Формування математичної культури учнів

3. Вибір (чи розробка) алгоритму для реалізації моделі.

Математична модель досліджуються теоретичними методами, що допомагає отримати попередні знання про об'єкт. Далі відбувається уточнення, доопрацювання моделі, встановлюються межі її використання, суто математичними прийомами виявляються загальні властивості моделі та її розв'язків.

4. Аналіз одержаного результату, з'ясування його відповідності тому об'єкту, який моделюється.

Перекладання з мови математики мовою реальної дійсності. Визначається відповідність одержаних результатів розглянутій реальній ситуації, робиться перевірка моделі на відповідність за тими ознаками, що були відібрані як значущі.

Наприклад, розглянемо таку задачу:

Задача 1.1. [15] Під час сніданку леді Астор випила чашечки чорної кави та долила молока. Потім вона випила чашечки і знову долила в неї молоко. Потім леді Астор випила півчашечки. Чого вона випила більше: чорної кави чи молока?

Розв'язання

І етап. Аналіз умови. Учні відповідають на питання: «Що дано?» (скільки молока доливала леді Астор у каву після того, як випивала певну кількість кави) та «Що потрібно знайти?» (чого вона випила більше: чорної кави чи молока).

ІІ і ІІІ етапи. Побудова математичної моделі. Вибір (чи розробка) алгоритму для реалізації моделі.

Позначимо кількість кави у чашечці за х. Тоді після першого ковтка залишиться кави. Решта, , - долите молоко.

Потім вона випила чашечки. При цьому кави залишиться , а молока, після того як леді Астор ще долила його: .

Так як, > , то кави залишилося більше ніж молока.

IV етап. Аналіз одержаного результату, з'ясування його відповідності з тим об'єктом, який моделюється.

Отже, кави залишилося більше ніж молока.

Відповідь: молока.

Для зображення процесу пошуку математичної моделі пропонують таку схему [12].

Схема 1.1

Процес пошуку математичної моделі

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Основа цієї схеми є загальновідомою і широко розповсюдженою, в тому числі й у сучасних підручниках з алгебри для 9 класу. Ми вважаємо за доцільне вдосконалити її, додавши символ взаємозв'язку між блоками «Скорочений запис» та «Рисунок, схема», і між «Відомі формули» та «Невідомі формули», так як ці блоки логічно пов'язані між собою.

На думку В.А. Буличева та В.В. Калмановича можна виділити декілька рівней математичної культури школярів при моделюванні різних ситуацій [9].

Рівень 0. Підстановка чисел у формули. Таке «моделювання» полягає лише в тому, що учень намагається підставити данні за умовою задачі числа у відомі йому формули.

Рівень 1. Правильне моделювання. Учень будує модель в точній відповідності з умовою задачі, правильно описує елементарні наслідки та обґрунтовує їх рівно можливість.

Рівень 2. Моделювання «на межі дозволеного». У цьому випадку описаний в умові дослід замінюється на інший, який простіше аналізувати та досліджувати. При цьому повністю змінюється модель, з'являється інший простір елементарних наслідків, але ймовірність випадкової події, яка нас цікавить, залишається незмінною. Таким чином, учень розробляє модель, яка формально не відповідає заданій умові, проте зберігає всі істотні зв'язки і дозволяє значно швидше отримати відповідь.

Функції математичного моделювання:

1. Пізнавальна функція.

Мета: ознайомлення учнів з найбільш коротким та доступним способом сприйняття матеріалу, який вивчається.

2. Функція керівництва діяльністю учнів.

Мета: контроль за процесом інтерпретації задачі мовою математики, за складанням відповідної математичної моделі та за розв'язуванням відповідного рівняння.

3. Інтерпретаційна функція.

Мета: заміна громіздкої умови на формулу, рівняння або систему рівнянь.

У деяких об'єктів є декілька інтерпретацій.

Інтерпретація - роз'яснення, тлумачення, розкриття змісту чого-небудь.

4. Виховна функції.

Ця функція проявляється у тому, що в учня, перед яким ставиться завдання «створити математичну модель даної задачі» або «розв'язати задачу методами математичного моделювання», а не просто «скласти рівняння», підвищується самооцінка через розуміння того, що його діяльність має більш високий рівень, що він є причетним до наукового дослідження. До того ж, з естетичної точки зору, більш привабливою є лаконічна математична формула, у якій міститься громіздкий текст умови.

Для того, щоб ефективно використовувати математичне моделювання у процесі розв'язуванні практичних задач учні повинні вміти [51]:

- виявити множину елементів системи і визначити їх властивості;

- визначити зовнішні умови, в яких знаходиться об'єкт моделювання, й охарактеризувати їх певними величинами;

- знайти зв'язки і відношення між елементами системи та записати їх у математичній формі;

- виділити системоутворюючі зв'язки, запис яких у математичній формі є шуканою математичною моделлю;

- обирати критерії оцінювання математичної моделі на предмет досконалості;

- реалізовувати для створення математичних моделей ієрархічний метод;

- наводити приклади конкретних математичних моделей фізичних, біологічних, економічних, інформаційних процесів;

- інтерпретувати математичні залежності в термінах конкретних математичних теорій.

Також неабияке значення для реалізації математичного моделювання має алгоритмічна культура.

У програмі з математики 2010 року для 10-11 класів з поглибленим вивченням математики вказано, що випускник загальноосвітнього навчального закладу повинен визначати математичний апарат, потрібний для розв`язування конкретної задачі, укладати алгоритм розв`язування задачі і розв`язувати її, користуючись набутими знаннями.

У радянському посібнику для вчителів [39] до складових частин алгоритмічної культури відносили:

1. Розуміння сутності алгоритму і його властивостей; розуміння сутності мови як засобу для запису алгоритму.

2. Володіння прийомами та засобами для запису алгоритму.

3. Розуміння алгоритмічного характеру методів математики; володіння алгоритмами шкільного курсу математики.

4. Розуміння елементарних основ програмування ЕВМ.

На нашу думку, ці компоненти є актуальними і в наш час, але термін «програмування ЕВМ», можливо, варто замінити на термін «комп'ютерне програмування».

Термін «алгоритм» є ключовим терміном алгоритмічної культури. Але при викладенні шкільного курсу математики достатньо ввести пояснення на інтуїтивному рівні, так як точного визначення поняття «алгоритм» не існує, як не існує точного визначення терміну «множина».

