Применение знаний о свойствах четырехугольников при решении практических задач

Цели: 1. Развитие мыслительной деятельности при решении практических задач по теме «Четырехугольники».

2. Развитие творческих способностей, логического мышления.

3. Формирование и закрепление комбинаторных навыков учащихся.

План

1. Кросснамбер «Многоугольники».

2. Составьте четырехугольники.

3. Проверка домашнего задания.

4. Практическая работа.

5. Решение практических задач.

6. Сказка-вопрос.

7. Пентамино.

8. Подведение итога занятия.

Кросснамберы - один из видов числовых ребусов. В переводе с английского слово «кросснамбер» означает «кресточислица».

При составлении кросснамберов применяется тот же принцип, что и при составлении кроссвордов: в каждую клетку вписывается один знак, «работающий» на горизонталь и на вертикаль.

В каждую клетку «кресточислицы» вписывается по одной цифре (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Чтобы не было путаницы, номера заданий обозначают буквами. Числа, подлежащие отгадыванию, - только целые положительные; запись таких чисел не может начинаться с нуля (т.е. 42 нельзя записывать как 042).

Некоторые задания из кросснамберов могут показаться расплывчатыми и допускающими несколько (а иногда и очень много) ответов. Например: «Составное число, каждая цифра которого - простое число». Но таков стиль кросснамберов и кроссвордов. Если бы они всегда давали только однозначные ответы, то это не было бы игрой. Если ученик не может понять, что от него требует данное описание, пусть он посмотрит на числа, пересекающиеся с данным. Где-то обязательно найдется подсказка.

Задание. Составьте четырехугольники

Каждому ученику дан набор равнобедренных прямоугольных треугольников, которые между собой равны. Кто быстрее составит всевозможные четырехугольники?

Проверка домашнего задания

Квадрат разрезали на 7 частей. Сложите из этих частей: а) прямоугольник; б) параллелограмм; в) трапецию (рис. 1).

Рисунок 1

Практическая работа

Каждому ученику раздается несколько листов произвольной формы (круг, квадрат, прямоугольник).

Задание. Путем нескольких перегибов получить известные нам четырехугольники, используя их определения, свойства.

Решение практических задач

1. Деревни А, В, С, D расположены в вершинах прямоугольника. В каком месте следует построить мост через реку, чтобы он был одинаково удален от всех деревень?

2. Как провести через пункт N дорогу, чтобы расстояния по ней от этого пункта до железной дороги и до канала были равными? (рис. 2)?

Рисунок 2

3. Жители трех домов, расположенных в вершинах равнобедренного треугольника с углом 120°, решили построить общий колодец. Какое место для колодца им следует выбрать, чтобы все три дома находились от него на одинаковом расстоянии?

4. В центре площади расположен фонтан, около которого надо разбить 4 одинаковых клумбы с розами. Как рассадить 36 кустов роз - по 10 кустов на каждой клумбе - с таким расчетом, чтобы фонтан был одинаково удален от всех клумб?

Ответы и решения (с указаниями способов решения).

1. Используйте свойство диагоналей прямоугольника.

2. Используйте свойство диагоналей прямоугольника.

3. Достройте до ромба с вершинами АВСD. Тогда колодец надо строить в точке D.

4. Фонтан находится в центре квадрата. 36 кустов роз по 10 в каждой клумбе рассаживаются на сторонах этого квадрата.

Сказка-вопрос

Собрались все четырехугольники на лесной поляне и стали обсуждать вопрос о выборе своего короля. Долго спорили и никак не могли прийти к единому мнению. Тогда один старый параллелограмм сказал: «Давайте отправимся все в царство четырехугольников. Кто туда первым придет, тот и будет королем». Все согласились. Рано утром отправились они в далекое путешествие. На пути путешественников повстречалась река, которая сказала: «Переплывут меня только те, у кого диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам». Часть четырехугольников остались на берегу, остальные благополучно переплыли и отправились дальше. На пути им встретилась высокая гора, которая сказала, что даст пройти дальше только тем, у кого диагонали равны. Несколько путешественников осталось у горы, остальные продолжили путь. Дошли они до большого обрыва, через который был переброшен узкий мост. Мост сказал, что пропустит тех, у кого диагонали пересекаются под прямым углом. По мосту прошел только один четырехугольник, который первым добрался до царства и был провозглашен королем.

Вопросы:

1. Кто стал королем?

2. Кто был его основным соперником?

3. Кто первым выбыл из числа соперников?

Фигуры домино, тримино, тетрамино, пентамино составляют из двух, трех, четырех, пяти квадратов так, чтобы любой квадрат имел общую сторону хотя бы с одним квадратом.

