Разработка методики обучения теме экстремумов

Следует поступать так.

1. До начала семестра необходимо узнать, какие аудитории и в каком учебном корпусе оснащены ТСО, в каком состоянии они находятся, кто ведает их обслуживанием, часто ли ими пользуются другие преподаватели. Полезно вместе с ответственными за техническое состояние оборудования опробовать его, продемонстрировать свою заинтересованность в том, чтобы эти средства были приведены в рабочее состояние и работали без сбоев.

2. Не пользоваться ненадежно работающей или плохо отрегулированной аппаратурой. Следует убедиться перед занятием в ее работоспособности лично, не доверяя это никому другому. Если какими-то материалами приходится пользоваться впервые, предварительно просмотреть и прослушать их именно в данной аудитории, убедиться, что они хорошо просматриваются или прослушиваются из любого места в аудитории. Если при этом обнаружатся сбои или выявится неудовлетворительное качество дидактических материалов, необходимо воздержаться от их демонстрации: каждый сбой резко нарушает нормальную работу во время лекции.

3. Лекцию опасней перегрузить, чем «недогрузить» демонстрациями, ибо лектор всегда должен оставаться в центре событий, сохраняя за собой позицию основного источника информации. Лектор ни в коем случае не должен превращаться в простого комментатора того, что предъявляется. Все должно обстоять как раз наоборот: привлекаемые материалы призваны иллюстрировать речь, пояснять высказанные мысли и идеи.

4. При подготовке дидактических материалов желательно максимально учитывать психологические законы восприятия и эргономические требования[34].

Есть и ряд недостатков, которые в основном связаны с наличием необходимого оборудования. Таковыми являются:

1. Необходимость использования телевизора достаточно большой диагональю экрана, так как в противном случае не во всех местах в аудитории, можно, конспектировать лекции;

2. Необходимо иметь достаточное количество компьютеров, чтобы проводить лекции в нескольких аудиториях.

3. Методические основы преподавания практических занятий по теме математического анализа «Экстремумы, условный экстремум и наибольшее, наименьшее значения функций двух переменных»

3.1 Тематическое планирование практических занятий

В соответствии с учебной программой на изучение практического раздела математического анализа «Экстремумы, условный экстремум и наибольшее, наименьшее значения функций двух переменных» отводится 4 часа. В приведенной таблице дано разбиение материала этого раздела на практические занятия.

№ практического занятия	Тема	Количество часов на изучение темы	Всего часов
1	Экстремум функций двух переменных	2	4
2	Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения	2

Основными источниками для изучения данной темы в педагогическом вузе являются учебные пособия «Задачи и упражнения по математическому анализу для вузов» под редакцией Б.П. Демидовича и «Задачник по курсу математического анализа» под ред. Н.Я. Виленкина.

В них рассмотрен наиболее полный практический курс, рассмотрено множество задач и их решений, что облегчает самостоятельную работу студентов по изучению и закреплению знаний по изучаемой теме. Помимо этих учебных пособий можно использовать другие, указанные в списке литературы.

В результате изучения темы «Экстремумы, условный экстремум и наибольшее, наименьшее значения функций двух переменных» студент должен уметь:

- применять производные для исследования функций на экстремум.

- исследовать функцию на максимум и минимум;

- находить область определения функций двух переменных, изображать ее на плоскости и исследовать на экстремум в этой области.

3.2 Методические рекомендации по проведению практических занятий

Концепция целенаправленного развития у студентов готовности к самообразованию приводит к тому, что самостоятельная деятельность студентов, управляемая и организуемая, тесно смыкается с образованием, которое является составной и закономерной частью целостной системы учебно-воспитательной работы.

В рамках указанной концепции на первый план выходит самостоятельная работа студентов, представленная как в рамках основных форм организации учебного процесса (лекции, практические занятия), так и в частности организация самостоятельной работы во внеурочное время.

Учебная программа по «Математическому анализу» предусматривает разнообразные виды самостоятельных работ:

- по образцу,

- реконструктивно-вариативные,

- частично-поисковые,

- творческие.

Первые два вида самостоятельных работ применяются непосредственно на учебных занятиях, и предназначены для подготовки студентов к более высокому уровню учебной деятельности.

Следующие виды самостоятельной работы предназначены для интеллектуального роста студентов, выполнение работы этого рода предлагается студентам старших курсов - это индивидуальные задания, курсовые работы, дипломное проектирование, а также НИРС.

Для того, чтобы учебный процесс при данных условиях проходил наиболее эффективно, студентам с первых занятий необходимо вырабатывать и развивать у себя систему знаний и умений, которые отражают меру интеллектуального развития:

- в конкретном видеть общее;

- из общего выделять конкретное;

- видеть внутри- и межпредметные связи относительно различных научных понятий, методов;

- осознание единства и целостности научной картины мира;

- умение соотносить научные категории с объективной реальностью;

- понимание относительного характера знаний и необходимости уточнять их путём систематического познания;

- умение анализировать и обобщать;

- прочность имеющихся знаний, умений и навыков, их восстанавливаемость.

Для реализации приведённой системы знаний студентам предлагаются различные средства. В частности, «Методические рекомендации к практическим занятиям и самостоятельной работе», «Сборник задач по математическому анализу» [18, 20], разработанные на факультете математики и информатики СГПИ.

Данные методические пособия помогают студентам организовать свою работу, как на практических занятиях, так и во внеаудиторное время.

