Формування математичної культури учнів

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

МАГІСТЕРСЬКА РОБОТА

Формування математичної культури учнів

Зміст

Вступ

Розділ 1. Математична культура та її складові

1.1 Математична культура як складова загальної культури

1.2 Математичні здібності - основа формування математичної грамотності

1.3 Складові математичної культури

1.3.1 Математична грамотність

1.3.2 Навички математичного моделювання

1.4 Спроби визначення рівня математичної грамотності

Розділ 2. Формування математичної культури учнів

2.1 Термінологічна грамотність. Математична мова (усна, письмова)

2.2 Обчислювальна культура

2.3 Естетика графічної культури. Графічна грамотність

2.4 Формування математичної грамотності

2.4.1 Формування термінологічної грамотності

2.4.2 Формування обчислювальної грамотності

2.4.3 Формування графічної грамотності

Висновки

Список використаних джерел

Додатки

Вступ

Незаперечною є велика роль математики у житті сучасної людини, але ще у XVII столітті англійський філософ та педагог Джон Локк вважав, що математика дуже корисна для точних та послідовних міркувань. Локк поважав розумове виховання і математика для нього - головна наука, яка тренує та розвиває розум, здатність міркувати [19].

Сучасна шкільна математична освіта покликана виховати грамотну та компетентну особистість, здатну реалізувати свій потенціал у виробничій та творчій діяльності у дорослому житті. Формування математичної культури, до складових якої належать термінологічна грамотність, обчислювальна та графічна культура, є одним із засобів реалізації цієї мети шкільної освіти.

Також одним із головних завдань сучасного шкільного курсу математики є забезпечення умов для досягнення кожним учнем практичної компетентності, яка є важливим показником якості математичної освіти. Серед характерних ознак досягнення учнем практичної компетентності, що сформульовані у діючій програмі з математики [24], є розвиток у школярів вміння створювати та використовувати нескладні математичні моделі (навички математичного моделювання).

Аналіз багатьох досліджень свідчить: розглядаючи часткові питання навчання математики, часто при цьому про формування математичної культури конкретно не згадують. Це питання є дуже широким, воно обов'язково включає у себе математичні знання, так як не можна говорити про математично грамотну особистість, яка не володіє в достатньому обсязі математичними знаннями.

Процес формування математичної культури учнів дуже складний та різноплановий; існує багато шляхів та методів для розвитку термінологічної, обчислювальної та графічної грамотності.

Об'єкт дослідження - процес навчання математики в середній школі.

Предметом дослідження є формування компонентів математичної культури учнів.

Метою дослідження є проаналізувати поняття математичної культури, особливості її формування при навчанні учнів середньої школи.

Завдання даного дослідження:

1) на основі аналізу психолого-педагогічної, методичної літератури розглянути підходи до визначення поняття «математична культура»; її складових елементів;

2) проаналізувати дослідження щодо визначення рівня математичної грамотності учнів, рівня математичних здібностей, як основи математичної грамотності;

3) опрацювати результати анкетування вчителів математики та учнів у контексті дослідження;

4) проаналізувати підручники математики для середньої школи з точки зору спрямованості на формування математичної грамотності учнів;

5) розглянути проблеми формування компонентів математичної грамотності.

Магістерська робота складається з вступу, двох розділів, висновків, списку використаних джерел і додатків.

У першому розділі розглянуто поняття математичної культури як складової загальнолюдської культури; математичні здібності як основа математичної грамотності; досліджено різні означення «здібностей» та «математичних здібностей»; розглянуто процес мислення, зокрема математичного, та дослідницькі здібності; проаналізовано різні навчальні програми з математики з точки зору наявності в них цілей, пов'язаних з формуванням математичної культури; проблему ознайомлення учнів з елементами математичного моделювання як складовою частиною математичної культури; проаналізовано різні спроби визначення рівня математичної грамотності у вітчизняних та міжнародних дослідженнях (TIMSS, PISA).

У другому розділі розглянуто питання формування сучасної математичної термінології, культури математичної мови; зазначена важливість формування обчислювальної культури, графічної грамотності учнів; представлено фрагменти уроків, спрямованих на формування математичної культури учнів.

Наукова новизна і теоретичне значення: розглянуто поняття «математична культура» та компоненти математичної культури.

Практичне значення: розглянуто шляхи формування математичної культури, розроблені деякі рекомендації щодо формування компонентів математичної культури учнів.

Апробація результатів дослідження: семінар студентів, магістрантів, аспірантів (вересень 2010 року), студентська наукова конференція, секційне засідання (квітень 2011 року). Опубліковані тези та стаття у збірнику студентських наукових робіт, тези (у співавторстві) в збірнику матеріалів Міжнародної студентської науково-практичної конференції (11-16 жовтня 2010 р., м. Ялта), тези в збірнику матеріалів міжвузівської науково-практичної конференції «Наукова діяльність студентів як шлях формування їх професійних компетентностей» (НПК-2010) (9 грудня 2010 року, м. Суми), тези в збірнику матеріалів Всеукраїнської дистанційної науково-методичної конференції з міжнародною участю «ІТМ*плюс - 2011» (лютий 2011 року, м. Суми). Була учасницею (у співавторстві) ІІ туру Всеукраїнського конкурсу студентських наукових робіт з математичних наук (на базі Вінницького державного педагогічного університету імені М. Коцюбинського).

Розділ 1. Математична культура та її складові

1.1 Математична культура як складова загальної культури

Дуже часто ми зустрічаємо у розмовах вчителів та методистів поняття «культура» та «математична культура». Виникають питання: «Що під цими питаннями розуміють?» та «Чи лише ті учні, які обрали математичний напрям для своєї освіти, мають бути математично грамотними, а для всіх інших математична культура не обов'язкова?»

Відповіді на ці та інші питання ми спробуємо дати у своєму магістерському дослідженні.

