Изучение темы "Многоугольники" в школьном курсе геометрии

2. Рассмотреть особое свойство диагонали прямоугольника:

а) (самостоятельно в группах по 4 человека)

Исследуйте стороны, углы и диагонали прямоугольника и заполните таблицу:



	Параллелограмм	Прямоугольник
Стороны	1 2	1 2
Углы	1 2	1 2 3
диагонали	1	1 2

3. Рассмотреть признак прямоугольника.

Как определить, является ли данный параллелограмм прямоугольником? Ответ обоснуйте.

(Работа в парах 3-5 мин. на обдумывание.)

Выберете верные утверждение (каждому даётся листок с вопросами).

а) Если в четырёхугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник - прямоугольник.

б) Если в четырёхугольнике противоположные стороны параллельны, а все углы прямые, то этот четырёхугольник - прямоугольник.

в) Если в четырёхугольнике диагонали равны, то этот четырёхугольник - прямоугольник.

г) Если в параллелограмме два прямых угла, то этот параллелограмм - прямоугольник.

д) Если в четырехугольнике два прямых угла и две стороны равны, то этот четырехугольник - прямоугольник.

е) Если в четырехугольнике диагонали равны, а один угол прямой, то этот четырехугольник - прямоугольник.

Ответы проверяем, ставим + или -

Что общего между свойствами параллелограмма и прямоугольника?

IV. Закрепление изученного материала.

№304

Дано: ABCD - прямоугольник

CAD = 30° АС = 12 см

Найти: РAOB

Решение:

?АСD - прямоугольный, в нем CAD= 30°, значит СD = ? АС = 6 см, тогда АВ = СD = 6 см.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, т.к. АО = ? АС = ? ВD = ВО = 6см

РAOB = АО + ВО + АВ = 6 + 6 + 6 = 18см

Ответ : РAOB = 18см

№ 401(б) - самостоятельно.

Проверить на доске этот номер.

V. Подведение итогов урока.

Выслушаем учеников.

Что нового мы узнаем, какие ошибки были в решении задач и в работе на листах.

Д/з п.45 в.12,13

№399, 401(а).

4.3 Квадрат

В учебнике «Геометрия 7-11» А.В. Погорелова (18) понятие «квадрат» вводится в §6 «Четырехугольники» в п.56 «квадрат».

Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Так как стороны квадрата равны, то он является также ромбом. Поэтому квадрат обладает свойством прямоугольника и ромба:

У квадрата все углы прямые.

Диагонали квадрата равны.

Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его угла.

В учебнике «Геометрия 7-9» Л.С. Атанасяна (5) понятие «квадрат» вводится в п.46 «Ромб и квадрат» 3 параграфа после изучения «ромба».

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Затем формулируются основные свойства квадрата:

Все углы квадрата прямые.

Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Рассмотрим методику изучения темы «Квадрат» на примере учебника А.В. Погорелова.

После введения свойств и определения квадрата школьники решают задачи.

3адача 1. Докажите, что если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то он есть квадрат.

Дано: ABCD-прямоугольник, AC, BD - диагонали, ACBD.

Доказать: ABCD-квадрат.

Доказательство.

Так как прямоугольник есть параллелограмм, а параллелограмм с перпендикулярными диагоналями есть ромб, то у ABCD все стороны равны => ABCD - квадрат (по определению).

3адача 2. Докажите, что ромб, у которого один угол - прямой, является квадратом.

Дано: ABCD- ромб,

AB=90.

Доказать: ABCD - квадрат.

Доказательство.

Так как ABCD - ромб, значит ABCD - параллелограмм.

ABCD - параллелограмм, у которого АВС=90.

Следовательно, ABCD - прямоугольник.

А прямоугольник, у которого все стороны равны (ABCD - ромб), по определению является квадратом.

Следовательно, ABCD - квадрат.

Ч.т.д.

Далее ученикам можно предложить систему задач, направленную на выработку соответствующих умений и навыков.

Периметр квадрата равен 28см. Найдите его сторону.

В квадрате ABCD проведена диагональ BD. Определите:

а) вид треугольника ABD; б) углы AABD.

В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого 2м, вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите периметр квадрата.

Диагональ квадрата равна 4 м. сторона его равна диагонали другого квадрата. Найдите сторону последнего.

В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Найдите стороны прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна 12 м.

Конспект урока по теме «Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат».

Цели урока: Систематизировать, обобщить знания о четырех фигурах - параллелограмме, прямоугольнике, ромбе, квадрате, их свойствах, признаках.

Девиз урока:

«Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит.»

(М. В. Ломоносов).

План урока:

Загадки.

Беседа с классом по вопросам.

Работа по готовым чертежам (работа в парах).

Применение в жизни (сообщение).

Физкультминутка («истинно - ложно»).

Тест (2 варианта).

Домашнее задание: п. 45, 46, № 406, № 411, на оценку «5» № 412.

Самостоятельная работа

Итоги урока.

1. Загадки:

УЧИТЕЛЬ: Вспомним определения четырехугольников. В этих загадках используются их свойства. Я читаю загадку, а вы поднимаете карточку с верным ответом (у каждого ученика карточки: параллелограмм, квадрат, ромб, прямоугольник).

1. Знаете ли вы меня

Хочу проверить,

Любую площадь я могу измерить,

Ведь у меня четыре стороны

И все они между собой равны.

И у меня равны еще диагонали,

Углы мне они делят пополам, и ими

На части равные разбит я сам.

(Квадрат)

2. И у меня равны диагонали,

Хочу сказать я, хотя меня не называли,

И хоть я не зовусь квадратом

Он мне приходится родным братом.

(Прямоугольник)

3. Хоть стороны мои

Попарно и равны, и параллельны,

Все ж я в печали, что не равны мои диагонали,

Да и углы они не делят пополам

Но все ж, скажи, дружок, кто я?

(Параллелограмм)

4. Мои хотя и не равны диагонали,

По значимости всем я уступлю едва ли.

Ведь под прямым углом они пересекаются,

И каждый угол делят пополам,

И очень важная фигура я, скажу я вам.