Для того, щоб у старшій школі учні могли працювати зі складними алгоритмами, вони повинні засвоїти правила роботи з більш простими. Тобто алгоритмічну культуру потрібно формувати у школярів починаючи з молодших класів. Вони повинні засвоїти правила покрокового виконання завдань. При чому у дитини може виникнути питання: «Навіщо покроково записувати розв'язання завдання, якщо і так усе зрозуміло?» Але, як відомо, втрачені знання у 5-6 класах перетворюються на велику проблему для учнів 8-11 класів. А майже весь курс алгебри побудований на алгоритмах. Тому дуже важливо привчати учнів бачити у розв'язаних завданнях алгоритм, вміти його відтворювати, застосовувати, а також самостійно складати.

1.4 Спроби визначення рівня математичної грамотності

Визначенню рівня математичної грамотності присвячені різноманітні дослідження. І говорячи про ці дослідження, не можна оминути ім'я Віктора Васильовича Фірсова.

Фірсов Віктор Васильович (04.02.1942-10.04.2006) - науковий і організаційний керівник широкомасштабних дослідницьких проектів у загальній середній освіті в 80-90 рр. минулого століття.

Наукова діяльність В. В. Фірсова була пов'язана з роботою на різних посадах: молодший науковий співробітник Відділу математичної лінгвістики ВІНІТІ АН СРСР (1964-1967), старший науковий співробітник, завідувач лабораторією навчання математиці, заступник директора НДІ змісту й методів навчання АПН СРСР (1968-1992), директор Науково-педагогічного Центру «Освіта для всіх» (1992-2001), провідний науковий співробітник Московського інституту відкритої освіти (з 1998), радник Генерального директора видавництва «Просвещение» (з 2001).

Педагогічну діяльність В.В. Фірсов почав керівником математичного гуртка для школярів при МДУ ім. М.В. Ломоносова (1959-1964), працював співробітником кафедри математичного аналізу механіко-математичного факультету МДУ (1962-1970), вчителем школи № 444 (1968-1976), професором кафедри педагогічної діагностики Академії підвищення кваліфікації й перепідготовки працівників освіти (з 1998-1999 рр.), професором Московського інституту підвищення кваліфікації працівників освіти (з 1998 р).

Основні дослідницькі інтереси В. В. Фірсова зосереджувалися на питаннях загальної дидактики, змісті загальної освіти, методиці навчання математики. Він є автором понад 300 публікацій з питань загальної й математичної освіти, науковим керівником понад 30 дисертацій на здобуття наукового ступеня кандидата педагогічних наук.

У наукових і методичних роботах В. В. Фірсова та його співробітників чітко простежуються провідні ідеї, пов'язані з побудовою й використанням освітніх стандартів: структурою базисної програми й базисного навчального плану, концепцією обов'язкових результатів навчання, технологією рівневої диференціації навчання тощо.

В.В. Фірсов займався науковим й організаційним керівництвом широкомасштабних дослідницьких і впроваджуваних проектів: «Проблема прикладної орієнтації навчання математики» (1973), «Базисна програма з математики» (1980), «Планування обов'язкових результатів навчання математики» (1982-1985, 20 тис. учнів), «Гуманізація й демократизація обов'язкового навчання на основі рівневої диференціації» (1992-2001, близько 1000 шкіл Москви, Ярославля, Краснодара, Тюмені, Алтаю, Сахаліна), «Московські освітні стандарти» (1995-1997), «Програма розвитку й удосконалювання системи державних освітніх стандартів і тестування» (1999-2001 ? перший етап).

Віктор Васильович був членом Комісії зі шкільної математичної освіти Відділення математики АН СРСР (1978-1991 рр.), заступником Голови секції середньої школи НМС з математики МО СРСР і Держкомосвіти СРСР (1978-1991), заступником Голови конкурсної комісії підручників з математики (1988), брав участь у роботі багатьох редколегій і рад міжнародних і національних журналів і видавництв.

Учасник 36 міжнародних конгресів, конференцій і симпозіумів. Як консультант брав участь у проведенні реформ освіти у Швеції й Чехії, в експертній роботі Світового банку. Можна вважати, що він один з тих, хто заклав підвалини проведення ЄДЕ у Росії та ЗНО в Україні.

Спробами визначення математичної грамотності можуть бути різноманітні дослідження проведені, як вчителем в конкретному класі, так і міжнародними організаціями серед учнів декількох країн. На сучасному національному рівні такими спробами можна назвати проведення ЗНО в Україні та ЄДЕ в Росії.

Ми проаналізували результати ЗНО з математики (за наведеними на офіційних сайтах таблицями) за 3 роки і отримали наступні результати:

2008 рік

У тестуванні з математики взяли участь 226 084 осіб [57].

Таблиця 1.2

Результати ЗНО з математики за 2008 рік

Результат	Кількість учасників зовнішнього оцінювання, які виявили результати в межах цих показників	Відсоток від загальної кількості учасників
від 100 до 123 балів	10363	4,58
від 124 до 135 балів	31680	14,01
від 136 до 150 балів	66179	29,27
від 151 до 161 балів	51703	22,87
від 162 до 172 балів	33155	14,66
від 173 до 183 балів	20876	9,23
від 184 до 190 балів	7450	3,30
від 191 до 195 балів	2872	1,27
від 196 до 199 балів	1579	0,70
200 балів	227	0,10

З таблиці видно, що найбільша кількість учасників тестування з математики (29,27 %) отримали результат від 136 до 150 балів. Результат 191 - 199 балів досягли 1,97 % абітурієнтів, а 200 балів отримали лише 0,1 %. Тобто, у перший рік загальнодержавного і обов'язкового проведення ЗНО учні продемонстрували не досить високий рівень знань. Причини цього різні, зокрема можна назвати відсутність навичок роботи з тестовими завданнями (існує ймовірність допущення механічних помилок при заповненні бланку відповідей), а також складність завдань, запропонованих у третій частині. Як безпосередній спостерігач проведення ЗНО (від громадської організації ОПОРА), можу констатувати той факт, що серед учнів було неабияке хвилювання, зважаючи на стресовість ситуації (безліч правил проведення ЗНО, які потрібно беззастережно виконувати, важливість отримання гарних результатів для успішного вступу до ВНЗ). Серед учнів, які складали ЗНО у селах, хвилювання було меншим, ніж у тих, хто складав його у містах. Можливо причиною цього є те, що в селах учні складали ЗНО переважно в тих школах, у яких навчалися, а в містах - у ВНЗ та інших школах.