Рисунок 3

Площади квадрата и прямоугольника

Цель: Практическое применение формул площади прямоугольника и квадрата при решении развивающих и практических задач.

1. Сравните периметры прямоугольников ABCD, EFGH, KLMN.

AB= 4 BC=4, EF=4,5 FG=3,5, LM=3 NM=5.

Сравните площади прямоугольников. Обобщите результат задачи.

Решение:

Вывод: Из всех прямоугольников одного периметра наибольшую площадь имеет квадрат.

2. Сравните площади данного квадрата и получившегося в результате измене-ния длин его сторон прямоугольника, если:

a) сторону квадрата увеличили в 2 раза;

b) одну сторону увеличили в 2 раза, а другую уменьшили в 2 раза;

c) одну строну квадрата уменьшили на 2, другую увеличили на 2.

Ответ:

1) Увеличится в 4 раза

S1=a2, S2= (2a) 2=4a2;

2) Не изменится

S = a2; S= (а х 2) х (а/2)= а2;

3) Уменьшится на 4

S= а2; S= (а-2) (а+2)=а2-4.

3. Пользуясь угольником, постройте квадрат вдвое меньшей площади, чем данный. Предложите разные решения задачи.

Ответ (рис. 4):

Рисунок 4

4. Докажите равенства, используя площади квадрата и прямоугольника:

1. (а+в) 2 = а2+2 ав+в2;

2. (а+в+с) 2= а2+в2+с2+2 (ав+вс+ас) (рис. 5).

5. Участок квадратной формы расширили так, что получили новый квадрат, сторона которого на 5 м больше стороны первоначального, а площадь участка увеличилась при этом на 255 м². Какой была площадь участка первоначально? (рис. 6)

Рисунок 5

Рисунок 6

6. Площадка для детских игр прямоугольной формы должна удовлетворять таким требованиям: длины сторон должны выражаться целыми числами метров, а площадь численно равняться периметру. Какой длины и ширины может быть такая площадка?

Решение: Пусть а м - ширина, в м - длина площадки, то по условию Р=S

Р= 2 (а+в); S= ав,

2 (а+в)=ав,

ав/(а+в)=2 или 2=в х ((а-2)/а)

Равенство верно, если а>2.

Ответ: 1) а=в=4; 2) а=3, в=6.

7. Докажите, что прямоугольник и заштрихованный треугольник равновелики (рис. 7).

Рисунок 7

8. Земельный участок имеет форму квадрата, в вершинах которого растут деревья. Как, не изменяя его формы и не вырубая деревьев, увеличить площадь участка в 2 раза?

Ответ (рис. 8)

8. Трем братьям достался в наследство участок земли в форме квадрата. Как следует его разделить, чтобы все братья получили одинаковое количество земли? Предложите разные решения (рис. 9).

Рисунок 8

Рисунок 9

Заключение

На основе изучения педагогической, методико-математической, психолого-педагогической литературы, а также опыта работы учителей по вопросу организаций факультативных занятий разработаны рекомендации для успешного функционирования математического факультатива в средней школе.

Наиболее важные задачи, которые стояли при определении основных идей и положений рекомендаций математического факультатива заключается в следующем:

1. Важной задачей является раскрытие психолого-педагогических основ организации факультативных занятий как осуществление профильной дифференциации.

2. Основным направлением предложенных рекомендаций, является максимальное повышение эффективности работы факультативных занятий.

3. Исходя из предыдущих задач, рекомендации предполагают раскрытия и достижения всех цепей факультатива.

4. Обучать на основе прогрессивных методов, то есть, во-первых, обучать на наивысшем уровне познав возможности учащихся. Во-вторых, прежде всего осмысленное применение на практике. Современная общеобразовательная школа ставит задачу профориентации учащихся по окончании школы, путем введения профильной дифференциации как факультативную форму работы. И я постаралась сформулировать рекомендации, которые повысят уровень преподавания факультативных занятий и тем самым повысят уровень подготовленности учащихся.

Разработанные рекомендации учитывают следующие дидактические принципы:

- При включении рекомендаций в работу факультатива обеспечивается достижение целей и задач факультативных курсов.

- возможность учащимся удовлетворять потребность и развивать свои способности, углублять знания.

- подготовиться к вступительным экзаменам в ВУЗ.

Как видно, в процессе работы отчетливо прослеживается основная черта всех рекомендаций - направленность на повышение эффективности работы учащихся на факультативных занятиях, более глубокое усвоение материала. Таким образом, предложенные рекомендации для успешного функционирования математических факультативов в условиях средней школы предусматривают следующие условия:

- наличие учащихся, желающих углубить свои знания по математике, выбравших для себя деятельность, непосредственно связанную с математикой.

