Формування математичної культури учнів

Тобто порівнюючи, можемо сказати, що кожна група авторів при створенні підручників з алгебри та початків аналізу, керувалася перш за все особливостями математичної підготовки класів тих профілів, для яких вони створювали свої підручники. Більш доступно був викладений матеріал для класів нематематичних профілів, а у підручнику для майбутніх математиків, інформація була викладена більш стисло і на вищому, у порівнянні з іншими, рівні науковості.

Для порівняння розглянемо, як подається навчальний матеріал у підручниках ХІХ століття, з точки зору характеристик математичної мови. Наприклад:

Начальная алгебра. Склав І. Сомов, ординарний академік імператорської академії наук і заслужений ординарний профессор Санкт-Петербурзького університету. Видання 5-е з додатковими статтями, що містять курс додаткового класу реальних училищ. 1880 (4-е видання схвалено Вченою комітетом Міністерства народної освіти як керівництво для гімназій і реальних училищ. Видання 1-е вийшло в 1860 р.) [65]

У цьому підручнику поняття формули пояснюється наступним чином (мова оригіналу збережена):

«Выражение словами общаго правила вычисления может быть затруднительно, когда задано много чисел и надобно производить над ними много действий; поэтому стали искать средство сокращенно выражать правила вычисления. Для этой цели согласились, вместо слов: сложить, вычесть, умножить, делить, употреблять знаки: +, ?, х или, и:, а данныя и искомыя числа означать буквами, (преимущественно латинскими и греческими).

Общее, сокращенное, обозначение способа вычисления помощью зна-ков арифметических действий и букв называется формулою. Напр.:

1) Формула сложения двух чисел есть а + b, где а и b означают всякия слагаемыя.

2) Формула вычитания есть а ? b, где а означает какое нибудь уменьшаемое, а b какое-нибудь вычитаемое…

5) Формула (а + b ? с)d показывает, что надобно сложить два числа а и b, потом из суммы а + b вычесть c, и полученный остаток умножить на d

Например, (5 + 7 ? 4)2= 16. (с.2, п.1).

§ 2. Обозначение формул.

Формулой называется соединение двух выражений посредством знака равенства или неравенства.

Формула со знаком равенства называется равенством; например,

a + b = b + a, аbс = сbа суть равенства.

Формула со знаком неравенства называется неравенством: например, аb > а + b, a/b < а ? b суть неравенства.

Всякая формула выражает некоторое соотношение между числами, в ней обозначенными. Формула, можно сказать, есть математическая фраза, написанная на математическом языке.

Составить формулу значит выразить данное соотношение между числами посредством знаков чисел, знаков действий и знака равенства или неравенства. (с.4, п.2)».

Тобто, ми бачимо, що у порівнянні із сучасними підручниками пояснення досить громіздкі. Проте матеріал подається чітко і доступно для розуміння.

2.2 Обчислювальна культура

Обчислення за способами їх виконання поділяються на три основних види: усні, письмові та обчислення з допомогою математичних таблиць, графіків, обчислювальних приладів [30].

Варто пам'ятати, що розв'язування будь-якої прикладної задачі пов'язане з певними вимірюваннями, числовими даними. Усі вони отримуються з певною мірою точності, що залежить від багатьох факторів. Тому і результат розв'язання задачі лише умовно можна назвати точним. Оцінка точності отриманої відповіді, те, наскільки точно вона наближена до реальності - одні з тих питань, на які повинен вміти дати відповідь математично грамотний випускник [23].

Одним із напрямів такого втілення вказаних вище задач є вивчення наближених обчислень. Але дана тема в загальноосвітній школі має дещо епізодичний та відірваний від практичного застосування характер. А у новій програмі для старшої школи питання вивчення наближених обчислень вилучені взагалі.

Перегляд вивчення наближених обчислень був започаткований і здійсненний для вивчення математики в основній школі доктором педагогічних наук, професором З.І. Слєпкань, а також В.М. Кліндуховою в її дисертаційному дослідженні [28]. Питанням розвитку умінь виконувати наближені обчислення у старшокласників на даний момент займається І.В. Жук в інституті післядипломної педагогічної освіти Чернівецької області [48].

Але навчити учнів виконувати наближені обчислення не можливо, якщо вони не володіють навичками усного обчислення.

Усний рахунок має широке практичне застосування. Вміння користуватися прийомами усного рахунку полегшує виконання дій на письмі з різних тем програмового матеріалу. Одночасно з цим усні обчислення розвивають кмітливість учнів, збуджує творчу активність, розвивають логічне мислення, підвищують їх математичну культуру, формують важливі навички тотожних перетворень, привчають застосовувати різноманітні комбінації в розташуванні чисел і різні способи та прийоми при виконанні однієї й тієї ж операції над числами та виразами.

Усні обчислення мають велике значення для виховання у дітей любові й інтересу до математики та сприяють підтягуванню до рівня загальних вимог тих учнів, що відстають у навчанні.

Усні обчислення займають значне місце в курсі математики. Проводити їх треба регулярно і в певній послідовності (системі), що визначається програмою. Для усних обчислень матеріал треба підбирати відповідно до програми, проводячи їх або з метою закріплення обчислювальних навичок учнів, або, щоб підготувати дітей до сприймання нового матеріалу. Вони не повинні бути випадковим додатком до уроку, а мають методично пов'язуватися з його основною темою, тобто, бути органічною частиною розділу програми, який вивчається на даному етапі.

Залежно від цільової настанови уроку, усні вправи можуть бути або вступом, або доповненням, або завершенням тієї його частини, якій вони підпорядковуються. На нашу думку, їх проводити доцільно у вигляді математичних диктантів.

Щоб поставити на належний рівень якість усних обчислень, необхідно звернути увагу на їх правильність. Учитель повинен перевіряти, чи правильно учні виконують обчислення, чи не користуються вони при цьому нераціональними прийомами усного рахунку, які, особливо на етапі оволодіння навичками, не повинні мати місця.

Заняття з усних обчислень вимагають від учителя систематичної практики, міцного знання основних прийомів усного рахунку, вміння підбирати і складати задачі та організовувати весь обчислювальний матеріал для цілеспрямованого використання його в навчальній роботі.

Культура обчислень включає: правильність виконання дій, розумне поєднання усних, письмових та інструментальних обчислень, раціональність форм записів, використання різних прийомів, що дають можливість раціоналізувати обчислення, розумне врахування необхідної і можливої точності результатів [6].

