Учебные задания с элементами истории математики как средство развития исследовательских умений учащихся 7-9 классов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Учебные задания с элементами истории математики как средство развития исследовательских умений учащихся 7-9 классов



Содержание

Введение

Глава I. Теоретические основы использования учебных заданий с элементами истории в основной школе при обучении математике

1.1 Принцип историзма в обучении математике

1.1.1 Роль и место курса истории математики при конструировании курса математики

1.1.2 Анализ действующих учебников по математике с точки зрения использования исторического материала

1.2 Развитие исследовательских умений учащихся 7-9 классов при обучении математике

1.2.1 Сущность и структура исследовательских умений

1.2.2 Средства формирования исследовательских умений учащихся при обучении математике

1.3 Типы и структура учебных заданий по математике с элементами историзма

Библиографический список

история математика школьный учебный



Введение

Актуальность:

Приобщение школьников к научно-исследовательской деятельности позволяет создать благоприятные условия для их самообразования и профессиональной ориентации. Активизируя мыслительную деятельность, исследование способствует раскрытию личностных качеств школьника и развитию его эмоциональной сферы. Современные знания об интеллектуальных возможностях детей дают основания предполагать, что каждый ученик обладает относительно неиспользованными способностями к обучению. Но исследование из деятельности возможной станет деятельностью реальной не тогда, когда нам захочется его ввести, а тогда, когда к этому уровню работы будут готовы все участники образовательного процесса, будут созданы соответствующие условия. Для этого нужен целый комплекс организационных, управленческих, методических мер, то есть необходим системный подход к организации научно-исследовательской деятельности в учебном учреждении.

Основополагающим является урок. Именно на уроке формируются общеучебные и исследовательские умения и навыки, в совокупности образующие способ познания. Это тот стартовый этап, который предоставляет равные возможности всем учащимся включиться в исследовательскую деятельность, истоки формирования готовности учащихся.

Для решения данной проблемы учителю требуется не только знание предмета и методики его преподавания, но и умение направить деятельность учащихся на развитие исследовательских умений.

В этом заключается актуальность исследования проблемы использования учебных заданий с элементами истории математики как средства формирования исследовательских умений учащихся.

Цель работы:

Разработать методику развития исследовательских умений учащихся 7-9 классов при обучении математике на основе учебных заданий с элементами историзма.

Объект исследования:

Процесс обучения математике (алгебре и геометрии) в 7-9 классах.

Предмет исследования:

Процесс развития исследовательских умений учащихся средствами истории математики.

Задачи исследования:

Рассмотреть сущность принципа историзма в обучении математике (алгебре и геометрии) в 7-9 классах.

Выявить средства формирования исследовательских умений при обучении математике.



Глава I. Теоретические основы использования учебных заданий с элементами истории в основной школе при обучении математике

1.1 Принцип историзма в обучении математике

Чтобы понять сущность принципа историзма, для начала необходимо рассмотреть историю становления этого принципа в обучении.

Вопрос о целесообразности использования элементов истории математики и историко-генетического метода в процессе обучения не является новым. К нему на протяжении 300 лет обращались известные математики и методисты Дж. Валлис, А. К. Клеро, Г. В. Лейбниц, А. Пуанкаре, М. В. Островский, П. Л. Чебышев, В. В. Бобынин, Д. Д. Мордухай-Болтовский, С. И. Шохор-Троцкий, А. Д. Александров, И. И. Баврин, Н. Я. Виленкин, Б. В. Гнеденко, В. А. Гусев, Ю. М. Колягин, А. И. Маркушевич, И. М. Смирнова, И. Ф. Шарыгин и др.

Основные положения этого подхода были сформулированы знаменитым французским математиком Алексисом Клодом Клеро в «Элементарной геометрии». В ней он писал: «Некоторые размышления о происхождении геометрии подали мне надежду избегнуть этих недостатков, стараясь одновременно заинтересовать и просветить учащихся. Я полагал, что наука эта, как и все науки, должна была образоваться постепенно, что вероятно были потребности, которые родили первые шаги науки, и что эти шаги не могли не быть доступными начинающим, потому что они были сделаны начинающими. Желая в этом сочинении следовать по пути основателей геометрии, я прежде всего стараюсь, чтобы начинающие познакомились с правилами, от которых может зависеть измерение земель и расстояний доступных и недоступных. Отсюда я перехожу к другим исследованиям несколько полезных приложений. Таким путем я достигаю возможности изложить всё, что может быть полезного и интересного в элементарной геометрии» [16]. А. Клеро был уверен в том, что этот метод принесёт ещё большую пользу тем, что приучит ум искать и делать открытия, потому что при таком изложении теорем или предложений, в которых доказывается существование истины, указывается каким образом дошли до её открытия.

Мысли Клеро развил знаменитый русский математик М. В. Остроградский, который совместно с французским педагогом А. Блумом в брошюре «Размышления о преподавании» сформулировал свою доктрину образования. Её основными положениями были:

Для педагога нет более увлекательного предмета, чем изучение истории научных изобретений и их творцов, исследование попыток упростить обучение, усовершенствование тех изобретений, которые уже забыты.

