Развитие логического мышления одаренных учащихся на уроках геометрии в 7-9 классов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Развитие логического мышления одаренных учащихся на уроках геометрии в 7-9 классов: теоретические аспекты

1.1 Характеристика одаренных учащихся 7-9 классов

1.2 Логическое мышление как система

1.3 Уровни развития логического мышления

2. Развитие логического мышления одаренных учащихся на уроках геометрии в 7-9 классов: практические аспекты

Заключение

Список использованных источников

одаренный геометрия логический мышление



Введение

Современное общество предъявляет новые требования к поколению, вступающему в жизнь. Требуются высококультурные люди, способные четко мыслить, полноценно логически рассуждать и ясно излагать свои мысли.

К числу задач, стоящих перед школой, относится развитие логического мышления учащихся, от уровня сформированности которого во многом зависит сознательность, эффективность усвоения основ наук, умение самостоятельно ориентироваться в постоянно растущем объеме информации, применять имеющиеся знания с максимальной пользой, создавать наиболее выгодные условия для приобретения новых знаний и для сообщения их другим. Перечисленные умения играют большую роль не только в процессе обучения, но и во всей жизнедеятельности человека, особенно одаренных учащихся [15].

В педагогике и психологии проведено немало исследований, посвященных развитию различных видов мышления, в том числе и логического, у учащихся и студентов (работы А.В. Брушлинского [4], Л.Л. Гуровой [6], В.В. Давыдова [7], И.С. Якиманской [13,14] и др.).

Актуальность курсовой работы заключается в том, что проблема развития логического мышления одаренных учащихся должна иметь свое отражение в школьном курсе геометрии в силу недостаточности развития учащихся в этой части, в силу большого числа логических ошибок, допускаемых учащимися в содержании геометрического материала.

Цель курсовой работы - изучить некоторые аспекты развития логического мышления одаренных учащихся 7-9 классов на уроках геометрии.

Задачи курсовой работы.

1. Охарактеризовать одаренных учащихся 7-9 классов.

2. Охарактеризовать основные компоненты и уровни развития логического мышления.

3. Подобрать систему задач, эффективно развивающей логическое мышление.

Методами курсовой работы являются:

- исследование психологической и методической литературы;

- опыт преподавания во время практики в 7-х классов (геометрия) гимназии №1 города Саратова;

- наблюдение за учебной деятельностью учащихся в 7-9 классов во время прохождения педагогической практики в гимназии №1 города Саратова.

Курсовая работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников.

В введении описаны цель, задачи, актуальность и методы исследования курсовой работы.

В главе "Развитие логического мышления на уроках геометрии в 7-9 классов: теоретические аспекты" рассматривается характеристика одаренных учащихся 7-9 классов, логическое мышление как система, а также уровни развития логического мышления.

Во второй главе "Развитие логического мышления на уроках геометрии в 7-9 классов: практические аспекты" подобраны задачи, посредствам которых учащихся 7-9 классов перейдут на следующий уровень логического мышления.

В заключении сделаны основные выводы относительно развития логического мышления одаренных учащихся 7-9 классов.

Список использованных источников состоит из 18 наименований.



1. Развитие логического мышления одаренных учащихся на уроках геометрии в 7-9 классов: теоретические аспекты

1.1 Характеристика одаренных учащихся 7-9 классов

Роль личности в становлении и развитии одаренности велика. Подчеркивается, что одаренность вовлекает целостную личность человека, включая мотивационную сферу, интересы, волевые проявления, чувства, креативность.

В психологии одаренности признается тот факт, что одаренные дети и подростки имеют особенности личностного развития. Психологи обращают внимание на то, что становление личности одаренного ребенка имеет определенные возрастные тенденции, нередко проходит неоднозначно и болезненно [13].

К. Тэкэкс пишет, что одаренных детей от сверстников отличает ряд особенностей в сфере психосоциального развития. В числе таких свойств и качеств она выделяет:

? Обостренное чувство справедливости;

? развитую систему личных ценностей;

? хорошо сформированное чувство юмора;

? наличие преувеличенных страхов;

? упорство в достижении результата [10].

При этом К. Тэкэкс подчеркивает, что положительное и отрицательное в личности способного ребенка возникает под влиянием окружающих людей. Одаренному и талантливому ребенку могут быть присущи такие свойства и качества, которые будут отталкивать от него окружающих. Среди них можно выделить:

- Неумение выслушивать собеседника до конца, прерывание собеседника. Нередко ребенок в курсе того, о чем идет речь или быстро понимает излагаемый материал. Стремление продемонстрировать свои знания является отражением скорости восприятия.

- Привычка исправлять других. Возникает у одаренного ребенка как сочетание альтруизма и эгоцентризма.

- Высмеивание окружающих. Может возникать как ответ на травмирующий фактор. Главное преимущество ребенка - интеллектуальный потенциал, и он стремиться защищать себя от источника боли доступными ему средствами.

М. Карне отмечает несколько психологических факторов, мешающих реализации способностей детей [10]. К ним относятся: негативное отношение к школе и учебе; нарушение отношений с родителями; подверженность колебаниям настроения, депрессии, духу противоречия; низкая самооценка, чувство "гонимости"; тенденция к оправданию и объяснению своих недостатков, перекладывание вины на других; склонность к фантазированию; плохие межличностные отношения, недоверие к другим; недостаток настойчивости, склонность отвлекаться и откладывать дела; враждебное отношение к руководителям; скука; отсутствие самодисциплины и неспособность нести ответственность за свои действия; недостаток лидерских способностей; недостаток увлечений или излишнее внимание к ним; неприятие состязательности; эмоциональная неуравновешенность; чувствительность к критике, тенденция критиковать других; нереалистические цели.

Л. Холлингуорт делает акцент на следующих личностных проблемах одаренных детей:

? неприязнь к школе;

? конформность;

? погружение в философские проблемы.