Наприклад, вчитель дає завдання обчислити наступний вираз [22]:

Залежно від рівня навченості, учень може обрати два шляхи розв'язання даного завдання: перший ? по діях (якщо обчислювальні навички сформовані не на дуже високому рівні), другий ? ланцюжком. Але другий спосіб вимагає від учня додаткової уваги, порівняно з першим, та досить ґрунтовних знань про правила дій з числами.

1 спосіб.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Відповідь: 9.

2 спосіб.

Відповідь: 9.

Бачимо, що перший спосіб більш громіздкий, проте під час розв'язання другим способом існує більший ризик помилитися, так як потрібно бути дуже уважним. Тобто на етапі формування обчислювальних навичок доцільним є перший спосіб, а на етапі відпрацювання - другий.

Високий рівень обчислювальної культури може бути характеризований наступними ознаками [30]:

1. Міцні та усвідомлені знання властивостей та алгоритмів дій над числами.

2. Уміння за умовою задачі визначити, якими є вихідні дані для обчислень точними або наближеними числами; міцні знання правил наближених обчислень і навички їх виконання.

3. Уміння правильно поєднувати усні, письмові обчислення і обчислення з допомогою обчислювальних засобів.

4. Застосування раціональних засобів обчислення.

5. Автоматичні навички безпомилкового виконання обчислювальних операцій.

6. Охайні та економні записи обчислень.

7. Застосування раціональних засобів контролю обчислень.

8. Вміння на відповідному теоретичному рівні пояснити правила та прийоми, які застосовуються у процесі обчислень.

Щоб з'ясувати рівень обчислювальної культури серед школярів та студентів, нами було проведено дослідження. Учням сумських шкіл № 9, 17, гімназії № 1 та студентам фізико-математичного факультету СДПУ імені А.С. Макаренка були запропоновані наступні завдання:

1)

2)

3)

Головною умовою було те, що обчислення потрібно виконувати без використання калькулятора та інших обчислювальних приладів.

Примітка: у дослідженні брали участь учні 6, 8, 9, 10 класів з таких міркувань:

1) Учні 6 класу вже володіють достатніми знаннями, щоб розв'язати подібні завдання;

2) Учні 8 класу вивчають окремо алгебру та геометрію і за програмою на усні обчислення часу не виділяється, тому що вчителі часто основною метою навчання алгебри у 7-8 класах вважають формування алгоритмічної культури. Тобто пропонуючи завдання восьмикласникам, ми можемо побачити залишкові знання після вивчення у 5-6 класах цілих та дробових чисел.

3) Дев'ятикласники є випускниками середньої ланки загальноосвітньої школи, тому важливо знати як вони володіють правилами оперування числами після завершення свого навчання.

4) Учні 10 класу є тими, хто продовжує навчання в школі, переважно з метою вступу до вищого навчального закладу, тому їхня участь у дослідженні має на меті перевірку знань дій з числами тих, хто у майбутньому стане елітою нашої країни.

5) Ми не залучали до участі у дослідженні учнів 11 класів, тому що рівень їхньої обчислювальної культури у певній мірі демонструє ЗНО, результати якого ми аналізували у першому розділі.

Результати дослідження представлені у таблиці 2.2.

Таблиця 2.2

Результати дослідження зі з'ясування рівня обчислювальної культури учнів та студентів

Клас/ курс	Кількість учасників, у відсотках, які правильно виконали	Кількість учасників, у відсотках, які правильно виконали
	І завдання	ІІ завдання	ІІІ завдання	0 завдань	1 завдання	2 завдання	3 завдання
6 клас	0	57	86	14	29	57	0
8 клас	0	3	50	50	47	3	0
9 клас	0	16	55	42	45	13	0
10 клас	0	56	78	22	22	56	0
І курс	0	14	100	0	86	14	0
ІІ курс	0	53	80	13	40	47	0
ІІІ курс	7	79	86	14	7	72	7
ІV курс	4	70	100	0	29	67	4
V курс	22	89	100	0	8	70	22

Вибірка не є репрезентативною, проте результат є показовим. З таблиці ми бачимо, що жоден школяр чи студент першого та другого курсу не зміг розв'язати перше завдання. Найбільший відсоток тих, хто не впорався з жодним завданням, серед усіх учасників дослідження, ? учні восьмого класу. Показовим є і той факт, що 57 % учнів шостого класу правильно розв'язали два завдання, а восьмого - лише 3 %. У дев'ятому класі таких учнів було 13 %, а в десятому - 56 %. Припускаємо: це пов'язано з тим, що для учнів шостого класу вправи на обчислення, усні вправи є більш звичною справою (вони в цей час вивчають звичайні та десяткові дроби). Учні восьмого та дев'ятого класів вже «забувають» правила дій з дробами, а в десятому починають «згадувати», готуючись до майбутнього вступу у вищі навчальні заклади.

Серед студентів найкраще з трьома завданнями впоралися п'ятикурсники. Два завдання з трьох правильно розв'язали 14 % першокурсників, 47 % ? другокурсників, 72 % ? третьокурсників, 67 % ? студентів четвертого курсу та 70 % ? п'ятого.

Припускаємо, що причиною таких результатів серед студентів першого та другого курсів є відсутність заборони використовувати калькулятор (у школі зазвичай, це строго заборонено).

Що стосується думки вчителів та учнів щодо необхідності усних обчислень, то повну картину надають результати проведеного О.С. Чашечниковою дослідження, про яке йшла мова у параграфі 2.1.

Отже, думка вчителів на те, чи необхідно пропонувати учням виконувати обчислення усно або письмово майже одностайна:

Діаграма 2.6. Думка вчителів на те, чи потрібно пропонувати учням виконувати усні та письмові обчислення

А на питання про можливість пропонування на кожному уроці завдань, спрямованих на формування в учнів обчислювальних навичок, відповіді були вже трохи іншими, хоча більшість вчителів все ж таки знаходить час на такі завдання.