Изучение биографии людей, принесших пользу наукам и искусству, является мощным средством привлечения внимания учащихся к математике и демонстрации основных теоретических и прикладных положений.

Умение заинтересовать детский разум и реализация этого положения, в первую очередь, связаны с тем, что при ознакомлении с сущностью любого вопроса необходимо развернуть его историю [16].

Виктор Викторович Бобынин в своих работах наметил программу использования истории математики в процессе обучения учащихся.

Он сделал вывод о том, что « преподавание каждой науки должно идти тем же путем, которым шла при своем развитии сама наука и что, следовательно, для правильной и строго научной постановки дела преподавания, необходимо знать, во-первых, фазы развития науки в прошлом и, во-вторых, законы и вытекающие из них практические условия этого развития.

В «Методике преподавания математике в средней школе» В.М. Брадис пишет о том, «…что качество усвоения математического материала существенно выигрывает, если каждое новое понятие, каждое новое предложение вводить так, чтобы была видна его связь с уже известными учащимся вещами и чтобы была понятна целесообразность его изучения». Такой подход реализуется через связь с историческим подходом. «Обеспечить изложение легче всего на основе истории данного раздела науки, поэтому исторический элемент в деле преподавания представляет собой огромную ценность. Недаром говорится, что полное понимание любого теоретического вопроса достигается лишь тогда, когда становится ясной его история» [16].

В конце XX начале XXI веков в работах В.А. Гусева, И.М. Смирновой, И.Ф. Шарыгина уделяется внимание тому, что в целях обучения геометрии следует обратить внимание на то, что этот раздел математики является феноменом общечеловеческой культуры. «Обучение геометрии должно обобщать исторический путь развития геометрия, передавать подрастающему поколению знания накопленные человечеством на протяжении веков» [16].

При отборе материала необходимо опираться на принцип историзма, так как многие теоремы геометрии представляют собой один из самых древних памятников мировой культуры.

Авторы школьных учебников геометрии считают, что такой подход не сводится к простому соотнесению истории математики с историей культуры, он направлен на переосмысление математики как феномена культуры.

Против того, чтобы в практике преподавания и построения учебных математических курсов забывалась история вопроса, выступал и великий русский математик А.Н. Колмогоров [16].

1.1.1 Роль и место курса истории математики при конструировании курса математики

Настоящее время характеризуется усилением внимания к гуманитарному потенциалу математического образования. Это связано с тенденцией мирового образовательного процесса по приобщению учащихся к духовной культуре, развитию их творческой деятельности, самостоятельному открытию новых знаний. Одним из условий эффективного решения этой проблемы является построение процесса обучения на основе принципа историзма, который в существующей практике обучения реализован достаточно слабо. Это, в первую очередь, обусловлено отсутствием целенаправленной подготовки будущих учителей математики в данном направлении.

Для осуществления процесса обучения историко-математических позиций учитель математики должен:

а) понимать сущность принципа историзма и соответствующего ему историко-генетического метода обучения, возможности его реализации;

б) осознавать, какими историко-математическими знаниями и методическими умениями ему необходимо владеть;

в) обладать сформированной системой методических умений по работе с историко-математическим материалом.

Данные положения представляют в самом обобщенном виде направления программы подготовки будущего учителя математики и реализации на практике принципа историзма.

В докладе А.И. Маркушевич «О повышении идейно-теоретического уровня преподавания математики в средней школе» говорил о том, что «…в процессе преподавания математики, на ее роль в системе наук, на ее применение в технике. В связи с этим следует уделять достаточное внимание сообщению сведений по истории математики, разъясняя в особенности значение и роль выдающихся математиков»

В 70-х годах в работах Б.В. Гнеденко и Н.Я. Виленкина много внимания уделялось использованию исторических сведений в воспитании учащихся. Они считали, что улучшению преподавания математики будет способствовать хорошее знакомство учителя с историей развития арифметики, геометрии, алгебры и математического анализа. Обеспечить овладение научными знаниями школьниками возможно при использовании научного принципа историзма, который позволяет сформулировать принципы отбора самого существенного в основах современной математики и в ее развитии.

Работа, связанная с поиском, изучением и отбором, адаптацией историко-математического материала, моделированием на этой основе учебного процесса, достаточно разнообразна по содержанию, сложности и творчеству. Для конструирования курса математики необходимо:

Во-первых, поиск, отбор первоисточников и историко-математической литературы, в которых представлены история становления и развития математической теорий, терминологии по той или иной теме школьного курса математики, по тому или иному методу (приему, способу) решения задач. Для этого предлагаются задания:

из списка выбрать источники, в которых представлен материал по истории становления определенного раздела математики;

осуществите подбор литературы по истории развития определенной математической теории в указанный временной период;

провести подбор учебно-методической литературы, в которой раскрыты возможности использования элементов истории математики при изучении определенной темы школьного курса математики.

