1. Проанализировать и изучить психолого-педагогическую и методическую литературу по теме работы.

2. Рассмотреть и проанализировать основные учебники по математике 5-6 классов.

3. Разработать практический и методический материал по функциональной пропедевтике в 5-6 классах.

Объект исследования: методика преподавания математики.

Предмет исследования: функциональная пропедевтика на уроках математики в 5-6 классах.

Гипотеза: Для успешного усвоения учащимися основной школы понятия функции и способов её задания, необходимо в 5-6 классах систематически предлагать упражнения пропедевтического характера.

Глава 1. Психологические особенности мышления и учебной деятельности учащихся 5-6 классов

функциональная пропедевтика математика

Человек, появляясь на свет, наделен лишь самыми элементарными механизмами для поддержания жизни. По физическому строению, организации нервной системы, по типам деятельности и способам ее регуляции человек -- наиболее совершенное существо в природе. Однако по состоянию в момент рождения в эволюционном ряду заметно падение совершенства -- у ребенка отсутствуют какие-либо готовые формы поведения. Как правило, чем выше стоит живое существо в ряду животных, тем дольше длится его детство, тем беспомощнее это существо при рождении. Таков один из парадоксов природы, который предопределяет историю детства.

В ходе истории непрерывно росло обогащение материальной и духовной культуры человечества. За тысячелетия человеческий опыт увеличился во много тысяч раз. Но за это же время новорожденный ребенок практически не изменился. Опираясь на данные антропологов об анатомо-морфологическом сходстве кроманьонца и современного европейца, можно предположить, что новорожденный современного человека ни в чем существенном не отличается от новорожденного, жившего десятки тысяч лет назад.

Как же получается, что при сходных природных предпосылках уровень психического развития, которого достигает ребенок на каждом историческом этапе развития общества, не одинаковый? Детство -- период, продолжающийся от новорожденности до полной социальной и, следовательно, психологической зрелости; это период становления ребенка полноценным членом человеческого общества. При этом продолжительность детства в первобытном обществе не равна продолжительности детства в эпоху Средневековья или в наши дни. Этапы детства человека -- продукт истории, и они столь же подвержены изменению, как и тысячи лет назад. Поэтому нельзя изучать детство ребенка и законы его становления вне развития человеческого общества и законов, определяющих его развитие. Продолжительность детства находится в прямой зависимости от уровня материальной и духовной культуры общества.

Общеизвестно, что от знаний, педагогического мастерства, активной позиции учителя в решающей степени зависит успех модернизации системы образования. В каких же знаниях сейчас больше всего нуждается учитель?

По убеждению многих учёных, учителя особенно нуждаются в психологических знаниях. Ведь модернизация школы на передний план выдвигает задачу воспитания ученика, всестороннее его развитие.

Ещё К.Д. Ушинский указывал, что если мы хотим воспитать ребёнка всесторонне, также всесторонне его нужно изучать. Правильно изучать своих учащихся учитель сможет, лишь глубоко зная общие закономерности развития ребёнка, психологические закономерности развития его способностей, интересов, склонностей и других индивидуальных личностных особенностей.

Для каждого возраста существует своя специфическая социальная ситуация развития, т. е. определённое соотношение условий социальной сферы и внутренних условий формирования личности. Взаимодействие внешних и внутренних факторов порождает типичные психологические особенности, общие для людей одного возраста.

Мышление - высшая форма отражения мозгом окружающего мира, наиболее сложный познавательный психический процесс, свойственный только человеку.

Возможности познания окружающего мира с помощью анализаторов очень ограничены. Человек очень мало знал бы об окружающем мире, если бы его познание ограничивалось только теми показаниями, которые дают зрение, слух, осязание, обоняние и некоторые другие анализаторы. Возможность глубокого и широкого познания мира открывает человеческое мышление.

Мышление - процесс опосредованного и обобщённого познания (отражения) окружающего мира. Сущность его в отражении: общих и существенных свойств предметов и явлений, в том числе и таких свойств, которые не воспринимаются непосредственно; существенных отношений и закономерных связей между предметами и явлениями.

Мышление играет поистине огромную роль в познании. Мышление расширяет границы познания, даёт возможность выйти за пределы непосредственного опыта ощущений и восприятия. Мышление даёт возможность знать и судить о том, что человек непосредственно не наблюдает, не воспринимает. Наша мысль вырывает нас из плена непосредственной конкретной видимости и позволяет улавливать сходство в различном и различное в сходном, позволяет открывать закономерные связи между явлениями и событиями. Оно позволяет предвидеть наступление таких явлений, которые в данный момент не существуют. Без преобразующей творческой работы мысли невозможно было бы спланировать трудовые процессы, создать орудия труда, поставить новые цели.

