Использование возможностей современного урока математики для развития логического мышления учащихся второго класса

Размещено на http://www.allbest.ru/

Использование возможностей современного урока математики для развития логического мышления учащихся второго класса

Введение

логический мышление математика

Актуальность исследования. В современном обществе возрастает потребность в высокоинтеллектуальных творческих личностях, способных самостоятельно решать возникающие трудности, принимать нестандартные решения и воплощать их в жизнь. В этой связи возникает необходимость изменения образовательного пространства, его совершенствования, определения целей образования, учитывающих государственные, социальные и личностные потребности и интересы. В данных условиях приоритетным направлением становится обеспечение развивающего потенциала новых образовательных стандартов.

Переход на работу по новым федеральным государственным образовательным стандартам поставил на первое место не предметный, а личностный результат, к которому, наряду с метапредметными и предметными результатами, предъявляются определенные требования. Больше внимания уделяется развитию личности ребёнка, а не набору информации, обязательной для изучения. Для достижения целей, стоящих перед Российским образованием, использование прогрессивных образовательных технологий является в настоящее время одним из важнейших условий эффективности обучения.

Новые стандарты для начальной школы ориентируют участников образовательного процесса на развитие универсальных учебных действий (УУД), являющихся основой достижения метапредметных результатов образования.

Обучение математике создает благоприятные предпосылки и возможности для развития у младших школьников логических УУД (анализ, синтез, сравнение, классификация, аналогия, обобщение и др.), которые имеют существенное значение для развития логического мышления учащихся. Отметим, что в психолого-педагогической литературе эти УУД принято также называть логическими приемами мышления, приемами умственных действий, мыслительными операциями, учебно-логическими умениями и т.д.

В данной выпускной работе описаны возможности развития логического мышления младших школьников на уроках математики.

Многие исследователи отмечают, что целенаправленная работа по развитию логического мышления младших школьников должна носить системный характер (А.Г. Асмолов [6, 7, 8], Ю.К. Бабанский [10], И.В. Дубровина [21], Т.В. Косма [28], А.М. Матюшкин [36] и др.). При этом исследования психологов (П.Я. Гальперин [19], В.В. Давыдов, Л.В. Занков [15], А.А. Люблинская [34], Д.Б. Эльконин [14] и др.) позволяют сделать вывод о том, что результативность процесса развития логического мышления младших школьников зависит от способа организации специальной развивающей работы.

Материалы исследований названных и других авторов были использованы в работе.

Анализ научно-теоретической литературы и педагогического опыта в аспекте практики обеспечения формирования логического мышления, показывает ряд противоречий:

- между благоприятными возрастными предпосылками формирования логического мышления младших школьников и слабой их реализацией;

- между необходимостью повышения использования логических заданий и упражнений в учебном процессе и недостаточной разработанностью педагогического инструментария активизации этого процесса в общеобразовательной школе на уроках математики.

Разрешение этих противоречий определило выбор темы исследования и его проблему в следующей её формулировке: каково влияние использования логических заданий и упражнений на уроках математики на развитие логического мышления младших школьников?

Объектом исследования является процесс формирования логического мышления.

Предметом исследования являются приемы формирования логического мышления на уроках математики в начальной школе.

Цель исследования состоит в разработке, научном обосновании и практической реализации логических заданий и упражнений на уроках математики для формирования логического мышления младших школьников.

Цель исследования и выдвинутая гипотеза обусловили необходимость решения следующих задач:

1. изучить теоретические аспекты формирования логического мышления у младших школьников,

2. проанализировать имеющиеся методы и приемы формирования логического мышления на уроке математики,

3. разработать предложения о методах и приемах развития логического мышления у младших школьников на уроке математики,

4. провести эмпирическое исследование уровня развития логического мышления у младших школьников.

В качестве основы для работы использованы учебные и научные издания, статьи специальной периодической печати, а также законодательные документы об образовании.

В процессе исследования использовались следующие методы: теоретико- поисковые (анализ психолого-педагогической и методической литературы; систематизация; классификация; сравнительный анализ); эмпирические (тестирование; педагогическое наблюдение; констатирующий, формирующий и контрольно-оценочный виды эксперимента); математические (метод статистической обработки экспериментальных данных).

Исследовательской базой исследования выступили ученики муниципального бюджетного образовательного учреждения. В исследовании принимали участие ученики 2 класса. конкретно

Несмотря на высокую степень изученности проблемы формирования логического мышления на уроках математики, данная работа имеет

определенную степень новизны. Она заключается в подробном рассмотрении формирования логического мышления в процессе решения логических заданий и упражнений на уроках математики. Разработан комплекс педагогических приемов, позволяющий внедрить их в учебную практику без изменения базисных учебных планов, увеличения нагрузки на учащихся (введение в структуру урока этапов, позволяющих активизировать деятельность учителя по развитию логического мышления, широкое использование специально подобранных заданий с учетом возрастных особенностей мышления, опора на наглядно-действенные и игровые методы обучения).

Практическая значимость результатов исследования состоит в разработке критериев результативности логического мышления. Материалы исследования могут быть использованы учителями начальных классов в образовательном процессе начальной школы, а также в системе повышения их квалификации.

Структура работы. Исследование состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы.