(Ромб)

2. Беседа с классом по вопросам:

К какому виду четырехугольников относятся прямоугольник, ромб, квадрат?

Назовите свойства параллелограмма?

Назовите признаки параллелограмма?

Назовите особое свойства прямоугольника?

Назовите особое свойства ромба?

Назовите основные свойства квадрата?

3. Работа по готовым чертежам (работа в парах):

Задание: Указать вид четырехугольника на рисунках. Объяснить почему?

Двое учащихся выполняют это задание на откидной доске (работают в паре). Учитель проверяет задание, остальные учащиеся оценивают друг друга, выставляется вторая оценка в «Карточку самооценки».

4. Применение в жизни. (Сообщение):

Параллелограмм дает определение прямоугольнику, ромбу. В жизни параллелограмм - это рамы велосипедов, мотоциклов, где для жесткости проведена диагональ.

Прямоугольник несет красоту, стройность, четкость. Это стены домов, пол, потолок, грани карандашей.

Реечный домкрат для легковых автомобилей имеет форму ромба. Плиточники укладывают плитки в виде ромба, квадрата - из них получаются красивые узоры.

В хирургическом отделении для пересадки кожи применяют специальную машинку, которая вырезает кожу в виде квадратов. Их располагают на обожженном участке в шахматном порядке, так как кожа имеет свойство расти во всех направлениях, со временем промежутки между квадратами зарастают.

В сельском хозяйстве применяют квадратно - гнездовой способ посадки культур - урожай при этом лучше, этот способ хорош тем, что можно применять механизированную обработку.

В физике применяют параллелограмм при изучении разложения сил, при нахождении равнодействующей силы.

5. Физкультминутка («истинно - ложно»):

Учитель: Я скажу несколько предложений. Если предложение ложное, то вы встаете, если верное, то поднимаете руку.

Диагонали прямоугольника равны.

Все углы квадрата прямые.

Диагонали параллелограмма равны.

В ромбе все стороны равны.

Диагонали прямоугольника перпендикулярны.

В параллелограмме противоположные стороны равны.

Диагонали ромба равны.

Тест (2 варианта)

Результаты заносятся в таблицу, расположенную в конце теста, который содержит пять заданий. Выполнив тест, учащиеся обмениваются результатами, учитель называет правильные ответы. За верно выполненное задание - 1 балл.

7. Домашнее задание: п. 45, 46, № 406, № 411, на оценку «5» № 412.

8. Самостоятельная работа.

I вариант:

Вычислить углы параллелограмма, если его углы, прилежащие к одной стороне, относятся как 2:7.

В ромбе периметр равен 24 см, один из углов 120°. Чему равна длина меньшей диагонали.

AEDF - параллелограмм. Доказать: ECFB - параллелограмм.

II вариант:

Вычислить углы параллелограмма, если его углы, прилежащие к одной стороне, относятся как 4:5.

В ромбе один из углов 120°, длина меньшей диагонали 5 см, найти периметр ромба.

ABDE - параллелограмм. Доказать: ACDF - параллелограмм.

Двое учащихся выполняют самостоятельную работу по вариантам на откидных досках. По окончанию работы ученики сверяют свои решения с доской.

9. Подведение итогов урока.

Рефлексия:

Если было хорошо у нас - улыбнись и покажи квадрат.

Если было скучно вам - покажи параллелограмм.

Если ждешь таких уроков - хлопни.

Если больше ничего не хочешь - топни.

Спасибо за внимание!

4.4 Ромб

В учебнике «Геометрия 7-9» Л.С. Атанасяна (4) понятие «ромб» вводится в §3 п.46 «Ромб и квадрат»: Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. Далее рассматривают и доказывают свойство ромба: «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.»

А.В. Погорелов (18) тему «Ромб» выделяет в отдельный пункт (п.55).

В начале пункта дается определение: Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны. А затем вводит свойство ромба как теорему 6.5: «Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов».

Дано: ABCD-ромб,

AC, BD - диагонали.

Доказать: ACBD,

AC, BD - биссектрисы.

Доказательство.

Пусть АС?ВD=O,

ААВС - равнобедренный, т.к. АВ=ВС (ABCD-ромб).

АО=ОС (по свойству параллелограмма) => ВО - медиана, а => и биссектриса, и высота.

А значит BD - биссектриса угла В и перпендикулярна АС.

Ч.т.д.

Рассмотрим методику изучения темы «Ромб» на примере учебника А.В. Погорелова.

После введения свойств и определения ромба школьники решают задачи.

Задача 1. Докажите, что если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.

Дано: ABCD-параллелограмм, АС, BD-диагонали, ACBD.

Доказать: ABCD-ромб.

Доказательство.

Пусть О - точка пересечения диагоналей. ?АОВ = ?AOD (по I признаку), AOB=AOD=90 (по условию), ОА - общая, OB=OD (по свойству диагоналей параллелограмма).

=>AB=AD. А по свойству противолежащих сторон параллелограмма AD=BC, AB=CD.

=> ABCD-ромб.

3адача 2. Периметр ромба ABCD равен 56см. Найдите углы ромба, (устно).

Ответ: AB=BC=CD=AD=14cm.

3адача 3. Один из углов ромба ABCD равен 72. найдите углы ромба (устно).

Ответ: A=C=72, B=D=108.

Затем им можно предложить систему задач:

1. В ромбе ABCD проведена диагональ АС. Докажите, что треугольник ABC - равнобедренный.

2. Две окружности с центрами в точках О и O₁ и равными радиусами пересекаются в точках А и В. Докажите, что четырехугольник АО₁ВО - параллелограмм.

3. Сторона ромба равна 18см, а один из углов равен 150. найдите расстояние между его противолежащими сторонами.

4. Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.

4.5 Трапеция

В учебнике «Геометрия 7-11» А.В. Погорелова (18) тема «Трапеция» изучается в §6 п.59 «Трапеция». Определение трапеции вводится в началепункта: Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеция. Две другие стороны называются боковыми сторонами.

Далее вводится понятия «равнобедренная трапеция» и «средняя линия трапеции», и рассматривается теорема 6.8 (о средней линии трапеции): «Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме».

