В качестве домашнего задания учитель может поручить ознакомиться с доказательством, данным в учебнике.

Но цепь вопросов, связанных с зависимостью сторон прямоугольного треугольника, может быть продолжена.

Спросим прежде всего: «Справедлива ли теорема Пифагора для непрямоугольных треугольников?» - Очевидно, нет, так как две стороны треугольника a и b не определяют однозначно его форму, а третья сторона меняет свою длину в зависимости от значения угла между сторонами a и b так, что a - b < c< a + b (при b < a).

Следующая проблема: «Верна ли обратная теорема, обратная теореме Пифагора?»

Если квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный, а именно: прямым является угол, лежащий против этой большой стороны. В самом деле, если бы это было не так и треугольник, стороны которого a, b и c связаны зависимостью

c² = a² + b², оказался бы не прямоугольным, то и стороны бы его не смогли бы удовлетворять этому равенству.

Весьма полезно попросить учащихся указать ряд случаев применения теоремы Пифагора.

В поиске ответа на этот вопрос могут появиться такие задачи.

Участок земли имеет форму прямоугольного треугольника. Наибольшая сторона участка выходит к реке и заболочено, пройти по ней нельзя. Как найти длину наибольшей стороны, если другие две стороны можно измерить непосредственно?

Длина часовой стрелки часов равна 6 мм, а минутной - 8 мм, сколько времени показывают часы, если расстояние между концами стрелок равно 20 мм, а минутная стрелка стоит на отметке «12»?

Можно провести экскурс учащихся в историю, но небольшой, что бы учащимся не надоело слушать.

Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда ещё не знали её доказательства, а само соотношение между гипотенузой и катетом было установлено опытным путём на основе измерений. Пифагор, по-видимому нашёл доказательство этого соотношения. Сохранилось древние предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам - даже 100 быков. На протяжении последних веков были найдены различные другие доказательства этой теоремы. В настоящее время их насчитывается боле ста.

2.4 Два подхода к решению прямоугольных треугольников

Существует два подхода к изложению темы «Решение прямоугольных треугольников».

Первый подход основан на запоминании четырёх определений основных тригонометрических функций и ещё шести правил:

1. Катет равен гипотенузе, умноженной на синус противолежащего угла;

2. Катет равен гипотенузе, умноженной на косинус прилежащего угла;

3. Катет равен другому катету, умноженному на тангенс противолежащего угла;

4. Катет равен другому катету, умноженному на котангенс прилежащего угла;

5. Гипотенуза равна катету, делённому на синус противолежащего угла;

6. Гипотенуза равна катету, делённому на косинус прилежащего угла.

Второй подход, в отличие от первого, вынуждает учащихся запомнить лишь четыре определения тригонометрической функции острого угла. Это ведёт к меньшей нагрузке на память. Однако и здесь таятся некоторые трудности для учащихся. Они связаны, во-первых, с выбором нужной функции в условиях конкретной задачи, а во-вторых, с тем, что использование их определений не даёт непосредственного знания нужного элемента треугольника, а лишь приводит к уравнению, из которого этот элемент надо найти. Например:

tg б =, x=, x=ctg б.

Этих трудностей можно избежать, если ввести понятие единичного прямоугольного треугольника.

Назовём этим термином прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной единице.

В дальнейшем будем называть его просто единичным треугольником. Пусть один из его острых углов равен б. Тогда очевидно, что длина его противоположного катета равна sin б, а прилежащего - cosб.

Эти сведения ученик должен запомнить, что, в общем-то, несложно, так как всегда синус ассоциируется с противолежащим катетом, а косинус с

прилежащим катетом. Кстати, такой подход обнаруживает эффективный способ вычисления синуса, косинуса и служит пропедевтикой к их определению с помощью единичной окружности.

Пусть теперь дан произвольный прямоугольный треугольник со сторонами k, l, m и острым углом б. Наряду с ним рассмотрим единичный треугольник с таким же углом б. Ясно, что единичный треугольник (пусть длины его сторон равны соответственно k₁, l₁, m₁) подобен данному.

Тогда k: l = k₁: l₁, k=l (1).

