Вы знаете, что, кроме натуральных чисел, есть и другие числа-- дроби. Дроби возникают, когда натуральное число делят на равные части: надвое, натрое, на десять частей и т. д. Но мало знать, что такое дробь. Нужно уметь сравнивать их, выполнять над дробями действия, решать всякие задачи с дробями. Этим вы и начнете заниматься на последующих уроках. Итак :

Как единица на доли делится?

Людям часто приходится делить целое на доли. Самая известная доля -- это, конечно, половина. Слова с приставкой "пол" можно услышать, пожалуй, каждый день: полчаса, полкилограмма, полбулки.

Назовите еще несколько слов с этой приставкой.

Но есть и другие употребительные доли. Например, четверть, десятая, сотая. Когда образуются доли? Тогда, когда один предмет (буханка хлеба, лист бумаги) или единица измерения (час, килограмм) делятся на равные части.

Доля -- это каждая из равных частей единицы.

Название доли зависит от того, на сколько равных частей разделили единицу. Разделили на две части -- название доли "половина", на три -- "треть"; на четыре -- "четверть".

Возможный вопрос ученика:

А если разделить на пять частей, то что ли "пятерть", на шесть -- "шестерть"?

Таких смешных слов в русском языке нет. А чтобы было удобно называть всякие доли, пользуются словами "пятая", шестая", "седьмая" и т. д. Четверти по-другому называют четвертыми, трети -- третьими, а половины -- вторыми долями.

Для записи любой доли используют горизонтальную черточку. Ее называют дробной чертой. Над ней ставится единица, а под чертой пишется число равных частей, на которые единица делится. Например, вторая, двадцать первая, сто пятая доли записываются: .

Читают: "одна вторая", "одна двадцать первая", "одна сто пятая". Если число равных частей, на которые поделена единица, обозначено буквой n, то эту букву и пишут под дробной чертой: . Читают: "одна энная".

Возможный вопрос ученика:

Зачем нужны доли?

Ответить очень просто: при измерении величин часто бывает невозможно обойтись только целыми единицами. Представьте, например, что для измерения длины нам разрешили пользоваться только целыми метрами. Как тогда мы бы смогли измерить рост человека? Или спортивные результаты в прыжках? В таких случаях пользуются сантиметрами.

Вопрос ученикам:

Скажите, какая это доля метра -- сантиметр?

А в технике часто нужны более мелкие доли метра -- тысячные. Они, как вы знаете, называются миллиметрами. И более крупные доли метра бывают полезны, например десятые.

Вопрос ученикам:

Сколько сантиметров в м? Как такая доля метра называется? Запомните:

1мм=м	1 см= м	1 дм=м

Полезно, при объяснении на этом этапе, использовать материал первой главы, особенно рисунки: 1, 2, 3.

Далее проводится целенаправленная работа по осмыслению, запоминанию и применению полученных знаний.

Вопросы и задания.

1. Что такое доля?

2. а) Как называется тысячная доля метра? Сколько миллиметров в одном метре?

б). На доли делят единицы не только длины, но и других величин. Например, лекарства в аптеке отвешивают в тысячных долях грамма. Их называют миллиграммами. Один миллиграмм записывают: 1 мг. Сколько миллиграммов в 1 г?

3. Запишите цифрами: а) одна семнадцатая; б) одна триста третья; в) одна десятитысячная; г) одна стотысячная; д) одна миллионная.

4. (Устно) Прочитайте: а) ; б) ; в) ; г)

5. Придумайте три доли и запишите их на листочке словами. Предложите соседу по парте записать их цифрами. Проверьте, правильно ли он выполнил задание.

6. (Устно.) Какую часть тонны составляет 1 кг? 39 кг? 897 кг?

7. (Устно.) Какую часть метра составляют: 9 см; 43 см; 77 см?

8. (Устно.)- Какую часть года составляет 1 месяц? 3 месяца? 7 месяцев?

3. Методические рекомендации к теме: Обыкновенные дроби

Понятие обыкновенной дроби вводится конкретно индуктивным путем. Решаются задачи, имеющие жизненный характер, что позволяет ученикам легче адаптироваться к получению нового материала. Можно предложить для рассмотрения следующую задачу.

Задача. Валя и Вера пригласили на свой день рождения семерых одноклассников. Как им поделить два одинаковых кекса поровну на девятерых? Сколько кекса получит каждый?

Как решить эту задачу? Можно поступить так: разрезать каждый кекс на 9 частей, и раздать каждому гостю по две таких части. Тогда каждый получит две девятых части кекса.

Видите, у нас возникло число "две девятых". Это не натуральное число, но и не доля единицы. Это сумма двух одинаковых долей. Для чисел, которые являются или долями, или суммам долей, используют общее название -- дробные числа. Дробные числа называют и просто дробями.

Запишите правило:

Дробь -- это или доля, или сумма нескольких одинаковых долей.

Так что число "две девятых" -- это дробь. Цифрами она записывается: . На этом этапе полезно заметить, что дробь равна сумме двух одинаковых девятых долей: =. Ребятам будет это понятно, так как они заметили данное свойство на примере, а в дальнейшем поможет им легче ориентироваться при изложении темы сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Вот еще несколько дробей: .