Глава I. Психолого-педагогические аспекты развития логического мышления учащихся младших классов на уроках математики

1.1 Особенности психологического развития младших школьников

Согласно возрастной периодизации, в младшем школьном возрасте, когда ребенок является субъектом учебной деятельности, у него развиваются возрастные новообразования - теоретическое сознание и мышление, развиваются соответствующие им способности (рефлексия, анализ, мысленное планирование), а также потребности и мотивы учения. Роль игр уменьшается, однако ряд исследований показывают, что данные игры выступают эффективным методом личностного развития младшего школьника. Следовательно, в младшем школьном возрасте, со сменой ведущей деятельности с игровой на учебную, ребенок перестает быть субъектом игры, но автоматически не становится субъектом учебной деятельности, для этого ему необходимо создать условия. Благодаря тому, что в основе игровой деятельности лежат активные действия, она как нельзя лучше вписывается в учебную, и тогда младший школьник не просто объект, а субъект учебной деятельности.

Переход к школьному обучению и новому образу жизни, связанному с положением школьника, в том случае, если ребёнок внутренне принял соответствующую позицию, открывает путь для дальнейшего формирования его личности. Дети приходят в школу с желанием учиться, узнавать новое, с интересом к самим знаниям. При этом интерес к знаниям у них тесно переплетён с отношением к учению, как к серьёзной, общественно-значимой деятельности [38, c. 72].

К началу поступления в школу все психические процессы детей младшего школьного возраста усложняются и совершенствуются - память приобретает логический характер, внимание становится более устойчивым и

произвольным, интеллектуальные операции более абстрактными и сложными, а нравственные качества - ответственность, прилежание, уважение к труду, к старшим не только не совершенствуются, но даже претерпевают, как бы обратное развитие (отечественные исследования и исследования С. Штендлера и Н.Юнга).

До 8-летнего возраста у детей можно обнаружить лишь репродуктивные образы-представления об известных объектах или событиям не воспринимаемых в данный момент времени, причем эти образы в основном статичные. Продуктивные образы-представления результата новой комбинации некоторых элементов появляются у детей после 9-летнего возраста, и развитие этих образов связано, вероятно, с началом обучения в школе.

Внимание у ребенка 9-10 лет становится произвольным, но еще довольно долго, особенно в начальных классах, сильным и конкурирующим с произвольным остается непроизвольное внимание детей [41, c. 46]

Объем и устойчивость, переключаемость и концентрация произвольного внимания к 4 классу школы у детей почти такие же, как и у взрослого человека. Что касается переключаемости, то она в этом возрасте даже выше, чем в среднем у взрослых. Это связано с молодостью организма и подвижностью процессов в центральной нервной системе ребенка. Младшие школьники 3-4 классов могут переходить с одного вида деятельности к другому без особых затруднений и внутренних усилий. Однако и здесь внимание ребенка сохраняет еще некоторые признаки «детскости». Свои наиболее совершенные черты внимание у детей обнаруживает лишь тогда, когда предмет или явление, непосредственно привлекшие внимание, особенно интересны для ребенка.

В школьные годы продолжается развитие памяти. А.А. Смирнов провел сравнительное исследование памяти у детей младшего и среднего школьного возраста и пришел к следующим выводам:

-- с 6 до 14 лет у детей активно развивается механическая память на не связанные логически единицы информации;

--вопреки распространенному мнению о существовании увеличивающегося с возрастом преимущества запоминания осмысленного материала фактически обнаруживается обратное соотношение: чем старше становится младший школьник, тем меньше у него преимуществ запоминания осмысленного материала над бессмысленным. Это, по-видимому, связано с тем, что упражняемость памяти под влиянием интенсивного учения, опирающегося на запоминание, ведет к одновременному улучшению всех видов памяти у ребенка, и прежде всего тех, которые относительно просты и не связаны со сложной умственной работой.

В целом память детей младшего школьного возраста является достаточно хорошей, и это в первую очередь касается механической памяти, которая за первые три-четыре года учения в школе прогрессирует достаточно быстро. Несколько отстает в своем развитии опосредствованная, логическая память, так как в большинстве случаев ребенок, будучи занят учением, трудом, игрой и общением, вполне обходится механической памятью.

Исследование психологов показывают, что если детей младшего школьного возраста с первых лет обучения в школе специально учить мнемическим приемам (приемы, помогающие запоминать), то это существенно повышает продуктивность их логической памяти уже к 3-4 классу. Незнание этих приемов, неумение ими пользоваться на практике является, вероятно, основной причиной слабости произвольной памяти у многих детей данного возраста. Активному развитию памяти детей в первые школьные годы способствует решение специальных мнемических задач, которые возникают перед детьми в соответствующих видах деятельности.

Для восприятия младшего школьника характерна высокая эмоциональность и яркость воспринимаемых образов. Хуже воспринимаются символические и схематические изображения, лучше - наглядный материал. Малый жизненный опыт не позволяет школьникам точно оценивать время и пространство.

Часто являются абстракцией исторические даты. Детям трудно понять отдаленность событий во времени, в большинстве случаев значительно недооцениваются маленькие и переоцениваются большие интервалы времени. Что же касается детей 3-4 классов, то они уже без особых осложнений начинают запоминать даты, интервалы времени для них уже не вызывают трудностей [53, c. 62].

Главная особенность внимания младшего школьника 1-2 класса - это относительно слабая произвольность. За время обучения в начальной школе (3- 4 класс) все свойства внимания, кроме переключения, становятся почти такими же, как у взрослого. Переключение же в этом возрасте развито даже лучше, чем у взрослых, что объясняется подвижностью нервных процессов. Школьное обучение способствует развитию памяти младшего школьника. Достаточно быстро в первые школьные годы развивается механическая память, отстает в темпах опосредованная, логическая память, так как в большинстве случаев ребенку хватает для усвоения материала и механической.

Если не уделять должного внимания в эти годы становлению опосредованного, логического запоминания, это отрицательно скажется на обучении в среднем и старшем звене школы [38, c. 74].

