Разработка методики обучения теме экстремумов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

«Разработка методики обучения теме экстремумов»

Введение

Историческая справка. В математике изучение задач на нахождение максимума и минимума началось очень давно. Но только лишь в эпоху формирования математического анализа были созданы первые методы решения и исследования задач на экстремум.

Потребности практической жизни, особенно в области экономики и техники, в последнее время выдвинули такие новые задачи, которые старыми методами решить не удавалось. Надо было идти дальше.

Потребности техники, в частности космической, выдвинули серию задач, которые также не решались средствами вариационного исчисления. Необходимость решать их привела к созданию новой теории, получившей название теории оптимального управления. Основной метод в теории оптимально управления был разработан в пятидесятые - шестидесятые годы советскими математиками Л.С. Понтрягиным и его учениками. Это привело к тому, что теория экстремальных задач получила новый мощный толчок к дальнейшим исследованиям.

В жизни постоянно приходится сталкиваться с необходимостью принять наилучшее возможное (иногда говорят - оптимальное) решение. Огромное число подобных проблем возникает в экономике и технике. При этом часто случается так, что полезно прибегнуть к математике.

Долгое время к задачам на отыскание экстремумов не было сколько-нибудь единых подходов. Но примерно триста лет назад - в эпоху формирования математического анализа - были созданы первые общие методы решения и исследования задач на экстремум.

Накопление методов дифференциального исчисления приняло наиболее явную форму у Ферма. В 1638 году он сообщил в письме Декарту, что решил задачу определения экстремальных значений функции f(x). Ферма составлял уравнение (f (x+h) - f(x))/h=0 и после преобразований в левой части полагал h=0, вопреки мнению многих исследователей, которые видели в этой идеи исчисления бесконечно малых. В действительности, Ферма нашел это условие и аналогичное (f(y) - f(x))/(y-x)=0 при y=x ещё алгебраическими путями.

Рассуждения при нахождении экстремума функции f(x) следующие. Пусть для некоторого x функция достигает максимума. Тогда f (x•h)<f(x); f(x) Ph+Qh² …<f(x). Вычитаем из обеих частей и делим на h, откуда P+Qh …<0. Так как h можно выбрать любой малости, член P будет по модулю больше суммы всех остальных членов. Неравенство поэтому возможно лишь при условии P=0, что и дает условие Ферма. В случае минимума рассуждения аналогичные. Ферма знал также, что знак Q определяет характер экстремума.

К сожалению, Ферма не стремился публиковать свои работы, кроме того, пользовался труднодоступными для усвоения алгебраическими средствами Виета с его громоздкой символикой. Видимо, поэтому он не сделал последнего, уже небольшого, шага на пути к созданию дифференциального исчисления.

Накопление фактов дифференциального исчисления происходило быстро. В «Дифференциальном исчислении» (1755) Эйлера это исчисление появляется уже в весьма полном виде.

Правила определения экстремумов функции одной переменной y=f(x) были даны Маклореном. Эйлер разработал этот вопрос для функции двух переменных. Лагранж показал (1789), как отличать вид условного экстремума для функции многих переменных.

В XVIII веке возникло исчисление вариаций. В трудах Эйлера и Лагранжа оно приобрело вид логически стройной математической теории. Главной задачей, решаемой средствами этого исчисления, являются отыскание экстремумов функционалов [38].

Как видно из истории развития экстремумов функции, они занимают далеко не самое последнее место в математической науке. Когда-то экстремумом функции одной переменной занимались лучшие умы человечества, а сейчас каждый школьник имеет возможность овладеть навыками отыскания экстремума, и кто знает, может через несколько лет экстремум функции нескольких переменных займет достойное место и в школьной программе. А пока тема «Экстремум, условный экстремум и наибольшие, наименьшие значения функции двух переменных» является неотъемлемой частью курса математического анализа, изучаемого в высшей школе.

Цель данного курса заключается в обосновании тех понятий, первое представление о которых дается в школе, а так же этот курс имеет общеобразовательный и прикладной характер.

Целью данной выпускной квалификационной работы является разработка методики обучения теме «Экстремумы, условный экстремум и наибольшее, наименьшее значения функции двух переменных» в педагогическом вузе. Выполнение поставленной цели потребовало выполнение следующих задач:

- разработка методических рекомендаций по проведению лекционных и практических занятий по исследуемой теме;

- создание электронного пособия «Экстремумы функции нескольких переменных».

Объектом данного исследования выступает процесс организации учебной деятельности в педагогическом вузе.

В качестве предмета исследования, следует обозначить методику изучения темы «Экстремумы, условный экстремум и наибольшее, наименьшее значения функции двух переменных» в педагогических вузах.

Выполнение поставленных задач потребовало привлечение таких методов исследования:

- анализ математической психолого-педагогической и учебной литературы;

- изучение опыта преподавателей вуза.

Практическая значимость данного исследования заключается в том, что разработанные методические рекомендации по изучению темы «Экстремум, условный экстремум и наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных» позволят преподавателям более быстро подготовиться к лекционным и практическим занятиям, избежать ошибок при их проведении, а студентам лучше и быстрее усвоить новый материал. Электронное пособие, разработанное в результате исследования, поможет самостоятельно изучить данную тему, а преподавателю проконтролировать знания студентов по данной теме. С его помощью можно проводить практические занятия в компьютерном классе, что позволит экономить время на объяснении нового материала, а сосредоточить его на закреплении умений и навыков студентов.