«Якщо Україні потрібне населення розумне, здатне самостійно й критично обмірковувати перспективи суспільного розвитку, яке вміє не лише застосовувати, але й створювати високі технології, то неприпустимо відкидати найкраще з радянської системи, руйнувати математичну і природничу освіту у середній школі» [70] і в системах підготовки фахівців нематематичного профілю. Зараз нам, як ніколи раніше, слід усвідомити, що математична культура є необхідним компонентом сучасного інформаційного суспільства [35] і стимулювати її розвиток можна лише приділяючи гідну увагу математичній складовій в національній системі освіти.

Математична культура є складовою частиною загальнолюдської культури.

Культура (лат. colere ? «населяти», «вирощувати», «сприяти», «успадковувати») ? сукупність матеріальних і духовних, нематеріальних цінностей, створених людством протягом його історії. Це поняття може вживатися в таких значеннях:

? рівень розвитку суспільства у певну епоху;

? те, що створюється для задоволення духовних потреб людини;

? освіченість, вихованість;

? рівень, ступінь досконалості якої-небудь галузі господарської або розумової діяльності;

? алгоритми людської поведінки і символічних структур, які надають цій поведінці сенсу і значимості [8].

Поняття культура об'єднує у собі науку і освіту, мистецтво, мораль, уклад життя та світогляд.

Слово «культура» було вперше зафіксоване в праці Марка Порція Катона «De agri cultura» (ІІІ ст. до н. е.), присвяченій турботам землевласника, який обробляв землю з використанням рабської праці. Але згодом мислителі відійшли від основного значення поняття «культура», тобто землеробство, і значно розширили його тлумачення. Так Цицерон в одному із своїх листів говорив про «культуру духу», тобто про розвиток розумових здібностей, що є гідним завданням для вільної людини і дається завдяки заняттям філософією [26].

У середньовічній Європі слово «культура» вживалося лише у словосполученнях і означало ступінь майстерності в якій-небудь галузі, придбання розумових навичок (наприклад, cultura juris ? вироблення правил поведінки, cultura scientiae ? засвоєння науки, cultura literarum ? вдосконалення письма).

До XVIII століття слово «культура» стало окремою, самостійною одиницею, означаючи обізнаність, освіченість, вихованість ? усе те, що і зараз ототожнюють з культурністю. Як його синонім, використовувалося також поняття «цивілізація». Завдяки зусиллям філософів та істориків, за останні три сторіччя це латинське слово увійшло у всі європейські мови, набуло універсального значення, перетворилося на філософське поняття і стало об'єктом наукових досліджень.

Культурні процеси і явища відрізняються складністю і багатоплановістю. Тому у сучасній науці нараховується декілька сотень визначень культури. Деякі з них широко відомі: культура ? це сукупність досягнень людства; усе багатство матеріальних і духовних цінностей; це інтегральний образ, що об'єднує науку, освіту, літературу, мистецтво, мораль, уклад життя при визначальній ролі світогляду. У таких визначеннях міститься вказівка і перелік елементів культури.

Протягом існування людства була освоєна вся земна куля, людина вийшла у космос, винайшла неймовірний за кількістю і якістю обсяг способів діяльності. При спробі їх згрупувати за прикладними сферами, виділилися такі основні форми культури, як «матеріальна культура», «духовна культура», «культура людини», що включає «соціальну (тобто політичну, економічну, правову, моральну, інформаційну) культуру людини», «фізична культура».

Якщо вважати науку і мистецтво двома галузями культури, то математика становить «третю» культуру, яка чітко відрізняється від названих. Це є думка провідного американського математика Р. Беллмана [26].

Останні десятиріччя набуває розповсюдження негативне ставлення до вивчення математики достатньо великої частини суспільства, яка не розуміє величезного значення математики для цілої культури людства, не бажає бачити того незаперечного факту, що математичні теоретичні знання дуже часто є рушійними чинниками розвитку сучасного суспільства. Розвиток математики базується не на якомусь окремому періоді людської історії, а навпаки, сплітається з розвитком культури на всіх її ступенях. Математика пов'язана так само тісно з давньогрецькою культурою, як і з завданнями сучасного інженера; вона, з одного боку, уможливлює прогрес природознавства, а з іншого, ? використовується у дослідженнях з логіки та філософії.

Професор Володимир Левицький говорив, що “хто переборе математичну символіку і вдумається в глибокі царини математики, той відкриє в ній такий ідеальний світ і таку величну поезію, як у ніякій іншій науці” [1]. І він мав повне право так говорити, так як, за словами Михайла Кравчука, В. Левицький був основоположником математичної культури нашого народу. Він перший написав фахову статтю з математики українською мовою, був незмінним редактором першого українського наукового часопису з природничих наук, перший підготував і опублікував матеріали до української термінології з математики, фізики, хімії, перший згуртував навколо себе математиків-українців для наукової роботи.

Математики користуються накопиченим за сторіччя рядом символів і вміють їх перекласти мовою, зрозумілою широкому загалу, так само як і композитори за музичними знаками «чують» мелодію та можуть її записати. Математичний образ ? це особливий образ ідей, у якому немає нічого непотрібного, але в якому одночасно нічого не бракує; це повністю завершений мистецький твір.

Термін «математична культура» використовується для того, щоб відмітити, яким чином особа взаємодіє з математичними знаннями та як математика може впливати на структуру та внутрішній світ особистості. Поняття математичної культури значно ширше, ніж просто система математичних знань, вмінь та навичок.

Математична культура (індивідуальна) - це інтегральна характеристика особистості, яка у всій повноті на даний момент часу фіксує здатність цієї особистості адекватно сприймати доступну її розумінню математичну складову наукової картини світу і вибудувати у відповідності з цим сприйняттям свою освітню, професійну, суспільну діяльність, творити свої морально-етичний та естетичний ідеали [58].

Третяк М.В. у своїй статті [67] індивідуальну математичну культуру подає як складну систему взаємно залежних, взаємно обумовлених якостей особистості - елементів математичної культури: математичних знань, умінь і навичок, уподобань, естетичних уподобань і навіть деяких частинних (по відношенню до математичної) культур, наприклад, культури математичного мовлення, графічної, знаково-символьної культури, культури мислення, комунікаційної математичної культури, тощо.

