Формирование эвристической деятельности при решении задач курса геометрии 7-9 классов

Размещено на http://www.allbest.ru/

73

Размещено на http://www.allbest.ru/

МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И ГЕОМЕТРИИ

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

ПО ТЕМЕ:

Формирование эвристической деятельности при решении задач курса геометрии 7-9 классов

Выполнил: студентка

5(96) курса д/о

Ширшикова Е.А.

Научный руководитель: Чуйкова Н.В.

МОСКВА, 2011.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава I. Психолого-педагогические основы формирования эвристической деятельности при решении задач

§ 1. Понятие эвристической деятельности

§ 2. Учебная задача как предмет эвристической деятельности

§ 3. Элементарная эвристическая деятельность при решении задач

§ 4. Элементы эвристической деятельности при решении задач

Глава II. Методические рекомендации по формированию эвристической деятельности при решении задач курса геометрии 7-9 класса

Заключение

Список литературы

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

педагогическая эвристическая задача решение геометрия

ВВЕДЕНИЕ

Однажды известного физика Альберта Эйнштейна спросили: «Как делаются открытия?» Эйнштейн ответил: «А так: все знают, что вот этого нельзя. И вдруг появляется такой человек, который не знает, что этого нельзя. Он и делает открытие». Конечно, это была лишь шутка. Но все же дело не в том, чтобы «не знать». Знать надо! А дело в том, чтобы «сомневаться».

Продуктивная учебно-познавательная деятельность невозможна без идей педагогической эвристики. Проблема познания и практического применения продуктивных качеств мышления давно интересует педагогов. Но не всякую интеллектуальную деятельность можно назвать творческой. Умственный труд может быть механическим, с однообразно повторяющимися операциями _- алгоритмами. Творчество _- это целенаправленная теоретическая и практическая деятельность людей, которая приводит к созданию новых, неизвестных ранее гипотез, теорий, методов, новой техники и технологии, произведений искусства и литературы.

Творческая, а, в частности, эвристическая деятельность способствует всестороннему развитию личности, ее интеллектуальному росту. Эвристическая деятельность упрощает поиск информации в огромном объеме имеющихся знаний, является во многих случаях универсальным средством для получения новых знаний с помощью уже имеющихся.

Все сказанное выше позволяет сделать вывод об актуальности темы данной работы.

Объектом данной работы является процесс обучения геометрии в 7-9 классах.

Целью работы является разработка методических рекомендаций по формированию эвристической деятельности при решении задач курса геометрии 7-9 классов.

Эта цель определяет предмет исследования, к которому относится методика обучения решению геометрических задач на основе эвристической деятельности.

В соответствии с объектом, целью и предметом данной работы определились ее задачи:

--изучить учебно-методическую литературу по данной теме;

--проанализировать учебные и методические пособия

--разработать методические рекомендации и системы заданий по формированию эвристической деятельности при решении задач курса геометрии 7-9 класса.

Дипломная работа имеет следующую структуру: введение, две главы, заключение, список литературы, включающий в себя 24 наименования.

Во введении обозначены актуальность, цель и задачи данной работы. В первой главе «Психолого-педагогические основы формирования эвристической деятельности при решении задач» проанализированы понятия науки эвристики, выявлены составляющие эвристической деятельности и ее элементы. Во второй главе «Методические рекомендации по формированию эвристической деятельности при решении задач курса геометрии 7-9 классов» представлены варианты решения задач. В заключении подведены итоги проделанной работы и намечены пути дальнейших исследований в этой области.

ГЛАВА I. Психолого-педагогические основы формирования эвристической деятельности при решении задач

§ 1. Понятие эвристической деятельности

1.1 Эвристика как наука

Становление и развитие эвристики проходило одновременно с развитием науки. Ученые и философы Древней Греции заметили, что для нахождения решения возникающих научных и практических задач человек применяет во многом одинаковые мыслительные и организационные действия. Слово эвристика (греч. -- обнаруживаю, отыскиваю, открываю) обозначало в Древней Греции метод обучения, применявшийся Сократом («сократическая беседа»). Структура такой беседы состояла из системы вопросов, наводящих обучаемого на правильное решение поставленной перед ним проблемы.

Дальнейшее развитие науки и возникновение кибернетики положили начало современному этапу эвристики (50-е годы), который характеризуется интенсивным изучением всех сторон продуктивного мышления. В результате на пересечении многих научных дисциплин, изучающих интеллектуальное поведение человека, синтезируя их достижения, возникла эвристика в современном ее понимании, как наука, изучающая закономерности организации интеллектуального поведения человека при решении возникающих проблем. Основополагающие идеи и закономерности этой науки, проверенные классические методы и приемы эвристического поиска представляют ту область эвристики, которую называют педагогической эвристикой. В ней они изучаются с целью последующего их применения в подготовке специалистов в различных областях человеческой деятельности и должны служить основой развития их творческого потенциала. Вне таких условий творческие задатки формируются на основе перехода количества решенных задач в качество навыков их решения, что естественно не является оптимальным путем их приобретения.

В философском аспекте эвристика выступает как наука о творчестве и как учение о методах, ускоряющих решение творческих задач.

В психологическом аспекте эвристика представляется, с одной стороны, как наука о творчестве, с другой, -- как избирательный поиск, исключающий формальные правила и обеспечивающий процесс решения сложных задач без гарантии обязательного решения.

В кибернетике эвристика используется для создания эвристических машинных программ.

«Словарь русского языка» содержал довольно емкое определение эвристики: «Эвристика -- совокупность приемов исследования, методика постановки вопросов и их решения, метод обучения при помощи наводящих вопросов, а также теория такой методики».