Мышление перерабатывает информацию, которая содержится в ощущениях и восприятии, а результаты мыслительной работы проверяются и применяются на практике. Мышление взрослого, нормального человека неразрывно связано с речью. Мысль не может ни возникнуть, ни протекать, ни существовать вне языка, вне речи. Мы мыслим словами, которые произносим вслух или проговариваем про себя, т.е. мышление происходит в речевой форме. В речи мысль не только формулируется, но и формируется, развивается.

Выделяют основные формы мышления: понятие, суждение, умозаключение.

Понятие - это мысль о предмете или явлении, отражающая общие и притом существенные его свойства. В понятиях мы можем выразить то, что невозможно представить наглядным образом. Т. е. понятие шире, чем представление. Так, нам не удаётся мысленно увидеть фигуру, имеющую сто углов, но понятие «стоугольник» имеется, и мы знаем, что практически эта фигура может существовать.

Мысли о предметах и явлениях, о связях и отношениях между ними мы выражаем в форме суждений.

Суждение - форма мышления, в которой содержится утверждение или отрицание чего-либо. На основе одного или нескольких суждений, делается какой-либо вывод. Форма мышления, в которой из одного или нескольких суждений выводится новое суждение, называется умозаключением. Примером умозаключений могут быть доказательства теорем по геометрии.

Умозаключения бывают индуктивные и дедуктивные.

Индуктивные умозаключения (индукция) - способ рассуждения, при котором на основе ряда отдельных фактов (выраженных в частных суждениях) делается вывод, высказывается общее суждение.

Дедуктивные умозаключения (дедукция) - способ рассуждения, при котором от общих положений идут к частным выводам. Процесс мышления, в котором умозаключения строго основываются на правильных суждениях, называется логическим мышлением. Ярким примером строго логического мышления являются доказательства теорем в геометрии и другие математические выводы, где всё последующее основано на предыдущих положениях, одно неизбежно вытекает из другого.

Учащимся 5-6 классов соответствует возраст 11-12 лет, который явля-ется подростковым. Этот период принято считать переходным возрастом, он является сложным для школьников.

В то же время наблюдаются и повышенная утомляемость подростков. Утомление обычно развивается в две фазы: первая - двигательное беспокойство, вторая - сонливость, дремота или, наоборот, сильное возбуждение. Ко всему этому следует добавить и отклонения, связанные с усиленным ростом. В основе их лежат две причины: первая - нарушение содружественной работы отдельных органов, вторая - дефицит различных веществ, необходимых интенсивно развивающемуся и растущему организму. Отсюда - головокружение, потемнение в глазах и даже обморок при резком изменении положения тела, длительном неподвижном состоянии. Дело в том, что регуляторная система, поддерживающая постоянное артериальное давление при любых изменениях положение тела у подростков, временно отстаёт в своём развитии от слишком быстрого увеличения продольных размеров тела и поэтому срабатывает с опозданием. Вторая причина ведёт к нарушению осанки, к искривлению позвоночника и т.д.

Со всеми этими особенностями связана успеваемость. С одной стороны, непрерывно возрастают возможности в учебно-познавательной деятельности, совершенствуются память, внимание, качественно преобразуется характер мышления, развиваются критические черты характера, растёт самостоятельность и активность школьников, расширяется круг их интересов, стремлений, хотя некоторые причины делают процесс нарастания учебных возможностей менее интенсивным, чем в предшествующей и последующей возрастных группах.

Но именно в этот период существует возможность оказать нужное педагогическое влияние, потому что вследствие "недостаточной обобщенности нравственного опыта" нравственные убеждений, подростка находятся еще в неустойчивом состоянии.

Нравственные убеждения возникают и оформляются только переходном возрасте, хотя основа для их возникновения был заложена гораздо раньше. В убеждении, по мнению Л.И. Божович находит свое выражение более широкий жизненный опыт школьника, проанализированный и обобщенный с точки зрения нравственных норм, и убеждения становятся специфичными мотивам поведения и деятельности школьников.

Одновременно с развитием убеждений формируется нравственное мировоззрение, которое представляет собой систему убеждений что приводит к качественным сдвигам во всей системе потребностей и стремлений подростка.

Под влиянием развивающегося мировоззрения происходит иерархизация в системе побуждений, в которой ведущее место начинают занимать нравственные мотивы.

Установление такой иерархии приводит к стабилизации качеств личности, определяя ее направленность, и "позволяет человеку в каждой конкретной ситуации занять свойственную ему нравственную позицию".

