Размещено на http://www.allbest.ru/

19

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Образование на современном этапе характеризуется усилением внимания к ученику, к его саморазвитию и самопознанию, вниманием ученика к окружающему миру и к себе, к воспитанию умения искать и находить своё место в жизни. Целью современного образования является полное достижение развития тех способностей личности, которые нужны ей и обществу.

Цели обучения математике в общеобразовательной школе определяются её ролью в развитии общества в целом и формировании личности каждого отдельного человека.

В последнее время много говорится о недостаточной эффективности процесса обучения в школе, поскольку традиционная организация не отвечает требованиям времени, не создаёт условий для улучшения качества обучения и развития учащихся.

Образовательные и воспитательные задачи обучения математике должны решаться комплексно с учётом возрастных особенностей учащихся, специфики математики как науки и учебного предмета, определяющей её роль и место в общей системе школьного обучения и воспитания. Учителю предоставляется право самостоятельного выбора методических путей и приёмов решения этих задач.

Среди различных разделов математики, изучаемых в школе, особое место занимает и играет особую роль - геометрия. Возрастание значимости геометрии на всех ступенях образовательной лестницы, в самых разных областях науки, техники, искусства - заметная тенденция сегодняшнего времени. Среди всех предметов математического цикла (и не только математического) именно геометрия обладает самым большим развивающим потенциалом. Занятия геометрией могут помочь способному ребёнку максимально ускорить темпы своего интеллектуального развития.

Геометрия развивает логическое мышление, которое является одним из важнейших элементов воспитания личности, а также нравственное воспитание, независимость суждений и поведения.

Однако следует признать, что за последние годы уровень геометрической подготовки значительно снизился и достиг минимальной отметки, чуть ли не за всю историю существования школьной геометрии.

Геометрия, элементы которой возникли в глубокой древности из практических запросов людей, является в тоже время продуктом естественной потребности человека в познании, постоянном стремлении его к совершенству и красоте. Но вместе с тем, её относят к одному из самых трудных и, возможно из-за этого нелюбимых предметов.

Издревле, в связи с необходимостью измерять расстояния, площади земельных участков, возводить постройки, изготовлять орудия труда и предметы обихода. Слово «Геометрия» - греческое, в переводе на русский язык оно означает «землемерие». Сейчас геометрия не ограничивается задачами «землемерия». Её методы и выводы проникли во многие области человеческой деятельности.

Процесс накопления человечеством геометрических сведений был очень длительным и осуществлялся в разнообразных формах. Первоначально единственным источником этих сведений был опыт, наблюдения над свойствами линий, поверхностей и тел. Получение геометрических сведений чисто опытным путём потребовало очень большого времени.

Целью изучения курса геометрии в 7-9 классах является систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости, развитие логического мышления и подготовки аппарата, необходимого для изучения смежных дисциплин (физика, черчение и т.д.) и курса стереометрии старших классах.

Курс характеризуется рациональным сочетанием логической строгости и геометрической наглядности. Увеличивается теоретическая зависимость изучаемого материала, расширяются внутренние логические связи курса, повышается роль дедукции, степень абстрактности изучаемого материала. Учащиеся овладевают приемами аналитико-синтетической деятельности при доказательстве теорем и решении задач. Изложение материала характеризуется постоянным обращением к наглядности, использованием рисунков и чертежей на всех этапах обучения и развитием геометрической интуиции на этой основе. Целенаправленное обращение к примерам из практики развивает умения учащихся вычленять геометрические факты, формы и отношения в предметах и явлениях действительности, использовать язык геометрии для их описания.

Данная выпускная квалификационная работа посвящена теме «Прямоугольный треугольник», даны методические рекомендации к изучению данной темы.

Материал по освещаемой проходит через многие главы учебников в 7-8 классов, на различных этапах изучения школьного курса геометрии. При работе над данной темой были собраны все имеющиеся теоретические данные по теме «Прямоугольный треугольник», позволяющие ученикам лучше усвоить тему, опираясь на ранее изученный материал.

Так как тема изучения прямоугольного треугольника является начальной стадией геометрической науки, она должна быть представлена полностью, раскрыта и преподнесена доступно для учеников, дабы развить у учащихся изучать предмет геометрии.

В процессе изучения дальнейших материалов геометрии приходится неоднократно возвращаться к истокам начала науки, где находится материал, непосредственно связанный с прямоугольным треугольником; кроме того, учитель вынужден внедрять новые методы, разрабатывать эффективную методику обучения, так что представленная работа полностью освещает актуальность выбранной темы.

Целью исследования представленной работы является разработка методики обучения прямоугольных треугольников и, непосредственно, изучение и анализ прямоугольных треугольников.

Проблема исследования состоит в разработке методических рекомендаций к теме «Прямоугольный треугольник», в связи с огромной значимостью данной темы в курсе геометрии.

Объектом исследования является процесс обучения геометрии в основной школе.

Предмет исследования - методика изучения свойств прямоугольного треугольника в средней школе, формирующая развитие у учащихся способностей к получению математических знаний.