Діаграма 2.7. Чи є можливість пропонувати на кожному уроці усні завдання, що формують обчислювальні навички

Діаграма 2.8. Чи є можливість пропонувати на кожному уроці письмові завдання, що формують обчислювальні навички

Учні ж в свою чергу відповідали на питання «Чи згодні Ви з фразою: «Якщо є калькулятор, то навіщо обчислювати усно чи письмово?» Відповіді були досить суперечливими. Ті учні, які підтримували цю фразу, керувалися міркуваннями на зразок «так швидше» і «не дарма ж його придумали». У відповідях тих, хто був проти, переважали аргументи типу «калькулятор на екзаменах заборонений», «треба вміти усно рахувати», «калькулятор шкідливий для розуму». Але були і ті, хто відповідав «іноді», вони переважно керувалися тим, що якщо великі числа, то можна за допомогою калькулятора зекономити час. Детальніші результати представлені у діаграмі 2.9.

Діаграма 2.9. Міркування учнів щодо того, чи потрібен калькулятор

2.3 Естетика графічної культури. Графічна грамотність

Формування графічної грамотності, на нашу думку, є довгим та складним процесом. Графічні навички відпрацьовуються протягом постійних тренувань.

Важливість формування графічної грамотності полягає у тій ролі, яку вона відіграє у розвитку мислення, пізнавальних здібностей, просторових уявлень і просторової уяви, формування практичних вмінь і навичок та у формуванні естетичного смаку.

Формування графічної грамотності учнів спрямовано на підготовку випускників шкіл, які володіють сукупністю знань про методи, способи, засоби, способи відображення, збереження, перетворення інформації у графічному вигляді та їх використання в науці, виробництві, дизайні, архітектурі, економіці та інших сферах життя суспільства. Які здатні використовувати отримані знання, навички та вміння не лише для адаптації до умов життя в інформаційному суспільстві, а й для активної участі у виробничій та творчій діяльності.

Психологічні аспекти формування графічної грамотності досліджували В.А. Крутецький, А.В. Занков, С.Л. Рубінштейн, Л.М. Фрідман, І.С. Якиманська, П.Я. Гальперін.

Під графічною грамотністю зазвичай розуміють вміння читати та аналізувати різні схеми, таблиці, малюнки, графіки та вміння їх будувати [64]. Особливо це є проблемою для класів нематематичного профілю.

І.С. Якиманська [81], аналізуючи вікові відмінності учнів, що проявляються під час розв'язування задач на просторові перетворення, виділяє таку особливість: просторові образи молодших школярів досить рухомі та динамічні. У навчальній діяльності діти ознайомлюються не тільки з такими ознаками об'єктів, як колір, маса, форма тощо, а й з властивостями, що визначають положення цих об'єктів у тривимірному просторі.

Крім того, за належного навчання діти легко справляються з завданнями на перетворення елементів зображення, добре розрізняють геометричні форми, з бажанням, залюбки складають розгортки об'ємних предметів за їх наочним зображенням. Звідси випливає потреба у використанні наочності під час навчання дітей цього віку.

Як наочність можна використовувати завдання скласти об'ємний предмет за розгортками зображеними на рисунку 2.2, результат зображений на рисунку 2.3.

Рис. 2.2. Розгортки п'яти правильних фігур



Рис. 2.3. П'ять правильних многогранників (Платонові тіла). Перше число в дужках - кількість сторін у кожній грані, друге - кількість граней при кожній вершині

Також, для розвитку естетичного смаку учнів при формуванні графічної культури доцільно звернути увагу учнів і на симетрію народних орнаментів [68]. Так як багатовікова культура, яку сформував український народ, покликана пробуджувати у своїх нащадках прагнення самовдосконалюватися та примножувати духовне надбання нашої нації.

Рис. 2.4. Українські рушники

Також варто запропонувати розглянути учням для прикладу схеми, зображені на рисунку 2.5. А потім дати завдання на наступний урок знайти будь-який інший народний орнамент та зобразити його схему.

Рис. 2.5. Схеми побудови народних орнаментів

Так як сучасна освіта спрямована на виховання особистості у багатонаціональному та полікультурному суспільстві, варто, у тому числі на уроках математики, демонструвати різномаїття зразків культури різних народів. Для прикладу на уроках про симетрію можна показати наступні два рисунки, на одному з яких зображений орнамент, який використовувався при гаптуванні українських килимів, а на іншому - індійський орнамент.

Рис. 2.6. Килим з Південно-Східного Поділля



Рис. 2.7. Індійський орнамент

З переходом учнів до «середніх класів» (підлітковий вік) зміст їх навчальної діяльності ускладнюється, на основі чого відбувається подальший розвиток образного мислення. Глибше розуміння учнями властивостей предметів і явищ навколишнього світу проявляється тепер у формуванні абстрактних понять. З наочно-образного їх мислення поступово стає абстрактно-понятійним.

Підлітки, на відміну від молодших школярів, уже вміють розпізнавати та виділяти в предметах і явищах ті ознаки, які істотні для даного роду чи виду явищ. Проте варто зазначити, що формування абстрактних понять у цьому віці часто зводиться до формального засвоєння властивостей, їх відриву від конкретних об'єктів. Тому часто учні знають визначення, формули і добре оперують ними, та не можуть належно розкрити їх зміст і успішно застосовувати до розв'язування конкретних задач.

Повертаючись до симетрії в орнаментах різних країн, можна запропонувати учням старших класів гуманітарного профілю, для того щоб зацікавити їх у вивченні математики, дослідити симетрію орнаментів у елементах одягу, побутових речей, приміщень, тощо. Так, наприклад, у Давньому Вавилоні симетрія була присутня навіть на бруківці дороги [11].



Рис. 2.7. Вавилонські орнаменти на дорозі та на стінах будинків

Але викликавши інтерес до навчання математики за допомогою подібного способу, вчителі повинні пам'ятати, що надмірні труднощі здатні цей інтерес загасити. Так, наприклад, дуже важко у старшій школі учням зображувати різноманітні просторові фігури. Вони не можуть зрозуміти, зображуючи, наприклад похилу призму, де у неї будуть видимі та невидимі лінії. Це досить поширена проблема через недостатньо сформовану у школярів просторову уяву. На допомогу вчителю можуть прийти різноманітні технічні засоби, такі як комп'ютерна програма Mathematica. Однією з функцій якої є побудова просторових тіл.

Рис. 2.8. Побудова сфери з вирізаним сегментом

Також варто пам'ятати, що зображення просторових фігур на площині для учнів стає не таким складним, якщо вони гарно засвоюють правила зображення.

