Уравнения и неравенства с параметром как средство формирования исследовательских умений учащихся в 7–9 классах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дипломная работа

по теме: Уравнения и неравенства с параметром как средство формирования исследовательских умений учащихся в 7 - 9 классах

 Введение

Развитие творческих мыслительных способностей невозможно вне проблемных ситуаций, поэтому особое значение в обучении имеют нестандартные задачи. К ним относятся и задачи, содержащие параметр. Математическое содержание этих задач не выходит за пределы программы, тем не менее, их решение, как правило, вызывает у учащихся затруднения.

До реформы школьного математического образования в 60-х годах в школьной программе и учебниках были специальные разделы: исследование линейных и квадратных уравнений, исследование систем линейных уравнений. Где ставилась задача исследования уравнений, неравенств и систем в зависимости от каких-либо условий или параметров.

В настоящее время программа не содержит специальных упоминаний об исследованиях или параметрах в уравнениях или неравенствах. А ведь именно они и есть одно из эффективных средств математики, помогающих решить задачу формирования интеллектуальной личности, ставящуюся программой. Для устранения этого противоречия возникла необходимость создания элективного курса по теме «Уравнения и неравенства с параметрами». Именно этим и определяется актуальность данной работы.

Уравнения и неравенства с параметрами - прекрасный материал для настоящей исследовательской работы, но школьной программой задачи с параметрами не предусмотрены как отдельная тема.

Решение большей части задач школьного курса математики направлено на формирование у школьников таких качеств как владение правилами и алгоритмами действий в соответствии с действующими программами, умение проводить элементарные исследования.

Под исследованием в науке понимается изучение какого-либо объекта с целью выявления закономерностей его возникновения, развития, преобразования. В процессе исследования применяется накопленный опыт, имеющиеся знания, а так же методы и способы изучения объектов. Итогом исследования должно стать получение новых знаний. В процессе учебного исследования синтезируются накопленные учеником знания и опыт в изучении математических объектов.

В применении к параметрическим уравнениям и неравенствам можно выделить следующие исследовательские умения:

1) Умение выражать через параметр условия принадлежности данного параметрического уравнения к тому или иному классу уравнений;

2) Умение определять вид уравнения и указывать вид коэффициентов в зависимости от параметров;

3) Умение выражать через параметры, условия наличия решений параметрического уравнения;

4) В случае наличия корней (решений) уметь выражать условия наличия того или иного количества корней (решений);

5) Умение выражать через параметры сами корни параметрические уравнения (решения неравенства).

Развивающий характер уравнений и неравенств с параметрами определяется их способностью реализовывать многие виды мыслительной деятельности учащихся:

Выработка определенных алгоритмов мышления,

Умение определить наличие и количество корней (в уравнении, системе);

Решение семейств уравнений, являющихся следствием данного;

Выражение одной переменной через другую;

Нахождение области определения уравнения;

Повторение большого объема формул при решении;

Знание соответствующих методов решения;

Широкое применение словесной и графической аргументации;

Развитие графической культуры учащихся;

Все вышесказанное позволяет говорить о необходимости изучения уравнений и неравенств с параметрами в школьном курсе математики.

В настоящее время класс задач с параметрами пока четко методически не отработан. Актуальность выбора темы элективного курса «Квадратные уравнения и неравенства с параметром» определяется значимостью темы «Квадратный трехчлен и его свойства» в школьном курсе математики и, вместе с тем, нехваткой времени на рассмотрение задач, связанных с исследованием квадратного трехчлена, содержащего параметр.

В своей работе мы хотим показать, что задачи с параметра не должны быть трудным дополнением к основному изучаемому материалу, которым могут овладеть только способные дети, а могут и должны использоваться в общеобразовательной школе, что обогатит обучение новыми методами и идеями, поможет учащимся развивать мышление.

Цель работы заключается в изучении места уравнений и неравенств с параметрами в курсе алгебры 7-9 классов, разработке элективного курса «Квадратные уравнения и неравенства с параметром» и методических рекомендаций по его проведению.

Объект исследования - процесс обучения математике в 7-9 классах общеобразовательной школы.

Предмет исследования - содержание, формы, методы и средства решения уравнений и неравенств с параметрами в средней общеобразовательной школе, обеспечение разработки элективного курса «Квадратные уравнения и неравенства с параметром».

Гипотеза исследования заключается в том, что данный элективный курс поможет обеспечить более углубленное изучение содержательной линии раздела математики «Уравнения и неравенства с параметрами», устранить расхождения в требованиях по математике, предъявленных к подготовке выпускников в школе и абитуриентов в вузе, расширить возможности развития мыслительной деятельности учащихся, если в процессе его изучения будут использованы:

· рассмотрение графических приемов решения квадратных уравнений и неравенств с параметром с помощью работы школьников с учебной литературой;

· решение задач на исследование квадратного трехчлена, содержащего параметр, с использованием самоконтроля школьников и взаимоконтроля;

· таблицы для обобщения материала по темам «Знак корней квадратного трехчлена», «расположение параболы относительно оси абсцисс»;

· использование разнообразных способов оценивания результатов обучения и накопительной системы баллов;

· изучение всех тем курса с предоставлением ученику возможности самостоятельно находить путь решения задачи.

В соответствии с целью, объектом, предметом и гипотезой исследования выдвигаются следующие задачи исследования:

· рассмотреть общие положения по изучению уравнений и неравенств с параметрами в 7-9 классах;

· разработать методические рекомендации по изучению уравнений и неравенств с параметрами в 7-9 классах;

· разработать элективный курс по алгебре «Квадратные уравнения и неравенства с параметром» и методику его проведения.