В данной работе используется определение эвристики как науки изучающей закономерности построения новых действий в новой ситуации.(15) Это определение показывает, что эвристическая деятельность представляет собой сложный, многоаспектный и многоплановый вид интеллектуальной деятельности человека, которая в большем объеме происходит скрыто и не поддается объективному исследованию и описанию в рамках одной науки. Поэтому эвристика синтезирует результаты различных наук и на этой основе устанавливает закономерности организации эвристической деятельности. Такими науками являются, прежде всего, психология мышления, физиология высшей нервной деятельности, философия, кибернетика, логика, педагогика и некоторые другие.

Предметом исследования эвристики является эвристическая деятельность человека, т.е. организация продуктивной интеллектуальной деятельности, основывающейся на мыслительных актах, с помощью которых проходит процесс эвристического поиска.

Основными задачами эвристики как науки является:

-познание закономерностей продуктивных процессов на основе психологических особенностей их протекания;

-выделение и описание реальных ситуаций, в которых появляется эвристическая деятельность человека или ее элементы;

-изучение принципов организации условий для эвристической деятельности;

-моделирование ситуаций, в которых человек проявляет эвристическую деятельность, с целью изучения ее протекания и научения ее организации;

-создание целенаправленных эвристических систем на основе познанных объективных закономерностей эвристической деятельности;

-конструирование технических устройств, реализующих законы эвристической деятельности.

1.2 Составляющие эвристической деятельности

Одной из основных отличительных черт человека является присущая только ему осознанная и целенаправленная деятельность, которая представляет активное взаимодействие человека с объектами окружающей действительности.

Простым элементом деятельности служит действие, которое понимается как целесообразный законченный акт поведения человека, направленный на достижение цели. Структурными звеньями действия выступают: цель действия, способ действия и результат действия. С помощью цели предварительно намечается тот результат, который будет достигнут в конце выполнения действия. Способы действия служат такому преобразованию предмета действия, которое приведет к достижению цели. Требования к результату действия составляют основу последующей коррекции процесса выполнения действия с помощью различных типов обратных связей. Все виды деятельности развиваются только на основе обучения, которое может носить непреднамеренный характер, но может быть специально организованным и целенаправленным на развитие определенной деятельности.

В ходе социально-исторического развития выделяется теоретическая или интеллектуальная деятельность. Она характеризуется тем, что происходит в «уме», посредством «умственных действий», когда человек оперирует с образами.

В процессе своей интеллектуальной деятельности человек осознал необходимость находить оптимальный путь достижения цели. Для этого использовались всевозможные науки, но и это не всегда помогало, потому что приходилось решать проблемы, не поддающиеся, по разным причинам, алгоритмизации. Поэтому на помощь приходили опыт, интуиция и воображение, которые иногда позволяли находить новые пути и методы решения. Так в процессе своей деятельности человечество стремилось создать различные приемы выработки наилучших решений для различных, конкретных ситуаций. Эти приемы основывались не только на логике, но и на различных неформальных свойствах мышления, носящих организационный характер поиска и переработки информации, взаимосвязанных с множеством других видов деятельности мышления, главным из которых оказывается логическая направленность и алгоритмическая возможность реализации определенного звена решения.

Первым шагом к достижению цели является гипотеза (греч.-- основание, предположение). Она вырабатывается в процессе эвристического поиска и направляет последующие действия на достижение цели. Как прием познавательной деятельности гипотеза представляет собой совокупность догадок о способе достижения цели. С позиции логики гипотеза рассматривается с точки зрения результата мышления (ложная или истинная гипотеза), в то время как в эвристике гипотеза исследуется как динамический механизм этого процесса.

Действовать в решении задачи без какой-либо предварительной гипотезы невозможно. Решение очевидных практических задач осуществляется на основе представлений, что эти задачи надо решать именно так в силу предшествующего опыта и стремления оптимально добиться желаемого результата. Эти представления и есть гипотеза. В более сложной задаче гипотезы выдвигаются интуитивно. Они позволяют зафиксировать область поиска, а при успешном продвижении в решении и сужении области поиска повышается роль логической обоснованности и контролируемости гипотезы. Так, в решении задачи осуществляется переход от эвристических рассуждений к логически обоснованным мыслительным действиям.

Экспериментальные исследования интеллектуальной деятельности показали, что возможность конструирования человеком новых гипотез подготовлена предшествующими стадиями развития интеллекта, т.е. интеллектуальным фоном, на котором развертывается эвристическая деятельность. Иначе говоря, координация умственных операций непосредственно связана с уровнем образования и интеллектуального развития человека. На основе такой координации формируется способность к решению все более сложных задач. Фактор развитого интеллектуального фона резко снижает крайности в решениях и увеличивает наиболее оптимальное состояние между выдвижением гипотез и критичностью их оценок.

Итак, гипотеза может выступать как продукт организации мышления в эвристическом поиске. Однако не только этот вид деятельности может формировать гипотезу. Существует бессознательный вид деятельности, протекающей на основе спонтанных актов мышления, которыми мы не можем управлять. Подсознательная работа мышления осуществляется и в периоды перерыва в сознательной работе. «Утро вечера мудренее» -- эта пословица как раз и регулирует такую ситуацию. Однако «после перерыва проясняются лишь те задачи, над решением которых мы напряженно работали. По-видимому, чтобы вызвать подсознательную деятельность, совершенно необходимо сознательное усилие и напряжение. В противном случае все было бы чересчур просто, при решении трудных задач можно было бы лечь спать и спокойно ждать появления счастливой идеи».(12)

Существенное значение в эвристическом поиске имеет интуиция (лат. -- пристально смотрю). Интуиция -- это способность непосредственного постижения возможного результата деятельности и путей его достижения без предварительного логико-эвристического рассуждения. Она связана как с накопленным опытом и знаниями, так и врожденными задатками, которые в совокупности определяют способность человеческого мозга совершать «скачки» в процессе познания.

