Система нестандартных задач как средство развития логического мышления учащихся 5-6 классов на уроках математики

Размещено на http://www.allbest.ru

1

Оглавление

Введение

Глава 1 Теоретические основы развития логического мышления учащихся 5-6 классов при решении нестандартных задач

1.1 Сущность развития логического мышления детей среднего школьного возраста

1.2. Обучение учащихся решению нестандартных задач на уроках математики.

1.3. Система учебных заданий, направленных на развитие логического мышления

Глава 2 Применение нестандартных задач на уроках математики 5-6 классах для развития логического мышления

2.1. Построение системы нестандартных задач, направленных на развитие логического мышления учащихся 5-6 классов

2.2. Методические рекомендации по использованию составленной системы задач

2.3. Описание и результаты экспериментальной работы

Заключение

Использованная литература

Приложение



Введение

Актуальность исследования. Необходимым условием качественного обновления общества является умножение его интеллектуального потенциала. Решение этой задачи во многом зависит от построения образовательного процесса. Большинство существующих образовательных программ ориентированы на передачу обучаемым общественно необходимой суммы знаний, на их количественный прирост, на отработку того, что ребёнок уже умеет делать. Однако умение использовать информацию определяется развитостью логических приёмов мышления и, в ещё большей мере, степенью их оформленное систему. Потребность в целенаправленном формировании логического мышления в процессе изучения конкретных образовательных дисциплин уже осознаётся психологами и педагогами.

Работа над развитием логического мышления учащихся идёт без осознания значимости психологических приёмов и средств в этом процессе. Это приводит к тому, что большинство учащихся не овладевают приёмами систематизации знаний на основе логического мышления даже в старших классах школы.

Наиболее доступным средством решения этой проблемы будет введение в курс математики нестандартных задач. Нестандартные задачи формируют у школьников высокую математическую активность, качества, присущие творческой личности: гибкость, оригинальность, глубину, целенаправленность, критичность мышления. Нестандартные задачи всегда подаются в увлекательной форме, они прогоняют интеллектуальную лень, вырабатывают привычку к умственному труду, воспитывают настойчивость в преодолении трудностей.

Именно при решении нестандартных задач оттачивается, шлифуется мысль ребенка, мысль связанная, последовательная, доказательная. Решая задачи, представленные в продуманной математической системе, учащиеся не только активно овладевают содержанием курса математики, но и приобретают умения мыслить творчески. Учащиеся должны уметь решать не только стандартные задачи, но требующие известной независимости мышления, оригинальности, изобретательности. (Л.П.Терентьева Решение нестандартных задач уч. пособие Ч. 2002 стр.3)

Проблема исследования: Недостаточно полно используются возможности нестандартных задач для подготовки учащихся 5-6 классов к воспитанию смысловой и образной памяти, умения работать с математическими учебными текстами.

Данная проблема позволила сформулировать тему исследования: «Система нестандартных задач как средство развития логического мышления учащихся 5-6 классов на уроках математики».

Объект исследования: является процесс обучения математике в 5-6 классах.

Предмет исследования: нестандартные задачи как средство развития логического мышления учащихся на уроках математики в 5-6 классах.

Цель исследования: систематизация нестандартных задач и обоснование места и времени их применения в процессе обучения математике в 5-6 классах для развития логического мышления учащихся.

Гипотеза исследования: развитие логического мышления учащихся будет более эффективным, если обучение на уроках математики будет обеспечиваться системой нестандартных задач, с обоснованием времени и места их использования на различных этапах урока.

В соответствии с целью, гипотезой, объектом и предметом исследования поставлены следующие задачи:

1) изучить и проанализировать психолого-педагогическую, научно-методическую, учебно-методическую литературу по теме: “Система нестандартных задач как средство развития логического мышления учащихся 5-6 классов на уроках математики»;

2) систематизировать нестандартные задачи по методам их решения и по содержанию;

3) разработать методические рекомендации по использованию составленной системы задач на уроках математики 5-6 класса;

4) провести педагогический эксперимент и проанализировать его результаты.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы педагогического исследования:

? изучение и анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы;

? анализ учебников по математике Н.Я. Виленкина, Э.Р. Нуркова, Г.В. Дорофеева;

? анкетирование, тестирование, самостоятельные работы, беседы с учителями и учащимися;

? проведение педагогического эксперимента и анализ его результатов.

Методологической основой исследования явились труды Л.М. Фридмана, Д. Пойя, Л.С. Выготского, С.Л. Рубинштейна, Ж. Пиаже, П.П. Блонского, Л.С. Выготского, П.Я. Гальперина, В.В. Давыдов, Д.Б. Эльконина.

Практическая значимость заключается в том, что выводы и результаты дипломной работы могут быть использованы в учебно-воспитательном процессе общеобразовательных учреждений.

На защиту выносятся:

? система нестандартных задач по математике для учащихся 5-6 класса;

? методические рекомендации по использованию составленной системы нестандартных задач.

Дипломная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы и приложения.



Глава 1. Теоретические основы развития логического мышления учащихся 5-6 классов при решении нестандартных задач

1.1 Сущность развития логического мышления детей среднего школьного возраста

Прежде чем рассмотреть развитие логического мышления у детей, определим, что такое мышление как психофизиологический процесс в целом.

Предметы и явления действительности обладают такими свойствами и отношениями, которые можно познать непосредственно, при помощи ощущений и восприятий (цвета, звуки, формы, размещение и перемещение тел в видимом пространстве), и такими свойствами и отношениями, которые можно познать лишь опосредованно и благодаря обобщению, т.е. посредством мышления. Мышление - это опосредованное и обобщённое отражение действительности, вид умственной деятельности, заключающейся в познании сущности вещей и явлений, закономерных связей и отношений между ними [20, с.9].