В учебнике «Геометрия 7-9» Л.С. Атанасяна (4) понятие «трапеция» вводится в §2 «Параллелограмм и трапеция» в пункте 44 «Трапеция»:

«Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны - боковыми сторонами.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны. Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной».

Рассмотрим методику изучения темы «Трапеция» на примере учебника А.В. Погорелова.

Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами.

На рисунке вы видите трапецию ABCD с основаниями АВ и CD и боковыми сторонами ВС и AD.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Теорема 6.8: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD-трапеция,

QP-средняя линия.

Доказать: QР||ВС,

QP||AD,

QP=? (BC+AD).

Доказательство.



BP?AD=E, ?PBC=?PED (по второму признаку равенства треугольников) CP=DP (по построению), PCB=PDE (внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей CD),BPC=EPD (вертикальные).

Из равенства треугольников => РВ=РЕ, BC=ED.

Значит средняя линия PQ трапеции является средней линией ?АВЕ. По свойству сред, линии треугольника PQ||AE и отрезок

pq = ?АЕ= ?(ad+bc).

Ч.т.д.

После введения выше перечисленных понятий школьники решают задачи.

Задача1.В трапеции ABCD углы, прилежащие к стороне AD, равны 74 и 81. Определите углы прилежащие к стороне ВС. (устно).

Ответ: ABC=106, BCD=99.

Задача2. Докажите, что у равнобокой трапеции углы при основании равны.

Дано: ABCD-равнобокая трапеция,

АВ, CD-основания.

Доказать: A=B, D=C.



Доказательство.

BP||AD, ABED - параллелограмм => BE=AD (по свойству параллелограмма) AD=BC (по условию) => ?ВСЕ - равнобедренный с основанием ЕС. Углы треугольника и трапеции при вершине С совпадают, а углы при вершине Е и D равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых секущей. Поэтому ADC=BCD.

Ч.т.д.

Затем ученикам можно предложить систему задач, направленную на выработку соответствующих умений и навыков.

1. В равнобокой трапеции ABCD углы, прилежащие к стороне AD, равны 45. Найдите высоту трапеции, если основания равны 13 см и 27 см.

Докажите, что если в трапеции диагонали равны, то трапеция равнобокая.

В трапеции, одно из оснований которой равно 5 см проведена средняя линия, длина которой равна 6 см. Чему равно другое основание трапеции?

Диагонали трапеции ABCD пересекают среднюю линию RP в точках М и N. Докажите, что RM=NP.

Докажите, что середины сторон равнобокой трапеции являются вершинами ромба.

Конспект урока по теме: «Трапеция. Средняя линия трапеции»

Цели урока.

Образовательные:закрепит знания изученных свойств трапеции и теорему о средней линии трапеции, научить определять условия существования трапеции; научить применять формулу нахождения средней линии трапеции при решении простейших задач, а также в сходных и новых ситуациях.

Развивающие: развить навыки самоконтроля и взаимоконтроля, развитие логического мышления, грамотного и аккуратного выполнения работ.

Воспитательные: воспитание самостоятельности и коллективизма культуры речи.

Оборудование: 2 половины листа и 1 лист копировальной бумаги, каждому ученику письменные принадлежности, лист учёта у каждого ученика.

Ход урока.

1. Организационный момент урока.

Перед введением определения трапеции полезно вспомнить определение параллелограмма и рассмотреть такой вид четырехугольника, у которого только две противоположные стороны параллельны. (Определение трапеции сопровождается рисунком на доске).

ВС//АD

2. Закрепление понятия трапеции идет через готовые рисунки на доске и вопросы к ним:

1) Какие четырехугольники на рис. а), б), в) являются трапециями?

Назовите их основания и боковые стороны.

В трапеции МНРК проведен отрезок РЕ//МН. Определите вид четырехугольника МНРЕ.



В равностороннем треугольнике АВС со стороной 8 см проведена средняя линия DE. Определите вид четырехугольника АDЕС. Чему равны стороны этого четырехугольника?

Рассмотреть и назвать элементы трапеции, виды трапеции.

3. Рассмотрение доказательства теоремы о средней линии трапеции.

После изложения доказательства теоремы полезно зафиксировать его этапы:

Дополнительное построение: отрезок ВЕ;

ДРВС=ДРЕD.

РО - средняя линия ДАВЕ.

Вывод: РО//АD, РО= 1/2 (АD+ВС)

Замечание:(РО - средняя линия трапеции, отрезок РО - можно было рассматривать как среднюю линию ДАВЕ)

4. Первичное закрепление теоремы о средней линии идет через решение задач типа:

1) Основания трапеции 7 и 9 см. Чему равна средняя линия трапеции?

МN - средняя линия трапеция АВСD. Через т. N проведена прямая, параллельная стороне АВ и пересекает стороны АD в точке Р. Докажите, что МNРА - параллелограмм.

3) В трапеции АВСD известны стороны: АВ=4 см, ВС=6 см, СD=5 см, АD=10 см. Чему равны стороны трапеции АЕFD, если ЕF - средняя линия трапеции?

Каждая из боковых сторон трапеции АВСD разделена на 4 равные части. Чему равны отрезки М N , М N и М N, если АD=11 см, ВС=3 см?

5) РМ - средняя линия трапеции АВСD с основаниями АD=а и ВС=в. Она пересекает диагональ АС в точке К. чему равны отрезки РК и КМ?

6.Средняя линия трапеции равна 8 см, а одно из оснований равно 6 см. Чему равно другое основание?

Закрепление нового материала через предложенные задачи, показывает - насколько понят и усвоен новый материал.

5. Подведение итогов урока:

- определение трапеции;

- названия ее элементов;

- виды трапеций;

- формулировка теоремы о средней линии.

Постановка домашнего задания: § 59 стр. 92-93, вопросы 17-19, зад. №59 стр.100.

Контроль за усвоением материала осуществляется через тестирование (предполагается дифференцированный контроль знаний учащихся).