В ходе исследования были использованы следующие методы:

· анализ литературы;

· анализ опыта разработки элективных курсов.

Глава 1. Психолого-педагогические особенности изучения темы «Уравнения и неравенства с параметрами» в курсе алгебры 7-9 класса

§1. Возрастные, физиологические и психологические особенности школьников 7-9 классов

Средний школьный возраст (подростковый) характеризуется бурным ростом и развитием всего организма. Наблюдается интенсивный рост тела в длину (у мальчиков за год наблюдается прирост на 6 - 10 сантиметров, а у девочек до 6 - 8 сантиметров). Продолжается окостенение скелета, кости приобретают упругость и твердость, возрастает сила мышц. Однако развитие внутренних органов происходит неравномерно, рост кровеносных сосудов отстает от роста сердца, что может вызвать нарушение ритма его деятельности, учащению сердцебиения. Развивается легочный аппарат, дыхание в этом возрасте учащенное. Объем мозга приближается к объему мозга взрослого человека. Улучшается контроль коры головного мозга над инстинктами и эмоциями. Однако процессы возбуждения все еще преобладают над процессами торможения. Начинается усиленная деятельность ассоциативных волокон.

В данном возрасте происходит половое созревание. Усиливается деятельность желез внутренней секреции, в частности половых желез. Появляются вторичные половые признаки. Организм подростка обнаруживает большую утомляемость, обусловленную кардинальными переменами в нем. Восприятие подростка более целенаправленно, организованно и планомерно, чем у младшего школьника. Определяющее значение имеет отношение подростка к наблюдаемому объекту. Внимание произвольно, избирательно. Подросток может долго сосредотачиваться на интересном материале. Запоминание понятий, непосредственно связанное с осмысливанием, анализом и систематизацией информации, выдвигается на первый план. Для подросткового возраста характерна критичность мышления. Для учащихся данного возраста свойственна большая требовательность к сообщаемой информации. Улучшается способность к абстрактному мышлению. Проявление эмоций у подростков часто бывает достаточно бурное. Особенно сильно проявляется гнев. Для данного возраста достаточно характерны упрямство, эгоизм, уход в себя, острота переживаний, конфликты с окружающими. Данные проявления позволили педагогам и психологам говорить о кризисе подросткового возраста. Формирование идентичности требует от человека переосмысления своих связей с окружающими, своего места среди других людей. В подростковом возрасте происходит интенсивное нравственное и социальное формирование личности. Идет процесс формирования нравственных идеалов и моральных убеждений. Часто они имеют неустойчивый, противоречивый характер.

Общение подростков с взрослыми существенно отличается от общения младших школьников. Подростки зачастую не рассматривают взрослых как возможных партнеров по свободному общению, они воспринимают взрослых как источник организации и обеспечения их жизни, причем организаторская функция взрослых воспринимается подростками чаще всего лишь как ограничительно - регулирующая.

Сокращается количество вопросов, обращенных к учителям. Задаваемые вопросы касаются, в первую очередь, организации и содержания жизнедеятельности подростков в тех случаях, в которых они не могут обойтись без соответствующих сведений и инструкций взрослых. Уменьшается число вопросов этического характера. По сравнению с предыдущим возрастом авторитет педагога как носителя социальных норм и возможного помощника в решении сложных жизненных проблем существенно снижается.

§2. Возрастные особенности учебной деятельности школьников 7-9 классов

Учение для подростка является главным видом деятельности. В учебной деятельности подростка имеются свои трудности и противоречия, но есть и свои преимущества, на которые может и должен опираться педагог. Большим достоинством подростка является его готовность ко всем видам учебной деятельности, которые делают его взрослым в собственных глазах. Его привлекают самостоятельные формы организации занятий на уроке, сложный учебный материал, возможность самому строить свою познавательную деятельность за пределами школы. Однако подросток эту готовность не умеет реализовать, так как он не владеет способами выполнения новых форм учебной деятельности.

Подросток эмоционально реагирует на новый учебный предмет, а у некоторых эта реакция исчезает довольно быстро. Нередко у них снижается и общий интерес к учению, к школе. Как показывает психологические исследования, основная причина заключена в несформированности у учащихся навыков учебной деятельности, что не дает возможности удовлетворить актуальную потребность возраста - потребность в самоутверждении. [15]

Одним из способов повышения эффективности обучения является целенаправленное формирование мотивов учения. Это непосредственно связано с удовлетворением преобладающих потребностей возраста. Одна из таких потребностей - познавательная. При ее удовлетворении у него формируется устойчивые познавательные интересы, которые определяют его положительное отношение к учебным предметам. Подростков очень привлекает возможность расширить, обогатить свои знания, проникнуть в сущность изучаемых явлений, установить причинно-следственные связи. Они испытывают большое эмоциональное удовлетворение от исследовательской деятельности. Неудовлетворение познавательной потребности и познавательных интересов вызывает не только состояние скуки, безразличия, но порой и резко отрицательное отношение к «неинтересным предметам». При этом в равной степени имеет значение как содержание, так и процесс, способы, приемы овладения знаниями.

