Использование возможностей современного урока математики для развития логического мышления учащихся второго класса

«Пространственные отношения. Геометрические фигуры. Измерение геометрических величин». Они конкретизируются с учетом специфики математики как учебного предмета. В первом разделе выделены темы «Целые неотрицательные числа», «Арифметические действия с числами», «Величины», во втором - «Пространственные отношения», «Геометрические фигуры. Измерение геометрических фигур».

Задания по математике направлены на системное обучение моделированию условий текстовых задач и усвоение общих способов решения задач; установление аналогий и обобщенных способов действий при организации вычислений, решении текстовых задач, нахождении неизвестных компонентов арифметических действий, а также на формирование умения выполнять вычисления и решать задачи разными способами и выбирать наиболее эффективный способ вычислений.

Ряд планируемых результатов и соответствующих им умений, сформулированных ФГОС НОО, не предъявлен в виде требований к подготовке учащихся (например, работа с данными, оценка геометрических объектов на глаз, соотношение реальных объектов с геометрическими фигурами и др.), однако в курсе прослеживается система заданий для организации работы по формированию данных умений.

В-третьих, в соответствии с требованиями ФГОС НОО учащиеся в рамках программы по математике («Начальная школа XXI века») овладевают важными логико-математическими понятиями. В 4 классе они знакомятся, в частности, с математическими высказываниями, с логическими связками «и», «или», «если …, то»; «не верю, что … », со смыслом логических слов «каждый», «любой», «все», «кроме», «какой-нибудь», составляющими основу логической формы предложения, используемой в логических выводах. «К окончанию начальной школы ученик будет отчетливо представлять, что значит доказать какое-либо утверждение, овладеет простейшими способами доказательства, приобретет умение подобрать конкретный пример, иллюстрирующий некоторое общее положение, или привести опровергающий пример, научится применять определение для распознавания того или иного математического объекта, давать точный ответ на поставленный вопрос и пр.» [7, 14].

Следовательно, в содержании УМК по математике «Начальная школа XXI века» заложены компенсаторные возможности, способствующие реализации федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования.

Курс «Математика» является основой развития у учащихся, в первую очередь, логических действий: анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных); синтез как составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание, восполнение недостающих компонентов; выбор оснований и критериев для сравнения, сериации, классификации объектов; доказательство; выдвижение гипотез и др.

Одна из основных задач современной школы - помочь учащимся в полной мере проявить свои способности, развить инициативу, самостоятельность, творческий потенциал и интеллект. А интеллект человека в первую очередь определяется не суммой накопленных им знаний, а высоким уровнем логического мышления.

Таким образом, формирование логического мышления является важной составной частью педагогического процесса на уроках математики.

На уроках математики ученики овладевают как общими математическими навыками и умениями (выявляют различные закономерности, выдвигают гипотезы, выделяют некоторые свойства объектов), так и специальными математическими навыками, и умениями (устанавливают структурные сходства различных систем, переформулируют задачи, исследуют решение сюжетных задач и др.). Изучение математики, безусловно, отличается от большинства других наук тем, что важное значение в ней занимает логическое мышление, так как содержание любого раздела математики включает в себя понятия, связанные между собой различными отношениями.

Одной из задач учителя является использование возможностей формирования логического мышления школьников на уроках математики. Однако, нет конкретных методик для изучения логических приёмов мышления, которые необходимы для его формирования при изучении математики. Поэтому развитие данного вида мышления проходит без системы конкретных приёмов.

Глава II. Методические особенности развития логического мышления младших школьников на уроках математики

2.1 Опыт использование педагогами возможностей урока математики для развития логического мышления детей

По мнению психологов, работа над развитием логического мышления младших школьников должна проводиться с учётом знания системы необ- ходимых приёмов, их содержания и последовательности формирования. Рассмотрим некоторые аспекты методики формирования логического мышления младших школьников (по Н.Ф. Талызиной) и возможности начального курса математики для осуществления данной задачи.

Первое, чему необходимо научить школьника, по мнению автора мето- дики, - это умению выделять в предметах свойства. При этом следует специально формировать у детей умение видеть в предмете множество свойств, для чего «полезно показать им приём сопоставления данного предмета с другими предметами, обладающими другими свойствами» [34, с. 61].

