Методика преподавания темы "Изображение пространственных фигур" углублённого курса геометрии старших классов

Обозначим её A'. Соответствие, при котором точкам A пространства сопоставляются их центральные проекции A', называется центральным проектированием, или перспективой.

Следует заметить, что вовсе не для любой точки пространства определена её центральная проекция. Если рассмотреть случай, когда прямая a и плоскость р параллельны, то точка A на эту плоскость проекции не имеет.

Если мы рассмотрим некоторую фигуру Ц в пространстве, то проекции всех её точек на плоскость р образуют фигуру Ц', которая называется центральной проекцией фигуры Ц на плоскость р.

Теорема. Если плоская фигура F расположена в плоскости б, параллельной плоскости проектирования р, то её центральной проекцией будет фигура F', подобная F, причём коэффициент подобия k будет равен отношению расстояний от центра S до плоскостей р и б (рис. 22).

Доказательство. Зададим преобразование фигуры F в фигуру F', сопоставляя каждой точке фигуры F её центральную проекцию. Через центр S перпендикулярно плоскости р проведём прямую. Исходя из того, что по условию плоскости р и б параллельны, эта прямая будет перпендикулярна и плоскости б. Обозначим точки пересечения этой прямой с плоскостями б и р буквами C и C'

соответственно. Для точек A и B фигуры F на плоскости б рассмотрим их центральные проекции соответственно A' и B'. Образовались треугольники ABS, A'B'S и ACS, A'C'S. Заметим, что эти треугольники подобны, и коэффициент подобия k равен отношению длин соответственных сторон SC: SC'.

Таким образом, определённое преобразование фигуры F в фигуру F' изменяет расстояние между точками в одно и то же число раз. Значит, можно сделать вывод, что фигуры F и F' подобны.

Выясним, в какую фигуру при центральном проектировании переходит прямая.

Пусть прямая a пересекает плоскость проектирования р, а центр проектирования S не принадлежит прямой a. Найдём проекцию этой прямой на плоскость р. Через прямую a и центр проектирования S проведём плоскость б, обозначим линию её пересечения с плоскостью р через a' (рис. 23).

Через точку S, принадлежащую плоскости б, проведём прямую s, параллельную прямой а, и обозначим точку её пересечения с прямой a' через S'. Заметим, что все точки прямой a, кроме точки B, имеют проекции на плоскость р. Для точки В, поскольку SB параллельна плоскости р, проекции не существует. Значит, прямая а', без точки S', является искомой проекцией прямой a (без точки B) на плоскость р.

Выясним, в какие фигуры могут переходить параллельные прямые при центральном проектировании. Мы знаем, что при параллельном проектировании параллельные прямые переходят или в параллельные прямые, или в одну прямую, или в две точки, что определяется расположением этих прямых относительно направления проектирования. Оказывается, при центральном проектировании параллельные прямые могут переходить и в пересекающиеся прямые.

Пусть прямые а и b параллельны и пересекают плоскость р, а центр проектирования не принадлежит плоскости этих прямых (рис. 24). Тогда, повторяя предыдущие построения для прямых а и b, получим, что их проекциями будут служить пересекающиеся прямые а' и b', за исключением их общей точки S'. Зрительный эффект, при котором кажется, что параллельные прямые пересекаются, может возникнуть, когда мы смотрим на параллельно натянутые провода; железнодорожные рельсы; длинную, ровную, уходящую вдаль дорогу и т. п.

Рассмотрим изображения куба в различных центральных проекциях. На рисунке 25 изображён куб в центральной проекции на плоскость, параллельную грани ABB1A1.

На рисунке 26 изображён куб в центральной проекции на плоскость, параллельную ребру BB1, но не параллельную его граням.

На рисунке 27 изображён куб в центральной проекции на плоскость, не параллельную ни одному его ребру.

Заключение

индивидуализация учебный интеллектуальный

Проведённое теоретическое и экспериментальное исследование позволяет сделать следующие выводы.

1) Проведён анализ исторической, психолого-педагогической, учебно-методической и математической литературы, на основании которого определились психолого-педагогические и методические особенности преподавания геометрии в старших классах.

2) Разработана методика преподавания темы «Изображение пространственных фигур» на углублённом уровне изучения геометрии.

3) Проведена экспериментальная проверка разработанных учебных материалов.

4) Экспериментальная проверка показала, что изучение учащимися темы «Изображение пространственных фигур» способствует повышению их математической культуры, развития творческих способностей каждого обучающегося, раскрытию их индивидуальных возможностей.

Литература

1. Александров А.Д. О геометрии // Математика в школе. - 1980. - № 3. - С. 56.

2. Александров А.Д. и др. Геометрия: учебник для 10 класса общеобразовательных учреждений (углублённый уровень). - М.: Просвещение, 2013. - 238с.

3. Антология педагогической мысли России второй половины XIX в. - М.: Педагогика, 1990. - 608с.

4. Атанасян Л.С. и др. Геометрия: учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений (базовый и углублённый уровни). - М.: Просвещение, 2013. - 206с.

5. Бабанский Ю.К. Оптимизация учебно-воспитательного процесса: Методические основы. - М.: Просвещение, 1982. - 208с.

6. Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д. К проблеме дифференциации школьного образования // Математика в школе. - 1988. - № 3. - С. 9- 13.

7. Василевский А.Б. Метод параллельных проекций. - Минск: Народная асвета, 1985. - 128с.

8. Возрастная и педагогическая психология / под ред. М.В. Гамезо и др. - М.: Просвещение, 1984. - 256с.

9. Волович М.Б. Математика без перегрузок. - М.: Педагогика, 1991. - 144 с.

10. Волошинов А.В. Математика и искусство. - «-е изд. - М.: Просвещение, 2000. - 399с.

11. Глейзер Г.И. История математики в школе. IX-X классы. - М.: Просвещение, 1983. - С. 149.

12. Гончаров Н.К. Ещё раз о дифференцированном обучении в старших классах общеобразовательной школы // Советская педагогика. - 1963. - № 2. - C. 39-50.

13. Гончаров Н.К. О введении фуркации в старших классах средней школы // Советская педагогика. - 1958. - № 6. - С. 12-37.

14. Гусев В.А. Теоретические основы обучения математике в средней школе: психология математического образования. - М.: Дрофа, 2010. - 473с.

15. Дидактика средней школы / под ред. М.Н. Скаткина. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1982. - 320с.

16. Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В. и др. Дифференциация в обучении математике // Математика в школе. - 1990. - № 4. - С. 15-21.

17. Дорофеев Г.В., Седова Е.А. и др. Концепция профильного курса математики // Математика в школе. - 2006. - № 7. - С. 14.

18. Зимняя И.А. Педагогическая психология. - М.: Логос, 2000. - 384с.

19. Колягин Ю.М. и др. Профильная дифференциация обучения математике // Математика в школе. - 1990. - № 4. - С. 21-27.

Размещено на Allbest.ru