1. Острые углы прямоугольного треугольника равны б и в. Найти зависимость между ними. (б + в = 90°).

2. Периметр равнобедренного треугольника равен Р, боковая сторона а, основание в. Составить формулу, по которой находят: а) Р по данным а и в;

б) в по данным а и Р;

в) а по данным Р и в.

3. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен в, а при основании б. Составить формулу по которой находят:

а) в по данному б ;

б) б по данному в.

4. пусть в треугольнике сторона равна а, соответствующая ей средняя линия равна d. Составить формулу по которой находят:

а) d, зная а;

б) а, зная d.

Составить таблицу значений d, если а=1; 1,8; 2; 2,5; 3; 4; 5; 6; 7; 8, и построить график зависимости d от a.

Последний пример предназначен для учеников VII класса.

Можно предложить упражнения, в которых ставится вопрос о значениях независимой переменной, при которых две функции равны, а также упражнения, содержащие вопрос о корнях функций.

Пример 1:

При каких значениях x следующие выражения равны между собой:

1) х-3 и 5;

2) 2х-3 и 8;

3) и 4;

4) и 10;

5) и -5.

Пример 2:

При каких значениях х следующие выражения равны нулю:

1) 2х;

2) 3х-4;

3) ;

4) ;

5) .

После того как ученики ознакомятся с построением элементарных графиков, им можно показать их построение для случая, когда берется вся координатная плоскость.

Здесь можно дать интересные упражнения связанные со сложением рациональных чисел.

Пример 3:

Наблюдение за температурой проводилось раз в день (в 12 ч) на протяжении 9 дней. Изменение температуры показано на графике.

2

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Записать, насколько менялась температура ежедневно, сложить полученные числа и сравнить полученную сумму с изменением температуры за 9 дней по чертежу.

Решение

По графику за эти дни температура поднялась с -2є до +5є, то есть поднялась на 7є, изменение равно +7є.

Сумма изменений по дням: (+4) + (-1) + 0 + (+2) + 0 + (+1) + (-2) +

+ (+3) = 7 (град.)

Такие упражнения даются на протяжении всего курса алгебры в VI-VIII классах. Цель их, не вводя новых терминов, формировать понятие переменной величины и функциональной зависимости с помощью упражнений.

Определяя допустимые значения букв, лучше говорить не о множестве их, а добиваться от учащихся понимания того, что в некоторых частных случаях выражение не имеет смысла. Например, ученик после действий над алгебраическими дробями получил ответ ; целесообразно поставить вопрос: найти значение полученного результата при а = -2; -1; 0; 1; 2; 3; 5; 6. Получится таблица:

а	-2	-1	0	1	2	3	5,6
			-1	Не имеет смысла	1

В функциональной пропедевтике учителю надо тактично соблюдать меру и помнить, что в первую очередь надо знакомить учеников с основным материалом, а представление о переменных и функциональной зависимости формировать попутно, не давая терминов.

Глава 4. Анализ учебников по математике авторов Н.Я. Виленкина и Л.Г. Петерсон для 5 и 6 классов

В настоящее время проблемам преподавания математики в школе стали

уделять больше внимания. Это связано с научно-техническим прогрессом и развитием наукоемких производств. Технические науки, среди которых, в последнее время, быстро развиваются и имеют огромное практическое значение, такие как информационные технологии, электроника и т.д., немыслимы без математического аппарата.

Основа для математической грамотности закладывается именно в школе, поэтому изучению вопросов, связанных с этим процессом, уделяется пристальное внимание. Математика является одним из опорных предметов школы. Она обеспечивает изучение других дисциплин. Требует от учащихся волевых и умственных усилий, развитого воображения, концентрации внимания, математика развивает личность учащегося. Кроме того, изучение математики существенно способствует развитию логического мышления и расширяет кругозор школьников.

Успешность преподавания математики, как и остальных предметов школьной программы, определяют многие факторы, среди которых, как основной, выделяют выбор методики преподавания. Именно от правильного выбора методов и приемов преподавания каждой темы курса и их удачного сочетания, зависит уровень понимания, в конечном счете, учащимися материала.

