Про второй способ рассуждений обычно говорят так: мы использовали правило умножения.

Комбинаторные задачи бывают самых разных видов. Но большинство из них решается с помощью двух основных правил - правила суммы и правила произведения. Продолжим знакомиться с правилом произведения (умножения), сформулируем утверждение: Если первую компоненту пары можно выбрать n способами , а вторую можно выбрать k способами , то число всевозможных комбинаций пар равно произведению чисел n и k.

Задача 3: Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе. Каждый раз, обедая там, они рассаживаются по-разному. Сколько дней друзья смогут это сделать без повторения?

Решение: Пронумеруем стулья, на которых должен сесть каждый, и будем считать, что они рассаживаются поочередно:

№1 - Саша - есть возможность выбрать из 5 вариантов (стульев)№2 - Петя - 4 варианта№3- Денис - 3 варианта№4- Оля - 2 варианта№5 - Настя- 1 вариант

Используя правило умножения, получаем: 5х4х3х2х1=120

Теперь решим задачу, применяя правило сложения.

Задача 4: В коробке 6 синих карандашей и 12 красных. Сколько всего карандашей в коробке?

Решение: Мы легко можем ответить на вопрос, сложив число синих и красных карандашей, 6+12=18.

Изменим вопрос к задаче: сколькими способами можно выбрать из коробки один карандаш? Получим комбинаторную задачу. Число способов выбора одного карандаша равно числу всех карандашей в коробке, т.е. 18. Но 18 - это сумма 6 и 12, где 6 - число способов выбора синего карандаша, а 12 - число выбора красного карандаша. Т.о. правило суммы можно сформулировать следующим образом.

Если объект а можно выбрать n способами, а объект b можно выбрать k способами, то выбор a или b можно сделать n+k способами.

Принцип Дирихле.

В несерьёзной форме принцип Дирихле гласит: «Нельзя посадить 7 кроликов в 3 клетки, чтобы в каждой было не больше 2 кроликов.»

Более общая формулировка: «Если z зайцев сидят в k клетках, то найдётся клетка, в которой не менее z/k зайцев.» Не надо бояться дробного числа f зайцев: если получается, что в ящике не меньше 7/3 зайцев, значит, их больше двух.

Доказательство принципа Дирихле очень простое, но заслуживает внимания, поскольку похожие рассуждения«от противного» часто встречаются. Допустим, что в каждой клетке число зайцев меньше, чем z/k. Тогда в k клетках зайцев меньше, чем 

k · z/k = z. Противоречие!

Решение задачи с помощью принципа Дирихле сводится к выбору «кроликов» и «клеток». Иногда не совсем очевидно, кто в данной задаче является «кроликом», и что служит «клеткой».

1). В классе 30 человек. В диктанте Стас Иванов сделал 13 ошибок, а остальные - меньше. Докажите, что по крайней мере три ученика сделали ошибок поровну (может быть, по 9 ошибок).

Решение: Это доказывается с помощью принципа Дирихле. Подумайте, кто здесь зайцы, и где клетки. (Здесь "зайцы" - ученики, а "клетки" - число сделанных ошибок). В клетку 0 "посадим" всех, кто не сделал ни одной ошибки, в клетку 1 - тех, у кого одна ошибка, в клетку 2 - две, ... и так до клетки 13, куда попал один Стас Иванов.

Теперь применим принцип Дирихле,докажем утверждение задачи от противного. Предположим, никакие три ученика не сделали по одинаковому числу ошибок, то есть в каждую из клеток 0, 1,..., 12 попало меньше трех школьников. Тогда в каждой из них два человека или меньше, а всего в этих 13 клетках не больше 26 человек. Добавив Стаса Иванова, все равно не наберем 30 ребят. Противоречие. Можно ли утверждать, что ровно трое сделали поровну ошибок? Нет, конечно. Возможно, что все ребята, кроме Стаса, написали диктант без единой ошибки, то есть, все сделали по 0 ошибок. Можно ли считать, что по крайней мере четверо попали в одну "клетку" ? Нет, нельзя. Класс, в котором по 3 человека сделали 0, 1, 2 ошибки, по 2 человека - 3, 4, ..., 12 ошибок и один - 13, удовлетворяет условию задачи.