Во-вторых, детальное изучение найденной литературы, анализ, структурирование материала, представленного в ней. Для этого предлагается:

изучив, историко-математическую литературу, посвященную определенной математической теории, выделить основные типы ее развития, концептуальные положения, связанные с каждым этапом. Указать имена ученых, внесших существенный вклад в развитие данной теории;

выделить методы решения задач, символику, используемую на каждом этапе становления изучаемой математической теории;

составить структурную схему, отражающую в хронологическом порядке этапы развития изучаемой математической теории.

В-третьих, выделить из источников ту информацию, которая может быть использована на уроках математики или во внеклассной работе:

установить, какие фрагменты того или иного раздела математики изучаются или могут быть рассмотрены в школьном курсе (в рамках обязательной программы или внеклассной работы);

определить, какие исторические задачи, ситуации могут быть использованы при изучении фрагментов математической теории в школе и с какой целью;

выяснить, следует ли излагать учащимся историко-математический материал в оригинальной форме или его надо цитировать с учетом современной терминологии, символики.

В-четвертых, выявить те фрагменты учебного процесса, где целесообразно использовать выделенный исторический материал. Для этого:

определить, каково ведущее образовательное (развивающее, воспитательное) значение использования того или иного историко-математического факта. Какого, исходя из этого, его место в процессе обучения учащихся;

установить, формированию, каких качеств личности ученика способствует изучение историко-математического материала? Где, на каком этапе процесса обучения его целесообразно использовать?

И только потом, реализация принципа историзма в обучении математики. Это возможно, если выполняются задания по определению места историко-математического материала в содержании целостной темы (раздела, линии) школьного курса математики, установлению образовательных, воспитательных и развивающих целей его использования, выявлению способов его предъявления, моделированию соответствующих фрагментов учебной деятельности учащихся и конструированию необходимых учебных материалов [16].

1.1.2 Анализ действующих учебников по математике с точки зрения использования исторического материала

Проведем анализ некоторых учебников с точки зрения использования в них исторического материала.

Учебники М.И. Башмакова:

В алгебре 7 класс на уроке № 2 «Составляем алгебраические выражения» приводится исторический материал о том, что «обозначения, которыми мы сейчас пользуемся, для записи формул и математических выражений начали создаваться в XVI - XVII веках» [10, стр.10]. В конце изучения темы «Алгебраические выражения» проводится беседа, которая называется «Знакомимся с историей алгебры». В ней рассказывается о Диофанте и приводится «задача, которая сохранилась в надписи на его гробнице» [10, c.26]. Решение этой задачи рассматривается как пример на уроке № 5 «Обсуждаем решение уравнений».

Так же рассказывается об Аль-Хорезми, дается его задача о решении квадратного уравнения, а затем дается задание учащимся «способом Аль-Хорезми найти один корень уравнения » [10, с. 27].

В § 2 «Степени» на уроке № 10 «Перемножаем одинаковые буквы» рассказывается о знаменитом индийском математике Рамануджан и его способности распознавать свойства чисел [10, с. 30]. В заключении § 2 в беседе «Оцениваем рост степени» приводится индийская легенда о создателе шахмат и правителе. [10, с.40].

Следующее знакомство с историей математики приводится в конце § 3. Здесь рассказывается о Фибоначчи и его последовательности, а так же о том, как появилась эта последовательность [10, c. 54]. Далее рассматривается история об Франсуа Виете и уравнение, к которому Виет нашел 23 корня. [10, c. 55]

Здесь же говорится об Эваристе Галуа и его вкладе в математику. Приводится пример о поле, которое носит его имя и предлагается обучающимся найти значения выражения в поле Галуа[10, c. 55].

§ 5 в этом учебнике называется «Бином Ньютона» и на первом уроке дается понятие бинома Ньютона, и чье имя он носит[10, c. 74].

На 3 уроке этой темы рассказывается о числовом треугольнике, называемом треугольник Паскаля.[10, c. 78]. Но подробнее об этом рассматривается в беседе «Исследуем треугольник Паскаля» в конце § 5 [10, c. 84].

Алгебра 8 класс. § 2 «Квадратные корни» начинается с истории «Развития понятия числа». В этом пункте говорится о Пифагоре, Декарте и его значении в развитии математики. Далее рассказывается о немецком математике XIX века Кронекере и его вкладе, о Евклиде и его уравнении , приводящие к понятию иррациональных чисел. Затем рассматриваются комплексные числа и вклад Гаусса в развитие теории комплексного числа. [11, c. 90-91].

§ 3 начинается с рассмотрения решения квадратных уравнений в древности. Дается задача древнего Вавилона и говорится о ее решении, упоминаются «Начала» Евклида и одна из его теорем, анализируется знаменитое уравнение Аль-Хорезми[11, c. 144-145]. В беседе, которая представлена в конце § 3, говорится об итальянском математике Д. Кардано и открытии им формулы корней кубического уравнения, его ученике Феррари и решении уравнения четвертой степени, о замечательном открытии Абеля, Галуа, Руффини.