Задания, рекомендованные ученикам на этом этапе.

1.(ученикам со слабой подготовкой) Назовите три любые дроби.

(отметить ученика в случае правильного ответа).

2.(хорошо успевающим) Укажите, суммой каких долей являются дроби и.

Это задание аналогично примеру с кексом.

Для записи дроби используют дробную черту и два натуральных числа. Под дробной чертой пишут знаменатель дроби. Он показывает, из каких долей складывается дробь. Над чертой пишется числитель дроби. Он показывает, суммой скольких долей является дробь. Например, у дроби знаменатель равен 4, а числитель 3, у дроби знаменатель равен 7, а числитель 4.

Читают эти дроби так: "три четвертых" (или "три четверти"), "четыре седьмых".

Задание на этом этапе:

Запишите и прочитайте дробь с числителем 5 и знаменателем 11. Суммой каких долей является эта дробь? Сколько таких долей взято слагаемыми?

Начиная с первых уроков, учитель должен придерживаться следующей схемы работы с числом:

1. Чтение и запись дробного числа;

2. Отмечать на координатной прямой дробные числа;

3. Сравнение дробных чисел;

4. Арифметические действия;

5. Законы и математические правила.

Необходимо, чтобы учащиеся могли выполнять каждый пункт этой схемы, тем более, что они знакомились с данной схемой при изучении натуральных чисел.

Вопросы и задания

1. Что такое дробь? Приведите пример дробного числа.

2. Что показывает знаменатель дроби? числитель дроби?

3. (Устно) Прочитайте записи и назовите числитель и знаменатель каждой дроби:

а) ; б); в) ; г) ; д) .

4. Прочитайте дроби:. Назовите числитель и знаменатель каждой из дробей. Объясните, как может быть получена каждая из данных дробей.

5. Изобразите графически отрезки, длины которых соответствуют дробям: (См. образец на рис.5)

6. Запишите дроби цифрами и представьте каждую из них в виде суммы долей: а) две пятых; б) три восьмых; в) две сотых.

7. Какую часть недели составляет 1 день? б) Какую часть суток составляет 1 ч? в) Какую часть часа составляет 1 мин? г) Какую часть минуты составляет 1 с?

8. Смекалкин предложил младшему брату записать цифрами две дроби: а) четыре тысяча вторых; б) четыре тысячи вторых. "Так это ведь одна и та же дробь!" -- воскликнул брат. Смекалкин объяснил брату, что тот невнимателен. Перечитайте внимательно задания Смекалкина и запишите названные им дроби.

9.Запишите дробь, у которой: а) числитель равен значению выражения 5883:37- 2852:46, а знаменатель -- значению выражения 43(95 -- 32):21; ()

б) числитель равен значению выражения 207480:456+1572480:3456, а знаменатель -- значению выражения 3 (42 664 135 --30 959 975): 2210. ()

По учебнику математика 5 класс под редакцией Виленкина рекомендуется решить следующие задачи:

861, 862,864,865,869,871,873,880, 901,902, 908, 909.

880 Сколько молока в бидоне, если этого молока составляет 13 литров?

Решение В задаче говорится, что доли всего молока составляет 13 литров, т. о. все молоко разделили на 5 равных частей и чтобы найти сколько литров всего нужно увеличить количество молока в 5 раз, т. е. 135=65 литров вмещает бидон.

Ответ: 65.

902 Площадь квадрата 16 см². Найдите, чему равна площадь:

а) квадрата; б) половины квадрата.

Решение а) в этом случае квадрат разделили на 4 части и взяли 3,

Т.е. 16=12см²

б) 16=8 см²

4. Методические рекомендации к теме: Деление и дроби

Прочитайте еще раз задачу, с которой начался предыдущий урок. Похожие задачи, где нужно распределить с предметов поровну между b людьми, вам уже встречались. Такие задачи решают делением и ответ записывают в виде частного с: b. Точно так же и в нашей задаче ответ можно дать в виде частного 2:9. Но в предыдущем уроке мы записали ответ в виде дроби .

Значит, и есть частное 2:9. Получаем равенство: =29.

Видите, среди дробей нашлось частное при делении натурального числа 2 на натуральное число 9.

Вообще, с помощью дробей можно записать частное и при делении любых натуральных чисел. На этом этапе происходит связь нового материала и материала, изученного на прошлом уроке. Авторитарно дается правило учителем.

Правило. Частное при делении одного натурального числа на другое равно дроби, числитель которой равен делимому, а знаменатель -- делителю. Это же правило можно сформулировать и короче:

Дробь равна частному при делении числителя на знаменатель.

Учащиеся записывают оба правила в тетрадь, затем предлагается прочесть правило "слабому ученику" с последующей проверкой и дублированием "сильным учеником". Таким образом происходит наиболее полное и качественное запоминание правила (ученик сначала слушает учителя, затем записывает в тетрадь, после еще раз проговаривает). Далее дается математическая запись правила.

Если обозначить числитель дроби буквой т, а знаменатель -- буквой п, то наше правило запишется такой формулой:

Например, 4:7= , 5:6= и т.д.

Возможный вопрос ученика:

А что дроби получаются при делении натуральных чисел только тогда, когда делимое меньше, чем делитель.