2009 рік

У тестуванні з математики взяли участь 235 305 осіб. За порушення порядку проведення зовнішнього незалежного оцінювання анульовано результати 199 учасників [57].

Таблиця 1.3

Результати ЗНО з математики за 2009 рік

Результат	Кількість учасників зовнішнього оцінювання, які виявили результати в межах цих показників	Відсоток від загальної кількості учасників
від 100 до 123 балів	22 609	9,62
від 124 до 150 балів	88 415	37,61
від 151 до 180 балів	106 110	45,13
від 181 до 190 балів	12 890	5,48
від 191 до 199 балів	4 667	1,99
200 балів	415	0,18

Наступного року найбільша кількість учасників тестування (45,13 %) отримала результат від 151 до 180 балів. Від 191 до 199 балів отримало 1,99 % учасників, а 200 балів - вже 0,18 %. Тобто, порівнюючи результати двох років, ми можемо говорити про певне покращення результатів у відсотковому відношенні. Але не слід забувати і про те, що рівень завдань порівняно з 2008 роком став дещо нижчим.

2010 рік

Взяли участь 113 794 осіб. За порушення порядку проведення зовнішнього незалежного оцінювання анульовано результати 284 учасника [57].

Таблиця 1.4

Результати ЗНО з математики за 2010 рік

Результат	Кількість учасників зовнішнього оцінювання, які виявили результати в межах цих показників	Відсоток від загальної кількості учасників
від 100 до 123 балів	7 616	6,71
від 124 до 150 балів	46 641	41,09
від 151 до 180 балів	51 079	45,00
від 181 до 190 балів	5 426	4,78
від 191 до 199 балів	2 487	2,19
200 балів	261	0,23

Цікавий факт: попереднього року участь у тестуванні взяло на понад 100 000 осіб більше, а анульованих робіт майже на 100 штук більше в 2010 році. Тобто можемо говорити про зменшення особистої дисципліни та відповідальності за результат, так як значно більша частина випускників, у відсотковому відношенні, дозволили собі порушити правила проведення ЗНО. 2010 рік також збільшив кількість абітурієнтів, у відсотковому відношенні, з високими результатами: 2,19 % учасників тестування отримали від 191 до 199 балів, 0,23 % ? 200 балів. Як і в 2009 році найбільша кількість абітурієнтів (45 %) отримали від 151 до 180 балів. Проте була відмінена третя частина, в якій учні мали розв'язувати досить складні завдання, і які перевірялися не комп'ютером, а спеціалістами в галузі математики. Це значно полегшило для абітурієнтів складання ЗНО.

Результати проведення тестування з математики за три роки можуть свідчити, у тому числі, і про те, що учні отримали певні навички роботи з тестами, тобто засвоїли певну математичну культуру розв'язання тестових завдань. Якщо в 2008 році для випускників шкіл ЗНО стало чимось новим і незвичайним, то для випускників 2010 року ефекту новизни вже не було, що не могло не позначитися на результатах.

У Білорусії тестування проводиться вже десятий рік. Тести з математики, як і в Україні в 2010 році, складаються з двох груп: А і В. У групі А пропонується 15 легких завдань та завдань середньої складності з варіантами відповідей. Абітурієнт повинен записати у спеціальному бланку номер правильної, на його думку, відповіді. У групі В 10 завдань, два з яких достатньо складні. Абітурієнт повинен записати у бланку відповідь, яка є цілим числом. Усі відповіді перевіряються комп'ютером без участі людини.

Але Я.В. Радино та О.І. Мельников, викладачі механіко-математичного факультету Білоруського державного університету, зазначають, що тестування необхідне і корисне в якості відбору студентів на масові, нетворчі спеціальності, наприклад бухгалтерів, або на спеціальності, де за допомогою математики перевіряється загальний розвиток, наприклад, на юридичні. Але на спеціальності, при вступі на які необхідно перевіряти здібності людини до творчості, тестування протипоказане [56].

Також у своїй статті вони відмічають, що вчителі у Білорусії часто стали, на жаль, не «вчити математиці», а «готувати до тестування». Із навчального процесу зникають доведення. А саме доведення геометричних теорем формувало математичну культуру учня, більш того, культуру міркувань і доведень.

Думку українських вчителів стосовно тестових завдань досліджувала О.С. Чашечникова. Дослідження було проведено серед учнів та вчителів Сумської, Чернігівської, Черкаської, Дніпропетровської, Івано-Франківської, Київської, Харківської, Донецької, Рівненської, Вінницької, Львівської, Кіровоградської та Полтавської областей. У нашій роботі ми аналізуємо результати трьох областей ? Сумської, Чернігівської та Черкаської. Нами були опрацьовані анкети 45 вчителів та 320 учнів, і ми одержали результати, які представлені у параграфах 2.1, 2.2.

Контингент опитаних можна побачити у додатках А - Є.

До позитивних сторін тестових завдань вчителі відносять економію часу та простоту при перевірці, охоплення великої кількості дітей. А до негативних - те, що тестові завдання не дають можливість виявити систему і глибину знань, сумнівність об'єктивності оцінки, велика ймовірність вгадування.

Ще одним показником рівня математичної освіти, а в тому числі і математичної культури, стало проведення на території України міжнародного дослідження TIMSS.

Європейський вибір України зумовлює необхідність вивчення, узагальнення, критичного осмислення й творчого застосування досвіду європейської спільноти у галузі освіти. З огляду на це особливого значення для України набуває ознайомлення з системами моніторингу та оцінювання якості освіти в країнах Європи, оскільки визначення світового стандарту середньої освіти є передумовою отримання права доступу до різних університетських програм. Вітчизняні педагоги повинні добре орієнтуватись у європейських підходах до розробки змісту і схеми втілення проектів освітніх моніторингових досліджень. У світовій освітній практиці сьогодні накопичено багатий досвід моніторингових досліджень за різними показниками якості освіти (найвідоміші з них TIMSS, CIVIC, PISA), що їх здійснюють авторитетні міжнародні організації та центри. Такі міжнародні обстеження корисні не лише з погляду можливості порівняння здобутків національної системи освіти з іншими країнами, побачити себе в світовому вимірі.

TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Studies ? тенденції у міжнародній математичній та природничій освіті) найбільш масштабний проект у галузі освіти, спрямований на вивчення досвіду країн світу з метою вдосконалення національних систем навчання математики та природничих дисциплін (www.timss.org).

Особливістю завдань TIMSS є те, що крім традиційних тестів, які вимагають від учнів вибрати правильну відповідь, більше уваги приділено питанням, що потребують уміння конструювати власні відповіді, дозволяють краще оцінити аналітичні та дослідницькі здібності учнів, їхні вміння розв'язувати задачі. Завдання розроблені таким чином, що можна прослідкувати наступність у навчанні, розвиток розуміння понятійного апарату основ наук, уміння логічно мислити та пояснювати явища навколишнього світу з наукових позицій відповідно до психофізичного розвитку школярів різних вікових груп.

Усі питання з математики та з природознавства згруповано у блоки, з яких складаються тестові зошити.

На виконання всього тесту (2 блоків з математики та 2 блоків з природничих наук) відводиться 90 хвилин (2 частини роботи по 45 хвилин).

Дослідження TIMSS уперше було проведено в 1995 році і з того часу проводиться кожних 4 роки - в 1999, 2003, 2007 роках. Наступне планується в 2011.

У 2007 році учні 4-х та 8-х класів України вперше стали учасниками міжнародного дослідження якості природничо-математичної освіти TIMSS. Це дослідження мало на меті здійснити порівняльне оцінювання стану природничо-математичної освіти у початковій і основній школі [83].

У дослідженні TIMSS узяло участь понад 60 країн-учасниць (37 країн та 7 окремих регіонів у дослідженні для 4-х класів та 50 країн та 7 окремих регіонів у дослідженні для 8-х класів).

Усього у дослідженні взяло участь майже 425 тис. учнів, із них в Україні ? 4498 учнів 4-х та 4527 учнів 8-х класів із 149 шкіл.

За результатами всіх країн-учасниць розраховувався середній міжнародний бал; для цього дослідження він становить 500 балів.

У першу трійку за даними TIMSS увійшли Гонконг, Сінгапур і Тайвань. У першу п'ятірку потрапили також Японія та Казахстан. При чому розрив між лідерами - азійськими країнами та іншими учасниками досить значний. Шосте місце посіла Росія.

З математики: 4-й клас Україна з середнім міжнародним балом 469 розміщується на 26 місці; 8-й клас ? з середнім балом 462 ? на 25. Результат України можна порівняти з результатами Румунії (461 бал), Ізраїлю (463 бали), Болгарії (464 бали), Кіпру (461 бал), Норвегії (469 балів).

Після України залишилися лише Грузія, африканські країни та країни Персидської затоки.

Німецькою особливістю стала різниця між досягненнями хлопчиків та дівчат, при чому хлопці досягли значно кращих результатів. Жодна з країн не мала такої великої різниці. Лише у італійців та австрійців вона стала ще більшою.

Україна вперше брала участь у міжнародному дослідженні; практичного досвіду не мали ні організатори дослідження, ні його учасники. Серед 14 країн-дебютантів кращі, ніж в України, результати показали дві країни ? Данія (4 клас) та Німеччина (4 клас).

На відміну від Гонконгу, Великої Британії, США, Литви, Шотландії, Сербії, Ізраїлю, Грузії, Марокко, Україною, за оцінкою міжнародних експертів, не було порушено правила щодо вибірки шкіл-учасниць дослідження.

Україна не була серед розробників завдань і, відповідно, не могла впливати на їх зміст. Зміст завдань дослідження на дві третини відрізнявся від змісту українських навчальних програм.

80 % учнів початкової школи виявили здатність використовувати основні математичні знання у нескладних ситуаціях, інтерпретувати дані. При цьому третина учнів змогла виконати завдання на застосування набутих теоретичних знань та умінь до реальних ситуацій, характерних для повсякденного життя.

Українські школярі 8-х класів справилися з математичними завданнями на перевірку та застосування знань у стандартних ситуаціях. Задачі, що мали звичне для учнів формулювання, розв'язали 45-77,8 % учнів.

Для прикладу наводимо одне з завдань для восьмикласників, яке, в середньому, в 50 країнах виконали лише 10,8 % учнів, а в Україні його змогли подолати ? 6,5 %:

Задача 1.2. Тамара спостерігала за процесом зниження температури в колбі з 95 до 70 градусів, вона відмічала час, за який температура знижувалася на кожні 5 градусів.

Температура води - Час

95-90 ? 2 хв 10 с

90-85 ? 3 хв 19 с

85-80 ? 4 хв 48 с

80-75 ? 6 хв 55 с

75-70 ? 9 хв 43 с

Визначте з точністю до цілих хвилин, скільки приблизно треба часу для зниження температури з 95 до 70 градусів.

30 січня 2009 року заступник Міністра освіти і науки України Павло Полянський у Міністерстві освіти і науки провів нараду з питань результатів участі школярів України у міжнародному порівняльному дослідженні TIMSS [83].

У нараді взяли участь члени робочих груп, які готували аналітичні матеріали за результатами дослідження з математики та природничих дисциплін, вчені Академії педагогічних наук України, Голова правління Директорату програм розвитку освіти Наталя Софій, фахівці міністерства.

У вступному слові Павло Полянський звернув увагу на важливість участі школярів країни у міжнародному порівняльному дослідженні якості природничо-математичної освіти. Участь у дослідженні було політичною волею Міністерства, яке свідомо пішло на цей крок, адже об'єктивно оцінити ефективність реформ в освіті можна лише на підставі конкретних статистичних показників, які дають можливість визначати напрямок подальших змін. Міністерство передбачає і надалі брати участь у міжнародних дослідженнях; передбачено участь України у 2011 році у міжнародному дослідженні якості природничо-математичної освіти TIMSS. У 2012 році заплановано участь у дослідженні оцінки навчальних досягнень учнів 15-річного віку (природничо-математична грамотність, грамотність читання) PISA.

Міжнародна програма з оцінювання навчальних досягнень учнів PISA здійснюється Організацією Економічної Співпраці та Розвитку (OECD - Organization for Economic Cooperation and Development). Метою програми є оцінити, чи володіють учні 15-річного віку, які отримали середню обов'язкову освіту, знаннями та вміннями, необхідними для повноцінного функціонування в суспільстві [84].

