Размещено на http://www.allbest.ru/

4

МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра алгебры геометрии и методики их преподавания

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА:

«Развитие логического мышления в процессе обучения математике»

Студента 5 курса д/о

Федорова Д. Ю.

Научный руководитель:

Доктор физ. - мат. наук

Профессор Дорофеев Г. В.

Москва 2011

Оглавление

Введение

Первая глава

Развитие логического мышления

§1. Историческая справка

§2. Роль логического мышления в процессе обучения

§3. Психолого-педагогические основы развития логического мышления

§4. Виды мышления

Вторая Часть

Задачи как средство развития логического мышления

§1. Парадоксы логики математики

§2. Высказывания и предложения с переменными

§3. Задачи

Список литературы

Введение

Преподавая математику в школе, учитель должен понимать, что не каждый ученик в дальнейшем выберет профессию, которая как-то связана с математикой. Поэтому возникает проблема: для чего конкретному ученику нужна и будет нужна в дальнейшем математика, в каких пределах и на каком уровне он хочет или может ее освоить.

Изучение математики оказывает существенное развитие творческих способностей человека, формирование логико-языковой культуры и духовно-нравственное становление личности.

В нынешнее время ни одна область человеческой деятельности не может обойтись без математики, без конкретных знаний математики, без интеллектуальных качеств, которые развиваются в ходе овладения математикой. И объясняется это уникальностью роли учебного предмета «математика» в формировании личности. Одной из основных целей учебного предмета «математика» как компоненты общего среднего образования является развитие мышления, прежде всего формирование абстрактного мышления, способности к абстрагированию, и умения «работать» с абстрактными, «неосязаемыми» объектами. В процессе изучения математики в наиболее чистом виде может быть сформировано логическое мышление, алгоритмическое мышление, многие качества мышления, такие как сила и гибкость, конструктивность и критичность и др. Эти качества мышления сами по себе не связаны с каким-либо математическим содержанием и вообще с математикой, но обучение математике вносит важную компоненту, которая в настоящее время не может быть эффективно реализована даже всей совокупностью остальных школьных предметов.

Но, с одной стороны, изучение математики играет существенную и даже уникальную роль в развитии определенных интеллектуальных качеств личности, а с другой стороны, лишь небольшая часть математической информации, конкретных знаний имеет для человека значение.

Интеллектуальный уровень личности характеризуется в основном двумя параметрами: объемом приобретенной информации и способностью использовать эту информацию для достижения определенных целей - для решения возникающих в процессе деятельности задач, решения различного рода проблемных ситуаций.

Первый из этих параметров характеризует эрудицию человека, второй - его интеллектуальное развитие.

Объем знаний, который человек может получить в общеобразовательной школе, естественно, ограничен. В этих условиях задача сообщения человеку на уровне среднего образования объема информации, достаточного для его будущей деятельности, оказывается не реальной. На первый план выходит задача интеллектуального развития, включающего, в частности, способность человека к усвоению новых знаний, к самостоятельному поиску и усвоению новой информации.

Исходя из вышесказанного, становится понятным, что цель данного диплома является развитие логического мышления.

Для достижения это цели необходимо решить следующие задачи:

Анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме логического мышления школьника.

Подбор задач для развития логического мышления.

Представить методику развития логического мышления у учащихся с помощью задач.

Первая глава. Развитие логического мышления

логическое мышление школьник методический

§1. Историческая справка

Заглянем в прошлое. В чем ценность изучения математики для человека.

Еще в эпоху Античности философы греко-римской цивилизации включали математику прямо или косвенно в круг своих научных интересов, ибо, как говорил Платон, «геометрия есть познание всего сущего».

Вообще античные ученые главную ценность математической науки видели в образовательном значении и, прежде всего для воспитания ума. «Она (математика) влечет к истине и развитию философского знания, что нужно ценить выше всего» - говорил Платон.

В Афинах целью образования было разбудить в человеке человеческое, видеть в нем «не поэта, не ремесленника, но человека», который мог бы впоследствии быть и тем, и другим, не переставал быть человеком.

В эпоху Средневековья основу широко распространенной тогда классической системы образования, составляли humaniora - занятия, направленные на всестороннее развитие высших способностей учащихся -- на воспитание их воли и ума, независимо от практической деятельности или будущей профессии. Занятия математикой рассматривались в основном как способ совершенствования логики и языка рассуждений.

И действительно, природа щедро наделила человека. Особенности, свойственные только человеку: способность мыслить и передавать свои мысли, имеющуюся у него информацию другим людям посредством речи. Способность четко мыслить, полноценно логически рассуждать и ясно излагать свои мысли в настоящее время необходимо каждому. В них нуждается ученый и руководитель предприятия, врач и преподаватель, политический деятель и простой рабочий. Вот те причины, в силу которых развитие речи и мышления являются основной задачей, начиная с детского сада. И совершенствовать эти два дара необходимо всю жизнь. От того, насколько успешно удастся решить эти задачи, зависит многое, и прежде всего прогресс общества, научно-техническое развитие, экономическое и культурное процветание. Вот почему все члены педагогического коллектива - математики и физики, биологи и лингвисты, историки и географы - обязаны не просто преподавать знания, которые предусмотрены программой обучения, а одновременно развивать мышление и приучать учащихся к правильной, ясной, убедительной, четкой и краткой, но одновременно насыщенной смыслом речи.