Л. Холлингуорт установила, что адаптация одаренных детей зависит от уровня их интеллектуального развития. IQ от 185 до 190 - чрезвычайно одаренные подростки обнаруживают тенденцию к изоляции. Их самовосприятие может измениться в негативную сторону, т.к. они часто не принимаются своими сверстниками, не выбираются на лидерские роли. Если их способности не востребованы и требования к ним невысоки, то они становятся инертными, ленивыми. По мнению Л. Холлингуорт индивиды, чей IQ приближается к 170 редко бывают поняты людьми в силу их высокого интеллектуального потенциала. Интеллектуальный показатель IQ 125-155 является "оптимальным интеллектом", такие дети социально адаптированы и превосходят других в эмоциональной стабильности и контроле.

Дж. Уитмор выделяет следующие личностные проблемы одаренных детей: перфекционизм;

- ощущение собственной неполноценности;

- нереалистические цели;

- сверхчувствительность;

- потребность во внимании взрослых;

- нетерпимость [10].

А. Танненбаум, предложивший "психосоциальную" модель одаренности, при ее построении учитывал и внешние, и внутренние факторы личности. Ученый отмечает, что трудно определить, какие личностные особенности детерминируют человеческие таланты. Существуют достоверные факты того, что высший уровень способностей связан с сильно выраженным желанием самореализации.

Мюнхенская модель одаренности, разработанная К. Хеллером, включает в себя и личностные компоненты. Автор данной модели отмечает, что ''мотивация к достижениям, настойчивость, устойчивость к стрессу и другие личностные качества, а не только способности, были типичны для достигавших наибольшего успеха учащихся''.

На основании экспериментальных данных К. Хеллер приходит к выводу, что высокоодаренные отличаются от среднеодаренных по следующим диагностически значимым личностным параметрам:

- высокие интеллектуальные способности;

- выдающиеся креативные способности (например, оригинальность, гибкость, разработанность);

- способность к более быстрому усвоению и выдающаяся память;

- интеллектуальное любопытство и стремление к знаниям;

- интернальный локус контроля и высокая личностная ответственность;

- убежденность в собственной эффективности и самостоятельность суждений;

- позитивная академическая Я-концепция, связанная с адекватной самооценкой.

Необходимо, чтобы одаренные дети обладали позитивным самовосприятием. В данном случае важно адекватно оценивать способности: ни умаляя, ни игнорируя их или, напротив, ни чрезмерно акцентируя на них внимания. Такое положение дел может приводить к нарушениям личностного формирования, страдает эмоциональная сфера детей. Ребенку необходимо чувствовать и понимать, что ценен он; родители и взрослые любят его и видят в нем растущую личность, а не только набор определенных выдающихся способностей и достижений.

В отдельных случаях дети с высоким уровнем развития способностей сталкиваются с неприятием их социумом. Родители стараются не замечать таланта своего дитя, пытаясь избежать трудностей. Сверстники не приемлют школьника "через чур" много знающего, осведомленного во всех вопросах. Осознание несоответствия ожиданиям окружающих, восприятие себя "белой вороной" приводит к тому, что ребенок начинает скрывать свои способности, появляются черты конформной личности. В данной ситуации следует говорить не просто о приспособлении, об адаптации личности, а о фальсификации собственного "Я".

Для одаренных детей характерны повышенная уязвимость и чувствительность. Безобидные и нейтральные замечания часто у них вызывают бурную эмоциональную реакцию. Необходимо вырабатывать у детей данной категории терпеливое отношение к чужому мнению, особенно в тех случаях, когда приходится сталкиваться с менее способными школьниками. Возникновение зазнайства, эгоизма, человеконенавистнических черт убивают проявления талантов.

Чрезмерное упорство в достижении цели приводит к стремлению доводить все до полного совершенства. Работы, выполненные на высоком уровне мастерства, исполнителем оцениваются как неудачные. Завышенные личные стандарты, неудовлетворенность, оценивание собственной деятельности по взрослым меркам приводят к болезненным переживаниям, личностным драмам.

Н.С. Лейтес пишет о подростковом возрасте (на примере девятиклассников), что в период раннего юношества у одаренных учащихся возникает плотная связь с учителем. Однако от педагога требуются высокие знания, чтобы стать для подростка больше, чем педагогом. Иначе одаренные учащиеся, которые могут быть в некоторых случаях умнее учителя, быстро поймут некомпетентность преподавателя и потеряют уважение, так как возраст в этот период для них не имеет никакого значения.

В этот период у одаренных подростков появляется вопрос: "Почему?", появляется желание дискутировать как с одноклассниками, так и с учителем, не смотря на то, что учащийся не всегда обладает высокими знаниями в предметной области [15].

1.2 Логическое мышление как система

Когда дети приходят в школу, они уже многое умеют. Уже в дошкольном возрасте на основе манипулирования с предметами у детей вместо хаотических проб и ошибок появляется система пробующих действий, которые выступают как последовательные шаги в достижении цели. Поясним это на примере. На столе лежит игрушка, которую ребенок хочет достать, но не может дотянуться. Ее можно достать с помощью прикрепленного к столу рычага - изогнутой палки с ручкой на конце. Но когда ребенок тянет ручку рычага на себя, игрушка отодвигается. Надо совершить обратное движение - от себя, тогда игрушка придвинется. Решение этой задачи осуществляется в практическом плане и служит примером наглядно-действенного, практического мышления, которое охватывает все случаи непосредственных действий с предметами [1].

Формирование умений оперировать образами предметов или их частей связывают с развитием наглядно-образного мышления. Наглядно-образное мышление характеризуется тем, что решение определенных задач может быть осуществлено в плане мысленных представлений, без участия практических действий. Иными словами, ситуация преобразуется лишь в плане образа. Как показали психологические исследования, способность действовать "в уме" начинает формироваться у детей без специального обучения к шести годам. Ее становление и развитие, вплоть до мысленного моделирования сложных ситуаций и планирования последовательности действий (как, например, в случае мысленного проигрывания возможных ходов и ответов на них партнера при игре в шахматы), приходится на школьный возраст.