Сборник задач и методические рекомендации к практическим занятиям предусматривают разбиение учебного материала на темы, изучение которых предусмотрено Государственным стандартом и учебной программой по математическому анализу. Каждое практическое занятие разбито на ряд вопросов, помогающих студентам самостоятельно работать при подготовке к практическим занятиям и лекциям. Это такие вопросы как:

1. План занятия. Здесь более подробно обозначены вопросы, изучаемые в данной теме.

2. Задания. Первая группа заданий подготавливает студентов к восприятию нового материала. Вторая группа - это задания по усвоению и закреплению изученного.

3. Вопросы для самоконтроля. Этап самооценки и самоконтроля является очень важным в процессе самообразовательной деятельности. Поэтому наличие этого пункта даёт возможность студентам оценить результаты своей работы, соотнести их с базовым уровнем, а так же позволяет усваивать не только материал практического плана, но и теоретические аспекты этих методов, т.е. способствует фундаментализации знаний.

Для более успешной адаптации студентов преподаватель на каждом занятии проводит специальный инструктаж, который состоит из следующих элементов:

- предложение выполнить задание по аналогии;

- объяснение выполнение задания на двух-трёх примерах;

- разбор наиболее трудных элементов домашнего задания.

Знания и умения, которые формируются у студентов в ходе изучения математического анализа, достигают наибольшего эффекта при следующих основных условиях, эти условия могут быть созданы только при непосредственном участии в работе самих студентов.

1. Чёткое определение цели деятельности в смысле результата действий и цели упражнения.

2. Ясное представление техники выполнения действий, то есть образца, которого следует достичь.

3. Понимание правил и последовательности выполнения действий направленных на достижение целей.

4. Постоянный самоконтроль качества действий путём сличения их результатов со сложившимся в представлении или по зрительно воспринимаемым образцам.

5. Своевременное обнаружение отклонений, ошибок и брака в действиях при следующих повторениях этих действий.

6. Правильная самооценка успехов в достижении конкретной деятельности и цели упражнений в смысле совершенствования.

В результате исследования были разработаны практические занятия, которые можно проводить на физико-математических факультетах педагогических вузов при изучении темы «Экстремумы, условный экстремум и наибольшее, наименьшее значения функций двух переменных». В них разработана методика обучения данной теме, которая позволяет качественно научить решать практические задания, и закрепить знания и умения, полученные студентами. Это осуществляется по средствам практических занятий и самостоятельной работы учащихся.

Для успешной организации СРС был создан электронный конспект практических занятий (ЭКПр) по следующим темам:

1. Локальный экстремум функции двух переменных.

2. Условный экстремум функции двух переменных.

3. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных.

Электронный конспект практических занятий входит в электронное пособие. Так же был разработан тест, который позволяет проконтролировать усвоение знаний по решению базовых практических задач.

Для преподавателя электронный конспект практических занятий позволяет проводить практические занятия по данной теме в четвертом семестре на втором курсе, организовать самостоятельную работу при подготовке к самостоятельным работам, контрольным работам, практическим занятиям, самостоятельное изучение отдельных практических заданий, вынесенных на самостоятельную проработку, подготовку к экзаменам, в том числе и государственным. Тест студентам позволяет самостоятельно проконтролировать знания умения и навыки, полученные в результате изучения темы «Экстремумы, условный экстремум и наибольшее, наименьшее значения функции двух переменных». Преподавателю тест дает возможность проверить эти знания и оценить их. Использование практических занятий в электронном виде позволяет проводить практические занятия в компьютерном классе, тем самым значительно экономится время на объяснение нового материала, а оставшееся время используется для закрепления знаний, умений и навыков по данной теме. Прохождение теста ускоряет время проверки знаний студентов и так же экономит время, как преподавателя, так и студента.

3.3 Методические рекомендации по использованию информационных технологий на практических занятиях

Осуществление компьютерного обучения на базе новых информационных технологий является одним из важных направлений совершенствования профессиональной подготовки будущих педагогов

По теме «Экстремумы, условный экстремум и наибольшее, наименьшее значения функций двух переменных» создано электронное пособие. Оно состоит из обучающей и контролирующей частей.

Обучающая система, которая включена в процесс изучения данного раздела математического анализа характеризуется следующими параметрами:

1. Структурная сложность.

Структура пособия имеет достаточный уровень сложности для получения необходимого уровня подготовки. Пособие включает все вопросы, которые необходимо изучить при рассмотрении данной темы.

1. Понятие экстремума функции двух переменных

2. Необходимое условие экстремума функций двух переменных

3. Необходимое условие экстремума функций трех переменных

4. Необходимое условие экстремума функций многих переменных

5. Достаточное условие экстремума функций двух переменных

6. Условный экстремум функций двух переменных

7. Наибольшее и наименьшее значение функций в замкнутой области

На изучение этого материала потребуется 3 часа.

2. Содержательная сложность.

Содержание электронного пособия соответствует требованиям учебной программы, а также включает в себя углубленный материал по изучаемой теме. Углубленный материал представлен следующими вопросами.

1) Экстремумы функций одной переменной.

1.1. Необходимое условие.

1.2.1. Достаточное условие. Первый признак.

1.2.2. Достаточное условие. Второй признак.

1.3. Использование высших производных.

2) Экстремумы функций трех переменных.

2.1. Достаточное условие.

3) Экстремумы функций многих переменных.

3.1. Достаточное условие.

3.2. Метод вычисления критериев Сильвестра.

3.3. Замечание об экстремумах на множествах.

4) Условный экстремум.

4.1. Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума.

4.2. Стационарные точки функции Лагранжа.

3. Информативность.

При работе с программой, человек получает максимум информации о структуре, содержании программы, а так же результатах обучения.

4. Ясность структуры.