Математика, в том числе и школьная, имеет огромные возможности для воспитания привычки к отчетливому мышлению и четкой, логически совершенной речи. Чтобы успешно ответить на вопрос преподавателя, привести доказательство теоремы или самостоятельно решить задачу, нужно не просто выучить материал, а самостоятельно размышлять.

В эпоху Просвещения был открыт «интеллектуальный» характер античной культуры, венцом которой была древняя философия и математика. Если раньше изучали математику древних, чтобы правильно понимать и убедительно говорить, то теперь их стали изучать, чтобы хорошо мыслить. «Я мыслю, значит, я существую» (Р. Декарт) -- таков был девиз «просветительской эпохи».

Просвещенцы видят в эллинской традиции обучения математике не задачу формирования необходимых знаний, а направленность на интеллектуальное развитие человека. «Математику затем учить следует, что она ум в порядок приводит» - говорил М.В. Ломоносов.

Гуманисты эпохи Просвещения выступали за разностороннее воспитание, приобщение к творчеству, в основе которого лежит знание, переходящее в поступки. Понимание разностороннего воздействия математики на развитие человека, воспитание не только интеллектуальной, но и нравственно-эстетической сферы его личности характерно было и для российских просветителей. Приведем некоторые высказывания: «В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии» (Н.Е. Жуковский), «Кто приобрел навык общаться легко и свободно со всевозможными алгебраическими и геометрическими выкладками, приобрел умение выражать мысли ясным и точным языком, тот смело может взяться за любую отрасль самостоятельных знаний» (Д.И. Писарев).

Традиции математического образования на определенных исторических этапах актуализировались с разной степенью полноты. Но все же отдельные аспекты математического образования, связанные, например, с воспитательным значением этого предмета оставались незыблемыми.

§2. Роль логического мышления школьников в процессе обучения математике

Формирование логического мышления - важная составная часть педагогического процесса. Помочь учащимся в полной мере проявить свои способности, развить инициативу, самостоятельность, творческий потенциал - одна из основных задач современной школы. Успешная реализация этой задачи во многом зависит от сформированности у учащихся познавательных интересов.

Математика даёт реальные предпосылки для развития логического мышления, задача учителя - полнее использовать эти возможности при обучении детей математике. Однако, конкретной программы логических приемов мышления, которые должны быть сформулированы при изучении данного предмета, нет. В результате работа над развитием логическою мышления идёт без знания системы необходимых приёмов, без знания их содержания и последовательности формирования.

Первоначальные математические знания усваиваются детьми в определённой, приспособленной к их пониманию, системе, в которой отдельные положения логически связаны одно с другим, вытекают одно из другого. При сознательном усвоении математических знаний учащиеся пользуются основными операциями мышления в достигнутом для них виде анализом и синтезом, сравнением, абстрагированием и конкретизацией, обобщением; ученики делают индуктивные выводы, проводят дедуктивные рассуждения. Сознательное усвоение учащимися математических знаний развивает логическое мышление учащихся. Овладение мыслительными операциями в свою очередь помогает учащимся успешнее усваивать новые знания.

Познавая предметы и явления окружающей действительности, мы можем мысленно расчленять предмет или явление на составные части и мысленно же соединять части в одно целое. Операция мышления, направленная на расчленение целого на составляющие его части, называется анализом. Операция мышления, направленная на установление связи между предметами или явлениями, называется синтезом. Эти операции мышления взаимно связаны.

Используя в начальном обучении математике различные методы, учитель применяет их так, чтобы они содействовали активизации мышления учащихся и тем самым способствовали его развитию.

Проблема развития детского интеллекта достаточно обстоятельно рассматривается в психолого-педагогической и методической литературе, но в практике школы должного внимания не получила. Дело в том, что перед каждым человеком жизнь постоянно ставит острые и неотложные задачи и проблемы. Для их успешного разрешения необходимо не только постоянно увеличивать свои знания, но и открывать все новые и новые процессы, свойства и взаимоотношения людей, вещей, явлений. Поэтому, какие бы новые веяния ни проникали в школу, как бы ни менялись программы и учебники, формирование культуры интеллектуальной деятельности учащихся всегда останется одной из основных общеобразовательных и воспитательных задач.

Как известно успех интеллектуального развития школьника достигается главным образом на уроке. Следовательно, в основном именно от учителя, от его умения организовать систематическую познавательную деятельность, и зависит степень интереса учащихся к учебе, уровень знаний, готовность к постоянному самообразованию, т.е. их интеллектуальное развитие.

§3. Психолого-педагогические основы в процессе обучения математике

Психология теоретически и экспериментально подтвердила, что при благоприятных социальных условиях у человека создаются предпосылки для развития специальных способностей. Присущее человеку свойство развития специальных способностей не может непосредственно воздействовать на то, что усваивает человек, какие знания и умения становятся его достоянием. Но это свойство оказывает определенное влияние, как на процесс усвоения, так и на то, как реализует, использует человек свои знания и умения в деятельности. Другими словами дифференциация обучения способствует развитию интеллектуальных способностей.

Ведущую роль в структуре интеллекта занимает мышление, так как организует любой познавательный процесс, поэтому включение различных видов мышления в учебную деятельность также влияет на развитие интеллекта.

Как было сказано, мышление играет ведущую роль в интеллектуальном развитии человека. Психологической основой концепции проблемного обучения является теория мышления, как продуктивного процесса, выдвинутая С.Л. Рубинштейном.