Первая особенность мышления - его опосредованный характер. То, что человек не может познать прямо, непосредственно, он познаёт косвенно, опосредованно: одни свойства через другие, неизвестное - через известное. Мышление всегда опирается на данные чувственного опыта - ощущения, восприятия, представления - и на ранее приобретённые теоретические знания. Косвенное познание и есть познание опосредованное.

Вторая особенность мышления - его обобщённость. Обобщение как познание общего и существенного в объектах действительности возможно потому, что все свойства этих объектов связаны друг с другом.

По мнению Е.Г. Ревиной, мышление - высшая ступень познания человеком действительности. Чувственной основой мышления являются ощущения, восприятия и представления. Через органы чувств - эти единственные каналы связи организма с окружающим миром - поступает в мозг информация. Содержание информации перерабатывается мозгом. Наиболее сложной (логической) формой переработки информации является деятельность мышления. Решая мыслительные задачи, которые перед человеком ставит жизнь, он размышляет, делает выводы и тем самым познаёт сущность вещей и явлений, открывает законы их связи, а затем на этой основе преобразует мир. Мышление не только теснейшим образом связано с ощущениями и восприятиями, но оно формируется на основе их. Переход от ощущения к мысли - сложный процесс, который состоит, прежде всего, в выделении и обособлении предмета или признака его, в отвлечении от конкретного, единичного и установлении существенного, общего для многих предметов [25, с.141].

В работах В.В. Левитеса [9, с.105]. мышление выступает главным образом как решение задач, вопросов, проблем, которые постоянно выдвигаются перед людьми жизнью. Решение задач всегда должно дать человеку что-то новое, новые знания. Поиски решений иногда бывают очень трудными, поэтому мыслительная деятельность, как правило, - деятельность активная, требующая сосредоточённого внимания, терпения.

Мышление - функция мозга, результат его аналитико-синтетической деятельности. Оно обеспечивается работой обеих сигнальных систем при ведущей роли второй сигнальной системы. При решении мыслительных задач в коре мозга происходит процесс преобразования систем временных нервных связей. Нахождение новой мысли физиологически означает замыкание нервных связей в новом сочетании.

Ж. Пиаже [6, с.234]. считает, что мыслительная деятельность человека представляет собой решение разнообразных мыслительных задач, направленных на раскрытие сущности чего-либо. Мыслительная операция - это один из способов мыслительной деятельности, посредством которого человек решает мыслительные задачи.

Мыслительные операции разнообразны. Это ? анализ и синтез, сравнение, абстрагирование, конкретизация, обобщение, классификация. Какие из логических операций применит человек, это будет зависеть от задачи и от характера информации, которую он подвергает мыслительной переработке.

Вообще, что касается понятия «мышление», то следует отметить несколько взглядов. логическое мышление задача нестандартный

Во-первых, как указывает толковый словарь С.И. Ожегова, мышление - это “способность человека рассуждать, представляющая собою процесс отражения объективной действительности в представлениях, суждениях, понятиях” [24, с.21]. Разберем это понятие.

Человек очень мало знал бы об окружающем мире, если бы его познание ограничивалось лишь показаниями его анализаторов. Возможность глубокого и широкого познания мира открывает человеческое мышление. То, что у фигуры четыре угла доказывать не надо, так как мы это видим с помощью анализатора (зрения). А вот, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, мы не можем ни увидеть, ни услышать, ни почувствовать. Такого рода понятие является опосредованным.

Активные психологические исследования мышления ведутся, начиная с 17 века. В это время и в течение следующего, довольно длительного периода истории психологии мышление фактически отождествлялась с логикой, а в качестве единственного вида, подлежащего изучению, рассматривалось понятийное теоретическое мышление, которое иногда не совсем правильного называют логическим. Р.С. Немов считает: «неправильно потому, что логика присутствует в любом другом виде мышления не в меньшей степени, чем в данном» [20, с.12]. Сама способность к мышлению считалась врождённой, а мышление, как правило, рассматривалось вне развития. К числу интеллектуальных способностей в то время относили созерцание (некоторый аналог современного абстрактного мышления), логические рассуждения и рефлексию (самопознание). Созерцание, кроме того, понималось, как умение оперировать образами, логические рассуждения - как способность рассуждать и делать умозаключения, а рефлексия - как умение заниматься самоанализом. Операциями мышления в свою очередь считались обобщение, анализ, синтез, сравнение и классификация. Само же мышление в ассоциативной эмпирической психологии во всех его проявлениях сводилось к ассоциациям, связям следов прошлого и впечатлений, полученных от настоящего опыта. Активность мышления, его творческий характер были основной проблемой, которую (как и избирательность восприятия и памяти) не могла решить данная теория. Поэтому её сторонникам не оставалось ничего другого, как объявить творческие способности априорными, не зависящими от ассоциаций, врождёнными способностями разума.

В современной психологии - мышление понимается как «процесс познавательной деятельности человека, характеризующийся обобщённым и опосредованным отражением действительности; высшая форма творческой активности» [30, с.168].

В психологии распространена следующая простейшая и несколько условная классификация видов мышления: 1) наглядно-действенное, 2) наглядно-образное и 3) отвлеченное (теоретическое) мышление.

Наглядно-действенное мышление - в процессе психического развития каждого ребенка исходной будет не чисто теоретическая, а практическая деятельность. Внутри этой последней и развивается вначале детское мышление. В предшкольном возрасте (до трех лет включительно) мышление в основном наглядно-действенное. Ребенок анализирует и синтезирует познаваемые объекты по мере того, как он руками, практически, разъединяет, расчленяет и вновь объединяет, соотносит, связывает друг с другом те или иные предметы, воспринимаемые в данный момент. Любознательные дети часто ломают свои игрушки именно с целью выяснить, «что там внутри».