Структура пособия достаточно простота, для того чтобы не иметь сложностей при работе с ним. Использует стандартные возможности компьютерной техники и операционной системы.

Электронное пособие создано таким образом, что имеет простую структуру, что, позволяет легко ориентироваться в ней, содержит весь основной теоретический материал по исследуемой теме, а также практические примеры. Тестовый контроль дает тестируемому максимум информации о результатах его прохождения.

Тест состоит из пяти вопросов, выбранных из 15 произвольным образом, и трех вариантов ответов. Он создан по таким разделам: локальный экстремум, условный экстремум, наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных. Время на ответ не ограничено. После ответа на каждое задание, появляется информация о его правильности. После прохождения теста выводится результат теста и оценка. Кроме того, в самой программе имеется журнал результатов тестирования, который защищен паролем. На каждого студента заводится отдельный текстовый файл, который записывается в корневой каталог теста и имеет название по фамилии тестируемого. В нем имеется вся информация о прохождении теста, в частности, фамилия, номера заданных вопросов, ответ тестируемого и правильный ответ. Время прохождения теста 40 минут.

Обучающая часть программы представляют собой электронную модель учебника, т.е. содержат основные предложения учебника. В тексте учебника выделены структурные единицы, например, понятия, задачи, вопросы, теоремы, набор этих структурных единиц определяется предметом и, в частности, представленными в учебниках темами.

Проведение практических занятий в компьютерных классах позволяет оптимально сочетать такие формы организации учебного процесса, как общие, групповые и индивидуальные.

Изучение с помощью технических средств позволяет реализовать дифференцированный подход к обучению.

Такие формы организации обучения как лекция, практические занятия в сочетании с применением информационных технологий позволяет строить учебный процесс в соответствии с современными тенденциями развития образования, такими как: усиление роли самостоятельной работы студента, смещение акцента с преподавания на учение, чем обеспечивается направленность на развитие самообразовательной деятельности будущих специалистов.

Тестовый контроль позволил провести итоговое тестирование практического курса по теме математического анализа «Экстремумы, условный экстремум и наибольшее и наименьшее значения функций двух переменных» на втором курсе в четвертом семестре на факультете математики и информатики в 2003-2004 учебных годах. Это обеспечило систематическую обратную связь, а так же позволило преподавателю своевременно проводить учебные мероприятия по коррекции усвоения знаний. Это обеспечивается тем, что имеется подробная информация не только о его результатах, но и о процессе прохождения теста. Появляется возможность провести анализ ошибок, допускаемых по каждому вопросу и сделать вывод о необходимости коррекции усвоения знаний.

Наличие электронного пособия обеспечивает значительную экономию учебного времени как преподавателя, так и студентов. Это достигается тем, что теоретический и практический материал, который имеется в учебнике, несёт в себе информацию в сжатой форме и содержит не только базовый материал, но и разделы выходящие за рамки программы. Так помимо вопросов, относящихся к функциям двух переменных, включена информация о функции одной и многих переменных. Это позволяет актуализировать базовые знания, и облегчает усвоение более сложного материала, используя метод «по аналогии». Таким образом, это способствует как фундаментализации знаний, так и расширению математического кругозора студентов, а это, в свою очередь, обеспечивает реализацию принципов профессионально-педагогической направленности обучения.

Исходя из вышесказанного, можно предложить следующие методические рекомендации к использованию информационных технологий в процессе изучения темы математического анализа «Экстремумы, условный экстремум и наибольшее и наименьшее значения функций двух переменных»:

1. В соответствии с учебной программой курса можно организовать изучение раздела «Экстремумы, условный экстремум и наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных» на практических занятиях в компьютерных классах;

а) изучение теоретических вопросов;

б) изучение практических задач;

в) комплексное изучение предлагаемых тем.

2. В течение изучения курса можно проводить контрольные мероприятия. Проводиться контроль: уровня сформированности умений и навыков по решению базовых задач, включённых в обязательные результаты обучения. Это осуществляется по средствам тестового контроля.

3. На первом занятии преподавателем даются указания к работе с обучающей программой. На этом этапе разъясняется, как ориентироваться по программе, содержание каждого раздела программы. Программа после запуска позволяет начать изучение теоретических вопросов, либо практической части или начать прохождение теста.

Используя теоретическую часть пособия, преподаватель может предложить студентам самостоятельно изучить вопросы, не рассматриваемые на лекционных занятиях, во внеаудиторное время.

Контрольные мероприятия преподаватель может проводить с использованием как тестовой системы, так и с использованием других форм контроля (устные и письменные опросы, фронтальные проверки).

Электронный конспект практических занятий включает базовые задания, которые необходимо уметь решать для усвоения темы «Экстремумы, условный экстремум и наибольшее и наименьшее значения функций двух переменных» и позволяет студентам:

1. Обеспечить самостоятельную проработку практических занятий.

2. Самостоятельное изучение методов решения базовых практических задач и заданий для самостоятельной проработки.

3. Подготовиться к самостоятельным и контрольным работам, промежуточной аттестации, государственным экзаменам.

4. Организовать работу над курсовой или выпускной квалификационной работами.

Для преподавателя электронный конспект практических занятий позволяет проводить практические занятия по данной теме в четвертом семестре на втором курсе.

Контролирующий тест, включенный в электронное пособие, позволит студентам самостоятельно проверить знания, умения и навыки, полученные в результате изучения темы «Экстремумы, условный экстремум и наибольшее наименьшее значения функций двух переменных».

3.4 Практические занятия

В соответствии с учебной программой дисциплины «Математический анализ» тема «Экстремумы, условный экстремум и наибольшее, наименьшее значения функций двух переменных» изучается на втором курсе в четвертом семестре и на нее отводится 4 часа аудиторных занятий.