В обязательной части предлагаются задания, для успешного выполнения которых учащиеся должны применять знания на уровне минимальных программных требований. Дополнительная часть содержит два задания среднего уровня сложности, что соответствует большинству основных задач учебника, и два задания для более подготовленных учащихся.

Время, необходимое для тестирования, определяется исходя из возможностей конкретного класса.

Оценка	3	4	5
Обязательная часть	10	11	11
Дополнительная часть	-	4	9

1) (1) Заполните пропуски, чтобы получилось верное высказывание.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и _____________

__________________________________________________________

2) (1) Если МN - средняя линия трапеции АВСD, то длина отрезка МN равна ________________________________________________

АD и ВС - основания трапеции.

3) (2) Установите истинность или ложность следующих утверждений:

А) Отрезок, соединяющий боковые стороны трапеции, называется ее средней линией ________________

Б) Если основания трапеции равны 4 см и 8 см, то ее средняя линия равна 4 см ___________________

4) (2) Найдите МN.

а) 7 см; б) 5 см; в) 3 см.

5) (3)В трапеции одно из оснований больше другого в 2 раза. Средняя линия трапеции = 15 см. Найдите ее основание.

а) 5 см; 10 см; б) 10 см; 20 см; в) 15 см; 30 см.

6) (3) Меньшее основание трапеции относится к ее средней линии как 2:3. Найдите длину меньшего основания, если большее основание равно 16 см.

а) 8 см; 12 см; б) 10 см; 15 см; в) 4 см и 6 см.

Дополнительная часть

(4) Дано: АВСD - трапеция. АМ=ВМ, ВN= ND. Докажите, что МР - средняя линия трапеции АВСD.

8) (4) Средняя линия трапеции на 2 см меньше большего основания. Найдите среднюю линию трапеции, если меньшее основание равно 6 см.

а) 8 см; б) 10 см; в) 5 см.

9) (5) В равнобедренной трапеции АВСD перпендикуляр, опущенный из вершины В на большее основание ВD, делит его на отрезке, равные 4 см и 7 см. Найдите среднюю линию и меньшее основание трапеции.

а) 10 см; б) 4 см; в) 8 см.

10) (5) В равнобедренной трапеции АВСD МN - средняя линия, ВС=6 см, МN=14 см. Вычислите длину отрезка, который является частью средней линии и лежит между диагоналями трапеции.

а) 10 см; б) 4 см; в) 8 см.

§5. Методика изучения темы «Многоугольники»

В курсе геометрии VI-VIII классов систематически изучаются геометрические фигуры на плоскости, причем большое внимание уделяется многоугольникам, изучению их свойств, рассмотрению величин, характеризующих плоский многоугольник. В решении задач на многоугольники находят применение различные методы.

В различных школьных курсах планиметрии понятие многоугольников трактуется неодинаково.

В одних курсах многоугольник А_1, А₂, ..., А_n трактуется как фигура, состоящая из отрезков A₁A₂, A₂A₃, ..., A_n-1A_n, А_nА₁ любые два из которых, имеющие общий конец, не лежат на одной прямой (4), (18). В этом случае при рассмотрении площади многоугольников (прямоугольника, параллелограмма, треугольника и др.) под каждым из них понимается соответствующий плоский многоугольник (конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником).

В других курсах простой многоугольник (треугольник, четырехугольник и др.) трактуется с самого начала как часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломаной (3).

5.1 Выпуклые многоугольники

В учебнике «Геометрия 7-11» Г.П.Бевза (5) «выпуклые многоугольники» рассматриваются в §42 «Многоугольники». Определение «выпуклого многоугольника» дается в конце параграфа: «Если все углы многоугольника меньше развернутого, его называют выпуклым». Затем рассматривается теорема: «Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180 (n-2)».

В учебнике «Геометрия 7-11» А.В.Погорелова (18) тема «Выпуклые многоугольники» изучается в §13 «Многоугольники» п. 144.

В начале пункта вводится определение замкнутой: «Ломаная называется замкнутой, если у нее концы совпадают». Затем дается определение многоугольника: «Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой. Вершинами ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной - сторонами многоугольника. Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются диагоналями».

После чего рассматривается определение «выпуклого многоугольника»

и доказывается теорема 13.2: Сумма углов выпуклого п-уголъника равна 180(п-2).

В учебнике «Геометрия 7-9» Л.С.Атанасяна (4) тема «Выпуклые

многоугольники» рассматривается в п.40 §1 «Многоугольник» главы 5.

Определение «выпуклого многоугольника» дается в начале пункта: «Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины». Затем рассматривается свойство: «Сумма углов выпуклого n-угольника равна (п-2)180.

Рассмотрим методику изучения темы «Выпуклый многоугольник» на примере учебника геометрии А.В.Погорелова.

При изучении нового материала учащиеся должны познакомиться с несколькими новыми понятиями, уметь дать каждому определение, проиллюстрировать на рисунке.

Классу можно задать вопросы (рисунки к вопросам заготовлены заранее):

1. Назовите концы ломаных А₁А₂А₃А₄А₅ и B₁B₂B₃B₄B₅, изображенных на данном рисунке (рис.1).



Рис. 1.

2. Чем отличаются друг от друга данные ломаные? [Концы ломаной А₁А₂А₃А₄А₅ не совпадают, а ломаной B₁B₂B₃B₄B₅ совпадают].

Дается название ломаной B₁B₂B₃B₄B₅, - замкнутая ломаная. Составляется определение замкнутой ломаной.

Какие из известных фигур можно назвать замкнутыми ломаными? [Треугольник, четырехугольник].

Чем отличаются замкнутые ломаные, изображенные на рисунке 2, а, б, от замкнутой ломаной, изображенной на рисунке 2, в? [а) и б) без самопересечения; в) с самопересечением].

Рис. 2.

5. Чем отличаются друг от друга замкнутые ломаные, изображенные на рисунках 2, а, б? [а) Никакие соседние звенья не лежат на одной прямой].

Дается название: замкнутая ломаная, изображенная на рисунке 2, а, называется многоугольником. Составляется определение многоугольника. Вводятся понятия: вершина, сторона, диагональ.

