Развитие логического мышления в процессе обучения математике

> -1 и < 1,

которая не так уж сложна, однако учащиеся еще не владеют соответствующим алгоритмическим приемом.

б) Самое трудное, пожалуй, в этой задаче понять, чем она отличается от предыдущей. В самом деле, их формулировки отличаются только одним словом, и эти слова означают вроде бы одно и то же.

Однако есть и один тонкий нюанс чисто языкового характера. Именно, слово все принадлежит и русскому, и математическому языку, и имеет в последнем смысл, который мы описываем с помощью квантора общности. В то же время слово оба - слово обычного русского языка, которое, конечно, может употребляться и в математическом языке, но его точный логический смысл не определен.

Весьма естественно эти два слова отождествить, и тогда а) и б) - это, разумеется, одна и та же задача. С другой стороны, слово все в его математическом понимании не требует существования объектов, о которых идет речь, тогда как, говоря оба, даже в математическом языке, мы, как и в обычном языке, имеем в виду, что эти объекты существуют: оба - это те два объекта, о которых мы уже говорили.

Поэтому в задаче б) следует рассматривать только случай, когда уравнение имеет два, притом различных корня, т.е. случай D > 0. (Если в математике словосочетание для любых двух чисел не исключает возможности, что эти два числа - это на самом деле одно и то же число, то говоря об обоих числах, имеют в виду различные числа.)

3. Закончить запись

а) 3x⁵ + 11x⁴ + 10x³ + 2x² + 10x + 12 = 0 и xZ ...

б) 4x⁵ - 2x⁴ - 10x³ - 8x² + 11x - 15 = 0 и xQ ...

Ответ: а) x = -2, б) x = -1 или x = .

Решение. а) Это утверждение означает, что x - целый корень данного уравнения, так что требуется решить данное уравнение в целых числах, т.е. отобрать корни из множества {1, 2, 3, 4, 6, 12}. При этом положительных корней уравнение не имеет, так что остается всего 6 кандидатов на корни.

Воспользуемся схемой Горнера:

Напомним, что строка закрашивается, если целый делитель не оказался корнем, и для дальнейшего вычисления используется предыдущая строка. Звездочки в клетках поставлены, когда уже очевидно, что в конце строки 0 не получится.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень -2, т.е. равносильно утверждению x = 2.

б) Здесь требуется найти рациональные корни уравнения, и чтобы избежать дробей, умножим обе части на 8: 32x⁵ - 16x⁴ - 80x³ - 64x² + 88x - 120 = 0, или y⁵ - y⁴ - 10y³ - 16y² + 44y - 120, где y = 2x. Так как старший коэффициент этого уравнения равен 1, то все его рациональные корни целые. Убедившись, что 1 и -1 не являются его корнями, применим схему Горнера:

Заметим, что в получившемся многочлене x³ - 4x - 20 нет члена, содержащего x², и поэтому при замене x на -x он меняет знак; следовательно, если какое-то число является его корнем, то и противоположное ему число является корнем.

Поэтому достаточно проверить положительные делители числа 20, естественно, большие 2, а если заметить, что нечетное число не может быть корнем этого многочлена, то достаточно проверить числа 4, 10 и 20:

Таким образом, уравнение относительно y имеет целые корни -2 и 3, а исходное уравнение - рациональные корни -1 и .

Примененный в решении этой задачи прием сведения поиска рациональных корней к поиску целых корней называется в математике методом Руффини-Горнера по именам итальянского и английского математиков.

4. При каких значениях a истинно утверждение:

а) x > a x > 1; г) x > a x < 1; ж) x > a 2x² - x і 1;

б) x > a x 1; д) x > a x² 1; з) x a 2x² - x > 1;

в) x a x < 1; е) x < a x² 1; и) x < a 5x - 3x² - 2 0?

Ответ: а) a 1, б) a 1, в) a < 1, г) ни при каких, д) a 1, е) при a -1, ж) при a 1, з) при a > 1, и) при a -.

Решение. а) При a 1 утверждение очевидно - следует из транзитивности неравенств, при a < 1 контр примером является любое число на интервале (a, 1) - оно будет больше a, но меньше 1.

б) При a 1 утверждение очевидно, при a < 1 контр пример - любое число на интервале (a, 1);

в) При a < 1 утверждение очевидно, при a = 1 контр примером является 1, при a > 1 контр пример - любое число на интервале (1, a); x a x < 1;

г) Проще всего воспользоваться геометрической интерпретацией: "бесконечный вправо" луч вида (a, +) не может содержаться в "бесконечном слева" луче вида (-, b).

д) При a 1 утверждение очевидно, а при a < 1 контр примером является любое число на интервале (a, 1), если a > 0, и 0, если a < 0.

