинаковыми знаменателями и сравнение дробей с одинаковыми числителями. Каждый из этих способов поясняется примером, формулируются правила сравнения. Теоретическая часть сцены завершается представлением общего алгоритма сравнения обыкновенных дробей, в том числе и смешанных.

В практических задачах этой сцены пользователю предлагается ввести в соответствующую ячейку подходящий случаю знак сравнения: >, < или =. При этом ему снова становятся доступны режимы «Правило», «Подсказка» и «Проверка».

Основное свойство дроби.

Основное свойство дроби вводится на конкретном практическом примере.

Для сравнения величины дробей ограничиваемся пока только устным объяснением получаемого результата - ответом на поставленный вопрос, на основании наблюдений над дробями.