Интеллектуальное развитие младшего школьника 9-10 лет идет по следующим направлениям:

1) широкое использование речи в качестве средства мышления;

2) три вида мышления (наглядно-действенное, наглядно-образное, логическое) взаимно обогащают и дополняют друг друга.

Младшие школьники лучше всего делают, отталкиваясь от конкретных ситуаций, детальных описаний. Критерием хорошо сделанного обобщения выступает умение привести конкретный пример, соответствующий полученным знаниям.

Итак, за период начальной школы умственное и познавательное развитие ребенка заметно прогрессирует.

Итак, в младшем школьном возрасте выделяются следующие особенности и основы психологического изменения в развитии:

· Изменения в познавательной сфере ребенка.

Память приобретает четкий познавательный характер, нарастает формирование приемов запоминания информации.

· Изменения в области восприятия.

Теперь появляется целенаправленное и произвольное внимание на объекты учебной деятельности.

· Развитие воли.

Вся школьная деятельность по своему характеру полностью является произвольной, а поэтому требует строжайшей дисциплины.

· Абстрактность и обобщенность мышления.

Ребенок осознает свои собственные изменения в результате процесса обучения.

Общение со сверстниками выдвигается на передний план и объективно становится ведущей деятельностью. «Кто я?», «Какой я?», «Чем отличаюсь от других?» -- часть вопросов, которые младшие школьники постоянно задают себе и пытаются на них ответить. В то же время, как отмечают многие психологи, познание себя, связанное с настоящим, чаще всего ограничивается познанием и практической проверкой отдельных своих свойств и качеств.

Подводя итоги, можно сказать, что психология младшего школьного возраста является временем серьезного интеллектуального развития ребенка. Интеллект теперь влияет на все процессы и функции, которые происходят внутри ребенка.

1.2 Особенности логического мышления младших школьников

В психологии под мышлением понимается «опосредованное и обобщённое отражение действительности, вид умственной деятельности,

заключающийся в познании сущности вещей и явлений, закономерных связей и отношений между ними». Его можно определить как один из познавательных, психических процессов человека, цель которого состоит в том, чтобы узнать о мире нечто, недоступное непосредственному восприятию с помощью естественных, данных человеку от природы, органов чувств, или познанию при помощи иных психологических процессов. Отличие мышления от остальных психических процессов познания состоит в том, что оно всегда связано с активным изменением условий, в которых человек находится.

Что же это такое логическое мышление? Для ответа на этот вопрос нужно сначала ответить на вопрос - что такое логика?

Логика, если дословно переводить с древнегреческого, обозначает речь, рассуждение. Если слово логика использовать как термин, то это наука о рассуждении, искусство рассуждения.

С позиции психологии, под логическим мышлением понимают такой вид мышления, в котором используются определенные понятия, суждения и умозаключения. При этом, решая те или иные умственные задачи, мы не обращаемся к поиску новой информации с помощью специальных методов, а пользуемся готовыми знаниями, полученными другими людьми, выраженными в форме понятий, суждений и умозаключений.

Логическое мышление - это вид мышления, сущность которого в оперировании понятиями, суждениями, умозаключениями на основе законов логики, их сопоставлении и соотнесении с действиями. Именно этот вид мышления позволяет нам устанавливать наиболее общие закономерности, предвидеть развитие процессов в природе и обществе, обобщать знания и таким образом познавать окружающую нас действительность.

Логичное мышление - это мышление, основанное на умениях анализировать и находить в изучаемом материале самое главное, существенное, сравнивать и обобщать предметы, явления, процессы так, чтобы понять суть, убедительно доказывать и отстаивать свою точку зрения. Если логическое

мышление - это решение задач, которое с начала и до конца осуществляется на основе понятий, суждений и умозаключений, то логичное мышление - это эффективное логическое мышление, обязательно предполагающее корректное соблюдение законов и правил логики.

Таким образом, логическое мышление - это умение оперировать абстрактными понятиями, это управляемое мышление; это мышление путем рассуждений, это строгое следование законам логики, это безукоризненное построение причинно-следственных связей. В частности, - это умение проводить простейшие логические операции: определение понятий (дефиниция), сравнение, обобщение, классификация, суждение, умозаключение, доказательство.

Логическое мышление основано на суждениях, умозаключениях и понятиях, которые выражены словесно. Синтез, анализ, сравнение, обобщение - основные приёмы их формирования. Понятие - важная форма мышления (как и суждение, и умозаключение), которая отражается в общих и существенных признаках предметов. Понятие часто рассматривают в виде формы абстрактного и словесно-логического мышлений, в виде высшего уровня обобщения. Также понятие является результативной, логической характеристикой, которая вместе с другими мыслительными операциями и процессами составляет содержание мышления.

Кроме внешних признаков предметов и явлений понятие определяет внутренние признаки, причем описывает их отношение к несущественным признакам. Также понятие отражает общие свойства в сравнении с единичными и особенными. Понятие как продукт мыслительной деятельности, не сводится к наглядным, образным представлениям, зато изменяет чувственный материал, образует особые свойства.

Поэтому для глубокого осознания изучаемого материала, школьникам необходимо овладеть в процессе обучения такими мыслительными процессами, как анализ и синтез. У учащихся формируются умения самостоятельного решения поставленных задач, сознательного пользования приобретённых знаний.