Интересы подростков различаются по направленности их познавательной деятельности. Одни учащиеся предпочитают описательный материал, их привлекают отдельные факты, другие стремятся разобраться в сущности изучаемых явлений, объяснить их с точки зрения теории, третьи проявляют большую активность при использовании знаний в практической деятельности, другие - к творческой, исследовательской деятельности.[15]

Наряду с познавательными интересами существенное значение при положительном отношении подростков к учению имеет понимание значимости знаний. Для них очень важно осознать, осмыслить жизненное значение знаний и, прежде всего, их значение для развития личности. Многие учебные предметы нравятся подростку потому, что они отвечают его потребностям всесторонне развитого человека. Убеждения и интересы, сливаясь воедино, создают у подростков повышенный эмоциональный тонус и определяют их активное отношение к учению.

Если же подросток не видит жизненного значения знаний, то у него могут сформировать негативные убеждения и отрицательное отношение к существующим учебным предметам. Существенно значение при отрицательном отношении подростков к учению имеет осознание и переживание ими неуспеха в овладении теми или иными учебными предметами. Страх перед неуспехом, боязнь поражения порой приводит подростков к поиску благовидных причин, чтобы не пойти в школу или уйти с урока. Эмоциональное благополучие подростка во многом зависит от оценки его учебной деятельности взрослыми. Нередко смысл оценки для подростка выступает в стремлении добиться успеха в учебном процессе и тем самым получить уверенность в своих способностях и возможностях. Это связано с такой доминирующей потребностью возраста, как потребность осознать, оценить себя как личность, свои сильные и слабые стороны. Как показывают исследования, именно в подростковом возрасте доминирующую роль играет самооценка. Для эмоционального благополучия подростка очень важно, чтобы оценка и самооценка совпадали. В противном случае возникает внутренний, а иногда и внешний конфликт. [20]

В средних классах учащиеся приступают к изучению и освоению основ наук. Учащимися предстоит овладеть большим объемом знаний. Материал, подлежащий усвоению, с одной стороны требует более высокого, чем раньше уровня учебно-познавательной и мыслительной деятельности, а с другой стороны направлен на их развитие. Учащиеся должны овладеть системой научных понятий и терминов, поэтому новые учебные предметы предъявляют новые требования к способам усвоения знаний и направлены на развитие интеллекта высшего уровня - теоретического, формального, рефлексивного мышления. Такое мышление характерно для юношеского возраста, но начинает оно развиваться у младших подростков.

Новое в развитии мышления подростка заключается в его отношении к интеллектуальным задачам как к таким, которые требуют их предварительного мысленного решения. Умение оперировать гипотезами в решении интеллектуальных задач - важнейшее приобретение подростка в анализе действительности. Мышление предположениями является отличительным инструментом научного рассуждения, поэтому такое мышление называется рефлексивным. Хотя усвоение научных понятий в школе уже само по себе создаёт ряд объективных условий для формирования у школьников теоретического мышления, однако, оно формируется не у всех: у разных учащихся может быть разный уровень и качество его реальной сформированности.

Теоретическое мышление может формироваться не только при овладении школьными знаниями. Контролируемой и управляемой становится речь, причём в некоторых лично значимых ситуациях подростки особенно стремятся говорить красиво, правильно. В процессе и в результате усвоения научных понятий создаётся новое содержание мышления, новые формы интеллектуальной деятельности. Существенным показателем неполноценного усвоения теоретических знаний является неумение подростка решать задачи, требующие использования этих знаний.

Центральное место начинает занимать анализ содержания материала, его своеобразия и внутренней логики. Для одних подростков характерна гибкость в выборе путей заучивания, другие предпочитают какой-либо один способ, а некоторые стараются упорядочить и логически обработать любой материал. Умение логически обрабатывать материал часто развивается у подростков стихийно. От этого зависит не только успеваемость, глубина и прочность знаний, но и возможность дальнейшего развития интеллекта и способностей подростка.

§3. Организация учебной деятельности школьников 7-9 классов

Организация учебной деятельности подростков - важнейшая и сложнейшая задача. Ученик среднего школьного возраста вполне способен понять аргументацию педагога, родителя, согласиться с разумными доводами. Однако в виду особенностей мышления, характерных для данного возраста, подростка уже не удовлетворит процесс сообщения сведений в готовом, законченном виде. Ему захочется проверить их достоверность, убедиться в правильности суждений. Споры с учителями, родителями, приятелями - характерная черта данного возраста. Их важная роль заключается в том, что они позволяют обменяться мнениями по теме, проверить истинность своих воззрений и общепринятых взглядов, проявить себя. В частности, в обучении большой эффект дает внедрение проблемных задач. Основы данного подхода в обучении были разработаны еще в 60 - 70 - е годы XX века отечественными педагогами. В основе всех действий при проблемном подходе лежит осознание отсутствия знаний для решения конкретных задач, разрешение противоречий. В современных условиях данный подход должен реализовываться в контексте уровня достижений современной науки, задач социализации учащихся.

Важно поощрять самостоятельность мышления, высказывание школьником собственной точки зрения, умение сравнивать, находить общие и отличительные черты, выделять главное, устанавливать причинно - следственные связи, делать выводы.

Для подростка большое значение будет иметь информация интересная, увлекательная, которая стимулирует его воображение, заставляет задуматься. Хороший эффект дает периодическая смена видов деятельности - не только на уроке, но и при подготовке домашних заданий. Разнообразие видов работы способно стать весьма результативным средством повышения внимания и важным способом предотвращения общей физической утомляемости, связанной, как и с учебной нагрузкой, так и с общим процессом кардинальной перестройки организма в период полового созревания.[20]

Учащиеся до изучения соответствующих разделов школьной программы часто уже располагают определенными житейскими представлениями и понятиями, которые позволяют им достаточно хорошо ориентироваться в повседневной практике. Это обстоятельство в тех случаях, когда их внимание специально не обращено на связь получаемых знаний с практической жизнью, лишает многих учащихся потребности в приобретении и усвоении новых знаний, так как последние не имеют для них практического смысла.