Назовите на рисунке 3 выпуклые четырехугольники. Какой четырехугольник называется выпуклым?

Рис. 3.

7. Составляется определение выпуклого многоугольника: многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону. Вводится понятие угла выпуклого многоугольника: углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине.

Затем рассматривается теорема 13.2.

Теорема 13.2: Сумма углов выпуклого п-уголъникаравна 180(п-2).

Дано: A₁A₂...A_n-выпуклый,

п>3.

Доказать: A₁ + A₂ +... + A_n =180° *(n - 2).

Доказательство:

Если n=3, то теорема справедлива.

1. Пусть А₁А₂...А_n - данный выпуклый многоугольник и n>3. А₁А₃, A₁A₄,..., A₁A_n-1 - диагонали.

Т.к. многоугольник выпуклый, то диагонали разбивают его на n-2 треугольника: ?A₁A₂A₃, ?A₁A₃A₄,..., ?A₁A_n-1A_n.

Сумма углов многоугольника равна сумме углов треугольников. Сумма углов треугольника =180, число треугольников = n-2.

=> A₁ + A₂ +... + A_n =180° *(n - 2).

Ч.т.д.

5.2 Правильные многоугольники

В учебнике «Геометрия 7-11» А.В.Погорелова (18) тема «Правильные многоугольники» изучается в §13 «Многоугольники» п. 115.

Определение «правильного многоугольника» рассматривается в начале пункта: «Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны». Затем даются определения «вписанного» и «описанного» многоугольника и рассматривается теорема: «Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности».

В учебнике «Геометрия 7-9» Л.С.Атанасяна (4) тема «Правильные многоугольники» рассматривается в п. 105 §1 «Правильные многоугольники» главы 12.

Определение «правильного многоугольника» дается в начале пункта:

«Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны». Затем выводят формулу для вычисления угла б_n правильного n-угольника:

а_п=*180°.

В учебнике «Геометрия 7-9» И.М.Смирновой, В.А.Смирнова «правильный многоугольник» изучается в п.6 «Ломаные и многоугольники».

В начале пункта вводятся определение «ломаной»: «Фигура, образованная отрезками, расположенными так, что конец первого является началом второго, конец второго - началом третьего и т.д., называется ломаной линией или просто ломаной».

Затем даются определения простой, замкнутой и многоугольника: «Ломаная называется простой, если она не имеет точек самопересечения». «Если начало первого отрезка ломаной совпадает с концом последнего, то ломаная называется замкнутой». «Фигура, образованная простой замкнутой ломаной и ограниченной его частью плоскости, называется многоугольником».

После чего рассматривается определение «правильного многоугольника»: «Многоугольник называется правильным, если у него все стороны и все углы равны».

Рассмотрим методику изучения темы «Правильные многоугольники» на примере учебника геометрии А.В.Погорелова.

В начале пункта вводится определение «правильного многоугольника»: «Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны», затем вводятся определения «вписанного» и «описанного» многоугольников: «Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на некоторой окружности»; «Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности».

Перед изучением теоремы 13.3 с целью подготовки класса к доказательству можно задать учащимся вопросы на повторение:

Какая прямая называется касательной к окружности?

Каково может быть взаимное расположение прямой и окружности? В классе проводится беседа, которая состоит из двух частей: сначала

речь идет об окружности, описанной около многоугольника, а затем об окружности, вписанной в многоугольник.

Ответы учащихся сопровождаются последовательным показом серии рисунков.

Какой треугольник называется вписанным в окружность или какая окружность называется описанной около треугольника (рис.1)?

Рис. 1.

Можно ли около произвольного треугольника описать окружность?

Как найти центр окружности, описанной около треугольника? (Рис.2) Что является радиусом? (Рис.3)

Всегда ли можно описать окружность около многоугольника? (Нет. Пример: ромб, если он не квадрат. Рис.4)

Можно ли описать окружность около правильного многоугольника? (Рис.5)



Рис. 2.

Рис. 3.

Формулируется первая часть теоремы 13.3. Делается предположение, что около правильного многоугольника можно описать окружность. Стоит заметить, что этот факт будет доказан позднее.

Аналогичная работа проводится относительно возможности вписать окружность в многоугольник. Классу те же 5 вопросов относительно окружности, вписанной в многоугольник. При этом по аналогии с первой частью беседы используется серия рисунков, аналогичных предыдущим.

Учитель обращает внимание учащихся на возможность вписать окружность в правильный многоугольник. Формулируется и доказывается теорема 13.3: «Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности».

Доказательство теоремы ведется по учебнику. Полезно подчеркнуть, что центры вписанной и описанной окружностей в правильном многоугольнике совпадают и данная точка называется центром многоугольника.

После доказательства теоремы предлагаются задачи:

1.Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна а. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность.

Дано: Окружность (0;R),

ДАВС - правильный, вписанный,

АВ = a,

КМРЕ - вписанный квадрат.

Найти: KM.

Решение.

ДАВС - правильный, вписанный: R = KMPE - вписанный квадрат в окружность (0;R).

Пусть х =КМ - сторона квадрата, тогда

R = .

Ответ: KM = .

2. В окружность, радиус которой 4 дм, вписан правильный треугольник, на стороне которого построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.

Дано: окружность (0;R),

R=4 дм,

ДАВС - правильный, вписанный,

Oкр.₁ (O;R₁),

ABDE - вписанный квадрат в Oкр.₁

Найти: R₁.

Решение.

1.ДАВС - правильный, вписанный:

, a=дм.

ABDE - вписанный квадрат в Oкр.₁ :

R=дм.

Ответ: дм.

3. Сторона правильного многоугольника равна а, а радиус описанной окружности R. Найдите радиус вписанной окружности. Дано: Окр.(0;R),

A₁A₂...A_n - правильный, вписанный,

A₁A₂=а, радиус=R,

Окр.(0;г).

Найти: г.

Решение.

ОС - радиус вписанной окружности.

ДОСВ - прямоугольный (ZC = 90°)

OB=R, СВ=.

ОС² = ОВ² - ВС²

ОС=.