Стоит напомнить, что анализ как мыслительный процесс есть разложение целого на части, нахождение общего и частного в сравнении, разграничение существенных и не существенных свойств в предметах. Знакомство с анализом начинается у школьника с умения находить в предметах и явлениях различные признаки. От того, что каждый предмет предполагает его рассмотрение с разных точек зрения, выходит на первый план то или иное качество предмета. Способность выделять свойство предмета приобретается учащимися нелегко. Это подтверждает мысль, что конкретное мышление детей должно помогать абстрагированию свойств от предмета. С переходом учеников на новый этап обучения, расширяется их кругозор и знакомство с различными видами действительности, это способствует совершенствования анализа. Однако, учителям-математикам необходимо продолжать работу по обучению учащихся находить разные стороны предметов и явлений.

Синтез представляет собой метод научного исследования какого-либо предмета, состоящий в познании его как единого целого, в единстве и взаимной связи его частей, т.е. синтез - это соединение существенных свойств предмета в единое целое. В процессе научного познания синтез связан с анализом. В мыслительной деятельности детей эти процессы протекают в единстве друг с другом.

Анализ и синтез позволяют ученику изучить сложные математические темы, понять причинно-следственную связь между разными явлениями, овладеть сравнением, классификацией и обобщением. Когнитивная психология рассматривает анализ и синтез как автономные процессы мышления. Индивидуальные различия в познавательной сфере личности положены в классификацию от преобладания в мышлении человека определенного мыслительного процесса (анализа или синтеза). В ходе мыслительной активности анализ объекта подразумевает наличие особого механизма мышления, а именно, анализа через синтез, который включает познаваемый объект в новые связи и отношения с другими. Тем самым выявляет новые качества и свойства предмета. Синтез не столько составляет определенные элементы в структуру, а воссоздаёт всеобщие свойства предметов в их конкретных проявлениях (особенных), т. е. путь от абстрактного к конкретному.

Абстракция - важный процесс мыслительной деятельности субъекта, результат которого состоит в интеллектуальном отвлечении от конкретных признаков объекта, в выделении их существенных свойств. Абстрагирование превращает эти свойства в самостоятельный предмет познания. Абстрагирование, как правило, начинается с процессов анализа и синтеза эмпирического содержания объекта и заключается в ограничении конкретного свойства (или отношения) в мышлении при условии отвлечения от других. Потом происходит изменение перцептивного материала в мышлении, что приводит к выявлению существенных свойств в изучаемом объекте. То есть, абстрагирование представляет собой процесс преобразования чувственных и конкретных признаков в форму понятий.

Сравнение - приём, основанный на мыслительном соотношении объектов, явлений или их признаков для выявления сходства или различия между ними.

Психологи утверждают, что очень важно довести сущность сравнения до сознания детей, потому что они должны осознавать, что делают. Это способствует тому, что данный приём хорошо усваивается, и учащиеся не могут им не пользоваться. От них нужно требовать проговаривания этого приема, а педагог должен постоянно напоминать о сравнении предметов друг с другом.

В этой связи можно выделить следующие этапы формирования:

1) вычленение признаков и свойств объекта;

2) выявление сходных и различных свойств двух объектов;

3) нахождение сходных признаков трёх и более объектов.

В ходе обучения упражнения становятся всё сложнее: в итоге разграничения отличительных признаков и свойств нескольких предметов, школьники разбивают их на части. Здесь необходим такой приём мышления как классификация. В начальных классах необходимость классифицировать применяется при изучении большинства предметов, как при изучении нового материала, так и при его закреплении.

Для проведения классификации важно выделять и сравнивать различные признаки объектов. Поэтому, на начальном этапе обучения важно соблюдать последовательность в работе.

Но наиболее важными для формирования логического мышления школьников являются упражнения, выбранные учениками для классификации.

В ходе классификации, обучающиеся выполняют анализ предложенных учителем ситуаций, выделяя в них основные компоненты, используя процессы анализа и синтеза. Как итог этого проходит классификация предметов по какому-то определенному признаку.

Обобщение - ключевой процесс мышления, результат которого заключается в мысленном выделении существенных и общих свойств между явлениями и предметами.

«Обобщение» у детей осуществляется в форме непосредственного восприятия, оно не является полным, т. к. в нём элементы существенных признаков объектов смешаны с несущественными. Содержанием обобщения являются внешние, броские признаки. У младших школьников обобщение осуществляется чаще всего в виде представлений, которые, хотя и являются внешними качествами предметов, обеспечивают достаточную полноту и точность при выполнении задач, требующих опознания, классификации и систематизации предметов [8].

В начальных классах обобщение характеризуется осознанием только некоторых признаков, т. к. ученик ещё не может проникнуть в сущность предмета. Вначале ребёнок, анализируя отдельные случаи или решая какие-то задачи, не поднимается на пути индукции до обобщений, отвлечённые умозаключения ему ещё не даются.

В дальнейшем младший школьник при действии с предметом в результате лично накопленного опыта может сделать правильные индуктивные умозаключения, но ещё не умеет переносить их на аналогичные факты. Наконец, умозаключение делается им на основе знания общетеоретических понятий. Младшему школьнику дедуктивное умозаключение даётся труднее, чем индуктивное. Умение делать дедуктивный вывод развивается в несколько этапов. Сначала частное связывается с общим, не отражающим существенных связей. Затем, усвоив общие выводы, дети объясняют на их основе частные случаи, которые непосредственно наблюдают. И, наконец, окончательно усвоив вывод, могут объяснять разные факты, в том числе и не встречавшиеся в их опыте ранее.

Переход в область обобщения позволяет осуществить операцию, важную для всей учебной деятельности - классификацию. С помощью этой операции у младших школьников происходит распределение предметов и явлений по группам в зависимости от сходства и различия их друг с другом. Правильность и полнота классификации зависит от точности и полноты выделения существенных признаков понятия. Умение классифицировать предметы и явления развивает в начальных классах новые сложные формы собственно умственной деятельности, которая постепенно отчленяется от восприятия и становится относительно самостоятельным процессом работы над учебным материалом, процессом, приобретающим свои особые приёмы и способы.