В беседе к § 4, рассказывается о появлении знаков >,<, об одной из первых знаменитых «задач на неравенства» из «Начал» Евклида. Говорится о О. Коши и его вкладе в развитие математики. Приводится индийская задача XII века, решаемая с помощью квадратных уравнений. Упоминается о Декарте, Ферма, Галилео, Ньютона, Лейбница. Даются определения функции, данное И. Бернулли, Л. Эйлером, Н.И. Лобачевским. [11, c.230-233].

Учебники Ю.Н. Макарычева и др.

«Алгебра 7» класс. В теоретическом материале практически отсутствуют исторические факты. Только как сноски на некоторых страницах упоминается по два - три предложения о математиках и их работы: Аль-Хорезми, Г.В. Лейбниц, С.А. Лебедев, Евклид, П. Ферма, Р. Декарт. Но в конце учебника приводятся «Исторические сведения», которые распределены на пункты: «Когда появилась алгебра», «О функциях», «Формулы сокращенного умножения», «О методе координат», «Вычислительные средства» [3, c. 205-207].

«Алгебра 8» класс. Так же как и в учебнике 7 класса приводятся сноски о математиках и их работы: И. Ньютоне, Карле Вейерштрассе, Франсуа Виете, Архимеде, А.Н. Крылове. В конце учебника есть глава, которая называется «Исторические сведения». В ней рассказывается история о дробях, действительных числах, квадратных корнях, квадратных уравнениях, неравенствах, приближенных вычислениях [4, c. 211-216].

Такая же стилистика и в учебнике «Алгебра 9» класса. В ней приводятся исторические сведения о таких ученых как Н.И. Лобачевский, П. Дирихле, Н. Абель, Эварист Галуа, К. Гаусс, Диофант, К. Птолемей и Л. Эйлер.

В главе «Исторические сведения» написано о функциях, об уравнениях высших степеней, о прогрессиях, комплексных числах, степенях и тригонометрии [5].

Учебники Н. Я. Виленкина и др.

Алгебра 8 класс. В этом учебнике есть пункт, который называется «Теорема Безу», но здесь рассматривается деление многочлена на двучлен и в конце доказательства говорится, что «мы доказали следующее утверждение, принадлежащее французскому математику Э. Безу (1730-1783)» [1, c. 68].

В главе III «Делимость чисел» упоминается об итальянском математике Дж. Пиано и выделяются свойства отношения, которые он сформулировал [1, c. 85].

В пункте 8 этой главы упоминается о петербургском академике Христиане Гольдбахе и его предложении о четных числах, об Иване Матвеевиче Виноградове и его доказательстве о нечетных чисел, о Льве Генриховиче Шнирельмане и его доказательстве о натуральных числах. [1, c. 104-105].

В пункте 11 «Принцип Дирихле» рассказывается об этом математике, формулируется сам принцип и дается его доказательство. Но этот пункт «выходит за рамки программы для 8-го класса с углубленном изучением математики» [1, c. 112].

В пункте 5 «Координаты точки на прямой линии и на плоскости» главы IV упоминается о Р. Декарте и систем координат, которые он ввел [1, c. 130].

В пункте «Теорема Виета» говорится, что доказанна теорема, впервые установленная французским математиком Ф. Виетом» [1, c. 181].

Хотя этот учебник предназначен для классов с углубленном изучением математике, но исторический материал очень скудный, то есть напечатано всего по одному предложению.

Алгебра 9 класс. Курс начинается с изучения множеств, и здесь рассказывается об истории создания этой области математики Г. Кантором. [2, c. 3].

Следующая историческая справка встречается через несколько глав при изучении последовательностей. Написано о последовательности Фибоначчи и приводится сноска из истории о нем [2, c.216].

При изучении геометрической прогрессии приводится индийская задача о создателе шахмат и царе [2, c. 232].

При изучении комбинаторики упоминается о том, что «аксиоматический метод введения вероятности предложил А.Н. Колмогоров» [8, c.351].

Учебники Дорофеева Г.В. и др.

7 класс. В структуре учебного материала очень мало исторических фактов. Но в этом учебнике приводятся старинные задачи. Например, формулы квадрата суммы и квадрата разности Евклида [22, c. 205]. В пункте « Решение уравнений» говорится о Мухаммеде Бен Мусе аль-Хорезми и описанным им приеме решения уравнений. При изучении темы « Частота и вероятность» приводится историческая справка об экспериментаторах Жорже Луи де Бюффоне и Карле Пирсоне и подбрасывании монетки.

8 класс. В пункте «Теорема Пифагора» рассказывается о том, что та теорема была известна задолго до самого Пифагора [23, c. 83], в пункте «Теорема Виета» написано о ее создателе [23, c. 149]. При изучении равновозможных событий рассматривается задача Даламбера [23, c. 285].

9 класс. При изучении числовых последовательностей предлагается рассмотреть старинную задачу, которая описана в книге Л. Фибоначчи [24, c. 226]. В пункта «Сумма первых n членов арифметической прогрессии приводится исторический факт о немецком математике К. Гауссе, при изучении суммы первых n членов геометрической прогрессии приводится индийская легенда о изобретателе шахмат и принце [24, c. 270]. В учебном материале рассматривается треугольник Паскаля [24, c. 270]. В главе “Статистические исследования» приведены сведения о возникновении статистки [24, c. 300].