Для зображення просторових фігур на площині, як правило, користуються паралельним проектуванням. Беремо довільну пряму l, яка перетинає площину рисунка, проводимо через довільну точку L фігури пряму, паралельну l.

Точка перетину цієї прямої з площиною рисунка буде зображенням точки L. Побудувавши таким чином зображення кожної точки фігури, дістанемо зображення самої фігури. Такий спосіб зображення фігури на площині і є паралельне проектування. У випадку, коли пряма L перпендикулярна до площини, кажуть, що проведено ортогональне проектування.

Рис. 2.9. Паралельне проектування фігури

математична культура грамотність

Властивості паралельного проектування [3]:

1. Прямолінійні відрізки фігури зображуються на площині рисунка відрізками або точками. (Якщо відрізок, що проектується, паралельний напрямку проектування, він проектується в точку.)

2. Паралельні відрізки фігури зображуються на площині рисунка паралельними відрізками.

3. Відношення відрізків однієї прямої або паралельних прямих зберігається при паралельному проектуванні.

Примітка: при паралельному проектуванні не зберігаються ані довжина відрізка, ані величина кута (у загальному випадку).

Із властивостей паралельного проектування випливають такі твердження.

1. Будь-який трикутник може бути зображений довільним трикутником.

2. Якщо трикутник проектується у трикутник, то медіани проектуються в медіани, середні лінії ? у середні лінії, а висоти й бісектриси не проектуються у висоти й бісектриси. Проте основа проекції бісектриси поділяє сторону проекції трикутника у тому ж відношенні, що основа бісектриси поділяє сторону трикутника.

3. Паралелограм зображується паралелограмом. Прямокутник, квадрат, ромб ? паралелограмом загального виду.

4. Трапеція зображується трапецією. Рівнобічність або «прямокутність» не зберігається.

Формуванню графічної грамотності сприяє розв'язання наступних типів задач: на зображення геометричних фігур; на виконання основних побудов заданим набором інструментів; на відновлення геометричної фігури; на побудову геометричної фігури за даними фігурами та вказаними геометричними перетвореннями; на включення одного і того ж елементу в різні геометричні фігури; на розпізнання геометричних фігур, в яких необхідно встановити вид фігури; на порівняння властивостей геометричних фігур; задачі на усне чи аналітичне зчитування графічної інформації.

Наприклад, можна запропонувати учням наступні завдання:

1. Позначте точку і проведіть через неї три прямі.

2. Проведіть пряму і позначте на ній точки A, B, C. Назвіть відрізки, що утворилися.

3. Розгляньте рисунку 2.10. Які фігури зображено на ньому? Назвіть: три відрізки; три промені. Скільки прямих зображено на рисунку?



Рис. 2.10. Рисунок до завдання 3

4. Назвіть відрізки і точки, зображені на рисунку прямокутного паралелепіпеда (рис. 2.11).

Рис. 2.11. Рисунок до завдання 4

Методисти часто сперечаються, чи існують відмінності у якості засвоєних навичок при формуванні графічної грамотності у юнаків та дівчат. У психології існує дві протилежні дуки про те, чи впливає стать на відмінності у навчанні, зокрема математики.

Кандидат психологічних наук, доцент І.Я. Каплунович підтримує гендерний підхід у навчанні. Проте деякі вчені (В.А. Крутецький, І.В. Дубровіна, С.І. Шапіро) вважають, що будь-які якісні, специфічні особливості мислення, зокрема математичного, у юнаків і дівчат відсутні.

Проте вже у 1977 році в США були вперше опубліковані результати дослідження психологів Е. Феннеми і Дж. Шермана, які порівняли досягнення учнів обох статей у вивченні математики і виявили певні відмінності [21].

У Житомирі Юлія Момот під керівництвом А.В. Прус, кандидата педагогічних наук, провела дослідження серед 128 старшокласників загальноосвітніх шкіл за розробленою ними системою експерт-тестів (використовуючи методику І.Я. Каплуновича, Т.В. Бендас) з метою визначення домінуючої підструктури математичного мислення та зорово-просторових здібностей. І виявили гендерні відмінності у сприйманні та оперуванні зоровими образами (геометричними фігурами). Ці відмінності проявляються у тому, що дівчата та юнаки по-різному оцінюють відношення метричних величин та положення геометричної фігури на площині, а також є різниця у виконанні завдань, котрі потребують практичного досвіду (рухи, повороти, відображення фігур). Крім того вони помітили відмінності у якості та швидкості виконання операцій над об'єктами (у юнаків швидкість вища, але якість нижча у порівнянні з дівчатами) [38].

Отже, гендерні відмінності - реальність і їх необхідно враховувати.

Структура та зміст навчального матеріалу курсу геометрії дозволяє досягти достатньо високого рівня розвитку в учня основних психологічних компонентів творчого процесу, зокрема уяви.

Уява - це психічна діяльність, яка полягає у створенні уявлень і мислених ситуацій, які насправді ніколи в цілому не сприймалися людиною. Розрізняють відтворювальні та творчі уяви [64].

Ми погоджуємося з С.М. Симан в тому, що рівень розвитку творчої уяви учня визначається його досвідом створення, перетворення просторових образів, різноманітністю виконуваних завдань з наочним матеріалом, осмисленістю, оригінальністю, об'єктивною значущістю продуктів [60].

На думку В.О. Швеця та М.О. Філімонової, процес викладання геометричного матеріалу має такі специфічні риси [69]:

1. Зміст курсу і методи його викладання мають опиратися на життєвий досвід і попередні знання школярів, при чому основою курсу повинно бути максимальне використання наочності (моделі геометричних об'єктів, комп'ютерні презентації, тощо). Оскільки наочність є одним із основних джерел представлення геометричного матеріалу, то всі її елементи мають бути органічно взаємопов'язані.

2. Зміст курсу має бути логічно структурованим і органічно включатися у систему неперервної геометричної освіти.

3. Значна увага повинна приділятися формуванню усного і писемного мовлення учнів, їх грамотності.

4. Система вправ має бути спрямована, з одного боку, на розвиток просторової уяви та абстрактного мислення, а з іншого - сприяти формуванню навичок виконання найпростіших логічних операцій.

5. Знайомство з новими поняттями, властивостями геометричних об'єктів має відбуватися на практичних роботах з елементами конструювання та на вимірювальних роботах на місцевості.