До поняття математичної культури відносять математичну грамотність (термінологічна грамотність, обчислювальна культура, графічна культура) та навички математичного моделювання. Другий елемент - тому що ключовим завданням математичної освіти є навчити учня інтерпретувати будь-яку подію чи ситуацію мовою символів та розв'язання її математичними засобами.

1.2 Математичні здібності - основа формування математичної грамотності

«Освіта, - зазначає Н.О. Пруель, - як духовне благо представляється результатом досить тривалої історичної еволюції матеріальної і духовної практики суспільства. Освіта відбиває і фіксує пізнавальні універсальні властивості індивіда, задовольняє найважливіші соціальні потреби людини» [55].

Розвиток інтелектуальних і, зокрема, математичних здібностей зумовлює постійне зростання потреб суспільства. Володіння математичними методами необхідно у всіх галузях народного господарства. Тому підвищення рівня математичної освіти, формування творчого, дослідницького мислення - важливі завдання сучасної освіти, зокрема середньої школи.

Проблема здібностей є однією з найбільш складних і найменш розроблених у психології.

Значний внесок у розробку загальної теорії здібностей вніс вітчизняний науковець Борис Михайлович Теплов. Він був переконаний, що здібності не можуть існувати інакше, як у постійному процесі розвитку, а та здатність, яка не використовується людиною в практичній діяльності, з часом втрачається. Міркуючи про природу здібностей, Б.М. Тєплов незмінно підкреслював, що успішність виконання конкретної діяльності залежить не від однієї, а від поєднання різних здібностей. В основі здібностей лежать задатки, за відсутності яких неможливий розвиток здібностей. Важливим відкриттям Б.М. Теплова стали його обґрунтування того, що дефіцит одних здібностей може бути заповнений за рахунок розвитку інших. Ефект компенсації одних здібностей іншими, встановлений і описаний вітчизняним ученим, найістотнішим чином вплинув на розробки в галузі педагогічної психології, психології праці, педагогіки.

Досліджували проблему здібностей Л.С. Виготський, Б.Г. Ананьєв, С.Л. Рубінштейн, В.Д. Шадріков, В.М. Дружинін, М.А. Холодна та багато інших відомих вітчизняних психологів. Завдяки їх зусиллям у вітчизняній психології створений ряд стійких класифікацій здібностей людини. У цих класифікаціях в якості основних представлені природні (біологічно обумовлені) здібності і специфічні здібності, що мають історичне та культурне походження.

Серед деяких психологів [41] існує думка про те, що здібності людей залежать від соціальних умов у суспільстві. Так, наприклад, результати досліджень інтелектуальних здібностей у представників ізольованих культур свідчать: рівень їх розвитку значно нижчий, ніж у громадян розвинутих країн світу (Дж. Брунер; М. Коул, С. Скрібнер; А. Лурія; П. Тульвісте). Проте слід врахувати, що в обох випадках він був достатнім для діяльностей, які обслуговували ці здібності. Тому йдеться не стільки про «відставання» представників ізольованих від цивілізації культур за рівнем розвитку здібностей, скільки про своєрідність такого розвитку за певних соціальних умов.

У психології не існує єдиного означення здібностей.

За Б.М. Тепловим, здібності ? це індивідуально-психологічні особливості, що відрізняють одну людину від іншої [47].

Г.С. Костюк визначав здібності як «… істотні психічні властивості людської особистості, що виявляються в її цілеспрямованій діяльності і зумовлюють її успіх» [31]. Провідними видами діяльності, в яких проявляються здібності, вчений вважав навчання та працю.

Психологічний словник визначає здібність як якість, можливість, вміння, досвід, майстерність, талант [48].

У підручнику із загальної психології наводиться таке означення:

«Здібності ? це своєрідні властивості людини, її інтелекту, що виявляються в навчальній, трудовій, науковій та іншій діяльності і є необхідною умовою її успіху» [25, с. 376].

Найбільш вдалим та влучним нам здається останнє означення.

Залежно від свого спрямування здібності можуть бути загальними (забезпечують добре оволодіння різними видами діяльності) та спеціальними (зумовлюють вищі результати в якій-небудь одній галузі). Здібності за видами діяльності та сферами розвитку розрізняють [4]:

? інтелектуальні (розумові), що зумовлюють потребу у здійсненні та досягненні високих результатів у пізнавальній діяльності;

? академічні (учбові), що сприяють наявності посиленого інтересу до учіння та забезпечують високу успішність у навчання з будь-якого предмету;

? технічні, що зумовлюють неординарність результатів техніко-перетворюючого характеру;

? науково-дослідницькі, що характеризуються схильністю до проведення прикладних та наукових досліджень;

? творчі здібності, що забезпечують прояви творчості у будь-яких видах діяльності та навчальних дисциплінах;

? комунікативні (соціально-етичні) здібності, що забезпечують успішність спілкування у різних системах.

На нашу думку, для прояву математичних здібностей, учень повинен володіти інтелектуальними, академічними, науково-дослідницькими та творчими здібностями.

Інколи помітні зрушення в здібностях відбуваються протягом незначного проміжку історичного часу. Коли в Німеччині у 1968 і 1978 pоках визначали рівень розвитку інтелектуальних здібностей (показником слугувало наочно-образне мислення) школярів, то з'ясувалося, що шестикласники 1978 року мали кращі результати, ніж школярі восьмого класу 1968 року. Відповідно семикласники мали більші здобутки, ніж 10 років тому дев'ятикласники, а восьмикласники ? більші, ніж тодішні випускники. Вже в шостому класі 29% учнів могли розв'язувати задачі, які в 1968 році були під силу лише 3% учнів цього ж класу. В середньому ж інтелект за 10 років зріс на 10?15%. Пояснюють це тим, що відбулися позитивні зміни в суспільно-економічному розвитку країни.

Але, говорячи про здібності, не можна не звернути увагу на індивідуальні особливості учнів і зокрема на їх задатки.