Получено правило нахождения любой стороны прямоугольного треугольника. Сформулируем его следующим образом:

Любая сторона прямоугольного треугольника равна другой стороне, умноженной на отношение сходственных сторон единичного треугольника.

Это правило вобрало в себя все шесть правил, приведенных в начале. Оно легко для запоминания, в нем даже не упоминаются термины: «катет», «гипотенуза», «прилежащие и противолежащие катеты», «синус, косинус, тангенс угла». Ученик не стоит перед необходимостью выбора какого-либо правила, формулы и т.д.

ПРИМЕР. Пусть дан треугольник, у которого катет равен x, а гипотенуза равна a.

Соответствие сходственных сторон этого треугольника и единичного обозначим стрелками.

xsinб, a1.

Тогда x=a=.

На первых порах, написав начало формулы x = надо лишь задаться вопросом: какие стороны единичного треугольника сходственны с x и a. И нужное отношение будет сразу составлено.

ПРИМЕР. Рассмотрим теперь треугольник, у которого стороны b, d, f.



Тогда , , и

, или

, или

, или .

Применение единичного треугольника можно расширить, если в нём вычислить ещё и другие элементы: высоту, проведенную к гипотенузе, проекции катетов. При этом получается легко запоминающаяся картинка.

Она позволяет без труда находить все элементы треугольников ABC, ADC, BDC, если в любом из них известны или стороны или одна сторона и острый угол.

Закрепление происходит на конкретных задачах. Учитель решает две задачи на классной доске с объяснениями, а ученики записывают в тетради. Затем по желанию решает ученик у доски, но с помощью учителя.

Проиллюстрируем это на двух примерах (данные и искомые элементы указаны).

На рисунке видим:

Аналогично находим по рисунку длины отрезков c_b, c_a и h, считая их элементами треугольника ABC: , , .

На этих двух рисунках величины c_b, c_a и h выражены только через катет равный 4 или 6. Понятно, что эти величины можно при желании выразить и через другой катет, и через гипотенузу. Можно задействовать и элементы треугольников BDC и ADC.

2.5 Организация повторения изученного материала

В процессе обучения математике важное место отводится организации повторения изученного материала. Необходимость повторения обусловлена задачами обучения, требующими прочного и сознательного овладения ими.

Указывая на важность процесса повторения изученного материала, современные исследователи показали значительную роль при этом таких дидактических приёмов, как сравнение, классификация, анализ, синтез, обобщение, содействующее интенсивному протеканию процесса запоминания. При этом вырабатывается гибкость, подвижность ума, обобщенность знаний.

В процессе повторения память у учащихся развивается. Эмоциональная память опирается на наглядно - образные процессы, постепенно уступает памяти с логическими процессами мышления, которая основана на умении устанавливать связи между известными и неизвестными компонентами, сопоставлять абстрактный материал, классифицировать его, обосновывать свои высказывания.

Повторение учебного материала по математике осуществляется во всей системе учебного процесса: при актуализации знаний - на этапе подготовки и изучения нового материала, при формировании учителем новых понятий, при закреплении изученного ранее, при организации самостоятельных работ различных видов, при проверке знаний учащихся.

Необходимость повторения изученного ранее материала вызвано самой структурой программы учебного курса математики. Школьная программа устроена так, что, не повторяя ранее изученного материала, трудно понять новый. Поэтому повторение пройденного материала необходимо учащимся. На практике чувствуется важность и полезность обобщающего повторения. Обобщающие уроки являются итогом большой работы учащихся по повторению, оказывают им практическую помощь к подготовке к экзаменам. Отзывы восьмиклассников об этих уроках, их осознание, логически правильные ответы, с правильным использованием символической записи, умением применять теоретические знания при решении задач говорят о большой эффективности такого повторения.

2.6 Нетрадиционная форма традиционного контроля

Традиционные формы контроля, такие как устный опрос и письменные самостоятельные работы, требуют значительных временных затрат. Кроме того, во время проведения устного контроля (опроса) часть учащихся не следит за ответом. Письменные самостоятельные работы требуют от учителя много времени и усилий, как на их составление, так и на проверку и систематизацию ошибок, допущенных учащимися. К серьёзным недостаткам такой работы следует отнести то, что результаты проверки в лучшем случае сообщаются только на следующем уроке, когда ученик уже успел забыть ход решения задачи, и проблемы его поиска для него уже не актуальны - ему нужна только оценка. В результате все замечания по выполнению и оформлению решений остаются без внимания, и ни о какой коррекции знаний говорить уже не приходится.