У детей 11-12 лет резко возрастает познавательная активность и любознательность. Всё, что выходит за рамки повседневной жизни ребёнка, - проблемы жизни и смерти, войны и мира, экологические и социальные темы, способы познания мира, ведьмы и гороскопы, НЛО и инопланетяне - всё это занимает в сознании шестиклассника большое место. Эти проявления любознательности поверхностны и разбросаны и совершенно не связаны со школьной программой. Всё это происходит потому, что подросток ощущает свои силы и возможности, взрослеет. Значение интересов в подростковом возрасте чрезвычайно велико. По их содержанию можно судить о развитии личности ребёнка.

Если же у ребёнка полностью отсутствуют какие-либо увлечения, то, скорее всего, их не было у окружающих взрослых. Бывает наоборот: родители слишком активно стараются развить какой-либо интерес у школьника, что ведёт к обратному результату.

Играет роль в отсутствии интересов и социальная обстановка, нехватка кружков, бедность библиотеки, отсутствие спортивных секций и недостаточная материальная обеспеченность родителей.

Большое влияние на развитие интересов в подростковом возрасте оказывает общая атмосфера школы: если педагоги увлечены своим предметом, имеют большой круг интересов, желают всё это передать ученикам - всё это служит поддержкой влечения школьников.

Иногда сталкиваясь с первым неуспехом (или небольшим успехом), подросток быстро гаснет из-за неуверенности в себе. Родители в такой ситуации должны поддержать подростка, укрепить его самооценку, проанализировав причины неудач.

Часто отсутствие интересов отмечается у подростков с ярко выраженной тенденцией к «отказу от усилий». Дети готовы пойти за любым, кто покажет им, как можно, не прилагая никаких усилий, развлечь себя и чем-то заняться. Эти ребята - первые кандидаты в асоциальные группы. Они нуждаются в особом внимании и родителей и педагогов. Таким образом, чаще всего интересы шестиклассников лежат вне школы. А это, в свою очередь, часто ведёт к ухудшению успеваемости.

Переход от детства к юности присутствует во всём развитии подростка: его анатомо-физиологическом состоянии, интеллектуальном, нравственном состоянии и всех видах его деятельности. В подростковом возрасте серьёзно изменяются условия жизни и деятельности школьника, что приводит к перестройке психики, изменении уже сложившихся взаимоотношений с людьми. Особое значение имеют чувства, они становятся преднамеренными, сильными, осмысленными. Проявляются очень бурно, особенно гнев, иногда аффектно. Это период тяжёлого кризиса, ”катастроф” (упрямство, эгоизм, замкнутость и т.д.). Важно бережно относиться к духовному миру подростков, проявлению их чувств. Проблемой в этом возрасте является несогласованность убеждений, моральных идей и понятий с одной стороны, поступков и действий с другой. Педагог должен глубоко осмыслить особенности развития подростков, уметь поставить себя на их место. Дети в этом возрасте способны понять аргументацию, убедиться в её обоснованности, согласиться с разумными доводами.

Существует ещё одна причина трудностей в бучении в средних классах. Это формализм в учёбе. Различают два вида формализма:

1. Школьники, как правило, не пытаются проникнуть в суть того, что они изучают, а механически, не задумываясь, без осмысления, зазубривают написанное в учебнике или сказанное учителем. Такой вид формализма часто наблюдается у прилежных подростков, желающих хорошо учиться, но не умеющих правильно мыслить и чем-то интересоваться.

2. Школьники легко оперируют абстрактными понятиями, владеют способами теоретического мышления, но испытывают трудности «в восхождении к конкретному». Основная причина такая же - низкий уровень развития познавательной потребности, отсутствие стремления понять суть явлений действительности, понять реально существующие причинно-следственные связи.

Формальное усвоение школьных знаний отрицательно влияет не только на их качество, но и на развитие личности ребёнка. При наличии формализма первого вида может возникнуть учебная перегрузка, что проводит к повышенной утомляемости.

В подростковом возрасте существенно перестраивается характер учебной деятельности. В 5 классе школьники переходят к систематическому изучению основ наук. Причём не только усложняется сама учебная деятельность: увеличивается количество учебных предметов, вместо одного учителя с классом работают пять-шесть учителей, у которых разные требования, разный стиль ведения урока, разное отношение к учащимся. Главное, постепенно нарастающая взрослость подростка делает неприемлемыми для него привычные младшему школьнику старые формы и методы обучения. Если ученик ещё недавно охотно слушал подробные объяснения учителя, то теперь подобная форма знакомства с новым материалом часто вызывает у учащегося скуку, равнодушие, явно тяготит его. Склонный ранее к дословному воспроизведению учебного материала, он стремится теперь излагать его своими словами и протестует, когда учитель требует точного воспроизведения (Формулы, закона, определения).