В результате изучения темы, студент должен:

1. Знать применения производной для исследования функции на экстремум.

2. Уметь исследовать функцию на максимум и минимум. Находить область определения функции двух переменных и изображать их на плоскости, исследовать их на экстремум.

Содержание практических занятий можно представить так:

Определение и вычисление экстремума функции двух переменных.

Определение и вычисление условного экстремума функции двух переменных.

Нахождение наибольших и наименьших значений функций двух переменных[40].

Для проведения практических занятий используются методические рекомендации[20] и сборник задач[18], а так же учебные пособия [11, 12].

Для изучения темы математического анализа «Экстремумы, условный экстремум и наибольшее, наименьшее значения функций двух переменных» рекомендуется решить следующие задачи: №№683, 685, 692, 686, 732, 771, 750 [18];

Домашнее задание имеет следующий вид:

1. Готовиться по теме «Двойной интеграл. Сведение к повторному интегрированию в случае прямоугольной и криволинейной областей».

2. Решить задачи: №№688, 690, 698, 741, 751, 745 [20], №1291, [14].

Основные определения и понятия

- Экстремум функций двух переменных;

- Условный экстремум функций двух переменных;

- Наибольшее и наименьшее значение функций двух переменных.

Вопросы для самоконтроля:

- сформулируйте необходимое условие

а) локального экстремума;

б) условного экстремума;

- сформулируйте

а) достаточное условие существования экстремума функций двух переменных;

б) алгоритм нахождения наибольших и наименьших значений.

В ходе исследования были разработаны конспекты практических занятий в соответствии с методическими указаниями[20].

Конспект практического занятия №1

Тема: Экстремум функций двух переменных.

Тип занятия: практикум решения задач.

Форма занятия: комбинированное между коллективной и фронтальной.

Средства обучения: сборник задач[18], методические рекомендации[20].

Цель занятия: закрепление знаний полученных на лекциях и применение их на практике.

- Образовательная: научить исследовать функцию нескольких переменных на максимум и минимум с использованием производных высших порядков.

- Развивающая: развитие пространственного мышления, умение планировать, мыслить логически и по аналогии.

Методы: словесные, по характеру познавательной деятельности - проблемные, по дидактической цели - познавательные.

Ход занятия.

1. Организационная часть. Студенты записываю тему занятия, и готовятся к самостоятельной работе.

2. Основная часть. Самостоятельная работа, фронтальный опрос. Изучение новой темы. Ответы на вопросы. Закрепление полученных знаний.

В начале занятия проводится небольшая по времени (7-10 минут) самостоятельная работа, которая позволяет актуализировать базовые знания студента.

Так как при изучении темы необходимо будет использовать частные производные явных и неявных функций, то актуально дать студентом решить самостоятельную работу состоящей из двух вариантов и включающей в себя примеры, в которых необходимо найти частные производные первого и второго порядка явных и неявных функций. Ниже следует примерные задания, которые можно использовать.

Вариант первый

1. Найти частные производные первого и второго порядков.

А) [12];

В) [11];

2. Найти и , если уравнение имеет вид

[12].

Вариант второй

1. Найти частные производные первого и второго порядков.

А) [12],

В) [12];

2. Найти и для системы значений если функция задана уравнением

[11].

Во время самостоятельной работы сильные студенты вызываются к доске и решают у доски наиболее сложные занятия из домашней работы.

По мере освобождения доски начинается фронтальный опрос по теоретическому материалу. Студенты готовятся к ответам на следующие вопросы.

1. Определение экстремума функции двух переменных.

2. Необходимое условии экстремума.

3. Достаточное условие экстремума функции двух переменных.

Следующим этапом изучения темы является подробное решение примера преподавателем. Это позволит студентам последующие примеры решать по аналогии с разобранным, попутно преодолевая трудности с помощью знаний, которыми они уже обладают.

Пример №4 (№688, [18]). Найти экстремум функции

.

Решение

На основании необходимого условия существования экстремума нужно найти точки подозрительные на экстремум или так называемые стационарные точки.

Для этого необходимо решить систему 

Находим частные производные первого порядка:

Составим систему уравнений и решим ее

Итак, получили стационарную точку

Далее, для проверки достаточного условие существования экстремума составляем определитель и определяем его знак в стационарной точке .

, где .

Находим частные производные второго порядка в точке :

и составляем определитель

Исходя из достаточного условия существования локального экстремума, делаем вывод:

, следовательно, точка является точкой локального экстремума;

Так как , то в точке функция имеет локальный минимум.

Теперь узнаем значение исходной функции в точке , которое и будет являться наименьшим значением функции

Ответ:

Особенно стоит заострить внимание на алгоритме нахождения локального экстремума, а так же на том, что определяем экстремум на всей области существования функции.

Надо так же рассказать студентам необходимое и достаточное условие существование функции трех переменных.

1. Необходимое условие

2. В достаточном условии меняется только определитель

,

а условия существования, максимума и минимума остаются без изменений с поправкой на количество переменных.

Следующей задачей преподавателя является ответ на вопросы студентов. После этого переходим к другому примеру.

Он разбивается на несколько этапов и решается двумя студентами. Первый проверяет необходимое условие существования экстремума и находит стационарные точки, второй - достаточное условие, точки максимума и минимума, максимальные и минимальные значения функции. Решение примера осуществляется при активной помощи преподавателя.

Пример №5 [12]. Исследовать на экстремум функцию

.

Решение

Проверим выполнение необходимого условия существования экстремума функции. В результате чего получим стационарные точки.