Наглядно-образное мышление - в простейшей форме наглядно-образное мышление возникает преимущественно у дошкольников, т.е. в возрасте четырех - семи лет. Связь мышления с практическими действиями у них хотя и сохраняется, но не является такой тесной, прямой и непосредственной, как раньше. В ходе анализа и синтеза познаваемого объекта ребенок необязательно и далеко не всегда должен потрогать руками заинтересовавший его предмет. Но во всех случаях необходимо отчетливо воспринимать и наглядно представлять этот объект. Иначе говоря, дошкольники мыслят лишь наглядными образами и еще не владеют понятиями (в строгом смысле).

Отвлеченное мышление - на основе практического и наглядно-чувственного опыта у детей в школьном возрасте развивается - сначала в простейших формах - отвлеченное мышление, т.е. мышление в форме абстрактных понятий. Мышление выступает здесь не только в виде практических действий и не только в форме наглядных образов (восприятий и представлений), а, прежде всего в форме отвлеченных понятий и рассуждений. Овладение понятиями в ходе усвоения школьниками основ различных наук - математики, физики, истории - имеет огромное значение в умственном развитии детей. В конце школьного обучения у детей формируется - в той или иной степени - система понятий. Развитие отвлеченного мышления у школьников в ходе усвоения понятий вовсе не означает, что их наглядно-действенное и наглядно-образное мышление перестает теперь развиваться или вообще исчезает. Наоборот, эти первичные и исходные формы всякой мыслительной деятельности по-прежнему продолжают изменяться и совершенствоваться, развиваясь вместе с отвлеченным мышлением и под его обратным влиянием.

Если задача решается с помощью логических рассуждений, то человек использует логическое мышление.

В кратком словаре системы психологических понятий логическое мышление определяется как «вид мышления, сущность которого заключается в оперировании понятиями, суждениями и умозаключениями с использованием законов логики» [6, с. 123]. Здесь имеется в виду классическая двузначная формальная логика, хотя мышление людей вовсе не обязано быть основано исключительно на ней.

Логическое мышление, которое ещё иначе называют в широком смысле слова дискурсивным, предполагает логическим путём переход от одного определённого представления к другому [27, с.256].

Классическая формальная логика рассматривает понятие, суждение, умозаключение как основные формы мышления. Оперирование ими отражает сущность логического мышления. Механизм логического мышления заключается в операциях логического мышления, основывающихся на четырёх законах логики: тождества, непротиворечия, исключённого третьего, достаточного основания. Неклассические формальные логики предполагают иные формулировки основных логических законов, однако, и в рамках этих логических систем продолжают действовать основные логические операции. И, с точки зрения любой формальной логики «логическое мышление - это мышление, соответствующее определенным принципам (законам, правилам, предписаниям), выработка которых и составляет одну из главных задач логики» [31, с.143].

С.Л. Рубинштейн пишет, что логическое мышление человека является важнейшим моментом в процессе познания. Все методы логического мышления неизбежно применяются человеческим индивидом в процессе познания окружающей действительности в повседневной жизни, с самого раннего возраста Ф.Энгельс считал, что «по типу все эти методы, - стало быть все, признаваемые обычной логикой средства научного исследования, совершенно одинаковы у человек и у высших животных. Только по степени, по развитию соответствующего метода они различны» [20, с.87]. Способность логически мыслить позволяет человеку понимать происходящее вокруг, вскрывать существенные стороны, связи в предметах и явлениях окружающей действительности, делать умозаключения, делать умозаключения, решать различные задачи, проверять эти решения, доказывать, опровергать словом, всё то, что необходимо для жизни и успешной деятельности любого человека.

Логические законы действуют независимо от воли людей, не созданы по их желанию, они являются отражением связей и отношений вещей материального мира. С точки зрения содержания (информации) мышление может давать истинное или ложное отражение мира, а со стороны формы (логические действия и операции) оно может быть логически правильным или неправильным. Истинность - есть соответствие мысли действительности, а правильность мышления - соблюдение законов и правил "логики. Кроме формально-логических законов правильное мышление подчиняется законам диалектической логики. Диалектическая логика и логика формальная - это два относительно самостоятельных направления в науке - логике, и в этом смысле они взаимно дополняют друг друга. Средства формальной логики необходимы, но недостаточны. Последняя может эффективно действовать только под руководством диалектической логики как всеобщей методологии [14, с. 13].

«Фундаментальные логические формы» «операторных структур» мышления выступают объектом изучения К. Новиковой [21, с.11], который исследуя мыслительные операции, максимально не зависящие от содержания конкретных знаний, приходит к выводу о том, что подлинное усвоение ребёнком знаний невозможно без наличия у него форм логического мышления. Ж. Пиаже в своих исследованиях констатировал факт, что «феномены» детского мышления объясняются определённой стадией «логического развития» их мышления.

Умение логически мыслить, по мнению А.В. Петровского [23, с.43], включает в себя ряд компонентов: умение ориентироваться на существенные признаки объектов и явлений, умение подчиняться законам логики, строить свои действия в соответствии с ними, умение производить логические операции, осознанно их аргументируя, умение строить гипотезы и выводить следствия из данных посылок и т.д. Поэтому, для нее логическое мышление включает в себя ряд компонентов: умение определять состав, структуру и организацию элементов и частей целого и ориентироваться на существенные признаки объектов и явлений; умение определять взаимосвязь предмета и объектов, видеть их изменение во времени; умение подчиняться законам логики, обнаруживать на этой основе закономерности и тенденции развития, строить гипотезы и выводить следствия из данных посылок; умение производить логические операции, осознанно их аргументируя.