Расширение связей с окружающим миром, широкое всепоглощающее общение со сверстниками, личные интересы и увлечения также часто снижают непосредственный интерес подростков к учению. Сознательно-положительное отношение ребят к учению возникает тогда, когда учение удовлетворяет их познавательные потребности, благодаря чему знания приобретают для них определённый смысл как необходимое и важное условие подготовки к будущей самостоятельной жизни. Однако здесь порой наблюдается расхождение: стремление к приобретению знаний может сочетаться с безразличным или даже отрицательным отношением к школьному обучению. Это может быть своеобразной реакцией на те или иные неудачи в учении, на конфликт с учителем. Подросток обычно остро переживает учебные неудачи и из-за самолюбия иногда маскирует подлинное отношение к этим неудачам: делает вид, что к успехам в учении он совершенно безразличен и равнодушен.

Наиболее существенную роль в формировании положительного отношения подростка к учению играют идейно-научная содержательность учебного материала, его связь с жизнью и практикой, проблемный и эмоциональный характер изложения, организация поисковой познавательной деятельности, дающей учащимся возможность переживать радость самостоятельных открытий, вооружение подростков рациональными приёмами учебной работы, навыками самовоспитания, являющимися непременной предпосылкой для достижения успеха.

В процессе учения очень заметно совершенствуется мышление подростка. Содержание и логика изучаемых в школе предметов, изменение характера и форм учебной деятельности формируют и развивают у него способность активно, самостоятельно мыслить, рассуждать, сравнивать, делать глубокие обобщения и выводы. Доверие учителя к умственным возможностям подростка как нельзя больше соответствует возрастным особенностям его личности.

Основная особенность мыслительной деятельности подростка - нарастающая с каждым годом способность к абстрактному мышлению, изменение соотношения между конкретно-образным и абстрактным мышлением в пользу последнего. Конкретно-образные (наглядные) компоненты мышления не исчезают, а сохраняются и развиваются, продолжая играть существенную роль в общей структуре мышления (например, развивается способность к конкретизации, иллюстрированию, раскрытию содержания понятия в конкретных образах и представлениях). Поэтому при однообразии, односторонности или ограниченности наглядного опыта тормозится вычленение абстрактных существенных признаков объекта. Так, например, младшие подростки иногда не узнают прямоугольного треугольника при положении прямого угла вверху, когда гипотенуза является основанием треугольника, путаются в хорошо знакомом им доказательстве при необычном построении чертежа.

Значение конкретно-образных компонентов мышления сказывается и в том, что в ряде случаев воздействие непосредственных чувственных впечатлений оказывается сильнее воздействия слов (текста учебника, объяснения учителя). В результате происходит неправомерное сужение или расширение того или иного понятия, когда в его состав привносятся яркие, но несущественные признаки, случайно запечатлевшиеся иллюстрации в учебнике, наглядном пособии, кадры учебного кинофильма.

В процессе учения подросток приобретает способность к сложному аналитико-синтетическому восприятию (наблюдению) предметов и явлений. Восприятие становится плановым, последовательным и всесторонним. Подросток воспринимает уже не только то, что лежит на поверхности явлений, хотя здесь многое зависит от его отношения к воспринимаемому объекту. Отсутствие интереса, равнодушие к материалу - и ученик поражает поверхностностью, легковесностью своего восприятия. Подросток может добросовестно смотреть и слушать, но восприятие его будет случайным.

Существенные изменения в подростковом возрасте претерпевают память и внимание. Развитие идет по пути усиления их произвольности. Нарастает умение организовывать и контролировать свое внимание, процессы памяти, управлять ими. Память и внимание постепенно приобретают характер организованных, регулируемых и управляемых процессов.

В подростковом возрасте замечается значительный прогресс в запоминании словесного и абстрактного материала. Умение организовать мыслительную работу по запоминанию определенного материала, умение использовать специальные способы запоминания развито у подростков в гораздо большей степени, чем у младших школьников.

Развитие внимания отличается известной противоречивостью: с одной стороны, в подростковом возрасте формируется устойчивое, произвольное внимание, с другой - обилие впечатлений, переживаний, бурная активность и импульсивность подростка часто приводят к неустойчивости внимания, его быстрой отвлекаемости. Невнимательный и рассеянный на одном уроке («нелюбимом»), ученик может собранно, сосредоточенно, совершенно не отвлекаясь, работать на другом («любимом») уроке.