Можно рассуждать и геометрически: неравенство x² 1 выполняется на объединении двух лучей - "левого" (-, -1) и "правого" (1, +), а "правый" луч (a, +) может содержаться в этом объединении только в случае, когда он целиком лежит в луче (1, +), что выполняется при a 1.

е) Решается геометрическим рассуждением, проведенным в д).

ж) Решим неравенство 2x² - x 1, или 2x² - x - 1 0, разложив левую часть на множители: так как трехчлен 2x² - x - 1 имеет корни 1 и -, то он равен (x - 1)(2x - 1), и поэтому неравенство выполняется на объединении лучей (-, -](1, +). Луч (a, +) лежит в этом объединении при a 1.

з) Решается так же, как ж), но поскольку неравенство x a выполняется на замкнутом луче, а неравенство 2x² - x > 1, то решениями являются a > 1.

и) Так как 5x - 3x² - 2 0 (x - 1)(5x + 2) 0 x(-, -][1, +), то утверждение верно при a -.

5. Доказать или опровергнуть утверждения о следовании:

а) k делится на 4 и на 6 k делится на 24;

б) k делится на 4 и на 7 k делится на 28;

в) x³ - 2x = 0 x = 0;

г) x³ + 2x = 0 x = 0;

д) < 1 x > 1;

е) > 1 x < 1;

Решение. а) Например, число 12 делится на 4 и на 6, но не делится на 24, так что утверждение ложно.

б) Так как самое широкое числовое множество, на котором имеет смысл отношение "делится на", есть множество целых чисел, то мы будем считать, что об этом множестве и идет речь.

Если k делится на 4 и на 7, то k = 4p = 7q, где p и q - целые числа; тогда 4p делится на 7, а поскольку 4 и 7 не имеют простых общих делителей, то p делится на 7, p = 7r, k = 28r - делится на 28. Следовательно, данное утверждение истинно.

в) Так как самое широкое числовое множество, на котором данное предложение имеет смысл, есть множество R, то мы будем считать, что xR. Поскольку из x³ - 2x = (x² - 2)x и равно 0, но не только при x = 0, но и при x = , то данное утверждение ложно.

Заметим, что на множестве рациональных чисел Q оно истинно, поскольку числа иррациональны, так что уравнение в множестве Q имеет единственный корень 0.

г) Утверждение истинно, так как x³ + 2x = 0 (x² + 2)x x = 0;

д) Утверждение неверно: контр пример x = -1.

е) Утверждение верно: из неравенства > 1 следует, что x > 0, а на положительные числа неравенства можно умножать.

ж) (a и b - корни уравнения x² + px + q = 0 и a b) a + b = -p и ab = q.

Пусть a² + pa + q = b² + pb + q = 0; тогда

(a² - b²) + p(a - b) = 0, (a + b)(a - b) + p(a - b) = 0,

и поскольку a b, то a + b + p = 0, откуда a + b = -p, и следовательно,

ab = a(-p - a) = -a² - pa = q.

Обратим внимание, что проведенное рассуждение представляет собой доказательство теоремы Виета (для приведенного квадратного уравнения), не использующее формулы корней. Заметим также, что ограничение a b существенно - его из условия нельзя выбросить: например, "1 и 1 - корни уравнения x² - 1 = 0 - истинное утверждение, а 1 + 1 = 0 - ложное.

з) Утверждение истинно: если a + b = p и ab = q, то

a² - pa + q = a² - (a + b)a + ab = a² - a² - ab + ab = 0.

Это доказательство теоремы, обратной теореме Виета (для приведенного квадратного уравнения).

Выводы

Разумеется, проведенные рассуждения относятся к языку и имеют субъективный характер, поскольку в таких тонких вопросах разные люди могут придерживаться разных мнений, в соответствии с личным "чувством языка". Все это, конечно, вопрос семантики русских слов, а для математики главный вывод состоит в необходимости чрезвычайной аккуратности в формулировках задач, в особенности, в ситуации контроля, и тем более в тестовой форме.

Список литературы

1. Дорофеев Г. В. М.: Аякс, 2009 г. - «Математика для каждого»

2. А. Красило и А. Новгородцев. - М.: Международная педагогическая академия, 2006 г. - «Хрестоматия по педагогической психологии»

3. Волович М. Б. Российского открытого ун-та, 2008 г. - «Не мучить, а учить/О пользе педагогической психологии»

4. Бадмаев Б. Ц. ВЛАДОС, 2007 г. -«Психология в работе учителя»

5. Бабанский Ю. К. Народное обр. -2009 г. - «Анализ эффективности современного урока»

6. Виленкин Н. Я., Пышкало А. М. - «Математика: Учебное пособие для студентов педагогических институтов по спец. №2121»

7. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин Просвещение, 2010 г. - «Алгебра и начала анализа»

Размещено на www.allbest.ru