Дослідження навчальних досягнень учнів здійснюється за трьома напрямками: «грамотність читання», «математична грамотність» та «природнича грамотність».

Дослідження PISA проводиться за трьохрічними циклами. У кожному циклі основна увага (дві третини часу тестування) приділяється одному з трьох напрямків дослідження. По двом іншим напрямкам виводиться загальна характеристика грамотності у цих галузях. У 2012 році основним напрямком буде «математична грамотність».

Програма здійснюється консорціумом, який складається з провідних міжнародних наукових організацій, за участю національних центрів та ОЕСР. Керує роботою консорціуму Австралійська Рада педагогічних досліджень (The Australian Council for Educational Research - ACER). До консорціуму також входять наступні організації: Служба педагогічного тестування США (Educational Testing Service, ETS); Національний інститут досліджень в галузі освіти (National Institute for Educational Research, NIER) в Японії; Вестат США (WESTAT).

Основні напрямки досліджень, концептуальні підходи до розробки інструментарію, способи обробки і представлення результатів обговорюються на наукових форумах, у роботі яких беруть участь провідні спеціалісти світу та затверджуються представниками країн-учасниць проекту (як правило, представниками міністерств освіти).

Специфікою тесту PISA є те, що у його завданнях запропонована життєва ситуація з великою кількістю даних, з яких потрібно вибрати ті, що необхідні для розв'язання і лише потім розв'язувати задачу, на відміну від класичної задачі, яка містить чітко та коротко сформовану умову, а схема розв'язання часто відпрацьована.

У тесті PISA представлені математичні завдання на:

1. Простір і фігури.

2. Зміни і зв'язки.

3. Кількість.

4. Ймовірність.

Для того щоб розв'язати ці задачі учень повинен вміти:

1. Вибирати стратегію розв'язання.

2. Визначити предметну область задачі.

3. Оцінювати приблизно результат.

Наприклад, розглянемо задачу:

Задача 1.3. Маша та Коля навчаються в одній школі. Маша живе на відстані 3 км від школи, а Коля - 5 км від школи. На якій відстані живуть одне від одного Маша і Коля?

Основною помилкою є однозначна відповідь.

Задача 1.4. У телевізійній програмі журналіст показав наступну діаграму і сказав: «Діаграма показує, що у порівнянні з 1998 роком у 1999 році стрімко зросла кількість пограбувань».

Рис. 1.1. Діаграма до задачі 1.4.

Чи вважаєте ви, що журналіст зробив правильний висновок, спираючись на дану діаграму? Запишіть пояснення своєї відповіді.

Коментар: Діаграма є яскравим прикладом маніпуляції суспільною думкою. Великий масштаб і зображення лише верхньої частини стовбців наводять на думку про значне збільшення кількості пограбувань.

Тобто, такі завдання дійсно не лише визначають рівень знань з математики, але й уміння їх застосовувати у реальному житті, про недостатній розвиток якого у вітчизняній школі говорив В.В. Фірсов.

Розділ 2. Формування математичної культури учнів

2.1 Термінологічна грамотність. Математична мова (усна, письмова)

Є три види читання:

перший - читати і не розуміти;

другий - читати і розуміти;

третій читати і розуміти навіть те,

що не написано

Я. Княжнін, російський драматург і поет

Серед основних напрямків вдосконалення шкільної освіти важливе місце посідає гуманітаризація.

Під гуманітаризацією Т.А. Іванова розуміє «процес, спрямований на засвоєння особистістю гуманітарних знань, гуманітарного потенціалу кожної області знань, яка вивчається, на засвоєння особистістю суспільно значущих цінностей» [27, с. 32].

Гуманітарні знання включають у себе, перш за все гуманітарну культуру, компонентами якої є культура мислення, культура мови, культура спілкування та поведінки, культура суспільно-історичної самосвідомості. Основна задача гуманітаризації освіти - зробити суспільно значимі цінності будь-якого виду освіти (у тому числі математичної) особистісно значимими.

При гуманітарній орієнтації навчання математиці мова математики є однією з головних цілей навчання. Знайомство з нею є потужним засобом розвитку особистості. Навчання математиці, так як і навчання українській мові, відіграє важливу роль у формуванні в учнів мовленнєвої культури [78].

Але, водночас з тим, що математична мова є метою навчання, вона є і засобом навчання математиці, так як дозволяє розкрити зміст і значення математичних понять.

Під математичною мовою часто розуміють сукупність всіх засобів, за допомогою яких можна виразити математичний зміст. До таких засобів відносяться математичні терміни, символи, схеми графіки та інше.

Ще одне конструктивне означення наводить Г.П. Бевз: українська математична мова включає частину сучасної літературної мови, особливо її синтаксис, сполучники, тощо, а крім них ? тисячі математичних термінів, сотні символів і певні правила їх поєднання [7]. Зазначаючи, що на відміну від літературної мови, у математичній - головне не образність і мелодійність, а істинність і чіткість. Про що, на жаль, часто забувають філологи, які вичитують та вносять корективи до наукових математичних праць (статей, посібників, підручників тощо). Так, наприклад, слова «згодом» і «потім» - синоніми, проте у математичній мові вживання першого є недоречним.

Формування грамотної математичної мови не можливий без знання специфічної наукової термінології, процес формування якої був досить не простим.

Одним із засновників наукової української математичної термінології був професор В.Й. Левицький (1872-1956). Він першим написав справжню фахову статтю з математики українською мовою, зібрав і впорядкував матеріали з української математичної термінології, що була надрукована в 1903 р. [13]

Ще однією визначною постаттю був М.А. Чайковський (1887 ? 1970). Поряд із суто науковими дослідженнями з математики Чайковський приділяє багато уваги питанням української наукової і, зокрема, математичної термінології, а також підготовці підручників з математики українською мовою. Результатом цієї праці були [1]:

1) «Чотирицифрові таблиці логарифмів і тригонометричних функцій» (у співавторстві з відомим українським фізиком, дійсним членом НТШ Володимиром Кучером), які витримали чотири видання (1917, 1920, 1923 і 1931pp.);

2) «Систематичний словник української математичної термінології» (1924 p.);

3) «Тригонометрія, підручник для середньої школи та для самоосвіти» (1921 p.);

4) «Алгебра, підручник для середньої школи та для самоосвіти» (том 1, 1925 p., том II, 1926 p.).