В ходе изучения курса учащиеся развивают навыки вычислений с натуральными числами, овладевают навыками действий с обыкновенными и десятичными дробями, положительными и отрицательными числами, получают начальные представления об использовании букв для записи выражений и свойств, учатся составлять по условию текстовой задачи несложные линейные уравнения и решать их, продолжают знакомство с геометрическими понятиями, приобретают навыки построения геометрических фигур и измерения геометрических величин.

Современная алгебра исходит из определения рассматриваемого понятия, предложенного в 19 веке российским ученым Н.И. Лобачевским, выражающего зависимость между переменными величинами: функцией от х называется число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется; функция - это зависимая переменная. Через понятие функции в математике моделируются реальные диалектические процессы, изменения, взаимозависимости и взаимообусловленности. Идея функциональной зависимости находит свое отражение не только в математике, но и в ряде других наук - физике, химии, биологии, медицине, истории, кибернетике. Велика роль функции как мощного аппарата в познании процессов, происходящих в реальном мире. Знание функциональных зависимостей помогает найти ответы на разнообразные вопросы - от расшифровки памятников древности до управления сложнейшими производственными процессами. Наблюдая веками явления природы, человек замечал соответствие между ними. Систематизируя и обобщая устойчивые взаимосвязи в природе, он познал закономерности и учился применять их для объяснения разнообразных явлений природы. Математическими моделями таких закономерностей и являются функции.

Таким образом, в начальном курсе математики значительная роль должна отводиться функциональной пропедевтике, которая предусматривает подготовку учащихся к изучению систематических курсов алгебры и геометрии, а также воспитывает у них диалектический характер мышления, понимание причинных связей между явлениями окружающей действительности.

Предмет математики V - VI классов объединяет много разноплановых понятий (числа, сравнения чисел, действия над числами и законы этих действий, переменная, неравенство, пропорция, процент, геометрические фигуры и их свойства и др.). Объединяющими средствами при построении учебного предмета являются единые методические подходы в изложении родственных понятий. Таким образом, использование единых методических подходов, позволяет добиться сознательного понимания сущности математических действий и понятий учащимися. Приведем некоторые их этих методических приемов:

1. Пропедевтика функции, в частности однозначное соответствие и алгебраические начала, позволяет при введении новых чисел, их сравнении, иллюстрации действий систематически использовать луч и координатную прямую.

2. Систематическое изучение законов арифметических действий позволяет использовать единые методические приемы в обосновании алгоритмов, решении уравнений и тождественных преобразований выражений.

3. Благодаря введению понятия переменной и однозначного соответствия стало возможным более широкое использование таблиц, графиков, формул, схем.

4. Введение выражений с переменной, уравнений и неравенств позволило изменить виды задач с дидактическими и познавательными функциями при изучении числовых множеств и уже в V - VI классах показать практическую применимость новых числе и действий над ними в самом предмете математики.

В этой связи обозначим основные направления пропедевтической работы на начальной ступени обучения предмету по программам Л.Г. Петерсон и Н.Я. Виленкина:

- Понятие о множествах, о соответствии элементов двух множеств и функциях. Зависимость результатов арифметических действий от изменения компонентов.

- Числовые выражения с 3-4 арифметическими операциями (со скобками и без них), вычисление их значений.

- Буквенные выражения. Переменные величины. Вычисление их значений при подстановке численных значений переменных.

- Представление о числовых последовательностях.

- Изменение численных значений величин при использовании различных единиц измерения.

- Математические исследования.

- Табличный, словесный, аналитический, графический способы задания функции.

- Линейная зависимость.

- Система координат, первая и вторая координата, упорядоченная пара.

- Решение простейших комбинаторных задач: составление и подсчет числа возможных перестановок, подмножеств элементов конечного множества.

- Представление о возможности неограниченного увеличения натурального числа или уменьшение его доли.

- Использование систематического перебора натуральных значений одной и двух переменных при решении сюжетных задач.