Нравственные идеалы и моральные убеждения подростков складываются под влиянием многочисленных факторов, в частности, усиления воспитательного потенциала обучения. В решении сложных жизненных проблем большее внимание следует уделять косвенным методам воздействия на сознание подростков: не преподносить готовую моральную истину, а подводить к ней, не высказывать категоричных суждений, которые подростки могут воспринять в «штыки».

§4. Учебное исследование в системе основных требований к содержанию математического образования и уровню подготовки учащихся

Уравнения и неравенства с параметрами - это прекрасный материал для настоящей исследовательской работы. Но школьной программой задачи с параметрами не предусмотрены как отдельная тема.

Проанализируем различные разделы учебного стандарта школ России с точки зрения выявления вопросов, связанных с обучением решению задач с параметрами.

Изучение программного материала дает возможность учащимся основной школы «получить начальные представления о задаче с параметрами, сводящийся к линейным и квадратным» и научиться строить графики функций, исследовать расположение этих графиков в координатной плоскости в зависимости от значений параметров, входящих в формулу.

В линии «функция» не упоминается слово «параметр», но говорится, что учащиеся имеют возможность «систематизировать и развить знания о функции; развить графическую культуру, научиться свободно «читать» графики, отражать свойства функции на графике». [29]

Проанализировав школьные учебники по алгебре таких коллективов авторов как: Алимов Ш.А. и др., Макарычев Ю.Н. и др., Мордкович А.Г. и др., приходим к выводу, что задачам с параметрами в данных учебных пособиях уделяется мало внимания. В учебниках для 7-х классов есть несколько примеров на исследование вопроса о числе корней линейного уравнения, на исследования зависимости расположения графика линейной функции у = kх и у = kх + b в зависимости от значений k. В учебниках для 8-9 классов в разделах типа «Задачи для внеклассной работы» или «Упражнения на повторение» дано по 2-3 задания на исследование корней в квадратных и биквадратных уравнениях с параметрами, расположения графика квадратичной функции в зависимости от значений параметров.

В программе по математике для школ и классов с углубленным изучением в объяснительной записке написано «раздел «Требования к математической подготовке учащихся» задает примерный объем знаний, умений и навыков, которым должны овладеть школьники. В этом объем, безусловно, входят те знания, умения и навыки, обязательное приобретение которых всеми учащимися предусмотрено требованиями программы общеобразовательной школы; однако предлагается иное, более высокой качество их сформированности. Учащиеся должны приобрести умения решать задачи более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и излагать собственные рассуждения при решении задач...»[29]

Проанализируем некоторые учебные пособия для учащихся с углубленным изучением математики.

Формулировки таких задач и их решения, не выходят за рамки школьной программы, но сложности, с которыми сталкиваются учащиеся, объясняются, во-первых, наличием параметра, во-вторых, ветвлением решения и ответов. Однако, практика решения задач с параметрами полезна для развития и укрепления способности к самостоятельному логическому мышлению, для обогащения математической культуры.

В школе в общеобразовательных классах таким задачам уделяется, как правило, ничтожно мало внимания. Так как решение уравнений и неравенств с параметрами является, пожалуй, самым трудным разделом курса элементарной математики, то вряд ли целесообразно обучать решению таких задач с параметрами массового школьника, но сильных учащихся, проявляющих интерес, склонности и способности к математике, стремящихся действовать самостоятельно, учить решать такие задачи, безусловно, необходимо. Поэтому наряду с такими традиционными содержательно-методическими линиями школьного курса математики, как функциональная, числовая, геометрическая, линия уравнений и линия тождественных преобразований, должна занять определенное положение и линия параметров. Содержание материала и требования к учащимся по теме «задачи с параметрами» должны определяться, конечно, уровнем математической подготовки всего класса в целом и каждого в отдельности.

Учитель должен способствовать удовлетворению потребностей и запросов школьников, проявляющих интерес, склонности и способности к предмету. По интересующим учащихся вопросам можно организовать консультации, кружки, дополнительные занятия и факультативы. В полной мере это относится и к вопросу о задачах с параметрами.

§5. Учебное исследование в структуре познавательной деятельности школьников

В настоящий момент особенно остро встает вопрос подготовки ученика, стремящегося действовать самостоятельно, за рамками требований учителя, не ограничивающего сферу своих интересов и активного исследования предлагаемым ему учебным материалом, умеющего представлять и аргументировано отстаивать свое решение той или иной проблемы, умеющего конкретизировать или, наоборот, обобщать рассматриваемый результат, выявлять причинно-следственные связи и т.п. В связи с этим большое значение приобретают исследования, в которых анализируются основы психологии математического творчества детей школьного возраста, рассматривается проблема управления процессом мыслительной деятельности учеников, формирование и развитие у них умений самостоятельно приобретать знания, применять знания, пополнять и систематизировать их, проблема повышения активности познавательной деятельности школьников (Л.С. Выготский, П.Я. Крутецкий, Н.А. Менчинская, С.Л. Рубинштейн, Л.M. Фридман и др).

К исследовательскому методу обучения можно отнести два исследовательских метода: учебное и научное.