Интуитивная деятельность представляет одно из проявлений эвристической, результаты которой появляются до того, как они будут обоснованны средствами логического вывода. Она является бессознательной формой психической деятельности, которая использует временно неосознаваемую и тем самым исключенную из активной работы сознания информацию. Интуиция играет вспомогательную роль в процессе познания действительности и не является принципиальным отклонением от обычных путей познания. За способностью «внезапно» угадывать результат или способ его получения на самом деле стоят накопленный опыт и приобретенные ранее знания.

Роль подсознания очевидна во всякой интеллектуальной деятельности -- научной или учебной. Однако необходимо учитывать, что интуитивное познание представляет разновидность эвристической деятельности, поэтому может вырабатывать и ложные гипотезы.

Развитие интуиции связано как с индивидуальными особенностями интуитивного акта, так и с приобретением опыта и развитием общего интеллекта.

Перейдем к характеристике воображения как специфической функции мышления. Воображение, или фантазия, -- это создание в процессе мышления новых образов на основе прошлых восприятий и имеющихся понятий. Восприятие позволяет человеку создавать образы настоящего, память-- прошлого, воображение как форма мышления позволяет это сделать в отношении будущего. Стремление заглянуть в будущее присуще человеку с момента его возникновения и обусловлено самой природой мыслительного процесса. Поэтому воображение -- одно из условий продуктивного мышления. Воображение возникает в трудовой деятельности человека, которая без него не могла бы быть целесообразной и плодотворной, поскольку всякий процесс труда начинается с идеального представления о конечном результате.

Продуктом воображения является идеал как образ должного и мечта как образ желаемого.

Успех воображения зависит от глубины знания закономерностей развития интересующего объекта, от умения выявить направление дальнейшего развития этого объекта и от того, насколько ясно осознанна цель исследования. Таким образом, «специфическая функция воображения состоит в способности видеть действительность так, как она не может быть увидена при обычном восприятии».(24)

Рассмотренные свойства и функции воображения позволяют определить его место в эвристической деятельности человека. Прежде всего, само воображение выполняет эвристические функции, устанавливая связь между настоящим, существующим объектом и его состоянием в будущем, видоизмененном образе, который является целью. Таким объектом может выступать и учебная задача, преобразование которой происходит на основе воображения и результатом которого может стать гипотеза решения. Достаточно развитое воображение представляет основу последующего продуктивного мышления.

Т.о. эвристическая деятельность -- это специфическая человеческая форма активного отношения к окружающему миру, в основе которой находится не только логическое мышление, но и различные его эвристические формы (интуиция, воображение), в совокупности направленные на целесообразное изменение и преобразование информации, которое логическим путем не достижимо.

1.3 Педагогика и эвристика

Одной из основных целей общего образования является развитие системы познавательно-продуктивных качеств мышления, которые являются составляющими творческого потенциала и в совокупности определяют умение осуществлять эвристическую деятельность, одну из главных видов интеллектуальной деятельности человека. Между тем непосредственного отражения в учебниках, программах и учебных планах она не нашла и только декларируется необходимость ее достижения. Тем самым предполагается, что развитие эвристических качеств мышления возможно достичь естественным путем, в процессе усвоения основ наук, как обязательный побочный продукт любого обучения. Однако практика показывает несостоятельность такого подхода к решению проблемы, так как полученная сумма знаний, даже достаточно усвоенных, не гарантирует развитие у обучаемого навыков эвристической интеллектуальной деятельности в виде определенных мыслительных операций Эвристическая операция -- мысленное действие, основанное на операциях мышления (индукции, аналогии и т.д.), направленное на получение новой информации и преобразование существующей. и систем Эвристическая система -- система действий по поиску новой информации для достижения цели.. Без целенаправленного развития в процессе обучения они формируются, но формируются стихийно, не на основе оптимальной количественно-качественной закономерности. Кроме того, качества мышления, заложенные генетически и приобретенные в процессе психического развития, но невостребованные и систематически не развитые, в дальнейшем затухают. Добиться обратного результата возможно только на основе целенаправленного изучения и применения на практике основ эвристики.

Для дидактически обоснованных рекомендаций по научению эвристической деятельности существенное значение имеют уровни обучения как степень последовательно повышаемого познания в процессе освоения учебных дисциплин. Можно выделить четыре уровня обучения:

--уровень идентификации. Обучаемый распознает объекты изучения в ряду подобных;

--уровень репродукции основывается на памяти и понимании особенностей предмета изучения;

--уровень умения применять усвоенную информацию в практическом плане для некоторого класса задач и получения новой информации на основе использованного образца деятельности;

--уровень «трансформации», позволяющей ориентироваться в новых ситуациях и вырабатывать принципиально новую программу действий. Уровни обучения разработаны В.П. Беспалко..

Некоторые исследователи придерживаются трех уровней усвоения:

--уровень восприятия, осмысления и запоминания:

--уровень применения знаний в сходной ситуации, по определенному образцу;

--уровень применения знаний в новой ситуации.

Независимо от степени дифференциации уровней обучения (усвоения) последний уровень в обоих случаях представляет ту ступень развития, на которой требуются навыки эвристической деятельности и без которых их дальнейшее развитие будет осуществляться стихийно, не на основе оптимального перехода количества решенных задач в качестве мышления.