Поэтому, уделяя должное внимание традиционным формам контроля, следует найти время для использования индивидуальных карточек.

Как известно, процесс обучения состоит из нескольких этапов:

· сообщение новых фактов (чаще всего теоретические сведения);

· усвоение этого материала учениками (знание);

· применение этих сведений для доказательства других теоретических утверждений и решения задач (умения);

· коррекция усвоенных знаний - дальнейшая работа по формированию основных приёмов доказательства и решению задач (навыки).

На каждом этапе обучения учителю требуется знать, как идёт процесс обучения, какие трудности или недочёты имеются у конкретного ученика в овладении знаниями и умениями. Диагностика уровня усвоения знаний и умений на каждом этапе обучения позволяет оптимально выбирать формы и методы обучения, а также формы коррекции ошибок и пробелов в усвоении и применении знаний и умений. Традиционные самостоятельные работы и тематические контрольные работы не могут выполнить функцию оперативного контроля, и тем более им не свойственна функция индивидуального контроля, поскольку они фиксируют достижение или не достижение определённого обязательного уровня усвоения знаний и умений.

Для реализации дифференциального обучения геометрии в 7-8-х классах используются индивидуальные карточки. Они, как правило, состоят из одного и более заданий и представляют собой раздаточный материал. Чаще всего такие карточки предлагаются на уроке сильному ученику, чтобы он не «скучал». Во время работы учителя с классом, или слабому, чтобы было, за что ставить оценку, или группе учащихся. Они фиксируют достижение определённого уровня.

На уроках геометрии работа по индивидуальным карточкам, рассчитанная на 15-20 минут, может служить, с одной стороны, гибким контролем-диагностикой, а с другой - выполнять развивающую (обучающую) функцию. Основная же цель включения карточек в учебный процесс - оперативное установление обратной связи. Во время решения заданий карточки ученик может обратиться к учителю с вопросом, относящимся к условию и ходу решения. Полученная информация, в результате работы по карточкам, позволяет учителю сделать вывод о достижении базового уровня знаний на данном этапе изучения курса геометрии каждым учеником класса. Кроме того, в рамках такой работы учитель имеет возможность помочь слабому ученику в решении задач и усвоении теоретического материала, а сильному - увидеть красоту геометрии и продемонстрировать свои знания. При таком подходе любое продвижение в овладение знаниями и умениями учитель обязательно заметит.

Учитывая неоднородность учащихся класса, для одной темы необходимо подготовить несколько карточек: две карточки А - для учащихся с низким уровнем усвоения; четыре карточки Б - для учащихся со средним уровнем усвоения знаний; две карточки В-для учащихся продвинутого уровня.

Карточка должна включать два вопроса - задания: первый - теоретический вопрос или задача теоретического плана; второй - задача.

КАРТОЧКА А

(для «слабых» учащихся)

1. Сформулировать изученную теорему, либо воспроизвести или прочитать чертёж. 2. Одношаговая задача на «распознавание» (увидел - решил).

КАРТОЧКА Б

(для учащихся, достигающих уровня обязательной

геометрической подготовки)

1. Сформулировать и доказать изученную теорему (репродуктивный характер), либо решить несложную задачу на доказательство. 2. Задача на «распознавание», в которой могут быть использованы буквенные выражения или простейшие дополнительные построения, или задача на узнавание старых объектов в ранее изученных конфигурациях.

КАРТОЧКА В

(для учащихся, достигших продвинутого уровня

геометрической подготовки)

1. Сформулировать и доказать утверждение, которое не было рассмотрено в классе и которого нет в учебнике (продуктивный характер); либо сформулировать и воспроизвести доказательство теоремы, уровень сложности которого превосходит уровень обязательной подготовки. 2. Задача, для решения которой нужно либо сделать несколько логических шагов, либо использовать приём, связанный с дополнительным построением или применением ранее изученных фактов в новой ситуации или на новом объекте, либо полноценная задача на «анализ - синтез».

Приведём пример.