Ответ: ОС=.

4.Сторона правильного многоугольника равна а, а радиус вписанной окружности г. Найдите радиус описанной окружности.

Дано: окружность(0;г),

A₁A₂...A_n - пpaвильный., описанный,

А₁А₂=а, радиус=г,

Окружность (0;R).

Найти: R.

Решение. OB - радиус описанной окружности.

ДОСВ - прямоугольный (ZC = 90°)

ОС=г, СВ=

ОВ²=ОС²+СВ²

R²=.

Ответ: R = .

Затем учащимся можно предложить систему задач:

1. В правильном шестиугольнике А₁А₂А₃А₄А₅А₆ сторона равна 8. Отрезок ВС соединяет середины сторон А₃А₄ и А₅А_б. Найдите длину отрезка, соединяющего середину стороны А₁А₂ с серединой отрезка ВС.

2. Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна 32. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник МРК, если М, Р и К -середины сторон АВ, CD. EF соответственно.

Выразите сторону b правильного описанного многоугольника через радиус R окружности и сторону а правильного вписанного многоугольника с тем же числом сторон.

Периметры двух правильных n-угольников относятся как а:b. Как относятся радиусы их вписанных и описанных окружностей?

Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внутренних углов которого равен: 1) 135; 2) 150?

§6. Организация обобщающего повторения темы «Многоугольники» в курсе геометрии 9 класса

При обобщающем повторении темы «Многоугольники» происходит сопоставление понятий треугольник, параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция, выясняются связи между ними. Эти понятия включаются в новые отношения, учащиеся устанавливают иерархию понятий. Результатом обобщения может служить схема.

Методы работы с таблицами и схемами различны: учитель проводит беседу, выразив ее результаты в виде схемы; знакомит учащихся с планом беседы, а затем по этому плану проводит ее; знакомит учащихся со схемой, по которой они самостоятельно проводят обобщение, предлагает учащимся самостоятельно обобщить материал и выразить результаты в виде схемы.

Рассмотрев эту схему с учащимися, учитель предлагает серию вопросов:

1.Как определить ромб через четырехугольник, квадрат через четырехугольник, квадрат через ромб?

2. Можно ли определить ромб через прямоугольник?

3. Что является пересечением множества всех прямоугольников и множества всех ромбов?

Методика организации работы учащихся по данной теме может быть и другой. Например, учитель может лишь определить цель работы и указать основные вопросы, на которые учащиеся должны найти ответы; определить не только цель работы и перечень вопросов, но и раскрыть этапы и методику работы над этими вопросами.

При обобщающем повторении на уровне теорий дается определенная трактовка изученным понятиям с позиции тех или иных фундаментальных теорий, входящих в содержание математических курсов, при этом строится единая, общая форма многообразия частных фактов, явлений понятий. Значительное внимание уделяется происхождению понятий. Школьники устанавливают общие закономерности, причинно-следственные отношения, обобщают и конкретизируют материал, применяют общие положения к конкретным фактам. Материал, выносимый на обобщающее повторение на уровне теорий, должен представлять собой логическую систему, вопросы которой объединены той или иной фундаментальной теорией.

Обобщающее повторение на уровне теорий освещает полученные знания не только в плане внутрипредметных, но и межпредметных связей, так как многие понятия различных учебных предметов получают единую трактовку с позиций одной какой-либо теории.

Методика организации урока повторения по данной теме представлена к конспекте урока.

Урок обобщения и систематизации знаний по теме "Многоугольники"

Место урока в учебном плане: итоговое повторение по геометрии.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Цели урока: повторение изученного материала по теме "Многоугольники", подготовка к курсу стереометрии по теме "Многогранники", отработка навыков применения формул для нахождения площадей.

Задачи урока:

Образовательные: закрепление определений по данной теме, формирование умений и навыков нахождения площадей.

Развивающие: развитие логического мышления, памяти, внимания, познавательного интереса.

Воспитательные: воспитание активности, настойчивости в достижении цели; привитие учащимся навыков самостоятельной работы.

Форма работы на уроке: индивидуальная, групповая, коллективная, устная, письменная.

Оборудование урока: карточки с заданиями.

План урока

1. Сообщение темы и постановка целей урока. - 1 мин.

2. Актуализация знаний учащихся. - 5 мин.

3. Практическая работа. - 15-20 мин.

4. Рекламная пауза. - 5 мин.

5. Закрепление знаний. Конкурс "Самый находчивый". 10 мин.

6. Подведение итогов урока. - 3 мин.

7. Домашнее задание - 1 мин.

Ход урока

1. Сообщение темы и постановка целей урока. Учитель: Здравствуйте, ребята! Сегодня на уроке мы вспомним определения многоугольников, их свойства, признаки, будем совершенствовать навыки распознавания на чертежах многоугольников, их элементов, совершенствовать навыки в измерениях необходимых элементов для нахождения площадей многоугольников; учиться отстаивать свою точку зрения в конкурсе "Самый находчивый".

2. Актуализация знаний учащихся. Проводится фронтальная устная работа (учитель отмечает "+" за правильный ответ).

Вопросы.

1) Какая фигура называется многоугольником и n-угольником, их виды?

2) Что такое вершины, стороны, диагонали и периметр многоугольника?

3) Является ли треугольник примером многоугольника?

4) Назовите виды треугольников, перечислите их признаки?

5) Дайте определения четырехугольников: ромба, прямоугольника, квадрата, параллелограмма в такой последовательности, чтобы одно определение следовало из другого?

6) Перечислите три признака параллелограмма, признак прямоугольника, назовите особое свойство ромба?

7) Почему квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба?

8) Сформулируйте основные свойства квадрата?

9) Назовите значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°?

10) Сформулируйте теоремы, следствия, формулы для нахождения площадей многогранников (всего 10)?

3. Практическая работа. Учитель раздает бланки с построенными в нем многоугольниками (квадрат, прямоугольник, прямоугольный треугольник, равносторонний треугольник, тупоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, параллелограмм, ромб, трапеция, прямоугольная трапеция).