Рассмотренные уровни отвечают четырем стадиям развития у детей способности осознания собственных мыслительных процессов:

8-9 лет	-- отсутствие самонаблюдения, направленного на собственные процессы;
9-10 лет	-- начальное проявление осознания собственных мыслительных процессов;
11-12 лет	-- начальное проявление осознания собственных мыслительных процессов;
14-15 лет	-- осознание формальных операций своего мышления.(10)

В настоящее время некоторые исследования обнаружили сдвиг градации в сторону уменьшения, который объясняется большой информированностью окружающей ребенка среды. «К 11-15 годам у детей полностью развивается способность к формальному мышлению и рассуждению посредством гипотез; практически они действуют на уровне возможностей взрослого».(13)

Эти стадии должны быть положены в основу разработок частных методик эвристической деятельности на ранних этапах их применения в учебном процессе. Дело в том, что эвристическая деятельность в основе своей происходит как мыслительный эксперимент, поэтому она в развернутом виде возможна только с того возраста, когда сформулировано отчетливое осознание формальных операций мышления. До этого можно говорить только о развитии ее элементов, хотя проблема во многом не исследована.

§ 2. Учебная задача как предмет эвристической деятельности

Эвристические функции мышления реализуются в учебном процессе как познавательно-продуктивная деятельность по усвоения методов конкретной учебной дисциплины. В ходе такого познания большое значение имеют учебные задачи, которые призваны имитировать реальную действительность, выполняя различные дидактические функции и, прежде всего, формируя тот комплекс умений и навыков, который позволяет применять полученные знания в последующей учебной и практической деятельности. Именно поэтому обоснованные дидактические принципы и методические особенности обучения решению задач играют доминирующую роль в общей системе учебных дисциплин.

Психологическое понимание задачи подчеркивает функциональную ее характеристику как цели, данной в определенных условиях. Условия могут подсказывать пути достижения цели, а цель регулировать их поиск. Поиск, мобилизация и применение средств (действий, операций, способов) составляют процесс решения задачи. Этот процесс состоит из динамической взаимосвязи этих действий, носящих частично логический характер, частично характеризующихся эвристическими качествами. Определяющая роль мышления в познании придает понятию «задача» более широкое значение как объекта мыслительной деятельности, содержащего требование некоторого практического преобразования или ответа на теоретический вопрос посредством поиска условий, выявляющих отношение между известными и неизвестными элементами задачи.

Из всех дидактических функций задач в педагогической эвристике наибольшее внимание уделяется развивающей функции, которая оптимально реализуется при соответствии обучения психологическим закономерностям мышления и позволяет формировать у обучаемого эвристические мыслительные действия.

Наиболее общими компонентами задачи, несущими определенную информационную нагрузку, являются форма, структура и содержание.

Форма задачи выражает внутреннюю организацию и взаимодействие элементов задачи как между собой, так и с внешними условиями. В математике по форме могут быть «задачи на нахождение», «задачи на доказательство», «задачи (теоремы) на существование» и т.п. Внутренняя организация, например, «задачи на нахождение» направлена на нахождение информации о рассматриваемом объекте в виде величины его площади, длины какого-нибудь элемента и т.д. Когда ставится «задача на доказательство», то ее форма организована так, что направлена на установление истинности или ложности некоторого утверждения. «Задачи существования» устанавливают, при каких условиях имеются решения и условия, при соблюдении которых существует тот или иной математический объект.

Форма -- это способ существования определенной задачи, однако, она является относительно независимым ее компонентом, так как возможны случаи эквивалентной трансформации одной формы в другую. Это становится даже необходимым в эвристическом поиске, так как форма может как способствовать решению задачи, так и препятствовать.

Вторым компонентом задачи является ее структура, которая определяется как совокупность достаточно доступных объектов с конкретно описанной связью между ними, которая представляет однозначную организацию совокупности.

Структура задачи позволяет регулировать качественную характеристику задачи -- сложность, которая частично определяется количеством структурных элементов и видом связей между ними. Тем самым на этой основе возможно проектировать увеличение мыслительной нагрузки не только по количественным, но и по качественным параметрам. При этом под мыслительной нагрузкой понимается степень интенсивности мыслительной активности, выражающаяся в характере преобразования системы задачи.

Одним из основных условий организации эвристического поиска является создание новой для обучаемого ситуации. Созданная ситуация не обязательно содержит новые структурные элементы. Она может базироваться и на известных элементах, но с необычной их комбинацией (необычной структурой).

Теперь перейдем к рассмотрению последней компоненты -- содержание задачи. Если в заданной форме определены структурные элементы, связи между ними и определены данные и неизвестные элементы структурных объектов, то это и определяет содержание задачи. Содержание есть ведущая компонента задачи, на основе которой начинается процесс решения.

Особое значение в содержании задачи имеют данные. Данные могут быть чрезмерными, если они содержат лишние части, которые являются следствием остальных. Они могут быть противоречивыми, если их части несовместимы, так что не существует ни одного объекта, удовлетворяющего этим взаимно исключающим друг друга частям. Учебные задачи, как правило, построены так, что они содержат необходимое и достаточное число данных для нахождения неизвестных при данной структурной связи. Наибольшие затруднения вызывают задачи, в которых необходимо рассмотреть два-три варианта, исчерпывающие все случаи, о чем прямо в задаче не сказано.

Основные компоненты задачи несут различную (явную и скрытую) информационную нагрузку. Если форма задачи представляет «задачу на доказательство», то необходимо вывести истинность или ложность математического предположения на основании ранее доказанных теорем, определений, первичных понятий и аксиом. При доказательстве нельзя опираться на наглядность, очевидность, интуицию, на жизненные представления. Однако, чтобы доказать ложность какого-то утверждения, достаточно привести хотя бы один пример, опровергающий это утверждение. Для всего этого нужна информация, которой можно было бы оперировать в этих действиях.