КАРТОЧКА 1 - А

1. Отметьте на рисунке соответственно равные элементы прямоугольных треугольников так, чтобы можно было записать равенство данных прямоугольных треугольников. 2. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AB <A=70є. Найдите градусные меры углов треугольника ABC.

КАРТОЧКА 2 - А

1. Начертите треугольник ABC с прямым углом C. Назовите гипотенузу и катеты треугольника. 2. В треугольнике ABC <C=90є и < B=25є. Найдите величину угла A.

КАРТОЧКА 3 - Б

1. Докажите теорему: «Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны». 2. Может ли в прямоугольном треугольнике быть тупой угол? Ответ обоснуйте.

КАРТОЧКА 4 - Б

1. Сформулируйте и докажите теорему о единственности перпендикуляра, проведённого к прямой через произвольную точку. 2. В равнобедренном прямоугольного треугольнике катет равен 45 см. Вычислите длину другого катета.

КАРТОЧКА 5 - Б

1. Докажите теорему: «Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны». 2. Прямые a и b параллельны. Точки A и B являются точками прямой a. Расстояние от точки A до прямой b равно 8 см. Найдите расстояние от точки B до прямой a.

КАРТОЧКА 6 - Б

1. Докажите, что катет, лежащий против угла 30є, равен половине гипотенузы. 2. Углы треугольника относятся как 1:2:3. Вычислите углы треугольника.

КАРТОЧКА 7 - В

1. Докажите теорему: «Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны». 2. Может ли внешний угол прямоугольного треугольника быть равен 27є? Ответ обоснуйте.

КАРТОЧКА 8 - В

1. Докажите теорему: «Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны». 2. Прямая a пересекает отрезок AB в его середине. Расстояние от точки A до прямой a равно 17 см. Найдите расстояние от точки B до этой же прямой.

2.7 Примерные уроки по теме «Прямоугольный треугольник»

В данном параграфе предоставлено четыре примерных урока по теме «Прямоугольного треугольника», которые могут быть использованы при подготовки к урокам как студентами - практикантами, так и учителями. Даны именно эти уроки, потому что они являются самыми базовыми в данной теме. Эти свойства, признаки прямоугольных треугольников, а так же теорема Пифагора проходят через многие темы курса геометрии.

При разработке данных уроков использовался учебник Геометрия 7 - 9. Учебник для общеобразовательных учреждений. Л.С. Атанасян, Москва. «Просвещение», 2001 г.

Урок 1. Некоторые свойства прямоугольных треугольников

Цели: Рассмотреть некоторые свойства прямоугольных треугольников и показать, как они применяются при решении задач.

Ход урока

I. Изучение нового материала.

1. Устно решит задачу №254 учебника. Найти углы равнобедренного прямоугольного треугольника (использовать демонстрационный равнобедренный прямоугольный треугольник).

2. Решить задачу №255 на доске и в тетрадях. ЗАДАЧА. В равнобедренном треугольнике CDE с основанием CE проведена высота CF. Найдите < ECF, если < D = 54є.

РЕШЕНИЕ. По условию треугольник CDE - равнобедренный, тогда

< E = < DCE = (180є - 54є):2 = 63є (углы при основании равнобедренного треугольника).

Так как по условию CF+DE, то треугольник CFE - прямоугольный, в нём <CFE = 90є, < E = 63є; тогда< ECF = 180є - (90є + 63є) = 27є.

Ответ: 27є.

3. Рассмотреть свойство 1є и посоветовать учащимся запомнить его, поскольку оно часто используется при решении задач.

4. Доказательство свойств 2є и 3є следует провести учителю самому с записью условия и заключения прямого и обратного утверждения на доске в виде таблицы. Эту таблицу учащиеся должны воспроизвести в своих тетрадях.

	Теорема	Обратная теорема
Дано	Д ABC, < A = 90є, < B = 30є	Д ABC, < A = 90, AC=BC
Доказать	AC=BC	< B = 30є

II. Закрепление нового материала.

1. Устно решить задачи по готовым чертежам на доске:

1) Дан треугольник ABC. Найти углы треугольника ABC.

2) Даны две параллельные прямые a и b. Найти углы треугольника MON.

2. Решить задачу №257 учебника на доске и в тетрадях.