2). В одном доме живут 13 учеников одной и той же школы. В этой школе 12 классов. Докажите, что хотя бы два ученика, живущие в этом доме, учатся в одном и том же классе

Решение. В данной задаче классы - это клетки, а учащиеся - кролики. У нас имеется 13 «кроликов» и 12 «клеток». Учитывая принцип Дирихле, мы получаем, что хотя бы в одной клетке «кроликов» два. То есть, если в школе 12 классов, то максимум в них может учиться 12 учеников. А 13 ученик все равно будет учиться в одном из этих 12 классов.

Задачи для самостоятельного решения:

1). В магазине «Все для чая» есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?2). Сколько существует 6-значных чисел, все цифры которых имеют одинаковую четность?3). У Васи на куртке 3 кармана. Каким числом способов он может положить в эти карманы две одинаковые монетки?

4). В корзине сидят котята -- 2 черных, 2 рыжих и 1 полосатый. Сколькими способами можно выбрать трех котят так, чтобы они все были разной окраски?

5). В корзине лежат яблоки двух сортов. Наугад берут из этой корзины несколько яблок. Какое наименьшее число яблок нужно взять, чтобы среди них оказались хотя бы два яблока одного сорта?

6). Докажите, что любое число рублей можно уплатить, если покупатель и кассир имеют лишь трехрублевые и пятирублевые денежные знаки.

§ 9. Графы. Применение графов к решению задач

Графы - это рисунки, которые состоят из точек и линий, соединяющих эти точки.

Каждая пара точек в графе может быть соединена линиями. Линия указывает на связь между двумя точками. Точки называются вершинами графа, а линии - рёбрами. (приложение 12)

С какими графами вы встречаетесь повседневной в жизни? (схемы авиалиний, которые часто вывешивается в аэропортах, схемы метро, а на географических картах - изображение железных дорог). С помощью графов изображаются схемы дорог, газопроводов, тепло и электросетей.

Особым видом графа является дерево. Дерево (граф) - это способ организации информации об отношениях между объектами, в нем нет циклов, то есть нельзя из некоторой вершины пройти по нескольким различным ребрам и вернуться в ту же вершину. Примером такого дерева может служить генеалогическое дерево Рюриковичей и Романовых.

Рассмотрим одну из простейших задач: Между девятью планетами солнечной системы установлено космическое сообщение. Рейсовые ракеты летают по следующим маршрутам: Земля - Меркурий; Плутон - Венера; Земля - Плутон; Плутон - Меркурий; Меркурий - Венера; Уран - Нептун; Нептун - Сатурн; Сатурн - Юпитер; Юпитер - Марс и Марс - Уран. Можно ли долететь на рейсовых ракетах с Земли до Марса ?

Решение: Нарисуем схему условия: планеты изобразим точками, их у нас 9, а маршруты ракет - направляющими линиями.

Теперь сразу видно, что долететь с Земли до Марса нельзя.

Запишем еще одно определение: Степенью вершины графа называется количество выходящих из нее ребер. В связи с этим, вершина, имеющая четную степень, называется четной вершиной, соответственно, вершина, имеющая нечетную степень, называется нечетной вершиной.

1). В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединен ровно с пятью другими ?

Решение: Допустим, что такое соединение телефонов возможно. Тогда представим себе граф, в котором вершины обозначают телефоны, а ребра - провода, их соединяющие. Подсчитаем, сколько всего получится проводов. К каждому телефону подключено ровно 5 проводов, т.е. степень каждой вершины нашего графа - 5. Чтобы найти число проводов, надо просуммировать степени всех вершин графа и полученный результат разделить на 2 (т.к. каждый провод имеет два конца, то при суммировании степеней каждый провод будет взят 2 раза). Но тогда количество проводов получится разным15·5/2=37,5. Но это число не целое. Значит наше предположение о том, что можно соединить каждый телефон ровно с пятью другими, оказалось неверным.

Ответ. Соединить телефоны таким образом невозможно.