Учебники Муравина Г.К. и др.

7 класс. Обращение к семиклассникам начинается с истории возникновения алгебры [6, c. 5]. В пунктах «Решение уравнений», говорится о том, что прием переноса числа из одной части равенства в другую впервые описал Аль-Хорезми [6, c.23], «Определение степени с натуральным показателем» есть сноска, в которой написано кто и когда впервые начал использовать обозначения степени, «Равновероятные возможности» приводится историческое сведение о парадоксе Жана Буридана [6, c. 155], «Число вариантов» [6, c. 157] рассказывается о комбинаторике как науке и об ученых, которые первые стали работать над этой областью математики.

Присутствуют задачи о различных открытиях: Открытие Пифагора (№ 17), Леонард Эйлер обнаружил, что некоторые числа, полученные по формуле, являются простыми (№ 67). Приводится сноска - историческая справка об Эйлере [6, c. 27]. Задача из трактата «Арифметика в 9 книгах» (№ 114), Задача - исторический факт о поисках формулы по нахождении простых чисел (№ 237), Задача из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона (№ 590), Задача из папируса Ахмеса (№ 591), Задача математика Бхаскары (№ 592), Задача Метродора о жизни Диофанта (№ 593).

В главе «Повторение» рассматриваются пункты, в которых описывают исторические сведения о выражениях, функциях и графиках, тождественные преобразования, уравнения и системы уравнений [6, c. 175-199].

8 класс. В этом учебнике выделяется отдельный пункт «Сведения из истории математики». В нем рассматривается история о дробях, отрицательном и нулевом показателе степени, квадратном корне, иррациональных числах и квадратных уравнениях [7, c. 160-164].

9 класс. В пунктах «Терема Безу и следствие из нее» написано об истории открытия и доказательства этой теоремы [8, c. 74], «Сумма первых n членов прогрессии» приводится старинная легенда об индийском радже и изобретателе шахмат [8, c. 178]. Так же приводятся старинные задачи: №№ 3, 4, 402 из «Арифметики» Магницкого.

Отдельно выделяется глава «Сведения из истории математики», в которой рассказывается о неравенствах, приближенных вычислениях, корнях и степенях с дробными показателями, арифметической и геометрической прогрессиях, вероятности и статистике [, c. 245-250].

Вывод: с точки зрения историзма, наиболее удачно составлены учебники авторов Башмакова М.И., Муравина Г.К. и др. Именно эти учебники я хотела бы использовать при дальнейшей работе.

1.2 Развитие исследовательских умений учащихся 7-9 классов при обучении математике

1.2.1 Сущность и структура исследовательских умений

Одна из основных задач школы - включение ребенка в активный процесс познания мира, себя в этом мире. Эта задача облегчается, когда учитель является носителем традиции науки и исследовательской деятельности.

Исследование деятельности в отечественной психологии происходило с диалектико-материалистических позиций философского понимания этой категории. Начиная с 20-х гг., общепсихологическую теорию деятельности разрабатывали многие отечественные ученые, но самые значимые результаты здесь принадлежат С.Л. Рубинштейну [30] и А.Н. Леонтьеву[20]. А. Н. Леонтьев определяет деятельность человека как «молярную единицу его индивидуального бытия, осуществляющую то или иное жизненное его отношение… Деятельность - активное взаимодействие с окружающей действительностью, в ходе которого живое существо выступает как субъект, целенаправленно воздействующий на объект и удовлетворяющий таким образом свои потребности» [20].

В реальной жизни мы имеем дело с определенными видами деятельности: коммуникативной, игровой, учебной и т.д. Ряд ученых говорят о том, что существует особая, выделенная от других деятельность, которую называют исследовательской деятельностью.

Есть и другие трактовки понятия деятельности. Например, «деятельностью называют процесс активности человека, характеризуемый предметом (на что направлен данный процесс), потребностью и мотивом, целями и условиями их достижения, действиями и операциями» [17].

Главная цель исследования - установление истины, «наблюдение» за объектом, по возможности без вмешательства в его внутреннюю жизнь. Источник исследования кроется в свойственном человеческой природе стремлении к познанию.

Спонтанное, неосознанное исследование свойственно человеку, оно всегда сопровождает его независимо от способностей и социального статуса, являясь мощным средством освоения действительности. С появлением науки исследование становится явлением культуры и выделяется отдельная группа людей - ученые, главным видом деятельности которых является исследование. Постепенно в общественном сознании закрепляется стереотип, что исследование, как способ деятельности, ограничивается сферой науки. С.И. Ожегов [27], говорит, что слово «исследование» имеет два значения:

Исследование - изучение, выяснение чего-нибудь;

Исследование - научный труд.