Нет, в виде дроби записывается частное при делении любых натуральных чисел. Например, 6:5=, 9:2=, 8:4 =.

Но ведь 8:4 -- 2! Значит, натуральное число 2 равно дроби ?

Совершенно верно! Можно придумать много таких примеров: 9:3 = 3, поэтому число 3 равно дроби , 10:2=5, поэтому 5 = и т. д. Вообще, каждое натуральное число а можно выразить в виде дроби, причем многими способами -- с любым знаменателем. Если выбрать знаменатель п, то числитель нужной дроби равен произведению ап. То есть а = . Самый простой способ -- когда п равно 1. Например, 3= , 5 = .

Далее нужно показать связь изученного правила с жизнью. Решить задачи из учебника на применение правила.

Так как материал этого урока не является сложным, то в конце урока учитель может предложить небольшую самостоятельную работу, или работу в парах, при которой ученики составляют задания друг для друга. Задания могут быть такими: а) записать в виде дроби: 9:7, 5:6 и т.д; б) записать в виде частного при делении одного натурального числа на другое. Таким образом активизируется процесс обучения.

5. Методические рекомендации к теме: Сравнение дробей. Правильные и неправильные дроби

Эту тему можно вводить двумя способами, или комбинируя их. Рассмотрим первый способ. Этот способ подразумевает использование координатного луча. Поэтому вначале целесообразно повторить, как изображаются числа на координатном луче, как сравниваются натуральные числа, с использованием координатного луча.

Изобразим координатный луч и отметим на нем единичный отрезок. Необходимо уяснить что дроби - это тоже числа, что они точно также изображаются точками на этом луче. Разделим единичный отрезок на две части, а затем этот же отрезок на четыре части (рис.1).

Отмечаем точку А равную половине отрезка ОЕ, затем в верхней части рисунка отмечаем точку, взяв две части из четырех. Дети должны заметить, что это одна и таже точка. Делаем вывод, который необходим при последующем изучении основного свойства дроби, что . Что две дроби обозначают одно и тоже число. Для подтверждения рассмотреть рис.116 на странице 184 в учебнике. Следующая точка на верхней части рис.1 является третье частью из четырех, поэтому она равна . Она находится ближе к единице, значит правее, чем , тогда .

Второй метод введения.

Дробные числа, как и натуральные, можно сравнивать. Сравним, например, дроби и . Давайте рассуждать. У первой дроби числитель 3, а знаменатель 4. Значит, она равна сумме трех четвертых долей: . А дробь равна сумме пяти таких же долей: = . Слагаемые во второй сумме такие же, как и в первой, но их больше. Поэтому вторая сумма больше первой. Мы доказали, что .

Этот метод введения хорош тем, что при его реализации происходит первичное, понятийное знакомство учащихся с темой сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Предложить задание:

Такими же рассуждениями докажите, что.

Сформулируем теперь общее правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями (полезно дать в следующей форме):

Можно сказать и так: чтобы сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить только их числители.

Задания.

1. Расположите числа в порядке возрастания:

а) ; б) ; в) .

г) (для хорошо успевающих учеников) .

2. Расположите числа в порядке убывания:

а) ; б) ;

(для хорошо успевающих учеников)

в) . г) .

3. Аня подсчитала, какую часть декабря составили дни с различным типом погоды. Получилось, что месяца была солнечная погода, -- пасмурная погода со снегом и -- пасмурная погода без снега. Дней с каким типом погоды было: а) больше всего; б) меньше всего?

4. Мама поручила Игорю купить продукты. На хлеб Игорь истратил всех денег, на молоко -- , на овощи -- , а всех денег Игорь заплатил за яблоки.

а) На какую покупку Игорь истратил больше всего денег; меньше всего? б) Остались ли у Игоря деньги после всех покупок?

5. Начертите отрезок ОА=7см. Затем начертите отрезок:

а) CD=OA; б) ВК=ОА; в) МН=ОА; г) РЕ=ОА

5. (Устно, для сильного ученика) Клоун предложил кому-нибудь из публики поиграть с ним в такую игру. Он называет дробь. Игрок из публики называет меньшую дробь. Затем клоун называет еще меньшую дробь, игрок из публики -- еще меньшую и т. д. Выигрывает тот, кто назовет дробь, меньше которой уже дробей нет.

Объясните, можно ли выиграть в такой игре.

Задания, рекомендованные из учебника Виленкина:

920, 921, 922, 923, 941, 946, 947.

923 Какая из точек лежит левее на координатном луче:

а) А() или В(); б) А() или В()?

Решение

Левее на координатном луче - значит ближе к нулю, т.е. меньше,

Т.к. дроби имеют одинаковые знаменатели, то меньше та, у которой меньше числитель < , >.

941 Поставьте вместо * знак < или > так, чтобы получилось верное неравенство:

a) б) в) г) 67430087*67430093

a) б) в) г) 67430087<67430093

Правильные и неправильные дроби

На тему выделяется 1 урок. Изложение темы должно неразрывно протекать с темой сравнение дробей. Желательно объединить изложение этих тем. Рекомендуется рассмотреть пример в начале параграфа 25. Закрепить знания на координатной прямой, используя равенства полученные при сравнении дробей.