- профильную дифференциацию целесообразно осуществлять посредством математических факультативов в средней общеобразовательной школе.

- содержание факультативов должно удовлетворять требования учащихся, создавать условия для дальнейшего развития способностей учащихся, подготовить почву для осознанного выбора будущей профессии школьниками.

Данные исследования являются средством повышения эффективности работы учащихся на факультативных занятиях и позволяют достичь более высоких результатов в обучении математики. А также, что организация математических факультативов как осуществление профильной дифференциации дает возможность учащимся для их всестороннего развития и послужит для выбора ВУЗа.

Список использованных источников

1. Александров, А.Д. Геометрия [Текст]: учеб. для 8-9 кл. общеобразоват. учреждений / А.Д. Александров, И.С. Вернер, В.И. Рыжик. - М.: Просвещение, 1991. - 415 с.

2. Атанасян, А.С. Геометрия [Текст]: учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / А.С. Атанасян. - М.: Просвещение, 1995. - 335 с.

3. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математический факультатив вчера, сегодня, завтра // Ма-тематика в школе. - 1987. №5. С. 14-17.

4. Боярчук В.Ф. Межпредметные связи в процессе обучения. - Вологда, 1988.

5. Бударный А.А. Индивидуальный подход в обучении // Советская педагогика. - 1965.

6. Бутузов И.Г. Дифференцированное обучение - важное дидактическое средство эффективного обучения школьников. - М., 1968.

7. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математической статистика [Текст]: учеб. пособие для ВУЗов / В.Е. Гмурман. - М.: Высшая школа, 1999. - 479 с.

8. Горстко, А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием [Текст] / А.Б. Горстко. - М.: Знание, 1991. - 160 с.

9. Грес, П.В. Математика для гуманитариев / П.В. Грес. - М.: Логос, 2005.

10. Груденов, Я.И. совершенствование методики работы учителя математики [Текст]: книга для учителя / Я.И. Груденов. - М.: Просвещение, 1990. - 224 с.

11. Данилочкина Г.А. Индивидуализация обучения как средство развития познава-тельной самостоятельности учащихся (на материале преподавания математики в старших классах): Автореф. диссертации на соискание степени канд. пед. наук: 13.00.02. - М., 1973.

12. Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В., Суворова С.Б., Фирсов В.В. Дифференциация в обучении математике // Математика в школе. - 1990. №4. С. 15-21.

13. Закирова И.Б. Индивидуализация самостоятельной работы как средство умствен-ного воспитания учащихся (IV-VIII классы): Автореф. диссертации канд. пед. на-ук: 13.00.01. - М. 1973.

14. Злоцкий Г.В. Широкий спектр средств дифференциации // Математика в школе - 1991. №5. С. 8-9.

15. Кадыров И. Взаимосвязь внеклассных и факультативных занятий по математике. - Москва. 1983. С. 5-11.

16. Калмыкова З.И. Психологические принципы развивающего обучения. - М.: Знание, 1979. 48 с.

17. Кельбакиани В.Н. Контуры дифференциации в преподавании математики // Ма-тематика в школе. - 1990. №6. С. 14-15.

18. Кирсанов А.А. Индивидуализация учебной деятельности как педагогическая проблема. - Казань, 1982.

19. Кирсанов А.А. Индивидуализация учебной деятельности школьников. - Казань, 1980. 207 с.

20. Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Профильная дифференциация обучения. // Математика в школе. - 1990. С. 21-27.

21. Математическая энциклопедия. Гл. ред. М. Виноградов. Том 3. Коо - Од. М.: Советская энциклопедия, 1982, 1184 стр., ил.

22. Методика преподавания математики [Текст]: учебник для вузов / А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев [и др.] - М.: Просвещение, 1987. - 416 с.

23. Методика преподавания математики [Текст]: учебник для вузов / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин [и др.] - М.: Просвещение, 1980. - 368 с.

24. Методика преподавания математики [Текст]: учебник для вузов / Е.С. Канин, А.Я. Блох [и др.]; под ред. Р.С. Черкасова. - М.: Просвещение, 1985. - 268 с.

25. Методика преподавания математики. - Москва. 1985. С. 317-332.

26. Монахов В.М., Орлов В.А., Фирсов В.В. Дифференциация обучения в средней школе // Советская педагогика. - 1990. №8. С. 42-47.

27. Николаева Т.М. Сочетание общеклассной, групповой и индивидуальной работы учащихся на уроке как одно из средств повышения эффективности учебного процесса: Автореф. диссерт. на соискание степени канд. пед. наук: 13.00.01. - М., 1972.