Задание. Пронумеруйте каждый многогранник. Запишите его название, измерьте необходимые данные для нахождения площади, подставьте в формулу, вычислите.

Замечания: каждую формулу для нахождения площади применять один раз.

Ответы: квадрат стороны; произведение смежных сторон; половина произведения катетов; половина произведения стороны в квадрате на синус 60°; половина произведения большей стороны на высоту, опущенную из тупого угла или формула Герона; произведение его основания на высоту; половина произведения диагоналей; произведение средней линии трапеции на высоту; произведение полусуммы её оснований на высоту, содержащую боковую сторону.

Дополнительная задача: Найдите площадь равнобедренной трапеции с диагональю 20 мм., высотой 16мм., и ответ выразите в квадратных сантиметрах.

(Краткое решение: подкоренное выражение (202 - 162 )умножить на высоту 16, т.е. 2*6*16 равно 192 мм2. Ответ: 1,92 см2).

4. Рекламная пауза. Каждый ученик по очереди выходит к доске, схематически чертит один из изученных углов, одновременно рассказывая определение и свойства (острый, тупой, развернутый, внешний, вертикальные, смежные, внутренние накрест лежащие, внутренние односторонние, соответственные). И угол в 30°,45°,60° с помощью треугольника и линейки (прямоугольный треугольник с катетом в два раза меньшим гипотенузы, прямоугольный равнобедренный треугольник).

5. Закрепление знаний. Конкурс "Самый находчивый". Каждый правильный ответ - 1 балл, если утверждение доказано - 2 балла, если четко сформулировано - 3 балла.

Задание 1. Какое слово из перечисленных (квадрат, параллелограмм, прямоугольник, ромб) является обобщающим для всех остальных и почему? (параллелограмм, т.к. остальные фигуры являются параллелограммами по определению).

Задание 2. Можно ли описать окружность около любого четырехугольника, если сумма его противоположных углов равна 180° и почему? (можно, потому что вписанные углы опираются на дуги, сумма которых равна 360°).

Задание 3. При каком условии можно вписать в окружность выпуклый четырехугольник и почему? (если суммы противоположных сторон равны; доказывается с помощью равных отрезков касательных, проведенных из одной вершины).

Задание 4. Как относятся площади треугольников, если угол одного треугольника равен углу другого треугольника и какая теорема доказывается с помощью этого отношения? (как произведение сторон, заключающие равные углы. Теорема: отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия).

Задание 5. Назовите формулу для вычисления суммы углов выпуклого n-угольника, и выведите её? ((n-2)*180°. Любой n-угольник содержит n-2 треугольника, сумма углов, которых равна сумме углов n-угольника).

6. Подведение итогов урока. Какие затруднения возникли при выполнении практической работы? По наличию "+" и количеству баллов выставляется первая оценка по результатам фронтальной устной работы и конкурса "Самый находчивый", а на следующем уроке выставляется вторая оценка по результатам практической работы.

7. Домашнее задание. В ходе урока каждый из вас выявил пробелы в своих знаниях, дома необходимо каждому индивидуально поработать над устранением этих пробелов. Повторить пункт 108 (Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности).

§7. Задачи по теме «Многоугольники» в материалах ЕГЭ по математике

Задачи по теме «Многоугольники» традиционно встречаются на выпускных экзаменах и в 9 классах и в 11 классах.

С 2008 года математика включена в список предметов, по которым государственная итоговая аттестация по курсу основной школы стала проводиться в новой форме.

Особенности содержания и структуры экзаменационной работы определяется целью проведения экзамена - оценить образовательную подготовку выпускников 9-х классов по курсу геометрии с целью их итоговой аттестации.

Приведем примеры тестов по геометрии.

Все задания в тесте распределены по уровню сложности и видам деятельности.

Вариант 1. ЧАСТЬ 1

1.В ромбе ABCD проведена диагональ BD. Найдите АВС если известно, что ABD = 20°.

1)20 2)70 3)40 4)140

4. Четырехугольник ABCD - трапеция. Используя данные, указанные на рисунке, найдите длину отрезка AD.

1)15 2)16 3)17 4)22

8. Найдите сторону ВС треугольника BCD, если известно, что CD= = , AB = 30°, a D = 45° .

Ответ:

ЧАСТЬ 2

10. В прямоугольнике ABCD проведены биссектрисы углов А и D, которые пересекаются в точке на стороне ВС. Найдите периметр прямоугольника ABCD, если АВ =8.

Ответ:

13.В квадрате ABCD точка К - середина стороны ВС, точка М - середина стороны АВ. Докажите, что прямые АК и MD взаимно перпендикулярны, а треугольники АЕМ (Е - точка пересечения прямых АК и MD) и АВК подобны.

ЧАСТЬ 3

В равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС вписана окружность. Она касается стороны АВ в точке М. Найдите радиус окружности, если АМ=12 и ВМ=18.

Высоты треугольника ABC пересекаются в точке Н, а медианы - в точке М. Точка К - середина отрезка МН. Найдите площадь треугольника АКС, если известно, что AB=18, СН=12, BAC = 45°.

Вариант 2

ЧАСТЬ 1

1. Диагональ трапеции образует с меньшим основанием угол, равный 42. Найдите величину угла, который эта диагональ образует с большим основанием.

1)21 2)58 3)42 4)138

2. Используя данные, указанные на рисунке, найдите площадь

параллелограмма.

1) 21м²

42 м²

34 м²

68 м²

Используя данные, указанные на рисунке, найдите периметр четырехугольника ABCD, если известно, что АВС =CBD.

Ответ:.

Часть 2

10. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее диагональ равна , а высота равна 2.

Ответ:

13. В ромбе ABCD из вершины тупого угла В к стороне AD проведена высоты ВК и к стороне CD - высота ВР. Докажите равенство треугольников АВК и СВР, и равенство углов КВР и BAD.

ЧАСТЬ 3

15. В треугольнике ABC проведены высоты AN и ВМ и отмечена точка К - середина стороны АВ. Найдите АВ, если известно, что ACB = 105°, а площадь треугольника MNK равна 4.