6. Система вправ має включати значну частку прикладних задач, завдань на розвиток уміння бачити в навколишній дійсності геометричні фігури, здійснювати вимірювання «на око».

2.4 Формування математичної грамотності

У четвертому параграфі ми презентуємо розроблені нами фрагменти уроків, спрямовані на формування термінологічної, обчислювальної та графічної культури учнів.

2.4.1 Формування термінологічної грамотності

На нашу думку, формування термінологічної грамотності є першочерговим завданням вчителя, так як не можна вивчати математику, не володіючи її мовою.

Пропонуємо математичний диктант для учнів 10 класу нематематичних профілів, з теми «Похідна» (алгебра та початки аналізу).

Математичний диктант

1. Перелічити задачі, що приводять до поняття похідної.

Примітка: курсивом виділені правильні відповіді.

Задача про миттєву швидкість, задача про дотичну до кривої.

2. Дати означення дотичної до кривої.

Дотичною до кривої в даній точці М називається граничне положення січної MN.

3. Сформулювати означення похідної.

Похідною функції f в точці x₀ називають границя відношення приросту Ду функції до приросту Дx аргументу за умови, що приріст Дx аргументу прямує до нуля, тобто

.

4. Як називається операція знаходження похідної.

Диференціювання.

5. Сформулювати:

1 варіант	2 варіант
Геометричний зміст похідної. Значення похідної в точці х0 дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в точці з абцисою х0 і дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної.	Механічний зміст похідної. Похідна характеризує швидкість зміни функції при зміні аргументу. Наприклад,величина миттєвої швидкості момент часу t0 дорівнює значенню похідної від шляху s(t) у точці t0.

2.4.2 Формування обчислювальної культури

Для формування обчислювальної культури, на нашу думку, доцільно намагатися на кожному уроці пропонувати учням певну систему дібраних усних вправ на обчислення. Наприклад, при вивченні теми «Похідна», після ознайомлення учнів з таблицею похідних, можна на початку уроку провести наступне фронтальне опитування:

1. Знайти значення похідної функції в точці :

a)

б)

в)

2. Обчислити значення похідної функції в точці , якщо , а значення :

а)

б)

в)

Розв'язання

1. а)

б)

в)

2. а)

б)

в)

2.4.3 Формування графічної культури

Для формування графічної культури доцільно запропонувати учням на початку уроку при вивченні теми «Функції» усні завдання, які спрямовані на розвиток вміння читати графіки. Наприклад:

Завдання 1 (до рис. 2.12). Чому дорівнює значення у при х = 6?

Чому дорівнює значення х, при яких у = 6?

Знайдіть найменше значення функції.

Рис. 2.12. До завдання 1

Завдання 2 (до рис. 2.13). При яких значеннях х значення у = 0?

Знайдіть значення х, при яких y > 0.

Знайдіть множину значень функції на проміжку [? 5; 2].



Рис. 2.13. До завдання 2

Відповіді:

Завдання 1. - 2; 2 і 8; ? 3.

Завдання 2. - 9, ? 1, 5; (??; ?9)(?1; 5); [?4; 3].

Для формування просторової уяви варто запропонувати учням на перших уроках вивчення теми «Многогранники» такий вид роботи, як створення орігамі.

Мотивація вивчення: розвиток в учнів логічного мислення, уваги, уяви, просторового мислення, а також викликати інтерес до математики.

Час проведення: 15 хвилин.

Хід роботи: об'єднати учнів у три групи, кожній з яких запропонувати окреме завдання.

Завдання містяться на рисунках 2.14 - 2.16.



Рисунок 2.14. Завдання для І групи

Рис. 2.15. Завдання для ІІ групи



Рис. 2.16. Завдання для ІІІ групи

Висновки

Математична культура (індивідуальна) - це інтегральна характеристика особистості, яка у всій повноті на даний момент часу фіксує здатність цієї особистості адекватно сприймати доступну її розумінню математичну складову наукової картини світу і вибудувати у відповідності з цим сприйняттям свою освітню, професійну, суспільну діяльність, творити свої морально-етичний та естетичний ідеали [58].

Термін «математична культура» використовується для того, щоб відмітити, яким чином особа взаємодіє з математичними знаннями та як математика може впливати на структуру та внутрішній світ особистості. Поняття математичної культури значно ширше, ніж просто система математичних знань, вмінь та навичок.

До поняття математичної культури відносять математичну грамотність (термінологічна грамотність, обчислювальна культура, графічна культура), навички математичного моделювання (ключовим завданням математичної освіти є навчити учня інтерпретувати будь-яку подію чи ситуацію мовою символів та розв'язання її математичними засобами).

У магістерській роботі розглянуто різноманітні дослідження (ЗНО, TIMSS, PISA) по визначенню рівня учнівської математичної грамотності, які почалися з досліджень В.В. Фірсова; авторське дослідження на встановлення рівня обчислювальної культури серед учнів загальноосвітніх шкіл та студентів фізико-математичного факультету; результати дослідження О.С. Чашечникової щодо даних аспектів формування математичної грамотності (на основі анкетування).

Розглянуто підходи щодо формування деяких складових математичної грамотності учнів - термінологічної, обчислювальної, графічної культури, та розроблено фрагменти уроків, спрямованих на формування термінологічної, обчислювальної та графічної грамотності учнів. Матеріал може бути використаний студентами фізико-математичних факультетів педагогічних університетів, вчителями математики, методистами.

Список використаних джерел

1. Аксіоми для нащадків: Українські імена у світовій науці. Зб. нарисів / Упоряд. і передм. О.К. Романчука. ? Львівська істор.-просвіт. організ. «Меморіал», 1992. ? 544 с.

2. Антощук Е.В. Знакомьтесь, ваша память / Е.В. Антощук - К.: Вирій, 2005. - 110 с.

3. Афанасьєва О.М. Геометрія. 10-11 класи: Пробний підручник / О.М. Афанасьєва, Я.С. Бродський, О.Л. Павлов. - Тернопіль: Навчальна книга - Богдан, 2003. - 264 с.

4. Бевз В.Г. Розвиток математичних здібностей у школярів / В.Г. Бевз, В.У. Кузьменко // Розвиток інтелектуальних умінь і творчих здібностей учнів та студентів у процесі навчання дисциплін природничо-математичного циклу «ІТМ*плюс - 2011»: матеріали Всеукраїнської дистанційної науково-методичної конференції з міжнародною участю: У 3-х томах. - Суми: Вид-во СумДПУ імені А.С. Макаренка, 2011. Том 1. - С. 20-21.