Для организации деятельности учащихся, направленной на выделение признаков того или иного объекта, можно сначала предложить такие задания:

1. учитель демонстрирует детям какой-либо предмет и просит рассказать о нём. Например, арбуз - большой, зелёный, с полосками; монета - круглая, металлическая, блестящая; лист бумаги - плоский, белый, в клеточку и т.п.;

2. учитель показывает пары предметов или изображений и предлагает установить сходство или различие между ними.

Следующим шагом является формирование понятия об общих и отличительных признаках предметов, а затем формирование у детей умения отличать в предметах существенные с точки зрения определённого понятия и несущественные свойства. Свойство считают существенным, если оно присуще

данному объекту и он не может без него существовать. Несущественные свойства - это те, отсутствие которых не влияет на существование объекта. Здесь важно также показать, что любое существенное свойство является общим для данного класса предметов, но далеко не всякое общее их свойство является существенным.

Рассмотренные выше логические приёмы называются приёмами сравнения предметов и изменения свойств. Приём сравнения предметов даёт возможность выделять в них множество свойств, а приём изменения свойств позволяет отличать существенные свойства от несущественных.

Сравнение предполагает умение выполнять следующие действия:

– выделение признаков у объектов;

– установление общих признаков;

– выделение основания для сравнения (одного из существенных признаков);

– сопоставление объектов по данному основанию.

Анализ учебных программ по математике для начальной школы показывает, что целенаправленное формирование действия сравнения начинается уже в 1-м классе. Предложенные в учебниках упражнения, в ходе выполнения которых происходит решение какой-либо задачи, можно охарактеризовать как задания на

– определение основных свойств предметов: цвет, форма, размер, материал, назначение, расположение, количество;

– определение общего свойства группы предметов;

– разбиение предметов или фигур на группы, обладающие общим свойством;

– составление группы предметов по заданному свойству (признаку);

– выделение части группы;

– сравнение предметов и групп предметов по свойствам.

На уроках математики в начальной школе можно предлагать учащимся задания и на сравнение математических объектов:

Среди следующих записей найди выражения, и обоснуй свой выбор: 3+2; 6 - 1; х + 5 = 9.

В чём сходство и различие чисел: 32 и 45; 32 и 42; 32 и 23; 1 и 11; 2 и 12; 111 и 11; 112 и 12;

вычислительных приёмов: 9 + 6 = = (9 + 1) + 5 и 6 + 3 = (6 + 2) + 1;

выражений: 6 + 2 и 6 - 2; 9 * 4 = 9 * 5; 6 + (7 + 3) и 6 + 7 + 3 и т.д. [1, с.

170].

Следующий шаг в формировании логического мышления учащихся - их знакомство с необходимыми и достаточными признаками. Важное действие - выведение следствия из факта принадлежности предмета к данному понятию. Это действие связано с понятием необходимых свойств предмета. Познакомить младших школьников с этим действием можно с помощью хорошо известных им предметов или геометрических фигур и определения у них тех свойств, которые в обязательном порядке есть у всех предметов данного класса. Затем вводится понятие признаков достаточных и признаков необходимых и одновременно достаточных. Например, свойство «иметь четыре прямых угла» для квадрата - необходимое, но не достаточное.

Дальнейшая работа будет связана с действием подведения под понятие, логическими правилами определений, установлением причинно-следственных связей и важным логическим приёмом - выведения следствий с соблюдением закона контрапозиции.

По мнению Н.Ф. Талызиной, уже в начальной школе можно приступить к работе над определениями. Однако до этого учащиеся должны усвоить отношения между родовыми и видовыми понятиями. При этом следует обратить внимание на то, что видовое понятие обязательно обладает свойствами родового, а родовое является следующей ступенью обобщения [4, с. 61]. Определение - это логическая операция, раскрывающая содержание понятия. Способы определения понятия различны. Бывают явные и неявные определения. Явные определения имеют форму равенства, совпадения двух понятий, одно из которых называется определяемым, другое - определяющим.

Проанализируем, например, структуру определения квадрата: «Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны». «Квадрат» - это определяемое понятие, «прямоугольник» - родовое, «иметь равные стороны» - видовое отличие. Определение понятия по такой схеме называется определением через род и видовое отличие.