2). В государстве 100 городов к из каждого города выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве.

Решение. Подсчитаем общее количество выходящих городов дорог - 100 ^. 4 = 400. Однако при таком подсчете каждая дорога посчитана 2 раза - она выходит из одного города и входит в другой. Значит всего дорог в два раза меньше, т.е. 200.

4). Обрисовать фигуру, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя два раза по одной линии. Обозначьте точки пересечения, в скобках укажите, сколько линий выходит из данной точки. Если число линий четное - то вершина четная, если число линий нечетное - то вершина нечетная. Пометить вершину, с которой надо начинать обход.

1.2.3.4.

Все ли фигуры у вас получилось нарисовать? (все, кроме фигуры №1). Как вы думаете почему? Как это связано с количеством четных и нечетных вершин?

Сделаем вывод:

· Если все вершины графа четные, то нарисовать фигуру возможно, и начать можно с любой вершины (№4).

· Если же из этих вершин две нечетные, то нарисовать фигуру можно, но только начинать необходимо в одной из этих двух нечетных вершин, а заканчивать во второй нечетной вершине (№2, №3).

· Если в графе более двух нечетных вершин, то нарисовать фигуру невозможно (№1). 

Вопрос о разрешимости таких задач входит в теорию графов. Впервые ее исследовал Л.Эйлер в 1736г., решая задачу о Кенигсбергских мостах.

5). Город Кенигсберг расположен на берегах и двух островах реки Преголя. Части города соединены между собой семью мостами. В воскресные дни горожане совершили прогулки по городу. И возник вопрос, можно ли выбрать такой маршрут, чтобы пройти по каждому мосту только один раз и вернуться в начальную точку пути?



Попробуем разрешить эту задачу. Но сначала составим план города, как это сделал Л.Эйлер. Он обозначил части города точками (вершины), а переходы по мостам - линиями (ребра). Получил граф.

Ответ: обход по всем мостам только один раз невозможен, т.к. все вершины графа нечетные.

Поэтому графы, которые можно нарисовать указанным способом, называются Эйлеровыми графами.

Задачи для самостоятельного решения:

1). Алина решила маме на день рождения подарить букет цветов (розы, тюльпаны или гвоздики) и поставить их или в вазу или в кувшин. Сколькими способами это можно сделать?

2). Ранним утром Миша Маша, Андрей обменялись приветствиями каждый с каждым. Сколько всего было приветствий. Решите задачу с помощью графа. Нарисуй граф в рабочей тетради.

3). В квартирах №1,2,3 жили три друга: Айдар, Тима и Саша. Известно, что в квартирах №1 и 2 жил не Айдар. Тима жил не в квартире №1. В какой квартире жил каждый из друзей.

4). Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит ровно 3 дороги, быть ровно 100 дорог?

5). Какие буквы русского алфавита можно нарисовать одним росчерком?

6). Муха забралась в банку из-под сахара. Банка имеет форму куба. Сможет ли муха последовательно обойти все 12 ребер куба, не проходя дважды по одному ребру. Подпрыгивать и перелетать с места на место не разрешается.

§10. Круги Эйлера

1. Примерное содержание сообщения учащегося о Леонарде Эйлере.

2. Рассказ учителя о кругах Эйлера.

Очень часто бывает так, что решение задачи помогает найти рисунок. Использование рисунка делает решение задачи простым и наглядным.

Рассмотрим такую задачу.

1). В классе 35 учеников. Из них: 19 ребят занимают в математическом кружке, 10 - в биологическом, 9 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются математикой?

Решение. Для решения задачи изобразим в виде «кругов» учащихся, занимающихся математикой и биологией.

Обозначим их буквами М и Б соответственно. Круги М и Б содержатся в прямоугольнике, которым мы изображаем всех учащихся класса.