5. Бевз Г.П. Геометрія: Підручник для 7 кл. загальноосвіт. навч. закладів / Г.П. Бевз, В.Г. Бевз, Н.Г. Владімірова. - К.: Вежа, 2008. - 208 с.

6. Бевз Г.П. Методика преподавания математики. Изд. 2-е / Г.П. Бевз. - К.: Вища школа, 1977. - 376 с.

7. Бевз Григорій Дбаймо про мову / Григорій Бевз // Математика в школах України. ? 2008. ? № 7-8. ? С. 35-39.

8. Бобахо В.А. Культурология: Программа базового курса, хрестоматия, словарь терминов / В.А. Бобахо, С.И. Левикова. - М.: ФАИР-ПРЕСС, 2000. - 400 с.

9. Булычев В.А. Математическое моделирование при изучении элементов теории вероятности / В.А. Булычев, В.В. Калманович // Математика в школе. ? 2009. ?№ 3. ? С. 23-28.

10. Бурда М.І. Математика 10 - 11: Проб. навч. посібник для шкіл, ліцеїв та гімназій гуманітарного профілю / М.І. Бурда, О.С Дубинчук, Ю.І. Мальований. - К.: Освіта, 1997. - 224 с.

11. Буткевич Л.М. История орнамента: учеб. пособие для студ. Высш. пед. учеб. заведений, обучающихся по спец. «Изобразительное искусство» / Л.М. Буткевич. - М.: Гуманитар. изд. центр ВЛАДОС, 2008. - 267 с.

12. Возняк Г.М. Алгебра: Підручник для 9 класу загальноосвітніх навчальних закладів / Г.М. Возняк, Г.М. Литвиненко, Ю.І. Мальований. - Тернопіль: Навчальна книга - Богдан, 2003. - 184 с.

13. Возняк Г. В.І. Левицький / Г. Возняк // Математика в школі. ? 1998. ? № 4. ? С. 50-52.

14. Гибш И.А. Развитие речи в процессе изучения школьного курса математики / И.А. Гибш // Математика в школе. - 1995. ? № 6. -С. 12-15.

15. Глейзер Г.Д. Повышение эффективности обучения математике в школе: Книга для учителя: Из опыта работы / Г.Д. Глейзер.- М.: Просвещение, 1989. ? 240 с.

16. Глобін О.І. Навчальне дослідження у процесі навчання математики як форма розвитку творчих здібностей учнів / О.І. Глобін // Розвиток інтелектуальних умінь і творчих здібностей учнів та студентів у процесі навчання дисциплін природничо-математичного циклу «ІТМ*плюс - 2011»: матеріали Всеукраїнської дистанційної науково-методичної конференції з міжнародною участю: У 3-х томах. - Суми: Вид-во СумДПУ імені А.С. Макаренка, 2011. Том 1. - С. 29-30.

17. Голованова Е.Е. Проблема формирования культуры математической речи у младших школьников [Електронний ресурс]. ? Режим доступу: http://www.rusnauka.com/6_NITSB_2010/Pedagogica/59938.doc.htm

18. Державний стандарт базової і повної середньої освіти // Математика в школі - 2004. ? № 2. - С. 2-6.

19. Джуринский А.Н. История зарубежной педагогики: [учебное пособие для студентов высших педагогических учебных заведений] / А.Н. Джуринский. - М.: «ФОРУМ» ? «ИНФРА-М», 1998. - 272 с.

20. Дорфман Л.Я. Дивергентное мышление и дивергентная индивидуальность: Ресурсы креативности / Л.Я. Дорфман // Ежегодник РПО. - М., 2002. - Т. 8. Вып. 1. - С. 3.

21. Дрозд В.Л. Гендерные различия в усвоении математики: реальность или иллюзия? / В.Л. Дрозд // Дидактика математики. - 2008. - № 29. - С. 124.

22. Егерев В.К. Сборник задач по математике для поступающих в вузы. Под ред. М.И. Сканави / В.К. Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский и др. - К.: Каннон, 1997. - 528 с.

23. Жук І.В. Вивчення наближених обчислень в старшій профільній школі / І.В. Жук // Розвиток інтелектуальних умінь і творчих здібностей учнів та студентів у процесі навчання дисциплін природничо-математичного циклу «ІТМ*плюс - 2011»: матеріали Всеукраїнської дистанційної науково-методичної конференції з міжнародною участю: У 3-х томах. - Суми: Вид-во СумДПУ імені А.С. Макаренка, 2011. Том 1. - С. 47-48.

24. Забранський В.Я. Формування вмінь математичного моделювання як науково-методична проблема навчання математики в профільній школі / В.Я. Забранський, М.І. Голубенко // Міжнародна науково-практична конференція «Актуальні проблеми теорії і методики навчання математики». До 80-річчя з дня народження доктора педагогічних наук, професора З.І. Слєпкань. Тези доповідей. - К.: НПУ імені М.П. Драгоманова, 2011. - 352 с.

25. Загальна психологія: підручник / за заг. ред. академіка С. Д. Максименка. ? [2-ге вид., переробл. і доп.]. - Вінниця: Нова Книга, 2004. ? 704 с.

26. Закович М.М. Українська та зарубіжна культура: Навч. посіб. / М.М. Закович, І.А. Зязюн, О.М. Семашко та ін. ? К.: Т-во "Знання", 2000. ? 611 с.

27. Иванова Т.А. Гуманитаризация общего математического образования: Монография / Т.А. Иванова. ? Н.-Новгород: Изд-во НГПУ, 1998. ? 206 с.

28. Кліндухова В.М. Вивчення наближених обчислень в основній школі: Дис. канд. пед. наук: 13.00.02. - К., 2008. - 316 с.

29. Колмогоров А. О профессии математика / А. Колмогоров изд. 3. ? изд-во МГУ, 1959, ? с. 10.

30. Колягин Ю.М. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. Учеб. пособия для студентов физ.-мат. Факультетов пед. ин-тов / Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, Е.Л. Мокрушин и др. - М.: Просвещение, 1997. - 479 с.

31. Костюк Г.С. Навчально-виховний процес і психічний розвиток особистості / Г.С. Костюк. - К.: Рад. шк., 1989. - 608 с.