1 Фондовые лекции по теме «Экстремумы, условный экстремум и наибольшее, наименьшее значения функций двух переменных»

1.1 Понятие экстремума функции двух переменных

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что имеет в точке локальный максимум (минимум) если существует такая окрестность точки , что для любой точки принадлежащей окрестности точки выполняется , причем для максимума , для минимума (рис. 1).

Определение 2. Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума[1].

Рис. 1.

1.2 Необходимое условие экстремума функции двух переменных

Теорема

Если функция имеет в точке экстремум, и в этой точке существуют частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны 0, т.е.

.

Доказательство

1. Докажем что равна нулю частная производная по переменной в точке , если - точка экстремума функции.

2. Для этого рассмотрим в окрестности точки только те точки, для которых , т.е. фиксируем.

3. Тогда функция может быть рассмотрена как функция одной переменной , которая имеет экстремум в точке и имеет производную .

4. Для функции одной переменной выполняется необходимое условие экстремума функции одной переменной: .

5. Аналогично функцию можно рассмотреть как функцию одной переменной и доказать, что частная производная по переменной : в точке тоже равна нулю, т.е. . ч.т.д.

Определение 1. Внутренние точки окрестности точки , удовлетворяющие системе уравнений:

,

называются стационарными точками функции для любой упорядоченной пары из - окрестности точки , т.е. .

Определение 2. Подозрительные на локальный экстремум являются критические точки, в которых хотя бы одна из частных производных , не существует или если они обе существуют, то равны нулю[1].

1.3. Необходимое условие экстремума функции трех переменных

По аналогии исследуем функцию трех переменных.

Пусть функция определена в области и будет внутренней точкой этой области.

Говорят, что функция в точке имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью

,

чтобы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство.

Если эту окрестность взять настолько малой, что бы знак равенства был исключён, т.е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки выполнялось строгое неравенство , то говорят, что в точке имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.

Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин - экстремум.

Предположим, что функция в некоторой точке имеет экстремум.

Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные: , то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производных первого порядка является необходимым условием существования экстремума.

С этой целью положим, что , сохраняя переменным; тогда получится функция от одной переменной : .

Так как предположили, что в точке существует экстремум (для определенности - пусть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестноститочки , необходимо выполняться неравенство: , так что упомянутая выше функция одной переменной в точке будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что .

Таким образом, можно показать, что в точке и остальные частные производные равны нулю.

Итак, «подозрительными» на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений:

Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными[35].

1.4 Необходимое условие экстремума функции многих переменных

Пусть функция определена в области и будет внутренней точкой этой области.

Говорят, что функция в точке имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью, что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство:

.

Если эту окрестность взять настолько малой, чтобы знак равенства был исключён, т.е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки выполнялось строгое неравенство: ,

то говорят, что в точке имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.

Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин - экстремум.

Предположим, что исследуемая функция в некоторой точке имеет экстремум.

Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные:

,

то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производных первого порядка является необходимым условием существования экстремума.

С этой целью положим , сохраняя переменным; тогда получится функция от одной переменной :

.

Так как предположили, что в точке существует экстремум (для определенности - пусть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности точки , необходимо выполняться неравенство:

,

так что упомянутая выше функция одной переменной в точке будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что

.

Таким образом, можно показать, что в точке и остальные частные производные равны нулю.

Итак, «подозрительными» на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений:

. (1)

Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.

Замечания: Необходимое условие существования экстремума в случае дифференцируемой функции кратко можно записать так:

.

Обычно, рассматриваемая функция имеет (конечные) частные производные во всей области, и тогда точки, доставляющие функции экстремумы, следует искать лишь среди стационарных точек. Однако встречаются случаи, когда в отдельных точках некоторые частные производные имеют бесконечные значения или вовсе не существуют (в то время как остальные равны нулю). Подобные точки, собственно, тоже следует причислить к «подозрительным» на экстремуму, наряду со стационарными.

Иногда дается и, не прибегая к достаточным условиям, выяснить характер стационарной точки функции. Так, если из условия задачи непременно следует, что рассматриваемая функция имеет где-то максимум или минимум и при этом системе уравнений (1) удовлетворяет только одна точка, то ясно, что эта точка и будет искомой точкой экстремума функции.

Заметим, наконец, что точками экстремума непрерывной функции могут быть точки, в которых функция не дифференцируема (им соответствуют, например, острия поверхности - графика функции) [3].

1.5 Достаточное условие экстремума функции двух переменных

1. Пусть функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки и имеет непрерывные частные производные второго порядка (чистые и смешанные).

2. Обозначим за определитель второго порядка

экстремум переменная лекционный функция

.

Теорема

Если точка с координатами является стационарной точкой для функции , то:

А) При она является точкой локального экстремума причем, при локального максимума, - локального минимума;

В) при точка не является точкой локального экстремума;

С) если , может быть и то, и другое.

Доказательство

Запишем формулу Тейлора для функции , ограничившись двумя членами:

, где

или

Так как по условию теоремы точка является стационарной, то частные производные второго порядка равны нулю, т.е. и . Тогда

Обозначим

.

Тогда приращение функции примет вид:

.

В силу непрерывности частных производных второго порядка (чистых и смешанных) по условию теоремы в точке можно записать:

, где или ; ,

,

.