Решение существенной части задач школьного курса математики предполагает сформированными у учеников такие качества, как владение правилами и алгоритмами действий в соответствии с действующими программами, умение проводить элементарные исследования. Под исследованием в науке понимается изучение какого-либо объекта с целью выявления закономерностей его возникновения, развития преобразования. В процессе исследования применяется накопленный предшествующий опыт, имеющиеся знания, а также методы и способы (приемы) изучения объектов. Итогом исследований должно стать получение новых научных знаний.

В применении к процессу обучения математике в средней школе важно отметить следующее: к основным компонентам учебного исследования относят постановку проблемы исследования, осознание его целей, предварительный анализ имеющейся информации по рассматриваемому вопросу, условия и методы решения задач, близких к проблеме исследования, выдвижение и формулировка исходной гипотезы, анализ и обобщение полученных в ходе исследования результатов, проверка исходной гипотезы на основе полученных фактов, окончательная формулировка новых результатов, закономерностей, свойств, определение места найденного решения поставленной проблемы в системе имеющихся знаний. Основное место среди объектов учебного исследования занимают те понятия и отношения школьного курса математики, в процессе изучения которых выявляются закономерности их изменения и преобразования, условий их осуществления, единственности и т.п.

Серьезным потенциалом в формировании таких исследовательских умений, как умение целенаправленно наблюдать, сравнивать, выдвигать, доказывать или опровергать гипотезу, умение обобщать и др., обладают задачи на построение в курсе геометрии, уравнения и неравенства с параметрами в курсе алгебры, так называемые динамические задачи, в процессе решения которых учащиеся осваивают основные приемы мыслительной деятельности: анализ, синтез (анализ через синтез, синтез через анализ), обобщение, конкретизация и др., целенаправленно наблюдает изменяющиеся объекты, выдвигает и формулирует гипотезу относительно свойств рассматриваемых объектов, проверяет выдвинутую гипотезу, определяет место подученного результата в системе полученных ранее знаний, его практическую значимость. Решающее значение имеет организация учебного исследования учителем. Обучение приемам мыслительной деятельности, умение осуществлять элементы исследования - эти цели постоянно привлекают внимания учителя, побуждая его находить ответы на многие методические вопросы, связанные с решением рассматриваемой проблемы.

Изучение многих вопросов программы предоставляет прекрасные возможности для создания более цельной и полной картины, связанной с рассмотрением той или иной задачи.

В процессе учебного исследования синтезируются накопленные учеником знания, опыт в изучении математических объектов. Решающее значение в организации учебного исследования школьника имеет привлечение его внимания (сначала непроизвольного, а затем и произвольного), создание условий для наблюдения: обеспечение глубокого осознания, необходимого отношения ученика к работе, объекту изучения.

В школьном обучении математике имеют место тесно связанные между собой два уровня учебного исследования: эмпирический и теоретический. Первый характеризуется наблюдением за отдельными фактами, их классификации, установлению проверяемой на опыте закономерной связи между ними. Теоретический уровень учебного исследования отличается тем, что в результате ученик формулирует общие математические закономерности, на основе которых более глубоко интерпретируются не только новые факты, но и полученные на эмпирическом уровне.

Проведение учебного исследования требует от ученика применения как частных методов, характерных только для математики, так и общих; анализ, синтез, индукция, дедукция и др., применяемых при изучении объектов и явлений различных школьных дисциплин.

Решающее значение имеет организация учебного исследования учителем. В применении к процессу обучения математике в средней школе важно отметить следующее: к основным компонентам учебного исследования мы относим постановку проблемы исследования, осознание его целей, предварительный анализ имеющейся информации по рассматриваемому вопросу, условия и методы решения задач, близких к проблеме исследования, выдвижение и формулировка исходной гипотезы, анализ и обобщение полученных в ходе исследования результатов, проверка исходной гипотезы на основе полученных фактов, окончательная формулировка новых результатов, закономерностей, свойств, определение места найденного решения поставленной проблемы в системе имеющихся знаний. Основное место среди объектов учебного исследования занимают те понятия и отношения школьного курса математики, в процессе изучения которых выявляются закономерности их изменения и преобразования, условия их осуществления, единственности и т.п.

Подходящим для проведения учебного исследования является материал, относящийся к исследованию изучаемых в курсе алгебры функций. В качестве примера рассмотрим линейную функцию.

Задание: Исследуйте линейную функцию на четность и нечетность. Указание: рассмотрите случаи:

1) a=0 и b=0;

2) a = 0 и b ? 0;

3) a ? 0 и b = 0;

4) a ? 0 и b ? 0.

В результате исследования заполните таблицу, указав на пересечении соответствующей строки и столбца полученный результат.

В результате решения школьники должны получить следующую таблицу:

y = ax + b	b = 0	b ? 0
а = 0	четная и нечетная	четная
а ? 0	нечетная	ни четная, ни нечетная

Ее симметричность вызывает чувство удовлетворения, уверенности в правильности заполнения.

Формирование приемов мыслительной деятельности играет существенную роль как в общем развитии школьников, так и в целях привития им навыков проведения учебного исследования (в целом или фрагментарно).

Итогом учебного исследования служат субъективно новые знания о свойствах рассматриваемого объекта (отношения), об их практических приложениях. Эти свойства могут быть включены в программу по математике для средней школы, а могут и не входить в нее. Важно отметить, что новизна результата деятельности школьника определяется как характером поиска способа осуществления деятельности, самим способом деятельности, так и местом полученного результата в системе знаний того ученика.

Метод обучения математике с использованием учебного исследования носит название исследовательского, независимо от того, реализуется ли схема учебного исследования в полном объеме или фрагментарно.