Академік М. П. Кравчук (1892-1942) також брав найактивнішу участь у творенні української наукової термінології та у запровадженні наукової мови в математичну галузь. "Михайло Кравчук ? математик широкого масштабу. Його ім'я добре відоме у світовій математичній науці. Світ не знав лише, що він ? українець" [32]. Довго не знали про цю надзвичайно талановиту людину і його земляки. Адже ім'я М. Кравчука було занесено до списку "ворогів народу", а сам він був засланий на Колиму і пішов з життя у неповних п'ятдесят років.

З 1937 р. процес українського математичного термінотворення припинився зовсім і продовжувався лише за кордоном і частково в Західній Україні.

Процес відтворювання і розвитку української математичної термінології почався лише після прийняття в 1989 р. Закону про мови в УРСР і особливо після проголошення в 1991 р. незалежності України.

На сучасному етапі творення української математичної термінології намітилися два принципово відмінні підходи. Перший із них (інтернаціоналізаторський) полягає в тому, щоб вживати терміни так, як вони усталились в основних розвинених мовах (переважно -- англійській), але при цьому найчастіше маємо традиційне калькування з російських термінів на український лад.

Другий (українізаторський) підхід має іншу крайність: кожний термін замінюють українським, не рахуючись з усталеними науковими традиціями. Його особливість ? реставрація давно забутих діалектизмів і штучних нововитворів [59, с. 50].

Так, ми могли б, наприклад, замість терміна «перпендикуляр» використовувати «сторчак» або «простопад», замість «модель» -- «зразок», замість «циркуль» ? «кружало», «паралельно» ? «опоруч», «конус» ? «стожок», «фізика» ? «силозпит», «щотниця» означала б «арифметику», проте на нашу думку, найяскравішими є заміни: «алгебра» ? «німа щотниця», «фізик» ? «силозпит». Але є випадки хорошої вмотивованості суто українських забутих термінів. У такому разі доцільно подавати їх як синоніми до вже традиційних термінів.

Представники «консервативного підходу» виступають за збереження української наукової термінології, зокрема математичної, в такому вигляді, якого вона набула за радянського часу.

Головне правило, якого треба дотримуватися, полягає в тому, що будь-який термін треба узгоджувати з основними законами української мови. Українська математична термінологія зможе ефективно обслуговувати всі ділянки науки і техніки лише тоді, коли її належним чином буде стандартизовано.

Зрозуміло, що математична термінологія не може бути творінням однієї людини або одного інституту. Вона не може бути й мовою одного регіону України чи мовою діаспори. Як відзначив М. Чайковський, вона має постати на всіх землях України та в діаспорі у велике термінологічне об'єднання [1].

Говорячи про математичну термінологію, не варто забувати і про математичну символіку. Найяскравішим прикладом відмінностей у поданні символіки різними авторами є позначення АВ. Так у підручниках з геометрії О.В. Погорєлова, символ АВ міг означати і пряму, і промінь, і відрізок, і його довжину. А у підручнику А.М. Колмогорова як і у сучасних підручниках з геометрії прийнято розрізняти позначення: (АВ), [АВ), [АВ], |АВ|, де перше позначення - це пряма, друге - промінь, третє - відрізок і четверте - довжина відрізка. Ми погоджуємося з доцільністю використання різних позначень, з метою не допущення різного трактування символів, скорочення записів (замість того щоб писати «промінь АВ», досить записати - «[АВ)») та введення єдиної символіки, щоб не виникало суперечностей.

Мова є головною серед різноманітних оболонок (вербальних та невербальних, що утворюються за допомогою знаків і символів), у які загортається зміст математичної освіти [66]. У ході навчання знаково-символьні засоби виконують заміщувальну, пізнавальну й комунікативну функції, утворюючи інформаційну основу діяльності учнів. У процесі засвоєння змісту освіти вони виступають і предметом вивчення, і знаряддям пізнання. Оперування знаково-символьними засобами є необхідним компонентом навчальної діяльності учнів.

На думку Голованової О.Е., культура математичної мови - це її ознаки та властивості, система яких говорить про її комунікативну довершеність, сукупність навичок та знань учня, яка забезпечує влучне та невимушене застосування математичної мови на уроках, дозволяє розкрити зміст і значення математичних понять [17].

Адже, основною проблемою більшості учнів є те, що вони, вміючи розв'язати задачу, не вміють її пояснити.

Низький рівень сформованості культури математичної мови, на думку багатьох педагогів та методистів [40], проявляється у невмінні встановити відношення між змістом математичного факту та його зовнішнім виразом, між математичними знаками, у невмінні зрозуміти або виразити інформацію, яка міститься у тому чи іншому реченні.

До причин низької математичної грамотності можна віднести багато чинників, проте найголовнішим є те, що учні не читають математичну літературу.

Повернемося до дослідження О.С. Чашечникової, яке було розглянуто у першому розділі (с. 39).

У першому розділі ми говорили про те, що успіху у навчанні математики учень може досягнути лише за умови позитивної мотивації до предмету, тому і про формування всіх складових математичної культури можна говорити лише за наявності усвідомленого розуміння важливості математики у подальшому житті. На це запитання ствердно відповіли 86 % опитаних. Тобто це свідчить про те, що учні розуміють велике значення математики у своєму подальшому житті, отже вони готові вивчати її, при чому вивчати не «для батьків», не «для вчителя», не «для того, щоб отримати оцінку», а для себе, для власного розвитку та для міцних знань, якими вони зможуть оперувати у подальшому навчанні та реальному житті. Серед основних причин є важливість математики для вступу до вищого навчального закладу та необхідність складати ЗНО, «гроші в гаманці порахувати». Проте були і такі відповіді як «я буду вчителем математики», «математика - це наука всіх наук», «математика - це життя», «без математики нема життя».

Діаграма 2.1. Відповіді учнів на запитання: «Чи потрібна математика у Вашому подальшому житті?»