Для успешной реализации поставленной цели необходимо решить следующие задачи исследования:

¦ провести анализ математической, методической и психолого-педагогической литературы;

¦ рассмотреть свойства прямоугольных треугольников и показать применение этих свойств к решению задач;

¦ показать практическую значимость темы;

¦ разработать методические рекомендации к изучению темы.

Методы исследования:

¦ анализ научной - математической, методической и психолого-педагогической литературы;

¦ систематизация и обобщение теоретического и практического материала изученной темы;

¦ изучение опыта и анализ состояния методики обучения;

¦ подбор, анализ и решение задач по данной теме.

Изучение теоремы Пифагора позволяет существенно расширить круг геометрических задач, решаемых школьниками, давая им в руки вместе с признаками равенства треугольников достаточно мощный аппарат решения задач.

Соответствующие умения являются опорными для решения вычислительных задач и доказательства ряда теорем в курсе планиметрии и стереометрии. Кроме того, они используются и в курсе физики.

В главе 1 внимание обращается на те или иные вопросы теоретического характера, такие как свойства прямоугольного треугольника, признаки равенства прямоугольных треугольников, теорема Пифагора, признаки подобия треугольников. Даны доказательства многих теорем.

В главе 2 представлены методические рекомендации для изучения данной темы, характеристика возрастных особенностей учеников 7- 8 классов, что позволяет учителю правильно строить уроки; разработаны некоторые примерные уроки по данной теме.

Практическая значимость работы заключается в том, что данный материал может быть использован студентами педагогических Вузов для работы на лабораторных занятиях по методике преподавания математики, а также работа будет интересна начинающим специалистам некоторыми своими методическими рекомендациями.

1. Теоретические вопросы темы «пр"ямоугольный треугольник»

1.1 Введение понятия прямоугольного треугольника

Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки - сторонами.

На рисунке 1 мы видим треугольник с вершинами A, B, C и сторонами AB, AC, CB.

Треугольник обозначается указанием его вершин. Вместо слова «треугольник» иногда употребляют знак Д. Например, треугольник на рисунке обозначается так: Д ABC. Три угла- BAC CBA, ACB - называют углами треугольника ABC. Часто их обозначают одной буквой A, B, C.

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. Стороны прямоугольного треугольника имеют специальные названия:

гипотенуза - сторона, лежащая против прямого угла; катеты - стороны прилежащие гипотенузе (рис. 2).

Так как сумма углов в треугольнике равна 180?, то у прямоугольного треугольника только один прямой угол. Два другие угла прямоугольного треугольника - острые. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 180є - 90є = 90є.

УТВЕРЖДЕНИЕ. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

В самом деле, гипотенуза лежит против прямого угла, а катет, против острого. Так как прямой угол больше острого, то гипотенуза больше катета.

1.2 Прямоугольный треугольник и его свойства

Рассмотрим свойства прямоугольных треугольников, которые устанавливаются с помощью теоремы о сумме углов треугольника.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета (следствие из теоремы о соотношении между сторонами и углами в треугольнике).

1°. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

В самом деле, сумма углов треугольника равна 180°, а прямой угол равен 90°, поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

2°. Катет прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30є, равен половине гипотенузы.



Пусть ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C и углом B равным 30є, а значит, угол A равен 60° (рис. 3). Построим треугольник DBC равный треугольнику ABC, как показано на рисунке. У треугольника ABD все углы равны (60є), поэтому он равносторонний.

Так как AC=AD, а AD=AB, то AC=AB.

Что и требовалось доказать.

3°. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30є (обратная теорема).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, у которого катет AC равен половине гипотенузы AC (рис. 4 а). Докажем, что <ABC = 30°.

Приложим к треугольнику ABC равный ему треугольник DBC так, как показано на рисунке 4 б). Получим равносторонний треугольник DBA. Углы равностороннего треугольника равны друг другу, поэтому каждый из них равен 60°. В частности < DBA=60°. Но <DBA=2<ABC. Следовательно, <ABC=30°.

Что и требовалось доказать.

1.3 Признаки равенства прямоугольных треугольников

Чтобы установить равенство прямоугольных треугольников, достаточно знать, что два элемента одного треугольника соответственно равны двум элементам другого треугольника (исключая прямой угол). Это, конечно, не распространяется на равенство двух углов одного треугольника двум углам другого треугольника.

Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует:

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны (рис 5).

Далее, из второго признака равенства треугольников следует:

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 6).



Рассмотрим ещё два признака равенства прямоугольных треугольников.

ТЕОРЕМА. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 7).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из свойства 1є § следует, что в таких треугольниках два других острых угла тоже равны, поэтому треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим углам.

Что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁, у которых углы C и C₁ - прямые, AB =A₁B₁, BC = B₁C₁ (рис. 8).