Задатки ? це обумовлені спадкоємними генами можливості розвитку анатомо-фізіологічних і ними деяких психічних властивостей, що визначаються, дійсний розвиток яких залежить від їхньої взаємодії із середовищем [47].

Зміст задатків змінюється з віком і, напевно, у зв'язку з дозріванням мозку. Так, у молодшому шкільному віці позитивний вплив на інтелектуальні здібності визначає переважання правої (недомінантної) півкулі, слабкої і лабільної нервової системи. Такі діти мають наочно-образне мислення, емоційно насичене сприймання, мимовільну і образну пам'ять. У підлітковому віці провідною стає активованість нервової системи: саме вона визначає успішність у навчанні. Тут уже інша функціональна асиметрія: під час роботи із складним навчальним матеріалом починає різко домінувати ліва півкуля.

Масові обстеження, проведені в школах, дали підставу для висновку про «більшу природну складову в здібностях, меншу в схильностях і ще меншу в спрямованості» [33].

Проте задатки цілковито не визначають розвитку здібностей. Їх роль очевидніша в «простих здібностях», наприклад, у здібності швидко виробляти рухові навички. Щодо специфічно людських здібностей (лінгвістичних, музичних, математичних, педагогічних, тощо), то тут простежується фундаментальна закономірність: здібності з'являються і розвиваються лише в процесі відповідної діяльності. Ні музикантом, ні математиком не зможе стати людина, яка не докладає для цього копітких зусиль.

Розвиток математичних здібностей підвищується при системному підході до вивчення математики та врахуванні індивідуальних особливостей школярів.

О.С. Чашечникова розглядає математичні здібності як здатність утворювати на математичному матеріалі узагальнені, згорнуті, гнучкі й обернені асоціації та їх системи. І визначає математичні здібності як індивідуально-психологічні особливості людини, що сприяють більш високій продуктивності її математичної діяльності, дозволяють використовувати в ході цієї діяльності нестандартні шляхи і методи, створюючи в результаті порівняно новий (або якісно новий) продукт розумової математичної діяльності [73].

В.А. Крутецький до математичних здібностей відносить [34]:

1) здібність до формалізації математичного матеріалу, до відділення форми від змісту, абстрагування від конкретних кількісних відношень і просторових форм та оперування формальними структурами відношень і зв'язків;

2) здібність узагальнювати математичний матеріал, вичленувати головне, відволікатися від неістотного, бачити загальне у зовні різному;

3) здібність до оперування числовою і знаковою символікою;

4) здібність до «послідовного, правильно розчленованого логічного міркування» [29], пов'язаного з потребою в доведеннях, обґрунтуванні, висновках;

5) здібність скорочувати процес міркувань, мислити згорнутими структурами;

6) здібність до зворотності процесу мислення (переходу з прямого на обернений хід думки);

7) гнучкість мислення, здібність до переключення від однієї операції до другої, звільнення від впливу шаблонів і трафаретів, що сковує. Ця особливість мислення важлива у творчій роботі математика;

8) математична пам'ять. Можна припустити, що її характерні особливості також випливають з особливостей математичної науки, що це пам'ять на узагальнення, формалізовані структури, логічні схеми;

9) здібність до просторових уявлень і уяви, яка прямим чином пов'язана з наявністю такої галузі математики, як геометрія (особливо геометрія у просторі).

Рівень розвитку здібностей залежить:

1) від якостей знань і умінь, від міри їх об`єднання в єдине ціле;

2) від природних задатків людини, якості природних механізмів елементарної психічної діяльності;

3) від більшої чи меншої "тренованості" самих мозкових структур, які беруть участь у здійсненні пізнавальних і психомоторних процесів [41].

Але без зацікавленості школяра у вивченні математики не можна говорити про ефективний розвиток математичних здібностей. Без схильності до математики не може бути справжніх здібностей до неї. Якщо учень не відчуває ніякого інтересу до математики, то навіть гарні здібності навряд чи забезпечать цілком успішне оволодіння цією наукою. Роль, яку тут відіграють схильність, інтерес, зводиться до того, що, цікавлячись математикою, людина посилено займається нею, а отже ? енергійно розвиває свої здібності. Розвитку математичних здібностей також сприяє систематична робота, врахування індивідуальних особливостей школярів. Надзвичайно важливо, щоб вчитель прищеплював учням інтерес та любов до математики на своїх уроках.

Але те, що здібності пов'язані зі схильністю до певного виду діяльності, не носить характеру загального закону. Помилково було б діагностувати наявність чи відсутність здібностей по тому, як виражена схильність до відповідного виду діяльності. В окремих випадках тут може бути і розбіжність.

У школі нерідко зустрічаються такі випадки: здатний до математики учень мало цікавиться нею і не виявляє особливих успіхів в оволодінні цим предметом. Але якщо вчитель зуміє розбудити в нього інтерес до математики і схильність займатися нею, то такий учень «захоплений» математикою, може швидко досягти великих успіхів.

В.А. Крутецький дійшов висновку, що «мозок деяких людей своєрідно орієнтований (налаштований) на виокремлення з навколишнього світу подразників типу просторових і числових відношень та символів і на оптимальну роботу саме з такими подразниками». Тому «звичайним математиком можна стати. Видатним, талановитим математиком треба народитися».

Наявність математичних здібностей в одних учнів і недостатня розвинутість їх в інших вимагає від учителя математики постійного пошуку, шляхів формування і розвитку таких здібностей у школярів.

Рівнева диференціація з урахуванням психології математичних здібностей учнів збільшує ефективність роботи вчителя. Такий підхід створює умови для розвитку здібностей учнів, які мають природжені задатки до занять математикою, і забезпечує посильною роботою учнів, які не мають таких задатків. Виконуючи посильні завдання, учень отримує впевненість у своїх силах.

Також важливою складовою успішного навчання учня є гарно розвинена пам'ять. Математика сприяє виробленню її особливого виду ? пам'яті, спрямованої на узагальнення, творення логічних схем, формалізованих структур, виховує здатність до просторових уявлень.