- Заполнение таблиц с арифметическими вычислениями, данными из условий прикладных задач. Выбор данных из таблицы по условию.

- Зависимость между пропорциональными величинами; прикладное исследование их графиков.

Проиллюстрируем сказанное конкретными примерами из учебников по математике:

Содержание начального курса математики позволяет сформировать у учащихся представление об одной из важнейших идей математики - идее соответствия. При выполнении заданий на нахождение значений выражений, заполнение таблиц ученики устанавливают, что каждой паре чисел соответствует не более одного числа, полученного в результате. Однако для осознания этого содержание таблиц необходимо анализировать.

1. Составь все возможные примеры на сложение двух однозначных чисел с ответом 12. (Петерсон)

При выполнении этого задания учащиеся устанавливают взаимосвязь между двумя множествами значений слагаемых. Установленное соответствие - функция, так как каждому значению первого слагаемого соответствует единственное значение второго слагаемого при постоянной сумме.

2. В вазе 10 яблок. Сколько яблок останется, если возьмут 2 яблока? 3 яблока? 5 яблок? Запиши решение в таблице. От чего зависит результат? На сколько единиц он изменяется? Почему? (Петерсон)

В данной задаче фактически представлена функция у = 10 - х, где переменная х принимает значения 2, 3, 5. В результате выполнения данного задания учащиеся должны сделать вывод: чем больше вычитаемое, тем меньше значение разности.

3. Как изменится однозначное число, если к немее приписать такое же число? Два таких числа? (Виленкин)

Идея функционального соответствия присутствует и в упражнениях вида:

4. Соедини стрелкой математические выражения и соответствующие численные значения (Петерсон) :

15 + 6 18 + 9 21 - 4 38 - 19

27 19 17 21 35 40 15

В V - VI классах частично-поисковым методом можно изучить следующие понятия: переменная, выражения с переменной, равенство, верное и неверное равенство, уравнение и неравенство, сравнение чисел, числовая прямая, действия в каждом из числовых множеств и т.п.

При использовании этого метода изучения нового материала обычно соблюдается следующая последовательность действий учителя и учащихся:

1. Решаются дидактические упражнения с целью организации наблюдений и простейшего анализа для выявления какой-либо закономерности. Поэтому важно, чтобы упражнения полно раскрывали структуру понятия.

2. В процессе решения дидактических упражнений учитель ставит дополнительные вопросы и задания к ним для выяснения всех доступных учащимся сторон изучаемого понятия, раскрытия зависимостей и противоречий.

3. На основе наблюдений и анализа решенных заданий, выяснения свойств и зависимостей изучаемого понятия учащиеся под руководством учителя делают вывод о формируемом понятии, устанавливают связь изучаемого материала с ранее изученным и т.п.

4. И, наконец, решают упражнения на применение полученных знаний о понятии, т.е. перенос знаний на новую ситуацию.

Рассмотрим использование метода, на примере введения понятия о координатах точек на прямой по учебнику Виленкина Н.Я. для 5 класса.

В учебнике разбираются следующие дидактические задания, для формирования понятия:

1. Белка вылезла из дупла и бегает по стволу дерева вверх и вниз (см.

рисунок 1). Покажите, где будет находится белка, если она удалится от

дупла на 3 м. Сколько ответов можно дать на этот вопрос? Покажите на рисунке, где окажется белка, если она будет находится: а) выше дупла на

2 м; б) ниже дупла на 3 м;

в) ниже дупла на 1,5 м; г) выше дупла на 2,5 м.