Находим частные производные и составляем систему уравнений

;

Решим отдельно уравнение . Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, т.е. . Пусть , тогда исходное уравнение примет вид квадратного трехчлена . Используя теорему, обратную теорему Виета, получаем корни уравнения .

Таким образом получаем: подставляя полученные значения в систему получаем четыре стационарные точки:

Используя теорему о достаточном условии существования экстремума функции двух переменных, составляем определитель и находим точки максимума и минимума.

Найдем производные второго порядка:

и составим определитель

для каждой стационарной точки.

1) Для точки

Значит, в точке экстремума нет.

2)

.

В точке , согласно достаточному условию существования экстремума, функция имеет минимум. Минимум этот равен значению функции при .

3)

.

Экстремума в точке нет.

4)

.

В точке функция имеет максимум: .

После выполнения примера необходимо ответить на вопросы студентов.

Затем предложить студентам на выбор выполнение следующих заданий. Эти задания необходимо выполнить в аудитории. Те примеры, которые не успевают решить, задаются на дом. Эти задания позволят освоить новый материал и закрепить полученные навыки. При выполнении этих заданий, так же как и в предыдущем примере, рекомендуется разбивать задания и привлекать к решению одного задания как минимум двух студентов. Это позволяет вовлечь в непосредственное изучение темы большее количество студентов. Заставит их следить за ходом решения задания и, возможно, выявит некоторые не ясные вопросы у некоторых студентов.

Примеры: №№683, 685, 686, 692 [18].

Пример №6 (№683, [18]). Исследовать на экстремум функцию

.

Решение

1. Находим стационарные точки, в которых выполняется необходимое условие существования локального экстремума функции посредствам решения системы

а) Находим частные производные: .

б) Составляем и решаем систему. В результате получим стационарные точки, т.е. точки подозрительные на экстремум:

,

таким образом, мы получили искомую стационарную точку .

2. Теперь необходимо проверить выполнение достаточного условия существования экстремума в стационарной точке, для этого необходимо найти определитель , где частные производные второго порядка в стационарной точке:

Составляем определитель:.

3. Таким образом, получили, что . Из теоремы о достаточном условии существовании экстремума можно сделать вывод, что точка является точкой локального минимума функции.

4. Найдем значение исходной функции в точке , которое является минимальным значением функции: .

Ответ: .

Следующий пример выполняет студент у доски с небольшой помощью преподавателя. Рекомендуется привлечь нескольких студентов для решения. Так же в процессе решения студент должен комментировать свои действия, опираясь на теоретический материал. Эта задача интересна тем, что использует тригонометрические функции.

Пример №7 (№685, [18]). Исследовать на экстремум функции

, где .

Решение

1. Используем необходимое условие существования экстремума функции. Находим стационарные точки: и решаем систему

а) Если , то



Но согласно условию, что тогда получаем

т.е. точка , а если , то и точка .

б) Если , то .

Таким образом, получили две стационарные точки: и .

2. Второй шаг решения. Используем достаточное условие существования экстремума в точке. Для каждой точки найдем вторые частные производные и составим определитель .

а)

б) Для точки : , следовательно, в точке экстремума нет.

в) Для точки : , следовательно, в точке существует локальный максимум.

3. Найдя точки, в которых функция принимает экстремальные значения, найдем максимальные и минимальные значения функции. В данном случае точка экстремума одна: : .

Ответ: .

Этот пример позволяет студентам вспомнить производные тригонометрических функций, способы решения тригонометрических систем.

В следующем примере студенты увидят, как находить экстремумы функции, если она задана неявно. Следует особо обратить внимание на нахождение частных производных, так как здесь могут возникнуть затруднения и ошибки. Здесь помимо знаний математического анализа, применяются и методы элементарной математики. Это и позволяет реализовать межпредметную связь.

Пример №8 (№692, [18]). Исследовать на экстремум функции

.

Решение

1. Преобразуем исходную функцию, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые: .

Рассматриваем квадратное уравнение относительно . Найдем корни этого уравнения:

.

Пусть .

2. Рассматриваем первый корень уравнения. Найдем первые частные производную от по переменным и :

а) , тогда производная по :

.

б) .

Проверим необходимое условие существования экстремума функции, для чего составим систему уравнений и, решив ее, получим стационарную точку: Так как , то, приведя уравнения к общему знаменателю и отбросив его, получим систему уравнений следующего вида:

Рассмотрим второе уравнение системы: . (4)

Возведем в квадрат обе части уравнения (4):

.

Решив это уравнение, получаем: .

Возведение в квадрат не является равносильным преобразованием, поэтому необходимо проверить корни, путем подстановки в уравнения (4). В результате проверки получили, что не является решением, так как подкоренное выражение получается отрицательным, а является решением.

Таким образом, точка - стационарная точка.

3. Поступая аналогично, как и в п. 2, находим частные производные корня по переменным . Составляем систему уравнений и, решая, находим, точки, подозрительные на экстремум:

а), находим частную производную по переменной : .

б) Частная производная по переменной :

.

Получаем систему . Так как , то, приведя уравнения к общему знаменателю и отбросив его, получим систему уравнений следующего вида:

Рассмотрим второе уравнение: . (5)

Возведем в квадрат обе части уравнения (5):

.

Решив эти уравнение, получаем:.

Проведем проверку путем подстановки в уравнения (5), в результате проверки получили, что не является решением, так как подкоренное выражение отрицательно. Таким образом, точка - стационарная точка.

4. Получили две стационарные точки .

5. Теперь проверяем выполнение достаточного условию существования экстремума функции. Составляем определитель для функции

для

Учитываем что .

