Уравнения и неравенства с параметром как средство формирования исследовательских умений учащихся в 7–9 классах

4. Подведение итогов занятия.

- Что было сложнее: найти решение задачи или искать ошибку в предложенных рассуждениях?

Учитель выделяет наиболее распространенные ошибки, указывает, на какие моменты при решении задач нужно обратить особое внимание.

Подсчитывается количество набранных командами баллов. Баллы делятся между членами команд поровну, каждому выступавшему дается дополнительно 2 балла.

5. Постановка домашнего задания:

1. При каком значении параметра а один корень уравнения

(а+а+1)х2+(а-1)х+ а=0 больше 3, а другой меньше 3?

2. При каком значении параметра а корни уравнения удовлетворяют неравенству ?

3. Найти все значения а, при которых квадратный трехчлен отрицателен при всех значениях х, удовлетворяющих условию 1<x<2.

II. Из класса выбираются две группы по 3 человека, которые будут готовить выступление на следующем занятии по теме «Графические приемы решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами». Часть литературы для подготовки предоставляет учитель, часть ученики ищут сами.

Занятие VIII. Графические приемы решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами

Цель: формирование умения решать квадратные уравнения и неравенства графическими методами.

Ход занятия:

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания. До начала занятия учитель спрашивает, кто выполнил домашнее задание, и просит записать решение заданий нескольких учеников. На занятии решение проверяется.

3. Изучение нового материала.

На предыдущем занятии были выбраны две группы учеников для того, чтобы они объяснили всему классу тему «Графические приемы решения уравнений и неравенств с параметром».

Выступление 1:Графический метод. Координатная плоскость (x;y)

Задачи, содержащие параметр, требуют к себе своеобразный подход, здесь необходимо грамотное и тщательное исследование. Для применения графических методов требуется умение выполнять дополнительное построение различных графиков, вести графические исследования, соответствующие данным значениям параметра.

Уравнения с параметром вызывают серьезные трудности логического характера. Каждое такое уравнение - это, по существу, краткая запись семейства уравнений. Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства невозможно, но, тем не менее, каждое из них должно быть решено. Легче всего это сделать с помощью графического представления зависимости переменной от параметра .

В системе (х; у) строятся графики функций, стоящих в левой и правой частях уравнения или неравенства (либо множество точек в плоскости (х; у), координаты которых удовлетворяют заданным уравнениям или неравенствам системы). При этом в зависимости от значения параметра, один из графиков (либо некоторые из графиков) испытывает движение или преобразование. При фиксированном значении параметра положения всех графиков определены конкретно. При данном значении параметра решением уравнения (неравенства, системы) будет множество абсцисс точек пересечения полученных графиков (областей).

Пример. Для каждого значения параметра определить число решений уравнения .

Решение. Построим график функции .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рассмотрим . Это прямая параллельна оси ОХ.

Ответ. Если , то решений нет;

если , то 3 решения;

если , то 2 решения;

если , 4 решения.

Пример. При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение?

Решение. Рассмотрим функцию и . График второй функции - это полуокружность с центром в точке с координатами и радиусом =1 (рис. 2). , дуга АВ.

Все лучи проходящие между ОА и ОВ пересекаются в одной точке, также в одной точке пересекаются ОВ и ОМ (касательная).

Угловые коэффициенты ОА и ОВ равны соответственно и . Угловой коэффициент касательной равен .

Легко находится из системы

Итак, прямые семейства имеют с дугой только одну общую точку при .

Ответ. .

Выступление 2:Графический метод. Координатная плоскость (x;a)

Вообще, уравнения, содержащие параметр, не обеспечены какой-либо четкой, методически оформленной системой решения. Те или иные значения параметра приходится искать на ощупь, перебором, решая большое количество промежуточных уравнений. Такой подход далеко не всегда обеспечивает успех в отыскании всех значений параметра, при которых уравнение не имеет решений, имеет одно, два и более решений. Зачастую часть значений параметра теряются или появляются лишние значения. Для того чтобы эти последние, приходится проводить специальное исследование которое может оказаться довольно трудным.