Введение буквенной символики позволяет познакомить учащихся с важнейшими понятиями современной математики - переменная, уравнение, неравенство, что способствует развитию функционального мышления, поскольку с ними тесно связана идея функциональной зависимости. При работе с переменной школьники осознают, что буквы, входящие в выражение, могут принимать различные числовые значения, а само буквенное выражение является обобщенной записью числовых выражений. Одни из примеров системного использования буквенной символики являются задачи, представленные в блиц-турнирах. Отсутствие конкретных чисел заставляет учеников искать путь решения задачи, опираясь на существенные связи между данными и искомыми. Эта модель задачи - знаковая, она более абстрактна, чем числовое выражение. При этом ученик не может вычислить промежуточные результаты, а должен представлять всю цепочку связей между величинами и выстраивать соответствующую последовательность действий. Исследование решения задач с буквенными данными предполагает рассмотрение различных соотношений между значениями букв, а так же выявление возможности или невозможности принятия буквой конкретных числовых значений, установление влияния числовых значений переменных на количество способов решения задачи. Огромное пропедевтическое значение имеет опыт общения учащихся с упражнениями на установление закономерностей в числовых последовательностях и их продолжение:

5. 1, 2, 3, 4… (у = х + 1)

1, 3, 5, 7… (у = 2 · х + 1) (Петерсон)

6. продолжите ряд чисел:

1, 7, 13, 19, …(Виленкин)

Понятие величины, наряду с понятием числа, является основным понятием начального курса математики. Материал данного раздела является богатейшим источником для осуществления опосредованной функциональной пропедевтики. Во-первых, это зависимость (обратнопропорциональная) между выбранной единицей величины (меркой) и ее численным значением (мерой) - чем больше мерка, тем число, полученное в результате измерения величины данной меркой, меньше. Поэтому важно, чтобы при работе с каждой величиной (длиной, массой, площадью, объемом и пр.) учащиеся приобретали опыт измерения величин разными мерками с целью осознанного выбора сначала удобной, а затем и единой мерки.

Во-вторых, при изучении величин, характеризующих процессы движения, работы, купли-продажи формируются представления о зависимости между скоростью, временем и расстоянием, ценой, количеством и стоимостью в процессе решения текстовых задач следующих видов - на приведение к единице (нахождение четвертого пропорционального), нахождение неизвестного по двум разностям, пропорциональное деление.

Особую сложность для учащихся представляет осознание взаимосвязи между этими величинами, поскольку понятие «пропорциональная зависимость» не является предметом специального изучения и усвоения. В программе Л.Г. Петерсон методически эта проблема решается за счет использования следующих приемов:

- Решение задач с недостающими данными («открытым» условием):

7. Васе от дома до школы 540 м, а Паше - 480 м. Кто ближе живет? Кто быстрее дойдет?

8. Саша купил на 30 рублей тетради и на 45 рублей карандаши. На покупку каких предметов он истратил денег больше? Каких предметов он купил больше?

Анализируя тексты этих задач, учащиеся обнаруживают, что в них не хватает данных и что ответы на вопросы зависят от цены и скорости.

- Фиксация условия задач не только в таблице (как это предложено в классической методике), но и в виде схемы. Это позволяет «визуализировать» зависимости, рассматриваемые в задаче. Так, если одно и тоже расстояние в 12 км движущиеся объекты проходят за разное время (2 ч, 3 ч, 4 ч, 6 ч), то с помощью схемы наглядно интерпретируется обратная зависимость - чем больше частей (время), тем меньше каждая часть (скорость).

- Изменение одного из данных задачи и сравнение результатов решения задач.

9. В школьную столовую привезли 48 кг яблок. Сколько ящиков могли привезти, если во всех ящиках яблок было поровну?

Учащиеся дополняют условие задачи и фиксируют зависимость между величинами с помощью различных средств структурирования теоретических знаний - в таблице, схеме и словесно.

Здесь же полезно обратить внимание на кратное отношение рассматриваемых величин - во сколько раз больше одна из величин, во столько же раз больше (меньше) другая при постоянной третьей.

В начальной школе учащиеся в неявном виде знакомятся с табличным, аналитическим, словесным, графическим способами задания функций.

Так, например, зависимость между скоростью, временем и расстоянием можно выразить:

а) словесно: «чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время»;

б) аналитически: s= ·t;

в) таблично: =5 км/ч

t	1	2	3	t
s	5 · 1	5 · 2	5 · 3	5 • t

г) графически (с помощью координатного луча или угла).