В. Оконь [28] в отличие от С.И. Ожегова [27] дает другое определение: исследование - настойчивые и объективные поиски решения проблемы, опирающиеся на проверенные и обобщенные факты. Решение проблемы, по мнению, Оконя [28], должно отвечать истине, а значит, соответствовать действительности, причем критерием этой истинности служат опыт и практика. Потребности являются главной движущей силой в процессе исследования, а главная цель этого процесса - изменение действительности. В. Оконь [28] выделяет три этапа исследования:

наблюдение определенных вещей, явлений или процессов;

создание гипотезы на основе наблюдаемых фактов и зависимостей между ними;

опытная проверка гипотезы, которая осуществляется посредством вывода из гипотезы заключений или экспериментом.

Исходным пунктом любого исследования является проблема. В философии проблема понимается как знание о незнание. В. Оконь [28], проводя аналогию между процессом обучения и исследования, проводит следующее описание проблемы в обучении:

проблема должна предоставлять из себя жизненную ситуацию, относительно легко привлекающую внимание детей и обращенную к интересам и опыту;

в каждой ситуации выступает, по крайней мере, одна проблема и, как правило, решение ее связано с большими трудностями;

ощущение трудности является отправным пунктом для формирования проблем и гипотез или предварительного решения каждой из них;

весь этот процесс заканчивается решением проблемы, которое является результатом отклонения ошибочных гипотез и выбора правильных;

динамичность ситуации, которая заключается в естественном переходе от одной ситуации к другой, в вызывании посредством данной ситуации все новых ситуаций, позволяющих таким образом всесторонне осветить познаваемые вещи, явления и процессы или события, а так же возникающие между ними отношения, связи и зависимости.

Для того чтобы ученик мог успешно осуществлять поиск решения новой для него проблемы, он должен владеть необходимыми познавательными умениями.

Психолого-педагогическая сущность умения состоит в том, что умение человека означает проявленную (доказанную) им готовность к достижению цели в соответствующей деятельности путем осуществление ее под более или менее строгим контролем со стороны мышления, со знанием всей (или части) системы составляющих действий.

В дальнейшем будем понимать умение как готовность сознательно и самостоятельно выполнять практические и теоретические действия на основе усвоенных знаний и жизненного опыта.

Умения, которые необходимы для успешного поиска решения и решения проблемы назовем общими исследовательскими умениями, так как необходимы при решении проблем в любой сфере деятельности. Общие исследовательские умения - это познавательные умения, обеспечивающие успешное осуществление поиска решения новой проблемы. Общие исследовательские умения могут использоваться учащимися при решении широкого круга задач не только в рамках одного предмета, но и на уроках по другим предметам, а так же в разнообразной практической деятельности.

В стратегии поисковой деятельности выделяют четыре этапа решения новой проблемы:

Изучение условия задачи. Выясняется сущность возникшей проблемы, и выявляются важнейшие данные, которые можно использовать для ее решения.

Создание общего плана предполагаемых действий, то есть разработка стратегий решения проблемы.

Разработка тактики решения: выбор того или иного конкретного метода решения.

Сопоставление результатов с исходными данными.

На основе этих четырех этапах можно выделить следующие структурные элементы общих исследовательских умений:

уметь ставить цель работы;

уметь критически анализировать условие заданной ситуации;

уметь выдвигать и обосновывать гипотезы;

уметь планировать решение проблемы;

уметь анализировать результат.

1.2.2 Средства формирования исследовательских умений учащихся при обучении математике

В дидактике и педагогики под понятием средства обучения понимаются материальные объекты и носители учебной информации и предметы естественной природы, а так же искусственно созданные человеком и используемые педагогами и учащимися в учебном процессе в качестве инструмента их деятельности [18], [19].

Задачи в обучении математике играют очень большую роль. Фридман Л.М. [34] в одной из своих работ определяет значение этой роли с двух сторон. С одной стороны, он говорит о том, что «конечные цели этого обучения сводятся к овладению учащимися методами решения определенной системы математических задач. С другой стороны, он выделяет то, что «полноценное достижение целей обучения возможно лишь с помощью решения учебных и математических задач». Он приходит к выводу, что « решение задач в обучении математике выступает и как цель и как средство обучения».

Выделим различия математической задачи и учебной. Стефанова Н.Л. и др.[25] выделяют то, что «в математической задаче получают математический факт (корень уравнения, график функции и т.д.)

В учебной задаче - учебный факт, т.е. знание на уровне обобщения, когда оно выполняет функции метода обучения или учебного познания».

Вовлечение учащихся в учебно-исследовательскую деятельность приводит к необходимости составления соответствующих исследовательских заданий.

Исследовательские задания нестандартны по формулировке проблемы, по способам нахождения их решения, для них характерны как многовариантность способов их решения, так и верных ответов. Для их решения необходимо выдвижение нескольких мощных идей, связывающих различные разделы математики (геометрию и комбинаторику, геометрию и математический анализ и т. п.) Решение их может быть получено только путем следования известному алгоритму, оно требует выдвижения нескольких гипотез, поиск решения их не обходится без догадок, эвристик. Процесс решения исследовательских заданий не конечен: полученное решение порождает новую проблему, имеет свое развитие, углубление в сформулированную проблему. Исследовательское задание представляет собой серию задач, составляющих как бы единое целое, так как в ней рассматривается общая проблема, которая реализуется в различных частных случаях. Результатом решения исследовательского задания является не только получение новых сведений об исследуемом объекте, но и получение новых, раннее неизвестных учащимися методов решения.