Більшість учнів скаржаться на свою пам'ять, але насправді вони просто не знають як правильно нею користуватися. Завдання вчителя полягає у тому, щоб допомогти учням розкрити їх потенціал та підказати ? як потрібно запам'ятовувати. Але проводити таку роботу потрібно систематично.

Радянський психолог А.Р. Лурія запропонував поділ усіх прийомів запам'ятовування на два типи: мнемотехніка (в основі методу лежить вербально-логічне мислення) та ейдетика (в основі - конкретно-образне мислення) [2].

Ольга Панішева у своїй статті [50] спирається на один з дієвих прийомів розвитку пам'яті - використання уяви учнів, створення яскравих, емоційно забарвлених образів. Але, варто пам'ятати, що такий спосіб доцільний саме для дітей з образною пам'яттю. Автор наводить багато прикладів, серед яких є вірш, який допомагає запам'ятати значення числа е до 15 знаків після коми:

Число е, як відомо,

Тайну свою має.

І двічі Льва Толстого

Воно викликає.

А коли надумав

Похвастатись знанням,

Трикутник прямокутний

Тобі підкаже шлях:

Коли він рівнобічний,

Кути його відомі.

Ти допиши їх звично

До того ж Льва Толстого.

е ? 2,7 1828 1828 45 90 45.

Щоб мета навчання в школі не сприймалося лише як мета одержати атестат (вступити до ВНЗ), а стала засобом розвитку і виховання, необхідно різко посилити питому вагу творчості. Важливо, щоб учень на запитання: «Навіщо ти вивчаєш математику?» ? сам для себе відповідав: «Щоб стати розумнішим, розвинути математичне мислення. Якщо я лише визубрю формули і теореми, я не стану ні розумнішим, ні духовно багатшим, ні щасливішим». Тобто, важливо, щоб у процесі навчання математики була задіяна не лише пам'ять, а й ефективно працювало мислення.

Мислення ? це соціальне обумовлений, нерозривно пов'язаний з мовою психічний процес пошуків та відкриття істотно нового, процес опосередкованого та узагальненого відображення дійсності у ході її аналізу та синтезу. Мислення виникає на основі практичної діяльності з чуттєвого пізнання і далеко виходить за його межі [47]. Процес мислення в навчальній діяльності ? це процес пізнання.

Математичні здібності - одна із складових творчих здібностей.

О.С. Чашечникова та З.Б. Чухрай розглядають дослідницькі здібності як один із компонентів творчого мислення і пропонують у статті [77] наступну систему дослідницьких здібностей:

1. Нешаблонність мислення: спроможність самостійно встановлювати об'єкт дослідження конкретної ситуації, аналізувати її.

2. Критичність мислення: спроможність знаходити невідповідності, виявляти невирішені питання, на основі чого ставиться проблема; здатність досліджувати раціональність обраних способів розв'язування, межі їх застосування; здатність оцінювати реальність отриманих результатів.

3. Самостійність мислення та здатність до самоорганізації: здатність самостійно приймати рішення, знаходити та використовувати нові дані.

4. Багатоплановість мислення: спроможність досліджувати реальні ситуації за допомогою математичного апарату; здатність аналізувати, порівнювати та встановлювати закономірності, взаємозв'язки.

5. Прогностичність мислення: математична інтуїція, спроможність передбачати кроки виконання, кінцевий результат.

О.С. Чашечникова у своїх дослідженнях виділила такі компоненти та підкомпоненти творчого мислення як [74]:

? нестандартність (оперативність, гнучкість, оригінальність, інтегративність мислення, уява, фантазія);

? дивергентність (широта, продуктивність, узагальненість та варіативність мислення);

? евристичність мислення (інтуїтивність, особистісний стиль мислення і діяльності, незаалгоритмізованість, здатність мислити згорнутими структурами та прогнозувати можливі результати діяльності на її початку);

? ефективність (швидкість, конвергентність, інтелектуальна чутливість, здатність до інтелектуального самозбагачення та до мобілізації власних творчих можливостей);

? творча активність (творча ініціатива, здатність до самомотивації, самоорганізації та до мобілізації власних творчих можливостей).

Примітка: дивергентне мислення - таке мислення, що припускає декілька або безліч відповідей на одне питання [20]. Конвергентне мислення - це мислення, за яким усі розумові зусилля концентруються на пошуку єдиного правильного рішення, для чого використовуються переважно наявні знання та логічні судження [41].

Дослідницький підхід у навчанні математики є основою реалізації компетентнісної парадигми шкільної математичної освіти. Досягнення учнями дослідницької компетентності включає на думку О.І. Глобіна, керівника лабораторії математичної та фізичної освіти інституту педагогіки НАПН України, оволодіння ними наступними вміннями [16]:

1. Формулювати математичні задачі на основі аналізу суспільно та індивідуально значущих задач.

2. Будувати аналітичні та комп'ютерні моделі задач.

3. Висувати та емпірично перевіряти справедливість гіпотез, спираючись на відомі методи (індукція, аналогія, узагальнення, тощо), а також на власний досвід досліджень.

4. Дедуктивно доводити справедливість математичних гіпотез або спростовувати їх за допомогою контрприкладів.

5. Інтерпретувати результати, отримані формальними методами, у термінах вихідної предметної області.

6. Систематизувати отримані результати: досліджувати межі застосування отриманих результатів, встановлювати зв'язки з попередніми результатами, а також модифікувати вихідну задачу, шукати аналогії в інших розділах математики, інформатики, тощо.

Творчий процесс вирішення проблем, за М.Г. Симоновою [61], складається з трьох основних етапів, що відповідають людському природному творчому процесу (таблиця 1.1).

Подаємо в авторській редакції.

Таблиця 1.1.

Творчий процес вирішення проблеми

Етапи	Кроки
1. Дослідження проблем	1. Пошук мети (визначення цілей, бажань або завдань). 2. Накопичення фактів (збір відповідних даних). 3. Постановка проблем (уточнити проблеми, які необхідно вирішити для досягнення мети).
2. Генерування ідей	4. Пошук ідеї (генерування ідеї для вирішення виявлених проблем).
3. Підготовка до дії	5. Пошук рішення (переміщення від ідеї до здійснення рішення). 6. Прийняття (план дій).