Рассмотрим метод, упрощающий работу по решению уравнений с параметром. Метод состоит в следующем:

1. Из уравнения с переменной x и параметра a выразим параметр как функцию от x: .

2. В координатной плоскости xOa строим график функции .

3. Рассмотрим прямые и выделим те промежутки оси Oa, на которых эти прямые удовлетворяют следующим условиям: a) не пересекает график функции , б) пересекает график функции в одной точке, в) в двух точках, г) в трех точках и так далее.

4. Если поставлена задача найти значения x, то выражаем x через a для каждого из найденных промежутков значения a в отдельности.

Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах. Таким образом, возникает координатная плоскость . Казалось бы, такая незначительная деталь, как отказ от традиционного обозначения координатной плоскости буквами x и y определяет один из эффективнейших методов решения задач с параметрами.

Описанный метод очень нагляден. Кроме того, в нем находят применение почти все основные понятия курса алгебры и начал анализа. Задействуется весь набор знаний, связанных с исследованием функции: применение производной к определению точек экстремума, нахождение предела функции, асимптот и т. д.

Пример. При каких значениях параметра уравнение имеет два корня?

Решение. Переходим к равносильной системе

Из графика видно, что при уравнение имеет 2 корня.

Ответ. При уравнение имеет два корня.

Пример. Найдите множество всех чисел , для каждого из которых уравнение имеет только два различных корня.

Решение. Перепишем данное уравнение в следующем виде:

Теперь важно не упустить, что , и - корни исходного уравнения лишь при условии . Обратим внимание на то, что график удобнее строить на координатной плоскости . На рисунке 4 искомый график - объединение сплошных линий. Здесь ответ «считывается» вертикальными прямыми.

Ответ. При , или , или .

4. Закрепление полученных знаний.

Решить следующие задания:

1. Решите уравнение в зависимости от параметра а.

2. В зависимости от значений параметра а определить число корней уравнения .

3. Для всех значений а решить неравенство .

5. Подведение итогов занятия.

С какими новыми методами решения квадратных уравнений и неравенств мы познакомились сегодня на занятии?

Доступно ли был изложен новый материал?

Смогли бы вы объяснить данную тему одноклассникам?

Каким способом - аналитическим или графическим - проще решать квадратные уравнения и неравенства с параметром? Ученики оценивают выступления одноклассников по изложению нового материала по пятибалльной шкале. Оценка ставится, исходя из мнения большинства.

Работу остальных учеников оценивает учитель по трехбалльной шкале.

6. Постановка домашнего задания.

Дорешать упражнения, которые не успели на занятии.

Занятие IX. Графические приемы решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами

Цель: закрепление знаний по теме «Графические приемы решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами»; развитие умения анализировать, логически мыслить; совершенствование умения строить графики функций.

Ход занятия:

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

Разбираются задания 2 и 3 из домашнего задания. Решение записывается и объясняется одним из учеников на доске.

3. Решение задач.

1. Найти все значения параметра а, при которых уравнение х2 - х - а = 0 имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее неравенству х >1/2 .

Решение. На плоскости хОа множество всех точек (х; а), координата и параметр каждой из которых удовлетворяют заданному уравнению, представляет собой график функции

а = х2-х

то есть параболу. Эта парабола пересекает ось Ох в точках х = 0, а = 0 и х = 1,

а = 0. Вершиной параболы является точка х = 1/2, а = - 1/4.

Неравенству х > 1/2 удовлетворяют все точки полуплоскости (на рис. она заштрихована) без границы х =1/2.

Значения параметра а, при которых все точки параболы находятся в данной полуплоскости, являются искомыми.

Ответ:

При каких а имеет единственное решение система неравенств:

На плоскости хОа изобразим данные параболы.