Графический способ задания зависимости между , t, s позволяет сформировать представление о скорости как изменении местоположения движущего объекта в единицу времени (наряду с общепринятым - как расстояния, пройденного в единицу времени) А сравнение графиков движения двух тел (движущихся независимо друг от друга) уточняет представление о скорости как величине, характеризующей быстроту движения.

Составные числовые выражения (со скобками и без них), вычисление их значений по правилам порядка выполнения действий позволяет учащимся осознать, что от порядка выполнения действий зависит результат.

Расставьте скобки так, чтобы получились верные равенства.

20 + 30 : 5=10 20 + 30 : 5 = 26

В курсе Л.Г. Петерсон учащиеся в неявном виде знакомятся с линейной зависимостью, как частным случаем функции. Эту функцию можно задать формулой вида у = kх + b, где х - независимая переменная, k и b - числа. Ее областью определения являются множество всех действительных чисел.

Пройдя 350 километров, поезд стал идти в течение t часов со скоростью 60 км/ч. Сколько всего километров прошел поезд? (350 + 60 · t)

Выполняя задания с именованными числами, учащиеся осознают зависимость численного значения величин от использования различных единиц измерения.

Один и тот же отрезок измерили сначала в сантиметрах, затем в дециметрах. В первом случае получили число на 135 больше, чем во втором. Какова длина отрезка в сантиметрах? (Зависимость у = 10 · х)

В процессе изучения начального курса математики у учащихся формируется понятие натурального ряда чисел, отрезка натурального ряда, усваиваются свойства натурального ряда чисел - бесконечность, упорядоченность и др., формируется представление о возможности неограниченного увеличения натурального числа или уменьшение его доли.

В курсе математики 3-4 классов значительное внимание уделено обучению учащихся использованию формул, их самостоятельному выводу. Здесь важно научить учащихся представлять одну и ту же информацию в различной форме - графически и аналитически, предоставив школьникам право выбора формы в соответствии с их познавательными стилями.

Значительный интерес у учащихся вызывают задания, связанные с анализом таблиц значений переменных, «открытие» зависимостей между ними и запись в виде формулы.

а	1	2	3	4	5	6	а
b	5	9	13	17	21	25	а · 4 + 1

При анализе чисел, представленных в таблице, учащиеся легко подмечают, что числа первой строки увеличиваются на один, числа второй строки увеличиваются на четыре. Задача учителя - обратить внимание на взаимосвязь значений переменных а и b. В целях усиления прикладной направленности математического образования следует «оживить» данную ситуацию, перевести ее в сюжетный статус.

Чтобы сформировать у учащихся способность к выводу формул, нужно научить их записывать различные утверждения на математическом языке (в виде равенств):

- ручка в три раза дороже карандаша (р = к + 3);

- число а при делении на 5 дает в остатке 2 (а = 5 · b + 2);

- длина прямоугольника на 12 см больше ширины (а = b + 12).

Обязательным условием является обсуждение возможных вариантов значений данных величин с заполнением соответствующих таблиц.

Особое место в курсе Л.Г. Петерсон занимают задания, связанные с математическими исследованиями:

Представь число 16 в виде произведения двух множителей разными способами. Для каждого способа найди сумму множителей. В каком случае получилась меньшая сумма? Проделай это же с числами 36 и 48. Каково предположение?

При выполнении подобных заданий (на исследование зависимости между количеством углов многоугольника и суммарным значением градусных мер углов, между значением периметра различных по форме фигур с одинаковой площадью и пр.) учащиеся совершенствуют навыки работы с таблицей, так как решение удобно фиксировать в таблице. Кроме этого табличный способ фиксации решения используется при решении нестандартных математических задач методом упорядоченного перебора или рационального подбора.

В классе 13 детей. У мальчиков столько зубов, сколько у девочек пальцев на руках и ногах. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек? (У каждого мальчика ровно 32 зуба).