И.Я. Лернер [21], под исследовательской задачей понимает задачу, в основе которой лежит противоречие между известным и искомым, находимым при помощи системы действий умственного или практического характера, смысл которых - в обнаружении не заданных в условии задачи связей, а в построении неизвестных субъекту преобразований. В. Оконь [28] под задачами-проблемами понимает такие задачи, в которых содержится определенная практическая или теоретическая трудность, требующая исследовательской активности, приводящей к решению. 

1.3 Типы и структура учебных заданий по математике с элементами историзма

Что же такое учебное задание? На этот вопрос можно ответить с точки зрения учебной деятельности. Её «основным структурным компонентом является учебная задача. Цель этой задачи - развитие обучающегося, подведение его к овладению обобщенными (основными) отношениями в рассматриваем области, к усвоению и овладению новыми способами действий.

Учебная задача - это обобщенная цель деятельности, поставленная (сформулированная) перед учащимися в виде обобщенного учебного задания, например: осознать и усвоить способ действия по решению дробно-рациональных уравнений.

Учебная задача (с позиции методики обучения) есть синтез предметной задачи (задач) и учебных целей (цели)» [17].

В своей работе, Баранова Е.В. [9], выделяет типы учебных заданий, которые способствуют актуализации и обогащению различных форм умственного опыта учащихся. К ним относятся учебные задания:

а) направленные на актуализацию и обогащение понятийного опыта;

б) формирующие умение планировать, контролировать учебную деятельность, развивающие открытую познавательную позицию учащихся;

в) учитывающие эмоционально - оценочный опыт школьников и формирующие ценностное отношение к математическому материалу.

Для формирования понятийного опыта - это

задание - мотивировка;

задание - история формулировки;

задание - освоение математической символики;

задание - поиск формулы;

задание - история развития понятий;

задание - значение термина;

задание - свойства понятий;

задание - история алгоритма.

Для метакогнитовного опыта - это

задание - проблематизация;

задание - поиск ошибок;

задание - столкновение разных мнений.

Для эмоционально - оценочного опыта - это

1. задание - эмоциональное впечатление;

2. задание - микросочинение с элементами истории науки;

3. задание - биография.

Структура таких заданий:

· первая часть задания представляет собой текст из истории математики,

· вторая часть задания содержит вопросы для школьников, способствующие установлению связей данного исторического факта с учебным материалом школьной математики и формированию различных форм умственного опыта учащихся.

Приведем примеры некоторых выделенных типов заданий.

Задание - освоение математической символики:

«Крупнейший европейский алгебраист XVI века Лука Пачоли (1445-1517), называвший алгебру «великим искусством», значительно усовершенствовал алгебраическую символику. Уравнение в символике Пачоли записывается так: 5 ce p 2 co равно 4 co m nє3.

Найдите соответствия в записях между уравнением в символике Л.Пачоли и уравнением, записанном в современном виде. Назовите, как в данном уравнении обозначена неизвестная, квадрат неизвестного, свободный член уравнения, действия сложение, вычитание.

Записать уравнение в символике Пачоли» [9].

Задание-история формулировок:

«Прочти правило, составленное индийским математиком Брахмагуптой (род. 598 г.). «Сумма двух имуществ есть имущество, двух долгов - долг, имущества и долга - их разность, а если они равны - нуль. Сумма нуля и долга есть долг, имущества и нуля - имущество, двух нулей - нуль».

Что в этом правиле понимается под словами «имущество», «долг»?

«Переведите» этот текст на современный математический язык.

Попытайтесь представить правило схематически [9].

Задание-поиск формулы:

«прочтите текст из сочинения аль Хорезми об уравнении вида

(b>0, c>0).

«Что касается квадратов и чисел, равных корням, если, например, ты скажешь: квадрат и число двадцать один дирхем, получится равное десяти корням этого квадрата. То правило его таково: раздвой [число] корней, получится пять. Умножь это на равное ему, будет двадцать пять. Вычти из этого двадцать один, которые, как сказано, было с квадратом, останется четыре. Извлеки из этого корень, будет два. Вычти это из половины [числа] корней, т.е. пять, останется три: это и будет корень квадрата, который ты искал. Его квадрат - девять: если хочешь прибавить этот корень к половине [числа] корней, будет семь, это [тоже] корень квадрата, который ты искал, его квадрат сорок девять. …Знай, что если в этой главе ты раздвоил [число] корней и умножил на равное ему и произведение оказалось меньше [числа] дирхемов, сложенных с квадратом, задача не возможна. А если оно в точности равно [числу] дирхемов, корень квадрата равен половине числа корней без сложения и вычитания. Всегда, когда тебе встречаются два квадрата, или больше, или меньше, приведи их к одному квадрату».