При реализации каждого этапа учебного исследования обязательно присутствуют элементы как исполнительской, так и творческой деятельности. Наиболее четко это наблюдается в случае самостоятельного проведения учеником того или иного исследования. Также при учебном исследовании одни этапы могут быть реализованы учителем, другие - самим учеником. Уровень самостоятельности зависит от многих факторов, в частности, от уровня сформированности, умения наблюдать тот или иной объект (процесс), от умения сосредоточить свое внимание на одном и том же предмете иногда в течение довольно длительного времени, умения увидеть проблему, четко и недвусмысленно ее сформулировать, умения находить и использовать подходящие (порой неожиданные) ассоциации, умения сосредоточенно анализировать имеющиеся знания с целью отбора нужной информации и т.п.

Также невозможно переоценить влияние воображения, интуиции, вдохновения, способности (а может быть и талантливости или гениальности) ученика на успешность его исследовательской деятельности.

§6. Исследование в системе методов обучения

Методам обучения, от которых зависит немалый успех работы учителя и школы в целом, посвящен не один десяток фундаментальных исследований. И, несмотря на это проблема методов обучения, как в теории обучения, так и в педагогической практике остается весьма актуальной. Понятие метода обучения является весьма сложным. Это обуславливается исключительной сложностью того процесса, который призвана отражать эта категория. Многие авторы считают метод обучения способом организации учебно-познавательной деятельности учащихся.

Слово «метод» греческого происхождения и в переводе на русский язык означает исследование, способ. «Метод - в самом общем значении - способ достижения цели, определенным образом упорядоченная деятельность» [20]. Очевидно, что в процессе обучения метод выступает как связь деятельности учителя и учащихся по достижению определенных учебно-воспитательных целей. С этой точки зрения каждый метод обучения органически включает в себя обучающую работу учителя (изложение, объяснение изучаемого материала) и организацию активной учебно-познавательной деятельности учащихся. Таким образом, понятие метода обучения отражает:

1 .Способы обучающей работы учителя и способы учебной работы учащихся в их взаимосвязи.

2. Специфику их работы по достижению различных целей обучения. Таким образом, методы обучения - это способы совместной деятельности учителя и учащихся, направленные на решение задач обучения, то есть дидактических задач.

То есть под методами обучения следует понимать способы обучающей работы учителя и организации учебно-познавательной деятельности учащихся по решению различных дидактических задач, направленных на овладение изучаемым материалом. Одной из острых проблем современной дидактики является проблема классификации методов обучения. В настоящее время нет единой точки зрения по этому вопросу. В связи с тем, что разные авторы в основу подразделения методов обучения на группы и подгруппы кладут разные признаки, существует ряд классификаций. Но в 20-е годы в советской педагогике велась борьба против методов схоластического обучения и механической зубрежки, процветавших в старой школе и предпринимались поиски таких метод, которые обеспечивали бы сознательное, активное и творческое овладение знаниями учащимися. Именно в те годы педагог Б. В. Виевятский развивал положение о том, что в обучении может быть только два метода: метод исследовательский и метод готовых знаний. Метод готовых знаний, естественно, подвергался критике. В качестве важнейшего метода обучения и раньше и сейчас признавался исследовательский метод, суть которого сводилась к тому, что учащиеся якобы все должны познавать на основе наблюдения и анализа изучаемых явлений, самостоятельно подходя к необходимым выводам. Тот же исследовательский метод на занятиях может применяться далеко не по всем темам.

Так же суть этого метода состоит в том, что учитель расчленяет проблемную задачу на подпроблемы, а учащиеся осуществляют отдельные шаги поиска ее решения. Каждый шаг предполагает творческую деятельность, но целостное решение проблемы пока отсутствует. При исследовании учащиеся овладевают методами научного познания, формируется опыт исследовательской деятельности. Деятельность учащихся, обучаемых с использованием этого метода, заключается в освоении ими приемов самостоятельной постановки проблем, нахождения способов их решения, исследовательские задания, постановки и разработки проблем, которые предъявляют им учителя.

Можно также отметить, что психология устанавливает некоторые закономерности с возрастной психологией. Прежде, чем с учащимися начинать работу с использованием методов, надо хорошо изучить методы исследования его возрастной психологии. Знакомство с этими методами может оказать практическую пользу непосредственно организаторам этого процесса, так как эти методы пригодны не только для собственного научного исследования, но и для организации углубленного изучения детей в практических учебно-воспитательных целях. Индивидуальный подход в обучении и воспитании предполагаем хорошее знание и понимание индивидуально-психологических особенностей учащихся, своеобразия их личности. Следовательно, учителю необходимо овладеть умением изучать учащихся, видеть не серую, однородную ученическую массу, а коллектив, в котором каждый представляет собой нечто особое, индивидуальное, своеобразное. Такое изучение входит в задачу каждого учителя, но его нужно еще правильно организовать.

Один из основных методов организации - метод наблюдения. Разумеется, психику непосредственно наблюдать нельзя. Этот метод предполагает опосредованное познание индивидуальных особенностей психики человека через изучение его поведения. То есть, здесь нужно судить учащегося по индивидуальным особенностям (действиям, поступкам, речи, внешнему облику и т.д.), психическому состоянию учащегося (процессам восприятия, памяти, мышления, воображения и т.д.), и по чертам его личности, темперамента, характера. Все это необходимо для учащегося, с которым работает учитель с применением исследовательского метода обучения при выполнении каких-то заданий.