Вообще, сравнивать дробь с единицей помогают такие правиле

Если числитель дроби равен знаменателю, то дробь равна 1. Полезно следующая формулировка и запись правила, которая способствует лучшему запоминанию и осмыслению правил и законов:



	Если т>п, то > 1	Если m<n то < 1

Чтобы эти правила стали еще яснее, представьте, что числитель и знаменатель дроби "соревнуются", кто сильнее, и каждый тянет дробь в свою сторону. Числитель тянет дробь вверх. Если он больше знаменателя, то дробь больше, чем 1. А знаменатель упирается и тащит дробь вниз. Если перетянет он, то дробь меньше, чем 1. Если же числитель уравновесит знаменатель, то дробь равна 1.

Дробь, меньшая, чем 1, называется правильной. Например, дроби правильные. Дробь, большая единицы или равная ей, называется неправильной. Дроби неправильные.

Задание по ходу изложения:

Придумайте еще несколько примеров правильных и неправильных дробей. Для каждой дроби объясните, почему она правильная или неправильная.

Возможный вопрос ученика:

А как сравнивают дроби с разными знаменателями?

Это непростой вопрос. На него мы ответим позднее, в VI классе. А пока обсудим, как сравнивать доли. Какая доля больше: или ? Представьте, что один раз яблоко делят на две равные части, а в другой раз -- на три. Ясно, что в первый раз получится большая доля, чем во второй. И вообще, чем на большее число равных частей делят единицу, тем меньшие доли получают.

Вопросы и задания.

1. Как узнать, какая из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше?

2. Как узнать, что дробь больше единицы? меньше единицы? равна единице? Как называются дроби, меньшие, чем 1? А дроби, большие единицы или равные ей?

Может ли натуральное число равняться правильной дроби? неправильной дроби? Ответ объясните.

4. Назовите, какие из дробей и ;правильные? Не правильные?

5. а) Запишите все правильные дроби со знаменателем 5; 7. б) Запишите все неправильные дроби с числителем 4; 6:

6. (Загадка.) Буквой п обозначено число. Известно, что существует ровно одна правильная дробь со знаменателем п. Какое число обозначено буквой n?

Задания из учебника: 950, 951,952, 956

952 При каких значениях а дробь:

А) будет правильной; б) будет неправильной?

Решение Дробь - правильная, если числитель меньше знаменателя, т.е. при а<10 - дробь правильная.

Дробь - неправильная, если числитель больше знаменателя, т.е. при а<16 - дробь неправильная.

После изучения этих тем рекомендуется предложить ученикам контрольную работу №1 из приложения.

6. Методические рекомендации к теме: Сложение и вычитание дробей, имеющих одинаковые знаменатели

На тему выделяется 3 урока. Объяснение темы можно вести по учебнику, с использованием рис.126.

Рис. 126

Пример имеет хорошую иллюстрацию и имеет жизненную направленность, что облегчает и способствует восприятию учениками. Кроме того, можно провести вывод в форме диалога - рассуждения, ставя учеников в исследовательскую позицию. Необходимо провести аналогию со сложением натуральных чисел. Дробные числа, как и натуральные, тоже можно складывать, I вычитать, умножать и делить. В VI классе вы научитесь выполнять действия над любыми дробями. А пока поговорим о сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями.

Что получится, если сложить, например, дроби и ?



Давайте рассуждать. Дробь равна сумме двух седьмых долей, а дробь -- сумме трех таких же долей. Ясно, что если к двум седьмым долям прибавить еще три такие доли, то получится пять седьмых долей (рис.1). Поэтому можно записать равенство

.

Задание по ходу изложения:

Такими же рассуждениями докажите, что

.

Теперь легко догадаться, как сформулировать общее правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями. Давайте вместе с вами сформулируем правило: Чтобы найти сумму дробей с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители и оставить тот же знаменатель.

Если обозначить числитель одной дроби буквой а, числитель другой -- буквой b, а знаменатель обеих дробей буквой п, то это правило можно записать формулой:

.

Займемся теперь вычитанием дробей с одинаковыми знаменателями. Но сначала надо вспомнить, что такое разность.

Вопрос ученикам:

Что такое разность чисел с и а?

Вы знаете, что разность чисел с и а -- это такое число b, что " сумма чисел а и b равна с. Как же найти, например, разность дробей и ? Очень просто: раз мы знаем, что , то - =. Видно, что знаменатель у разности остается таким же, каким был у уменьшаемого и вычитаемого. А что происходит с числителем, легко догадаться: ведь 2 = 5- 3. Догадались? Тогда сформулируем правило:

Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого и оставить тот же знаменатель. Если, как и выше, записать дроби с помощью букв, то правило можно выразить такой формулой:

.

Вопросы и задания

1. Как найти сумму двух дробей с одинаковыми знаменателями? Как найти разность двух таких дробей?

2. (Устно) Найдите значение числового выражения:

а) б) в)

3. Вы знаете переместительный и сочетательный законы сложения натуральных чисел. Эти законы верны и для дробных чисел. Они помогают группировать слагаемые так, как будет удобнее. Вот пример:

.