Так как < C = < C₁, то треугольник ABC можно наложить на треугольник A₁B₁C₁ так, что вершина C совместится с вершиной C₁, а стороны CA и CB наложатся соответственно на лучи C₁A₁ и C₁B₁, поскольку CB = C₁B₁, то вершина B совместится с вершиной B₁. Но тогда вершины A и A₁ также совместятся. В самом деле, если предположить, что точка A совместится с некоторой другой точкой A₂ луча C₁A₁, то получим равнобедренный треугольник A₁B₁A₂, в котором углы при основании A₁A₂ не равны (на рисунке < A₂ - острый, а < A₁ - тупой как смежный с острым углом B₁A₁C₁). Но это невозможно, поэтому вершины A и A₁ совместятся. Следовательно, полностью совместятся треугольники ABC A₁B₁C₁, то есть они равны.

Что и требовалось доказать.

1.4 Теорема Пифагора

Значение её состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Одна из теорем позволяет убедиться в том, что если из точки вне прямой проведены к ней перпендикуляр и наклонные, то: а) наклонные равны, если равны их проекции; б) та наклонная больше, которая имеет большую проекцию.

Теорема Пифагора была первым утверждением, связавшим длины сторон треугольников. Потом узнали, как находить длины сторон и углы остроугольных и тупоугольных треугольников. Возникла целая наука тригонометрия («тригон» - по-гречески означает «треугольник»). Эта наука нашла применение в землемерии. Но еще раньше с ее помощью научились измерять воображаемые треугольники на небе, вершинами которых были звезды. Сейчас тригонометрию применяют даже для измерения расстояний между космическими кораблями.

Пользуясь свойствами площадей многоугольников, мы установим теперь замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Теорема, которую мы докажем, называется теоремой Пифагора, которая является важнейшей теоремой геометрии.

Если дан нам треугольник,

И при том с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим

И таким простым путем

К результату мы придем.

ТЕОРЕМА. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a, b и c (рис. 9 а).



Докажем, что c² = a² + b². Достроим треугольник до квадрата со стороной a+b, так как показано на рисунке (рис. 9 б).

Площадь такого квадрата со стороной a + b равна (a + b)². С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь которых равна ab, и квадрат со стороной с, поэтому

.

Таким образом, (a + b)² =2ab + c², откуда c² = a² + b².

Что и требовалось доказать.

СЛЕДСТВИЕ 1. В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме Пифагора АВ² = АС² + ВС². Так как ВС²>0, то АС²<АВ, То есть АС<АВ.

СЛЕДСТВИЕ 2. Для любого острого угла б cosб <1.

ДОКЗАТЕЛЬСВО. По определению косинуса cosб = . Но в следствии 1 было доказано, что АС<АВ, значит, дробь меньше 1.

Прямоугольные треугольники, у которых стороны выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками.

Можно доказать, что катеты a, b и гипотенуза c таких треугольников выражаются формулами a=2kmn; b=k(m²-n²); c=k(m²+n²), где k, m и n - натуральные числа, такие, что m>n. Треугольники, со сторонами, длины которых равны 3, 4, 5 называются египетскими треугольниками, т. к. они были известны ещё древним египтянам.

Обратная к теореме Пифагора.

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный (признак прямоугольного треугольника).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть в треугольнике ABC AB² = AC² + BC². Докажем, что угол C - прямой. Рассмотрим прямоугольный треугольник A₁B₁C₁ с прямым углом C₁, у которого A₁C₁ = AC и B₁C₁ = BC. По теореме Пифагора A₁B₁²=A₁C₁²+B₁C₁², и значит, A₁B₁² = AC² +BC². Но AC² + BC² = AB² по условию теоремы. Следовательно, A₁B₁² = AB², откуда A₁B₁ = AB. Треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по трём сторонам, поэтому < C = < C₁, то есть треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C.

Что и требовалось доказать.

1.5 Углы в прямоугольном треугольнике

Синус, косинус и тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C (рис. 10). Катет BC этого треугольника является противоположным углу A,

а катет AC - прилежащим к этому углу.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.



Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Синус, косинус и тангенс угла равного б обозначается символами sin б, cos б и tg б (читается: «синус альфа», «косинус альфа» и «тангенс альфа»). На рисунке

, (1)

, (2)

, (3)

Из формул (1) и (2) получаем:

Сравнивая с формулой (3), находим

(4),

то есть тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.

ТЕОРЕМА. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ABC и A₁B₁C₁ - два прямоугольных треугольника с прямыми углами C и C₁ и с одним и тем же углом при вершине A и A₁ равны б (рис. 11).

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому . Из этих равенств следует, что , то есть .

Аналогично , то есть , и , то есть .

Что и требовалось доказать.

Докажем теперь справедливость равенства

(5).

Из формул (1) и (2) получаем . По теореме Пифагора , поэтому .

Равенство (5) называется основным тригонометрическим тождеством.

Представим ещё одно доказательство теоремы Пифагора, основанное на определении косинуса угла в прямоугольном треугольнике.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ABC - данный прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту CD из вершины прямого угла C. (рис. 12).

По определению косинуса угла . Отсюда . Аналогично . Отсюда .

Складывая полученные равенства почленно, и, замечая, что AD+DB=AB, получим .

Что и требовалось доказать.

Значение синуса, косинуса и тангенса для углов

30°, 45° И 60°

Найдём сначала значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30° и 60°. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, у которого < A =30°, <B = 60° (рис. 13).