Психолог Л.Ф. Тихомирова [37, с.38] в своём исследовании, посвященном психолого-педагогическим основам обучения в школе, справедливо отмечает, что логика мышления не дана человеку от рождения. Ею он овладевает в процессе жизни, в обучении. Подчёркивая значение математики в воспитании логического мышления, учёный выделяет общие положения организации такого воспитания:

– длительность процесса воспитания культуры мышления, осуществление его повседневно;

– недопустимость погрешности в логике изложения и обосновании;

– вовлечение детей в постоянную работу по совершенствованию своего мышления, которая рассматривалась бы ими как личностно значимая задача;

– включение в содержание обучения системы определённых теоретических знаний, во-первых, знаний о способах ориентировки в выполнении умственных действий.

Развитие логического мышления ребёнка - это процесс перехода мышления с эмпирического уровня познания (наглядно-действенное мышление) на научно-теоретический уровень (логическое мышление), с последующим оформлением структуры взаимосвязных компонентов, где компонентами выступают приёмы логического мышления, которые обеспечивают целостное функционирование логического мышления [12, с.47].

Логическое мышление - это вид мышления, сущность которого в оперировании понятиями, суждениями, умозаключениями на основе законов логики, их сопоставлении и соотнесении с действиями или же совокупность умственных логически достоверных действий или операций мышления, связанных причинно-следственными закономерностями, позволяющими согласовать наличные знания с целью описания и преобразования объективной действительности.

Развитию мышления в среднем школьном возрасте принадлежит особая роль. С началом обучения мышление выдвигается в центр психического развития ребенка и становится определяющим в системе других психических функций, которые под его влиянием интеллектуализируются и приобретают произвольный характер [20, с.12].

Учёными указывается, что большое значение в развитии логического мышления детей имеет развитие мыслительных операций.

Особое место занимают мыслительные операции, такие как выделение и абстрагирование свойств предметов, их сравнение и классификация.

Ребёнок познаёт окружающий мир, учится различать предметы и окружающие явления по существенным признакам, сравнивает их, учится находить в предметах и явлениях что-то общее и по этому признаку классифицировать их, т.е. учиться мыслить.

Педагогическими условиями развития логического мышления у детей является, прежде всего, использование различных средств и методов. Учитывая, что всё-таки большинство учителей работают по традиционным программам, возникает потребность педагогов практиков в методическом материале, направленном на развитие логического мышления, мыслительных операций, которые можно было бы использовать на уроках.

Теоретические и экспериментальные работы А.С. Выготского, Ф.Н. Леонтьева, С.Л. Рубенштейна свидетельствуют о том, что ни одно из специфических качеств - логического мышления, творческое воображение, осмысленная память - не может развиваться у ребёнка независимо от воспитания, в результате спонтанного созревания врожденных задатков. Они формируются на протяжении детства, в процессе воспитания, которое играет, как писал Н.В. Квач “ведущую роль в психическом развитии ребенка”[5, с.72].

А.С. Урунтаев отмечает, что необходимым условием развития логического мышления ребенка является обучение его сравнивать, обобщать, анализировать, развивать речь, научить ребенка писать. Так как механическое запоминание разнообразной информации, копирование взрослых рассуждений ничего не дает для развития мышления детей[24, с.226].

В.А. Сухомлинский писал: [6, с.156] “…Не обрушивайте на ребёнка лавину знаний…- под лавиной знаний могут быть погребены пытливость и любознательность. Умейте открыть перед ребёнком в окружающем мире что-то одно, но открыть так, чтобы кусочек жизни заиграл перед детьми всеми цветами радуги. Открывайте всегда что-то недосказанное, чтобы ребёнку хотелось ещё и ещё раз возвратиться к тому, что он узнал”.

1.2 Обучение учащихся решению нестандартных задач на уроках математики

В программе по математике в средней школе нет ограничений в отношении подбора задач, поэтому учитель может по своему усмотрению включать задачи и из другой математической структуры. Вместе с тем надо учитывать основные требования программы в отношении уровня умений решать нестандартные задачи учащимися. Обучение детей среднего школьного возраста решению нестандартных задач также важно. Эта работа развивает логическое мышление, формирует интерес к уроку математики.

Творчески работающий учитель никогда не ограничится одним учебником, а будет стремиться использовать все богатство заданий, других методических приемов, выбирая то, что наиболее подходит именно для его учеников. Проблемой внедрения в школьный курс математики нестандартных задач занимались не только исследователи в области педагогики и психологии, но и математики-методисты.

Какая задача по математике может называться нестандартной? Хорошее определение приведено в книге « Как научиться решать задачи» авторов Л.М. Фридмана, Е.Н. Турецкого. Нестандартные задачи - это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения.

Нестандартными (Ю. М. Колягин, К. И. Нешков, Д. Пойа и др.) или нетиповыми (И. К. Андронов, А. С. Пчелко и др.) называются текстовые задачи, решение которых не укладывается в рамки той или иной системы типовых задач.

Обобщая различные подходы методистов в понимании стандартных и нестандартных задач (Д. Пойа, Я. М. Фридман и др.), под нестандартной задачей понимаем такую задачу, алгоритм которой не знаком учащемуся и в дальнейшем не формируется как программное требование.

Нестандартная задача в отличие от традиционной не может быть непосредственно (в той форме, в которой она предъявлена) решена по какому-либо алгоритму. Такие задачи не сковывают ученика жесткими рамками одного решения. Необходим поиск решения, что требует творческой работы логического мышления и способствующий его развитию. Такая задача может быть очень простой, но с необычным содержанием, что требует при её решении напряжения ума и работы операций логического мышления.