Найдите значение выражения, используя законы сложения:

а); б); в) ; г)

4. В 1-й день похода туристы прошли маршрута. Во 2-й день -- на часть пути больше, чем в 1-й. А в 3-й -- на части меньше, чем во 2-й. а) Какую часть всего пути прошли туристы за три дня? б) Какую часть маршрута им еще предстоит пройти? Задания из учебника:

980, 981,982, 983,986,987,992, 993.

992 Выполните действия:

г) е)

Решение

г)

е)

993 Решить уравнение:

Б)

г)

Предлагается контрольная работа №2 из приложения.

7. Методические рекомендации к теме: Основное свойство дроби

Перед изложением данной темы полезно вспомнить тему сравнение дробей, а именно тот момент, когда две дроби изображались на координатном луче одной точкой.

Полезными будут ранее заготовленные рисунки на доске:

Вы уже замечали, что две по-разному записанные дроби могут быть равны между собой. Например, и т. д. Как объяснить такое интересное явление?

Ученик: А что тут объяснять? Ведь равенства совершенно понятны, если рассмотреть рисунок.

Эти равенства, конечно, понятны. Но мы хотим обнаружить свойство, которое будет относиться к любым дробям. Как, например, объяснить равенство

?

Ведь рисунок с миллионами клеточек нарисовать не удастся! Здесь без рассуждений не обойтись: А помогут нам рассуждать правила умножения и деления дроби на натуральное число.

Возьмем дробь . Умножим числитель и знаменатель на натуральное число 2.

Поясняется на координатном луче, что это одна и та же точка, значит дроби тоже равны.

Аналогично, числитель и знаменатель дроби сначала делятся на 2, а затем умножаются на 4. В итоге получается цепочка равенств:

.

Получаем формулу, и даем символьную запись:

Эта формула выражает такое свойство:

Если у любой дроби числитель и знаменатель умножить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Это важное свойство называют основным свойством дроби.

Пользуясь им, легко обнаружить равные друг другу дроби. Конечно этот вывод хорош в любом классе, а вот в "слабом" классе потребуется выделить значительное время на решение примеров, закрепляющих это правило.

Теперь мы без труда объясним, например, почему .

Умножим числитель и знаменатель дроби -- на 100000. Смотрите:

Вопрос по ходу изложения: Объясните, почему .

Основное свойство дроби позволяет заменить дробь равной ей дробью со знаменателем, кратным числу п. Это помогает сравнивать дроби с разными знаменателями, выполнять над такими дробями действия. Мы займемся всем этим чуть позже.

Задания из учебника:

202, 203, 207, 208, 209, 210, 211, 213.

207 Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на 5. Напишите соответствующие равенства.

210 Объясните, почему верно равенство: a) б)

Воспользуемся разложением числа на множители и основным свойством дроби:

a) б)

8. Алгебраическая пропедевтика при сложении дробей с разными знаменателями

К началу урока по теме "Сложение обыкновенных дробей с разными знаменателями" ученики уже знают смысл обыкновенных дробей, умеют складывать и вычитать дроби с равными знаменателями, выделять целую часть из неправильной дроби; в процессе сокращения обыкновенных дробей отработан и навык разложения составных чисел на простые множители. Урок, на котором учитель с учениками находит алгоритм сложения дробей с разными знаменателями, можно начать с простого вопроса: "Как выполняется сложение дробей с одинаковыми знаменателями?" Ученики отвечают: "Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители и оставить тот же знаменатель". Это правило подкрепляется устной работой на сложение дробей:

; ; ; .

Учитель. Давайте теперь попробуем сложить две дроби с разными знаменателями.

Запись на доске: = .

Ученики ничего не пишут, только отвечают на вопросы учителя, который записывает на доске решение.

Учитель. Мы умеем складывать дроби с одинаковыми знаменателями. Здесь они разные, что же делать?

Ученики. Нужно как-то сделать знаменатели одинаковыми.

Учитель. Давайте сначала посмотрим, что за числа стоят в знаменателе дробей, на какие простые множители их можно разложить.

Ученики. 15 = 35; 10 = 25.

Запись на доске: .

Учитель. Какие множители в этих знаменателях одинаковые и какие -- разные?

Ученики. Одинаковые множители 5, а разные 3 и 2.

Учитель. Чтобы знаменатели стали одинаковыми, на какое число надо домножить первый знаменатель и на какое -- второй?

Ученики. Первый знаменатель надо домножить на 2, а второй -- на 3. Запись на доске:

= ???

.

Учитель. Но ведь складываемые дроби изменятся, если мы умножим только их знаменатели. Что же делать, чтобы дроби не изменились?

Ученики. Нужно применить основное свойство дроби, т.е. умножить и числители дробей на то же число, на которое умножили знаменатели. Запись на доске:

=

Учитель. Мы старались сделать знаменатели одинаковыми, и эта цель достигнута! Раз знаменатели состоят из одинаковых множителей, значит, они равны. (Вспомните переместительный и сочетательный законы умножения.)

Запись продолжается: = .

Те же самые рассуждения повторяются при нахождении суммы дробей 1/6 и 4/15. На доске опять пишет только учитель:

.

Найденный алгоритм ребята записывают в тетрадь. Постепенно, по мере изучения частных случаев, конспект обогащается и завершается записью общего случая. Полный конспект приведен ниже.