Так как катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, то . Но . С другой стороны . Итак, .

Из основного тригонометрического тождества получаем

, .

По формуле (4) П. 5.1. находим

.

Найдём теперь sin45°, cos45° и tg45°. Для этого рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C (рис. 14).

В этом треугольнике AC = BC, < A = < B = 45°. По теореме Пифагора

AB² = AC² + BC² = 2AC² = 2BC², откуда AC = BC =. Следовательно,

.

Составим таблицу значений sinб, cosб, tgб для углов б, равных 30°, 45°, 60°.

б	30°	45°	60°
sinб
cosб
tgб		1

урок геометрия треугольник теорема

1.6 Подобие прямоугольных треугольников

В повседневной жизни встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров, например, футбольный и теннисный мячи, круглая тарелка и большое круглое блюдо. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Введём понятие подобных треугольников.

Пусть у двух треугольников ABC и A₁B₁C₁ углы соответственно равны: <A=<A₁, <B=<B₁, <C=<C₁. В этом случае стороны AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, CA и C₁A₁ называются сходственными.

Два треугольника называются подобными, если их углы равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого (рис. 15).

Другими словами, два треугольника подобны, если для них можно ввести обозначения ABC и A₁B₁C₁ так что

<A=<A₁, <B=<B₁, <C=<C₁, (1)

(2).

Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия. Обозначается ?ABC~?A₁B₁C₁.

Оказывается, что подобие треугольников можно устанавливать, проверив только некоторые из равенств (1) и (2).

У прямоугольного треугольника один угол прямой. Поэтому для подобия прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу.

С помощью этого признака подобия прямоугольных треугольников докажем некоторые соотношения в треугольниках.

Пусть ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту CD из вершины прямого угла (рис. 16).

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет его на подобные прямоугольные треугольники, каждый из которых подобен данному треугольнику.

На рисунке ABC - прямоугольный треугольник <ABC=90є, CD +AB.

Д ACD ~ Д CDB;

Д ACD ~ Д ABC;

Д CDB ~ Д ABC.

Треугольники ABC и CBD имеют общий угол при вершине B. Следовательно, они подобны ?ABC~? CBD. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

, или , а отсюда следует, что . Это соотношение обычно формулируется так: катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Прямоугольные треугольники ACD и CBD также подобны. У них равные острые углы при вершинах A и C. Из подобия этих треугольников следует пропорциональность их сторон:

или , а отсюда следует, что . Это соотношение обычно формулируется так: высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

2. Методические основы изучения темы «Прямоугольный треугольник»

Методика обучения математике не только логически организует отобранный материал, но и ориентирует его на особенности учащихся того или иного класса, используя закономерности памяти, мышления, внимания и т.д., индивидуальные способности возрастной группы.

Основная роль учителя математики в современных условиях - это воспитание личности учащихся, формирование их потребностно - мотивационной сферы, воспитание их способностей, нравственных идеалов и убеждений. Обучение знаниям, умениям и навыкам по математике является составной частью этого воспитания и тем процессом, в котором это воспитание осуществляется.

Обучение математике способствует становлению и развитию нравственных черт личности: настойчивости и целеустремлённости, познавательной активности и самостоятельности, дисциплины и критического мышления, способности аргументировано отстаивать свои взгляды и убеждения. Изучение математики вносит определенный вклад в эстетическое воспитание человека, формируя понимание красоты и изящества математических убеждений, способствуя восприятию геометрических форм и симметрии. Изучение математики развивает воображение и пространственные представления.

2.1 Психолого-педагогический аспект изучения темы

В настоящее время наблюдается усиленный интерес учителей математики к психолого-педагогическим проблемам, к психологическим знаниям. Этот интерес обусловлен тем, что учителя математики в своей повседневной практической деятельности встречаются с такими проблемами, которые можно разрешить лишь на основе психолого-педагогических знаний, а также при условии глубокого психологического осмысления сущности этих проблем.

О том, что надо учитывать возрастные особенности учащихся, говорится всюду, но не всегда указывается, что это означает, какие особенности надо учитывать и как их надо учитывать. Между тем, надо иметь в виду, что возрастные способности - это нечто неизменное и вечное, что присуще ученикам определённого возраста. Сами эти особенности довольно резко меняются со временем.

Возрастная психология изучает особенности психологического развития человека. Предметом её исследования является возрастная динамика, закономерности и ведущие факторы развития психологических процессов и свойств личности человека на разных этапах его жизни.

Правильность отношения учителя к ученику связано с пониманием кардинальных проблем возраста, специфики и ведущих тенденций, определяющих особенности учебно-воспитательного процесса, стратегию обучения и воспитания. Это значит, решить для себя, какие принципы положить в основу планирования содержания и методов обучения, какие требования предъявлять учащимся, как строить общение с ними, как оценить их знания, возможности, способности, т.е. как определить основные направления и пути реализации характера обучения. Анализ возрастных особенностей учащихся поможет правильно построить урок, найти наилучший подход к любому из учеников.