Найдем вторые частные производные функции , учитывая, что сложная функция зависящая то и :

;

Определитель , получаем, что в точке локальный максимум .

6. Теперь исследуем функцию в точке .

Аналогично, как и в п. 5, находим частные производные от функции и вычисляем их значения в точке .

Находим определитель для точки :

Таким образом, в точке локальный минимум.

Ответ: , .

Пример №9 (№686, [18]). Исследовать на экстремум функцию

.

Решение

1. Проверяем выполнение необходимого условия существования экстремума функции. В результате чего мы найдем точки, подозрительные на экстремум. Находим первые частные производные по переменным и от исходной функции и решаем систему

получаем: следовательно, точка - стационарная.

2. Составим определитель , для этого находим частные производные второго порядка в стационарной точке. Тем самым мы проверяем выполнение достаточного условия существования экстремума.

3. В этом случае для выяснения вопроса об экстремуме функции необходимы дополнительные исследования.

4. Поскольку , то достаточно исследовать знак функции в окрестности точки , в частности вдоль какой-нибудь прямой, проходящей через эту точку.

5. В выражении функции имеется слагаемое , то естественно взять прямую , так как на ней первое слагаемое исходной функции равно нулю и знак функции зависит только от знака второго слагаемого .

6. Очевидно, что если , то . Если , то .

7. Можно сделать вывод, что в любой окрестности точки есть как положительные, так и отрицательные значения функции, поэтому экстремума в точке нет.

Ответ: экстремума нет.

В конце занятия ответить на возникшие вопросы. Предупредить, что следующее занятие начнется с самостоятельной работы по теоретической и практической части. А так же о необходимости подготовки теоретических вопросов по теме «Условный экстремум. Наибольшие и наименьшие значения функции», практическое занятие №5,6 из методических указаний [30], в них указаны примеры домашнего задания. Ниже приводятся решения домашних примеров.

Домашняя работа

Пример №10 (№690, [18]). Исследовать на экстремум заданную функцию

Решение

1. Находим стационарные точки, в которых выполняется необходимое условие существования локального экстремума функции путем решения системы

а) Определим частные производные первого порядка заданной функции:

б) Составляем и решаем систему. В результате получим стационарные точки, т.е. точки подозрительные на экстремум:

, таким образом, мы получили искомую стационарную точку .

2. Теперь необходимо проверить выполнение достаточного условия существования экстремума в стационарной точке, для этого необходимо найти определитель , где частные производные второго порядка в стационарной точке:

Составляем определитель:.

3. Таким образом, получили, что . Из теоремы о достаточном условии существовании экстремума можно сделать вывод, что точка является точкой локального максимума функции.

4. Найдем значение исходной функции в точке, которое является максимальным значением функции:

.

Ответ: .

Пример №11 (№698, [18]). Найти экстремум функции

.

Решение

На основании необходимого условия существования экстремума нужно найти точки подозрительные на экстремум или так называемые стационарные точки.

Для этого необходимо решить систему 

Находим частные производные первого порядка:

Составим систему уравнений и решим ее

Решим второе уравнение:

Получаем объединение двух систем:

Первая система решения не имеет, так как знаменатель не может быть равен нулю. Рассмотрим первое уравнение второй системы:

.

Подставим это значение во второе уравнение второй системы: .

Итак, получили стационарную точку

Далее, для проверки достаточного условие существования экстремума составляем определитель и определяем его знак в стационарной точке .

, где .

Находим частные производные второго порядка в точке :

Составляем определитель

Исходя из достаточного условия существования локального экстремума, делаем вывод, что экстремума функции в точке не существует.

Ответ: экстремума нет.

Конспект практического занятия №2

Тема: «Условный экстремум. Наибольшие и наименьшие значения функций двух переменных».

Тип занятия: практикум решения задач.

Форма занятия: комбинированное между коллективным и фронтальным.

Средства обучения: сборник задач[18], методические рекомендации[20].

Цель занятия:

- образовательная: научить исследовать функцию нескольких переменных на условный максимум и минимум, а так же нахождение наибольших и наименьших значений.

- развивающая: развитие пространственного мышления, умение планировать, мыслить логически и по аналогии.

Методы: словесные, по характеру познавательной деятельности - проблемные, по дидактической цели - познавательные.

Ход занятия

1. Организационная часть. Студенты записываю тему занятия и готовятся к самостоятельной работе.

2. Основная часть. Самостоятельная работа, фронтальный опрос. Изучение новой темы. Ответы на вопросы. Закрепление полученных знаний.

На втором практическом занятии повторяется локальный экстремум функции нескольких переменных и рассматривается более сложный случай экстремума - условный экстремум. И обобщаются знания, полученные по отысканию экстремумов изучением темы «Наибольшие и наименьшие значения функции». Вначале практического занятия проводится самостоятельная работа (5-7 мин.), позволяющая проверить знания, умения и навыки студентов по теме «Локальный экстремум», а так же актуализировать знания необходимые для изучения нового материала.

В то время как все решают самостоятельную работу на местах, сильные студенты у доски решают сложные или не решенные большей частью учащихся домашние задания. Так как это занимает больше времени чем самостоятельная работа, то по мере освобождения доски вызываются студенты и готовятся к ответу на теоретические вопросы.

1. Условный экстремум функции двух переменных.

2. Алгоритм нахождения наибольших и наименьших значений функции.

Ниже приведен пример самостоятельной работы. Аудитория разбивается на два варианта. Каждому варианту дается теоретический и практический вопрос.

Вариант первый

1. Сформулируйте необходимое условие экстремума функции.

2. Исследовать на экстремум функцию [12].