28. Обойщикова, И.Г. Обучение моделированию учащихся 5 - 6 классов при изучении математики [Текст]: Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук / И.Г. Обойщикова. - Саранск, 2002.

29. Овечкин, К.А. Использование методов научного познания при изучении темы «Четырехугольники» // Познание процессов обучения физике [Текст]: сборник статей. Вып. девятый / под ред. Ю.А. Саурова. - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2008. - С. 54-59.

30. Педагогическая энциклопедия: В 2-х т. / Под ред. И.А. Каирова, Ф.Н. Петрова. - М.: Советская энциклопедия, 1964. - Т.1. 832 с.

31. Педагогическая энциклопедия: В 2-х т. / Под ред. И.А. Каирова, Ф.Н. Петрова. - М.: Советская энциклопедия, 1964. - Т.2. 912 с.

32. Петров, Е.С. Теория и методика обучения математике [Текст]: учеб.-метод. пособие для студ. мат. спец. / Е.С. Петров. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. - 84 с.

33. Петров, Е.С. Теория и методика обучения математике [Текст]: учеб.-метод. пособие для студ. мат. спец. / Е.С. Петров. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. - 84 с.

34. Погорелов, А.В. Геометрия [Текст]: учеб. для 7-11 Кл. общеобразоват. учреждений / А.В. Погорелов. - М.: Просвещение, 1990. - 384 с.

35. Погорелов, А.В. Геометрия [Текст]: учеб. для 7-11 Кл. общеобразоват. учреждений / А.В. Погорелов. - М.: Просвещение, 1990. - 384 с.

36. Полякова, Т.С. Методика обучения геометрии в основной школе: Учебное пособие для студентов педвузов и пед. колледжей. - Ростов-на-Дону: РЕПУ, 1996. -96 с.

37. Полякова, Т.С. Методика обучения геометрии в основной школе: Учебное пособие для студентов педвузов и пед. колледжей. - Ростов-на-Дону: РЕПУ, 1996. -96 с.

38. Попов В.А. Размышление учителя над итогами тестирования // Математика в школе 2000 №3

39. Попова А.А. Учет индивидуальных особенностей школьников как одно из ус-ловий повышения эффективности процесса формирования понятий: Автореферат диссертации на соискание степени канд. пед. наук: 13.00.01. - Казань, 1981.

40. Саакян С.М. Лекционно-семинарская система преподавания математики. // Математика в школе - 1987. №3. С. 8-16.

41. Самостоятельная работа учащихся в процессе обучения математике / сост. Ю.Д. Кабалевский - М.:Просвещение, 1988

42. Саранцев, Г.И. Общая методика преподавания математики: Учебное пособие для студентов мат. специальности Пед. Вузов и университетиов - Саранск: Тип. Красный Октябрь, 1999. - 208 с.

43. Саранцев, Г.И. Общая методика преподавания математики: Учебное пособие для студентов мат. специальности Пед. Вузов и университетиов - Саранск: Тип. Красный Октябрь, 1999. - 208 с.

44. Сичивица, О.М. Методы и формы научного познания [Текст] / О.М. Сичивица. - М., Высшая школа, 1993.

45. Сичивица, О.М. Методы и формы научного познания [Текст] / О.М. Сичивица. - М., Высшая школа, 1993.

46. Смирнова, И.М. Геометрия [Текст]: учеб. для 7-9 Кл. общеобразоват. учреждений / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. - М.: Просвещение, 2001. - 271 с.

47. Смирнова, И.М. Дидактические материалы по геометрии для 7-9 классов / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. - М.: Просвещение, 2004. - 205 с.

48. Теоретические основы обучения математике в средней школе: Учебное пособие / Т.А. Иванова, Е.Н. Перевосщикова [и др.] - Н. Новгород: НГПУ, 2003. - 320 с.

49. Унт И.Э. Индивидуализация и дифференциация обучения. - М.: Педагогика, 1990. 192 с.

50. Фирсов В.В. Шварцбурд С.И. Боковнев О.А. Избранные вопросы математики Москва, 1979. С. 15-18.

51. Шварцбурд С.И. и др. Состояние и перспективы факультативных занятий по математике: Пособие для учителей. - М., 1977. 48 с.

52. Щербаков Ю.И. Педагогическое руководство познавательной деятельностью младших школьников с учетом их индивидуально-типологических особенностей: Автореферат диссертации на соискание степени канд. пед. наук: 13.00.01. - М., 1980.

53. Якиманская И. Дифференцированное обучение: «внутренние» и «внешние» формы // Директор школы - 1995.

Размещено на Allbest.ru