Следующий вид мышления, на который падает наибольшая нагрузка,- словесно понятийное мышление, использующее понятия и оперирующее языковыми средствами для обозначения действительности. С его помощью осуществляются общение людей, описание и объяснение материала, осознание достигнутого и многое другое. Его развитие начинается с овладения языком и умением говорить и понимать чужую речь, а продолжается в школьные годы, вместе с развитием системы научных понятий. Следует различать речевой и понятийный аспекты, особенно у детей. Отражение в речи - это уже не образное отражение, но оно может быть еще и не понятийным. Ребенок пользуется теми же словами, что и взрослый, но за этими словами у него стоит другое содержание. Это справедливо и по отношению к взрослому, когда речь идет о какой-либо области действительности, которую человек плохо знает и соответствующие понятия у него не сложились [2].

Наглядно-действенное, наглядно-образное и словесно-понятийное мышление развиваются во взаимосвязи друг с другом. Преобразования объектов, совершаемые в процессе внешней, практической деятельности, воспроизводятся затем в плане представлений. Наглядно-образное мышление позволяет отобразить взаимодействие нескольких предметов, воспроизводя многообразие сторон объекта в их фактических связях (примером может служить любая схема или картина). Когда результаты практической и познавательной деятельности получают свое словесное выражение, это дает возможность их осознать сделать достоянием других людей, обеспечивает преемственность знаний. В образе реальность представлена шире, чем то, что мы непосредственно наблюдаем. А в понятии, наоборот, какая-то часть наблюдаемых признаков опущена и выделены существенные связи и отношения.

Все три вида мышления сосуществуют и у взрослого человека, обеспечивая решение различных задач. Практические действия с предметами и наглядные представления о действительности составляют основу словесно-понятийного мышления [2].

Разные виды мышления имеют общие черты. В каком бы плане ни протекало мышление, оно всегда связано с открытием человеком нового для него знания, с раскрытием внутренних свойств предметов и их отношений. В процессе мышления всегда происходит выделение основных, существенных свойств предметов и явлений и отвлечение от несущественных и случайных, что определяет его обобщенный характер. В зависимости от уровня обобщений различают эмпирическое и теоретическое мышление. В первом случае мышление связано с житейскими, ситуативными обобщениями, во втором с научными понятиями, имеющими определенную содержательную структуру [14].

Как же осуществляется процесс мышления? Мышление начинается с возникновением проблемы, вопроса, задачи. Задача, выступающая как предмет мыслительной деятельности, появляется, когда человек сталкивается с каким-либо затруднением, препятствием, непониманием, и охватывает, как правило, не отдельный предмет, а целую ситуацию. Она может касаться социальных вопросов, взаимоотношений между людьми или проблем самого человека, его поведения или любой области его деятельности, включая учебные и игровые задачи. Психологически задача имеет существенную особенность - она должна быть принята человеком, то есть должна восприниматься им как проблема, в решении которой он заинтересован. В основе этого лежит познавательная потребность. Объективно существующее противоречие или предъявляемое человеку требование может не вызвать у него потребности в мыслительной деятельности. Он будет прикладывать все усилия, чтобы ее избежать, найдет отговорки или попросту не увидит для себя в ситуации никакой задачи. Поэтому не любая задача и не любой вопрос, заданный учителем, ведет к процессу мышления. Когда ученик сам ощутит необходимость в новых знаниях, увидит, что не может с помощью известных ему средств достичь желаемого результата (ранее применявшиеся им методы "не работают"), тогда и возникает мыслительная задача, называемая психологами проблемной ситуацией.

Условием возникновения проблемной ситуации является познавательная потребность в неизвестном человеку знании или способе действия. Если имеющихся у него знаний достаточно, чтобы выполнить задание, или он может применить уже известный ему способ, проблемная ситуация не возникает, как не возникает она и в тех случаях, когда имеющихся знаний недостаточно для обнаружения проблемы, для понимания того, что появилась проблема. Поэтому процесс мышления всегда личностно окрашен: он начинается с появления препятствия, затруднения, значимого для человека и вызывающего желание или понимание необходимости его преодолеть [5].

Решение мыслительной задачи, или проблемной ситуации, протекает как поиск существенного с точки зрения задачи отношения объектов, которое служит ключом к ее решению. Для этого производят анализ условий задачи, того, что дано и что известно, и ее требований, то есть желаемого результата. Неизвестное в проблемной ситуации становится целью действия и раскрывается как искомое задачи. Психологические исследования процесса мышления показали, что определение искомого связано с неоднократным обследованием элементов проблемной ситуации для выявления их связей с искомым. При этом происходит последовательное обобщение свойств рассматриваемых объектов, позволяющее планировать пути решения задачи, предвосхищая будущий результат. Это дает возможность уточнить первоначальный замысел решения: неизвестное, которое вначале выступает как нечеткое образование, путем непрерывного его сопоставления с известным и обобщения предшествующего опыта и требований, задаваемых проблемной ситуацией, приобретает определенность.

В случае сложных проблем на пути к достижению результата выделяется система целей: кроме общей цели, то есть искомого, определяемого всей проблемной ситуацией в целом, выделяются промежуточные цели, связанные с предварительными этапами работы, ближайшие, более легко достижимые и более отдаленные. Целевое планирование любой деятельности на основе предвосхищения будущего результата составляет центральное звено мыслительного процесса. Оно непосредственно связано с развитием образного мышления.

Завершающим этапом процесса мышления являются осмысление того, что получено, его оценка и обоснование. Осмысление позволяет соотнести решение задачи с системой понятий: подвести его под определенную категорию или конкретизировать ранее известное положение, раскрыть механизм взаимодействия объектов, явлений. Тем самым мышление продвигается на более высокий уровень обобщения. Оценка полученного результата позволяет определить, насколько он отвечает поставленной задаче, полностью или частично ее решает. В ходе обоснования решения выделяются его сильные и слабые стороны, допущенные ошибки. Проверка, критика, контроль характеризуют мышление как сознательный процесс. Критичность мышления проявляется также в чувствительности к проблемам, умении их распознавать [14].