Запишите в современных обозначениях уравнение, о котором пишет аль Хорезми, решите его. Сравните ваш ответ с ответом автора.

Запишите приведенное в тексте правило в виде формулы. Сравните с современной формулой.

Что по-вашему мнению, в тексте означает фраза «…задача невозможна»? Найдите зависимость между коэффициентами уравнения . Когда задача «невозможна».

Что означает фраза в тексте «…корень квадрата равен половине [числа] корней без сложения и вычитания»?

Что, по-вашему мнению, означает фраза из текста «…когда тебе встречаются два квадрата, или больше, или меньше, приведите их к одному квадрату…»?



Библиографический список

Алгебра : для 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики/ Н.Я. Виленкин [и др.]; под ред. Н.Я. Виленкина. М.: Просвещение, 1998. 256 с.

Алгебра для 9 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики/ Н.Я. Виленкин [и др.]; под ред. Н.Я. Виленкина. М.: Просвещение, 1998. 384 с.

Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений/. Макарычев Ю.Н [ и др.]; под ред. С.А. Теляковского. М.: Просвещение, 2002. 223 с.

Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ Макарычев Ю.Н [ и др.]; под ред. С.А. Теляковского. М.: Просвещение, 2001. 238 с.

Алгебра: учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений/ Макарычев Ю.Н [ и др.]; под ред. С.А. Теляковского. М.: Просвещение, 2004. 270 с.

Алгебра 7 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений/ Муравин Г.К. [и др.]. М.: Дроф, 2007. 286, [2] с.

Алгебра 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений/ Муравин Г.К. [и др.]. М.: Дроф, 2004. - 208 с.: ил.

Алгебра 9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений/ Муравин Г.К. [и др.]. М.: Дроф, 2007. - 316, [4] с.: ил.

Баранова Е.В. Методические основы использования учебных исследований при обучении геометрии в основной школе: автореф. дисс…канд. пед.наук. Саранск: АГПИ им. А.П. Гайдара, 1998. 17с.

Башмаков М.И. Алгебра: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений. М.: Просвещение, 2003. 320 с.: ил.

Башмаков М.И. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений. М.: Просвещение, 2004. 287 с.: ил.

Виноградова Л.В. Развитие мышления учащихся при обучении математике. Петрозаводск: Карелия, 1989. 172 с.

Глейзер Г.И. История математике в школе: IV - VI кл. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1981. 239 с.

Глейзер Г.И. История математике в школе: VII - VIII кл. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1981. 239 с.

Гусев А.В. Психолого-педагогические основы обучения математике. М.: ООО «Издательство «Вербум-М», ООО «Издательский центр «Академия», 2003. 432 с.

Дробышев Ю.А. История математики: пути формирования знаний о методах решения алгебраических уравнений. Учебное пособие для студентов высших учеб. заведений, обучающихся по спец-ти 032100 Математика. Калуга.: Изд-во КГПУ им. К.Э. Циолковского, 2004. 164с.

Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1990. 128 с.: ил.

Загрекова Л.В., Николина В.В. Дидактика: Учеб. пособие для студ. высш. учеб. завед. М.: Высш. шк., 2007. 383 с.

Каменская Е.Н. Педагогика: Учебное пособие. М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2007. 320 с.

Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность: Учебное пособие для вузов. М.: Смысл: Академия, 2005. 346 с.

Лернер И.Я. Процесс обучения и его закономерности. 1980.

Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. 7 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений/ Дорофеев Г.В. [и др.]; под ред. Г.В. Дорофеева. М.: Дрофа, 1998. 288 с.

Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений/ Дорофеев Г.В. [и др.] под ред. Г.В. Дорофеева. М.: Дрофа, 2001. 352 с.

Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений/ Дорофеев Г.В. [и др.]; под ред. Г.В. Дорофеева. М.: Дрофа, 1999. 304 с.

Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов/ под научн. ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой. М.: Дрофа, 2005. 416 с.

Мочалов Н.М. Методы проблемного обучения и границы их применения. Казань: Издательство казанского университета, 1979.

Ожегов С.И. Словарь русского языка. Ок. 57000 слов. М.: Русс.яз., 1988. 750 с.

Оконь В. Основы проблемного обучения. М.: Просвещение, 1968.

Перельман Я.И. Занимательная алгебра. М.: Государственное изд-во Технико-теоретической литературы, 1955. 184 с.

Рубинштейн С.Л. Основы общей психологии. СПб: Питер, 2007. 712 с.

Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов. М.: Просвещение, 2002. 224 с.

Селевко Г.К. Энциклопедия образовательных технологий: В 2 т. Т.1. М.: НИИ школьных технологий, 2006. 816 с.

Столяр А.А. Педагогика математики. Минск: Вышэйшая школа, 1969

Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе: Учителю математике о пед. психологии. М.: Просвещение, 1983. 160 с.

Размещено на Allbest.ru