I.

1. Пусть и , т.е. или .

2. Приращение функции умножим и разделим на , получим:

.

3. Дополним выражение в фигурных скобках до полного квадрата суммы:

.

4. Выражение в фигурных скобках неотрицательно, так как

, то при .

5. Поэтому если а значит, и , то и , следовательно, согласно определению, точка является точкой локального минимума.

6. Если а значит, и , то , согласно определению точка с координатами - точка локального максимума.

II.

1. Пусть .

2. Рассмотрим квадратный трехчлен , его дискриминант , .

3. Если , то существуют такие точки , что многочлен

.

4. Полное приращение функции в точке в соответствии с выражением, полученным в I, запишем в виде:

.

5. В силу непрерывности частных производных второго порядка по условию теоремы в точке можно записать, что

, и ,

следовательно, существует - окрестность точки , что, для любой точки квадратный трехчлен больше нуля:

.

6. Рассмотрим - окрестность точки .

Выберем любое значение , так что точка . Полагая, что в формуле приращения функции

, что , получим:

.

7. Так как, то .

8. Рассуждая аналогично для корня , получим, что в любой -окрестности точки существует точка для которой , следовательно, в окрестности точки не сохраняет знак, следовательно в точке экстремума нет[1].

1.6 Условный экстремум функции двух переменных

При отыскании экстремумов функции двух переменных часто возникают задачи, связанные с так называемым условным экстремумом. Это понятие можно разъяснить на примере функции двух переменных.

Пусть заданы функция и линия L на плоскости 0xy. Задача состоит в том, чтобы на линии L найти такую точку P (x, y), в которой значение функции является наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функции в точках линии L, находящихся вблизи точки P. Такие точки P называются точками условного экстремума функции на линии L. В отличие от обычной точки экстремума значение функции в точке условного экстремума сравнивается со значениями функции не во всех точках некоторой ее окрестности, а только в тех, которые лежат на линии L.

Совершенно ясно, что точка обычного экстремума (говорят также безусловного экстремума) является и точкой условного экстремума для любой линии, проходящей через эту точку. Обратное же, разумеется, неверно: точка условного экстремума может и не быть точкой обычного экстремума. Проиллюстрируем сказанное на примере.

Пример №1. Графиком функции является верхняя полусфера (рис. 2).

Рис. 2.

Эта функция имеет максимум в начале координат; ему соответствует вершина M полусферы. Если линия L есть прямая, проходящая через точки А и В (ее уравнение), то геометрически ясно, что для точек этой линии наибольшее значение функции достигается в точке , лежащей посередине между точками А и В. Это и есть точка условного экстремума (максимума) функции на данной линии; ей соответствует точка M₁ на полусфере, и из рисунка видно, что ни о каком обычном экстремуме здесь не может быть речи.

Отметим, что в заключительной части задачи об отыскании наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области приходится находить экстремальные значения функции на границе этой области, т.е. на какой-то линии, и тем самым решать задачу на условный экстремум.

Определение 1. Говорят, что , где имеет в точке , удовлетворяющей уравнению , условный или относительный максимум (минимум): если для любой, удовлетворяющей уравнению , выполняется неравенство

.

Определение 2. Уравнение вида называется уравнением связи.

Теорема

Если функции и непрерывно дифференцируемы в окрестности точки , и частная производная , и точка является точкой условного экстремума функции относительно уравнения связи , то определитель второго порядка равен нулю:

.

Доказательство

1. Так как по условию теоремы частная производная , а значение функции , то в некотором прямоугольнике

определена неявная функция

.

Сложная функция двух переменных в точке будет иметь локальный экстремум, следовательно, или .

2. Действительно, согласно свойству инвариантности формулы дифференциала первого порядка

. (2)

3. Уравнение связи можно представить в таком виде , значит

, т.е. . (3)

4. Умножим уравнение (2) на , а (3) на и сложим их

, следовательно, при

произвольном . ч.т.д.

Следствие

Поиск точек условного экстремума функции двух переменных на практике осуществляется путем решения системы уравнений

, где .

Так, в вышеприведенном примере №1 из уравнения связи имеем . Отсюда легко проверить, что достигает максимума при . Но тогда из уравнения связи . Получаем точку P, найденную геометрически.

Пример №2. Найти точки условного экстремума функции относительно уравнения связи .

Решение

Найдем частные производные заданной функции и уравнения связи:

.

Составим определитель второго порядка:

.

Запишем систему уравнений для отыскания точек условного экстремума:

,

значит, существует четыре точки условного экстремума функции с координатами: .

Пример №3. Найти точки экстремума функции .

Решение

Приравнивая частные производные к нулю: , находим одну стационарную точку - начало координат. Здесь , ,. Следовательно, и точка (0, 0) не является точкой экстремума. Уравнение есть уравнение гиперболического параболоида (Рис. 3) по рисунку видно, что точка (0, 0) не является точкой экстремума[3].

Рис. 3.

1.7 Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области

1. Пусть функция определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D.

2. Пусть в этой области функция имеет конечные частные производные, кроме отдельных точек области.

3. В соответствии с теоремой Вейерштрасса в этой области найдется точка, в которой функция примет наибольшее и наименьшее значение.

4. Если эти точки будут внутренними точками области D, то очевидно, в них будет максимум или минимум.