Решение существенной части задач школьного курса математики предполагает сформированными у учеников такие качества как владение правилами и алгоритмами действий в соответствии с действующими программами, умение проводить элементарное исследование. Под исследованием в науке понимается изучение какого-либо объекта для выявления закономерностей его возникновения, развития, преобразования. В процессе исследования применяется накопленный предшествующий опыт, имеющиеся знания, а также методы и способы (приемы) изучения объектов. Итогом исследования должно стать получение новых научных знаний. Обучение приемам мыслительной деятельности, умение осуществлять элементы исследования - эти цели постоянно привлекают внимание учителя, побуждая его находить ответы на многие методические вопросы, связанные с решением рассматриваемой проблемы. Изучение многих вопросов программы предоставляет прекрасные возможности для создания более цельной и полной картины, связанной рассмотрением той или иной задачи. Исследовательский метод обучения математике естественно вписывается в классификацию метод обучения в зависимости от характера деятельности школьников, степени их познавательной самостоятельности. Для успешной организации исследовательской деятельности школьника учитель должен понимать и учитывать как его личностные качества, так и процессуальные особенности этого вида деятельности, а также уровень владения школьником изученным материалом курса. Невозможно переоценить влияние воображения, интуиции, вдохновения, способности ученика на успешность его исследовательской деятельности.

Формы заданий при исследовательском методе могут быть различны. Это могут быть задания, поддающиеся быстрому решению в классе и дома или задания, требующие целого урока. Большинство исследовательских заданий должны представлять собой небольшие поисковые задания, требующие прохождения всех или большинства этапов процесса исследования. Целостное их решение обеспечит выполнение исследовательским методом его функций. Этапами процесса исследования являются следующие:

1 Целенаправленное наблюдение и сравнение фактов и явлений.

Выявление непонятных явлений, подлежащих исследованию.

Предварительный анализ имеющейся информации по рассматриваемому вопросу.

4. Выдвижение и формулировка гипотезы.

5. Построение плана исследования.

Осуществление плана, выяснения связей изучаемого явления с другими.

Формулирование новых результатов, закономерностей, свойств, определение места найденного решения поставленных исследований в системе имеющихся знаний.

Проверка найденного решения.

Практические выводы о возможном применении новых знаний.

§7. Умение исследовать в системе специальных знаний

Умение - это сознательное применение имеющихся у ученика знаний и навыков для выполнения сложных действий в различных условиях, т.е. для решения соответствующих задач, ибо выполнение каждого сложного действия выступает для ученика как решение задачи.

Исследовательские умения можно разделить на общие и специальные. К числу общих исследовательских умений, формирование и развитие которых происходит в процессе решения задач с параметрами, относятся: умение увидеть за данным уравнением с параметром различные классы уравнений, характеризующиеся общностью наличия количества и вида корней; умение владеть аналитическим и графоаналитическим методами.

К числу специальных исследовательских умений можно отнести умения, формирование и развитие которых происходит в процессе решения конкретного класса задач.

При решении линейных уравнений, содержащих параметр, формируются следующие специальные умения:

§ Умение увидеть коэффициент при неизвестном и свободный член как функцию параметра;

§ Умение выявлять особые значения параметра, при которых данное линейное уравнение имеет:

Единственный корень;

Бесконечное множество корней;

3) Не имеет корней;

Умение интерпретировать ответ на языке исходного задания. К числу специальных исследовательских умений, формирование и развитие которых происходит в процессе решения линейных неравенств, содержащих параметр относятся:

§ Умение увидеть коэффициент при неизвестном и свободный член как функцию параметра;

§ Умение выявлять особые значения параметра, при которых данное линейное неравенство имеет в качестве решения:

1) Промежуток;

2) Не имеет решений;

§ Умение интерпретировать ответ на языке исходного задания

К числу специальных исследовательских умений, формирование и развитие которых происходит в процессе решения квадратных уравнений, содержащих параметр, относятся:

§ Умение выявлять особое значение параметра, при котором старший коэффициент обращается в ноль, т.е. уравнение становиться линейным и находить решение полученного уравнения при выявленных особых значениях параметра;

§ Умение решать вопрос о наличии и количестве корней данного квадратного уравнения в зависимости от знака дискриминанта;

§ Умение выражать через параметр корни квадратного уравнения (в случае их наличия);

К числу специальных исследовательских умений, формирование и развитие которых происходит в процессе решения дробно-рациональных уравнений, содержащих параметр, сводящихся к квадратным, относятся:

§ Умение приводить дробно-рациональное уравнение, содержащее параметр, к квадратному уравнению, содержащему параметр.

К числу специальных исследовательских умений, формирование и развитие которых происходит в процессе решения квадратных неравенств, содержащих параметр относятся:

§ Умение выявлять особое значение параметра, при котором старший коэффициент обращается в ноль, т.е неравенство становится линейным и находить множество решений полученного неравенства при особых значениях параметра;

§ Умение выражать через параметр множество решений квадратного неравенства.

Ниже перечислены учебные умения, переходящие в учебно-исследовательские, а также исследовательские умения.