Лучший способ организовать внимание подростка связан не с применением учителем каких-либо особых приемов, а с умением так организовать учебную деятельность, чтобы у ученика не было ни времени, ни желания, ни возможности отвлекаться на длительное время. Интересное дело, интересный урок способны захватить подростка, и он с увлечением работает весьма продолжительное время, не отвлекаясь. Активная познавательная деятельность - вот что делает урок интересным для подростка, вот что само по себе способствует организации его внимания. Интересная работа мысли вызывает чувство удовлетворения, а вместе с тем - стремление во что бы то ни стало довести работу до конца. Положительные эмоции обладают созидающей силой. Скука тоже эмоция, но она не обогащает умственную деятельность, а подавляет её.

Нередко в классе несколько человек хорошо усваивают полученную информацию только при определенном способе ее подачи: аудиальном, визуальном или кинестетическом. Но если учитель переходит на другую модальность, ученику приходится транслировать информацию в свою. Отключаясь, временно, от действительности, ученик не слышит объяснение учителя, в результате чего у учащегося появляются пробелы в знаниях, что выясняется чаще всего только при проверке. Следовательно, немаловажным является внимательное отношение к ведущей модальности ученика.

Восприятие школьником учебной информации зависит и от его субъектного опыта, который приобретается через общение в семье, со сверстниками, через различные источники информации и в рамках целенаправленного обучения. Любую информацию ребенок переводит на свой язык на основе этого опыта. В результате у ученика складывается собственная система знаний, которая представляет целостную психическую структуру. Значит, новая информация должна согласовываться с уже сформированными у ребенка представлениями, житейскими понятиями, ценностями, эмоциональными кодами, способами переработки информации, составляющими субъектный опыт ученика. Но не всегда житейское понятие совпадает с научным, что может быть причиной неадекватного восприятия школьником учебного материала. Поэтому важно раскрыть субъектный опыт ученика, то есть выявить, какой смысл он вкладывает в изучаемое понятие, и скорректировать субъектный опыт школьника с общественно-историческим.

Таким образом, при обучении важно учитывать не только психофизиологические особенности школьника, но и его субъектный опыт, который справедливо отнести к социальным явлениям.

Введение нового учебного материала с учетом преобладания у одних учащихся образного мышления, а у других - аналитического требует организации условий, в которых активизируются как образные, так и аналитические компоненты мышления. Это условие является базовым при введении учебного материала. На этой основе, с целью обеспечения восприятия полученной информации учениками с разными познавательными стилями, необходимо представить ее с учетом всех, по возможности, каналов восприятия. При этом для формирования личностно значимых знаний, как при восприятии нового материала, так и при его усвоении необходимо обеспечить связь с субъектным опытом учащихся. Реализация этих условий предполагает создание целостного представления об изучаемом материале на подготовительном и основном этапах работы с теоретическим материалом. Эта целостность должна отражать связи между новыми и полученными ранее в разных школьных дисциплинах и в обыденной жизни знаниями, и представлена в разной форме, с учетом разных познавательных стилей.

Но если восприятие новой информации должно происходить в стиле, соответствующем стилю ученика, то на последующих этапах при закреплении полученных знаний с целью развития стилевой гибкости необходимо обеспечить деятельность, направленную на активизацию неприоритетных для данного ученика компонентов мышления и недоминирующего канала восприятия. Это требует определенной организации работы с математическими задачами на этапе закрепления работы с учебным материалом.

По мнению ведущих психологов, если есть условия, способности развиваются, то есть способности развиваются в деятельности. Мы, педагоги, должны создать для учащихся условия и предоставить возможности проявить себя в различной деятельности, а также проследить, как под влиянием социально - культурной среды происходит развитие личности ребенка.

Из вышесказанного следует:

1.) В процессе обучения математике необходимо учитывать индивидуальные особенности школьников, в том числе психофизиологические особенности и субъектный опыт.

2.) В методике обучения математике практически нет работ описывающих способы учета психофизиологических особенностей учащихся при построении учебного процесса.

Глава 2. Функции

2.1 Понятие функции. Способы задания функции

функциональная пропедевтика математика

Введение в понятия функции - это длительный процесс, завершающийся формированием представлений о всех компонентах этого понятия в их взаимной связи и о роли, играемой им в математике и в её приложениях. Этот процесс ведётся по трём основным направлениям:

- упорядочение имеющихся представлений о функции, развёртывание системы понятий, характерных для функциональной линии (способы задания и общие свойства функций, графическое истолкование области определения, области значений, возрастания и т.д. на основе метода координат);

- глубокое изучение отдельных функций и их классов;

- расширение области приложений алгебры за счёт включения в неё идеи функции и разветвлённой системы действий с функцией.