5. В этом случае интересующие нас точки находятся среди подозрительных точек на экстремум.

6. Однако наибольшее или наименьшее значение функция может принимать и на границе области D.

7. Для того, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции в области D, нужно найти все внутренние точки подозрительные на экстремум, вычислить значение функции в них, затем сравнить со значением функции в пограничных точках области, и наибольшее из всех найденных значений будет являться наибольшим в замкнутой области D.

8. Метод отыскания локального максимума или минимума рассматривался ранее в п. 1.2. и 1.3.

9. Остается рассмотреть метод отыскания наибольшего и наименьшего значения функции на границе области.

10. В случае функции двух переменных область обычно оказывается ограниченной кривой или нескольких кривыми.

11. Вдоль такой кривой (или нескольких кривых) переменные и либо зависят одна от другой, либо обе зависят от одного параметра.

12. Таким образом, на границе функция оказывается зависящей от одной переменной.

13. Метод отыскания наибольшего значения функции одной переменной был рассмотрен ранее.

14. Пусть граница области D задана параметрическими уравнениями:

.

Тогда на этой кривой функция двух переменных будет представлять собой сложную функцию от параметра : . Для такой функции наибольшее и наименьшее значение определяется по методике определения наибольшего и наименьшего значения для функции одной переменной[25].

2. Методические основы преподавания лекционных занятий по теме математического анализа «Экстремумы, условный экстремум и наибольшее, наименьшее значения функций двух переменных»

2.1 Психологический аспект юношеского возраста

Юность - период жизни после отрочества до взрослости (возрастные границы условны - от 15-16 до 21-25 лет). Это период, когда человек может пройти путь от неуверенного, непоследовательного отрока, притязающего на взрослость, до действительного повзросления.

Юность - чрезвычайно значимый период в жизни человека. Вступив в юность подростком, молодой человек завершает этот период истинной взрослостью, когда он действительно сам определяет для себя свою судьбу: путь своего духовного развития и земного существования. Он планирует свое место среди людей, свою деятельность, свои образ жизни. В to же время возрастной период юности может ничего не дать человеку в плане развития способности к рефлексии и духовности. Прожив этот период, выросший человек может остаться в психологическом статусе подростка.

Пройдя путь первого рождения личности и ее существования, не выходящего за пределы непосредственных связей людей, подросток, вырастая из детства и трепетно входя в период юности, обретает возможность второго рождения личности. Юношество самоуглубленно развивает в себе рефлексивные способности. Развитая рефлексия дает возможность для тонкого чувствования в собственные переживания, побуждения, взаимодействующие мотивы и единовременно - холодного анализа и соотнесения интимного с нормативным. Рефлексии выводят молодого человека за пределы его внутреннего мира и позволяют занять позицию в этом мире. Именно в этом возрасте человек либо обращается к нравственному цинизму, становясь «нравственным пылесосом», либо начинает сознательно стремиться к духовному росту, к построению жизни на основе понятия традиционных и новых нравственных ориентаций[29].

В настоящее время нет, пожалуй, более спорной проблемы в педагогике и психологии высшей школы, чем проблема воспитания студентов. «Надо ли воспитывать взрослых людей?», «Стоит ли и корректно ли это делать?» Ответ на эти вопросы зависит от того, как понимать воспитание. Если его понимать как воздействие на личность с целью формирования нужных воспитателю, вузу, обществу качеств, то ответ может быть только отрицательным. Если как создание условий для саморазвития личности в ходе вузовского обучения, то ответ должен быть однозначно положительным.

Зачем нужен преподаватель в вузе, только ли как носитель и «передатчик» информации? Но как раз в этом качестве он значительно уступает многим другим источникам информации, таким, например, как книги и компьютеры. Вуз служит не только и может быть не столько для передачи специальных знаний, сколько для развития и воспроизведения особого культурного слоя, важнейшим элементом которого является и сам специалист. Специалиста как представителя определенной культуры характеризует не только специфический набор знаний и умений, но и определенное мировоззрение, жизненные установки и ценности, особенности профессионального поведения и т.п. Поэтому он не только передает студенту знания и профессиональные умения, а приобщает его к определенной культуре, и чтобы эта культура развивалась и воспроизводилась, необходимы живые люди, живое человеческое общение.

Воспитывать - это в значительной степени означает строить систему взаимоотношений между людьми. В современной педагогике (и еще более явно в психологии) начинает преобладать подход к воспитанию не как к целенаправленному формированию личности, в соответствии с выбранным идеалом, а как к созданию условий для саморазвития личности.

Положения гуманистической психологии запрещают любые прямые воздействия на личность, какие бы цели (воспитательные или терапевтические) они не преследовали. Мы не имеем также права заранее решать за человека, каким ему быть, ибо каждый имеет право и должен сам прожить свою жизнь, не перекладывая на других ответственность за тот выбор, за те решения, которые ему приходится принимать. Уникальность и неповторимость каждой личности составляют богатство всего общества, и всякое искусственное ограничение свободного проявления и развития личности подрывает ее творческие потенции.

Сам способ существования личности есть постоянный выход за пределы самой себя, стремление к росту и развитию, направление которого воспитатель не может предугадать заранее и он не имеет права принимать сколько-нибудь ответственные решения за воспитуемого, какими бы само собой разумеющимися эти решения не казались ему. Самый главный прием воспитания - это принятие человека таким, какой он есть, без прямых оценок и наставлений. Только в этом случае будет ее сохраняться у воспитателя контакт с воспитуемым, что является естественным условием плодотворного взаимодействия обоих участников воспитательного процесса.