Нам очевидно, что общая часть кругов М и Б состоит из тех ребят, которые одновременно увлекаются и математикой, и биологией. Теперь давайте посчитаем. Всего внутри прямоугольника 35 ребят. Внутри двух маленьких кругов М и Б будет 35-9= 26 ребят, поскольку нам известно, что 9 ребят не посещают кружки. Внутри «математического» круга 19 ребят, значит, в той части «биологического» круга, которая расположена вне круга М, находится 26-19= 7 биологов, не посещающих математический кружок. Остальные биологи, их 10-7= 3, находятся в общей части кругов МБ. Таким образом, 3 биолога увлекаются математикой.

Изображение различных множеств в виде кругов широко использовал в своих научных трудах великий математик ХVIII века Леонард Эйлер. Именно поэтому рисунки, подобные в задаче, которую разобрали выше, обычно называют «кругами Эйлера». Эйлер отмечал, что изображение множеств в виде кругов «очень подходит для того, чтобы облегчить наши рассуждения».

Круги Эйлера -- геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами.

2). В киоске около школы продается мороженое двух видов: «Спортивное» и «Мальвина». На перемене 24 ученика успели купить мороженое. При этом 15 из них купили «Спортивное», а 17 - мороженое «Мальвина». Сколько человек купили мороженое обоих сортов?

Решение. Попробуем изобразить данные задачи с помощью кругов.

Общая часть кругов состоит из тех школьников, которые купили мороженое обоих сортов. Всего мороженое купили 24 ученика. Внутри круга М 17 учеников, а в круге С - 15 учеников. Возьмем, например, учащихся, купивших мороженое «Мальвина». Получим 24-17=7 учащихся, которые купили мороженое «Спортивное», но не купили мороженое «Мальвина». Остальные учащиеся: 15-7= 5 купили и мороженое «Спортивное», и «Мальвина». Таким образом, мы получили 5 учеников, которые купили оба вида мороженого.

3). Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским - 28, французским - 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским - 10, немецким и французским - 5, всеми тремя языками - 3. Сколько туристов не владеют ни одним языком?

Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в общей части кругов вписываем число 3. Английским и французским языками владеют 10 человек, а 3 из них владеют еще и немецким. Следовательно, только английским и французским владеют 10-3=7 человек.

Аналогично получаем, что только английским и немецким владеют 8-3=5 человек, а немецким и французским 5-3=2 туриста. Вносим эти данные в соответствующие части.

Определим теперь, сколько человек владеют только одним из перечисленных языков. Немецкий знают 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими языками, следовательно, только немецкий знают 20 человек. Аналогично получаем, что одним английским владеют 13 человек, а одним французским - 30 человек. По условию задачи всего 100 туристов. 20+13+30+5+7+2+3=80 туристов знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним из данных языков.

Ответ: только английским владеет 13 человек, только французским - 30, только немецким - 20 человек. 20 человек не знают ни одного из этих языков.

4). В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 -- автобусом, 23 -- троллейбусом, 10 -- и метро, и троллейбусом, 12 -- и метро, и автобусом, 9 -- и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуется всеми тремя видами транспорта?

Решение: Для решения опять воспользуемся кругами Эйлера.

Пусть х - человек пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются только метро и троллейбусом -- (10 ? х) человек, только автобусом и троллейбусом -- (9 ? х) человек, только метро и автобусом -- (12 ? х) человек. Найдем, сколько человек пользуется одним только метро: 20 ? (12 ? х) ? (10 ? х) ? х = х ? 2. Аналогично получаем: х ? 6 -- только автобусом и х + 4 -- только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение: х + (12 ? х) + (9 ? х) + (10 ? х) + (х + 4) + (х ? 2) + (х ? 6) = 30, отсюда х = 3.

Задачи для самостоятельного решения:

1). В трех шестых классах 70 ребят. Из них 28 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов, 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

2). В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 - в хоккей, 18 - в футбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и хоккеем - четверо, баскетболом и футболом - трое, футболом и хоккеем - пятеро. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни футболом, а 2 школьника увлекаются сразу тремя видами спорта. Сколько ребят увлекается лишь одним из этих видов спорта?

3). Из 100 человек 85 знают английский язык. 80 - испанский, 75 - немецкий. Сколько человек знают только один язык, если все три знают 10 человек?