При решении нестандартных задач развиваются воображения и фантазия, память и внимание, гибкость мышления, ум ребенка становится острее, формируются умения наблюдать, анализировать явления, проводить сравнения, обобщать факты, делать выводы. Рассуждения учащихся становятся - последовательными, доказательными, логичными, а речь - четкой, убедительной и аргументированной.

Решение таких задач расширяет математический кругозор, формирует неординарность мышления, умения применять знания в нестандартных ситуациях, развивает упорство в достижении поставленных целей, прививает интерес к изучению классической математики. Воспитывается любознательность, самостоятельность, активность, инициативность. Все это развивает творческое мышление средних школьников.

Решение нестандартных задач - вовсе не привилегия математики. Все человеческое познание есть не что иное, как не прекращающийся процесс постановки и разрешения все новых и новых задач, вопросов, проблем.

Именно в ходе решения таких задач самым естественным способом можно формировать у школьников элементы творческого математического мышления наряду с реализацией непосредственных целей обучения математики. (Л.П.Терентьева Решение нестандартных задач уч. пособие Ч.2002 стр.6)

Традиционное обучение математике имеет дело лишь с задачами, формирующими у школьников определённые операционные навыки по данному образу-стандарту. Встречаясь же с нестандартной задачей, учащиеся часто не знают, как её решать, не делая даже попыток отыскать это решение. И только участие в математических олимпиадах, понимание того факта, что нестандартная задача не означает её недоступность для решения; накопления опыта в общих приёмах решения нестандартных задач позволяет школьникам решать их успешно.

Таким образом, нестандартная задача - это задача, решение которой для данного ученика не является известной цепью известных действий. Поэтому понятие нестандартной задачи относительно. Успех в решении зависит не только от того, решались ли раньше подобные задачи, сколько от опыта их решения вообще, от числа полностью разобранных решений с помощью учителя с подробным анализом всех интересных аспектов задачи. Нерешённая задача подрывает у учащихся уверенность в своих силах и отрицательно влияет на развитие интереса к решению задач вообще, поэтому учитель должен проследить за тем, чтобы поставленные перед школьниками нестандартные задачи были решены. Но вместе с тем решение нестандартных задач с помощью учителя - это вовсе не то, чего следует добиваться. Цель постановки в школе нестандартных задач - научить школьников решать их самостоятельно.

Нестандартные задачи делятся на 2 категории:

1 категория. Задачи, примыкающие к школьному курсу математики, но повышенной трудности - типа задач математических олимпиад.

2 категория. Задачи типа математических развлечений.

Первая категория нестандартных задач предназначается в основном для школьников с определившимся интересом к математике; тематически эти задачи обычно связаны с тем или иным определённым разделом школьной программы. Относящиеся сюда упражнения углубляют учебный материал, дополняют и обобщают отдельные положения школьного курса, расширяют математический кругозор, развивают навыки в решении трудных задач.

Вторая категория нестандартных задач прямого отношения к школьной программе не имеет и, как правило, не предполагает большой математической подготовки. Это не значит, однако, что во вторую категорию задач входят только лёгкие упражнения. Здесь есть задачи с очень трудным решением и такие задачи, решение которых до сих пор не получено.

Нестандартные задачи, поданные в увлекательной форме, вносят эмоциональный момент в умственные занятия. Но связанные с необходимостью всякий раз применять для их решение заученные правила и приёмы, они требуют мобилизации всех накопленных знаний, приучают к поискам своеобразных, не шаблонных способов решения, обогащают искусство решения красивыми примерами, заставляют восхищаться силой разума. [15, с 67]

Нахождение искомого при решении нестандартных математических задач предполагает открытие не известных ребёнку признаков, существенных для решения проблемы отношений, закономерных связей между признаками, тех способов, с помощью которых они могут быть найдены. Ребёнок при этом вынужден действовать в условиях неопределенности, намечать и проверять ряд возможных решений, осуществлять выбор между ними, подчас не имея к тому достаточных оснований. Он ищет ключ к решению на основе выдвижения гипотез и их проверки, т. е. способы опираются на известное предвидение того, что может быть получено в результате преобразований. Существенную роль в этом играют обобщения, позволяющие сокращать количество той информации, на основе анализа которой он приходит к открытию новых знаний, уменьшать число проводимых при этом операций, «шагов» к достижению цели.

Как подчеркивает Л.Л. Гурова, весьма плодотворным в поиске пути решения проблемы оказывается ее содержательный, семантический анализ, направленный на раскрытие натуральных отношений объектов, о которых говорится в нестандартной задаче. В нем существенную роль играют образные компоненты мышления, которые позволяют непосредственно оперировать этими натуральными отношениями объектов. Они представляют собой особую, образную логику, дающую возможность устанавливать связи не с двумя, как при словесном рассуждении, а со многими звеньями анализируемой ситуации, действовать, по словам Л.Л. Гуровой, в многомерном пространстве.

В исследованиях проведенных под руководством С.Л. Рубинштейна (Л.И. Анцыферовой, Л.В. Брушинским, A.M. Матюшкиным, К.А. Славской и др.), в качестве эффективного приема, используемого в логическом мышлении, выдвигается «анализ через синтез». На основе такого анализа искомое свойство объекта выявляется при включении объекта в ту систему связей и отношений, в которой он более явно обнаруживает данное свойство. Найденное свойство открывает новый круг связей и отношений объекта, с которыми это свойство может быть соотнесено. Такова диалектика логического познания действительности. Реально такое решение подготовлено прошлым опытом, зависит от предшествующей аналитико-синтетической деятельности и прежде всего - от достигнутого решающим уровня словесно-логического понятийного обобщения (К.А. Славская). Однако, сам процесс поисков решения в значительной своей части осуществляется интуитивно, под порогом сознания, не находя своего адекватного отражения в слове, и именно потому его результат решения нестандартной задачи является сложным процессом и требует планомерного развития.