Таким образом, мышление - это всегда активный процесс преобразования ситуации, имеющей личностную значимость для человека, процесс, включающий в себя элементы творчества, связанные с новизной решаемой задачи, мысленное оперирование образами, осознание и оценку итогов работы. Умение думать означает развитие всех этих компонентов мышления [13].

Степень сложности решаемой задачи определяет уровень активности мышления. Мыслительные задачи различаются по своей трудности в зависимости от различных факторов. Привычность или непривычность ситуации определяет, можно ли применить уже известный способ действий или необходим поиск новых знаний. В первом случае роль мышления невелика, во втором мышление становится творческим.

Чем более стандартным и типичным для данного объекта является его качество, нужное для решения проблемной ситуации, чем больше оно соответствует его обычному применению, тем легче решается мыслительная задача. Так, мы не задумываемся, когда пользуемся гирей как мерой веса. Это ее прямое и привычное назначение. Чтобы использовать гирю как средство для забивания гвоздя, надо прежде увидеть в ней тяжелый предмет, то есть выделить ее внутреннее свойство. Это поворачивание предмета все новыми сторонами, вычерпывание из него новой информации, при котором предмет включается в разные системы связей и отношений с другими предметами, характеризует активную, творческую сторону мышления. Наиболее творческими являются задачи, решение которых связано с открытием нового, ранее неизвестного человеку знания: способа решения задачи, обнаружения закономерности или некоторой зависимости между явлениями и предметами [2].

Важную роль играет также и то, в каком виде сформулирована задача: дана она в наглядном практическом плане, допускающем действия с предметами, наглядном, но символическом (рисунок, чертеж и т. п.) или словесном. Сравните решение шахматной задачи с помощью доски и стоящих на ней фигур, на бумаге с условным обозначением доски и фигур, путем одного только ее словесного описания. Сложность процесса мышления значительно выше в третьем случае, когда весь процесс поиска решения протекает целиком в умственном плане.

В школьном возрасте под влиянием обучения мышление проходит сложный путь развития от эмпирического мышления, которое оперирует конкретными представлениями единичных предметов и часто опирается на случайные признаки предметов, к теоретическому мышлению, использующему научные понятия и отношения между ними. Овладевая знаниями, ребенок учится расчленять слитые в восприятии признаки предметов и явлений, выделять среди них однородные, характеризующиеся определенной общностью. Растет количество суждений, в которых наглядные моменты сводятся к минимуму. Происходит овладение обобщенным понятийным содержанием научного знания, формируется умение рассуждать гипотетически, критически рассматривая свои суждения как нуждающиеся в проверке и обосновании. Анализ задач начинается с предварительного мысленного их решения [1].

1.3 Уровни развития логического мышления

Для решения задач развития логического мышления не требуется включения в курс дополнительного математического материала. Задачи развития логического мышления можно ставить и решать на обычном учебном материале.

Е.П. Коляда [11] выделяет четыре уровня развития логического мышления учащихся: продвинутый (90-100% правильно выполненных заданий); высокий (70-90%); базовый (50-70%); ниже базового (менее 50% правильно выполненных заданий). Качественно эти уровни характеризуются следующим:

- ниже базового - частые логические ошибки, которые ученик не может исправить самостоятельно, серьезные затруднения в применении логических операций;

- базовый - немногочисленные логические ошибки в заданиях, самостоятельно исправляемые учеником, владение логическими операциями с опорой на наглядность;

- высокий - практическое отсутствие ошибок в заданиях, владение логическими операциями с частичной опорой на наглядность;

- продвинутый - интериоризация логических операций и их переход в логические приемы мышления.

В системе работы учителя по развитию логического мышления учащихся могут иметь место различные уровни.

1. Отсутствие специально организованной учителем работы по развитию логического мышления. Организационным фактором, направляющим в этом случае процесс развитии, является усваиваемое содержание предмета.

2. Организация деятельности учащихся по осознанию логической составляющей изучаемого содержания с помощью специально подобранных упражнений.

3. Организация специального обучения учащихся усвоению приемов логического мышления в явном виде с выделением их операционных составляющих. Такими приемами могут быть: доказательство методом от противного, подведение под определение, подведение под понятие и многое другое [5].

Соответственно уровням организации деятельности учащихся происходит усвоение материала на различных уровнях систематизации его в зависимости от осознания логических взаимосвязей в этом материале.

1. Уровень фрагментарных знаний, отсутствие осознания взаимосвязей между компонентами системы.

2. Уровень частичной логической организации изученного материала, понимание отдельных его взаимосвязей.

3. Уровень логично организованных знаний [5].

Последний уровень характеризуется пониманием целостности системы знаний, пониманием места отдельных элементов системы знаний в этой системе, то есть систематизацией изученного материала.

Приведем примеры упражнений, направленных на выделение логической составляющей изучаемого материала в соответствии со вторым уровнем организации деятельности учащихся.

Пример. При изучении равнобедренного и равностороннего треугольника наряду с другими заданиями можно предложить учащимся следующие вопросы:

- Верно, ли сформулировано определение: треугольник, у которого две стороны равны и два угла равные, называется равнобедренным?

- Верно ли, что все треугольники являются равнобедренными или равносторонними?

- Верно ли, что каждый равносторонний треугольник является равнобедренным, некоторые равнобедренные треугольники являются равносторонними?

- Какими могут быть неравносторонние треугольники?

- Верно, ли сформулировано предложение: биссектриса угла равнобедренного треугольника является его медианой и высотой?

В качестве примера приема в рамках третьего из выделенных ранее уровней рассмотрим прием по распознаванию признаков и свойств понятий. Актуальность изучения приема в явном виде диктуется большим количеством ошибок по смешению признаков и свойств понятий. Ошибки допускаются не только начинающими изучать курс геометрии, но и выпускниками школы. И, напротив, понимание терминов свойство и признак понятия позволяет учащимся выяснить место каждой теоремы в системе теорем, систематизировать свои знания по каждому понятию, помогает правильно применять изученные теоремы. Ситуации, в которых используются теоремы, различны: свойства понятий используются, когда есть объект, принадлежащий понятию, признаки - когда необходимо под понятие подвести.