Урок завершается тренировкой в сложении дробей:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Приведенный выше способ объяснения дает наглядную картину того, для чего нужен каждый этап алгоритма. Дополнительные множители определяются легко, а общий знаменатель получается почти сам собой. Такие трудные для учеников понятия, как наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель, оказываются здесь излишними, они разъясняются позже просто для общего сведения. Урок построен так, что за 40 мин ученики участвуют в сложении дробей 5 раз, благодаря чему многие к концу урока уже запоминают алгоритм. Если класс очень слабый, то урок заканчивается записью конспекта. Тогда на следующем уроке всё быстро проговаривается вновь, и ребята переходят к самостоятельной работе.

Конспект

Сложение обыкновенных дробей с разными знаменателями



Краткая запись

В общем виде:

Упрощенные случаи:

а) Один знаменатель делится на другой:

;

б) знаменатели -- взаимно простые числа:

.

Со временем записи совершенствуются, что видно из решения более сложного примера:

.

Подчеркнем, что мы складываем целые числа уже после приведения дробей к общему знаменателю. Это делается для того, чтобы алгоритмы сложения и вычитания были как можно более похожи, а как известно, при вычитании дробей иногда нужно занять единицу. При этом удобнее вычитать целые уже после "заема". Способ объяснения ясен из приведенного ниже конспекта.

Конспект

Вычитание обыкновенных дробей

1), так как 3=2+1=2+;

2);

3) ,

4 < 8, поэтому из 5- целых займем 1 целую;

Пояснение:

.

Приведенный алгоритм сложения и вычитания обыкновенных дробей закономерно распространяется на сложение и вычитание алгебраических дробей. Покажем схематично способ разъяснения.

Точно так же, как и в VI классе, тема "Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю" отдельно не рассматривается, а дается сразу в процессе сложения и вычитания алгебраических дробей, что значительно сокращает учебное время, необходимое для усвоения этого материала.

Сэкономленное таким образом время используется для отработки навыков сложения и вычитания дробей (как обыкновенных, так и алгебраических), что наряду с ясным алгоритмом существенно улучшает результаты обучения.

Предлагаются контрольные работы №2 - №3 из приложения.

9. Методические рекомендации к теме: Умножение и деление обыкновенных дробей

На данную тему выделяется 10 часов. Темы даются учащимся конкретно - индуктивным образом, на задачах, приведенных в учебнике. Сначала дается задача, подводящая к правилу умножения дроби на натуральное число. Целесообразно повторить сложение дробей с одинаковыми знаменателями, выделение целой части из дробного числа, включив соответствующие примеры в актуализацию. Здесь учитель сам варьирует способы проверки. Это могут быть как письменные примеры, заготовленные на доске, так и в форме фронтального опроса.

Задача 1. В бутылке л сока. Сколько сока в 5 таких бутылках?

Решение. Для решения задачи надо найти произведение 5. Но умножить на натуральное число 5 - значит найти сумму пяти таких слагаемых, каждое из которых равно:

,

значит в пяти бутылках л сока.

Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на натуральное число, а знаменатель оставить без изменения.

Задача 2. Длина прямоугольника дм, а ширина дм . Чему равна площадь прямоугольника?

Решение. Из рисунка видно, что данный прямоугольник можно получить так: разделить одну сторону квадрата со стороной 1 дм на 5 одинаковых частей и взять 4 такие части, а другую сторону разделить на 3 одинаковые части и взять 2 такие части. При таком делении квадрат будет состоять из 15 равных частей, а прямоугольник будет состоять из 8 таких частей. Значит, площадь прямоугольника равна дм. Но мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины. Поэтому считают, что число получено от умножения на .

Итак,

.

Чтобы умножить дробь на дробь, надо: 1) найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей; 2) первое произведение записать числителем, а второе - знаменателем.

Обычно вначале обозначают произведение числителей и произведение знаменателей, затем производят сокращение и только потом выполняют умножение. В ответе, если это возможно, из дроби исключают целую часть.

Например:

; .

Для того чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей.

Деление

Задача. Площадь прямоугольника м. Длина одной стороны м. Найдем длину стороны.

Решение. Обозначим длину другой стороны через x м. По формуле площади прямоугольника должно выполняться равенство . Умножим обе части равенства на число , обратное числу . Так как произведение равно 1, то получим, что , или . Таким образом, длина другой стороны прямоугольника равна м.

В этой задаче мы нашли неизвестный множитель в произведении . По смыслу деления это число равно частному от деления числа на число .

Видим, что это частное равно произведению делимого и числа, обратного делителю, т.е. .

Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю.

Пример. Разделим на .

Решение. Представим сначала числа и в виде неправильных дробей:

.

Поэтому

.

Пример. Разделим на 6.

Решение. Числом, обратным делителю, является , так как . Значит,

Затем происходит закрепление сформулированных правил на большом числе задач из учебника. Примеры разобраны доходчиво, имеют хорошую вспомогательную иллюстрацию. Поэтому, в своей дипломной работе я хотел бы привести пример нестандартного проведения урока по теме умножение обыкновенных дробей.