В общих чертах ее можно охарактеризовать следующим образом. Процесс обучения связан с взаимодействием преподавателя и ученика, при котором первый передает второму накопленный опыт старших поколений. Вся история познания представляет собой историю преодоления познавательных затруднений. Соответственно мышление рождается и развивается при необходимости преодоления затруднений, которые принято называть проблемной ситуацией.

Мышление - это высший познавательный процесс, представляющий собой активную форму творческого отражения действительности, порождающий новое знание. При этом мышление не существует отдельно, а присутствует во всех других познавательных процессах: в восприятии, внимании, воображении, памяти, речи, определяя степенью своего участия их уровень развития. Но мышление отличается от этих процессов наличием проблемной ситуации, задачи, которую нужно решить и активным изменением условий, в которых эта задача задана. Мышление хотя и является естественной функцией человеческого мозга, не может существовать вне общества, вне языка, вне накопленных человечеством знаний и вырабатываемых им способов мыслительной деятельности: логических, математических и тому подобных действий и операций. Можно выделить и главный признак мышления. Когда человек мыслит (независимо от его индивидуальных особенностей - умения выделять существенное, самостоятельно приходить к все новым обобщениям), он не ограничивается констатацией того или иного отдельного факта или события, пусть даже яркого, интересного, нового и неожиданного, его мышление идет дальше, углубляясь в сущность данного явления и открывая общий закон развития всех более или менее однородных явлений, как бы внешне они не отличались друг от друга.

§4. Виды мышления

Рассмотрим теперь классификацию видов мышления (в виде схемы). Эта классификация основана на развитии мышления по использованию в его процесс образов и понятий в степени абстрагирования от действительности.

мышление

теоретическое образное

понятийное образное наглядно- наглядно-

образное действенное

Дадим краткую характеристику каждому из видов мышления:

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЙНОЕ МЫШЛЕНИЕ - это вид мышления, пользуясь которым человек в процессе решения задачи привлекает знания, полученные другими людьми, выраженные в понятийной форме, суждениях, умозаключениях.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБРАЗНОЕ МЫШЛЕНИЕ - это вид мышления, пользуясь которым человек в процессе решения задачи извлекает образы непосредственно из памяти или творчески воссоздает воображением.

НАГЛЯДНО - ОБРАЗНОЕ МЫШЛЕНИЕ - это вид мышления, при использовании которого человек непосредственно связан с восприятием окружающей действительности и без него совершаться не может.

НАГЛЯДНО - ДЕЙСТВЕННОЕ МЫШЛЕНИЕ - это вид мышления, при использовании которого человек непосредственно связан с практическим преобразованием действительности.

ЛОГИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ - это вид мышления, сущность которого в оперировании понятиями, суждениями и умозаключениями с использованием законов логики.

Виды мышления у человека могут проявляться одновременно в деятельности, однако в зависимости от ее характера и конечных целей преобладает тот или иной вид мышления. По степени своей сложности, по требованиям к интеллекту и другим способностям человека ни один из видов мышления не уступает другому.

Важнейший переломный шаг на пути интеллектуального развития ребенок совершает во время подросткового периода. Он переходит от комплексного мышления к мышлению в понятиях. Образование понятий и оперирование ими - вот то существенное новое, что приобретается в этом возрасте.

Мышление в понятиях - это новая форма интеллектуальной деятельности, новый способ поведения, новый интеллектуальный механизм.

Логическое мышление не складывается из понятий, как из отдельных элементов, оно не добавляется к понятиям как нечто, стоящее над ними и возникающее после них - оно есть сами же понятия в их действии, в их функционировании. Важнейшим переворотом в формах мышления подростка, переворотом, происходящем в результате образования понятий и представляющим второе основное следствие приобретение этой функции является овладение логическим мышлением. Только в переходном возрасте овладение логическим мышлением становится реальным фактом, и только благодаря этому факту возможны те глубокие изменения в содержании мышления.

Возраст 7-8 лет обозначает серьезный шаг вперед, формы логического мышления появляются в этом возрасте в области наглядного мышления. Приблизительно лишь к 14 годам ребенок оказывается в состоянии видеть связь между выполняемыми умозаключениями и понимать их. Только после завершения первого школьного возраста и только с началом подросткового возраста совершается переход к логическому мышлению у ребенка.

Очень часто мы путаем развитие способности мыслить и процесс усвоения знаний. А эти два процесса отнюдь не совпадают, хотя один без другого и невозможен. «Многознание уму не научает», хотя много знать должны люди, претендующие на ум. Эта мысль, высказанная две с лишнем тысячи лет назад Гераклитом не устарела и поныне. Неверно судить, что ум это естественный дар. Верно, что способность, умение мыслить не возможно «вдолбить» в виде суммы правил, рецептов, как теперь выражаются алгоритмов. В виде алгоритмов в его голову можно «вложить» лишь механически, т.е. очень глупый ум, - ум счетчика - вычислителя, но не ум математика. Теперь ясно, что ум - это не «естественный дар». Человек обязан природе только мозгом, - органом мышления, способность же мыслить с помощью этого мозга не только развивается, совершенствуется, но и возникает лишь вместе с приобщением человека к общечеловеческой культуре, к знаниям.

Задача социального общества - открывать, облегчать каждому человеку доступ к усвоению человеческого развития, в том числе к условиям развития способности самостоятельно мыслить. В первую очередь это обязана делать школа. Для этого необходимо организовывать процесс усвоения знаний, процесс усвоения умственной культуры, так чтобы входе этого процесса ребенок постоянно был вынужден тренировать не только и не сколько память, сколько способность самостоятельно решать задачи, требующие мышление, требующие самостоятельного суждения.