ЗАДАЧА. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C внешний угол при вершине A равен 120є, AC + AB =18 см. Найдите AC и AB.

РЕШЕНИЕ. < CAB = 180є - 120є = 60є (смежные углы), тогда

< B = 90є - 60є = 30є (по свойству 1є); AC=AB (свойство 2є; катет, лежащий против угла в 30є). По условию AC + AB = 18 см; AB + AB = 18 см;

AB = 18, AB = 12 см; AC = 18 - 12 = 6 см.

Ответ: AB = 12 см, AC = 6 см.

3. Решить задачу №260.

ЗАДАЧА. Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 7,6 см, а боковая сторона треугольника равна 15,2 см. Найдите у4глы этого треугольника.

РЕШЕНИЕ. Дан треугольник DMC; DM = MC; MO+DC; DM = 15,2 см; MO = 7,6 см. Найти углы треугольника DMC.

Так как MO = DM, то по свойству 3є < D = 30є, тогда < C = 30є,

< M = 180є - (30є + 30є) = 180є - 60є = 120є.

Ответ: < D = < C = 30є; < M = 120є.

III. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить пункт 34 учебника о некоторых свойствах прямоугольного треугольника; повторить пункты 15 - 33, связанные с признаками равенства треугольников. Ответить на вопросы 10 и 11 на стр. 84; решить №256, 259.

Урок 2. Признаки равенства прямоугольных треугольников

Цели: доказать признаки равенства прямоугольных треугольников и показать, как они применяются при решении задач.

Ход урока

I. Повторение изученного материала.

1. Сформулировать свойства прямоугольных треугольников.

2. Вспомнить признаки равенства треугольников.

3. Решить задачу: гипотенузы BD и AC прямоугольных треугольников ABD и ABC с общим катетом AB и с равными катетами AD и BC пересекаются в точке O. Докажите, что треугольник AOB равнобедренный.

II. Изучение нового материала.

1. Учащиеся самостоятельно (устно), используя признаки равенства треугольников, доказывают признаки равенства прямоугольных треугольников по двум катетам, по катету и прилежащему острому углу (учитель держит перед классом два равных прямоугольных треугольника и задаёт наводящие вопросы).

2. Доказательство признака равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу (устно) по моделям равных прямоугольных треугольников.

3. Доказательство признака равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету проводит сам учитель (используя рисунок учебника), так как доказательство этого признака требует дополнительных построений и непростых логических рассуждений.

III. Закрепление изученного материла.

1. Решить задачу №261 на доске и в тетрадях.

ЗАДАЧА. Докажите, что в равнобедренном треугольнике две высоты, проведённые из вершин основания, равны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Дан треугольник ABC; AD = DC, AB и CK - высоты. Доказать AB = CK.



По условию AB +DC и CK+AD, тогда треугольники ABC и AKC - прямоугольные; в них AC - общая гипотенуза и < KAC = < BCA, так как по условию треугольник ADC равнобедренный.

Значит, треугольники ABC и CKA равны (по гипотенузе и острому углу).

Тогда AB =CK.

2. Учащиеся самостоятельно формулируют и доказывают признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу (задача №268).

3. Решить задачу №269 на доске и в тетрадях.

Указание: при решении задачи применить вывод задачи №268 - признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить пункт 35; ответить на вопросы 12, 13 на стр. 84; решить задачи №262, 264.

Урок 3. Решение задач

Цели: научить применять признаки равенства прямоугольных треугольников и их свойства при решении задач; вырабатывать умение решать задачи; учить логически мыслить.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Сформулировать свойства прямоугольных треугольников.

2. Сформулировать признаки равенства прямоугольных треугольников.

3. Устно решить задачи по готовым чертежам:

1) На рисунке 1 < B = < C = 90є; < 1= < 2. Докажите, что AB = CD.

2) На рисунке 2 AB = CD; BC = AD, < AFB = < CED = 90є. Докажите, что BF = ED; AF = EC.

3) На рисунке 3 < 1 = < 2 = 90є, AB = DC. Докажите, что BC = AD.

4) На рисунке 4 AH и A₁H₁-высоты треугольников ABC и A₁B₁C₁; AC = A₁C₁; < 1 = <2; AH = A₁H₁. Докажите, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.