Що стосується термінологічної грамотності та культури математичної мови, то з наступної діаграми видно, що додатковою літературою з математики користуються 50 % опитаних. Більшість зазначали, що користуються Інтернетом, але були і такі учні, які вказували математичну енциклопедію та іншу наукову математичну літературу. Але варто сказати про те, що, на жаль, частина інформації в Інтернеті досить сумнівної якості і тому, щоб користуватися ним, потрібно володіти певними знаннями, для того, щоб вміти відрізнити корисну, правдиву інформацію від шкідливої. Це вміння - критичність мислення, на жаль, не достатньо сформоване у школярів, тому вчитель повинен, задаючи завдання написати реферат чи наукову роботу, пояснити учням правила користування Інтернетом, та наголосити на тому, що інформацію потрібно аналізувати, а не скачувати перше, на що натрапив.

Діаграма 2.2. Кількість учнів, що користуються додатковою літературою

Ще одним з важливих засобів формування культури математичного мовлення є детальний опис розв'язання задачі в зошиті. 72 % опитаних вважають, що це необхідно, але переважно з причин «щоб було зрозуміло для себе», «я люблю охайність», «щоб згодом можна було подивитися і зрозуміти хід розв'язання». Тобто, учні погоджуються з тим, щоб деталізувати хід розв'язання задачі, хоча деякі вважають, що у домашній роботі, для економії часу, можна писати скорочено, а у контрольній роботі ? обов'язково повністю, щоб вчителю був зрозумілий хід міркувань учня. І також можна зазначити, що повний опис ходу розв'язання задачі формує у учнів правильне математичне мислення, вміння користуватися термінологією і символікою та правильно будувати речення.



Діаграма 2.3. Кількість учнів, які вважають, що потрібно детально розписувати хід розв'язання задачі

Результати опитування вчителів показали, що вони здебільшого вважають за необхідне пропонувати учням, які навчаються в класах нематематичного профілю, задачі на доведення, дослідження та побудову, а також доводити теореми. Перешкодою для цього вони бачать лише у замалій кількості часу відведеного для вивчення математики у цих класах. До позитивних сторін навчання учнів розв'язувати такі задачі вчителі відносять розвиток логічного мислення та уяви. Також деякі вчителі зазначають, що демонструвати учням доведення теорем необхідно лише у тому випадку, коли доведення містить конструкції, які будуть використані при подальшому розв'язанні задач. На мій погляд, це не правильно, хоча у вчителів в умовах нестачі навчального часу часто не має іншого виходу. Детальніші результати представлені у діаграмі.



Діаграма 2.4. Чи потрібно пропонувати учням, які навчаються в класах нематематичного профілю певні типи завдань

Числові дані наведені у таблиці 2.1.

Таблиця 2.1

Результати опитування вчителів стосовно доцільності пропонування учням певних типів завдань

Чи потрібно пропонувати	Так	Ні	Інколи
Доведення теорем	62 %	20 %	18 %
Задачі на доведення	98 %	0 %	2 %
Задачі на дослідження	73 %	20 %	7 %
Задачі на побудову	80%	10 %	10 %

З таблиці бачимо, що 98 % вчителів вважають за необхідне розв'язувати з учнями задачі на доведення, проте лише 62 % наголошують на доцільності доведення теорем. Це свідчить про те, що час, який вчителі могли б використати для доведення теорем, вони вважають за доцільне присвятити розв'язуванню задач. Ми вважаємо, що розв'язування задач на доведення є важливим елементом формування математичного мислення учнів, проте не варто забувати власне і про доведення теорем, так, як виконання доведень дисциплінує, закладає підвалини розуміння та засвоєння матеріалу, систематизує його, формує цілісність знань та сприяє розвитку логічного мислення, дослідницьких здібностей, а, як наслідок - математичної культури.

Велике значення для формування грамотної математичної мови має культура мови вчителя. Можна з цілковитою впевненістю сказати, що у неграмотного вчителя будуть неграмотні учні. Наприклад, якщо вчитель ставить наголоси у термінах не там де потрібно, то й учні будуть робити аналогічно, тому що вони засвоюють все зі слів педагога.

Мова вчителя на уроці повинна бути строгою, точною, лаконічною. Поняття строгості та точності в мові вчителя тісно пов'язані з поняттям доступності. Причини неповного, неточного, неправильного розуміння учнями повідомлень вчителя полягають і в особливостях розумової діяльності учнів, і в об'єктивних особливостях словесної мови [75].

Також важливого значення набуває така психолого-педагогічна характеристика мови вчителя як інтонаційні характеристики мови. Раціональне їх використання сприяє підвищенню ефективності сприйняття та засвоєння учнями навчального матеріалу.

До інтонаційних характеристик мови відносять темп, паузи, логічні наголоси. Оптимальний темп мови залежить не тільки від наявності у школярів певних навичок розумової діяльності, але й від характеру навчальної інформації. Складний матеріал вимагає повільного темпу викладання. Щоб підкреслити важливе, істотне також використовують уповільнений темп мови. Другорядне, вже відоме в деякій мірі учням краще викладати у прискореному темпі [14].

Доцільне використання інтонаційних характеристик мови допомагає вчителю цілеспрямовано формувати уміння «активно слухати». Це уміння - одне із загально навчальних умінь, що лежить в основі здібності школяра самостійно сприймати, засвоювати, творчо переробляти та застосовувати аудіо інформацію. Серед мовних помилок виділяють синтаксичні, семантичні, орфоепічні. Зокрема до орфоепічних помилок слід віднести помилки у написанні, вимові слів, постановці наголосів. На жаль, деякі вчителі, а отже і учні, помиляються, ставлячи наголоси у словах: «сегмент», «добуток», «проміжок», «вісь іксів», «ознака», «гомотетія» та інші. Вчителям необхідно стежити не лише за правильністю розв'язування задач, але і за правильною вимовою слів, грамотністю написання, правильним стилем при побудові речень. Для виправлення та запобігання мовних помилок у учнів корисно пропонувати їм завдання такого типу [64]:

1. Записати під диктовку певний математичний термін і поставити наголос.

2. Сформулювати та переформулювати (усно, письмово) деяку теорему.

3. Сформулювати твердження, обернене до даного.

4. Заперечити дане твердження.

Серед параметрів, які характеризують культуру математичної мови учнів виділяють такі [17] (таблиця 2.2).