Впрочем, в начальной школе учащиеся не знакомятся с логической структурой определения. Заметим также, что в учебниках по математике определения через род и видовое отличие (явные определения) используются не всегда. «При изучении математики в начальной школе чаще всего используют так называемые неявные определения. В их структуре нельзя выделить определяемое и определяющие понятия. Среди них различают контекстуальные и остенсивные. В контекстуальных определениях содержание нового понятия вводится через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации, описывающей смысл вводимого понятия. Остенсивные определения используются для введения терминов путём демонстрации объектов, которые этими терминами обозначаются» [3, с. 50].

Примером контекстуальных определений могут быть определения прямоугольного, тупоугольного и остроугольного треугольников, приведенные в учебнике математики для 3-го класса, ч. III (авторы Т.Е. Демидова, С.А. Козлова, А.П. Тонких). На с. 54 представлено множество треугольников красного, синего и зелёного цветов (красные - прямоугольные, синие - тупоугольные, зелёные - остроугольные). Далее следует текст относительно данного чертежа: «Как можно назвать все красные треугольники? Все синие треугольники? Все зелёные треугольники? У всех красных треугольников есть прямой угол. Такие треугольники называются прямоугольными. У всех синих треугольников есть тупой угол. Такие треугольники называются тупоугольны- ми. У всех зелёных треугольников все углы острые. Такие треугольники называются остроугольными».

Остенсивные определения - это определения путём показа. Например, таким способом в начальном курсе математики в 1-м классе вводятся понятия равенства и неравенства:

Это равенства: 1 = 1, 2 = 2.

Это неравенства: 1 < 2, 2 > 1.

От выяснения ещё в дошкольном возрасте наиболее простых, прозрачных, лежащих на поверхности связей и отношений дети постепенно переходят к пониманию гораздо более сложных и скрытых зависимостей. Один из важнейших видов таких зависимостей - отношения причины и следствия. Приведём пример задания на установление причинно-следственных связей, которое предлагается в учебно-методических комплектах для начальной школы (Образовательная система «Школа 2100»):

Я разбил сегодня вазу, Но разбил её не сразу. Я вначале влез на стул И буфет перевернул.

Расположи события: А (разбил вазу), Б (влез на стул), В (перевернул буфет), в нужной последовательности. Найди причину и следствие (результат) события В.

Следующий логический приём, которому следует научить младших школьников, - приём выведения следствий с соблюдением требований закона контрапозиции [4, с. 74].

Приведём задачу из начального курса математики, при решении которой у детей формируется умение правильно делать выводы:

Известно, что деревянные предметы плавают в воде. Утонет ли в воде линейка?

Выбери среди предложенных ответов верный:

А - да, Б - нет, В - данных для ответа недостаточно.

Если твой ответ В, то укажи, какой информации не хватает.

Мы считаем чрезвычайно важным развитие вышеназванных логических приёмов, так как они широко используются в процессе обучения и без них невозможно полноценное мышление человека. Кроме того, они являются

компонентом универсальных учебных действий, которые в Федеральных государственных стандартах начального общего образования определяются как логические универсальные действия и включают

– анализ объектов с целью выделения признаков;

– синтез - составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание с выполнением недостающих компонентов;

– выбор оснований и критериев для сравнения, сериации, классификации объектов;

– подведение под понятие, выведение следствий;

– установление причинно-следственных связей;

– построение логической цепи рассуждений;

– доказательство;

– выдвижение гипотез и их обоснование.

2.2 Возможности урока математики для развития логического мышления детей

В начальной же математике, как известно, нет ни аксиом, ни теорем, да и определений немного. Значит, основания для установления истинности высказываемых суждений здесь должны быть иными.

Отбор таких оснований определяется особенностями восприятия младших школьников, уровнем их знаний, а также степенью сформированности тех или иных мыслительных операций Наглядный, конкретный характер мышления детей 7--10 лет, ограниченность их знаний ориентируют на использование в качестве критериев истины опыта, наблюдений, измерений, практики. По мере увеличения объема знаний основаниями доказательства могут служить результаты вычислений, ранее выведенные правила, свойства арифметических действий.

Доказательства в начальном курсе математике чаще всего получают дедуктивным способом. В дедуктивных умозаключениях мысль движется от общего к частному. Эти умозаключения позволяют строить частные суждения из общих. Возможность же использования дедуктивных рассуждений (умозаключений) в начальных классах на первый взгляд довольно ограничена, тем не менее, дедуктивные рассуждения с большей или меньшей строгостью следует использовать при изучении начального курса математики, так как именно они воспитывают строгость, четкость и лаконичность мышления.