Обобщения учеников будут носить формальный характер и могут оказаться неправильными тогда, когда в процессе познавательной активности они строят обобщения только на основе повторяющихся единичных признаков. Следовательно, не все общие свойства познаваемого объекта являются существенными. В правильном и логичном обобщении учащийся ориентирован на существенные связи предмета, формирующиеся в виде нового знания благодаря преобразованию чувственных данных. Всякие существенные свойства являются общими, которые повторяются для многих предметов.

Уже на начальных формах обобщение основывается на аналогии и сравнении признаков в разных объектах и выделении из них общих.

Уровни обобщения опосредствованно открывают новые существенные связи в познаваемых объектах через процессы анализа и синтеза. Большое значение в развитии новых обобщений отводят механизму «анализ через синтез». Как видно из вышеперечисленных фактов все процессы математического мышления тесно взаимосвязаны между собой и возможно только их комплексное формирование.

Понятие доказательства - одно из центральных в логике и математике, но оно не имеет однозначного определения, применимого во всех случаях и в любых научных теориях. Поэтому, под доказательством будем понимать рассуждение, устанавливающее истинность какого-либо утверждения путем приведения других утверждений, истинность которых уже доказана (например, правила).

Под доказательством в логике понимают логическую операцию по обоснованию истинности одного суждения с помощью других истинных суждений. Поэтому традиционным является деление доказательства на три струк­турные части: 1) доказываемое суждение (тезис); 2) основание доказательства (достоверные суждения, из которых следует тезис); 3) способ доказательства (демонстрация).

Подведение под понятие - отнесение какого-либо объекта к тому или иному понятию по ряду существенных признаков.

В учебных пособиях под редакцией Е.И. Лященко читаем: «Сформировать понятие об объекте -- это значит раскрыть все существенные свойства объекта в их целостной совокупности» [35, С. 39]. В другом пособии:

«Определить понятие или дать его определение -- это значит выполнить такую логическую операцию, при помощи которой раскрывается содержание вводимого понятия. Содержание понятия -- это совокупность существенных признаков, отраженных в данном понятии» [35, С. 70]. Как видно из цитируемых источников, налицо смешение толкования задач «сформировать понятие» и «определить понятие».

В курсе лекций по педагогике математики А.А. Столяра: «Каждое понятие объединяет в себе множество объектов или отношений (объем этого понятия) и характеристическое свойство, присущее всем элементам этого множества и только им (содержание понятия). Например, понятие «треугольник» соединяет в себе множество всевозможных треугольников (объем этого понятия) и характеристическое свойство -- наличие трех сторон, трех вершин, трех углов (содержание понятия)… Содержание понятия раскрывается с помощью определения…» [55, С. 127]

Умение делать обобщения и способность строить математическую модель, описывающую некий класс явлений, событий являются, на наш взгляд, взаимосвязанными; целенаправленно и систематически осуществлять их формирование следует уже у учащихся 8-10 лет, т. е. в конце начального периода обучения и в пятых-шестых классах. Пропедевтическую же работу эпизодически целесообразно проводить еще раньше. Под обобщением понимается мыслительная операция, со- стоящая в выделении и фиксации относительно устойчивых, инвариантных свойств объектов, их отношений или способов действий с ними [2]. Мыслительная операция обобщения складывается из таких черт, как всеобщность, универсальность, отнесение тех или иных выводов (следствий) к целому классу сходных ситуаций, применение некоторой схемы решения задачи к совокупности однотипных в некотором смысле задач, умение увидеть одни и те же закономерности в разных ситуациях и использовать поэтому один и тот же (или несколько деформированный) способ решения. Развитие мыслительной операции обобщения ведет к формированию одного из качеств мышления - широты мышления.

Только взаимообусловленное их развитие способствует развитию мышления на уроках математики в целом. Приёмы анализа, синтеза, сравнения, обобщения и классификации необходимы учащимся уже в начале учебной деятельности. Без овладения ими не происходит полноценного усвоения учебного материала.

Из вышесказанного следует, что уже в начальной школе дети должны овладеть элементами логических действий (сравнения, классификации, обобщения и др.). Поэтому одной из важнейших задач, стоящих перед учителем начальных классов, является развитие всех качеств и видов мышления, которые позволили бы детям строить умозаключения, делать выводы, обосновывая свои суждения, и, в конечном итоге, самостоятельно приобретать знания и решать возникающие проблемы.

1.3 Современный урок математики в начальной школе в свете требований ФГОС

Федеральный государственный образовательный стандарт (ФГОС) определил новые задачи педагогической деятельности учителя и требования к проектированию процесса обучения в школе.

Проектирование современного урока - это главная составляющая педагогической деятельности учителя, но здесь нормативов нет, есть только рекомендации. Это объясняется наличием множества субъективных факторов в реализации урока: возрастными и индивидуальными особенностями детей, стилем педагогической деятельности учителя и уровнем его профессионализма, уровнем сформированности учебной деятельности детей и их учебными возможностями, способностями и др.

Современный урок, по мнению О.В. Чиндиловой, должен быть результативным, действенным, имеющим непосредственное отношение к интересам ребёнка, его родителей, общества, государства [16]. Для того чтобы урок отвечал таким требованиям, необходимо сначала технологично его спроектировать, а затем технологично реализовать.