В «задаче на нахождение» необходимо устанавливать логический путь, который приводит к цели. Для этого тоже необходима информация, часто в явном виде не содержащаяся в задаче. Таким образом, форма задачи направлена при ее решении на поиск способов действий, чтобы доказать или найти неизвестную величину. Способ действия может быть один из известных или новый, состоящий из комбинации уже известных.

Структура задачи, в свою очередь, тоже дает информацию для решения задачи. Структурный элемент, например, «равнобедренный треугольник», представляет детерминированную систему с информацией, заложенной в определение этого объекта, которую обычно называют свойством объекта. Так, понятие «равнобедренный треугольник» несет следующую информацию -- это треугольник, у которого боковые стороны равны. Третья сторона называется основанием. В общем случае равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии, углы при основании равны. Биссектриса, высота, медиана, проведенные из вершины на основание, совпадают. Точки пересечения трех высот, трех медиан, трех биссектрис -- точки, лежащие на биссектрисе угла при вершине и не совпадают друг с другом, и т.д.

Более определенную информационную нагрузку несет содержание задачи. В нем конкретизированы (заданы) элементы структуры. По этим элементам, используя связи между элементами структуры, можно находить другие элементы. Эвристический поиск заключается в нахождении той информации об элементах, которая является основой для достижения цели.

§ 3. Элементарная эвристическая деятельность при решении задач

В общем процессе решения задачи элементарная эвристическая деятельность представляет собой изначальный этап, который направлен на осознание задачи, осуществления поиска недостающей для решения информации и выявление ее внешних и внутренних связей. Тем самым она направлена на уяснение, систематизацию и выяснение той информации, которая в задаче содержится в явном виде. Элементарность этой деятельности относится к пониманию необходимости ее существования, но не к ее значимости, которую трудно переоценить. Практически невозможно решить задачу, не осуществив элементарную эвристическую деятельность.

В процессе решения задачи необходимо многократно переформулировать задачу, формулировать вспомогательные и т.д., но исходная информация задачи всегда должна оставаться тем ориентиром, который должен указывать направление мышлению. Вся последующая работа по решению задачи основывается на элементарной эвристической деятельности, зависит от качества ее проведения и направляется ею.

Задача в упрощенном понимании -- это вопрос, для ответа на который необходимо собрать недостающую информацию. Пытаться отвечать на вопрос, который не понят, формировать информацию для достижения цели, которая не осознанна, -- это те основные обстоятельств, которые мешают успешному эвристическому поиску. Однако если обучаемый не достиг полного понимания задачи и интереса к ней, то это не всегда его вина. Задача должна быть умело выбрана, она должна быть не слишком трудной и не слишком легкой, быть естественной и интересной, причем некоторое время необходимо уделять для ее естественной и интересной интерпретации.

На первом этапе элементарной эвристической деятельности ставиться цель достижение осознанного понимания словесной формулировки задачи. Здесь уместны вопросы такого типа:

Какова форма задачи?

Какие объекты включает структура задачи? Какую информацию несет каждый структурный объект?

Каковы структурные связи?

В чем заключается содержание задачи?

Что неизвестно?

Для чего могут пригодиться данные задачи?

Что можно из них вывести? и т.д.

Для проверки понимания задачи недостаточно, чтобы обучаемый мог полностью или фрагментарно повторить ее. Учитель должен различными вопросами проблемного характера заставить взглянуть на один и тот же факт или объект задачи с различных сторон, чтобы оценить «контактность» объекта задачи с другими данными или внешней информацией. На этом этапе необходимо полное понимание сущности поставленной задачи.

На втором этапе необходимо полностью установить и выявить информационные связи различных объектов задачи и развить выявленную на первом этапе связь с внешней информацией, рассмотреть точки соприкосновения с ранее приобретенным опытом. Таким образом, обучаемый должен внимательно, многократно и с разных сторон рассмотреть все компоненты задачи, их внешние и внутренние связи и осуществить составление плана решения задачи. На третьем этапе осуществляется план решения, на четвертом -- изучение полученного результата.

Многие учебные задачи позволяют подойти к решению на основе элементарной эвристической деятельности. Такие задачи имеют небольшой информационный разрыв между известными и неизвестными, который ликвидируется с ее помощью. Методику решения задач по математике такого уровня разработал Д. Пойа, представив ее в своей книге (12) в виде итоговой таблицы, которая регулирует проведение элементарной эвристической деятельности.

Как решать задачу

Понимание постановки задачи

I Нужно ясно понять задачу.	Что неизвестно? Что дано? В чем состоит условие? Возможно ли удовлетворить условию? Достаточно ли условие для определения неизвестного? Или чрезмерно? Или противоречиво? Сделайте чертеж. Введите подходящие обозначения. Разделите условие на части. Постарайтесь записать их.