Первоначально понятие функции как аналитического выражения сложилось в первой половине XVIII века в связи с бурным развитием производительных сил. Термин функция ввёл И. Бернулли в 1718 году. Л. Эйлер предложил в 1748 году определение функции как аналитического выражения.

В общем виде определение функции было дано Н.И. Лобачевским в 1834 году. В современной формулировке: «Если каждому допустимому значению переменной величины х соответствует определённое значение переменной величины у, то х называется независимой переменной, а у - функцией от х».

В этой формулировке слово «соответствует» не говорит о виде зависимости переменных величин. Оно может быть задано описанием; например, чтобы находить последовательные цифры при извлечении квадратного корня из положительного числа, имеется определённый алгоритм.

Идея функциональной зависимости находит свое отражение не только в математике, но и в ряде других наук - физике, химии, биологии, медицине, истории, кибернетике. Велика роль функции как мощного аппарата в познании процессов, происходящих в реальном мире. Знание функциональных зависимостей помогает найти ответы на разнообразные вопросы - от расшифровки памятников древности до управления сложнейшими производственными процессами. Наблюдая веками явления природы, человек замечал соответствие между ними. Систематизируя и обобщая устойчивые взаимосвязи в природе, он познал закономерности и учился применять их для объяснения разнообразных явлений природы. Математическими моделями таких закономерностей и являются функции.

Понятия соответствия и однозначного аналитического выражения функции не противопоставляются, второе просто частный случай первого.

Соответственно можно к понятию функции подвести:

1) рассматривая однозначные аналитические выражения зависимостей;

2) дав примеры соответствия между величинами, не записанными аналитически.

I. Из алгебры аналитические выражения зависимостей у=ах, у=а/х, у=ах+в и другие; из геометрии - формулы площадей и объёмов, в которых зависимость задана тоже аналитически.

II. Рассмотрим зависимости, заданные не аналитически. Например, можно взять результат наблюдения температуры воздуха:

6 часов: -2^о

7 часов: 0^о

8 часов: +1^о

9 часов: +1,5^о

10 часов: +3^о

11 часов: +5^о

12 часов: +6,5^о

13 часов: +7,5^о

14 часов: +8^о

15 часов: +8,6^о

16 часов: +7^о

17 часов: +5^о

Рассматривая пары значений времени и температуры и устанавливают, что каждому значению времени наблюдения соответствует определённое значение температуры. В данном случае температура - функция времени.

Понятие функции является одним из понятий, отражающих взаимосвязи явлений и предметов. Это одно из важнейших понятий математики, исходное понятие ведущей её области - математического анализа.

Определение: Функцией называется такая зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению x соответствует единственное значение y.

Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а y - зависимой переменной. Говорят также, что y является функцией от x. Значение y, соответствующее заданному значению x, называют значением функции.

Чтобы задать функцию, нужно задать числовое множество Х (его называют областью определения функции) и способ (правило), с помощью которого для каждого числа x из множества Х можно найти соответствующее число у - значение функции.

Функции принято обозначать буквами f, g, h и др. Если f - функция, то значение переменной у, соответствующее аргументу х, обозначают f(x), т.е. y=f(x).

Чаще всего функции задают с помощью формул, указывающих, как по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции. Например, если длина стороны квадрата равна x дм, а площадь y дм² , то формула y=x² задаёт функцию, областью определения которой будет множество положительных действительных чисел.

Если куплено х тетрадей, по 3 рубля каждая, а у рублей - стоимость всей покупки, то формула у=3х задаёт функцию, область определения которой есть множество целых неотрицательных чисел.

Иногда функцию задают таким образом:

у= 3х-1, при х>0;

2х, при х?0,

т. е. на разных участках значений х функция задаётся различными формулами.

Часто при задании функции с помощью формулы её область определения не указывается. В таких случаях считают, что область определения состоит из всех значений переменной, при которой эта формула имеет смысл. Никогда не следует забывать, что формула - это не сама функция, а лишь один из способов её задания. Следует отметить, что функцию можно задать и просто описанием. Например: каждому числу х поставить в соответствие его целую часть, т. е. у=[х].

Иногда функцию задают в виде таблицы. Примером табличного задания функции будет зависимость точки кипения воды от атмосферного давления:

Приведём ещё пример зависимости длины пружины от растягивающей её силы (данные получены эмпирическим путём):

При табличном задании функции можно находить и промежуточные значения переменных с помощью линейного интерполирования, но приближённо.