Проектирование урока традиционно было представлено в конспектах учителя, где он описывал три группы целей: обучающие, воспитательные, развивающие. Цели были сформулированы относительно деятельности учителя как его действия по поводу освоения детьми учебной темы. А дальше в зависимости от дидактической цели урока (изучение нового материала, его закрепление, систематизация, контроль усвоения) учитель определял этапы урока и логику выполнения учебных заданий. Этот подход демонстрирует, что логика в планировании процесса обучения отсутствует: сначала формулируется, что будет делать учитель, а затем - чего должны достичь дети.

Декомпозицию целей образования во ФГОС представляют образовательные результаты [4, с. 11], что соответствует деятельностной парадигме образования, главными методологами которой являются Л.С. Выготский, А.Н. Леонтьев, Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов, П.Я. Гальперин, А.Г. Асмолов. Цели общего образования описаны как система ключевых задач. Поэтому и проектирование целей современного урока должно соответствовать требованиям системно-деятельностного подхода с позиций ФГОС.

С этих позиций учитель должен определять цели урока как систему задач ученика в рамках учебной темы в соответствии с тремя группами образовательных результатов (предметные, метапредметные, личностные). Задачи ученика по освоению предметных результатов описаны в «Примерных программах по учебным предметам» начальной школы. Это нормативный документ, поэтому эти задачи должны быть однозначно сформулированы учителями образовательных учреждений страны. Метапредметные и личностные результаты представлены в задачах по формированию УУД, они описаны в методическом пособии «Программа формирования УУД в начальной школе» на основе концепции развития УУД авторского коллектива под руководством А.Г. Асмолова. Эти задачи определяются на основе результатов психолого-педагогической диагностики детей, поэтому каждый учитель определяет их индивидуально для своих учеников при поддержке педагога- психолога школы.

Важным моментом является и то, что цели урока формулируются как задачи учеников в логике от предметных результатов к метапредметным, которые помогут ученику освоить знания и умения по учебной теме и научиться решать учебные задачи, используя общие способы действий, а затем

- к личностным.

После описания целей (планируемые действия - результаты учеников в рамках учебной темы) учителю легко осознать, что он будет оценивать на уроке и с помощью каких заданий. Это можно оформить в виде таблицы и назвать оценочным листом, таблицей требований к образовательным результатам. В ней обязательно должна быть графа, где можно дать возможность ученику провести самооценку своих результатов.

Следующим шагом в проектировании урока будет формулирование педагогических задач -- действий учителя. Педагогическая задача - это описание ситуации, которая раскрывает взаимодействие учителя и детей по поводу достижения определённой цели. Все задачи в любой педагогической ситуации являются задачами социально-педагогического управления и помощи учащимся в организации их развивающей деятельности [12]. По сути, учитель должен определить условия того, как ситуацию «незнания» перевести в ситуацию «знания» [1].

Проектирование педагогических задач выстраивается в логике от планируемых результатов учеников к действиям учителя, направленным на их достижение. Но, к сожалению, эта трудовая функция (показатели её сформированности) не выделена в профессиональном стандарте педагога, о ней можно догадываться по набору действий учителя, которые он должен уметь выполнять в разных педагогических ситуациях.

Когда определены задачи учителя, появляется возможность отобрать способы и средства для их решения. Главное - выделить базовую технологию обучения, так как в её логике и будет выстраиваться процесс обучения на уроке, определяться последовательность действий учителя и учеников. При этом технология также должна соответствовать идеям деятельностной парадигмы образования. Можно ориентироваться на классификацию современных технологий построения учебного процесса на проблемной, деятельностной, смысловой, альтернативной, ситуативной, диалоговой основах [15].

После определения целей, педагогических задач и технологий наступает важный этап разработки технологической карты сценария урока.

Понятие «сценарий урока» (Т.А. Сергеева, Н.М. Уварова) не является синонимом понятию «конспект урока». В сценарии есть возможност детализировать деятельность участников урока, спрогнозировать образовательные результаты. Продумывая сценарий учебного занятия, педагог должен смоделировать ситуацию учения (учебную ситуацию). Согласно концепции ФГОС учебная ситуация является дидактической единицей процесса обучения.

Сценарий урока предполагает подробное описание действий учителя по решению педагогических задач, действий обучающихся по освоению содержания учебного материала и достижению образовательных результатов в ходе решения учебной задачи.

Сложившиеся взгляды на структуру учебной деятельности определяют структуру уроков в системе РО (развивающего обучения).

Представим элементы «урока постановки учебной задачи».

Создание ситуации «успеха»: демонстрация детьми владения старым способом решения задач на материале заданий, не вызывающих серьезных затруднений у ребят; на этом этапе создается положительное эмоциональное состояние уверенности в собственных силах.

Создание ситуации «разрыва», т.е. ситуации интеллектуального конфликта, возникающей при столкновении с «проблемой», т.е. практической задачей, похожей по внешним признакам на ранее решавшиеся, но которую они решить уже не могут. При этом возникает определенный разрыв между тем, что дети знают, и чего они еще не знают. В результате возникает эмоциональное переживание «всеобщего неуспеха». Эта эмоция не имеет негативной окраски, так как нет переживания личного неуспеха на фоне успеха другого. (Первые два этапа - создание ситуаций «успеха» и «разрыва» - в значительной степени решают те же задачи, что и этап «актуализации знаний» в технологии, реализующей ТПФУД).

Фиксация учащимися сути обнаруженного затруднения («разрыва») в графико-знаковой форме.

Далее ученики формулируют вместе с учителем учебную задачу: освоить знания и умения, необходимые для преодоления возникшего затруднения; то есть стремятся восполнить обнаруженный «дефицит своих способностей».