Точки, координаты которых удовлетворяют данной системе, лежат ниже параболы а = -х2 - 2х и выше параболы . Эти параболы пересекаются в точках О(0; 0) и А . Заметим, что точка А расположена левее вершины первой параболы В(-1; 1). Горизонтальная прямая пересекает заштрихованную область по единственной точке, если она проходит через точки О и В, т. е. при а=0 и а = 1. Ответ: .

2. При каких a неравенство имеет хотя бы одно положительное решения?

Решение. На плоскости хОа изобразим множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству . При х + а > 0 неравенство имеет вид: а < 2 - х - х2; при х + а < 0 -- вид

а > х2 - х -2. В заштрихованной области точки с положительной абсциссой существуют при

Ответ: .

Следующие задания ученики выполняют самостоятельно, с последующей взаимопроверкой:

1. В зависимости от значений параметра а определить число корней уравнения .

2. Для всех значений параметра а решить систему неравенств графическим методом в системе (х;а).

3. Найти все значения параметра р, при которых система имеет решения, используя графический метод в системе (х;у).

4. Подведение итогов занятия.

Ученики выставляют друг другу оценки. Работы сдаются на проверку учителю, который будет проверять решение и правильность оценивания. В итоге каждый ученик получит две оценки: за решение заданий и проверку работы одноклассника. Баллы за работу выставляются на следующем занятии, после проверки заданий учителем.

Сложно было проверять и оценивать работу товарища?

Проверяя работу одноклассника, нашли ли «минусы» в своей работе?

Как вы считаете, полезен ли способ работы, примененный на уроке?

5.Постановка домашнего задания:

Каждый ученик получает карточку с заданиями.

Пример карточки:

При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение: ?

1. Найти все значения параметра а, при котором уравнение имеет ровно три различных корня: .

2. Найдите число решений в зависимости от а:

За выполненное домашнее задание ученики получат оценку.

Занятие X. Решение квадратных уравнений и неравенств с параметром

Цель: формирование умения решать квадратные уравнения с параметром; развитие умения анализировать, обобщать, систематизировать.

Ход занятия:

1. Организационный момент. Сообщение плана занятия, результатов работы на прошлом занятии, выставление баллов. Сдача учениками домашнего задания.

2. Решение задач. Решение первого уравнения записывается на доске учителем, затем учащимся дается время на самостоятельное решение каждого задания, которое проверяется (один из учеников записывает решение на доске).

Решить уравнения и неравенства:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

3. Подведение итогов занятия.

Наиболее активным ученикам учитель ставит баллы за работу на уроке.

Ученики оценивают работу на занятии класса в целом. Эта оценка ставится каждому ученику.

4. Постановка домашнего задания:

№1. Решите уравнения:

а) ;

б) .

№2. Решите неравенства:

а) ;

б) .

№3. Составить (найти) по одному квадратному уравнению и неравенству с параметром и решить их.

Занятие XI. Решение квадратных уравнений и неравенств с параметром

Цель: формирование умения решать квадратные уравнения с параметром; развитие умения анализировать, обобщать, систематизировать.

Ход занятия:

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания. На доске записаны ответы к домашнему заданию №1, №2. Ученики проверяют свои полученные ответы. Если у большинства ответ не верный, то задание разбирается подробно, иначе, те, кто не справился, обращаются после занятия за помощью к одноклассникам.

3. Решение задач.

3.1. Самостоятельное выполнение учениками задания.

Решите уравнения:

а) ;

б) .

Пока учащиеся выполняют задание, учитель проверяет домашнее задание №3 и отбирает из него задачи.

3.2. Решение отобранных учителем задач из №2 домашнего задания.

Учащиеся выполняют предложенное им задание: один ученик решает у доски, остальные - в тетради; автор задачи выступает в роли учителя: контролирует выполнение задания, объясняет при затруднениях. Если задач отобрано мало (или не отобрано), то выполняются задания, предложенные учителем: самостоятельно, с последующей проверкой.