32. Кравчук О. Одержимий наукою / О. Кравчук // Математика. ? 2002. ? № 33. ? С. 19-22.

33. Кремінський Б.Г. Обдарованість та проблема розвитку здібностей особистості // Практична психологія та соціальна робота. ? 2004. ? №12. ? с. 74-80.

34. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников / В.А. Крутецкий. ? М.: Просвещение, 1968. - 432 с.

35. Лодатко Є. О. Математична культура як феномен сучасного інформаційного суспільства / Є. О. Лодатко // Рідна школа. - 2004. - № 9. - С. 24-26.

36. Математический энциклопедический словарь. - М: Научное издательство «Большая российская энциклопедия», 1995. - С. 343.

37. Мерзляк А.Г. Алгебра: Підручник для 9 класу з поглибленим вивченням математики / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір. - Харків: Гімназія, 2009. - 368с.

38. Момот Юлія Про дослідження гендерних відмінностей у навчання математики у старшій школі / Юлія Момот // Матеріали міжвузівської науково-практичної конференції «Наукова діяльність студентів як шлях формування їх професійних компетентностей» (НПК-2010), м. Суми, 9 грудня 2010 р. - Суми: Вид-во СумДПУ імені А.С. Макаренка, 2010. - С. 35-36.

39. Монахов В.М. Формирование алгоритмической культуры школьника при обучении математике. Пособие для учителей / В.М. Монахов, М.П. Лапчик, Н.Б. Демидович, Л.П. Червочкина. - М.: «Просвещение», 1978. - 94 с.

40. Мордкович А.Г. Зачем учить математику? / А.Г. Мордкович. ? Газета "Первое сентября", 2002. ? № 22. - C. 23.

41. М'ясоїд П. А. Загальна психологія: навчальний посібник / П. А. М'ясоїд. - К.: Вища школа, 2001. - 487 с.

42. Навчальна програма з математики для загальноосвітніх навчальних закладів 10-11 класів (академічний рівень) [Електронний ресурс].? Режим доступу: http://matematukrschko.3dn.ru/publ/akademichnij_riven_10_11_klas/1-1-0-19

43. Навчальна програма з математики для загальноосвітніх навчальних закладів 10-11 класів (профільний рівень) [Електронний ресурс].? Режим доступу: http://matematukrschko.3dn.ru/publ/profilnij_riven_10_11_klas/1-1-0-20

44. Навчальна програма з математики для загальноосвітніх навчальних закладів 10-11 класів (рівень поглибленого вивчення математики) [Електронний ресурс]. ? Режим доступу: http://matematukrschko.3dn.ru/publ/riven_pogliblenogo_vivchennja_matematiki_10_11_klas/1-1-0-21

45. Навчальна програма з математики для загальноосвітніх навчальних закладів 10-11 класів (рівень стандарту) [Електронний ресурс]. ? Режим доступу: http://matematukrschko.3dn.ru/publ/riven_standartu_10_11_klas/1-1-0-18

46. Нелін Є.П. Алгебра і початки аналізу: Дворівневий підручник для 11 класів загальноосвітніх навчальних закладів. - 3-є вид-ня / Є.П. Нелін, О.Є. Долгова. - Х.: Світ дитинства, 2007. - 416 с.

47. Немов Р.С. Психология / Р.С. Немов. ? М.: Гуманитарный издательский центр: Владос, 1999. ? 608 с.

48. Немов Р.С. Психология: Словарь-справочник: 2 ч. ? М.: Владос-ПРЕСС, 2003. - 352 с.

49. Неуймин Я. Г. Модели в науке и технике. История, теория, практика / Я. Г. Неуймин. ? Л.: Наука, 1984. - 189 с.

50. Панішева Ольга Прийоми запам'ятовування навчального матеріалу / Ольга Панішева // Математика в школах України. ? 2007. ? № 8. ? С. 24-28.

51. Панченко Лариса Математичне моделювання як метод наукового дослідження і навчального пізнання / Лариса Панченко // Математика в школах України. ? 2008. ? № 11-12. ? С.12-18.

52. Пекконен Еркі Порівняльні дослідження поглядів учнів на навчання математики у Фінляндії та Україні / Еркі Пекконен, Сергій Раков, Наталія Русланова // Математика в школі. - 2006. ? № 5. - С. 2-11.

53. Програма з математики для загальноосвітніх навчальних закладів, 5-12 класи // Математика в школах України. ? 2006. ? № 2. ? С. 5-15.

54. Програми для профільних класів // Математика в школі. - 2003.? № 6. - С. 6.

55. Пруель Н. А. О накоплении образования / Н. А. Пруель // Философия образования. Сборник материалов конференции. Серия “Symposium”. Вып. 23. - СПб.: Санкт-Петербургское философское общество, 2002. - С. 165-170.

56. Радыно Я.В. Тестирование - бомба замедленного действия / Я.В. Радыно, О.И. Мельников // Математика в школе. - 2008. ? № 9. - С. 62-64.

57. Результати ЗНО [Електронний ресурс]. ? Режим доступу: http://www.osvita.org.ua/news/41982.html

58. Розанова С.А. Математическая культура студентов технических университетов / С.А. Розанова. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 176 с.

59. Селігей П. О. Сучасне термінотворення: синдроми та симтоми / П.О. Селігей // Мовознавство: Науково-теоретичний журнал. - 2007. - № 3. - С. 48 - 61.

60. Симан С.М. Розвиток творчої уяви на уроках геометрії / С.М. Симан // Розвиток інтелектуальних умінь і творчих здібностей учнів та студентів у процесі навчання дисциплін природничо-математичного циклу «ІТМ*плюс - 2011»: матеріали Всеукраїнської дистанційної науково-методичної конференції з міжнародною участю: У 3-х томах. - Суми: Вид-во СумДПУ імені А.С. Макаренка, 2011. Том 1. - С. 78-79.

61. Симонова М.Г. Творчий процес вирішення навчальних проблем у навчальних дослідженнях на елективних курсах математики / М.Г. Симонова // Розвиток інтелектуальних умінь і творчих здібностей учнів та студентів у процесі навчання дисциплін природничо-математичного циклу «ІТМ*плюс - 2011»: матеріали Всеукраїнської дистанційної науково-методичної конференції з міжнародною участю: У 3-х томах. - Суми: Вид-во СумДПУ імені А.С. Макаренка, 2011. Том 1. - С. 80-81.