Мальчики	Девочки	Проверка
8	5	32 · 8 # 20 · 5
7	6	32 · 7 # 20 · 6
5	8	32 · 5 = 20· 8

Обучение математике по программе Л.Г. Петерсон обеспечивает усвоение учащимися взаимосвязи между результатами и компонентами арифметических действий, формируется представление о «скорости» изменения результата арифметических действий в зависимости от изменения компонентов:

- упражнения на состав числа;

- частные приемы вычислений (36 + 19 = 35 + 20; 36 - 19 = 37 - 20; 12 · 5 = 12 · 10 : 2);

- оценка суммы, разности, произведения, частного.

При выполнении подобных заданий важно представлять информацию многосенсорно.

Как изменится сумма, если одно слагаемое увеличить на 10, а второе уменьшить на 5?

Как изменится площадь прямоугольника (или произведение двух чисел), если одну из сторон (одно из чисел) увеличить на 3?

Наши исследования показывают, что значительная часть учащихся выполняют подобные задания методом подстановки конкретных числовых значений. Методически грамотным в данной ситуации будет графически и аналитически интерпретировать условие.

(а + 3) · b = а · b + 3 · b

Понятие функции в старших классах связано с системой координат. В курсе Л.Г. Петерсон содержится материал для пропедевтической работы в этом направлении:

- числовой отрезок, числовой луч, координатный луч;

- таблица Пифагора, координаты на плоскости (координатный угол);

- графики движения;

- круговые, столбчатые и линейные диаграммы, наглядно представляющие зависимость между дискретными величинами.

Итак, изучение арифметических операций, увеличения и уменьшения числа на несколько единиц или в несколько раз, зависимости между компонентами и результатами арифметических действий, решение задач на нахождение четвертого пропорционального, на связь между скоростью, временем и расстоянием; ценой, количеством и стоимостью; массой отдельного предмета, их количеством и общей массой; производительностью труда, временем и работой; и т. д., с одной стороны, лежат в основе формирования понятия функции, а с другой - изучаются на основе функциональных понятий. Следует отметить, что достаточно большое пропедевтическое значение имеет графическое моделирование: графическая интерпретация условия задачи, рисунок, чертеж и другое. Информация, представленная в графической форме, легче для восприятия, емкая и достаточно условная, призвана опредмечивать абстрактные понятия, нести информацию лишь о существенных признаках объекта, формировать графические навыки учащихся.

Обобщая, отметим, что основные цели изучения учебного содержания функциональной линии курсов Л.Г. Петерсон и Н.Я. Виленкина:

1) развитие функционально-аналитического мышления школьников, характеризующегося способностью рассматривать объекты, в том числе и математические, во взаимосвязи и взаимозависимости;

2) формирование у учащихся способности к выражению зависимости между величинами разными способами (таблично, аналитически, графически).

Кроме этого, результатом пропедевтики функциональной зависимости должна стать высокая умственная активность младших школьников, развитие интеллектуальных, общепредметных и специфических математических умений и навыков. Все это создает прочную основу не только для решения методических проблем начальной математики - формирование вычислительных навыков, умения решать текстовые задачи и др., но и для реализации развивающих возможностей математического содержания и, что не менее важно, для успешного изучения функций в средней школе.

Заключение

Итак, чтобы подготовить учеников к сознательному усвоению идеи функциональной зависимости, понятий функции и уравнения в VII и более старших классах школы, необходимо заранее и постепенно подготовить их к знакомству с этими понятиями.

В плане подготовки должны быть использованы всевозможные упражнения, которые не ведут непосредственно к каким-либо обобщениям, но доступны ученикам младших классов и могут служить для накопления ими опыта. Этот опыт будет создавать у них необходимые представления, ведущие к образованию соответствующих понятий на конкретной числовой и графической основе. Далекие от обобщений и специальной терминологии, эти упражнения должны помочь учащимся выяснить, что рассматриваемое ими одно и то же выражение может приобретать различные значения в зависимости от числовых значений входящих в него букв. Эти упражнения должны помочь учащимся понять различные способы выражения функциональных зависимостей.

Размещено на Allbest