Решение задач - вовсе не привилегия математики. Все человеческое познание есть не что иное, как непрекращающийся процесс постановки и разрешения все новых и новых задач, вопросов, проблем. Ясно, что человек, увидевший в теоретической формуле ясный ответ на заинтересовавший его вопрос, проблему, трудность, эту теоретическую формулу не забудет. Ему не нужно будет ее зазубривать, он ее запомнит легко и естественно. А и забудет - не беда, всегда выведет снова, когда ему встретится ситуация - задача с тем же составом условий. Это и есть умение логически мыслить.

Вторая глава. Задачи как средство развития логического мышления

§1. Парадоксы логики математики

Поговорим о некоторых особенностях математического языка и логики математики, отличающих их от языка и логики "обычного человека". Как ни странно, но есть случаи, когда математический подход существенно расходится с "нормальным", "общежитейским", "обще языковым" подходом, т.е., можно сказать, со "здравым смыслом".

Поставим вопрос: "Верно ли, что из= -1 следует, что x = 1?". С точки зрения здравого смысла, этот вопрос сам по себе некорректен: как может хоть что-нибудь следовать из равенства, которое не может быть верным? Так именно ответит на этот вопрос человек, далекий от тонких вопросов логики математики (но знающий все же, что арифметический корень не может быть равен 1). Более подготовленный человек может сказать то же самое, но другими словами: "Предложение "Из равенства = -1 следует, что x = 1" не является высказыванием, и поэтому поставленный вопрос не имеет смысла".

Имеем, однако, возможность рассмотреть этот вопрос глубже, руководствуясь не столько своим языковым "ощущением", сколько опираясь, как и положено в математике, на принятые определения. Однако само понятие высказывания у нас не имеет определения, точного с математической точки зрения, и при решении вопроса, является ли то или иное предложение высказыванием, мы опираемся, исключительно именно на свое "ощущение языка".

Так, разные люди по-разному отвечают на вопрос, являются высказываниями следующие два "хрестоматийных" для лингвистики предложения: "Синус лает на собаку" и "Зеленые идеи яростно спят". Оба предложения, чаще всего признаются бессмысленными, т.е. являющимися высказываниями, хотя первое из них вполне может оказаться истинным в ситуации, когда Синус - это имя второй собаки, а второе может встретиться в поэтической, метафорической речи, где также может приобрести смысл: зеленые, т.е. незрелые идеи еще спят, но спят яростно, т.е. готовы к пробуждению и активной жизни. Подобные проблемы, и, вообще, проблема смысла предложения изучаются в разделе лингвистики под названием семантика.

Как же эти проблемы, относящиеся к языку и мышлению человека решаются в математике, т.е. в достаточно ограниченном контексте? Встанем в исходном вопросе, прежде всего на точку зрения здравого смысла: будем считать, что предложение "Из равенства = -1 следует, что x = 1" не является высказыванием, поскольку не существует ни одного значения x, при котором равенство было бы верным = -1.

С помощью принятой нами символики это предложение записывается в виде = -1 x = 1, где = -1 и x = 1 - две обычные высказывательные формы, и "странности" возникают только из-за того, что они "плохо" соединяются знаком следствия, из-за того, что первая из этих форм всегда является ложным высказыванием - тождественно ложна.

Но по той же самой причине нельзя считать высказыванием и предложение "x xA" - никакой предмет не может принадлежать пустому множеству. А это предложение имеет в математике вполне разумный смысл: оно означает, что A: пустое множество является подмножеством любого множества.

С точки зрения, на которую мы встали, придется отказаться и от этого утверждения. Перестает быть правильной и стандартная схема доказательства равенств с множествами, основанная на равносильности A = B (A B)&(B A), - равенство = истинно, а включение ложно. А, казалось бы, абсолютно очевидное предложение A B A верно только при условии, что пересечение A B не пусто.

Но, что самое главное, эти логические "тонкости" имеют самое непосредственное отношение и к обычной школьной математике. Так, вряд ли кто-нибудь из вас сомневается, что a = -1 a² = 1, но подставив в эту равносильностьвместо a мы немедленно получим, согласно "временно" принятой точке зрения, бессмыслицу. Таким образом, даже простейшую операцию подстановки в общем виде проводить нельзя.

Другими словами, встав на точку зрения "здравого смысла", очень многое надо будет пересматривать. А какие же последствия влечет альтернативная точка зрения - если считать, что исходное предложение = -1 x = 1 все же является высказыванием?

В этом случае мы можем воспользоваться определением следствия P(x) Q(x) и немедленно обнаружим, что в нем речь идет только о значениях переменной, при которых посылка P(x) истинна. Как же быть в случае, когда таких значений нет?

Для ответа на этот вопрос, как ни странно, обратимся к... обычному языку. Допустим, если в точке Земли с координатами 5432' северной широты и 7224' восточной долготы всплыл кит и выпустил фонтан воды, то этот кит живой? Разумеется, ответ будет да, не задумываясь при этом над тем, всплыл он или не всплыл. А между тем точка с данными координатами расположена на суше, и кита в ней не может быть!