Многие приборы записывают непрерывно показания графически, например, термографы, барографы, сейсмографы, кардиографы и др.

В качества примера хорошо продемонстрировать учащимся запись барографа или термографа.

На рисунке дан график изменения давления с 0 часов ночи до 12 часов дня:

На следующем графике дана зависимость между скоростью автомобиля «Победа» и наименьшим временем, необходимым для достижения этой скорости:

Способы задания функции воспринимаются разрозненно, учащиеся не допускают мысли, что одна и та же функция может быть задана различными способами. Разные способы задания функции обладают своими преимуществами и недостатками. Так, если функция задана аналитически, удобно находить значение функции при любом значении аргумента из области определения, исследовать её свойства, но нет наглядности, которую даёт графический способ задания. В то же время наглядный графический способ задания имеет существенный недостаток - приблизительность в нахождении значений функции. Табличный способ избавляет от вычислений, но он тоже не нагляден, и таблица даёт только некоторые значения функции. Поэтому, как правило, при изучении функциональных зависимостей пользуются всеми способами задания этих зависимостей.

Учащиеся «не видят» функцию, если она задана неявно. Функция называется неявно заданной, или неявной, если её связь с аргументом задана с помощью уравнения, не решённого относительно функции.

Например: 3х-у+1=0, ху=5.

Иногда для неявной функции можно получить её явное задание. Это можно сделать тогда, когда уравнение, связывающее аргумент и функцию, удаётся решить относительно функции:

5х-3+2у=0,

2у=3-5х,

у=(3-5х)/2.

Чтобы подготовить учеников к сознательному усвоению идеи функциональной зависимости, понятий функции и уравнения в VII и более старших классах школы, необходимо заранее и постепенно подготовить их к знакомству с этими понятиями.

Глава 3. Функциональная пропедевтика

3.1 Общие сведения

ПРОПЕДЕВТИКА (от греч. propaideuo -- предварительно обучаю), введение в какую-либо науку, предварительный вводный курс, систематически изложенный в сжатой и элементарной форме.

В дидактике под пропедевтикой вообще понимают подготовительный курс, представляющий введение в какую-либо науку или учебный предмет и отличающийся элементарной формой изложения.

Вопрос о пропедевтике возникает тогда, когда обнаруживаются определенные трудности в формировании некоторых понятий или при слишком компактном изложении конкретной темы, что влечет за собой целесообразность распределения материала на больший промежуток времени. Если сделать это с выделением начального концентра, то получится пропедевтический курс, можно же осуществить подобное действие непрерывным образом, распределяя часть материала по другим темам, то есть опосредованно, через основное содержание учебного материала.

Очевидно, что одним из важнейших условий осуществления опосредованной пропедевтической работы является идейная стройность школьного курса математики, наличие логической связи между элементарной и высшей математикой.

Проблема логической цельности школьного курса математики имеет вековую историю. К концу 19 века сложилась международная традиционная система математического образования, которая характеризовалась оторванностью от высшей математики и вообще науки математики, разделением элементарной математики на 4 учебных предмета: арифметику, алгебру, геометрию, тригонометрию, существующих самостоятельно и независимо друг от друга. Во многих странах мира прогрессивные математики и педагоги выступали с критикой данной системы обучения и с позитивными предложениями по реформе математического образования. В 1897 году в Цюрихе на I Международном конгрессе математиков выступил с докладом известный геометр, педагог высшей немецкой школы Феликс Клейн, в котором содержалась мысль о том, что в математике средней школы «функциональная идея» должна быть центральной: «Руководящую роль в школьном курсе математики должно играть понятие функции. Оно должно быть усвоено очень рано и должно пронизывать все преподавание алгебры и геометрии»

Понятие функциональной зависимости является одним из ведущих в математической науке, поэтому сформированность этого понятия у учащихся представляет важную задачу в целенаправленной деятельности учителя по развитию математического мышления и творческой активности детей. Развитие функционального мышления предполагает прежде всего развитие способности к обнаружению новых связей, овладению общими учебными приемами и умениями.