Решите уравнения:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

4. Подведение итогов занятия.

- Понравилось ли быть в роли учителя?

- Какое из предложенных заданий (составленное одним из вас) показалось вам наиболее сложным?

Оценивание своей работы на занятии: поднимают руку те, кто считает, что поработал на оценку «5»; «4»; «3». Учитель подтверждает или изменяет оценки. Баллы ставятся в табель.

5. Постановка домашнего задания:

I. №1. Решите: а); б).

№2. При каких значениях параметра а уравнение имеет два различных положительных корня?

№3. При каких значениях а неравенство не имеет решений?

II. Класс разбивается на группы по 7-9 человек. Каждый ученик получает задание подготовить билет с вопросам теоретического и практического характера по заданной теме, по которой будет проводить опрос одноклассников из своей группы на следующем занятии.

Задачи по темам:

1. Число корней квадратного трехчлена.

2. Знаки корней квадратного трехчлена.

3. Соотношение на корни квадратного уравнения.

4. Расположение параболы относительно оси абсцисс.

5. Расположение корней квадратного трехчлена.

6. Графические приемы решения квадратных уравнений и неравенств.

7. Решение квадратных уравнений и неравенств с параметром.

Все темы распределяются между членами группы. Билет с придуманными заданиями за несколько дней до занятия сдаётся учителю на проверку, затем, если требуется, то дорабатывается, а потом используется на занятии.

Занятие XII. Разные задачи

Цели: способствовать формированию умений по составлению заданий по теме; проверить знания, умения, навыки учащихся по изученному материалу.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Ученикам объясняется ход занятия: работа проходит внутри группы в парах сменного состава; каждый ученик знает решение и теоретический вопрос своего билета и опрашивает по нему каждого ученика своей группы, при этом выполняя задания своего партнера; если возникает необходимость, то ребята поясняют решения своих упражнений.

Схема смены партнера представлена в таблице 6.

Таблица 6

1 круг	2 круг	3 круг	4 круг	5 круг	6 круг	7 круг
1уч - 2 уч 3уч - 4уч 5уч - 6уч 7уч - 8уч	1 - 3 2 - 4 5 - 7 6 - 8	1 - 4 2 - 3 5 - 8 6 - 7	1 - 5 2 - 6 3 - 7 4 - 8	1 - 6 2 - 5 3 - 8 4 - 7	1 - 7 2 - 8 3 - 5 4 - 6	1 - 8 2 - 7 3 - 6 4 - 5

2. Проверка уровня знаний, умений и уровня познавательной самостоятельности учащихся.

Пример билета:

1. Число корней квадратного трехчлена.

2. При каких значениях параметра а все корни уравнения

ax2 ? 2(a + 1)x + a ? 3 = 0 отрицательны?

В каждой группе есть таблица учета (Таблица 7), в которой отмечается результат работы школьников: ставится оценка за ответ на каждый билет.

Таблица 7

Задания Фамилия	№ I	№ II	№ III	№ IV	№ V	№ VI	№VII	№VIII	Итог
1. Ученик
…
8. Ученик

Критерии оценивания:

«3» - полностью выполнено одно задание из карточки.

«4» - полностью выполнено одно задание и приводится идея решения второго задания из карточки.

«5» - выполнены оба номера.

3. Подведение итогов урока.

Выставляются оценки по листу контроля по следующим критериям:

«3» - если 5 карточек и более выполнены на оценку «3».

«4» - если 5 карточек и более выполнены на 4, или одинаковое количество оценок «3» и «5», остальные итоги «4».

«5» - если 4 и более карточек выполнено на «5», остальные - на оценку «4».

Даются рекомендации каждому ученику, на что ему обратить внимание при выполнении домашнего задания.

4. Домашнее задание.

Группы меняются заданиями и распределяют каждому ученику по 2-3 билета, с учетом трудностей, возникших во время работы на уроке, а также по свободному выбору.