II. Решение задач.

1. Решить задачу №263 на доске и в тетрадях.

2. Решить задачу №267 на доске и в тетрадях.

Указание: при доказательстве применить признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.

III. Самостоятельная работа (проверочного характера) на 20 мин.

Вариант 1

1. На рисунке 5 AD = DC; ED = DF; < 1 = < 2 = 90є. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

2. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60є, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.

Вариант 2

1. На рисунке 6 < 1 = < 2, < 3 = < 4 = 90є; BD = DC. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

2. Один из острых углов прямоугольного треугольника в два раза меньше другого, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.

Вариант 3

(для более подготовленных учащихся)

1. Через середину отрезка AB проведена прямая a. Из точек A и B к прямой a проведены перпендикуляры AC BD. Докажите, что AC = BD.

2. В прямоугольном треугольнике CDE с прямым углом E проведена высота EF. Найдите CF и FD, если CD = 18 см, а < DCE = 30є.

Вариант 4

(для более подготовленных учащихся)

1. Из точки M биссектрисы неразвёрнутого угла O проведены перпендикуляры MA и MB к сторонам этого угла. Докажите, что MA = MB.

2. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AB и < A = 60є проведена высота CH. Найдите BH, если AH = 6 см.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить пункты 30 -35, прочитать пункт 36; решить №258, 265.

Урок 4. Теорема Пифагора

Цели: а) образовательные: установить зависимость между сторонами прямоугольного треугольника, сформировать навыки применения теоремы Пифагора к решению задач на репродуктивном уровне;

б) развивающие: способствовать формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, наглядно-образного мышления, речи, внимания, памяти;

в) воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложения, активности, мобильности, умения общаться, общей культуры.

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: частично-поисковый, решение познавательных задач, самопроверка, взаимопроверка.

Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, парная.

Оборудование и источники информации: плакат с доказательством теоремы Пифагора, рисунок к древнеиндийской задаче о лотосе, модель пространственной фигуры с прямоугольными треугольниками, плакат, на котором в стихотворной форме формулируется теорема Пифагора. У учащихся на партах: чистый лист для исследовательской работы, микрокалькуляторы, линейки, карандаши.

Повторение: понятия прямоугольного треугольника, катета, гипотенузы, площадь прямоугольника, прием наблюдения, приемы работы над теоремой.

Знания и навыки: знать теорему Пифагора, ее доказательство, уметь применять к решению задач.

Приемы учебной деятельности: все приемы работы над теоремой, прием наблюдения, частный прием нахождения стороны прямоугольного треугольника, если известны две другие его стороны.

План урока:

Оргмомент, целеполагание.

Актуализация опорных знаний.

Исследовательская работа и выдвижение гипотез.

Доказательство теоремы Пифагора.

Закрепление изученного материала.

Домашнее задание.

Итог урока.

Ход урока:

1. Целеполагание.

Вводная беседа учителя.

- Ребята, сегодня мы с вами отправляемся на машине времени в 6 век до н.э. в Древнюю Грецию. В нашем путешествии нам потребуется очень много знаний, но особенно нам будут нужны знания о косинусе острого угла в прямоугольном треугольнике и пропорция. Давайте вспомним эти понятия.

Итак, вы будете сегодня древнегреческими учеными, а я - простая жительница Древней Греции. А пришла я к вам с просьбой: помогите мне найти длину лестницы к дому, если один ее конец находится на расстоянии 5 м от дома, а другой - на стыке стены и крыши. Высота дома -12 м. (Демонстрируется модель этой ситуации).

С помощью учащихся задача переводится на язык математики: нужно найти длину гипотенузы прямоугольного треугольника по его катетам.

Создается проблемная ситуация: учащиеся не могут решить задачу, так как не знают формулу, выражающую зависимость между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника.

- Сможете вы мне сейчас помочь в решении моей проблемы? Каких знаний вам не хватает для этого? Напоминаю вам, что вы - ученые, а как ученые получают знания?

- Из книг.

- Правильно, какую-то часть знаний они черпают из книг. А откуда эти знания попадают в книгу?

- Их открывают ученые.

- Правильно. Какова же тогда ваша цель на уроке? (учащимися формулируется цель урока, и учитель записывает ее на доске).