Например, в 1 классе используется задание, в котором требуется доказать, что количество одних предметов меньше, чем других на определённое число:

«Докажи, что карандашей меньше на 4, чем тетрадей». Рассуждения учеников, образцы которых, естественно, должны быть заложены в объяснении учителя, могут быть такими: «Чтобы доказать, на сколько одних предметов больше, чем других, нужно образовать пары из этих групп предметов. Тех предметов, которые останутся без пары, больше. Число предметов без пары будет указывать на разницу между группами предметов. В задании нужно доказать, на сколько больше тетрадей, чем карандашей. Вывод: «после образования пар из тетрадей и карандашей остались 4 тетради, значит тетрадей больше карандашей на 4. Следовательно, карандашей меньше на 4, чем тетрадей».

Анализ учебников математики для I-- III классов, соответствующей им методической литературы и наблюдения уроков позволяют выделить следующие способы o6основания истинности предложений, используемых в начальном обучении математике: эксперимент, неполный индуктивный вывод, измерение, умозаключение по аналогии, дедуктивный вывод, вычисление. Назовем их способами предматематического доказательства. Приставка пред указывает на отличие такого доказательства от математического и на его роль в предварительной, предшествующей подготовке младших школьников к проведению строгих логических доказательств. Все названные способы предматематического доказательства приемов, позволяющих полнее реализовать заложенные в программе возможности интеллектуального развития учащихся. Рассмотрим каждый из них в отдельности.

1. Эксперимент -- самый распространенный в начальной математике способ получения новых знаний, истинность которых устанавливается путем сопоставления их с действительностью, с результатами непосредственного чувствительного восприятия.

Экспериментально [1] доказываются предложения вида 2<3 на первых уроках по изучению нумерации чисел первого десятка, ряд свойств арифметических действий, некоторые вычислительные приемы, суждения о выборе арифметического действия для решения простых задач и т. п.

Применение этого способа предматематического доказательства начинается с создания конкретного, условного или мысленного образа рассматриваемой ситуации, построения ее модели.

Рассмотрим, например, как обосновывается истинность суждения: 2<3. В этом математическом предложении можно выделить условие: «Даны числа 2 и 3». Конкретизацией его служит построенная учителем модель: на наборном полотне выставляется 2 круга и ниже 3 квадрата. Основанием доказательства является результат непосредственного чувственного восприятия: «Один квадрат остался без пары».

Позднее, когда на примере первых десяти чисел натурального ряда учащиеся познакомятся с принципами его построения (каждое число ряда больше всех чисел, встречающихся при счете раньше этого числа, и меньше любого числа, которое называется при счете после него), изменяются основания для доказательства предложения 2<3. И оно имеет вид: 2<3, потому что при счете число 2 называют раньше, чем число 3.

Первое -- пример предматематического доказательства (экспериментального), а второе-- пример дедуктивного доказательства.

Рассмотрим еще один пример экспериментального обоснования во II классе истинности распределительного свойства умножения относительно сложения (в начальной школе его называют правилом умножения суммы на число).

Учитель предлагает учащимся практическую работу: «Положите в первый ряд 4 красных и 2 зеленых круга и еще 2 таких же ряда красных и зеленых кругов. Как можно узнать, сколько всего кругов вы положили?

Для нахождения двух способов решения поставленной проблемы важную роль играет построенная учениками модель.

1 -й способ. Можно узнать, сколько кругов в одном ряду (4+2). А таких рядов 3. Значит, надо сумму чисел 4 и 2 умножить на 3.

2 -й способ. Сначала можно найти, сколько мы положили красных кругов. Для этого надо 4 умножить на 3. Потом можно найти, сколько всего мы положили зеленых кругов. Для этого нужно 2 умножить на 3. Сложив полученные произведения, мы узнаем, сколько всего кругов мы положили.

Оба способа записываются на доске с помощью цифр и знаков арифметических действий.

Что обозначает выражение (4+2)*3?(Сколько всего кругов мы положили).

А другое выражение 4*3+2*3? (Оно тоже обозначает, сколько всего кругов мы положили.)

Значит, что можно сказать о значениях этих выражений? (Они равны.)

На доске записывается математическое предложение: (4+2)*3 = 4*3+2*3.