Объявляется, что на следующем занятии будет зачет по материалу всего курса.

Занятие XIII. Зачет

Цель: выявить уровень овладения учащимися знаниями и умениями на элективном курсе «Квадратные уравнения и неравенства с параметром».

Ход занятия:

1. Организационный момент.

Работа составлена по типу контрольно-измерительных материалов единого государственного экзамена, который предстоит пройти по окончании школы.

В работе представлено пять заданий уровня А, с выбором ответа, четыре задания уровня В, где требуется написать свой ответ. Далее учащиеся на отдельном листе выполняют два задания уровня С, где требуется привести подробное решение. После их проверки учителем выставляется итоговая оценка.

2. Проверка уровня знаний и умений, уровня познавательной самостоятельности учащихся.

Итоговая контрольная работа по теме «Квадратные уравнения и неравенства с параметрами».

Часть А

А1. При каких значениях параметра с уравнение (с - 2)x2 + 2(c - 2) + 2 = 0 не имеет корней? А) 2; 18 Б) (2; 18) В) 0; 1 Г) 2 

А2. Укажите те значения параметра с, при которых уравнение

(с - 1)x2 + (c + 4) + c+ 7 = 0 имеет только отрицательные корни.

А) (-?;-7) Б) (1;?) В) (-?;-7)?(1;?) Г) 1; -4

А3. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство x2 - ax > выполняется для любых x. В ответ запишите длину интервала найденных значений параметра.

А) 0 Б) 4 В) 5 Г) 2

А4. При каких значениях параметра а в множестве решений неравенства (1 - x)(x - a) ? 0 coдержится 5 целых чисел? 

А)(-4;-3) Б)(5;6) В) 0 Г) (-4;-3]?[5;6)

А5. При каких значениях параметра b график функции

y = (4 - b)x2 + 2(b + 2)x - 1 лежит ниже оси ОХ?

А) b< -2 Б) b < 2 В) b ? -2 Г) b = 0

Часть В

В1. При каких значениях параметра a все корни уранения

ax2 ? (2a + 1)x + 3a ? 1 = 0 больше1?

В2. При каких значениях параметра p отношение корней уравнения

2x2 + (p ? 10)x + 6 = 0 равно 12?

В3. При каких значениях параметра a уравнение y = (a + 1)x2 ? 3ax + 4a имеет с осью Ox две общие точки?

В4. Найдите все значения параметра a, при которых оба корня уравнения x2+(a?7)x+a+8 = 0 различны и больше 2.

Часть С

С1. Найдите все значения параметра a, при которых неравенство x2?2(a?2)x+a?2 ? 0 имеет решения и все они являются решениями неравенства

x2 + 9|x| ? 10 ? 0 .

С2. Найдите число корней уравнения |x2 + ax| = 2a в зависимости от значения параметра a.

3. Подведение итогов урока.

Ученикам сообщается, что окончательные результаты работы будут объявлены на следующем занятии.

Выясняется мнение учеников о проведенной зачетной работе.

4. Постановка домашнего задания.

На следующем занятии - конференция по подведению итогов изучения курса. Класс делится на группы по 5-6 человек. Задача каждой группы подготовить выступление, в котором укажут, что было интересным при изучении, что сложным; что понравилось, что нет; какие предложения могут внести по усовершенствованию курса. Каждый ученик должен представить папку с задачами.

Занятие XIV. Конференция по подведению итогов изучения курса.

Цель: подведение итогов изучения элективного курса;

1. Ход занятия: Организационный момент: сообщение целей и плана занятия. Выступление учащихся.

2.1. Представители от каждой группы рассказывают о составленной в ходе изучения курса папки с задачами, выделяют наиболее интересные темы и задачи, наиболее трудные и легкие для усвоения.

2.2. Каждая группа отмечает «плюсы» и «минусы» данного курса, вносит свои предложения по его изучению.