Рассмотрим некоторые психологические особенности современного ученика, имея в виду лишь те его особенности, которые важно учитывать в процессе обучения математике. Очертив общую характеристику возрастных особенностей учащихся, попытаемся наметить особенности совершенствования психических процессов в подростков возрасте.

Ученик - это растущий, развивающийся человек. Придя в школу в семь лет, он заканчивает её в 17 лет вполне сложившимся человеком юношеского возраста. За эти десять лет обучения ученик проходит огромный путь физического, психического и социально - нравственного развития.

Учащиеся 7-8 классов - это преимущественно подростки 12-13 лет. Именно в этом возрасте происходят важные процессы, связанные с перестройкой памяти. Активно начинает развиваться логическая память и скоро достигает такого уровня, что ребёнок переходит в основном к использованию этого вида памяти, а также произвольной и опосредствованной памяти. Среди школьных предметов для развития логической памяти как нельзя лучше подходит геометрия. Характерной особенностью подросткового возраста является готовность и способность ко многим различным видам обучения, причём как в практическом плане, так и в теоретическом.

Ещё одной чертой, которая впервые полностью раскрывается в подростковом возрасте, является склонность к экспериментированию, проявляющаяся, в частности, в нежелании всё принимать на веру. Эта возрастная особенность учащихся может помочь сделать уроки геометрии по теме «Прямоугольный треугольник» очень интересными для самих учащихся, если их проводить в форме неких практических работ, что может способствовать хорошему усвоению многих тем. Ведь в этот период подростки обнаруживают широкие познавательные интересы, связанные со стремлением всё самостоятельно перепроверить, лично удостовериться в истинности.

Подростковый возраст отличается повышенной интеллектуальной активностью, которая стимулируется не только естественной возрастной любознательностью подростков, но и желанием развить, продемонстрировать окружающим свои способности, получить высокую оценку с их стороны. В этой связи подростки стремятся решать наиболее сложные задачи, нередко проявляются не только высокоразвитый интеллект, но и незаурядные способности, в развитии которых неотъемлемую роль может сыграть геометрия, с её законами, теоремами и интересными решениями некоторых задач. Для подростков характерна эмоционально - отрицательная эффективная реакция на слишком простые задачи. В этих случаях можно дать возможность ученикам самим вывести и доказать и свойства прямоугольных треугольников, теорему Пифагора. Сильным ученикам дать возможность самим провести исследования или провести несложный урок.

В то же время мышление этого возраста характеризуется стремлением к широким обобщениям, где как никогда необходимо применять широкие знания геометрии для развития логического и абстрактного мышления и данная тема затрагивает именно этот аспект изучения данного вопроса.

В средних классах школы вместо одного учителя появляются несколько новых педагогов, у которых обычно различны стиль поведения и манера общения, а также приёмы ведения занятий. Разные учителя предъявляют различные требования к подросткам, что заставляет их индивидуально приспосабливаться к каждому новому учителю. В подростковом возрасте появляются дифференцированное отношение к разным учителям: одних любят, других нет, к третьим относятся безразлично. Подростки более ценят знающих учителей, строгих, но справедливых, которые по-доброму относятся к детям, умеют интересно и понятно объяснять материал, ставят справедливые оценки, не делят класс на любимчиков и нелюбимых. Особенно высоко ценится подростком эрудиция учителя, а также его умение правильно строить взаимоотношения с учащимися. Учитель должен находить подход к ученикам, пытаться привлечь их, заинтересовать уроком, построенным в форме диалога: учитель - ученик. В качестве примера может послужить тема свойства прямоугольного треугольника, обзор которой полностью дан в представленной работе. Ученикам будет интересен и увлекателен урок, если учитель при выводе свойств и доказательств этих свойств, будет наталкивать учеников на то, что бы они составили определённые выводы по изучаемой теме.

Дети в данном возрасте уже достаточно заметно отличаются друг от друга по интересам к учению, по уровню интеллектуального развития и по кругозору, по объёму и прочности знаний, по уровню личностного развития. Этими различиями определяется их дифференциальное отношение к учёбе. Учитель должен учитывать уровень знаний каждого ученика, подстроиться к каждому, дать знания каждому. Указанное обстоятельство определяет избирательный характер отношения к школьным предметам. Одни из них становятся нужными и потому более любимыми подростками, интерес к другим снижается. Нередко отношение подростка к тому или иному предмету определяется отношением к учителю, преподающему данный предмет. Подросткам обычно нравятся те предметы, которые преподают их любимые учителя. Успеваемость многих детей в средних классах школы временно падает из-за того, что за пределами школы у них появляются сильные, конкурирующие с учеником интересы.

Подростки могут формулировать гипотезы, рассуждать предположительно. Это умение поможет сделать уроки по изучению прямоугольных треугольников более интересными. В свою очередь данные занятия будут способствовать развитию умений. Учащиеся будут с большим интересом выдвигать и пытаться доказывать свои гипотезы о свойствах прямоугольного треугольника, о признаках равенства прямоугольных треугольников. Интерес учащихся седьмых - восьмых классов вызывают исследование альтернативных решений одной и той же задачи, а также различные способы доказательств какой-либо теоремы.