В математике свойства понимаются как необходимые условия существования понятия, признаки - как достаточные или необходимые и достаточные условия существования понятия. В школьном курсе термин признак всегда употребляется как необходимое и достаточное условие.

Ближе всего к школьному пониманию терминов свойство и признак являются следующие определения, на которые можно опереться при разговоре с учащимися. "Свойство - каждая из множества сторон вещи или явления, выявляющаяся во взаимодействии данного предмета с другими" [14]. "Признак - показатель, примета, знак, по которым можно узнать, определить что-либо" [13].

По сути дела свойство понятия, объекта - это все то, что можно сказать об объекте, изучая его. Признаки - это те свойства, условия, по наличию которых объект можно отнести к определенному классу объектов, к понятию.

В качестве примера рассмотрим теорему Пифагора. Теорема описывает прямоугольный треугольник, то есть является свойством прямоугольного треугольника. Аналогично, теорема "Отношение периметров подобных многоугольников равно коэффициенту подобия этих многоугольников" описывает имеющиеся подобные многоугольники, то есть является их свойством.

Рассмотрим формулировку теоремы: "Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны, является параллелограммом". В этой теореме условие попарного равенства противоположных сторон четырехугольника является приметой, показателем, знаком того, что четырехугольник является параллелограммом.

Условная форма теоремы позволяет определить формально, признаком или свойством некоторого понятия является рассматриваемая теорема. Если понятие находится в условии теоремы ("Если треугольник является прямоугольным, то..."), - теорема выражает свойство этого понятия. Если рассматриваемое понятие находится в заключение теоремы ("..., то данный четырехугольник является параллелограммом"), - теорема является его признаком [3].

При этом называть теорему признаком или свойством безотносительно к понятию нельзя, т. к. формально каждую теорему можно считать свойством одного понятия и признаком другого. Например, теорема "В подобных треугольниках соответствующие углы равны" является свойством понятия подобные треугольники и признаком равенства углов. Некоторые условия являются как свойствами, так и признаками одного и того же понятия, например, деление диагоналей, пополам в точке их пересечения для параллелограмма.

Как строится теория понятия? Вначале дается формальное определение понятия. Затем из определения получают в качестве его следствий различные свойства понятия. Затем строят обратные предложения к отдельным свойствам и проверяют их истинность. Так получают признаки. Часто для получения признаков используют не одно, а несколько свойств [12].



2. Развитие логического мышления одаренных учащихся на уроках геометрии в 7-9 классов: практические аспекты

Какова же роль геометрических задач для одаренных подростков 7-9 классов? На этот вопрос можно ответить следующим образом.

Мыслительные умения, восприятие и память при решении задач. Решение геометрических задач требует применения многочисленных мыслительных умений: анализировать заданную ситуацию, сопоставлять данные и искомые, решаемую задачу с решенными ранее, выявляя скрытые свойства заданной ситуации; конструировать простейшие математические модели, осуществляя мысленный эксперимент; синтезировать, отбирая полезную для решения задачи информацию, систематизируя ее; кратко и четко, в виде текста, символически, графически и т. д. оформлять свои мысли; объективно оценивать полученные при решении задачи результаты, обобщать или специализировать результаты решения задачи, исследовать особые проявления заданной ситуации. Сказанное говорит о необходимости учитывать при обучении решению геометрических задач современные достижения психологической навыки.

Исследованиями советских психологов установлено, что уже восприятие задачи различно у различных учащихся данного класса. Способный к математике ученик воспринимает и единичные элементы задачи, и комплексы ее взаимосвязанных элементов, и роль каждого элемента в комплексе [8].

Обучение мышлению. Эффективность геометрических задач и упражнений в значительной мере зависит от степени творческой активности учеников при их решении. Собственно, одно из основных назначений задач и упражнений и заключается в том, чтобы активизировать мыслительную деятельность учеников на уроке.

Геометрические задачи должны, прежде всего, будить мысль учеников, заставлять ее работать, развиваться, совершенствоваться. Говоря об активизации мышления учеников, нельзя забывать, что при решении математических задач учащиеся не только выполняют построения, преобразования и запоминают формулировки, но и обучаются четкому мышлению, умению рассуждать, сопоставлять и противопоставлять факты, находить в них общее и различное, делать правильные умозаключения.

Правильно организованное обучение решению задач приучает к полноценной аргументации со ссылкой в соответствующих случаях на аксиомы, введенные определения и ранее доказанные теоремы. С целью приучения к достаточно полной и точной аргументации полезно время от времени предлагать учащимся записывать решение задач в два столбца: слева - утверждения, выкладки, вычисления, справа - аргументы, то есть предложения, подтверждающие правильность вызванных утверждений, выполняемых выкладкой и вычислений.

Взрослому человеку, как в повседневной жизни, так и в профессиональном труде для принятия правильных решений исключительно важно уметь рассматривать все возможные случаи создавшейся ситуации. Это надо разъяснять и школьникам. Важно такое умение и при изучении геометрии, в противном случае неизбежны ошибки. Умение же предусмотреть все возможные варианты некоторой ситуации свидетельствует о развитости мышления рассматривающего эту ситуацию.

Умение рассуждать включает в себя и умение оценивать истинность или ложность высказываний, правильно составлять сложные высказывания и суждения, то есть логически правильно употреблять союзы "и", "или", отрицание "не". Обучение верному применению этих связок помогает воспитанию у учащихся математически грамотной речи, а мышление, как известно, связано с языком, речью человека.

Полезно научить одаренных учащихся, верно, формулировать отрицания тех или иных предложений. Такое умение особенно важно при решении задач сведением к противоречию.