6-7 класс:

- оперативно использовать старые знания в ситуации приобретения новых;

- переносить свободно комплекс умственных действий с одного материала на другой, с одного предмета на другой;

распространять полученные знания на большую совокупность объектов;

сочетать процесс «свертывания» и «развертывания» знаний;

целенаправленно обобщать идеи текста с помощью выделения главных мыслей в его отрезках, частях;

систематизировать и классифицировать информацию;

- сопоставлять информацию по системам признаков с выделением черт сходства и различия;

- уметь связать символический язык с письменной и устной речью;

- анализировать и планировать методы предстоящей работы;

«сцеплять» быстро, свободно компоненты новых знаний;

уметь лаконично излагать основные мысли, факты текста;

8 класс:

- получать новые знания путем движения от системообразующих знаний к конкретному с помощью схем, таблиц, конспектов и т.д.;

использовать различные формы записей в процессе длительного слушания;

выбирать оптимальные пути решения;

доказывать или опровергать с помощью взаимосвязанных приемов;

9 класс:

- пользоваться различными видами анализа и синтеза;

- рассматривать проблему с разных точек зрения;

- высказывать суждение в виде алгоритма мыслей.

Математическому образованию в процессах формирования мышления или умственного развития учащихся должно отводиться и отводится особое место, потому что средства обучения математике наиболее эффективно воздействуют на многие основные компоненты целостной личности и прежде всего на мышление.

Таким образом, уделяется особое внимание развитию мышления учащегося, так как именно оно связано со всеми другими мыслительными функциями: воображением, гибкостью ума, широтой и глубиной мысли и т.д. Отметим что, рассматривая развитие мышления в контексте личностно-ориентированного обучения, следует помнить, что необходимым условием для реализации такого развития является индивидуализация обучения. Именно оно обеспечивает учет особенностей мыслительной деятельности учащихся различных категорий.

Путь к творчеству индивидуален. Вместе с тем, все учащиеся в процессе изучения математики должны ощутить ее творческий характер, познакомиться в процессе обучения математике с некоторыми умениями и навыками творческой деятельности, которые им будут нужны в их дальнейшей жизни и деятельности. Для решения этой сложной задачи преподавание математики должно быть построено так, чтобы ученик чаще искал новые комбинации, преобразовывая вещи, явления, процессы действительности, искал неизвестные связи между объектами.

Прекрасным способом приобщения учащихся к творческой деятельности при обучении математике является самостоятельная работа во всех ее видах и проявлениях. Весьма принципиальным в этом отношении является высказывание академика П.Л. Капицы о том, что самостоятельность является одним из самых основных качеств творческой личности, так как воспитание творческих способностей в человеке основывается на развитии самостоятельного мышления.

Уровень подготовленности учащихся и учебных групп к самостоятельной творческой деятельности можно определить, ответив на следующие вопросы:

Насколько эффективно школьники могут пользоваться конспектами, опорным конспектом, а также читать схемы и разные виды таблиц?

Умеют ли учащиеся объективно оценивать предложенные идеи при решении проблемной задачи учителем, учитывать возможность их применения? 3) Насколько школьники быстро переходят от одного способа решения проблемы к другому? 4) Проанализировать эффективность ориентирования учащихся в ходе урока на самоорганизацию самостоятельной работы; 5) Исследовать способность учащихся к моделированию и гибкому решению проблем.

Глава 2. Методологический анализ темы «Уравнения и неравенства с параметрами» и разработка элективного курса «Квадратные уравнения и неравенства с параметром»

§1. Роль и место параметрических уравнений и неравенств в формировании исследовательских умений учащихся

Несмотря на то, что программа по математике средней общеобразовательной школы не упоминает в явном виде о задачах с параметрами, было бы ошибкой утверждать, что вопрос о решении задач с параметрами никоим образом не затрагивается в рамках школьного курса математики. Достаточно вспомнить школьные уравнения: ax2+bx+c=0, у=kх, у=kх+b, ax=b, в которых а, b, с, k не что иное, как параметры. Но в рамках школьного курса не заостряется внимание на таком понятии, параметр, в чем его отличие от неизвестного.

Опыт показывает, что задачи с параметрами являются наиболее сложным в логическом и техническом планах разделом элементарной математики, хотя с формальной точки зрения математическое содержание таких задач не выходит за пределы программ. Это вызвано различными точками зрения на параметр. С одной стороны, параметр можно рассматривать как переменную, которая при решении уравнений и неравенств считается постоянной величиной, с другой -- параметр - это величина, численное значение которой не задано, но должно считаться известным, причем параметр может принимать произвольные значения, т.е. параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет обращаться с параметром как с числом, а во-вторых, степень свободы ограничивается его неизвестностью.

В каждом из описаний природы параметров имеется неопределенность - на каких этапах решения параметр может рассматриваться в качестве константы и когда играет роль переменной величины. Все эти противоречивые характеристики параметра могут в самом начале знакомства вызвать у учащихся некий психологический барьер.

В связи с этим на начальном этапе знакомства с параметром очень полезно как можно чаще прибегать к наглядно-графической интерпретации полученных результатов. Это не только позволяет преодолеть естественную неуверенность учеников перед параметром, но и дает учителю возможность параллельно, в качестве пропедевтики, приучать учеников при решении задач использовать графические приемы доказательства. Не следует также забывать, что использование хотя бы схематических графических иллюстраций в некоторых случаях помогает определить направление исследований, а иногда и позволяет сразу подобрать ключ к решению задачи. Ведь для определенных типов задач даже примитивный рисунок, далекий от настоящего графика, дает возможность избежать различного рода ошибок и более простым способом получить ответ к уравнению или неравенству.

Решение математических задач вообще является наиболее трудной частью деятельности школьников при изучении математики и объясняется это тем, что для решения задач требуется достаточно высокий уровень развития интеллекта высшего уровня, т.е. теоретического, формального и рефлексивного мышления, а такое мышление, как уже отмечалось, еще только развивается в подростковом возрасте.