Другими словами, делая "в жизни" определенные выводы, говоря о следствиях, мы можем не задумываться об истинности посылок - такие выводы вполне могут выть правильными. Точно так же, если в 10^г классе 7-й школы г. Верхне-Вартовска все мальчики хорошо играют в футбол, а Вася Сергеев учится в этом классе, то мы немедленно сделаем вывод, что он хорошо играет в футбол, даже существует ли такой город, есть ли в нем такая школа и такой класс, и учится ли в этом классе хотя бы один Вася Сергеев.

Это и есть логика - искусство проведения правильных рассуждений, основываясь на связях между предложениями, а не на истинности самих этих предложений. И если наши посылки истинны, то при правильных рассуждениях и выводы будут истинными. Но именно это и обеспечивается нашим определением следствия: когда мы говорим об истинности следствия P(x) Q(x), мы не говорим ни об истинности посылки P(x), ни об истинности заключения Q(x), но гарантируем истинность заключения в случаях, когда истинна посылка. И нам ничто не мешает считать следствие P(x) Q(x) истинным и в случае, когда его посылка P(x) - как говорят, "из лжи следует все, что угодно".

Подойдем к этому вопросу еще с одной стороны. Раз уж мы признаем предложения P(x) Q(x), или, по-русски, "Из P(x) следует Q(x)" с тождественно ложной посылкой высказываниями, то мы должны уметь строить его отрицание, и на уровне обычного языка его отрицание есть "Из P(x) не следует Q(x)", т.е., согласно определению следствия, существует такое значение x, при котором посылка P(x) истинна, а заключение Q(x) ложно.

Попробуйте, однако, найти такое значение x, при котором посылка = -1 истинна, а заключение x = 1 ложно - ясно, что это не удастся, и именно потому, что равенство = -1 всегда ложно. Так обстоит дело и в общем случае: если посылка P(x) тождественно ложна, то отрицание следствия P(x) Q(x), понимаемое естественным образом по-русски или записанное на логическом языке в виде x(P(x)Q(x)), очевидно, ложно, а стало быть, само следствие истинно.

Впервые подобные эффекты языка и логики были открыты не математиками, а философами-логиками в эпоху Возрождения, занимавшимися так называемой схоластикой. В настоящее время словом "схоластика" называют пустопорожние рассуждения, жонглирование словами и фразами, и основным предметом дискуссий схоластов называют обсуждение вопроса, сколько чертей могут поместиться на булавочной головке. Между тем даже русское слово школа имеет со словом "схоластика" общее происхождение.

Основателем логики является один из величайших ученых в истории человечества, древнегреческий философ Аристотель, построивший, можно сказать, систему аксиом, аксиоматику логики, отражающую общечеловеческую логику, заложенную в языке. В его системе общее высказывание типа P(x) Q(x) формулировалось в виде "Все S суть P", т.е. все объекты, обладающие свойством S, обладают и свойством P, но для его истинности было необходимо, чтобы хотя бы один объект, обладающий свойством S, существовали: например, понятно, что все люди смертны, но утверждение "Все гаглики являются мымриками" считается, ложным, поскольку гагликов "не бывает".

Аристотелева логика оказалась, однако, не слишком удобной для математики - математики используют логику иную, которую не стоит называть "неаристотелевой", поскольку эти логики отличаются совершенно несущественно, только в "крайних" случаях, а по отношению к таким случаям математика не слишком согласуется с реальным языком - вспомним, например, что множество может не иметь элементов, что часть (подмножество) может совпадать с целым.

§2. Высказывания и предложения с переменными

Сначала вспомним некоторые понятия, изучавшиеся нами еще в младших классах. Это, прежде всего, предложение с переменной. На протяжении нескольких лет решаем уравнения и неравенства - они и являются "главными" школьными примерами предложений с переменными. И уже из этих примеров можно легко понять, почему они так называются.

Например, уравнение x² = 1 - это предложение русского языка, построенное с соблюдением правил грамматики, в нем есть, в частности, подлежащее (x²) и сказуемое (равно 1). А буква x - это переменная: вместо нее можно подставлять различные конкретные числа. При каждой такой подстановке мы получаем уже обычное для естественного языка предложение - без всяких переменных: например, 2² = 1, (-1)² = 1, 100² = 1. Одно из этих предложений истинно, два других ложны.

Предложения, о которых имеет смысл обсуждать вопрос, истинны они или ложны, принято называть высказываниями. Не всякое грамматически правильное предложение русского языка является высказыванием - не имеет смысла обсуждать истинность предложений "Который час?" или "Пусть всегда будет солнце!", так же, как и истинность классического в лингвистике предложения "Зеленые идеи яростно спят", совершенно законного с точки зрения грамматики.

А предложения с переменными часто называют высказывательными формами ("формами для производства высказываний" - как в промышленности, где изделия штампуются с помощью заранее изготовленных форм). Точно так же из предложения с переменной x 2 можно "наштамповать" много высказываний - как истинных, так и ложных: 3 2, 2 2, -5 2 и т.д.

Предложение может содержать и несколько переменных - например,

2x - y = 1, x² + y² = 1, x + y > 2, (a + b)c = ac + bc, a делится на b,

ABC - прямоугольный, ABCD - квадрат,

Город a - столица государства b.

Чтобы такое предложение стало высказыванием, нужно подставить конкретное значение каждой переменной - как говорят, фиксировать каждую переменную.

Однако типичными для математического языка примерами предложений с переменными являются не только уравнения и неравенства. Напротив, в математике - в особенности, в теории - более распространены иные предложения с переменной: например, aN - высказывательная форма с переменной a.