Составление плана решения

II Нужно найти связь между данными и неизвестными. Если сразу не удается обнаружить эту связь, возможно, полезно будет рассмотреть вспомогательные задачи. В конечном счете, необходимо прийти к плану решения.	Не встречалась ли вам раньше эта задача? Хотя бы в несколько другой форме? Известна ли вам какая-нибудь родственная задача? Не знаете ли, теоремы, которая могла бы оказаться полезной? Рассмотрите неизвестное! И постарайтесь вспомнить знакомую задачу с тем же или подобным неизвестным. Вот задача, родственная данной и уже решенная. Нельзя ли воспользоваться ею? Нельзя ли применить ее результат? Нельзя ли использовать метод ее решения? Не следует ли ввести какой-нибудь вспомогательный элемент, чтобы стало возможно воспользоваться прежней задачей? Нельзя ли иначе сформулировать задачу? Еще иначе? Вернитесь к определениям. Если не удается решить данную задачу, попытайтесь сначала решить сходную. Нельзя ли придумать более доступную сходную задачу? Более общую? Более частную? Аналогичную задачу? Нельзя ли решить часть задачи? Сохраните только часть условия, отбросив остальную часть: насколько определенным окажется тогда неизвестное; как оно сможет меняться? Нельзя ли извлечь что-либо полезное из данных? Нельзя ли придумать новые данные, из которых можно было бы определить неизвестное? Нельзя ли изменить неизвестное, или данные, или, если необходимо, и то и другое, так чтобы новое неизвестное и новые данные оказались ближе друг к другу. Все ли данные вами использованы? Все ли условие? Приняты ли вами во внимание все существенные понятия, содержащиеся в задаче?

Осуществление плана

III Нужно осуществить план решения.	Осуществите план решения, контролируйте каждый свой шаг. Ясно ли вам, что предпринятый вами шаг правилен? Сумеете ли доказать, что он правилен?

Взгляд назад (изучение полученного решения)

IV Нужно изучить найденное решение.	Нельзя ли проверить результат? Нельзя ли проверить ход решения? Нельзя ли получить тот же результат иначе? Нельзя ли усмотреть его с одного взгляда? Нельзя ли в какой-нибудь другой задаче использовать полученный результат или метод решения?

В таблице сконцентрированы наиболее типичные наводящие вопросы, призванные помочь обучаемому в подходе к решению. Эта помощь, по мнению Д. Пойа, должна быть осторожной, неназойливой и оставлять обучаемому разумную долю работы. Вопросы таблицы рассматривают типичные мыслительные процессы, приносящие пользу при решении математических учебных «задач на нахождение». При решении задач на доказательство таблица требует некоторой модификации. Советы и вопросы таблицы обладают достаточной общностью, но, тем не менее, они просты, очевидны и естественны, так как имеют своим источником простой здравый смысл.

Составление плана решения задачи. Главным вопросом решения задачи всегда является план, составление которого основано как на правдоподобных рассуждениях, эвристических операциях, так и на логике. В общем случае составление плана решения начинается с нахождения эвристической стратегии. Решение -- это цель, к которой невозможно прийти сразу, и поэтому необходимо составить правдоподобный план как систему возможных действий для достижения цели. На основе имеющегося опыта цель способна подсказывать средства для ее достижения. При этом выстраивается цепочка следующего вида: нам нужно получить A. Это можно сделать с помощью B. Но B можно получить, если бы имели C, и т.д. Такую цепочку возможно представить так: A если B; B если C; C если D; D если E.

Составление и реализация плана идут в противоположных направлениях. Если движение в направлении цели A рассматривается как прямое направление, то при составлении плана мы продвигаемся в обратном направлении. Такую стратегию решения задач называют продвижением от конца к началу или анализом. Если же мы продвигаемся в противоположном направлении от E к A, то такую стратегию называют продвижением от начала к концу или синтезом. Таким образом, эвристический поиск решения проводится на основе анализа. Если же последовательность действий для достижения цели известна решающему задачу, то он сразу составляет план в прямом направлении на основе синтеза. Такой подход к решению реализуется при системе алгоритмических действий.

Рассмотрим наиболее характерные черты, методы реализации анализа и синтеза в практике их применения. Анализ (греч. -- разложение, расчленение, разбор) -- метод научного исследования и форма мышления, состоящая в том, что изучаемый объект мысленно или фактически расчленяется на составные элементы, каждый из которых исследуется самостоятельно, для того, чтобы исследованные в ходе анализа элементы с помощью синтеза (греч. -- соединение, сочетание) соединить в целое, обогащенное новыми знаниями об исходном объекте. В ходе анализа-синтеза изучаются как свойства, так и причинно-следственная связь, при этом анализ -- это переход от следствия к причине, а синтез -- от причины к следствию.

В практическом применении анализ есть изобретение, а синтез -- исполнение. На основе анализа-синтеза возможно и продвижение в обоих направлениях. Доля каждой из них зависит от трудности задачи, опыта решающего и других субъективных факторов. Наибольшую психологическую трудность представляет анализ, так как требует удаления от цели и чем дальше, тем цель все менее направляет действия. Но это наиболее естественно -- продвигаться в направлении от неизвестных к данным в фазе составления плана в прямом направлении при его реализации. Синтез не представляет психологической трудности, так как основан на том, что решающий задачу при составлении плана использует известные ему идеи и действия. Выбор такого типа действий основан на том, что предъявленная задача носит для него репродуктивный характер.

Часто трудно сформулировать окончательный план, в котором нет разрывов. Мы не находим некоторые идеи, чтобы ликвидировать разрыв, однако приступаем к его реализации в надежде, что появиться какая-нибудь идея и с ее помощью разрыв ликвидируется. Таким образом, приступить к реализации плана можно и без полной его готовности, т.е. дорабатывать его в процессе реализации, тем самым, выполняя его действия и по составлению плана, и по его реализации одновременно, что может способствовать появлению новых идей.

§ 4. Элементы эвристической деятельности при решении задач

4.1 Редукция

Редукция (лат. -- приводить обратно, возвращать) -- сведение исходной задачи к вспомогательной или их системе, решение которых более доступно и позволяет возвратиться к успешному и осознанному поиску решения исходной задачи. Редукция представляет один из видов эвристических стратегий. Для описания принципиальных процессов организации вспомогательных задач введем основные понятия.