Означает ли это, что воспитатель должен занимать пассивную позицию в отношении тех выборов и принципиальных решений, которые принимает его воспитанник? Разумеется, нет. Главная задача воспитателя - раскрыть перед воспитуемым широкое поле выборов, которое часто не открывается самим ребенком, подростком, юношей из-за его ограниченного жизненного опыта, недостатка знаний и неосвоенности всего богатства культуры. Раскрывая такое поле выборов, воспитатель не должен, да и не может скрыть своего оценочного отношения к тому или иному выбору. Следует избегать только слишком однозначных и директивных способов выражения этих оценок, всегда сохраняя за воспитанником право на самостоятельное принятие решения, в противном случае ответственность за любые последствия принятых решений он с себя снимет и переложит на воспитателя.

Другое принципиальное требование к организации процесса воспитания состоит в неизменно уважительном отношении к личности воспитуемого как полноценного и равноправного партнера любой совместной деятельности. Идея равенства, партнерства и взаимного уважения друг к другу лежит в основе так называемой педагогики сотрудничества, принципы которой совершенно неоспоримы в вузовском обучении. Как утверждают многие крупные ученые и педагоги, основатели больших научных школ, наибольший учебный и воспитательный эффект достигается в таких ситуациях, когда учитель и ученик вместе решают задачу, ответ на которую не знает ни тот ни другой. В этом случае феномен партнерства и сотрудничества выражен максимально[36].

Другая важнейшая задача воспитания - помощь воспитуемому в выработке индивидуального стиля жизни, индивидуального стиля деятельности и общения Дня решения такой задачи преподавателю необходимо владеть некоторыми навыками и методиками психодиагностики, а также вооружить студентов приемами самопознания. Важнейшее значение имеет знание психологических и психофизиологических особенностей студентов, определяемых их социальным статусом, возрастом и характером основной деятельности.

Свою способность знать и понимать студентов, адекватно оценивать их личностные качества и состояния, преподаватели справедливо считают одним из важнейших профессиональных качеств и ставят ее на второе место после знания предмета, который они преподают. Но преподаватели, как правило, прикладывают очень мало усилий, чтобы повысить свою подготовку в этой области, хотя постоянно стремятся обновить и пополнить свои специальные (предметные) знания.

Часто преподаватели руководствуются индифферентными представлениями о студентах как об устройствах по переработке информации, которые слушают лекции, читают учебники, выполняют задания и, когда это требуется, демонстрируют эти знания на зачетах и экзаменах. Иногда это приводит к безличным и неадекватным требованиям, с которыми студенты просто не могут справиться. Для того чтобы при построении программы учесть возможности и потребности студентов, нужно хорошо их знать. Успешная учебная деятельность студента зависит не только от степени владения приемами интеллектуальной деятельности; она обусловлена также личностными параметрами учебной деятельности - устойчивой системой отношении студента к окружающему миру и к самому себе.

На какие же вопросы следует обращать внимание в связи с необходимостью учета возрастных особенностей и индивидуальных различии студентов в воспитательно-образовательном процессе вуза? Современные студенты - это, прежде всего молодые люди в возрасте 18 - 25 лет. Этот возраст определяется как поздняя юность или ранняя зрелость. Отсутствие единого термина уже говорит о сложности, неоднозначности психологических характеристик этого периода жизни. Очень важно иметь в виду, что человек непрерывно эволюционирует как единое целое, так что ни одну сторону его жизни нельзя понять в отрыве от других сторон. Возьмем, например, такой, казалось бы, не имеющий отношения к педагогической ситуации параметр, как физическое развитие молодых людей. Студенческий возраст характеризуется наивысшим уровнем таких показателей, как мышечная сила, быстрота реакции, моторная ловкость, скоростная выносливость и др. Как принято говорить - это возраст физического совершенства человека. Большинство спортивных рекордов установлено именно в этом возрасте. Однако, как свидетельствуют данные Всемирной организации здравоохранения, именно студенты характеризуются худшими показателями физиологических функций в своей возрастной группе. Они лидируют по числу больных гипертонией, тахикардией, диабетом, нервно-психическими нарушениями. Причины этого, как показывают исследования, кроются в том, что в процессе вузовского обучения студенты испытывают сильное психическое напряжение, часто разрушительное для здоровья[29].

Преподаватель должен учитывать, что эти нагрузки особенно велики в периоды контроля и оценивания. Но именно здесь часто совершается одна из грубейших педагогических ошибок: негативную оценку результатов усвоения учебной программы преподаватель переносит на оценку личности студента в целом, давая студенту знать с помощью мимики, жестов, а то и в словесной форме, что он неумен, ленив, безответствен и т.п. Заставляя студента переживать негативные эмоции, преподаватель оказывает прямое влияние на физическое состояние и здоровье студента.

Учеба в вузе требует больших затрат времени и энергии, что обуславливает некоторую задержку социального становления студентов по сравнению с другими группами молодежи. Этот факт часто порождает у преподавателей ошибочное представление о студентах как социально незрелых личностях, нуждающихся в постоянной опеке, снисходительном отношении. Сам того не осознавая преподаватель в этом случае как бы ставит планку, ограничивает уровень, до которого студент, по его представлению, может развить свои личные качества, в данном случае ответственность, инициативность, самостоятельность. Воспитуемый (в данном случае студент) неосознанно воспринимает такую программу и, что особенно огорчительно, внутренне принимает ее. Человеку свойственно легко адаптироваться к заниженным требованиям: в этих условиях способности студента не только не развиваются, но и часто деградируют.