Вариант второй

1. Сформулируйте достаточное условие экстремума функции.

2. Исследовать на экстремум функцию [11].

Это поможет проверить выполнение домашней работы. Не стоит на самостоятельной работе давать задания, которые имеют слишком громоздкое решение за счет большого количества элементарных операций. Необходимо решать задания, позволяющие показать главную суть решения, а не количество операций.

Студенты у доски излагают теоретические вопросы, необходимые на занятии:

1. Определение условного экстремума.

2. Теорема о существовании условного экстремума.

3. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции.

После проверки домашнего задания преподаватель подробно разбирает пример.

Пример №13 (№732, [18]). Найти точки условного экстремума и его величину следующей функции , при .

Решение

1. Выразим одну переменную через другую в уравнении связи .

2. Подставим в исходную функцию: функцию одной переменной, полученную из уравнения связи .

3. Используя методику нахождения экстремума функции одной переменной, найдем первую производную функции по переменной . Приравняем ее к нулю. Тем самым найдем стационарные точки первого рода. Так как функция при , то получаем что . Отсюда - стационарная точка 1-го рода.

4. Найдем вторую производную функции и найдем ее значение при :

Отсюда следует, что точка- точка максимума для функции . Из уравнения связи, подставив значение, получаем , а - точка максимума для исходной функции, и он равен .

Ответ: .

Замечание

1. Локальный максимум функции одной переменной здесь является условным локальным максимумом для функции двух переменных, так как уравнение связи учтено.

2. Если уравнение связи представлено достаточно сложной функцией, то отыскание условного экстремума функции двух переменных сводят к исследованию функции Лагранжа.

Далее дается теоретический материал необходимый для решения следующего задания.

1. Условный экстремум. Условным экстремумом функции называется максимум или минимум этой функции, достигаемый при условии, что его аргументы связаны уравнением (уравнение связи). Чтобы найти условный экстремум функции при наличии соотношения, составляют так называемую функцию Лагранжа

,

где - неопределенный постоянный множитель, и ищут обычный экстремум этой вспомогательной функции. Необходимые условия экстремума сводятся к системе трех уравнений

с тремя неизвестными , из которой можно определить эти неизвестные.

Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа

.

Функция имеет условный максимум, если , и условный минимум, если . В частности, если определитель для функции в стационарной точке положителен, то в этой точке имеется условный максимум функции , если (или ), и условный минимум, если (или ).

В случае если уравнение связи достаточно просто, можно в уравнение связи выразить одну переменную через другую и подставить в исходную функцию.

Рассмотрим такой пример. Для его решения вызывается студент к доске и, если необходимо, с помощью преподавателя решает с подробным пояснением. Во время решения остальные студенты записывают объяснения по каждому этапу решения, что облегчит им самостоятельное понимание темы.

Пример №14, (Пример №2, [12]). Найти условный экстремум функции при условии, что переменные связаны уравнением .

Решение

1. Так как уравнение связи достаточно сложно, то составим функцию Лагранжа: .

2. Проверим выполнение необходимого условия существования функции Лагранжа, для этого решим систему:

3. Составим дифференциал первого порядка функции Лагранжа, для этого находим вторые частные производные функции Лагранжа:

.

Тогда дифференциал второго порядка функции Лагранжа примет вид:

.

Найдем его значение для :

А) Если , то и, следовательно, в этой точке функция имеет условный минимум.

Б) Если , то , следовательно, в этой точке функция имеет условный максимум.

Таким образом,

Ответ:

Этот пример позволил студентам приметь уже имеющиеся знания в новой ситуации. Сформировывается алгоритм решения задач на отыскание экстремумов функции нескольких переменных.

Пример №15 (№750, [18]). На поверхности трехосного эллипсоида

,

найти точки, наиболее близкие к центру и наиболее удаленные от него.

Решение

1. Пусть точка лежит на поверхности эллипсоида, тогда расстояние от нее до центра вычисляется по формуле .

2. Очевидно, максимальное значение подкоренного выражения даст наибольшее, а минимальное - наименьшее расстояние .

3. Следовательно, задача сводится к исследованию на экстремум функции трех переменных при уравнении связи .

4. Составим вспомогательную функцию (функцию Лагранжа):

.

5. Решаем систему уравнений, тем самым, проверяя необходимое условие существования экстремума:

Итак, получаем:

Из последнего уравнения системы следует, что не могут быть одновременно, равняться нулю. Поэтому один из сомножителей

должен равен нулю.

6. Пусть , т.е. . Тогда , так как , следовательно, . Из четвертого уравнения системы получаем . Таким образом, получили две стационарные точки: .

Рассуждая аналогично при получим , а при стационарные точки:.

Полученные точки являются концами трех главных осей эллипсоида. Так как , то можно утверждать, что в точках функция достигает максимума, а в - минимума. В стационарных точках экстремума не существует.

Ответ: - максимума, - минимума.

Переходим к следующей теме, в которой понадобятся уже имеющиеся знания, но применяемые для другой цели - отыскания наибольших и наименьших значений функции. В частности, изучается только случай замкнутой области. Здесь можно спросить одного из студента об алгоритме нахождения наибольших и наименьших значений функции в замкнутой области, который изложен в лекционном курсе. Затем рассмотреть этот алгоритм на конкретном примере.

Пример №16 (№771, [18]). Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, заданной неравенствами .

Решение

1. Первым этапом решения примера является изображение этой области:

, т.е. это область ограниченная

прямыми - это треугольник.

Обозначим его АВO.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2. Вторым шагом решения является нахождение локального экстремума функции .

Используя необходимое условие существования локального экстремума функции двух переменных, находим стационарные точки.