Абстрагируясь от его конкретного содержания и анализируя только полученную запись, учащиеся под руководством учителя формулируют обобщенный вывод: «Сумму умножить на число можно двумя способами. Можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные произведения сложить. Можно найти значение суммы и умножить ее на число>.

Для получения этого заключения нет необходимости прибегать к вычислениям: (4+2)*3 = 6*3=18 и 4*3+2*3=12+6=18 и сравнению полученных результатов. Истинность предложения (4+2)*3=4*3+2*3 следует из сопоставления его конкретного содержания с реальной моделью этого предложения -- множеством кругов (рис. 2).

Эксперимент как способ предматематического доказательства стимулирует движение мысли от конкретного к абстрактному, от единичного к общему, а потому его применение в начальном обучении математике не только приводит учащихся к открытию новых знаний, но и способствует развитию у них абстрактного мышления.

2. Неполный индуктивный вывод. Необходимое условие применения этого способа умозаключения -- накопление знаний о возможно большем числе однородных, единичных фактов, в которых учащиеся с помощью анализа, сравнения, синтеза находят общее и существенное и приходят таким образом к обобщенным теоретическим значениям. Следовательно, индуктивное мышление характеризуется движением мысли от единичного, частного к общему.

Способом неполного индуктивного вывода доказывается, например,, правило 0 * а=0. Вычисляя путем перехода к сложению произведения 0*2, 0*6, 0*5, учащиеся подмечают в этих примерах существенные черты сходства:

1) во всех примерах первый множитель 0;

2) все произведения также равны 0. Синтез общего и существенного в решенных примерах приводит к обобщению: «При умножении нуля на любое число получается нуль».

В начальном обучении математике неполный индуктивный вывод тесно связан с экспериментом.

Для примера приведем фрагмент урока по теме «Вычитание числа из суммы» (учитель Г. П. Волкова, школа № 10 г. Бреста).

На доске записано выражение (5+4)--2.

Прочитайте выражение. (Из суммы чисел 5 и 4 вычесть число 2.)

Как можно найти результат? (Сначала вычислим сумму: 5+4=9, а потом из нее вычтем 2-9--2=7).

Способ вычисления учитель записывает на доске: (5+4)--2=9--2 = 7.

Сегодня мы научимся решать такие примеры другими способами.

Составьте по выражению (5+4)--2 задачу о яблоках.

Одну из составленных задач: «В вазе лежало 5 красных яблок и 4 зеленых яблока. 2 яблока девочка съела. Сколько яблок осталось в вазе?» -- учитель предлагает классу решить разными способами.

Как мы рассуждали, если эту задачу решили так, как записано на доске? (Сначала мы узнали, сколько всего яблок лежало в вазе, а потом нашли, сколько яблок осталось. В вазе осталось 7 яблок.)

Для нахождения Других способов решения задачи учитель предлагает учащимся практическую работу с красными и зелеными кругами, условно изображающими яблоки.

Как мы будем решать задачу, если девочка выбрала 2 красных яблока? (Из 5 красных яблок вычтем 2 и узнаем, сколько красных яблок осталось в вазе, а потом прибавим 4 зеленых яблока.)

Предложенный способ решения записывается на доске: (5+4)--2= (5-- 2)+4=3+4=7.

Изменится ли решение задачи, если девочка возьмет 2 зеленых яблока? (Если девочка возьмет 2 зеленых яблока, то мы сначала узнаем, сколько зеленых яблок осталось в вазе. Для этого из 4 вычтем 2, а потом прибавим остаток к 5 и ответим на вопрос задачи.)

Новый способ решения также записывается на доске: (5+4)--2=5+(4--2)=5+2=7.

Сопоставление полученных на доске записей приводит к выводу, что число из суммы можно вычитать тремя различными способами.

Сделанный вывод еще не имеет доказательной силы. Одного наблюдения для этого недостаточно. Чтобы стать убедительным, вывод должен подтвердиться в целом ряде однородных случаев. Поэтому на данном уроке аналогично была проведена работа по системе сюжетных картинок из учебника. Затем наблюдения были продолжены при решении соответствующих примеров тремя способами, только после этого был сделан индуктивный вывод.