Чтобы подготовить учеников к сознательному усвоению идеи функциональной зависимости, понятий функции и уравнения в VII и более старших классах школы, необходимо заранее и постепенно подготовить их к знакомству с этими понятиями. Пропедевтика функциональной зависимости способствует формированию мыслительных операций и воспитанию интеллектуальных качеств личности. Направления подобной работы выражаются в характере задач, предлагаемых учащимся. В плане подготовки должны быть использованы всевозможные упражнения, которые не ведут непосредственно к каким-либо обобщениям, но доступны ученикам младших классов и могут служить для накопления ими опыта. Этот опыт будет создавать у них необходимые представления, ведущие к образованию соответствующих понятий на конкретной числовой и графической основе. Далекие от обобщений и специальной терминологии, эти упражнения должны помочь учащимся выяснить, что рассматриваемое ими одно и то же выражение может приобретать различные значения в зависимости от числовых значений входящих в него букв. Эти упражнения должны помочь учащимся понять различные способы выражения функциональных зависимостей.

Материал начального математического курса содержит достаточное количество примеров, на которых можно разъяснить зависимость одной величины от другой. К ним, в частности, относятся: задачи на составление и решение уравнений, оптимизационные и комбинаторные задачи, задачи с величинами, находящимися в прямой и обратной зависимости, задачи с использованием таблиц, числовой оси и координатной плоскости.

В школе, как и в математике вообще, основное внимание уделяется числовым функциям. Причиной этого является тесная связь математики с естественными науками, в частности с физикой, для которых аппарат функций служит средством количественного описания свойств и явлений, их взаимосвязей.

Понятие функции учащимися воспринимается с трудом; очевидно, сказывается привычка как в математике, так и в начале алгебры рассматривать лишь постоянные величины (в условии данной задачи).

Функциональная пропедевтика помогает облегчить переход к изучению переменных величин. Опосредованная пропедевтика предполагает постепенную функциональную подготовку, не требующую ни специальной терминологии, ни символики; достаточно последовательно проводить идею изменяемости окружающего мира; давать ученикам упражнения, которые формируют понятие переменной величины, взаимосвязь между величинами, используя для этой цели материал школьных учебников. Объективные возможности для пропедевтики имеются, учитель должен их видеть и использовать в обучении школьников.

3.2 Функциональная пропедевтика на уроках математики в V классе

В V классе можно указать ряд упражнений, в которых учащиеся имеют дело в скрытой форме с переменными величинами. К ним относятся упражнения на изменение суммы, разности, произведения и частного дроби.

Например, вопрос, как изменится произведение, если множитель увеличить в 2 раза, связан с изменением произведения в зависимости от изменения множителя. Чтобы приучать к понятию переменной величины, можно вопрос задать иначе: как изменится произведение, если один множитель увеличить в 2 раза? В 3 раза? В 4 раза? В 5 раз? Такие упражнения дадут пятиклассникам некоторое представление о переменных величинах. Полезно при записи решения подобных упражнений использовать таблицы. Они наглядны и в то же время это табличная запись функциональной зависимости.

Пример: Как изменится сумма двух чисел, Если второе слагаемое увеличить на 1, 2, 3, 7, 12, 20, 30, 50, 92?

После устного ответа учеников им можно показать процесс изменения суммы, когда один из компонентов остается неизменным, а другой меняется, c помощью таблицы. Таблице можно придать следующий вид:

Рассматривая эту таблицу, легко установить зависимость результата от величины второго слагаемого и характер изменения суммы. Так, можно предложить ученикам сравнить изменение второго слагаемого и соответствующее изменение суммы. Второе слагаемое увеличено на 1, 2, 3, 7…, сумма, соответственно увеличилась на 1, 2, 3, 7…

Затем полезно дать такие упражнения, в которых изменяются оба слагаемых.

Аналогичные упражнения дают и на изменение разности, произведения, частного (дроби). Термины учащимся не сообщают, но обращают их внимание на то, что в задаче величины принимают различные значения.

В 5 классе при повторении и изучении геометрического материала появляется возможность углубить понятие о переменной величине. Так, например, периметр прямоугольника при выбранной длине основания будет меняться в зависимости от высоты прямоугольника. Длина периметра при длине основания, равной 4 единицам, и меняющейся высоте будет выражаться: Р=8+2х.

Такая же работа может быть проведена при нахождении площади прямоугольника, у которого длина основания 4, а высота меняется.

При решении текстовых задач в 5 классе ученики используют различные функциональные зависимости.

Наиболее часто встречаются зависимости:

- путь, скорость и время;

- стоимость, цена и вес;

- стороны и периметр квадрата, прямоугольника;

- стороны и площадь прямоугольника;

- работа, оплата и время работы и т. д.

Знание учениками этих зависимостей - залог успешного решения задач на составление уравнений и последующего изучения функциональной зависимости в алгебре.

Задачи по математике можно задать так, что некоторые величины предстанут как переменные.

Задача 1.