Находим и составляем систему:

- стационарная точка, и отмечая ее на графике, оцениваем принадлежность ее области АВO. Она не принадлежит области. Следовательно, она не рассматривается, так как не удовлетворяет условиям:

.

3. Исследуем функцию на границах области.

а) Рассмотрим ОА. На этой прямой переменная принимает значение 0. Подставляя значение в исходную функцию, получаем функцию одной переменной и находим ее производную. Это необходимо для исследования функции на экстремум: . Приравниваем первую производную к нулю, тем самым находим точку, подозрительную на экстремум, и вычисляем значение функции в этой точке:

б) Аналогично исследуем другие границы области.

ОВ. На этой прямой , а, следовательно, исходная функция примет вид . Найдем производную от этой функции и приравняем ее к нулю, тем самым найдем стационарную точку для функции :

.

Далее находим значение функции при :

в) АВ. Уравнение этой прямой имеет вид . Выразим одну из переменных через другую и подставим в исходное уравнение:

Найдем стационарную точку для этой функции, для чего найдем производную функции и приравняем ее к нулю, т.е. найдем нули производной и вычислим значение функции в стационарной точке .

4. Исследуем исходную функцию двух переменных в угловых точках:

1) в точке

2) в точке

3) в точке

5. Выбирая из всех значений функции наибольшее и наименьшее, мы получаем наибольшее и наименьшее значение функции в указанной области.

Итак, получили: .

Ответ: .

Во время решения примеров такого рода могут возникнуть сложности в определении стационарных точек и значений функции на границах области. Поэтому необходимо четко разъяснить все переходы от одной переменной к двум переменным и обратно. Ниже приводятся решения домашних примеров.

Домашняя работа

Пример №17 (№741, [18]). Найти экстремум функции при условии, что и связаны уравнением .

Решение

a) Первый способ (через функцию одной переменной).

1. Выразим одну переменную через другую в уравнении связи .

2. Подставим в исходную функцию, получили функцию одной переменной: .

3. Используя методику нахождения экстремума функции одной переменной, найдем первую производную функции по переменной . Приравняем ее к нулю. Тем самым найдем стационарные точки первого рода: . Отсюда - стационарная точка 1-го рода.

4. Найдем вторую производную функции , и найдем ее значение при : , следовательно, в точке функция одной переменной принимает максимальное значение. Находим значение из уравнения связи: .

Следовательно, точка - точка максимума для исходной функции, и он равен .

б) Второй способ.

1. Рассмотрим функцию Лагранжа: .

2. Найдем локальный экстремум для этой функции. Для этого необходимо, используя необходимое условие существования экстремума функции, вычислить первые частные произвольные функции и решить систему, тем самым найдем стационарные точки: и составляем систему:

Не трудно видеть, что в точке функция достигает наибольшего значения .

Ответ: .

Пример №18 (№745, [18]). Найти наименьшее и наибольшее значения функций: в треугольнике, ограниченном прямыми .

Решение

1. Изобразим эту область, это треугольник, ограниченный прямыми

Обозначим его АВС.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

2. Найдем локальный экстремум функции .

Используя необходимое условие существования локального экстремума функции двух переменных, находим стационарные точки.

Находим и составляем систему:

- стационарная точка, и отмечая ее на графике, оцениваем принадлежность ее области АВС. Она не принадлежит области. Следовательно, она не рассматривается, так как не удовлетворяет условиям:

.

3. Исследуем функцию на границах области.

а) Рассмотрим ВС. На этой прямой переменная принимает значение 1. Подставляя значение 1 в исходную функцию, получаем функцию одной переменной и находим ее производную. Это необходимо для исследования функции на экстремум: . Приравниваем первую производную к нулю, тем самым находим точку, подозрительную на экстремум, и вычисляем значение функции в этой точке: Точка не принадлежит области.

б) Аналогично исследуем другие границы области.

АС. На этой прямой , а, следовательно, исходная функция примет вид . Найдем производную от этой функции и приравняем ее к нулю, тем самым найдем стационарную точку для функции :

.

Далее находим значение функции при :

в) АВ. Уравнение этой прямой имеет вид . Выразим одну из переменных через другую и подставим в исходное уравнение:

Найдем стационарную точку для этой функции, для чего вычислим производную функции и приравняем ее к нулю, т.е. найдем нули производной и вычислим значение функции в стационарной точке:.

4. Исследуем исходную функцию двух переменных в угловых точках:

1) в точке

2) в точке

3) в точке

5. Выбирая из всех значений функции наибольшее и наименьшее, мы получаем наибольшее и наименьшее значение функции в указанной области.

Итак, получили: .

Ответ: .

Пример №19 (№745, [18]). Найти наименьшее и наибольшее значения функций: в круге .

Решение

1. Найдем локальный экстремум исходной функции. Вычислим первые частные производные: . Составим систему и найдем стационарные точки: Получаем стационарную точку .

Не трудно увидеть, что в точке функция принимает наименьшее значение.

Рассмотрим функцию Лагранжа: .

Найдем частные производные этой функции:

.

Для определения составим систему уравнений:

Эта система имеет два решения:

1);

2).

Таким образом, получаем, наибольшее значение функция принимает в точке .

Ответ: .

Пример №20 (№1291, [14]). Из всех прямоугольных треугольников с заданной площадью , найти такой, гипотенуза которого имеет наименьшее значение.

Решение

1. Пусть и - катеты треугольника, а - гипотенуза.

2. Так как по теореме Пифагора , то задача сводится к нахождению наименьшего значения функции , при условии, что и связаны уравнением (площадь прямоугольного треугольника).