Цель: Открыть зависимость между гипотенузой и катетами в прямоугольном треугольнике.

Учитель:

- А как ученые приходят к открытию?

- Иногда это приходит им в голову неожиданно, иногда открытие им снится во сне.

- Все верно. Но это исключительные случаи. В большинстве же случаев ученые проводят многочисленные опыты, на которые уходят целые годы, а иногда и вся жизнь. Затем они выделяют некоторые закономерности и выдвигают гипотезы. Что такое гипотезы? Правильно, это предположение. И те гипотезы, которые они смогут доказать, становятся истинными знаниями, а те, которые не смогут доказать так и остаются гипотезами.

Мы с вами, как истинные ученые, пройдем все этапы:

1. проведем исследования;

2. выдвинем гипотезы;

3. попробуем некоторые гипотезы доказать.

А теперь запишите в тетради: «Исследовательская работа». Построим прямой угол, на сторонах которого будем откладывать катеты разной длины и измерять гипотенузу, соответствующую данным катетам.



Все измерения заносим в таблицу. Каждый работает в своей тетради, но можно советоваться с соседом по парте.

	a	b	c
1	3	4	5
2

- Заметили ли вы какую-нибудь зависимость?

Учащиеся называют свои гипотезы, учитель опровергает их контр примерами.

- Читала я в древних китайских рукописях о каких-то квадратах. Давайте попробуем возвести длины сторон треугольников в квадрат.

Таким образом, получаем правую часть таблицы:

a	b	c	a2	b2	c2
3	4	5	9	16	25

2. Учащиеся выдвигают гипотезу: а²+в²=с².

- Чем являются a, b и c в нашем треугольнике? Сформулируйте нашу гипотезу с помощью терминов «катет» и «гипотенуза».

3. Доказательство гипотезы.

Как показывает опыт, при доказательстве теоремы Пифагора затруднение у учащихся возникает только в том, чтобы запомнить дополнительное построение. В этом помогает нам рисунок.

Доказательство начинается так (аналогия со сказкой): отрубили у дракона одну голову («разрубили» треугольник высотой), а у него две выросли. Запомнив этот рисунок, ученик запомнит и дополнительное построение, а дальше восстановит доказательство логическим путем. Рисунок как помощник памяти «действует» в содружестве с логикой одновременно подстраиваясь под живое и непосредственное детское восприятие.

- Обычно открытие этой теоремы приписывают древнегреческому философу и математику Пифагору, поэтому в геометрии она известна под его именем. Давайте ее еще раз сформулируем.

В Древней Индии эту теорему доказывали интересным способом. На этих рисунках видим, что слева свободная от треугольников фигура состоит из двух квадратов со сторонами а и в, соответственно ее площадь равна

а²+в², а справа - квадрат со стороной с, его площадь равна с². Значит а²+в²=с².

А теперь ответьте на вопрос, поставленный в начале урока: какой длины лестницу мне нужно построить?

А сможем ли мы найти катет, если известны гипотенуза и другой катет?

Закрепление.

1. Назовите равенство, используя теорему Пифагора.

2. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 6 см, гипотенуза - 4 см. Найдите второй катет.

(При решении этой задачи учащиеся приходят к выводу, что катет не может быть больше гипотенузы.) Исправьте условие задачи.

3. Дан прямоугольный треугольник. Составьте задачу, при решении которой нужно будет воспользоваться теоремой Пифагора. Обменяйтесь задачами с соседом по парте и решите их.

В качестве задания, закрепляющего сформированный частный прием, можно предложить задачу древних индусов, сформулированную в виде стихотворения, взятую из книги Я.И. Перельмана «Занимательная геометрия». Отметим, что эта задача имеет ярко выраженное практическое применение.

Над озером тихим,

С полметра размером,

Высился лотоса цвет.

Он рос одиноко.

И ветер порывом

Отнёс его в сторону.

Нет более цветка над водой.

Нашел же рыбак его

Ранней весной.

В двух метрах от места,

Где он рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода здесь глубока?

(Перевод В.И. Лебедева)

Учитель ставит проблему: верно ли утверждение «если квадрат какой-либо стороны треугольника равен сумме квадратов длин двух других его сторон, то этот треугольник прямоугольный»? Каким является это утверждение по отношению к доказанному ранее?