Кроме этого в содержании контрольных измерительных материалов по математике к итоговой аттестации выпускников входят задачи по планиметрии (в любом тесте это задачи В11). Приведем примеры таких задач:

2007г.

В11. Дан ромб ABCD с острым углом В. Площадь ромба равна 320, а синус угла В равен 0,8. Высота СН пересекает диагональ BD в точке К. Найдите длину отрезка СК.

В11. В ромбе ABCD синус острого угла С равен 0,6. Площадь ромба равна 135. Высота ВК пересекает диагональ АС в точке Р. Найдите длину отрезка РК.

В11. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС высоты ВМ и АН пересекаются в точке К, причем АК равно 5, КН равно 3. Найдите площадь треугольника ABC.

2008г.

В11. В параллелограмме ABCD биссектриса угла В пересекает сторону CD в точке Т и прямую AD в точке М. Найдите периметр треугольника АВМ, если ВС равно 15, ВТ равно 18, ТМ равно 12.

В11. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС высоты BE и СН пересекаются в точке К, причем ВН=6, КН=3. Найдите площадь треугольника СВК.

В11. Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник МРК, если М, Р и К -середины сторон АВ, CD, EF соответственно.

2009г.

В11. В правильном шестиугольнике A₁A₂A₃A₄A₅A₆ сторона равна . Отрезок ВС соединяет середины сторон А₃А₄ и А₅А₆. Найдите длину отрезка, соединяющего середину стороны А₁А₂ с серединой отрезка ВС.

В11. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AD=10, BD=8, a

отрезок, соединяющий вершину В с серединой стороны AD, равен VI5 .

В11. Из вершины С параллелограмма ABCD проведен луч, который пересекает сторону AD в точке Т и диагональ BD в точке Р. Площадь треугольника CDP равна 10, а площадь треугольника DPT равна 8. Найдите площадь параллелограмма.

2010 г.

В4. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AK и BM (рис. 1). Известно, что угол ABM равен 15°, а угол KAM равен 18°. Найти внешний угол BCD при вершине C.



Рис. 1.

С4. Дан параллелограмм ABCD, AB = 2, BC = 5, A = 60⁰. Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырёхугольника ABOD.

В4. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AK и BM (рис. 1). Известно, что угол ABM равен 13° , а угол KAM равен 19°. Найти внешний угол BCD при вершине C.

С4. Дан параллелограмм ABCD, ABCD, AB = 3, BC = 7, A = 60⁰. Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырёхугольника ABOD.

2011 г.

B4. В треугольнике АВС АС=ВС, АD-- высота, угол BAD равен 28⁰. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

B4. В треугольнике АВС АС=ВС, угол C равен 62⁰. Найдите внешний угол CBD. Ответ дайте в градусах.

B4. В треугольнике ABC угол C равен 58?, AD и BE -- биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах



Литература

1. Автономова Т.В., Аргунов Б.И. Основы понятия и методы школьного курса геометрии. - М.: Просвещение, 1988.Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия для 7-9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.- М.: Просвещение, 2002.

2. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия: 7-9 кл. - М.: Просвещение, 2002.

3. Аргунов Б.И. и Балк М.Б. Элементарная геометрия. - М.: Просвещение, 1966.

4. Атанасян Л.С. и др. Геометрия: Учеб. Для общеобразоват. учреждений: базовый профил. уровни 7-9 кл. - М.: Просвещение, 2002.

5. Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владимирова Н.Г. Геометрия: Учеб. для 7-11 классов сред, школы. - М.: Просвещение, 1992.

6. Болтянский В.Г. Элементарная геометрия. - М.: Просвещение, 1985.

7. Геометрия в 6 классе: пособие для учителя Н.Б. Мельникова. И.Л. Никольевская, Л.Ю. Чернышева. - М.: Просвещение, 1982.- 160 с.

8. Геометрия в 7-9 классах (Методические рекомендации к преподаванию курса геометрии и по учебному пособию А.В. Погорелова) Л.Ю. Березина,Н.Б. Мельникова и др. М.: Просвещение, 2000.

9. Гусев В.А. Практикум по решению математических задач и геометрии - М.: Просвещение, 1985.

10. Карнацевич Л.С., Грушин А.И. Изучение геометрии в 7 кл.: Из опыта работы. - М.: Просвещение, 2000.

11. Киселев А.П. Геометрия, ч.1 и 4.2-М.: Учпедгиз, 1957. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учебное пособие для студентов физ-мат. спец. пед.институтов (Е.И. Лященко, К.В. Зобкова и др.; Под редакцией Е.И.

12. Лященко.- М.: Просвещение, 1988. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учебное пособие для студентов пед. институтов/ Л.Я. Блох, Е.С. Канин, Н.Г. Килина и др.; Сост. Р.С. Черкасов, Л.А. Столяр.- М.: Просвещение, 1985.

13. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методики: Учебное пособие для студентов пед. институтов/ А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др., Сост. В.И. Мишин.- М.: Просвещение, 1987.

14. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учебное пособие для физ-мат. факультета пед. институтов/ Ю.М. Колягин, В.А. Оганесян, В.Я. Санинский, Г.Л. Луканкин.-М.: Просвещение, 1980.

15. Методика преподавания математике в средней школе: Частные методики: Учебное пособие для физ-мат фак. институтов/ Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, Е.Л. Мокрушин и др.- М.: Просвещение, 1977.

16. Методические рекомендации к курсу геометрии 6-8 классов: Пособие для учителя/ Л.С. Киселева, И.И. Бутузова_ М.: Просвещение, 1987.

17. Монахова Н.А. Из опыта обучения геометрии в старших классах.- М.: Просвещение, 1979.

18. Погорелов А.В. Геометрия: Учебное пособие для 7-11 классов. - М.: Просвещение, 2002.

19. Преподавание геометрии в 6-8 кл. Сб. статей/ Сост. В.А. Гусев. - М.: Просвещение, 1979.

20. Тесленко И.Ф. О преподавании геометрии в средней школе. Книга для учителя - М.: Просвещение, 1985.

21. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. - М.: Просвещение, 1995.-240с.