4). В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 -- автобусом, 23 -- троллейбусом, 10 -- и метро, и троллейбусом, 12 -- и метро, и автобусом, 9 -- и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта?

5). Контрольная работа по математике состояла из задачи, уравнения и неравенства. Контрольную работу писали 40 человек. Правильно решили только задачу 2 ученика, только неравенство - 4 человека, только уравнение - 3 человека. Не решили только задачу 7 человек, только уравнение - 5 человек, только пример - 6 человек. Остальные выполнили всю работу правильно. Сколько таких учащихся?

§11. Математические шифры

Занятие по математическим шифрам проводится в виде игры - исторического путешествия (примерное содержание в приложении 14). В начале занятия кратко о шифрах рассказывает учитель, а затем слово предоставляется учащимся. Участники кружка рассказывают о разных шифрах, придуманных в разных странах (Афинах, Греции, России). Обыграть историческое путешествие по шифрам можно следующим образом: рефераты рассказывать от первого лица. То есть учащийся, рассказывая, например, о шифре «скитала», говорит от лица полководца Лисандра, приводит конкретный пример на шифр и предлагает остальным участникам кружка зашифровать или, наоборот, расшифровать предложенное сообщения.

Вступительное слово учителя.

Издавна люди изыскивали способы уберечь некоторые важные сообщения от посторонних глаз. Рассказывают, как один царь обрил голову гонца, написал на ней послание и отослал гонца к своему союзнику лишь тогда, когда волосы на его голове отросли. Развитие химии дало удобное средство для тайнописи: симпатические чернила, записи которыми не видны до тех пор, пока бумагу не нагреют или обработают каким-нибудь химикатом. Но чаще стали применять шифры: сначала ими пользовались пираты, отмечая расположение кладов, алхимики, купцы, заговорщики. Впоследствии - дипломаты, стремящиеся сохранить тайны переговоров, военноначальники, скрывающие от противника отданные распоряжения, разведчики и так далее.

При шифровании должны выполняться определенные условия. Во-первых, различные буквы должны обозначаться разными знаками: иначе получатель должен будет гадать, какую из нескольких букв обозначает тот или иной знак. Далее, шифр должен быть трудно разгадываемым - легкие шифры можно применять лишь при условии, что у противника нет времени на разгадку. Наконец, секретность шифра должна сочетаться со сравнительной несложностью операций кодирования и раскодирования: иначе у них уйдет столько времени, что переданная информация устареет. Впрочем, в наше время данные операции могут быть поручены ЭВМ. А если раскодирование потребует слишком много усилий, то можно оказаться в положении легендарного писца. Он писал за плату письма на восточном базаре, но при этом взимал плату еще и как гонец. Дело было в том, что написанное им никто, кроме него самого, понять не мог.

Шифрование методом решетки Кардано.

Кроме замены букв другими буквами или числами, применяются методы шифрования, основанные на перестановке букв. Рассмотрим один из более современных методов перестановки букв - решетке Кардано. Решётка Кардано -- инструмент кодирования и декодирования, представляющий собой специальную прямоугольную (в частном случае -- квадратную) таблицу-карточку, часть ячеек которой вырезана.

Описание решетки Кардано.

Решетка Кардано сделана из листа картона или пергамента, или же из тонкого металла. Чтобы обозначить линии письма, бумагу разлиновывают, и между этими линиями вырезают прямоугольные области через интервалы произвольной длины. (Показать изготовленную заранее решетку). Шифратор помещает решетку на лист бумаги и пишет сообщение в прямоугольных отверстиях, в которых помещается отдельный символ, слог или целое слово. При передвижении решётки фрагменты заполняются, образуя запись, искажающую исходное сообщение.

У получателя сообщения должна быть такая же решетка. Копии решетки вырезаются из первичного шаблона, однако для взаимно-однозначного соответствия можно было бы сделать множество других шаблонов. Решетку можно разместить в 4 положениях -- лицом вверх, лицом вниз, вертикально и в перевернутом положении, что вчетверо увеличивает число возможных размещений сетки.