Специфической особенностью неполного индуктивного вывода является то, что нельзя исчерпать все частные случаи, а потому всегда остается сомнение в истинности тезиса. По этой причине умозаключение, достроенное с помощью неполной индукции, не относится к способам математического доказательства. Но в начальной математике мы застрахованы от ошибок, к которым оно может привести, поскольку заранее знаем, что открываемые учащимися законы, свойства, правила достоверны (они уже получили свои строгие доказательства в математике). Поэтому неполный индуктивный вывод мы и относим к способам предматематического доказательства (но не логического!).

С методической точки зрения этот способ имеет целый ряд достоинств: это и развитие логических операций (анализ, синтез, обобщение), и принципы и доступности в обучении, и связанная с ними познавательная активность учащихся, и радость открытия, и знакомство с широко используемым в науке исследовательским методом.

3. Измерение. Сущность этого способа предматематического доказательства состоит в сопоставлении истинности высказываемых суждений с данными, полученными в результате измерения.

Например, наблюдение различных по цвету, форме, расположению на плоскости прямоугольников приводит учащихся к предположению, что противоположные стороны любого прямоугольника равны. Это суждение требует обоснования, которое и выполняется путем измерения длин соответствующих сторон и применения неполного индуктивного вывода.

Логически достоверным способом доказательства измерение не является, ибо его результаты зависят от точности инструментов, от навыков владения ими и потому всегда приближенны.

4. Вывод по аналогии. В умозаключении по аналогии мысль движется от единичного к единичному, в результате чего осуществляется перенос знаний с изученного объекта на другой, менее изученный объект. Основой для переноса служат глубокие и разносторонние знания признаков сходства и различия этих объектов.

Получаемые по аналогии выводы имеют лишь правдоподобный характер. Они могут оказаться как истинными, так и ложными. К ошибкам приводит применение аналогии на частичных или несущественных признаки сходства сравниваемых объектов. Каждый учитель может привести конкретный пример ошибочного умозаключения по аналогии из своей практики обучения решению задач, когда, основываясь на выделении в тексте задач только отдельных слов- признаков больше, меньше, всего, осталось и т. п. (без учета их связи с другими данными задачи), учащиеся переносят известный им способ выбора арифметического действия в новые условия.

Весьма распространены у младших школьников ошибки в решении уравнений на нахождение неизвестного делимого (или уменьшаемого). Объясняются эти ошибки не столько нетвердым знанием названий этих компонентов и соответствующих правил их нахождения, сколько неправильным использованием аналогии. Решая без ошибок, к примеру, уравнения вида х*2=8 и хорошо зная правило нахождения неизвестного множителя, учащиеся переносят применяемый здесь способ решения х:=8:2 и на уравнение вида х:2 = 8. Основой для проведения аналогии служат несущественные признаки сходства этих уравнений: 1) оба уравнения с действиями одной ступени, 2) в обоих уравнениях неизвестен первый компонент. Несоответствие полученного ответа х=4 уравнению х:2 = 8 часто остается необнаруженным, поскольку к проверке уравнений многие учащиеся подходят формально, ограничиваясь только соответствующими записями (без вычислений!).

Для предупреждения ошибок подобного рода важное значение имеет установление существенных признаков отличия этих уравнений: в уравнении х*2=8 выполняется действие умножение и поэтому значение х должно быть меньше 8, а в уравнении х:2=8 -- деление и значение. х должно быть больше 8.

Таким образом, правильное применение аналогии требует объема а глубины знаний существенных признаков сравниваемых объектов (как общих, так и отличительных), а также умения выделять существенные связи; между ними. Глубокое осознание к третьему году обучения общности принципов нумерации любых натуральных чисел позволяет использовать аналогию для вывода: «Письменное сложение и вычитание любых многозначных чисел выполняется так же, как сложение и вычитание трехзначных чисел».

Можно привести немало примеров использования аналогии при изучении начального курса математики. Ее широкое применение объясняется тем, что выводы, получаемые по аналогии, позволяют систематизировать зна­ния учащихся с наименьшими затратами сил и времени, вооружить новыми знаниями, пробудить у них интерес к математике, приобщить их к исследовательским видам деятельности. Поэтому там, где это возможно, целесообразно приобщать учащихся к самостоятельному проведению умозаключений по аналогии. Необходимым условием для этого- является

предварительная актуализация знаний существенных общих и отличительных при­знаков сравниваемых объектов, которые создают базу для переноса знаний с одного объекта на другой.