Высказывательные формы, как и другие понятия математического языка, "имеют право" на свой способ обозначения - иначе о них невозможно говорить "в общем виде". Его можно даже "угадать" самостоятельно, если заметить аналогию с числовыми выражениями: если выражение содержит одну переменную, т.е. при подстановке вместо переменной числа получается число, так что такие выражения вполне естественно называть числовыми формами.

Точно при такой же замене предложение с переменной превращается в высказывание. Но выражения с одной переменной "в общем виде" обычно обозначают символом типа f(x), g(x), и такое же обозначение используют для высказывательных форм - P(x), Q(x), употребляя при этом прописные латинские буквы.

И так же, как в числовое выражение с переменной можно подставить не любое число, а только число из ее области определения, в высказывательную форму также можно подставлять только те значения, при которых после подстановки получается высказывание, при которых она, как говорят, имеет смысл. Другими словами, каждая высказывательная форма также имеет свою область определения.

В "главном" для школьной математики частном случае высказывательных форм - для уравнений и неравенств - употребляется именно этот общий термин. Для них имеется и специфический термин - область допустимых значений переменной, сокращенно ОДЗ. Обычно говорят "ОДЗ уравнения (или неравенства)", хотя более точно было бы говорить "область значений переменной, допустимых для уравнения (или неравенства)". В этой традиции, конечно, нет никакой языковой ошибки, и здесь проявляется лишь обычное известное вам по урокам литературы явление метонимия, свойственная и математическому языку. Говорим же мы, что дробь правильная, если она меньше 1, хотя точнее было бы говорить, что рациональное число, которой она изображает, меньше 1.

Если форма имеет несколько переменных, то ее область определения зависит от областей изменения ее переменных: так, для формы "x - столица y" переменная x пробегает множество населенных пунктов - скажем, A, а переменная y - множество B государств, а область определения формы - множество всех пар вида (a, b), где a A, bB. Такое множество пар часто называют декартовым произведением множеств A и B и обозначают символом AB. Это название легко объяснить, поскольку декартова плоскость, т.е. плоскость с декартовой системой координат, это RR - множество пар действительных чисел. Понятно также, почему для краткости пишут R².

Высказывательные формы с одной переменной можно естественно рассматривать как свойства соответствующих объектов - например, форма Число k - простое соответствует свойству натуральных или целых чисел "быть простым", форма x > 2 - свойству действительных чисел "быть большим 2", форма Четырехугольник ABCD - параллелограмм - свойству четырехугольников "быть параллелограммом".

Точно так же высказывательные формы с более чем одной переменной соответствуют свойствам пар, троек и т.д. Например, форму a||b можно рассматривать как свойство пары прямых "быть параллельными", а форму a|| как аналогичное свойство пары (a, ), первый элемент которой прямая, а второй - плоскость.

В дальнейшем представлены задачи на развитие логического мышления. Они представлены в виде двух групп. Первая группа включает в себя задачи, на развитие логического мышления, которые могут быть реализованы в обычном курсе математики. Вторая же группа предназначена для спецкурсов углубленного изучения математики.

§3. Задачи

Задачи первой группы

Какие из приведенных предложений вы считаете высказываниями или высказывательными формами:

а) x + 1;

б) k делится на 7;

в) x + y = y + x;

г) От перемены мест слагаемых сумма не меняется;

д) Из любого натурального числа a можно вычесть любое натуральное число b;

е) Сумма двух четных чисел является четным числом;

ж) Число 1,5 делится на 3;

з) Квадрат - это параллелограмм, у которого один из углов прямой;

и) 2⁰ = 1;

к) Любое число в нулевой степени равно 1;

л) y = x²;

м) Функция y = x² не принимает значения -1;

н) Выражение x³ может быть равно 3;

о) Выражение x² не может быть равно -1;

п) Из натуральных чисел k, k + 1, k + 2 хотя бы одно делится на 3;

р) Любое натуральное число k имеет делители.

Для каждой из заданных высказывательных форм привести, если возможно, примеры значений переменных, при которых они истинны и при которых они ложны:

а) 3x² + 2x - 5 = 0;

б) x² + 2x - 6 = 0 и xQ;

в) 2x² - x - 1 < 0;

г) x² - x + 1 > 0;

д) 2x² - x - 1 < 0 и xZ;

е) 134x² - 32x - 67 < 0;

ж) 2784x² - 5433x + 2324 < 0;

з) x²³ + 31x¹⁵ + x⁷ - 4x² + 1 = 0 и xQ и xZ;

и) x³⁷ + 65x²² + 89x¹² - 42x⁸ - 1 < 0;

к) Трехзначное натуральное число n можно представить как произведение трех различных простых множителей;

л) Дробь может быть записана в виде конечной десятичной дроби;

м) Действительное число y можно представить в виде x² + 1, где x R;

н) Действительное число y можно представить в виде x² + x - 1, где x Q;

о) Действительное число y можно представить в виде x³ + 1, где x Q;

п) x > 1 и x > 3; x > 1 или x > 3; x < 3 и x > 2; x > 1 и x < 3; x > 1 или x 3;

р) x² + y² = z² (x, y, z N);

с) x³ + y³ = z³ (x, y, z N).

Множества A и B содержат соответственно p и q элементов. Сколько элементов в их декартовом произведении?

Что такое R³?

Исходя из понимания слов русского языка и "главного" частного случая высказывательных форм - уравнений и неравенств, придумайте определение множества истинности для любой высказывательной формы. Как связано множество истинности форм "P(x) и Q (x)" и "P(x) или Q (x)" с множеством истинности форм P(x) и Q (x)?