Чтобы прочитать закодированное сообщение, необходимо наложить решётку Кардано на текст нужное число раз и прочитать буквы, расположенные в вырезанных ячейках. Решётки Кардано представляют собой квадратные таблицы, где четверть ячеек прорезана так, что при четырёх поворотах они показывают весь квадрат. Вписание в прорезанные ячейки текста и повороты решётки продолжаются до тех пор, пока весь квадрат не будет заполнен. Например, на рисунке ниже показан процесс шифровки решеткой 4 на 4 :

При зашифровке таким способом, мы получили шифр текст: СЗДО_ЕИКТБОМАРУ_.

Необходимо указать на недостатки этого метода, что он является медленным и требует наличия литературных навыков. Но самое главное, что любой шифровальный аппарат может быть утерян, украден или конфискован. Таким образом, потерять одну решетку -- значит потерять всю секретную переписку, шифровавшуюся с помощью этой решетки.

§12. Геометрия на спичках

Вступительное слово учителя:

В работе над задачками можно использовать спички, счётные палочки или просто рисунок на бумаге. Спички имеют стандартную длину и это свойство позволяет строить из них различные геометрические фигуры. Одна спичка - это модель отрезка.

Начать занятие необходимо с решения задач-шуток на изобретательность.

Задача-шутка 1: Положите 3 спички на стол так, чтобы головки не касались стола.

Использовать в качестве подсказки наводящие вопросы:

1. Можно ли проделать тоже самое, только с двумя спичками?

2. Попробуйте положить одну спичку на другую и ответить на 1 вопрос?

Решение:

Задача-шутка 2: Из двенадцати спичек сложено имя «ТОЛЯ». Переложите одну спичку так, чтобы получилось женское имя.

Подсказка: обратите внимание, что все женские имена оканчиваются на гласную, поэтому последнюю букву мы точно трогать не будем. Предложить вспомнить имена, оканчивающиеся на "ЛЯ".

Решение:

Задания на развитие воображения.

Задача 1: Как с помощью листка бумаги и одной спички, не ломая ее, сложить треугольник? Наводящие вопросы:

1. Для чего нам нужен листок бумаги?

2. Что еще можно использовать вместо листка бумаги? (стол, тетрадь, книга).

3. Что общего у всех этих предметов? (все они имеют форму прямоугольника).

Ответ: Для решения задачи - достаточно положить спичку на угол листа бумаги так, чтобы она и края листка образовали треугольник.

Задача 2: Двенадцать спичек выложены так, как показано на рисунке.

а) уберите 2 спички так, чтобы образовалось 2 неравных квадрата;

б) переложите 3 спички так, чтобы образовалось 3 равных квадрата;

в) переложите 4 спички так, чтобы образовалось 3 равных квадрата;

г) переложите 2 спички так, чтобы образовалось 7 квадратов;

Ответ:

Дополнительные задачки для самостоятельного решения.

Задача-шутка 3: Переложите 3 спички, чтобы стрела поменяла своё направление на противоположное.

Решение:

Задача-шутка 4: Повстречались в речке рак и рыба. Испугались друг друга, развернулись и отправились в разные стороны. Переложить в обеих фигурах по 3 спички так, чтобы они плыли в противоположных направлениях. 

Решение:

Задача 3: Как с помощью листка бумаги и двух спичек, не ломая и не расщепляя их, образовать четырехугольник?

Ответ: На угол листка бумаги кладутся две спички, которые вместе с краями образуют четырехугольник.

Задача 4: Двадцать четыре спички выложены так, как показано на рисунке.

а) уберите 4 спички так, чтобы образовалось 4 маленьких квадрата и один большой;

б) уберите 4 спички так, чтобы образовалось 5 равных квадратов;

в) уберите 6 спичек так, чтобы образовалось 5 равных квадратов;

г) уберите 8 спичек так, чтобы образовалось 5 равных квадратов;

д) переложите 12 спичек так, чтобы образовалось 2 равных квадрата;

(задания ж - к предложить как домашнее задание)

ж) уберите 8 спичек так, чтобы образовалось 4 равных квадрата (два решения);

з) уберите 8 спичек так, чтобы образовалось 3 квадрата;

и) уберите 6 спичек так, чтобы образовалось 3 квадрата;

к) уберите 8 спичек так, чтобы образовалось 2 квадрата (два решения).