Сфера познавательных, в том числе учебных, интересов подростков выходит за пределы школы и приобретает форму познавательной самостоятельности - стремление к поиску и приобретению знаний, к формированию полезных умений и навыков. С учётом данной возрастной особенности полезно некоторые уроки провести в виде уроков - практикумов.

Геометрия способствует полноценному развитию ребёнка, что так необходимо в подростковом возрасте. Как показывают исследования психологов, эмоциональное развитие является основой общеинтеллектуального развития. Его составной частью является эстетическое воспитание. Именно геометрия предоставляет огромные возможности для эстетического развития, эстетического воспитания.

Для нормального развития подростку необходимо полноценное питание, ровно как для нормального интеллектуального развития необходима разнообразная интеллектуальная пища. Сегодня математика, особенно геометрия, является одним из немногих экологически чистых и полноценных продуктов, потребляемых в системе образования. Геометрия может и должна стать предметом, с помощью которого подростки могут сбалансировать работу головного мозга, улучшить функциональное взаимодействие между полушариями. Геометрия - витамин для мозга.

2.2 Управление учебным процессом при изучении темы «Прямоугольный треугольник» в курсе девятилетней школы

Успех в решении задач по геометрии во многом зависит от профессионального уровня учителя и степени заинтересованности и подготовленности школьников. Обучение в 7-8 классах является в значительной мере ориентированным. На этом этапе ученику надо помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им. Учитель может и должен менять в зависимости от класса, своих вкусов: упрощать или дополнять материал, переставлять темы, варьировать число часов, отводимых на ту или иную тему, проводить несколько больше или меньше проверочных работ.

Планирование проведено в соответствии с учебным планом, согласно которому в 7- 8 классах отводится на изучение математики 5 часов в неделю, из них 2 часа на геометрию.

Предполагаемое планирование учебного материала для 7-8 классов ориентированно на учебник Атанасяна Л.С. И др. и опубликовано в сборнике МО РФ «Программа для общеобразовательных учреждений» (М.: Просвещение, 2000).

Итак, тема «Прямоугольный треугольник» в 7-8 классах:

№ п/п	Название темы	Количество уроков
7 КЛАСС
1	Прямоугольный треугольник	20
2	Введение понятия прямоугольного треугольника	1
3	Свойства прямоугольных треугольника	1
4	Решение задач на свойства прямоугольного треугольника	1
5	Признаки равенства прямоугольных треугольников	1
6	Решение задач на признаки равенства прямоугольных треугольников	1
7	Самостоятельная работа по закреплению материала	1
8	Подготовка к контрольной работе.	1
9	Контрольная работа	1
10	Анализ контрольной работы	1
8 КЛАСС
11	Теорема Пифагора	1
12	Решение задач по теореме Пифагора	1
13	Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника	1
14	Решение задач на синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника	3
15	Самостоятельная работа по закреплению материала	1
16	Подготовка к контрольной работе	1
17	Контрольная работа	1
18	Анализ контрольной работы	1

2.3 Методические рекомендации к изучению темы «Прямоугольный треугольник»

Введение прямоугольного треугольника, свойства и признаки равенства прямоугольных треугольников

Назначение параграфа - дать методические рекомендации к изучению «Прямоугольного треугольника», таких тем как введение прямоугольного треугольника, некоторые свойства прямоугольных треугольников, признаки их равенства. Предлагается возможная последовательность решения задач.

На изучение данных тем отводится пять часов.

В результате изучения учащиеся должны: владеть понятием «прямоугольного треугольника»; знать названия его сторон; знать, что у него один угол прямой и два острых и что сумма острых углов равна 90є; уметь по чертежу или словесным данным сделать заключение о том, какие стороны прямоугольного треугольника являются катетами и гипотенузой (например, если дано, что в треугольнике ABC угол B прямой, то стороны BA и BC - катеты, а AC - гипотенуза); знать формулировки и доказательства некоторых свойств прямоугольного треугольника и специальных признаков равенства прямоугольных треугольников; уметь применять их в решении задач.

Наблюдения за работой учителей математики приводят к выводу о том, что формирование математических понятий в школе не вписывается в чистом виде не в одну из логических систем образования понятия.

Опишем методические требования к формированию понятия. Начальным этапом является мотивация. Сущность этого этапа заключается в подчёркивании важности изучения понятия, в побуждении школьников к целенаправленной и активной деятельности, в возбуждении интереса к изучению понятия. Мотивация может осуществляться как посредством привлечения средств нематематического содержания, так и в ходе выполнения специальных упражнений, объясняющих необходимость развития математической теории.

Определение понятия - это перечисление характерных, основных, необходимых и достаточных признаков понятия.

Вводя понятие прямоугольного треугольника, мы акцентируем внимание на то, что данная тема проходит сквозь многие темы курса геометрии. Очень часто прямоугольный треугольник используется при решении задач, используются свойства и признаки равенства и подобия прямоугольных треугольников. Понятие прямоугольного треугольника не определяется, это понятие принимается как факт. Выделяются отличительные свойства треугольника через указание его отличий в происхождении. Прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого есть прямой угол.