Задача

Из пункта А в пункт В одновременно выехал велосипедист и вышел пешеход, и в тот же момент времени навстречу им из пункта В выехал автомобилист. Через час после начала движения автомобилист встретил велосипедиста ,а затем, проехав еще 240/17 км., встретил пешехода, посадив его в машину, после чего они отправились вдогонку за велосипедистом и настигли его. С какой скоростью двигался автомобиль, если скорость пешехода была равна 5 км./ч. и АВ= 100 км.?

Решение

Пусть автомобиль двигался со скоростью u км/ч , а велосипедист со скоростью v км/ч .Тогда u+v=100, а из условия встречи автомобилиста с пешеходом после необходимых преобразований получаем, что число u удовлетворяет уравнению 17х-1375х +1200=0. Это уравнение имеет корни 80 и 15/17, следовательно, автомобиль двигался со скоростью либо 80, либо 15/17 км/ч.

Ясно, что задача еще не решена, поскольку мы так и не узнали, с какой именно скоростью двигался автомобиль - 80 или 15/17 км/ч?

Конечно, «физический» аспект задачи подсказывает, что вряд ли возможно движение автомобиля со скоростью 15/17 км/ч и тем более соответствующее этому случаю движение велосипедиста со скоростью 1685/17 км/ч. Однако этот аргумент, очевидно, нематематического характера, и не составляет особого труда подобрать в условии такие числа, при которых «физическая» бессмысленность полученных результатов будет не столь бесспорной.

Естественно проверить сначала, мог ли автомобиль в предложенной в задаче ситуации двигаться со скоростью 15/17 км/ч. Для этого «разыграем» с самого начала все условие задачи: первая фраза не содержит информации, связанной со скоростью автомобиля; далее, автомобилист встретился с велосипедистом в 15/17 км от В, затем встретит перехода, но, посадив его в машину и развернувшись, он не настигнет велосипедиста. Следовательно, автомобиль не мог двигаться со скоростью 15/17 км/ч.

Полученный результат означает, что скорость автомобиля была равна 80 км/ч; подчеркнем, что исследование корня 80, аналогичное проведенному для 15/17, совершенно излишне, поскольку мы знаем, что автомобиль мог двигаться лишь с одной из двух найденных скоростей, а скорость 15/17, как мы показали, противоречит условию задачи.

Какие высказывания истинны, а какие ложны:

а)x ОR: 2x² - 5x + 4 = 0; е)kОN (703 = 37k);

б)xОR (31x² - 24x - 11 > 0); ж)x, y ОZ (45x - 25y = 31);

в) xОR (31x² - 24x - 11 > 0; з)x, yОZ(43x - 25y = 31);

г)xОR (31x² - 24x + 11 > 0); и)xОNyОNz ОN (x² + y² = z²);

д)xОR (31x² - 24x + 11 > 0);

Решение

а) В "переводе на русский" высказывание означает, что данное уравнение имеет корень; так как его дискриминант равен 25 - 32 < 0, то высказывание ложно.

б) Высказывание ложно, так как, например, при x = 0 данный квадратный трехчлен отрицателен.

в) Высказывание истинно, так как, например, при x = 1 данный квадратный трехчлен положителен.

г) Высказывание истинно, так как дискриминант отрицателен.

д) Высказывание истинно: пример x = 0.

е) В "переводе на русский" высказывание означает, что 703 делится на 37, и, например, деление "уголком" показывает, что оно истинно.

ж) Высказывание ложно, так как левая часть равенства при любых целых x и y делится на 5, а правая на 5 не делится.

з) Высказывание истинно, так как числа 43 и 25 взаимно просты, это следует из общей теории решения линейных уравнений с двумя переменными; для поиска конкретного примера можно рассуждать стандартным образом. Имеем y = = x - 1 , и поскольку 6 и 25 взаимно просты, то y будет целым, если 3x - 1 делится 25. Перебирая кратные числа 25 и прибавляя к ним 1, находим пример x = 17, а тогда y = 28.

и) Высказывание истинно: пример x = 3, y = 4, z = 5.

1. Найти пересечение:

а){k|kZ}{|kZ}; б) {|kZ}{|kZ}.

Ответ: а), б) Z.

Решение

Эта задача, каким бы трудным или непривычным ни показалось ее решение, на самом деле является типичной частью решения тригонометрических уравнений - отбором корней, исключение общих решений из нескольких серий.

Во всех задачах A - первое, B - второе множество в пересечении, C - само искомое пересечение.

а) Множество A есть просто Z. Но целое число k может быть представлено и в виде , т.е. принадлежит множеству B - можно положить k = 2n. Таким образом, A B, и следовательно, AB = A = Z.

б) Утверждение xA означает, что элемент x есть дробь со знаменателем 3, а xВ значит, что x - дробь со знаменателем 2. Другими словами, x = , где kZ, но при представлении x как дроби со знаменателем 2 числитель будет, естественно, другим, т.е. x = , и следовательно, = , т.е. 2k = 3n.

Поэтому 2k делится на 3, так что k делится на 3, k = 3p, где p - целое число, и поэтому x = = pZ. Следовательно, AB Z.

С другой стороны, если xZ, то он может быть представлен и в виде x = , где 3x - целое число, и следовательно, xA. Аналогично, x = , т.е. xB. Значит, xAB, а поскольку x - произвольный элемент Z, то Z AB. Таким образом, AB Z и Z AB, т.е. AB = Z.