Завершается урок этапом рефлексии. (У В.В. Давыдова, так же как и у П.Я. Гальперина, урок -- понятие относительное. Это лишь отрезок времени, необходимый для завершения процесса решения учебной задачи).

Обучение математике является важнейшей составляющей начального общего образования. Этот предмет играет важную роль в формировании у младших школьников умения учиться.

Основными целями начального обучения математике являются:

- Математическое развитие младших школьников.

- Формирование системы начальных математических знаний.

- Воспитание интереса к математике, к умственной деятельности.

Начальное обучение математике закладывает основы для формирования приёмов умственной деятельности: школьники учатся проводить анализ, сравнение, классификацию объектов, устанавливать причинно-следственные связи, закономерности, выстраивать логические цепочки рассуждений. Изучая математику, они усваивают определённые обобщённые знания и способы действий. Универсальные математические способы познания способствуют целостному восприятию мира, позволяют выстраивать модели его отдельных процессов и явлений, а также являются основой формирования универсальных учебных действий. Универсальные учебные действия обеспечивают усвоение предметных знаний и интеллектуальное развитие учащихся, формируют способность к самостоятельному поиску и усвоению новой информации, новых знаний и способов действий, что составляет основу умения учиться.

Усвоенные в начальном курсе математики знания и способы действий необходимы не только для дальнейшего успешного изучения математики и других школьных дисциплин, но и для решения многих практических задач во взрослой жизни.

Начальный курс математики является курсом интегрированным: в нём объединён арифметический, геометрический и алгебраический материал.

Важнейшей целью образования в современном обществе является формирование и развитие мышления на уроках математики, а также его культуры. При этом под математическим мышлением понимается, прежде всего, форма проявления мышления в процессе изучения конкретного учебного предмета - математики.

Ю.Н. Колягин в своих исследованиях выделяет основные качества, присущие научному мышлению.

1) Гибкость мышления включает в себя целесообразное варьирование способов действия, перестройку ЗУНов при изменяющихся условиях действия, быстрый переход от одного действия к другому.

2) Усилия, направленные на разрешение некоторой проблемы, на изучение различных подходов к ее решению, на исследование различных вариантов постановки этой проблемы составляют активность мышления.

3) Широта мышления чаще всего проявляется в формировании обобщенных методов действий, которые используются в нетипичных ситуациях. Признаками глубины мышления являются глубокое понимания изучаемых математических фактов, извлечение из математического текста

самого важного, обнаружение логической структуры рассуждения и др.

4) Критичность мышления включает в себя умение правильного оценивания пути решения проблемы и полученные результаты с позиции их значимости и т. д. [15].

При обсуждении методов решения задач, рассмотрении способов решения, постоянном обращении к различным проверкам, в том числе умозаключений и суждений, у школьников активно вырабатываются данные качества. По мнению Н.П. Ансимовой в совместной деятельности учителя и ученика должны быть четко поставлены учебные цели [6]. Педагог постоянно должен просить учащихся обосновывать и доказывать правильность своих рассуждений. Несомненно, мы полностью согласны с данным фактом.

При изучении мышления на уроках математики В.А. Крутецкий в качестве важнейшего фактора отметил «способность к обобщению математических объектов» [19]. Им было выделено два способа обобщения: школьник приходит к обобщению в процессе долгого решения одинаковых задач (1), обобщает решение многих задач на основе разбора одной (2). В.В. Давыдов назвал первый способ эмпирическим обобщением, а второй способ -- теоретическим обобщением. Данные обобщения и объясняют два типа мышления -- рассудочно-эмпирическое и теоретическое [48, с. 152,153].

При построении концепции обучения функции учебной деятельности не должны сводиться только к получению теоретических знаний. По мнению И.С. Якиманской учебная деятельность обеспечивает развитие у учеников практических умений. Не только теоретический, но и эмпирический способ усвоения обеспечивает существенное в его закономерных связях [217, 218].

Математическое содержание во многом и определяет развитие мышления на уроках математики. Важно, чтобы ученик умел пользоваться определенным запасом полученных знаний, а именно, умел рассуждать и делать соответствующие выводы, выделяя общие и частичные свойства предметов, и явлений. Следовательно, необходимо объективное оценивание различных

сторон развития ребенка. В случае недостаточной сформированности наглядно- образного мышления учеников, необходимы дополнительные занятия для развития мышления. Поэтому, если школьник способен рассуждать и анализировать, делать выводы, проблемы формирования данного типа мышления достаточно быстро компенсируются при должной работе педагога.

Развитие логического мышления учеников является главной задачей учителей в процессе преподавания математики. Логическое мышление развивается в первую очередь у школьников при решении различных математических задач, требующих индуктивных и дедуктивных выводов, в ходе доказательства теорем и т. п.

В математике многие задачи можно решить благодаря интуиции (способности мышления к неосознанным умозаключениям, которые в процессе решения этих задач необходимо развернуть). К таким качествам можно отнести:

• правильное и быстрое восприятие;

• быстрое сосредоточение и переключение внимания с сохранением его устойчивости на разных объектах;

• наличие хорошей избирательной памяти;

• сильное творческое воображение;

• возможность оценивать ситуацию с различных точек зрения;

• проникновение в сущность важнейших взаимосвязей, которые скрыты в данной проблеме;

• устойчивая необходимость в изучении нового;

• создание наглядно-действенных и наглядно-образных моделей различных ситуаций;

• нахождение необычного ответа на специфические вопросы;

• схватывание главной сути закономерностей изучаемых процессов или характеристических свойств различной ситуации.