62. Скафа О.І. Деякі форми роботи університету з розвитку математичних здібностей школярів / О.І. Скафа // Розвиток інтелектуальних умінь і творчих здібностей учнів та студентів у процесі навчання дисциплін природничо-математичного циклу «ІТМ*плюс - 2011»: матеріали Всеукраїнської дистанційної науково-методичної конференції з міжнародною участю: У 3-х томах. - Суми: Вид-во СумДПУ імені А.С. Макаренка, 2011. Том 1. - С. 81-83.

63. Скурихин В.И. Математическое моделирование / В.И. Скурихин, В.Б.Шифрин, В.В. Дубровский. - К.: Техника, 1983. - 270 с.

64. Слєпкань З.І. Методика навчання математики: Підруч. для студ. мат. спеціальностей пед. навч. закладів / З.І. Слєпкань. ? К.: Зодіак-ЕКО, 2000. ? 512 с.

65. Сомов О.И. Начальная алгебра / По поручению начальства Морск. кадет, корпуса сост. О. Сомов, орд. проф. С.-Петерб. ун-та и чл.-кор. Акад. наук. ? 5-е изд. ? СПб., 1880. - 373 с.

66. Тарасенкова Н.А. Використання знаково-символічних засобів у навчанні математики / Н.А. Тарасенкова. - Черкаси.: «Відлуння-Плюс», 2002. - 400 с.

67. Третяк М.В. До питання про математичну культуру / М.В. Третяк // Міжнародна науково-практична конференція «Актуальні проблеми теорії і методики навчання математики». До 80-річчя з дня народження доктора педагогічних наук, професора З.І. Слєпкань. Тези доповідей. - К.: НПУ імені М.П. Драгоманова, 2011. - 352 с.

68. Українські орнаменти [Електронний ресурс]. ? Режим доступу:

http://about-ukraine.com

69. Філімонова М.О. Вимірювальні роботи на місцевості в курсі математики 5-6 класів / М.О. Філімонова // Розвиток інтелектуальних умінь і творчих здібностей учнів та студентів у процесі навчання дисциплін природничо-математичного циклу «ІТМ*плюс - 2011»: матеріали Всеукраїнської дистанційної науково-методичної конференції з міжнародною участю: У 3-х томах. - Суми: Вид-во СумДПУ імені А.С. Макаренка, 2011. Том 1. - С. 92-93.

70. Холін Ю. В. Завтрашній українець: розумник чи неук? Пріоритети реформування середньої освіти / Ю. В. Холін // Научно-популярный журнал UNIVERSITATES [Електронний ресурс]. - Режим доступу: http://universitates.univer.kharkov.ua/arhiv/2002_4/holin/holin.html

71. Целищева И.И. Моделирование при обучении решению текстовых задач / И.И. Целищева, С.А. Зайцева // Математика в школе. ? 2008. ? № 5. ? С. 36-44.

72. Чашечникова О.С. Деякі аспекти формування математичної грамотності учнів / О.С. Чашечникова, М.В. Мельникова, Л.В. Носаченко, Ю.М. Тверезовська, Н.О. Шевченко // Розвиток інтелектуальних умінь і творчих здібностей учнів та студентів у процесі навчання математики: Матеріали Всеук. наук.-метод. конф. (3-4 грудня 2009 р., м. Суми). - Суми: Вид-во СумДПУ імені А.С. Макаренка, 2009. - С. 103-105.

73. Чашечникова О.С. Розвиток математичних здібностей учнів основної школи / О.С. Чашечникова. - Дисс. кпн. - 13.00.02. - К., 1997. - 208 с.

74. Чашечникова О.С. Система компонентів творчого мислення, що можуть діагностуватися у процесі навчання математики / О.С. Чашечникова // Дидактика математики: проблеми і дослідження: Міжнародний збірник наукових робіт. - Вип.22. - Донецьк: Вид-во ДонНУ, 2004. - С. 81-87.

75. Черних Л.О. Мова вчителя математики як засіб формування навчально-комунікативних умінь учнів / Л.О. Черних, Н.В. Богатинська // Міжнародна науково-практична конференція «Актуальні проблеми теорії і методики навчання математики». До 80-річчя з дня народження доктора педагогічних наук, професора З.І. Слєпкань. Тези доповідей. - К.: НПУ імені М.П. Драгоманова. 2011. - 352 с.

76. Чошанов М. А. Анализ стандарта школьной математики в США [Електронний ресурс]. ? Режим доступу: http://www.oim.ru/reader@whichpage=2&mytip=1&word=&pagesize=15&Nomer=151.asp

77. Чухрай З.Б. Дослідницькі здібності, які формуються в процесі навчання математики майбутніх економістів / З.Б. Чухрай // Педагогічні науки: теорія, історія, інноваційні технології. Науковий журнал. № 2(4). - Суми: СумДПУ, 2010. - С. 275-285.

78. Шармин Д. В. Формирование культуры математической речи учащихся в процессе обучения алгебре и началам анализа: Дис. канд. пед. наук: 13.00.02 Омск, 2005. ? 209 с.

79. Шкіль М.І. Алгебра і початки аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх навчальних закладів / М.І. Шкіль, З.І. Слєпкань, О.С. Дубинчук. - К.: Зодіак-ЕКО, 2001. - 656 с.

80. Шкіль М.І. Алгебра і початки аналізу: Підруч. для учнів 10 кл. з поглибл. вивч. математики в серед. закладах освіти / М.І. Шкіль, Т.В. Колесник, Т.М. Хмара. - К.: Освіта, 2000. - 318 с.

81. Якиманская И.С. Розвитие пространственного мышления школьников / И.С. Якиманская. - М.: Педагогіка, 1980. - 240 с.

82. http//www.confdbt.2007/theses/Berezin.pdf

Додаток А

Школа, в якій працює вчитель

Додаток Б

Стаж роботи вчителя

Додаток В

Категорія вчителів

Додаток Г

Школа, в якій навчаються учні

Додаток Д

Клас, у якому навчаються учні

Додаток Е

Профіль класу

Додаток Є

Кількість учнів, що беруть участь у математичних олімпіадах, конкурсах, гуртках та факультативах

Размещено на Allbest.ru