Применив метод введения нестандартных задач, Я.А. Пономарев выявил ряд закономерностей их влияния на процесс развития логического мышления учащихся. Наибольший эффект достигается тогда, когда учащийся на основе логического анализа уже убедился в том, что не может решить испробованными им способами задачу, но еще не потерял веры в возможность успеха. При этом нестандартная задача сама по себе должна быть интересной, чтобы полностью поглотить сознание решающего, и не столь легкой, чтобы ее решение могло быть выполнено автоматически. Чем меньше автоматизирован способ решения, тем легче его перенос на решение задачи.

Логическое мышление предполагает не только широкое использование усвоенных знаний, но и преодоление барьера прошлого опыта, отхода от привычных ходов мысли, разрешение противоречий между актуализированными знаниями и требованиями учебной ситуации, оригинальность решений, их своеобразие. Эту сторону логического мышления чаще всего обозначают как гибкость ума, динамичность, подвижность и т.д. Наиболее удачен первый термин (два других чаще употребляются в контексте психофизиологических работ).

При гибком уме учащийся легко переходит от прямых связей к обратным, от одной системы действий к другой, если этого требует решаемая задача, он может отказаться от привычных действий и т.д. Инертность ума проявляется в противоположном: в склонности к шаблону, в трудности переключения от одних действий к другим, в длительной задержке на уже известных действиях, несмотря на наличие отрицательного подкрепления и т.д.

Г.П. Антонова, исследуя гибкость мышления при решении разнообразных задач, отмечает устойчивость этого качества и наличие весьма существенных различий по суммарному «показателю гибкости» мышления школьников одного и того же возраста: для крайних групп -- наиболее и наименее развитых и исследованных ею школьников этот показатель равен соответственно 12,5% и 89%, т.е. один показатель превышает второй более чем в 6 раз.

Однако значительная часть учителей, следуя методическим указаниям, предложенным задачам в учебнике, проводит работу над нестандартной задачей, которая недостаточно полно реализует как обучающие, так и развивающие функции. Чтобы усилить развивающий аспект обучения, полезно научить решать нестандартную задачу. Также помочь учащимся осознать выбор действий, посредством которых решается нестандартная задача, сможет правильно выбранная наглядная интерпретация задачи.

Особого внимания в развитии творческого мышления учащихся 5-6 классов требуют нестандартные задачи. Такие задачи стимулируют процесс обучения, так как при их решении у детей проявляется умение применять различные приемы и методы решения задач, умение анализировать, рассуждать, предлагать и проверять эти предположения, делать соответствующие выводы. Поэтому при решении нестандартных задач учителю необходимо организовать работу таким образом, чтобы учащиеся находили различные способы решения, сравнивали их и выбирали наиболее легкий и рациональный.

Анализ учебников по математике 6 класса.

На наличие нестандартных задач нами были проанализированы три учебника по математике для учащихся 6 класса авторов Ю.М. Дорофеева и др., А.Г. Мордковича и др., Н.Я. Виленкина и др.. которые входят в Федеральный перечень учебников, рекомендованных Минобрнауки РФ.

В учебнике Ю.М. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина и др., нестандартные задачи не даются конкретно и не входят в отдельный раздел. Они ни чем не выделяются, нет ни какого красочного оформления, чтобы привлечь внимание учащихся. Всего содержится 6 нестандартных задач.

1.3 Требования к системе учебных заданий, направленных на развитие логического мышления

Для формирования логического мышления приоритетным является обучение ориентированное на формирование учебной деятельности, приводящее к становлению теоретического мышления.

Основным средством развития математических способностей учащихся являются задачи. Не случайно известный современный математик Д.Пойа пишет: «Что значит владение математической? Это есть умение решать задачи, причем не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности».

Одна из главных причин затруднений учащихся, испытываемых ими при решении задач, заключается в том, что математические задачи, содержащиеся в основных разделах школьных учебников, как правило, ограничены одной темой. Их решение требует от учащихся знаний, умений и навыков по какому-нибудь одному вопросу программного материала и не предусматривает широких связей между различными разделами школьного курса математики. Роль и значение таких задач исчерпываются в течении того непродолжительного периода, который отводиться на изучение (повторение) того или иного вопроса программы. Функция таких задач чаще всего сводиться к иллюстрации изучаемого теоретического материала, к разъяснению его смысла. Поэтому учащимся нетрудно найти метод решения данной задачи. Этот метод иногда подсказывается названием раздела учебника или задачника, темой, изучаемой на уроке, указаниями учителя и т. д. Самостоятельный поиск метода решения учеником здесь минимален. При решении задач на повторение, требующих знания нескольких тем, у учащихся, как правило, возникают определенные трудности.

К сожалению, в практике обучения математике решение задач чаще всего рассматривается лишь как средство сознательного усвоения школьниками программного материала. И даже задачи повышенной трудности специальных сборников, предназначенных для внеклассной работы, в основном имеют целью закрепление умений и навыков учащихся в решении стандартных задач, задач определенного типа. А между тем функции задач очень разнообразны: обучающие, развивающие, воспитывающие, контролирующие.