Дбаючи про розвиток творчих здібностей у школярів, залучаючи їх до творчої праці, вчитель математики створює необхідні умови для розвитку всіх без винятку психічних якостей учнів. Шкільна практика переповнена прикладами, коли учні, захоплені справою «до вподоби», проявляють наполегливість, силу волі в опануванні тими знаннями й уміннями, які далеко випереджають програмні вимоги, але вкрай необхідні для реалізації їхніх творчих задумів. Саме в процесі розв'язання творчих задач, пошуку нестандартних способів їх розв'язання учні виробляють уміння критично ставитись до тривіального, вчаться дискутувати, тощо. Творчість учнів сприяє формуванню їхніх морально-етичних та вольових якостей.

1.3 Складові математичної культури

1.3.1 Математична грамотність

Загальновідомо, що математика має широкі можливості для розвитку логічного мислення людини, її алгоритмічної культури, уміння моделювати ситуації. Математичний апарат застосовується не лише при вивченні інших шкільних дисциплін, але й в ході професійної діяльності, зокрема, математичне моделювання широко використовують для розв'язування задач з різних галузей науки, економіки, виробництва. Про це зазначається й у програмах з математики для загальноосвітніх навчальних закладів. Саме тому надзвичайно важливо, щоб у процесі навчання математики у школі приділялася увага формуванню математичної культури учнів, розвитку їх математичної грамотності.

Під математичною грамотністю розуміють уміння правильно застосовувати математичні терміни, наявність необхідних знань і відомостей для виконання роботи (вирішення проблеми) в конкретній предметній області (С. Березін) [82]. Хоча, на погляд О.С. Чашечникової, дане поняття має також включати в себе не лише термінологічну грамотність, але й правильну математичну мову (усну та письмову), обчислювальну та графічну культуру [72].

У програмі з математики для 5-11 класів 2003 року зазначається, що математика має широкі можливості для інтелектуального розвитку особистості, розвитку логічного мислення, просторових уявлень і уяви, алгоритмічної культури, моделювати ситуації та ін. Тобто, виникає питання про навчання учнів елементам математичного моделювання Математичне моделювання широко використовують для розв'язування задач з різних галузей науки, економіки, виробництва. Практичні навички і вміння з математики необхідні для майбутньої діяльності школярів [54].

Тобто у програмі з математики 2003 року говориться лише про такі аспекти математичної культури, як алгоритмічна культура та математичне моделювання, а про інші її складові частини не згадують. Велика увага приділена новим інформаційним технологіям.

У програмі з математики для 5-12 класів 2006 року говориться про формування усвідомлення учнями математичних знань як важливої невід'ємної складової загальної культури людини. Про те, що вивчення математики має сприяти формуванню загальнонавчальних умінь, культури мовлення, чіткості та точності думки, критичності мислення, здатності відчувати красу ідеї, методу розв'язання задачі або проблеми, таких людських якостей, як наполегливість, сила волі, здатність до переборення труднощів, чесність, працелюбство та ін. Також згадується про алгоритмічну культуру [53].

Отже, вже йде мова про математичні знання як про складову частину загальної культури людини.

В Україні в 2010 році були прийняті нові програми з математики чотирьох рівнів: для класів з поглибленим вивченням математики, профільного рівня, академічного рівня та рівень стандарту. Кожна програма розроблена на основі Державного стандарту базової і повної середньої освіти з урахуванням особливостей відповідного профілю навчання.

Програма для класів з поглибленим вивченням математики розроблена для учнів, які в майбутньому оберуть спеціальності теоретичної і прикладної математики або спеціальності тих галузей, які потребують розвиненого математичного апарату для вивчення й аналізу закономірностей реальних явищ і процесів. До завдань цієї програми в тому числі відноситься і «формування в учнів уявлення про роль математики у пізнанні дійсності, усвідомлення математичних знань як невід'ємної складової загальної культури людини, необхідної умови повноцінного життя в сучасному суспільстві і апарату наукового пізнання; створення стійкої позитивної мотивації до навчання», тобто вже безпосередньо говориться про те, що математичні знання є невід'ємною складовою загальної культури. Також одним із завдань є «інтелектуальний розвиток особистості, передусім розвиток в учнів логічного мислення і просторової уяви, алгоритмічної, інформаційної та графічної культури, пам'яті, уваги, інтуїції» [44]. Тобто перераховуються складові математичної культури.

У програмі також зазначається, що випускник загальноосвітнього навчального закладу має успішно застосовувати засвоєні знання в прикладному аспекті, застосовувати математичні моделі при вивченні оточуючого середовища, зокрема, в курсах фізики та інших навчальних предметів (інформатики, астрономії, хімії, біології, економіки тощо), розпізнавати проблеми, які можна розв'язати математичними методами, формулювати їх математичною мовою, досліджувати та розв'язувати ці проблеми, використовуючи математичні знання та методи, інтерпретувати отримані результати з урахуванням конкретних умов і цілей дослідження, виконувати статистичне оброблення отриманих результатів.

Програма рівня стандарту визначає зміст навчання предмета, спрямований на завершення формування в учнів уявлення про математику як елемент загальної культури. При цьому не передбачається, що в подальшому випускники школи продовжуватимуть вивчати математику або пов'язуватимуть з нею свою професійну діяльність [45].

Програма академічного рівня задає дещо ширший зміст і вищі вимоги до його засвоєння у порівнянні з рівнем стандарту. Вивчення математики на академічному рівні передбачається передусім у тих випадках, коли вона тісно пов'язана з профільними предметами і забезпечує їх ефективне засвоєння. Крім того, за цією програмою здійснюється математична підготовка старшокласників, які не визначилися щодо напряму спеціалізації [42].

Програма профільного рівня передбачає поглиблене вивчення предмета з орієнтацією на майбутню професію, безпосередньо пов'язану з математикою або її застосуваннями [43].