Две задачи называются эквивалентными, если решение любой из них делает очевидным решение другой. Переход от исходной задачи к эквивалентной будем называть двусторонней или обратимой редукцией. Этот способ сведения исходной задачи к вспомогательной представляет собой наиболее желательный способ формулировки вспомогательной задачи. Однако такой эквивалентный переход не всегда возможен, поэтому приходится часто пользоваться односторонней редукцией.

Редукция представляет собой организацию мыслительной деятельности для сведения исходной задачи к вспомогательной или их системе с применением каких-либо эвристических операций, без этого или с помощью дедукции. Какая операция приведет к успеху -- это предмет поиска. Полезность вспомогательной задачи определятся тем, насколько она приближает к решению исходной задачи. Приближение способно носить следующий характер:

--может использоваться метод решения вспомогательной задачи, его идея;

--может использоваться результат вспомогательной задачи в решении основной;

--может оказать стимулирующее влияние на поиск основной задачи, т.е. сделать исходную задачу более понятной и доступной.

Последнее положение основано на том, что основная задача требует привлечения идей, с которыми обучаемый, возможно, не привык иметь дело. Вот в этом случае и целесообразно попробовать решить более легкую задачу, содержащую те же основные идеи. Такая задача становиться отдаленно косвенной вспомогательной задачей.

Хорошо продуманная учителем вспомогательная задача всегда полезна как психологически стимулирующее средство. Серьезная учебная задача требует большого напряжения, поэтому наше внимание занято, если удалось наметить план решения и работа продвигается успешно. Интерес к работе поддерживается (стимулируется) рассмотрением новых шагов решения, т.е. продвижением. Но если не удается достичь хотя бы некоторого успеха, то от напряженного сосредоточенного внимания на задаче у обучаемого наступает усталость. Интерес падает, внимание колеблется, мысли отвлекаются. Чтобы этого избежать, необходимо в определенный момент такой ситуации использовать вспомогательную задачу. Этим можно удержать внимание и продолжить поиск решения, так как вспомогательная задача выявляет новые стороны исходной задачи, дает надежду на нахождение решения, тем самым стимулирует интерес.

Эффективную помощь могут оказать и вспомогательные элементы, которые представляют средство сведения исходной задачи к ранее решенной. Вводя соответствующие вспомогательные элементы, мы целенаправленно изменяем ее к виду, который нам знаком, а решение известно. Однако вводить вспомогательные элементы надо с предварительным обоснованием логического или эвристического характера.

4.2 Индукция

Индукция (лат. -- наведение) -- один из типов умозаключения и метод исследования как путь опытного изучения явлений, в ходе которого от отдельных фактов совершается переход к обобщающим выводам. Отдельные факты выполняют наводящую, т.е. эвристическую, роль. На их основе формируется гипотеза, которая должна выполнять объединяющую функцию для формулировки эвристического вывода.

Полная индукция -- вид индуктивного умозаключения, в результате которого делается общий вывод обо всем классе объектов на основании знаний обо всех без исключения объектах этого класса.

Знания, полученные на основании полной индукции, основанной на истинных посылках, вполне достоверна. Однако полная индукция не дает знаний о других объектах, которые не встречаются в посылках, но она раскрывает рассматриваемые предметы в некотором новом свете.

Неполная индукция -- вид индуктивного умозаключения, в результате которого получается какой-либо общий вывод обо всем множестве объектов на основании знания лишь некоторых объектов данного множества.

Неполная индукция называется еще расширяющей индукцией, так как она в своем заключении содержит большую информации, чем та информация, которая содержалась в посылках. Тем самым неполная индукция более продуктивна в эвристическом смысле, чем полная индукция, в силу догадки о наличии какой-то закономерности или факта.

Индуктивные умозаключения в общем случае являются эвристическими знаниями, так как установить их достоверность без специальных исследований возможно лишь в крайне простых случаях.

Индукция может выступать как форма изложения учебного материала. В этом случае идут от изложения частных положений и фактов к общим заключениям. Роль и значение индуктивных выводов в познании объективных закономерностей очень велики, поэтому построение учебного процесса необходимо осуществлять так, чтобы в нем имели место не только доказательные рассуждения, но и индуктивные (опытные, экспериментальные), позволяющие учащимся догадываться о существовании закономерностей, прежде чем их обосновывать.

Противоположный характер носит дедукция (лат. -- выведение) -- форма мышления, когда новая мысль выводится по законам логики из имеющегося знания. Дедуктивный переход не является, строго говоря, эвристической операцией, но часто используется в эвристическом поиске как его элемент. Так, например, нам надо доказать (опровергнуть) некоторое утверждение A, что мы не смогли сделать. Однако нам удалось сформулировать и доказать более общее (сильное) утверждение B. На основе дедукции мы тем самым доказали A. Такие исследования, основанные на классической логике и дедукции, получили название дедуктивной эвристики.

4.3 Аналогия

Аналогия (греч. -- соответствие, сходство) -- нетождественная пропорция, соответствие, сходство, соразмерность предметов в каких-либо свойствах, признаках или отношениях, причем таких объектах, которые в целом различны. Умозаключения по аналогии -- это эвристический вывод, в результате которого достигается вероятное знание о признаках одного объекта на основании знания того, что этот объект имеет сходство с другими объектами. Однако, результат любой, самой верной аналогии должен проверяться на практике методами конкретной науки.