Каждая предлагаемая для решения учащимся нестандартная задача может служить многим конкретным целям обучения. И все же главная цель нестандартных задач -- развить творческое мышление учащихся, заинтересовать их математикой, привести к «открытию» математических фактов. Достичь этой цели с помощью одних стандартных задач невозможно, хотя стандартные задачи, безусловно, полезны и необходимы, если они даны вовремя и в нужном количестве. Следует избегать большого числа стандартных задач как на уроке, так и во внеклассной работе, так как в этом случае сильные ученики могут потерять интерес к математике. Ознакомление учащихся лишь со специальными способами решения отдельных типов задач создают, на наш взгляд, реальную опасность того, что учащиеся ограничатся усвоением одних шаблонных приемов и не приобретут умения самостоятельно решать незнакомые задачи.

В системе задач школьного курса математики, безусловно, необходимы задачи, направленные на отработку того или иного математического навыка. Но не менее необходимы задачи, направленные на воспитание у учащихся устойчивого интереса к изучению математики, творческого отношения к учебной деятельности математического характера. Необходимы специальные упражнения для обучения школьников способам самостоятельной деятельности, общим приемам решения задач, для овладения ими методами научного познания реальной действительности и приемам продуктивной умственной деятельности, которыми пользуются ученые-математики, решая ту или иную задачу. Осуществляя целенаправленное обучение школьников решению задач, с помощью специально подобранных нестандартных задач, можно учить их наблюдать, пользоваться аналогией, индукцией, сравнениями, и делать соответствующие выводы.

Необходимо на уроках систематически использовать нестандартные задачи, способствующие целенаправленному развитию логического мышления учащихся, их математическому развитию, формированию у них познавательного интереса и самостоятельности. Такие задачи требуют от школьников смекалки, наблюдательности, творчества и оригинальности.

Эффективное развитие математических способностей у учащихся невозможно без использования в учебном процессе нестандартных задач.

Нестандартные задачи многообразны, но их объединяет следующее:

1) способ решения нестандартных задач не известен. Для их решения характерно, броуновское движение мысли, т.е. к решению приводит метод проб и ошибок. Поисковые пробы решения могут в отдельных случаях закончиться догадкой, которая представляет собой нахождение пути искомого решения.

2) нестандартные задачи способствуют поддержанию интереса к предмету и играют роль мотива к деятельности учащихся. Необычность сюжета, способа презентации задачи находят эмоциональный отклик у детей и ставят их в условия необходимости ее решения;

3) нестандартные задачи составлены на основе знаний законов мышления.

Систематическое применение нестандартных задач способствует развитию указанных мыслительных операций и формированию математических представлений детей. Для решения таких задач характерен процесс приисковых проб. Появление догадки свидетельствует о развитии у детей таких качеств умственной деятельности, как смекалка и сообразительность. Смекалка - это особый вид проявления творчества. Она выражается в результате анализа, сравнений, обобщений, установления связей, аналогии, выводов, умозаключений. О проявлениях сообразительности свидетельствует умение обдумывать конкретную ситуацию, устанавливать взаимосвязи, на основе которых решающий задачу приходит к выводам, обобщениям. Сообразительность является показателем умения оперировать знаниями. Из этого следует, что смекалка, сообразительность, влекущие за собой догадку как результат поиска решения занимательной задачи, не есть что-то данное свыше. Эти качества умственной деятельности можно и нужно развивать в процессе обучения.

В любом случае догадке как способу решения задачи предшествует тщательный анализ: выделение в задаче существенных признаков, пространственного расположения и обобщения ряда фигур, их свойств, сходных признаков и т.п. Однако для решения нестандартных задач метод проб и ошибок ненадежен и нерационален. Гораздо более эффективный способ - вооружить детей теми приемами умственной деятельности, которые необходимы при этом: анализ и синтез, сравнение, аналогия, классификация. Предлагая учащимся нестандартные задачи, мы формируем у них способность выполнять эти операции и одновременно развиваем их.

Конечно, нельзя приучать учащихся решать только те задачи, которые вызывают у них интерес. Но нельзя и забывать, что такие задачи учащийся решает легче и свой интерес к решению одной или нескольких задач он может в дальнейшем перенести и на «скучные» разделы, неизбежные при изучении любого предмета, в том числе и математики. Таким образом, учитель, желающий научить школьников решать задачи, должен вызвать у них интерес к нестандартной задаче, убедить, что от решения математической задачи можно получить такое же удовольствие, как от решения нестандартных задач.

Задачи не должны быть слишком легкими, но и не должны быть слишком трудными, так как учащиеся, не решив задачу или не разобравшись в решении, предложенном учителем, могут потерять веру в свои силы. Не следует предлагать учащимся задачу, если нет уверенности, что они смогут ее решить. Ну а как же помочь учащемуся научиться решать задачи, если интерес к решению задач у него есть и трудности решения его не пугают? В чем должна заключаться помощь учителя ученику, не сумевшего решить интересную для него задачу? Как эффективным образом направить усилия ученика, затрудняющегося самостоятельно начать или продолжить решение задачи?

Не следует идти по самому легкому в этом случае пути -- знакомить ученика с готовым решением. Не следует и подсказывать, к какому разделу школьного курса математики относится предложенная задача, какие известные учащимся свойства и теоремы нужно применить при решении. Решение нестандартной задачи -- очень сложный процесс, для успешного осуществления которого учащийся должен уметь думать, догадываться.

Для осуществления формирования логического мышления учащихся 5-6 классов можно составить систему нестандартных заданий по темам:

· Задачи на смекалку

· Занимательные задачи

· Геометрические задачи

· Логические квадраты

· Комбинаторные задачи

· Задачи на переливание.

Учитель, преподающий в 5-6 классах, может развивать логическое мышление учащихся с помощью созданной системы нестандартных задач. Для этого необходимо учитывать следующее:

1. Нестандартные задачи должны быть посильными для детей;

2. Нестандартные задачи, отобранные для одного урока, должны быть разнообразными для воздействия на различные компоненты мышления;

3. Если ученики не справляются с решением нестандартных задач, то целесообразно оставить его на обдумывание до следующего урока;

4. Ученикам можно дать необязательное домашнее задание по составлению аналогичных нестандартных задач;

5. Если на уроке время ограничено, то нестандартные задачи можно применять на занятиях математического кружка.