Програма профільного рівня призначена для організації навчання математики в класах математичного, фізичного та фізико-математичного профілів. А програма академічного рівня ? біолого-хімічного, біолого-фізичного, біотехнологічного, хіміко-технологічного, фізико-хімічного, агрохімічного профілів природничо-математичного напряму профільного навчання, а також технологічного профіль. У цих програмах завдання ? «формування в учнів наукового світогляду, уявлень про ідеї та методи математики, її ролі у пізнанні дійсності, усвідомлення математичних знань як невід'ємної складової загальної культури людини, необхідної умови повноцінного життя в сучасному суспільстві; стійкої позитивної мотивації до навчання» та «інтелектуальний розвиток особистості, передусім розвиток в учнів логічного мислення і просторової уяви, алгоритмічної, інформаційної та графічної культури, пам'яті, уваги, інтуїції» аналогічні програмі для класів з поглибленим вивченням математики. Тобто математична культура стосується не лише тих учнів, які обрали своїм профілем математику, а й учнів класів інших профілів.

Якщо говорити про рівень стандарту, то він передбачає одним із головних завдань свого курсу ? забезпечення умов для досягнення кожним учнем практичної компетентності. А це в свою чергу означає, що випускник загальноосвітнього навчального закладу в тому числі вміє будувати і досліджувати найпростіші математичні моделі реальних об'єктів, процесів і явищ, задач, пов'язаних з ними, за допомогою математичних об'єктів, відповідних математичних задач.

Цікавими є результати порівняльних досліджень поглядів учнів на навчання математики у Фінляндії та Україні, проведеними Еркі Пекконеном, Сергієм Раковим, Наталією Руслановою [52]. Вони провели анкетування 255 фінських учнів та 200 українських учнів. І виявили, що для учнів Фінляндії у навчанні математики на перше місце виносяться: важливість дисципліни, доцільність роботи у малих групах та зрозумілість навчального матеріалу. Для учнів України: доцільність використання навчальних ігор, важливість математичних понять і пояснення викладачів.

Характерним є той факт, що популярність вивчення математики у Фінляндії не на дуже високому рівні і кількість студентів в університетах, що бажає реєструватися на програму викладача математики - невелика. Можливо, причиною цього є те, що викладачі зараз не заробляють стільки, скільки інші люди з тим самим рівнем освіти.

Але цілі математичної освіти у Фінляндії - це сильна сторона національних навчальних програм. Вони включають сприяння розвиткові умінь розв'язувати задачі, творчих здібностей та розвитку вмінь застосовувати математику у повсякденному житті. Крім того, викладач має значну незалежність у викладанні, наприклад, у який спосіб викладати, що виділяти і в якому порядку. Цього, на жаль, позбавлені їх українські колеги.

В американській математичній системі освіти також є значні проблеми.

Дослідження американських педагогів показують, що однією з головних причин відставання в області математичної освіти є відсутність у американських учнів розуміння цінності і значення математики при розв'язанні практичних, реальних життєвих проблем. Більшість американських, як, на жаль, і українських, школярів бачать у математиці лише одноманітне тренування з підготовки до тестів та безглузде заучування великої кількості формул та теорем. Новий Стандарт освіти покликаний радикально змінити традиційний підхід, а саме: посилити прикладний аспект вивчення математики, значно більше уваги приділяти гуманітаризації математичної освіти, розширити використання історичного і культурного аспектів розвитку математики як науки, посилити інтеграцію математики з іншими предметами [76].

Ключовою цільовою установкою Стандарту є математична грамотність. Метою формування математичної грамотності у школярів є:

1. Навчити учнів цінувати математику як науку та навчальну дисципліну.

2. Виховати в учнях впевненість у власних математичних силах.

3. Сформувати у школярів вміння розв'язувати математичні задачі та проблеми.

4. Розвинути в учнях комунікативні математичні вміння.

5. Навчити школярів міркувати.

За замислом авторів стандарту американський школяр має не лише навчитися вправно розв'язувати складні задачі, а й повинен почати грамотно спілкуватися (слухати, читати, писати і говорити) мовою математики. І подекуди ці вміння важливіші, ніж просто знання правильної відповіді.

1.3.2 Навички математичного моделювання

У програмі з математики 2010 року для класів з поглибленим вивченням математики [44] зазначається, що вивчення математики у класах з поглибленим вивченням математики передбачає більш ґрунтовну порівняно з академічним рівнем підготовку учнів з математики в органічному поєднанні з міжпредметною інтеграцією на основі застосування математичних методів (зокрема, методу математичного моделювання). Принциповою відмінністю мети навчання математики в класах з поглибленим вивченням математики є те, що ці учні мають бути орієнтовані на подальшу діяльність у сфері розвитку математичної науки (як теоретичної, так і прикладної), створення нових прийомів, моделей і алгоритмів, у тому числі й в аспекті прикладного застосування математичного апарату, тоді як для учнів інших профілів навчання провідною метою є навчання вибору і застосуванню методів існуючого математичного апарату. І також зазначається, що вивчаючи математику, старшокласники мають усвідомити, що процес її застосування до розв'язування будь-яких прикладних задач розчленовується на три етапи: 1) формалізація (перехід від ситуації, описаної у задачі, до формальної математичної моделі цієї ситуації, і від неї - до чітко сформульованої математичної задачі); 2) розв'язування задачі у межах побудованої моделі; 3) інтерпретація одержаного розв'язку задачі та застосування його до вихідної ситуації.

Тобто, якщо раніше про методи математичного моделювання майже не згадувалося, то у новій програмі для 10-11 класів про математичне моделювання вже безпосередньо говориться як про мету і як про засіб навчання.

Фундаторами сучасної методології математичного моделювання були В.М. Глушков, Б.В. Гнеденко, А.М. Колмогоров, А.Ф. Турбін, В.М. Остапенко та інші [15]. Ці вчені у 70-х роках ХХ століття, розуміючи неабияке значення для шкільного курсу математики пояснення прикладного характеру цієї дисципліни, дійшли до висновку про необхідність вивчення математичного моделювання учнями загальноосвітніх шкіл.