Ответ: смотрим рисунки ниже а - к.



Задача 5: На рисунке вы можете наблюдать крепость и каменная стена вокруг крепости. Между стеной и крепостью прорыв ров, заполненный водой и кишащий голодными крокодилами. Ваша задача, имея только 2 спички построить надежный мост между стеной и крепостью.

Решение:

§13. Фокусы

Вступительное слово учителя:

В начале занятия учитель сообщает учащимся, что он - телепат, и может угадать трехзначное число, которое любой из учащихся загадает.

Учитель (обращаясь к одному из участников кружка):

· Возьми бумажку. Запиши на ней трехзначное число. Мне не показывай!

· Припиши к нему это же число еще раз. Теперь передай своему соседу.

· Теперь второй учащийся должен разделить это число на 7 и передать бумажку дальше.

· Следующий нам разделит это число на 11, запишет его на чистой бумажке и отдаст результат учителю.

· Слушаем ответ! Правильно? Конечно правильно, это и называется телепатия.

Секрет: последний результат надо разделить на 13 и мы получим исходное число.

Разъяснение: Когда мы к трехзначному числу приписали такое же число, то мы тем самым умножили его на 1001, а затем, разделив последовательно на 7, 11, 13, мы разделили его на 1001, то есть получили задуманное трехзначное число.

Далее учитель может предложить одному из учащихся загадать число от 1 до 12, и сказать, что это число может быть угадано. На доске заранее вывешен круг, на котором изображены числа от 1 до 12, (для той же цели можно взять часы и предложить угадать кем-либо час).

Учитель:

· просит загадать любого участника кружка одно из чисел, изображенных на кругу и не говорить его.

· Сам выбирает произвольное число n (также из круга).

· Указывает его ученику.

· Предлагает продолжить счет от задуманного учеником числа против часовой стрелки, стартуя с числа, указанного учителем и закончив на числе n+12.

Когда же учащийся досчитает, то как раз сам укажет на задуманное им число.

"Угадать возраст"

Предложить умножить человеку, у которого пытаемся узнать возраст, число лет на 2, прибавить 5, а сумму снова умножить на 5. Полученное число сообщить.

Секрет фокуса: Нетрудно догадаться, что последней цифрой результата будет цифра 5. Ее необходимо отбросить а от оставшегося числа отнять 2. Разность и есть искомый результат.

"Угадывание дня, месяца и года рождения"

Предложить одному из учащихся выполнить следующие действия: “Умножить номер месяца, в котором он родились, на 100, затем прибавить день рождения, результат умножить на 2, к полученному числу прибавить 2, результат умножить на 5, к полученному числу прибавить 1, к результату приписать 0, к полученному числу прибавить еще 1 и, наконец, прибавьте число его лет. После этого он должен сообщить, какое число у него получилось.

Секрет фокуса: от названного числа отнять 111, а потом остаток разбить на три грани справа налево по две цифры. Средние две цифры обозначают день рождения, первые две или одна - номер месяца, а последние две цифры - число лет, зная число лет, определяется год рождения.

Фокусы с предметами.

"День недели"

Необходимо заранее подготовить семь табличек, на которых написаны и пронумерованы дни недели, и предложить каждому выбрать любой один день. Затем отвернуться от зрителей, а те, выбрав по таблице, положат их на стол надписями вниз.

Далее по команде каждый увеличивает порядковый номер выбранного дня в два раза, к этому произведению прибавляет 5, затем полученную сумму умножает на 5, а то, что получается, умножает на 10. По объявленному каждым зрителем результату называется выбранный день. Подтверждая правильность ответов, зрители поочередно демонстрируют всем свою таблицу.

Секрет фокуса: Из первой (левой) цифры каждого объявленного результата вычитается 2. Остаток указывает номер выбранного дня недели.