Учащиеся хорошо воспринимают эти нестандартные задачи. Ребята видят в них отдых от утомительной, иногда однообразной часто арифметической тренировки. Это ненавязчивое средство обучения логическим приемам, которые применяются в каждом математическом рассуждении.

Система нестандартных задач позволяет привить интерес к предмету, дает более глубокое и полное понимание изучаемых тем, развивает логическое мышление учащихся. В результате повышается успеваемость учащихся.

Устойчивые положительные результаты можно получить при подборе нестандартных задач, имеющих отношение к заданной теме. Не следует предлагать нестандартные задачи как средство заполнения досуга или развлечения. Проблема включения задач подобного вида в учебный процесс должна решаться естественным образом. Воспитание культуры логического мышления должно проводиться повседневно. И.Л.Никольская, специально изучавшая данную проблему, установила экспериментально, что кратковременное обучение логическим понятиям не дает эффекта, его можно достичь только тогда, когда эти понятия органически вплетены в курс математики.

При отборе нестандартных задач исходили из следующих требований к системе нестандартных задач, направленных на развитие логического мышления:

? система нестандартных задач должна носить развивающую направленность, способствовать не только формированию определенных математических умений и навыков, но, в первую очередь, содействовать развитию логического мышления младших школьников, учить их определенным мыслительным приемам;

? в систему должны быть включены нестандартные задачи, которые помогут сформировать такие операции, как анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, обобщение и классификация, и тем самым реализовать цель исследования;

? система нестандартных задач должна учитывать возрастные психологические особенности учащихся.

Система нестандартных задач помогут понять идею решения. Необходимо стремиться к тому, чтобы учащийся испытал радость от решения трудной для него задачи, полученного с помощью нестандартных задач предложенных учителем.

Таким образом, хорошим средством обучения решению задач, средством для нахождения плана решения являются нестандартные задачи.



Глава 2. Применение нестандартных задач на уроках математики 5-6 классах для развития логического мышления

2.1 Построение системы нестандартных задач, направленных на развитие логического мышления учащихся 5-6 классов

Математику любят в основном те ученики, которые умеют решать задачи. Следовательно, научив детей владеть умением решать нестандартные задачи, мы окажем существенное влияние на их интерес к предмету, на развитие логического мышления и речи. Кроме того, они являются мощным средством активизации познавательной деятельности, т. е. вызывают у детей огромный интерес и желание работать.

1. Задачи на смекалку.

1.1. Масса цапли, стоящей на одной ноге 12 кг. Сколько будет весить цапля, если встанет на 2 ноги?

1.2. Пара лошадей пробежала 40 км. Сколько пробежала каждая лошадь?

1.3. У семи братьев по одной сестре. Сколько всего детей в семье?

1.4. Шесть котов за шесть минут съедают шесть мышей. Сколько понадобится котов, чтобы за сто минут съесть сто мышей?

1.5. Стоят 6 стаканов, 3 с водой, 3 пустых. Как расставить их, чтобы стаканы с водой и пустые чередовались? Разрешается переставить только один стакан.

Рис. 1.



1.6. Геологи нашли 7 камней. Масса каждого камня: 1 кг, 2 кг, 3 кг, 4 кг, 5 кг, 6 кг и 7 кг. Эти камни разложили в 4 рюкзака так, что в каждом рюкзаке масса камней оказалась одинаковой. Как это сделали?

1.7. В классе причесанных девочек столько же, сколько непричесанных мальчиков. Кого в классе больше, девочек или непричесанных учеников?

1.8. Летели утки: одна впереди и две позади, одна позади и две впереди, одна между двумя и три в ряд. Сколько всего летело уток?

1.9. Миша говорит: «Позавчера мне было10 лет, а в следующем году мне исполнится 13 лет». Возможно ли это?

1.10. У Андрея и Бори 11 конфет, у Бори и Вовы 13 конфет, а у Андрея и Вовы - 12. Сколько всего конфет у мальчиков?

1.11. Отец с двумя сыновьями катались на велосипедах: двухколесных и трехколесных. Всего у них было 7 колес. Сколько было велосипедов, и каких?

1.12. Во дворе куры и поросята. У них у всех 5 голов и 14 ног. Сколько кур и сколько поросят?

1.13. По двору гуляют куры и кролики. Всего у них 12 ног. Сколько кур и сколько кроликов?

1.14. У каждого марсианина по 3 руки. Могут ли 13 марсиан взяться за руки так, чтобы не оставалось свободных рук?

1.15. Играя, каждая из трех девочек - Катя, Галя, Оля - спрятали одну из игрушек - медведя, зайца и слона. Катя не прятала зайца, Оля не прятала ни зайца, ни медведя. Кто какую игрушку спрятал?

2. Занимательные задачи.

2.1. Как расставить 6 стульев у 4 стен, чтобы у каждой стены было по 2 стула.

2.2. Папа с двумя сыновьями отправился в поход. На их пути встретилась река. У берега плот. Он выдерживает на воде одного папу или двух сыновей. Как переправиться на другой берег папе с сыновьями?

2.3. Для одной лошади и двух коров выдают ежедневно 34 кг сена, а для двух лошадей и одной коровы -35кг сена. Сколько сена выдают ежедневно одной лошади и сколько одной корове?

2.4. Четыре утенка и пять гусят весят 4кг100г, а пять утят и четыре гусенка весят 4кг. Сколько весят один утенок?