Существенно для развития математического мышления учащихся формирование умений правильно выделять посылки и заключения. Такие умения формируются обычно при решении задач на доказательство. На первых же порах необходимы упражнения в расчленении некоторых предложений на досылки и заключения.

Задачи, активизирующие мыслительную деятельность учащихся. Эффективность учебной деятельности по развитию мышления во многом зависит от степени творческой активности учащихся при решении геометрических задач. Следовательно, необходимы геометрические задачи и упражнения, которые бы активизировали мыслительную деятельность школьников. А.Ф. Эсаулов подразделяет задачи на следующие виды: задачи, рассчитанные на воспроизведение (при их решении опираются на память и внимание); задачи, решение которых приводит к новой, неизвестной до этого мысли, идее; творческие задачи. Активизирует и развивает мышление учащихся решение задач двух последних видов [8].

Задачи являются неотъемлемой составной частью курса геометрии в средней школе. Действительно, лишенный задач курс элементарной геометрии представлял бы собой лишь группу теорем размещенных более или менее последовательно. Пользы от изучения такого курса очень мало.

Во-первых, учащимся пришлось бы у "вызубривать" содержание этих теорем, поскольку школьники не видели бы никакого применения изучаемого материала. Был бы нарушен известный дидактический принцип сознательности обучения. Во-вторых, такой курс не был бы связан с другими дисциплинами, входящими в программу средней школы, в том числе и с другими математическими дисциплинами. В-третьих, такой курс ни в малейшей степени не способствовал бы развитию пространственных представлений учеников. В-четвертых, такой курс не дал бы школьникам подготовки к решению даже простейших практических задач.

Поэтому весь школьный курс геометрии должен быть насыщен различными упражнениями. Как бы ни менялись программа и количество часов, отводим на изучение геометрии, решение задач остается важнейшей частью курса.

Разумеется, речь идет не о произвольном наборе задач. Задачи являются первой формой применения знаний, полученных школьниками в процессе изучения геометрии. Поэтому предлагаемые задачи должны соответствовать подготовке учеников, причем речь идет не только о соответствии общем (программе, учебнику), но и об учете знаний конкретного класса, особенностей производственного обучения и т. д.

Однако задачи играют не только вспомогательную роль - закреплять знания изученного теоретического материала, но и обучающую роль в процессе решения задач школьники знакомятся с методами математического рассуждения, расширяют кругозор.

При подготовке к теме урока учитель особое внимание обращает на подбор упражнений. Основным источником для подбора задач является стабильный задачник. Однако он не может быть единственным источником. Вводной книге нельзя поместить достаточного количества упражнений и для ведения индивидуальной работы как с теми учащимися, которые временно стали в учебе, так и с теми, кто определил своих товарищей, и для повторения материала (в конце темы, четверти, учебного года и для проведения контрольных работ).

Поэтому учителя используют, кроме стабильного задачника, другие сборники упражнений, отдельные статьи из опыта преподавания, содержащие подбор упражнений к отдельным темам курса, а также сами составляют геометрические задачи.

Для того, чтобы перевести одаренных учащихся на уроках геометрии в 7-9 классов на более высокие уровни развития логического мышления, необходимо подобрать соответствующие задачи. Как известно, упражнения в геометрии в зависимости от условия и задания делят на три группы: задачи, на вычисление, доказательство и на построение. В соответствии с вышесказанным были подобраны задачи, которые переводят на более высокий уровень одаренных подростков не только развития логического мышления, но и на следующий уровень систематизации.

Чтобы перевести одаренных учащихся 7 класса на уроках геометрии с уровня фрагментарных знаний, отсутствия осознания взаимосвязей между компонентами системы на уровень частичной логической организации изученного материала, понимание отдельных его взаимосвязей необходимо решать следующие задачи.

1. Пусть а - число, выражающее длину отрезка АВ при единице измерения CD, а b - число, выражающее длину отрезка CD при единице измерения АВ. Как связаны между собой эти числа?

Для решения данной задачи учащиеся должны иметь знания по теме по пропорциональные отрезки, а также найти взаимосвязь между компонентами задачи.

Из условия получаем, что АВ=а•CD, а CD =b•АВ.

Следовательно, , b= а•b=; а= .

2. Даны шесть попарно пересекающихся прямых. Известно, что через точку пересечения любых двух прямых проходит, по крайней мере, еще одна из данных прямых. Докажите, что все эти прямые проходят через эту точку.

Для доказательства данной задачи учащимся необходимы в знания по теме пересекающиеся прямые, а также известен метод от противного.

Рисунок 1

Из условия известно, что можно разбить наши шесть прямых на две тройки. Пусть прямые 1, 2 и 3 пересекаются в точке О1, а прямые 4, 5 и 6 в точке О2, а прямые 6 и 1 пересекаются в точки О3. По условию через точку О3 должна проходить ещё хотя бы одна прямая, кроме прямых 6 и 1, это возможно только если все три точки О1, О2 и О3 совпадают.

Предположим противное, тогда через точку О3 проходит хотя бы одна из прямых 2, 3, 4 или 5, что невозможно, поскольку через две точки О1 и О2 или О2 и О3 на плоскости можно провести только одну прямую, или какие-то прямые совпадают, что противоречит условию, значит, наше предположение не верно, и все шесть прямых проходят через одну точку.

Решая задачи такого типа, одаренные подростки перейдут на следующий уровень развития логического мышления, то есть на уровень частичной логической организации изученного материала, понимание отдельных его взаимосвязей.

Чтобы перевести учащихся на уровень логически организованных знаний, рассмотрим следующие задачи.

3. Точки С1 и С2 лежат по разные стороны от прямой АB и расположены так, что АС1 = BC2 и ?BAC1 = ?ABC2. Докажите, что прямая С1С2 проходит через середину отрезка АB.

Доказательство. Для решения данной прямой учащимся необходимы знания по теме углы при параллельных прямых, а также понять взаимосвязь между компонентами задачи.