Таблиця 2.2

Основні параметри, які характеризують культуру математичної мови учнів

Рівні сформова-ності мови	Комунікативні якості мови	Математична складова	Орфографічна, пунктуаційна та граматична складові	Графічна складова
1 рівень	Правильність	Правильне вживання математичних термінів, символів та позначень	Правильне написання математичних термінів, символів та слів української мови	Правильне виконання графічних зображень та рисунків
	Точність	Вміння обирати раціональний шлях розв'язання задачі (доведення теореми), точно викладати математичний матеріал. Уміння акуратно та раціонально виконувати записи.
	Логічність	Володіння основними словесно-логічними конструкціями мови викладання математики. Уміння послідовно викладати матеріал будувати текст у відповідності з його змістовою структурою (розбивати на речення, абзаци, тощо).
2 рівень	Ясність	Усвідомлення предмету мовленнєвого повідомлення, яке характеризуються вмінням самостійно наводити приклади, що ілюструють матеріал, та пояснювати їх.
	Доречність	Вміння добирати мовленнєві засоби, які роблять мову відповідною цілям та умовам спілкування.

Також велике значення у формуванні мовленнєвої математичної культури учнів відіграють підручники. Вони є взірцем правильної математичної мови. І надзвичайно важливим є опрацювання підручника вдома.

Більшість учнів вважає, що їм достатньо пояснень вчителя на уроці, проте читання математичного тексту у підручнику дозволяє запам'ятовувати правильні конструкції побудови речень, правопис математичної термінології та символіки. Але майже половина опитаних (46 %) учнів не вважають за потрібне вдома опрацьовувати підручник. Деякі з учнів уточнюють, що вони не проглядають матеріал у підручнику, якщо добре засвоїли його на уроці. Проте є і такі учні, які знайомляться з новою темою у підручнику, просто тому, що «мені так хочеться», за словами одного шестикласника. Така відповідь не може не налаштовувати на оптимізм.

Діаграма 2.5. Кількість учнів, які вдома знайомляться з матеріалом нової теми в підручнику

Зазначимо, що, на жаль, культура роботи з літературою сформована у сучасних учнів ще не на достатньому рівні. Сучасні учні не володіють критичним мисленням, їм здебільшого важко аналізувати та систематизувати інформацію. Це і є причиною небажання відкривати підручник вдома, так як труднощі не відштовхують лише добре вмотивованих школярів. Як ми вже говорили, позитивна мотивація навчання математики наявна у 86 % учнів з анкетування, але частина з них задовольняється поясненнями вчителя на уроці, не вважаючи за потрібне знати більше. Хоча сучасні підручники в достатній мірі цьому сприяють - вони яскраво оформлені та містять цікаву додаткову інформацію з життя вчених-математиків та історію математичних відкриттів і подій. Автори намагаються зробити підручник з математики якомога привабливим.

Але один з випадків спроби зацікавити учнів викликав багато нарікань з боку вчителів та методистів. Це було порівняння сторін трикутника з ногами у підручнику з геометрії під редакцією Г. Бевза.

Сторінка цього підручника наведена нижче (рис. 2.1) [11, с. 105].

Рис. 2.1. Сканована сторінка підручника

Проте, здебільшого, автори підручників намагаються таких і їм подібних порівнянь уникати. Спрямовуючи свої зусилля на дотримання принципів науковості, систематичності, доступності та інших. Щоб порівняти культуру математичної мови різних авторів, розглянемо, як у різних сучасних підручниках з алгебри подається введення поняття похідної.

1. Так, наприклад, у підручнику для учнів 10 класу з поглибленим вивченням математики (автори М.І. Шкіль, Т.В. Колесник, Т.М. Хмара) [80] наводиться наступне означення похідної (збережено мову оригіналу):

Похідною функції f в точці x₀ називають границю (якщо вона існує) відношення приросту функції у точці x₀ до приросту аргументу Д x, якщо приріст аргументу прямує до нуля, і позначають f'Ч (x₀).

Отже, .

Після означення наводяться механічний та геометричний зміст похідної та приклади знаходження похідної функції за означенням.

Матеріал у цьому підручнику наведено строго, лаконічно, у чорно-білому кольорі. Самостійне опрацювання його вимагає певної математичної підготовки.

2. Наступним розглянемо підручник для 11 класів загальноосвітніх навчальних закладів авторів Є.П. Неліна, О.Є. Долгової [46].

Весь матеріал на початку параграфа автори подають у вигляді таблиці, а потім пояснюють його та обґрунтовують. На нашу думку, це досить гарний метод викладу матеріалу, так як, щоб пригадати вивчений матеріал, достатньо проглянути таблицю, а якщо учень тільки починає ознайомлюватися з темою, то йому потрібні більш ґрунтовні пояснення, які він може знайти після скороченого викладу параграфу.

Означення похідної аналогічне означенню у попередньому підручнику, проте перед введенням формули:



наводиться запис:

Ми вважаємо, що це є доцільним, так як з власного досвіду знаємо, що учні, які навчаються в класах нематематичного профілю короткий запис, який потім підкріплюється розгорнутим, сприймається краще.

Якщо порівнювати пояснення у підручниках геометричного та механічного змісту, то у другому підручнику, воно наведено більш ґрунтовно, щоб учень з будь-яким рівнем навчальних досягнень зміг самостійно опрацювати матеріал та зрозуміти його.

3. У іншому підручнику для загальноосвітніх закладів авторів М.І. Шкіля, З.І. Слєпкань, О.С. Дубинчук [79] учням пропонується таке означення похідної:

Похідною функції f в точці x₀ називають границя відношення приросту Д у функції до приросту Д x аргументу за умови, що приріст Д x аргументу прямує до нуля, тобто

.

Тобто автори не уточнюють у означенні, що похідна це границя «якщо вона існує» і у формулу вони поєднали дві, які були запропоновані у попередньому підручнику.

Механічний і геометричний зміст коротко описаний, але ніяким чином (курсивом, жирним шрифтом, кольором) не виділений у підручнику.

4. У підручнику з математики для шкіл, ліцеїв та гімназій гуманітарного профілю авторів М.І. Бурди, О.С Дубинчук, Ю.І. Мальованого [10] наводиться наступне означення похідної:

Похідну функції у точці можна означати як число, до якого прямує відношення приросту функції до приросту аргументу в цій точці за умови, що приріст аргументу прямує до нуля.

Потім наведений алгоритм знаходження похідної за означенням.

Тобто у підручнику для класів гуманітарних профілів означення наводиться суцільним текстом без використання будь-якої символіки. Вона з'являється лише у кроках алгоритму.

Нижче наведено приклади знаходження похідної за означенням.