3. Выступление учителя.

Учитель обобщает все сказанное учениками.

4. Подведение итогов.

Подводит итоги по табелям баллов: сообщает уровень, на котором ученики освоили данный курс: «отлично» - более 71 балла; «хорошо» - 41-70 баллов; «удовлетворительно» - менее 40 баллов.

Заключение

Уравнения и неравенства с параметрами - прекрасный материал для настоящей исследовательской работы, но школьной программой задачи с параметрами не предусмотрены как отдельная тема. Это связано с тем, что материал достаточно сложный для всех учеников класса и его освоение требует большого количества времени.

Поэтому данную тему целесообразно было вынести в элективный курс.

Элективные курсы - это новейший механизм актуализации и индивидуализации процесса обучения. С хорошо разработанной системой элективных курсов каждый ученик может получить образование с определенным желаемым уклоном в ту или иную область знаний. Данный курс позволяет сделать материал доступным для широкого круга учащихся и развить исследовательские навыки при решении задач.

В ходе написания работы были достигнуты цели, поставленные в ведении: был проведен анализ школьных учебников по алгебре за 7-9 классы с целью изучения места уравнений и неравенств с параметрами. Как средство формирования исследовательских умений, расширения кругозора учащихся, повышения интереса к предмету, был разработан элективный курс для 9 класса «Квадратные уравнения и неравенства с параметром».

Элективный курс может иметь свое продолжение в старшей школе при изучении такого курса, как «Уравнения и неравенства с параметром, сводящиеся к квадратным».

При написании работы были поставлены следующие задачи:

· рассмотреть общие положения по изучению уравнений и неравенств с параметрами в 7-9 классах;

· разработать методические рекомендации по изучению уравнений и неравенств с параметрами в 7-9 классах;

· разработать элективный курс по алгебре «Квадратные уравнения и неравенства с параметром» и методику его проведения.

В процессе написания работы все поставленные задачи были достигнуты, сформулированная гипотеза доказана.

Библиография

1) Алгебра [Текст]: Учебник для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин. Ю. В. Сидоров и др.- 2-е изд.- М.: Просвещение, 1995. - 191 с: ил.

2) Алгебра [Текст]: Учебник для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин. Ю. В. Сидоров и др.- 2-е изд.- М.: Просвещение, 1995. - 223 с: ил.

3) Алгебра [Текст]: Учебник для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин. Ю. В. Сидоров и др.- 2-е изд.- М.: Просвещение, 1995. - 224 с: ил.

4) Алгебра [Текст]: Учебник для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и др.; Под ред. С. А. Теляковского.- 4-е изд.- М.: Просвещение, 2001.- 239 с: ил.

5) Алгебра [Текст]: Учебник для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и др.; Под ред. С. А. Теляковского.- 4-е изд.- М.: Просвещение, 2001.- 240 с: ил.

6) Алгебра [Текст]: Учебник для 9 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и др.; Под ред. С. А. Теляковского.- 4-е изд.- М.: Просвещение, 2001.- 239 с: ил.

8) Алгебра. 7 кл. [Текст]: Задачник для общеобразоват. учреждений /А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская и др.- 4-е изд., испр.- М.: Мнемозина, 2001.- 160 с: ил.

9) Алгебра. 7 кл. [Текст]: Учебник для общеобразоват. учреждений /А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская и др.- 4-е изд., испр.- М.: Мнемозина, 2001.- 160 с: ил.

10) Алгебра. 8 кл. [Текст]: Учебник для общеобразоват. учреждений /А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская и др.- 3-е изд. доработ.- М.: Мнемозина. 2001.- 223 С: ил.

11) Алгебра. 9 кл. [Текст]: Задачник для общеобразоват. учреждений /А. Г. Мордкович. Т. Н. Мишустина. Е. Е. Тульчинская и др.- 4-е изд.- М.: Мнемозина. 2002.- 143 с: ил.