Б.В. Гнеденко зазначав, що готувати майбутнього вчителя математики слід так, щоб він міг «бачити, з одного боку, основний зміст сучасної математики, а з другого - її прикладні можливості» [51].

Деякий час у підручниках та у програмах з математики нічого не говорилося про математичне моделювання у явному вигляді, проте це не означає, що воно не застосовувалося. Розв'язуючи текстові задачі, вчителі пояснювали хід розв'язання, проте не наголошували на тому, що науковою мовою цей процес називається математичним моделюванням.

Лише наприкінці 90-х років ХХ століття у шкільний курс математики для учнів 9-го класу була введена тема «Елементи прикладної математики». На вивчення даної теми відводилося 10 годин, а на вивчення математичного моделювання - 2 години. Таку ж кількість часу на вивчення даної теми запропоновано і у програмах для 12-річної школи.

У сучасних підручниках авторів Г.М. Возняка, Г.М. Литвиненка, Ю.І. Мальованого [12], авторів А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонського, М.С. Якіра [37] та інших введено розділ «Елементи прикладної математики». Пропонується матеріал щодо історії питання, пояснюється важливість вивчення теми, повідомляються основні означення та етапи математичного моделювання, пояснюється важливість цієї теми.

Елементам математичного моделювання, до недавнього часу, приділялося недостатньо уваги у шкільному курсі математики. Здебільшого, учні вчили математику як деякий абстрактний предмет. І для більшості школярів викликало значні труднощі у розумінні цієї дисципліни.

А.М. Колмогоров, розглядаючи питання про сучасну математику та навчання її в школі, підкреслював [51]: «Дивлячись у майбутнє, необхідно вже зараз будувати шкільний курс так, щоб учні були підготовлені до сприйняття нових аспектів прикладної математики… Завдання полягає у тому, щоб уже в школі переконливо показати, що «сучасна математика» дає змогу будувати математичні моделі реальних ситуацій і процесів, що вивчаються в застосуваннях, не тільки не гірше, але логічно послідовніше і простіше, ніж традиційна».

Але деякі кроки з розвитку вмінь математичного моделювання у старшокласників роблять університети, тобто ті, хто найбільше зацікавлений у добре підготовлених абітурієнтах. Так, наприклад, доктор педагогічних наук, професор, О.І. Скафа, у своїй статті [62] розповідає про те, що у Донецькому національному університеті викладачі на математичному факультеті розробили комплексну систему розвитку математичних здібностей у школярів. У секції математики МАН (Малої академії наук) створено підсекцію математичного моделювання, у рамках якої проводяться дослідження учнів з математичного моделювання в економіці, методиці математики та інформатики.

Прикладна спрямованість курсу математики - одна з постійно досліджуваних, але поки що не розв'язаних на належному рівні проблем навчання математиці, хоча математика з самого початку зароджувалася як прикладна наука (людині необхідно було обчислювати площі полів, об'єми посудин тощо).

У підручнику з алгебри для 9 класу авторів А.Г. Мерзляка, В.Б. Полонського, М.С. Якіра [37] моделлю називають спеціально створений об'єкт, що відображає властивості досліджуваного об'єкта (modele - копія, зразок). Моделі можуть створюватися з різною метою. Мета - замінити об'єкт моделлю, щоб виконати деякі дії, які з самим об'єктом виконувати не дозволяється або не зручно. Моделі можуть бути матеріальними (многогранників, макети літаків, забудови житлового району) та символічними, тобто зображуватися за допомогою чисел, рівнянь, нерівностей та їх систем, формул, графіків.

У «Математичній енциклопедії» [36] наводиться наступне означення математичної моделі: «Математична модель - це наближений опис будь-якого класу явищ зовнішнього світу, виражений через математичну символіку».

При складанні математичної моделі використовують загальні закони природознавства, спеціальні закони конкретних наук, результати пасивних та активних експериментів. Математичні моделі дозволяють передбачити хід процесу, розрахувати цільову функцію (вихідні параметри процесу), керувати процесом, проектувати системи з бажаними характеристиками.

Математичне моделювання ? метод дослідження процесів або явищ шляхом створення їхніх математичних моделей і дослідження цих моделей [63].

Під математичним моделюванням, у вузькому значенні слова, розуміють опис у вигляді рівнянь і нерівностей реальних фізичних, хімічних, технологічних, біологічних, економічних та інших процесів. Для того, щоб використовувати математичні методи для аналізу і синтезу різних процесів, необхідно вміти описати ці процеси мовою математики, тобто описати у вигляді системи рівнянь і нерівностей. Як методологія наукових досліджень, математичне моделювання, поєднує в собі досвід різних галузей науки про природу і суспільство, прикладну математику, інформатику і системне програмування для розв'язання фундаментальних проблем [49].

У широкому значенні слова, математичне моделювання - це заміна дій з реальними предметами діями з їх образами, моделями, муляжами, макетами, а також кресленнями, схемами тощо [71].

У «Математичній енциклопедії» математичним моделюванням називають процес вивчення явищ за допомогою математичних моделей [36].

У підручниках з алгебри для 9 класу [12] автори пропонують наступне означення: «Математичне моделювання - це процес встановлення відповідності даному реальному об'єкту деякого математичного об'єкта, що називається математичною моделлю».

Етапи математичного моделювання

1. Попередній аналіз об'єкта дослідження.

Всебічно і детально вивчається процес, що розглядається в задачі, визначаються головні параметри, суттєві і несуттєві зв'язки і залежності між головними характеристиками процесу, закони, яким він підлягає. На цьому етапі з'ясовуються також повнота, надлишковість, суперечливість даних.

2. Побудова математичної моделі.

Вибір (побудова) «еквівалента» об'єкта (явища, системи), що відображає в математичній формі найважливіші його властивості - закони, яким він підлягає, зв'язки, притаманні його складовим тощо, і є математичною моделлю.

«Ключ до розв'язання багатьох наукових задач - їх вдалий переклад мовою математики». Таку відповідь на поставлене запитання дав один із засновників і перший директор Інституту математики Академії наук України академік Д.О. Граве (1863-1939) [37].