Делаем предположение, что прямые параллельны. Рассмотрим прямые АС1 и BC2, и секущую на прямую АB, так как накрестлежащие углы ?BAC1 = ?ABC2 по условию, получим, что АС1 BC2.

Рисунок 2

?АС1С2 = ?ВС2С1 как накрестлежащие при пересечении параллельных прямых АС1 и ВС2 секущей С1С2. Пусть точка О - точка пересечения прямых АВ и С1С2. АС1О = ВС2О по стороне и двум углам (?ОАС1 = ?ОВС2, ?АС1О = ?ВС2О, АС1 = ВС2), в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, то есть АО = ОВ. Что и требовалось доказать.

4. В треугольнике АВС высота АА1 не меньше стороны ВС, а высота ВВ1 не меньше стороны АС. Докажите, что треугольник АВС - равнобедренный и прямоугольный.

Для решения задачи необходимы знания темам высота треугольника, равнобедренный и прямоугольный треугольники, а также понять взаимосвязи между компонентами задачи.

Рассмотрим прямоугольный 1 с прямым углом ВВ1С (так как ВВ1 - высота следовательно ВВ1 перпендикулярна АС).

Рисунок 3

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета, то есть ВСВВ1, учитывая, что по условию АА1ВС, получаем АА1ВС. Рассмотрим прямоугольный 1 с прямым углом АА1С, (так как АА1-высота , следовательно, АА1 перпендикулярна к ВС).В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета, то есть АСАА1, учитывая, что по условию ВВ1, получаем ВВ1АА1, по доказанному АА1ВС, следовательно, АА1=ВВ1.

ВВ1= АА1ВС, следовательно, ВС=ВВ1 и 1 равнобедренный, а углы при основании равнобедренного треугольника равны, следовательно, ?ВСВ1=?ВВ1С=90?, тогда



следовательно, ВВ1 совпадает с ВС. АА1=ВВ1АА1, следовательно, АС=АА1 и 1 равнобедренный, а углы при основании равнобедренного треугольника равны, следовательно,

Тогда

следовательно, АА1 совпадает с АС.

По доказанному следует, что АС=АА1=ВВ1=ВС и АС перпендикулярна ВС, следовательно, равнобедренный и прямоугольный, что и требовалось доказать.

Решая аналогичные задачи, мы переведем одаренных учащихся на последний уровень логически организованных знаний. Так как мы работаем с одаренными учащимися, были подобраны задачи повышенной трудности.

Чтобы перевести одаренных учащихся 8 класса на уроках геометрии с уровня фрагментарных знаний, отсутствия осознания взаимосвязей между компонентами системы на уровень частичной логической организации изученного материала, понимание отдельных его взаимосвязей необходимо решать следующие задачи.

1. Точка С лежит на отрезке АВ. Постройте точку D прямой АВ, не лежащую на отрезке АВ, так, чтобы . Всегда ли задача имеет решение?



Рисунок 4

Пусть АС>CB. Отметим точку М, не лежащую на прямой АВ, и на луче АМ отложим отрезок АС1, равный АС, а затем на луче С1А отложим отрезок С1В1, равный СВ. Проведем через точку С1 прямую, параллельную прямой В1В. Она пересекает прямую АВ в искомой точке D.

Действительно, так как С1DB1B, то . Отсюда, используя свойство пропорций, получаем:

Но С1В1 =СВ, АС1=АС (по построению), поэтому

откуда .

Тем самым доказано, что точка D - искомая.

Если АС<СВ, то построение искомой точки D проводится таким же образом, как и в случае АС>CB, но только теперь точка А будет лежать между С1 и В1.

Наконец, если АС=СВ, то =1, а для любой точки D прямой АВ, не лежащей на отрезке АВ, Таким образом, В этом случае построение точки D невозможно.

Решая задачи такого типа, одаренные подростки перейдут на следующий уровень развития логического мышления, то есть на уровень частичной логической организации изученного материала, понимание отдельных его взаимосвязей.

Чтобы перевести учащихся на уровень логически организованных знаний, рассмотрим следующие задачи.

2. Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму произвольного выпуклого четырехугольника, можно сделать паркет, полностью покрывающую любую часть плоскости.

Данная задача имеет практическое значение, что прибавит интерес к ее решению. Для доказательства данной задачи учащимся 8 класса необходима хорошая подготовка по таким темам, как четырехугольники, параллельность прямых и другие. Также для решения данной задачи необходима смекалка и гибкость ума, чтобы прийти непосредственно к ходу решения.

Пусть плитка имеет форму выпуклого четырехугольника ABCD. Через вершины А и С проведем прямую а, а через вершины В и D - b и с, параллельные прямой а.

Рисунок 5

Затем проведем прямые d и e, параллельные прямой а так, что расстояние между b и d равно расстоянию а и с (обозначим его r1), а расстояние между прямыми с и е равно расстоянию между прямыми а и b (обозначим его r2). Продолжая этот процесс неограниченно, мы разобьем всю плоскость на полосы, причем ширина полос (расстояние между соседними параллельными прямыми) принимает попеременно значения r1 и r2.

Разобьем полосу, заключенную между прямыми а и b, на треугольники, равные , так, как показано на рисунке, а полосу между прямыми а и с - на треугольники, равные . То же самое и с другими полосами.

В результате все плоскость можно представить разбитой на четырехугольники, причем каждый из них равен четырехугольнику ABCD. Стороны этих четырехугольников соответственно равны, и также углы соответственно равны.

Отсюда следует, что эти четырехугольники можно совместить наложением, а это означает, что они равны.

Таким образом, любую часть плоскости можно покрыть паркетом из одинаковых плиток, равных четырехугольнику ABCD.

3. Докажите, что основания перпендикуляров, проведенных из произвольной окружности, описанной около треугольника, к прямым, содержащим стороны этого треугольника, лежат на одной прямой (прямая Симпсона).