Во многих методиках Например, синектическая -- «профессиональный мозговой штурм», система методов интенсивной психологической активизации процессов нахождения решения проблемы. поиска гипотез решения и активизации мыслительной деятельности аналогию подразделяют на четыре вида: прямая аналогия, личная аналогия, символическая аналогия, фантастическая аналогия.

Прямая аналогия рассматривает объект (процесс) в сравнении с аналогичным объектом (процессом) из другой научной области или даже из живой природы. На этой основе предпринимается попытка применить готовое решение из другой области.

Личная аналогия (эмпатия), или персональная аналогия, рассматривает возможность отождествления исследователя с объектом (процессом). Решая задачу, исследователь вживается в образ объекта, тем самым пытается почувствовать задачу. Этим возможно добиться лучшего его понимания, условий и ведущих факторов ее решения.

Символическая аналогия -- аналогия обобщения, когда требуется кратко сформулировать фразу, которая отражает суть явления.

Фантастическая аналогия основывается на введении в задачу фантастических средств и персонажей, которые направлены на выполнение требования задачи. Такой подход к решению активизирует эвристическую деятельность.

4.4 Обобщение

Обобщение (лат. -- сводить к общим законам, правилам)-- переход от рассмотрения менее емкого множества объектов к более емкому, содержащему первоначальное множество, в процессе исследования интересующих нас свойств этих объектов.

Когда мы имеем дело с единичным объектом, то достаточно одного существенного признака для того, чтобы образовать о нем понятие. Сложнее, если требуется образовать понятие о множестве объектов. В этом случае вначале отыскиваются и абстрагируются общие признаки для каждого отдельного объекта данного множества объектов. Затем из этих общих признаков отбираются только такие признаки, которые являются для них существенными, т.е. происходит мысленное обобщение признаков, которое представляет эвристическую операцию перехода к обобщенной гипотезе. В общем случае этот переход есть односторонняя редукция к более результативной задаче. Некоторые исследователи отмечают парадокс: более общая задача имеет больше шансов быть решенной, что в общем-то закономерно, так как к более общей задаче, сформулированной без мелких, несущественных деталей, применимы мощные общие методы.

4.5 Специализация и суперпозиция

Специализация -- переход от рассмотрения данного множества объектов к рассмотрению подмножества объектов исходного множества. Прибегая к специализации, мы стараемся выделить более доступную ее часть задачи. Специализация как эвристическая операция представляет один из видов односторонней редукции к менее результативной задаче.

Специализация преследует цель выявить свойство на частных случаях, в которых оно должно проявляться. Часто специализация используется для опровержения некоторого утверждения. Чтобы опровергнуть, мы специализируемся, т.е. находим такой элемент множества, который не соответствует общему правилу.

Специализация может выступать как элемент метода суперпозиций (лат. -- наложение) частных случаев. Таким образом, отправляясь от ведущего частного случая, найденного на основе специализации, мы находим общее решение с помощью суперпозиции частных случаев.

4.6 Симметрия

Симметрия (лат. -- соразмерность) -- вид отношения между некоторыми объектами или частями целого, которое не меняет вида отношения при перестановке объектов или его частей. Так, отношение «равновелики» (равные по площади) симметричное, так как если фигура A равновелика B, то и B равновелика A.

Асимметричное отношение влечет за собой изменение существующего отношения при перестановке объектов или его частей. Так, отношение больше асимметрично, так как если a>b истинно, то b>a ложно.

Несимметричное отношение -- это такое отношение, которое не является ни симметричным, ни асимметричным.

Симметричные отношения играют значительную роль при эвристическом поиске решения, в частности при формулировке вспомогательных задач. Так, если в задаче имеются симметричные элементы или есть возможность их ввести, то, учитывая их, бывает выгодно использовать взаимно заменяемые части и применять одинаковые подходы к тем элементам, которые выполняют одни и те же функции.

Эвристическую симметрию в более обобщенном виде называют инверсией (лат. -- переворачивание, перестановка). Инверсия является простым и мощным методом получения новых представления о задаче или ее объектах. Инверсионное мышление характеризуется нежеланием придерживаться общепринятой позиции или взгляда. Оно легко и свободно смещает внимание с различных частей проблемы. Инверсионное мышление часто противопоставляется инерционному, которое характеризуется большой силой и означает настойчивое желание «идти по проторенной дорожке». Оно представляет наиболее серьезную помеху творческой деятельности. Однако инверсионное мышление реализуется в тесной взаимосвязи с другими операциями мышления.

4.7 Сравнение

Сравнение -- один из основных приемов познания окружающего мира, один из приемов ознакомления с предметом в тех случаях, когда определение понятия невозможно или не требуется. Сравнение состоит в сопоставлении объектов с целью выявить черты сходства и различия между ними и представляет собой эвристическую операция или стратегию.

Познание любого объекта и явления начинается с того, что мы его отличаем от всех других объектов, и устанавливается сходство его с родственными объектами. Познание представляет процесс, в котором различение и сходство находятся в неразрывном единстве, поэтому сравнение применяется во взаимосвязи со всеми мыслительными процессами.

Значение сравнения в процессе познания достаточно велико, однако одно сравнение не может дать исчерпывающего знания. Познать -- это не только найти сходство и различие, но и определить сущность.

Познавательная ценность процесса сравнения заключается не только и не столько в установлении отношений тождества и различия между сравниваемыми объектами, сколько в характеристике одного из сравниваемых объектов относительно другого.

Итак, при всем различии определений и функций эвристической деятельности во всех случаях проявляется характер деятельности, направленной на редуцирование исходной задачи. Именно поэтому ведущим элементом является редукция, сведение исходной задачи к такой вспомогательной, которая усиливает информационное обеспечение эвристического поиска.