Отношение же педагога к студенту как к социально зрелой личности, напротив, как бы отодвигает планку, раскрывает новые горизонты, тем самым не ограничивая возможности развития личности, а усиливая их своей верой, внутренней поддержкой.

Как правило, именно в студенческом возрасте достигают максимума в своем развитии не только физические, но и психологические свойства, и высшие психические функции: восприятие, внимание, память, мышление, речь, эмоции и чувства. Этот факт позволил Б.Г. Ананьеву сделать вывод о том, что данный период жизни максимально благоприятен для обучения и профессиональной подготовки. В этот период происходит активное формирование индивидуального стиля деятельности. Преобладающее значение в познавательной деятельности начинает приобретать абстрактное мышление, формируется обобщенная картина мира, устанавливаются глубинные взаимосвязи между различными областями изучаемой реальности.

Если преподаватель не развивает именно эти способности, у студента может закрепиться навык полумеханического запоминания изучаемого материала, что ведет к росту показной эрудиции, но тормозит развитие интеллекта. Результаты специальных обследований показывают, что у большинства студентов уровень развития таких интеллектуальных операций, как сравнение, классификация, определение весьма невысок. Преподавателю зачастую приходится прилагать большие усилия, чтобы преодолеть школярское отношение к учебе: ориентацию только на результат интеллектуальной деятельности и равнодушие к самому процессу движения мысли[2].

Лишь немного более половины студентов повышают показатели интеллектуального развития от первого курса к пятому, и как правило такое повышение наблюдается у слабых и средних студентов, а лучшие студенты часто уходят из вуза с тем же уровнем интеллектуальных способностей, с которым пришли.

Важнейшая способность, которую должен приобрести студент в вузе, - это собственно способность, учиться, которая радикальным образом скажется на его профессиональном становлении, ибо определяет его возможности в послевузовском непрерывном образовании. Научиться учиться важнее, чем усвоить конкретный набор знаний, которые в наше время быстро устаревают. Еще важнее способность самостоятельного добывания знаний, основанная на творческом мышлении.

Особенно бурно в период вузовского обучения идет развитие специальных способностей. Студент впервые сталкивается со многими видами деятельности, являющимися компонентами его будущей профессии, поэтому на старших курсах необходимо уделять особое внимание диалоговым формам общения со студентами, в частности, в процессе выполнения ими курсовых и дипломного проектов, прохождения практик и т.п.

Передача «личностного знания» возможна, как правило, только в диаде «учитель-учению.

Эмоциональная сфера в студенческом возрасте приходит к некоторому уравновешенному состоянию, «успокаиваясь» после своего бурного развития и брожения в подростковый период. Но определенные отголоски прошедших «бурь» иногда дают себя знать, особенно у студентов с задержками личностного развития, т.е. страдающих инфантилизмом. Часто может наблюдаться гипертрофированная и не сколько абстрактная неудовлетворенность жизнью, собой и другими людьми. При неадекватном педагогическом воздействии такие состояния могут стать причиной деструктивных тенденций в поведении. Но при обращении энергии этого эмоционального состояния на решение сложной и значимой для студента задачи неудовлетворенность может стать стимулом к конструктивной и плодотворной работе.

Выраженный и часто подчеркнутый рационализм в обращении преподавателей со студентами негативно сказывается на развитии их эмоциональной сферы в целом. Поэтому преподавателю необходимо сознательно следить за тем, не переходит ли опасную черту почти неизбежный дисбаланс рационального и эмоционального в стиле его общения со студентами. В этом случае без некоторой, пусть порой даже искусственно добавляемой, эмоциональной теплоты, эффективность его работы со студентами может сильно снизиться даже при ее очень высоком содержательном уровне. Без принятия таких мер у преподавателя самого могут возникнуть эмоциональные перегрузки, еще более усиливающие трудности нахождения верного эмоционального тона в общении со студентами[36].

Самая главная особенность юношеского возраста (включая и позднюю юность) состоит в осознании человекам своей индивидуальности, неповторимости, в становлении самосознания и формировании «образа Я». Образ «Я», - это социальная установка, отношение личности к себе, включающее три взаимосвязанных компонента: познавательный, эмоциональный и поведенческий. За последние десятилетия произошел сдвиг пика становления самосознания с возраста 17-19 лет на 23-25 лет. Становление самосознания актуализирует проявление важнейших и часто противоречивых потребностей юношеского возраста - в общении, уединении, в достижениях и др.

Потребность в достижении, если она не находит своего удовлетворения в основной для студента учебной деятельности, закономерно смещается на другие сферы жизни - в спорт, бизнес, общественную деятельность, хобби, или в сферу интимных отношений. Но человек обязательно должен найти для себя область успешного самоутверждения, в противном случае ему грозит уход в болезнь, невротизация или уход в криминальную жизнь.

И здесь ответственна роль преподавателя как первого эксперта, дающего студенту «обратную связь» о результатах его исследовательской работы. Своими оценками он может неосторожно убить у студента всякую надежду и, соответственно, желание утверждаться на ниве науки и подтолкнуть его к выбору других сфер жизни для самоутверждения и удовлетворения потребности в достижении.