Рисунок 6

Путь D - произвольная точка окружности, описанной около данного треугольника. Обозначим вершины треугольника буквами А, В и С, так, чтобы получился четырехугольник ABCD. В этом четырехугольнике , поэтому либо , и тогда прямой Симпсона будет прямая АС, либо один из этих углов острый, а другой тупой. Для определенности будем считать, что - острый. Рассмотрим два случая: 1) а значит, и равные ему угол ABD - острые; 2) Указанные углы - тупые. В первом случае основание Н перпендикуляра, проведенного из точки D к прямой АВ, лежит между А и В, основание К перпендикуляра к АС лежит между А и С, а основание М перпендикуляра BC - вне отрезка ВС.

Решая аналогичные задачи, мы переведем одаренных учащихся 8 класса на последний уровень логически организованных знаний. Так как мы работаем с одаренными учащимися, были подобраны задачи повышенной трудности.

Чтобы перевести одаренных учащихся 9 класса на уроках геометрии с уровня фрагментарных знаний, отсутствия осознания взаимосвязей между компонентами системы на уровень частичной логической организации изученного материала, понимание отдельных его взаимосвязей необходимо решать следующие задачи.

1. В каждом из следующих случаях на оси абсцисс найдите точку М, для которой сумма ее расстояний от точки А и В имеют наименьшее значение: а) А(2;3), В(4:-5); б) А(-2;4), В(3;1).

В этой задаче учащимся 9 класса необходимо рассмотреть два случая:

Рисунок 7

а) искомая точка лежит на пересечении прямой АВ с осью Х. Если бы точка М не лежала на этой прямой, то получился бы треугольник АВМ. А из неравенства треугольника АВ<AM+BM.

Таким образом, найдем уравнение прямой АВ:



Так как, то , . Таким образом, М(.

б)

Рисунок 8

Построим образ точки В относительно оси Х: В`(3;-1).

Теперь, исходя из предыдущего пункта, найдем уравнение прямой АВ`:

y = -x+2.

Таким образом, М(2;0).

Решая задачи такого типа, одаренные подростки перейдут на следующий уровень развития логического мышления, то есть на уровень частичной логической организации изученного материала, понимание отдельных его взаимосвязей.

Чтобы перевести учащихся на уровень логически организованных знаний, рассмотрим следующие задачи.

2. Пусть АВСD - квадрат, а А1В1С1 - правильный треугольник, вписанные в окружность радиуса R. Докажите, что сумма АВ + А1В1 равна длине полуокружности с точностью до 0,01R.



Рисунок 9

Пусть R - радиус окружности. Тогда АВ = R; А1В1 =R. Длина полуокружности равна L = 3,14R.

;

Итого:

3. Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же размеров.

Рисунок 10

Спроецируем куб на плоскость так, чтобы диагональ его была перпендикулярна этой плоскости:



.

Таким образом, сторона шестиугольника равна и ОН = . Таким образом, радиус вписанной окружности равен , то есть в неё можно вписать квадрат стороной , что явно больше . Что и требовалось доказать [3].

Решая аналогичные задачи на уроках геометрии в 9 классе, мы сможем перевести одаренных подростков на последний уровень логически организованных знаний. Так как мы работаем с одаренными учащимися, были подобраны задачи повышенной трудности.



Заключение

В результате курсовой работы можно сделать вывод, что одаренные подростки - учащиеся с особой исключительностью, с более высокой, чем у сверстников восприимчивостью к учебе и более выраженными творческими проявлениями. Однако, эти способности, в частности, логическое мышление необходимо развивать, но развить их сможет только учитель с незаурядным интеллектом, который станет для подростка примером и добьется уважения, в первую очередь, знаниями. Иначе педагог не сможет стать авторитетом для одаренных учащихся 7-9 классов, не взирая ни на возраст, ни на опыт работы.

В результате были выполнены следующие задачи:

- Приведены в систему рекомендации педагогов и психологов по оптимальному развитию логического мышления одаренных учащихся 7-9 классов на уроках геометрии;

- Выяснено, какую роль играют учебные задачи в обучение математики, в частности, в геометрии.

Таким образом, учитывая особенности одаренных учащихся-подростков 7-9 класса, были подобраны задачи, позволяющие перевести их на следующий уровень развития логического мышления, которых создает оптимальные условия не только для интеллектуального развития одаренных учащихся, вовлеченных в педагогический процесс, но и повышает общий уровень математической культуры учащихся, улучшает их успеваемость.

Однако одного подбора задач, каким бы он ни был удачным, еще не достаточно, чтобы развивать мыслительные способности. Необходима специальная работа над задачами, в процессе которой учащиеся должны не только приобретать навыки их решения, но и вырабатывать умения осуществлять мыслительные операции и приемы.

Эту работу должен проводить учитель. Для этого ему необходимо хорошо знать, как происходит процесс усвоения знаний, что представляют собой мыслительные операции, как они формируются и совершенствуются в процессе обучения.



Список использованных источников

1. Амонов П.К. Психологические особенности развития математического мышления у учащихся 5-9 классов / П.К. Амонов. - М.: Просвещение, 1993. - 25 с.

2. Ананьев Б.Г. Формирование одаренности / Склонности и одаренность / Б.Г. Ананьев. - М: Педагогика, 1962. - 74 с.

3. Атанасян Л.С. Курс элементарной геометрии. Часть I. Планиметрия.: Учебное пособие / Л.С. Атанасян и др. - М.: Просвещение, 1975. - 176 с.

4. Брушлинский А.В. Психология мышления и проблемное обучение / А.В. Брушлинский. - М.: Знание, 1983. - 6-78 с.

5. Веселовская Е.В. Педагогическая диагностика логического мышления учащихся: автореф. дис. канд. пед. наук / Е.В. Веселовская. - Волгоград. 2002. - 16 с.

6. Гурова Л.Л. Психология мышления / Л.Л. Гурова. - М.: ПЕР СЭ, 2005. - 52с.

7. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения: Опыт теоретического и экспериментального психологического исследования / В.В. Давыдов. - М.: Педагогика. 1986. - 24 с.