2.Найти пересечение:

а) {|kZ}{|kZ}; б) {|kZ}{|kZ}.

Ответ: а) {6k + 3|kZ} - множество целых чисел, дающих при делении на 6 остаток 3; б) {4p + 1|kZ} - множество целых чисел, дающих при делении на 4 остаток 1.

Решение

а) Если xA, то x =, где kZ, а если xB, то x = , где nZ. Тогда утверждение xAB означает, что существуют такие целые числа k и n, что = , 10k + 5 = 9n.

Это равенство означает, что 10k + 5 делится на 9, т.е. k + 5 делится на 9, и следовательно, число k при делении на 9 дает остаток 4, k = 9p + 4, x = = 6p + 3.

Таким образом, всякий элемент xAB имеет вид 6p + 3, где p - целое число, т.е. C = AB {6k + 3|kZ}.

Докажем обратное включение. Пусть x{6k + 3|kZ} = D, т.е. имеет вид 6k + 3, где kZ. Тогда x = , т.е. xA. С другой стороны, x =6k + 3 =, т.е. xB.

б) Утверждение xAB означает, что существуют целые числа k и n, что x = = , 12k + 3 = 10n + 5, 6k = 5n + 1, т.е. число 6k при делении на 5 дает остаток 1.

Перейдем на язык сравнений - на сравнения по модулю 5. Равенство 6k = 5n + 1 записывается тогда в виде 6k 1, или k 1, т.е. k = 5p + 1.

Задачи второй группы

1. Для каких значений a верны утверждения

а) x² - a < 0 x < 2; б) x < 2 x² - a < 0?

Ответ: а) a 4; б) Ни при каких a.

Решение. а) При a > 0 x² - a < 0 (x - )(x +) < 0 - < x <, и требуется выяснить, при каких значениях a - < x < x < 2, что верно при 2, т.е. при a 4.

При a 0 неравенство x² - a < 0 не имеет решений, т.е. посылка следствия ложна при всех значениях x, а значит, следствие истинно.

б) Множество решений неравенства x² - a < 0 представляет собой либо ограниченный интервал (-,) - при a 0, либо пустое множество - при a < 0. Но луч (-, 2) - множество решений неравенства x < 2 - не может содержаться ни в таком интервале, ни тем более в пустом множестве. Таким образом, данное утверждение ложно при любом a.

При каких a всякое решение неравенства x² - 3x - 4 < 0 является решением неравенства x² < a?

Ответ: a 16.

Решение. В терминах следствия задачу можно переформулировать в виде "При каких значениях a истинно следствие x² - 3x - 4 < 0 x² < a?" Уравнение x² - 3x - 4 = 0 имеет корни -1 и 4, и поэтому неравенство x² - 3x - 4 < 0 выполняется при -1 < x < 4, и следствие принимает вид -1 < x < 4 < 0 x² < a.

По графику функции y = x² видно, что часть этого графика, соответствующая интервалу (-1, 4), лежит ниже прямой y = a при a 16.

2. При каких значениях a

а) все корни уравнения x² - ax - a = 0 по модулю меньше 1;

б) оба корня уравнения x² - ax - a = 0 по модулю меньше 1?

Ответ: а) -4 < a < . б) 0 < a < .

Решение.

а) В терминах следствия задачу формулируется в виде "При каких значениях a истинно следствие x² - ax - a = 0 |x| < 1"?

Если уравнение x² - ax - a = 0 не имеет корней, то это следствие, как мы знаем, истинно. Так как дискриминант уравнения D = a² + 4a < 0 при -4 < a < 0, то эти значения являются решениями задачи.

При D = 0, т.е. при a = -4 и при a = 0, данное уравнение имеет единственный корень - соответственно x = -2 и x = 0, и поэтому a = 0 является, а a = -4 не является решением задачи - 0 по модулю меньше 1, а -2 по модулю больше 1.

При D > 0, т.е. при a < -4 и при a > 0, уравнение имеет два корня, и число a будет решением задачи, если оба его корня x₁ и x₂ по модулю меньше 1, т.е. принадлежат интервалу (-1, 1).

По графикам "произвольных" квадратных трехчленов с положительным старшим коэффициентом и с корнями p и q видно, что оба корня лежат на этом интервале тогда и только тогда, когда значения трехчлена в точках -1 и 1 положительны, а абсцисса вершины параболы находится между корнями.

Для нашего трехчлена y = x² - ax - a это означает, что выполняются неравенства 1 - a - a > 0 и 1 + a - a > 0, т.е. a < , и -1 < < 1, откуда -2 < a < 2. Поэтому в случае D > 0 решениями задачи являются значения 0 < a < .

Таким образом, решениями задачи являются значения -4 < a < 0 - при D < 0, a = 0 - при D = 0 и 0 < a < - при D > 0, т.е. -4 < a < .

Заметим, что применение языка графиков в проведенном решении задачи не следует считать нарушением логической строгости - оно не в меньшей мере строго, чем многие другие часто применяемые соображения, и именно такими соображениями математик решил бы задачу "для себя", для получения правильного ответа. Вряд ли целесообразно предъявлять к учащимся более высокие логические требования, чем математики предъявляют к самим себе - это было бы хорошей иллюстрацией к известному тезису, формулируемому кратко и точно как "Логика против педагогики".

Формальное решение потребовало бы здесь решения системы иррациональных неравенств -1 < x₂ < x₁ < 1 (с переменной a)