Благоприятное положение студента в окружающей его среде содействует нормальному развитию его личности. Не должно быть существенного расхождения между самооценкой и оценкой, получаемой студентом от значимых для него людей (референтной группы), к которым обязательно должен относиться и преподаватель. В этом случае он может помочь студенту в преодолении неблагоприятного соотношения самооценки, ожидаемой оценки и оценки, исходящей от референтной группы. Это можно сделать, целенаправленно, организовав такую педагогическую ситуацию, чтобы студент предстал перед значимыми для него «другими» в выгодном свете и получил положительную оценку, что приведет к повышению ожидаемой оценки, улучшит его психологическое состояние и сделает более благоприятной позицию личности в целом.

Заключая разговор об условиях успешной воспитательной работы, следует напомнить изложенные в начале параграфа общие положения о сущности воспитания как о создании благоприятных условий для самовоспитания человека путем раскрытия перед ним поля возможных выборов и их последствий, при том, что окончательное решение всегда должен принимать сам воспитуемый. Важнейшим условием внимания студента к тому, что раскрывает перед ним преподаватель выступает безусловное принятие студента преподавателем и признания за ним права на любой выбор без того, чтобы быть отвергнутым[2].

2.2 Тематическое планирование лекционных занятий

В соответствии с учебной программой раздел «Экстремумы, условный экстремум и наибольшее, наименьшее значения функций двух переменных» изучается на физико-математических факультетах педагогических вузов на втором курсе в четвертом семестре[22].

Тема 14. «Дифференцируемость функции нескольких переменных. Исследование на экстремум»

Лекция №5. Экстремум функций двух и многих переменных. Определение максимума и минимума. Необходимые условия экстремума. Достаточное условие максимума и минимума для функции двух переменных. Нахождение наибольшего и наименьшего значения. Условный экстремум.

На «Экстремум функций нескольких переменных» отводится 2 часа или 1 лекция.

Их содержание имеет следующий вид:

1. Экстремум функции двух переменных (определения).

2. Необходимое условие экстремума функции двух переменных.

3. Необходимое условие экстремума функции трех переменных.

4. Необходимое условие экстремума функции многих переменных.

5. Достаточное условие экстремума функции двух переменных.

6. Условный экстремум функции двух переменных.

7. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.

С пунктами 3 и 4 студенты только знакомятся по аналогии с функцией двух переменных.

2.3 Методические рекомендации по проведению лекционных занятий

Среди разнообразных методов и средств совершенствования процесса обучения в высшей школе, интенсификации и повышения эффективности учебной деятельности важное место отводится использованию технических средств обучения (ТСО).

В настоящее время рекомендуется внедрение различных технических средств обучения в процесс подачи лекционного материала по самым разным дисциплинам вузов, в том числе и математическому анализу.

По теме математического анализа «Экстремумы, условный экстремум и наибольшее, наименьшее значения функций двух переменных» был создан электронный конспект лекционных занятий (ЭКЛ). Он представляет собой фондовые лекции, читаемые на втором курсе в четвертом семестре на физико-математических факультетах педагогических вузов. Наиболее приемлемой конфигурацией используемого оборудования, является компьютер и телевизор, соединенные друг с другом. На экран телевизора выводится информация (лекция). Это потребовало создания ЭКЛ 28-36 шрифта, что позволило улучшить наглядность подаваемого материала и повысить качество обучения. Используется большее количество разнообразных графиков и рисунков, что облегчает понимание и усвоение нового материала, так как одновременная подача текстовой, графической и звуковой информации резко увеличивает качество обучения и его интенсификацию.

Опишем технические средства предъявления информации (ТСПИ).

Эти средства удобно разделить на группы, с помощью которых воспринимаются внешние сигналы. Выделяются следующие три группы:

- слуховые (аудио) средства;

- зрительные (визуальные) средства;

- аудиовизуальные (зрительно-слуховые) средства.

Какие бы ТСПИ ни использовались, необходимо помнить о наиболее полной реализации принципа наглядности в обучении при их использовании. Следует также учитывать экспериментально подтвержденное положение о том, что лучшее запоминание достигается при совместном и одновременном использовании слухового и зрительного каналов в практике обучения.

Программное обеспечение, с помощью которого реализуется данный подход, может быть оформлено в виде компьютеризованных учебников, готовых к использованию учебных курсов (или их фрагментов), компьютерных моделей (работая с которыми, студент осваивает учебный материал и овладевает приемами самостоятельного проведения исследований), контролирующие программы, наборы упражнений и задач, предназначенных для самоконтроля и т.д. [37].

Преподаватель, который ставит определенную дидактическую цель, на каждом этапе работы учащегося может установить с некоторой степенью объективности, насколько достигнута поставленная цель. Успешность усвоения зависит не только от того, в каком виде и в какой форме предъявляется учебная информация, но и от содержания и смысла информации. С помощью технических средств управления обучением (ТСУО) реализуется весь замкнутый цикл обучения. Из всевозможных способов организации таких систем в настоящее время актуальными являются лишь системы, действующие на базе ЭВМ[37].