Умножение обыкновенных дробей (обобщающий урок)

Учебник: Виленкин Н.Я. и др. ''Математика, 6''.

Цели урока: отработать умение и навыки применения правил умножения обыкновенных дробей; контроль знаний; развитие любознательности; умение преодолевать трудности при решении примеров; умение общаться друг с другом.

Форма проведения: дидактическая игра.

Оборудование: индивидуальные карточки с примерами, фигуры ракет, кодоскоп.

Ход урока

1. Организационный момент

Класс разбивается на пять групп. Каждая группа- это экипаж ракеты, на которой они совершат прогулки. Каждый участник имеет "путевой лист", на котором будет записывать решение всех встречающихся по ходу урока примеров и самостоятельная работа. В конце урока эти листы собираются учителем на проверку.

2. Девиз прогулки

Каждый ученик решает пример , записанный на карточке. Ответы закодированы буквами. В результате их решения на доске появляется девиз прогулки: "Авось да как - нибудь до добра не доведут". Обсудите с участниками смысл этой поговорки.

Индивидуальные карточки для девиза:

3

т

а

Н

У

б

ь

к

С

е

р

Д

в

о

и

А	в	о	с	Ь		Д	а		к	а	к	-	н	и	б	у	д	ь		д	о
1	2	3	4	5		6	7		8	9	10		11	12	13	14	15	16		17	18

д	о	б	р	а		н	е		д	О	в	Е	д	у	т
19	20	21	22	23		24	25		26	27	28	29	30	31	32

3. Найди свою ракету

Экипажам дается пример, который должен решить каждый член экипажа. В примере - три действия, результат каждого действия имеет свой код. Происходит самоконтроль. В итоге номер ракеты будет состоять из двух букв и одной цифры. Кто первым из экипажа определит номер своей ракеты, становится ее командиром. Он берет макет ракеты и ставит ее на свой стол. Номера будут такими: КР 2; АТ 3; БУ 1; НЕ 4.

КАРТОЧКИ ДЛЯ ЭКИПАЖЕЙ

1. 2.

	11		12
А	Р	Ф	7	2	К

	155
3	Ю	А	12	Т	К

3. 4.

	5
Е	Б	4	Н	У	7

	8				10
1	У	А	5	Б	М

4. ВЫБОР МАРШРУТА (индивидуальное задание)

Одному члену из каждого экипажа дается карточка с примерами и шифром. Решая примеры, они с помощью шифра определяют набор цифр и выписывают их на доске. Задания у всех одинаковые, так как маршрут прогулки один:

4 3 1 8 2 5

1. 2. 3. 4. 5. 6.

				6		0
1	5	4	8	3	7	2

5. Проверка готовности к прогулке Пока штурманы выверяют маршрут прогулки, надо проверить, все ли готово к полету: найти и устранить неисправности, проверить снаряжение.

Задание. Найдите, исправьте и объясните допущенную ошибку.

На доске записано пять примеров с решениями, в которых допущена ошибка.

Каждый экипаж ищет ошибку в своем примере; если есть время, участники могут помочь другим экипажам. После нахождения ошибки один из членов экипажа должен ее исправить и объяснить.

2.

3. 5.

4.

6. Полет(занимательные задания)

Маршрут выбран, неисправности устранены, можно начать полет. Теперь можно отдохнуть.

Задание 1. Составьте слово: ь, р, д, б,о.

Задание 2. (фокус) Задумайте число, умножьте его на , затем умножьте полученный результат на . Я по вашему ответу могу узнать, какую цифру вы задумали.

Объяснить этот фокус мы сможем на следующем уроке.

7. Беговой тренажер

Во время полета необходима физическая нагрузка. Поэтому мы все пойдем на беговой тренажер.

Задание. Необходимо правильно и быстро решить примеры устно. Ответы записываем на листке.

1-я дорожка:

2-я дорожка:

8. Расчет посадки

Прогулка подошла к концу. Чтобы посадить корабль на Землю, необходимо рассчитать площадь и периметр посадочной площадки, которая является квадратом со стороной a= км.

9. Подведение итогов урока

Активным участникам выставляются отметки. "Путевые листы" собираются на проверку, после чего каждому участнику будет объявлена оценка.

Заключение

Результатом выпускной квалификационной работы является разработанная методика изучения темы "Методика преподавания математики в 5 - 6 классах СОШ". Изучение и углубление знаний по данной теме необходимо в настоящее время, так как увеличивается ценность образования. А при изучении этой темы у учеников повышается способность к научно-исследовательской деятельности, развивается математический способ мышления, со всеми приемами и методами характерными только ему. Кроме того, тема является фундаментальной, на основе и с использованием ее излагается весь последующий материал, а также строятся целые теории. Дроби сопровождают учеников вплоть до окончания школы.

В выпускной квалификационной работе разработаны методические положения, способствующие целостному успешному усвоению знаний.

При работы было достигнуто следующее:

- обобщен и систематизирован материал по теме "Методика преподавания обыкновенных дробей в 5 - 6 классах средней общеобразовательной школы";

- разработаны практические занятия для учеников ;

- разработано тематическое планирование по данной теме;

- разработаны методические рекомендации;

- разработан психолого-педагогический аспект по изучению темы.