12) Алгебра [Текст]: Учебное пособие для учащихся 9 класса с углубленным изучением математики / Н.Я. Виленкин, Т.С. Сурвилло, А.С. Симонов и др.; Под ред. Н.Я. Виленкина.- М.: Просвещение, 2001.- 384 c.

13) Бабанский, Ю. К. Оптимизация учебно-воспитательного процесса [Текст] / Ю.К. Бабанский.- М.: Просвещение, 1982.- 192 с.- (Метод. основы)

14) Болтянский, В.Г. Лекции и задачи по элементарной математике [Текст]

/ В.Г. Болтянский, Ю.В. Сидоров, М.И. Шабунин.- М.: Наука, 1974.- 576 с.

15) Бондаревский В.Б. Воспитание интереса к знаниям и потребности к самообразованию [Текст]: Кн. для учителя / .- М.: Просвещение, 1985.- 144 с.

16) Галицкий, М.Л. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов [Текст]: учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубленным изучением математики / М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич.- М.: Просвещение, 1994.- 271 с.

17) Горнштейн, П.И. Задачи с параметрами [Текст] / П.И. Горнштейн.- Киев: Текст: Око, 1992.- 290 с.

18) Горнштейн, П.И. Задачи с параметрами [Текст] / П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир.- М.: Илекса, 1999.- 336 с.

19) Громов, А.И. Пособие-репетитор по математике. Подготовка к письменному экзамену [Текст]: Учеб. пособие / А.И. Громов, В.М. Савчин.- Ростов н/Д: Феникс, 2001.- 480 с.

20) Груденов, Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике [Текст] / Я.И. Груденов.- М: Педагогика, 1987.- 158 с.: ил.

21) Гусев, В.А. Математика: Справочные материалы [Текст] / В.А. Гусев, А.Г. Мордкович. - М.: Просвещение, 1990. - 416 с.: ил.

22) Ермаков, Д.С. Элективные курсы в профильном обучении [Текст] / М-во образования РФ. Национальный фонд подготовки кадров.- М.: Вита-Пресс, 2004.- 144 c.

23) Здоровенко, М.Ю. Сборник задач по элементарной математике [Текст]

/ М.Ю. Здоровенко, Л.В. Караулова.- Киров, 1998.- 80 с.

24) Здоровенко, М.Ю. Учимся решать задачи с параметрами [Текст]: квадратный трехчлен: Учеб. пособие / М.Ю. Здоровенко, В.М. Караулов.- Киров, 2001.- 140 с.

25) Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года [Текст] // Вестник образования.- 2002.- № 6.- С. 3-13.

26) Крамор, В.С. Примеры с параметрами и их решение [Текст]: Пособие для поступающих в вузы / В.С. Крамор.- М.: АРКТИ.- 2000.- 342 с.

27) Мирошин, В.В. Решение задач с параметрами. Теория и практика [Текст] / В.В. Мирошин.- М.: Экзамен, 2009.- 286 с.

28) Петунин, О.В. Элективные курсы на этапе предпрофильной подготовки [Текст] / О.В. Петунин, Л.В. Трифонова // Школьные технологии.- 2006.- № 1.-

29) Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра 7-9 классы [Текст] / Т.А. Бурмистрова.- М.: Просвещение, 2008.- 256 с.

30) Черникова, Т.В. Методические рекомендации по разработке и оформлению программ элективных курсов [Текст] / Т.В. Черникова // Профильная школа.- 2005.- № 5.- С. 11-16.

31) Шарыгин, И.Ф. Факультативный курс по математике [Текст]: Решение задач: Учебное пособие для 10 кл. средней школы / И.Ф. Шарыгин.- М.: Просвещение, 1989.- 252 с.

32) Ястребинецкий, Г.А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры [Текст]: Пособие для учителей / Г.А. Ястребинецкий.- М.: Просвещение, 1977.- 128 с.

Размещено на Allbest.ru