Разъяснение: После первого и второго действия, разность между числами составляет 2. После третьего - 10. Тем самым мы пришли к тому, что разряд десятков идет по порядку, начиная с 3. Вычитая 2 из числа разрядов, мы приходим к исходным данным. Последнее действие, умножение на 10, не столь важно, можно обойтись и без него. Оно служит лишь для того, чтобы запутать зрителей. Можно составить таблицу результатов всех действий.

Смысл фокуса заключается в том, чтобы высший разряд привести в "порядок", расположить цифры в порядке возрастания, с разницей между ними в единицу.

"В какой руке монета?"

Вот старинный фокус, в котором используется числовое значение монеты. Пусть кого-нибудь возьмет в один кулак 10 рублей, а в другой -- 10 копеек. Затем предложите умножить числовое значение монеты, лежащей в правом кулаке, на восемь (или любое другое четное число), а числовое значение другой монеты на пять (или любое нечетное число, какое вам захочется).

Сложив эти два числа, зритель должен сказать вам, четное или нечетное число получилось. После этого вы говорите ему, какая монета у него в какой руке. Секрет фокуса: Если сумма четная, то в правой руке -- 10 копеек; если нечетная -- 10 рублей.

Учащимся заранее раздаются сообщения по теме «фокусы». На занятии ученик рассказывает о фокусе, показывает. По возможности готовит материал к занятию: плакаты или какой-либо раздаточный материал.

"Сколько палочек в кулаке?"

Для этого фокуса необходимо заготовить коробочку с 20 палочками. Фокусник должен повернуться спиной к зрителю и попросить его вытянуть из коробки несколько палочек, но не больше 10, и положить в карман. После этого зритель должен пересчитать палочки, которые остались в коробке. Предположим, их осталось 14. Это число он должен записать на бумаге следующим образом: единица изображается одной палочкой, положенной слева, а четверка - четырьмя палочками справа. Эти пять палочек нужно взять из оставшихся в коробке палочек. Затем палочки, изображавшие число 14, кладутся в карман. В результате зритель вынимает из коробки еще несколько палочек и зажимает их в кулаке. После этого фокусник поворачивается лицом к зрителям, выкладывает палочки из коробки на стол и незамедлительно называет число палочек, зажатых в кулаке.

Секрет фокуса: Чтобы узнать ответ, необходимо отнять из девяти число палочек, рассыпанных на столе.

Кто взял резинку, а кто карандаш?

Отвернитесь и предложите двум участникам фокуса, пусть это будут Женя и Саша, взять одному карандаш, а другому резинку. Далее скажите:

- Обладателю карандаша назначаю число 7, обладателю резинки - число 9 (числа могут быть и иными, причем обязательно одно простое, а другое составное, но не делящееся на первое). - Женя, умножь свое число на 2, а Саша на 3 (одно из этих чисел должно целое число раз содержаться в назначенном вами составном числе, как, например, 3 и 9, а другое должно быть с ним взаимно простым, как, например, 3 и 2).

- Сложите результаты и скажите мне сумму или скажите, делится ли эта сумма без остатка на 3 (на то данное вам число, которое содержится множителем в назначенном составном числе). Узнав это, вы тотчас можете определить, кто взял карандаш, а кто резинку.

В самом деле, если полученная сумма делится на 3, - это значит, что на 3 умножено число, не делящееся на 3, то есть 7. Зная, кто умножал свое число на 3 (Саша) и что число 7 назначено обладателю карандаша, вы заключаете, что карандаш у Саши. Наоборот, если полученная сумма не делится на 3, то это значит, что на 3 было умножено число, делящееся на 3, то есть 9. В этом случае у Саши - резинка. Как вы докажите этот фокус?

Доказательство. Пусть A - простое число, B - составное, но не делящееся на A. два других числа x и y - взаимно простые, причем y - один из делителей числа B. После требуемых умножений может получиться сумма Ax+By или Ay+Bx. Ясно, что первая сумма не делится на y, а вторая делится. Следовательно, по тому, делится или нет окончательный результат на y, однозначно определяем, было ли умножено на y число A или B.

В качестве домашнего задания предложить детям найти или придумать свои фокусы и объяснить разгадку к ним.

Размещено на Allbest.ru