В ходе выполнения было рассмотрено и систематизировано большое количество задач такого рода.

Материал представленный в данной исследовательской работе может быть использован учителями средних школ , а так же студентами педагогических ВУЗов при подготовке и осуществлении педагогической практики.

ЛИТЕРАТУРА

1. Виленкин Н.Я. Математика 5-6 кл. М.: Просвещение, 1999-345с.

2. Колягин Ю.М. Методика преподавания математики в средней школе (общая методика) М: Просвещение 1980 г. - 259 с.

3. Совайленко В.К. Система обучения математике в 5-6 кл. М.: Просвещение, 1991-480с.

4. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г. Математика учебник-собеседник для 5 кл. М.: Просвещение, 1994-319с.

5. Газета "Математика" 13/2001

6. Газета "Математика" 10/2000

7. Газета "Математика" 26/2001

8. Журнал Математика в школе 5/1994

9. Журнал Математика в школе 2/1996

10. Журнал Математика в школе 3/1994

Приложение

Контрольная работа №1

Вариант I

Расположите дроби в порядке возрастания:

()

Из данных дробей укажите правильные:

()

Начертите в тетради квадрат со стороной 8 клеток. Разделите его на 4 доли. Начертите отдельно четверть квадрата.

Замените * знаком < или >:

. ()

Напишите все правильные дроби со знаменателем 5. ()

Вариант II

Расположите дроби в порядке убывания:

()

Из данных дробей укажите неправильные:

 ()

Начертите в тетради квадрат со стороной 6 клеток. Разделите его на 3 доли. Начертите отдельно треть квадрата.

Замените * знаком < или >:

. ()

5. Напишите все неправильные дроби с числителем 6. ()

Контрольная работа №2

Вариант №1

1. Выполните действия

()

2. Из данных дробей выделите целую часть

3. В третьем классе 35 учеников. Из них умеют играть в шахматы. Сколько ребят еще не научились играть? (10)

Вычислить

()

Длина прямоугольника м, а ширина на меньше. Найдите периметр прямоугольника. ()

Вариант №2

1. Выполните действия

()

2. Запишите смешанные числа в виде неправильных дробей

. ()

3. В бригаде 15 человек. Из них владеют одной специальностью, а остальные двумя. Сколько человек владеют двумя специальностями? (9)

4. Вычислить

()

5. Длина одной стороны треугольника м, другая на меньше. Периметр треугольника равен . Вычислите все стороны треугольника. ()

Контрольная работа №3

Вариант I

Запишите в виде обыкновенных дробей частные: 3:8; 12:32; 20:48; 5:12. Какие из полученных дробей равны? ()

2.Какое натуральное число надо записать вместо буквы, чтобы было верно равенство:

а) ( 2 ) б) ( 10 )

3.Сократите дроби:

()

4. Выполните действия и сократите результат:

а) () б) ()

Вариант II

1. Запишите в виде обыкновенных дробей частные: 2:8; 12:48; 25:60; 5:12. Какие из полученных дробей равны? (, )

2. Какое натуральное число надо записать вместо буквы, чтобы было верно равенство:

а) (3) б) (18)

3. Сократите дроби:

()

4. Выполните действия и сократите результат:

а) б) . ()

Контрольная работа №4

Вариант I

1. Рисунки занимают книги, а таблицы книги. Что занимает больше места в книге: рисунки или таблицы? ()

2. Решить уравнение:

а) () б) ()

3. Используя свойство вычитания числа из суммы, найдите значение выражения:

()

4. Сравните дроби:

а) б) в) (,,)

5.Найдите значение выражения:

. ()

Вариант II

1. 20 шагов папы составляют 16 м, а 10 моих шагов 7 м. Чей шаг короче? ()

2. Решить уравнение:

а) () б) ()

3. Используя свойство вычитания числа из суммы, найдите значение выражения:

()

4. Сравните дроби:

а) б) в) (,,)

5.Найдите значение выражения:

. ()

Контрольная работа №5

Вариант I

1. Найдите периметр треугольника АВС, если АВ=м, ВС больше АВ в четыре раза, а АС меньше ВС на м. ()

2. Выполните действие:

а) б) в) г) ()

3. Найдите:

а) (9) б) ()

4. Длина комнаты 6 м. Ширина составляет длины. Найдите площадь этой комнаты. (24 )

5. Решить уравнение:

(2)

Вариант II

3. Найдите периметр треугольника АВС, если АВ=м, ВС меньше АВ в пять раз, а АС больше ВС на м. ()

4. Выполните действие:

а) б) в) г) ()

3. Найдите:

а) (56) б) ()

4. Длина комнаты 8 м. Ширина составляет длины, высота составляет ширины. Найдите объем этой комнаты. (96)

5. Решить уравнение:

. (1)

Контрольная работа №6

Вариант I

1. Найдите числа, обратные числам:

()

2. Решите уравнение:

а) () б) . (5)

3. Выполните действия:

. ()

4. Найдите значение выражения:

. ()

Вариант II

1. Найдите числа, обратные числам:

()

2. Решите уравнение:

а) () б) . ()

3. Выполните действия:

. ()

4. Найдите значение выражения:

. ()

Размещено на Allbest.ru