В ходе исследования было создано электронное пособие, которое и позволяет реализовать весь замкнутый цикл управления обучением. Оно выполняет не только обучающую, но и контролирующую роль. Электронное пособие состоит из обучающей части, в частности, фондовых лекций по теме математического анализа «Экстремумы, условный экстремум и наибольшее, наименьшее значения функций двух переменных», а так же материал, который необходим для актуализации базовых знаний и более углубленного изучения этого вопроса.

Контроль усвоения лекционного материала осуществляется по средствам коллоквиума, который проводится в письменном виде.

Электронный конспект фондовых лекций по теме «Экстремумы, условный экстремум и наибольшее и наименьшее значения функций двух переменных» 14 и 36 шрифтов расширяет возможности студента и преподавателя.

I. Электронный конспект лекций 14 шрифта позволяет студенту:

1) Обеспечить самостоятельную проработку лекций. Это дает возможность студенту разобраться в материале, и все вопросы задать лектору, уже имея представление о нем, на консультации.

2) Самостоятельную проработку вопросов, разделов и параграфов, которые не рассматриваются во время лекций.

3) Подготовиться к самостоятельным работам, контрольным работам, коллоквиумам, семестровому и государственному экзаменам.

4) Осуществить работу над курсовой и выпускной квалификационной работами.

II. Электронный конспект лекций 14 шрифта позволяет преподавателю:

1) Подготовится к проведению лекционных занятий.

2) Организовать самостоятельную работу студента при подготовке к коллоквиумам, самостоятельным и контрольным работам, практическим занятиям, самостоятельное изучение отдельных разделов и вопросов, подготовку к семестровым и государственным экзаменам.

III. Электронный конспект лекций 36 шрифта дает возможность студенту более быстро и качественно усвоить материал, даваемый на лекциях. Это реализуется за счет более качественного текста, выводимого на экран телевизора, а так же реализуется принцип наглядности, что благоприятно отражается на понимании излагаемого материала.

IV. Электронный конспект лекций 36 шрифта позволяет преподавателю: проводить лекционные занятия и применять демонстрационный материал с использованием ТСО (телевизор в связи с компьютером), что способствует меньшей физической усталости и утомляемости, что делает лекцию интересней. Это повышает скорость чтения лекций, а следовательно, и количество переданной информации.

Данный материал можно использовать при организации лекций на физико-математических факультетах педагогических вузов.

Все вышесказанное позволяет использовать ЭКЛ и электронное пособие в различных видах учебной деятельности в вузах: для организации компьютерных учебных баз данных с целью обеспечения курсового и дипломного проектирования; для автоматизации лабораторного практикума; при чтении лекций и проведении семинаров; для самостоятельной поисково - информационной работы студентов в информационных сетях и т.д.

Таким образом, технические средства обучения - это совокупность технических устройств и дидактических материалов, используемых в учебном процессе в качестве средства повышения эффективности обучения. ТСО, согласно данному определению, являются средствами учебной деятельности, как преподавателя, так и учащегося. Границу между средствами преподавателя и средствами учащегося проводить нецелесообразно, поскольку процесс обучения реализуется в замкнутой системе. В учебной деятельности студента используются результаты труда преподавателя (непосредственно или опосредствованно) и наоборот.

В последнее время много говорится о необходимости увеличения того количества материала, который преподаватель оставляет на самостоятельную проработку студенту. Поэтому такое ТСУО как электронное пособие может значительно уменьшить личное время студента, которое он должен потратить на поиск нужной информации. Ведь электронное пособие является своеобразным представлением учебного материала. Учитывая вышесказанное, преподаватель может также освободить время, отведенное на лекции на рассмотрение того или иного вопроса, предоставив студенту возможность самостоятельно освоить этот вопрос с помощью электронного пособия.

Но использование компьютера в обучении несет и негативное влияние на пользователя. К ним относятся:

- большая утомляемость пользователей при считывании текстов с экранов дисплеев;

- отсутствие в процессе обучения вербального общения, что отрицательно сказывается на общем развитии учащегося, затрудняет формирование умения излагать свои мысли;

- резко ограничено время общения учащегося с преподавателем и коллегами, что ведет к обеднению личностных контактов, разобщенности и частичной потере.

Поэтому следует достаточно осторожно подбирать учебный материал, который дается для самостоятельной проработки при помощи компьютера. В то же время нельзя отрицать, что компьютеризация обучения имеет большие перспективы[39].

Разработанный в результате работы ЭКЛ апробировался на лекционных занятиях на втором курсе в четвертом семестре на факультете математики и информатики в 2003-2004 годах. В качестве источника информации использовался компьютер, соединенный с телевизором совместно с пояснениями лектора. Тем самым использовались слуховой и зрительный канал восприятия информации.

Некоторые практические советы преподавателю по использованию технических средств в учебном процессе

Как известно, работа с техническими средствами зависит не только от субъективных усилий преподавателя, но и от совокупности внешних условий его деятельности наличия специально оборудованных помещений, технического персонала, позиции руководства в вопросах использования ТСО в учебном процессе, подготовленности студентов к использованию технических средств и т.п.

Особенно ответственным и часто вызывающим разного рода непредвиденные осложнения является использование ТСО в лекционной работе. В то же время хорошая подготовка и практика использования технических средств обучения значительно снижают физическую нагрузку на преподавателя и студентов.

Можно привести несколько простых советов, которые помогут помочь преподавателю предотвратить почти неизбежные осложнения в его «общении» с техникой на лекциях.