Определение должно быть сокращенным, конкретным. Не должно быть отрицательным. Процесс конструирования понятия протекает как поиск необходимых условий, которые достаточны.

Следующий этап - выявление существенных свойств понятия, которые соответствуют его определение. Он реализуется в основном посредством упражнений, основное назначение которых на этом этапе заключается в выделении существенных свойств изучаемого понятия и акцентирование на них внимания учащихся.

На первом уроке надо ввести понятие прямоугольного треугольника, дать понятие сторонам треугольника. При решении многочисленных задач, связанных с прямоугольными треугольниками, от учащихся потребуется особое владение понятиями «катет» и «гипотенуза» прямоугольного треугольника. Введение названий сторон прямоугольного треугольника необходимо сопровождать устными упражнениями, направленными на их запоминание и распознавание на чертеже. С этой целью можно предложить следующие задания:

1. Отрезки AB и CD пересекаются под прямым углом в точке O. Назовите гипотенузы и катеты прямоугольных треугольников AOC и BOD.

2. В треугольнике MNK проведена высота KD. Назовите получившиеся при этом прямоугольные треугольники, их гипотенузы и катеты.

Утверждения об углах прямоугольного треугольника, являясь прямыми следствиями из теоремы о сумме углов треугольника, чрезвычайно просто доказываются. Их доказательства можно предложить провести учащимся самостоятельно.

3. Один из углов прямоугольного треугольника равен: а) 20є; б) 30є; в) 45є. Найти второй острый угол треугольника.

4. Определите острые углы прямоугольного треугольника, если один из них в 2 раза больше другого.

Далее рассмотреть свойства прямоугольного треугольника. Изучение пункта 34 о свойствах прямоугольного треугольника» можно начать с решения задачи 254 и 255. После этого рассмотреть свойство 1, которому следует уделить особое внимание (катет прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30є, в два раза меньше гипотенузы). Так как учащиеся будут использовать его при решении задач, а в дальнейшем - при получении значений тригонометрических функций углов 30° и 60°. Использование этого свойства можно показать на примере задачи 265. Доказательство свойств 2 и 3 следует провести учителю самому с записью условия и заключения прямого и обратного утверждений на доске в виде таблицы. Эту таблицу учащиеся должны воспроизвести в своих тетрадях.

	Теорема	Обратная теорема
Дано	Д ABC, < A = 90є, < B = 30є	Д ABC, < A = 90, AC=BC
Доказать	AC=BC	< B = 30є

Затем рекомендуется решить задачи 257, 259, 260.

Перед доказательством специальных признаков равенства треугольников полезно вспомнить общие признаки, но не отвлечённо, применительно к прямоугольным треугольникам. Это можно сделать, предложив, например, устно по готовому рисунку провести доказательства:

1. Докажите, что если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого, то такие треугольники равны.

2. Докажите, что два прямоугольных треугольника ABC и A₁B₁C₁ с прямым углом C и C₁ равны, если у них равны катеты BC B₁C₁ и прилежащие к ним острые углы: <B и <B₁.

После выполнения задачи 2 можно сделать замечание о том, что если в прямоугольных треугольниках ABC и A₁B₁C₁ <A = <A₁, то и <B = <B₁, так как углы B B₁ дополняют до 90є равные углы A и A₁. А значит, можно доказать равенство этих треугольников по катету и противолежащему острому углу.

Следует также сказать, что этот признак и ещё два признака, которые могут рассматриваться далее, являются специальными признаками прямоугольных треугольников.

Доказательство этого признака можно предложить учащимся провесит самостоятельно.

Сформулировать признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу, учитель может и его предложить учащимся доказать самостоятельно.

Закрепить доказанные признаки можно а ходе выполнения заданий.

Обоснуйте равенство треугольников на рисунке а).

2. На рисунке б) <B = <D = 90є, BC¦AD. Докажите, что ДABC = ДCDA.

Или решить задачи 261,263 из учебника.

На доказательство признака равенства треугольников по гипотенузе и катету следует обратить особое внимание. Если предыдущие признаки доказываются весьма просто, то доказательство этого признака требует дополнительных построений и непростых логических рассуждений. После того как учитель сам проведёт доказательство признака равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету, можно решить задачу 267 на применение рассмотренного признака.

Для закрепления этого признака можно предложить учащимся задание:

3. Из точки D, лежащей внутри угла A, опущены перпендикуляры DB и DC на стороны угла. Докажите, что ДADB = ДADC, если DB = DC

При решении задач ученики могут делать дополнительный шаг, присутствующий в доказательстве первых двух признаков, если устанавливать равенство второй пары острых углов и сводить доказательство к общим признакам треугольников.

Теорема Пифагора и методика её изучения

В этом параграфе изучается одна из важнейших теорем геометрии - теорема Пифагора и обратная ей теорема. Теорема Пифагора позволят значительно расширить круг задач, решаемых в курсе геометрии. На ней в значительной мере базируется дальнейшее изложение теоретического курса.

В результате изучения данного параграфа учащиеся должны:

знать формулировки теоремы Пифагора и следствий из неё; уметь воспроизводить доказательство теоремы Пифагора, применять ее при решении задач.