Легко заметить, что в выделенных качествах творческой личности проявляется высокий уровень формирования многих компонентов, присущих мышлению на уроках математики.

П.Я. Гальперин и Н.Ф. Талызина [40] отметили факт усвоения абстрактных понятий, овладения приёмами мыслительной деятельности при целенаправленной и организованной работе школьников. Психологи указали на необходимость педагогической целесообразности обучения школьников на уроках математики логическим операциям, содержащих понятия, суждения и умозаключения.

Для целенаправленного развития умений, связанных с понятиями и суждениями, необходимо осуществлять последовательную подготовку детей: прежде всего, необходимо подбирать задания на развитие логического мышления, связанного с анализом, синтезом, сравнением, обобщением и т.д., а потом - на формирование умений строить суждения и умозаключения.

Процесс получения знаний должен проводиться согласно теории П.Я. Гальперина [39], т.е. быть направленной на этапы выполнения:

• учащиеся осуществляют действия в материальной форме;

• учащиеся выполняют действия в зрительной форме;

• учащиеся осуществляют действия во внешнеречевой форме;

• учащиеся выполняют действия в умственной форме.

В настоящее время в начальной школе используются вариативные программы и учебники по математике, входящие в различные системы, модели и учебно-методические комплекты (УМК). Назовем авторов наиболее распространенных программ и УМК по математике:

1. Система развивающего обучения Л.В. Занкова, И.И. Аргинская.

Предмет «Математика» направлен прежде всего на развитие логических универсальных учебных действий. Именно этому учит «использование начальных математических знаний для описания и объяснения окружающих предметов, процессов, явлений, а также оценки их количественных и пространственных отношений», «овладение основами логического и

алгоритмического мышления».

В учебниках много упражнений, выполняя которые учащимся приходится наблюдать, сравнивать, обобщать, классифицировать, делать выводы, пользоваться различными методами решения текстовых задач: арифметическим, алгебраическим, геометрическим, логическим..

В значительную часть уроков в учебник включены проблемные ситуации, позволяющие школьникам вместе с учителем выбрать цель деятельности (сформулировать основную проблему (вопрос) урока), авторские версии таких вопросов дают возможность оценить правильность действий учеников. Проблемные ситуации практически всего курса математики строятся на затруднении в выполнении нового задания, система подводящих диалогов позволяет при этом учащимся самостоятельно, основываясь на имеющихся у них знаниях, вывести новый алгоритм действия для нового задания, поставив при этом цель, спланировав свою деятельность, и оценить результат, проверив его.

Программа ученого Л.В. Занкова предусматривает изучение свойств геометрических фигур в сравнении, сопоставлении, при помощи конкретизации, классификации с другими, что делает его эффективным для умственного развития детей.

Развивать геометрические представления помогают следующие действия:

• моделировать тела из материалов;

• работать с моделями геометрических тел;

• изображать геометрические фигуры на бумаге.

Ясно, что, прежде всего школьники учатся видеть отдельные признаки предметов, а затем, рассматривая предметы, стараются сравнивать их, группируя по общим признакам на основе своих наблюдений. Анализ и синтез протекает в наглядно - образной форме, потом переходит в словесно - логическую.

Ученые считают, что изучение геометрических тем должно быть построено на интуитивно - содержательной основе для формирования у учеников пространственного мышления; развития целенаправленного оценивания и осмысления информации; обучения анализу геометрических свойств тел и др. [58].

Поэтому в ходе изучения геометрического материала у школьников необходимо формировать следующие умения:

1) анализировать свойства геометрических фигур, овладевать знаковой системой;

2) строить простейшие геометрические фигуры;

3) видеть знакомые образы геометрических фигур в совокупности фигур и находить их по существенным признакам;

4) читать геометрические чертежи с использованием буквенных и числовых обозначений;

5) обосновывать свои действия, делать простейшие логические выводы.

На активизацию мыслительной деятельности школьников, развитие их пространственного и логического мышления, а также сообразительности большое влияние оказывает применение в педагогическом процессе устных вычисления. Однако, на разработку специальных приемов они затрачивают очень мало времени. Зачастую это можно объяснить тем, что использование специальных приёмов устных вычислений - сложная творческая работа, в основе которой лежит хорошее видение свойств чисел, глубокое уяснение характеристик изменяемости выводов при изменении состава действий, умение находить наиболее рациональные методы в конкретном случае. В математической литературе имеется вид логических задач, для решения которых должны использоваться графы. Их применение в педагогическом процессе способствуют интеллектуальному развитию школьников, что, несомненно, отразится на их математическом мышлении.

Текстовые задачи являются важным средством формирования математического мышления школьников на уроках математики.

Познавательный материал, включающий в себя конкретные жизненные ситуации, помогает ученикам развить умения применять их школьные знания на практике. При этом педагогу важно помнить тот факт, что задачи являются наиболее эффективным средством при осуществлении целенаправленного математического развития обучающихся.

Для решения геометрических задач желательно использовать вспомогательные обучающие модели. При этом анализ и синтез, которые являются процессами мышления, а также классификация и сравнение будут способствовать активному развитию мышления. Применение моделей на уроках математики в средней школе, безусловно, способствует развитию пространственного мышления.

2. Программа по математике «Начальная школа XXI века» создана на основе федерального компонента государственного стандарта начального общего образования. Она разработана в целях конкретизации содержания образовательного стандарта с учетом межпредметных и внутрипредметных связей, логики учебного процесса и возрастных особенностей младших школьников. В примерной программе по математике, так же как в федеральном компоненте государственного стандарта начального общего образования, представлены две содержательные линии: «Числа и вычисления»,