Итоги урока:

1. Понятна ли тебе была цель урока?

2. Как ты добивался реализации этой цели?

3. Какие ранее полученные знания тебе потребовались?

4. Что ты нового узнал?

5. Достиг ли ты своей цели?

Самоанализ урока.

На данном уроке были использованы:

1. Элементы личностно-ориентированного обучения (учащиеся сами ставят цель, планируют урок и т.д.).

2. Математическое моделирование, которое особенно актуально в наши дни.

3. Рисунок, как помощник памяти.

4. Исследовательская работа, так как активная мыслительная деятельность способствует более прочному усвоению знаний.

5. Контрпримеры (задачи, провоцирующие учащихся на ошибку). К сожалению, в наших учебниках мало контр примеров, в результате чего ослабляется внимание, «усыпляется» бдительность.

Заключение

В ходе исследования темы изучены свойства прямоугольного треугольника, признаки равенства прямоугольных треугольников, теорема Пифагора. Даны методические рекомендации по данной теме.

Задачи, поставленные при выполнении данной выпускной квалификационной работы, были выполнены:

¦ проведён анализ математической, методической и психолого-педагогической литературы;

¦ рассмотрены свойства прямоугольных треугольников и показано применение этих свойств к решению задач;

¦ выявлена практическая значимость темы;

¦ набран теоретический материал по данной теме;

¦ разработаны методические рекомендации к изучению темы.

В исследовании использовались различные методы

¦ проанализирована научно - математическая, методическая и психолого-педагогическая литературы;

¦ систематизированы и обобщены теоретический и практический материал изученной темы;

¦ изучен опыт и проанализировано состояния методики обучения;

¦ подобраны, проанализированы и решены задачи по данной теме.

Изложение материала в работе отвечает основным принципам дидактики: научность, последовательность, доступность, наглядность, умение применять полученные знания на практике.

Для облегчения восприятия излагаемого материала используются формулы, глядя на которые можно с легкостью понять то, о чем говорится в работе.

Во второй главе изложены методические рекомендации изучения данной темы, приведены методические рекомендации к проведению практических занятий.

Выполнение работы потребовало проанализировать учебную и научную литературу, обобщить и систематизировать материал по данной теме.

Выпускная квалификационная работа содержит теоретический материал, который может быть использован учителями общеобразовательных школ для разработок уроков и учениками для самообучения по данной теме.

Данная работа отразила все необходимые аспекты для изучения данного вопроса.

Литература

1. Геометрия 7 класс. Поурочные планы по учебнику Л.С. Атанасяна, Волгоград, 2004 г.

2. Геометрия 7-11. А.В. Погорелов. М.: Просвещение, 1995.

3. Геометрия 7 - 9. Учебник для общеобразовательных учреждений. Л.С. Атанасян, Москва. «Просвещение», 2001 г.

4. Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах: Методические рекомендации к учебнику Л.С. Атанасяна, М.: «Просвещение», 2003 г.

5. Людмилов Д.С. Некоторые вопросы проблемного обучения математике. Пермь, 1975.

6. Максимова В.Н. Проблемный подход к обучению в школе. Методическое пособие по спецкурсу. Ленинград, 1973.

7. Матюшкин А.Н. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. М., 1972.

8. Махмутов М.И. Организация проблемного обучения. М. Педагогика, 1977.

9. Мухина Л.С. Возрастная психология. - М.: Просвещение, 2000.

10. Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе», №6, 1999 г.

11. Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе», №1, 2001 г.

12. Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе», №4, 2001 г.

13. Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе», №8, 2002 г.

14. «Новый справочник школьника» 5-11 класс II том. ИД «Весь». Санкт-Петербург 2003 г.

15. Оганесян В.А., Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Санкин В.Л., Методика преподавания математики в средней школе: общая методика. Учебное пособие для студентов физ.-мат. факультетов пед. институтов, 2-е изд. перераб. и доп. М.: Просвещение, 1980.

16. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учебное пособие для студентов мат. Спец. Педвузов и университетов. - М.: Просвещение, 2002.

17. Я иду на урок. Геометрия 7 класс. Книга для учителей. «Первое сентября» Москва. 2002 г.

Размещено на Allbest.ru