Чтобы теорема заинтересовала учеников и была ими усвоена, нужна основательная, всесторонняя подготовка. Не заинтересовавшиеся не будут слушать (слушать «пассивно»), и урок потеряет смысл, не будет уроком.

Перед доказательством теоремы Пифагора желательно провести подготовительную работу по готовым чертежам и повторить основные понятия, определения, термины; свойства площадей, так как в доказательстве используется площадь прямоугольника.

При проведении доказательства теоремы Пифагора полезно подвести учеников к тому, чтобы они приняли пассивное участие в составлении формулировки теоремы; освоили формулировку, выделили условие и заключение. Учитель должен, заранее заготовив чертёж, необходимый для доказательства теоремы, наглядно показывать на чертеже этапы проведения доказательства.

Необходимо, чтобы ученики имели опыт в решении задач; освоили первые шаги (умели сделать чертёж как можно близкий к усвоению, внести в него всё, что дано в условии, ввести необходимые обозначения), записать условие и заключение, используя введённые обозначения; Владели элементарными навыками поиска решения задач.

Для закрепления теоремы можно предложить учащимся следующие устные задачи на вычисление:

а) Катеты прямоугольного треугольника 6 см и 8 см. Вычислите гипотенузу треугольника.

б) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см, а один из катетов 3 см. Определите второй катет.

Вопросами для повторения предусматриваются доказательства следствий из теоремы Пифагора. Эти доказательства просты и в явном виде в учебном пособии отсутствуют. При разборе этих доказательств в классе можно предложить учащимся записать их в тетради.

Ещё одним подходом к изучению теоремы Пифагора, является метод проблемной ситуации на уроках геометрии.

Учебный процесс совершается более активно в тех случаях, когда он связан с решением задач пробных ситуаций, а проблемы имеют мотивационную основу, включая живой интерес к предмету изучения. Мотивы стимулируют, организуют и направляют учебную деятельность. Значительный интерес представляет мотивация для организации процесса обучения и направления мыслительной деятельности учеников.

Проблемы, которые учитель может ставить перед учениками, обычно разрешаются на протяжении одного или нескольких уроков.

Наиболее часто учителя создают проблемные ситуации при помощи эксперимента, то есть исследования частного случая.

Легко организовать проблемную ситуацию, предложив ученикам задачи, для решения которых нужны новые знания. Полезно при этом поддерживать накал активности цепью проблемных вопросов, сменяющих один другой.

Перед изучением теоремы Пифагора рассматривается практическая задача, для решения которой нужно уметь вычислить длину гипотенузы по длинам катетов.

Построение убеждает, что определенная зависимость между катетами и гипотенузой существует, что два катета определяют треугольник, в котором гипотенуза не может быть произвольной. Можно найти приблизительное решение графическим путем. Теперь возникает вопрос: «Можно ли выразить формулой зависимость между катетами и гипотенузой?». В поисках ответа рассмотрим удобный частный случай: прямоугольный треугольник с острыми углами по 45є.

Получаем для него формулу

c² = a² + b² и задаёмся вопросом: «Верна ли эта формула для произвольного прямоугольного треугольника?».

Дальнейшее исследование может быть построено по такой схеме. Поскольку в предлагаемую формулу входят величины a², b², c², то есть площади квадратов со сторонами a, b, c. Построим эти квадраты. Первое построение («пифагоровы штаны») идею доказательства не поясняет.



Тогда учитель предлагает связать величины a, b и c в комбинации прямоугольных треугольников и квадратов таким образом, каким показано на рисунке.

Рассмотрим данный рисунок. Понятно, что с одной стороны площадь большого квадрата равна произведению двух сторон, которые выражены как (a+b). Отсюда следует, что площадь равна (a+b)².

С другой стороны площадь большого квадрата равна сумме площадей фигур, на которые разбит данный квадрат. В данном случае, это сумма малого квадрата со стороной c и четырёх равных треугольников со сторонами a, b и c.

Отсюда следует, что площадь малого квадрата равна разности площади большого квадрата со стороной (a+b) и учетверённой площади треугольника со сторонами a, b и c, то есть

c² = (a + b)² -

c² = a² + 2ab + b² -

2c² = 2a² + 4ab + 2b² - 4ab

2c² = 2a² + 2b²

c² = a² + b²

Можно ли считать формулу доказанной? Если исходить из такой формулы, которая дана на чертеже, то да. Рассмотрим, всегда ли можно для любого прямоугольного треугольника провести такое построение. Строим квадрат со стороной (a + b) и строим прямоугольный треугольник с катетами a и b. Выясним, почему все такие треугольники равны. Остаётся показать, что фигура, образованная гипотенузой и полученных прямоугольных треугольников, является квадратом. Замечаем, что все стороны этой фигуры равны как гипотенузы равных треугольников. Но достаточно ли этого, чтобы фигура ABCD была квадратом? - Нет. Доказываем, что все углы этой фигуры прямые, так как они равны разности развёрнутого угла и острых углов данного прямоугольного треугольника. Следовательно, теорему Пифагора можно считать доказанной.