Например, сопоставление случаев деления с остатком на однозначное число (II класс) и на числа 10, 100, 1000 (III класс) позволяет выделить в них существенные черты сходства (один и тот же вычислительный прием) и различия (основой для первого является табличное или внетабличное умножение, а для второго -- нумерация натуральных чисел). По каждому из признаков у третьеклассников имеется достаточный объем знаний, по­этому учитель может построить урок так, чтобы учащиеся самостоятельно сделали вывод по аналогии.

Учитель может использовать эту возможность следующим образом. В устный счет включить задания, выполнение которых актуализирует у детей необходимые для проведения аналогии знания. До начала урока учащимся розданы перфопапки. Записав свою фамилию, ученик должен был в прорезях подчеркнуть одной чертой, сколько в соответствующем числе десятков, двумя

-- сколько в нем сотен, тремя -- число тысяч.



Частичная проверка этой самостоятельной работы была выполнена после заполнения таблицы, записанной на доске.

Сравните частное и делимое в первой паре примеров (второй паре, третьей паре). Что показывает частное от деления любого числа на 10? (на 100? на 1000?)

Ответы на поставленные учителем вопросы требовали от учащихся мобилизации имеющихся у них знаний о способе нахождения частного от деления на разрядные числа.

И наконец, с полным объяснением коллективно были решены примеры 27: 4 и 89 : 9.

Выполнение всех этих заданий явилось хорошей подготовкой для решения поставленной проблемы: «Пусть требуется 89 разделить на 10. Как это сделать?» Учащиеся быстро нашли ключ к ее решению -- надо в делимом выделить наибольшее число, которое делится на 10 без остатка. Один из учеников у доски решил этот пример с полным объяснением. Для закрепления вывода, основанного на аналогии нового приема с приемом деления с остатком на однозначное число, учитель предложил сначала прочитать в учебнике объяснение деления 86 на 10, а затем прокомментировать решение примеров: 148:10; 356 : 10; 1425: 10; 24876: 10 Организованные затем наблюдения за частным и остатком в каждом примере посредством сравнения их с делимым подвели уча­щихся к выводу: «При делении любого числа на 10 частное показывает, сколько всего десятков в этом числе, а цифра единиц данного числа обозначает остаток». Этот вывод закреплялся путем решения примеров с окошками: 237:–=23 (ост. 7); 4768: – = 476 (ост. 8)

Решение новой проблемы: 4 768 : = 47 (ост. 68) опять требует от учащихся выполнения умозаключения но аналогии: «Делитель -- 100, потому что частное обозначает число сотен в числе 4 768, а остаток записан всеми другими цифрами этого числа». Достоверность этого заключения учитель потребовал" доказать, предложив учащимся объяснить решение примера 4 768 : 100 и сравнить полученный ответ с ответом в примере с окошком.

Аналогия на этом уроке использовалась еще раз при отыскании приема деления на 1 000.

В течение всей работы над новым материалом учащиеся были вовлечены в творческую деятельность. Они активно участвовали в решении предлагаемых учителем познавательных задач. В ходе их решения у учащихся формировались мыслительные операции (анализ, сравнение, синтез, обобщение) и приемы умственной деятельности (наблюдение, аналогия).

Все рассмотренные нами способы обоснования истинности предложений не считаются в математике способами доказательства, так они могут привести к ложному заключению (о причинах говорилось выше). Но мы их относим к способам предматематического доказательства, потому что они: 1) доступны и убедительны для младших школьников; 2) позволяют вооружить учащихся основами научных знаний; 3) приобщают к методам математиче­ской деятельности, поскольку используются для выдвижения гипотез; 4) их использование в начальном обучении математике готовит учащихся к строгим математическим доказательствам.

Способы, о которых речь пойдет ниже, признаются в математике логически достоверными.

5. Дедуктивный вывод. В процессе дедуктивного умозаключения мысль движется от общего к частному, при этом отдельные частные факты подводятся под соответствующее общее правило, закон, понятие.

Повышение теоретического уровня математических знаний младших школьников открывает широкие возможности использования дедуктивных умозаключений при обосновании истинности частных суждений, при решении при­меров, задач, уравнений.

Примером одного из первых дедуктивных умозаключений в начальном обучении математике является рассуждение: «2<3, потому что 2 при счете

называют раньше, чем 3». С его помощью из одного общего суждения (общей посылки) и одного частного суждения (частной посылки) выводится новое частное суждение (заключение). Общая посылка: если а при счете называется раньше в, то а<в. Частная посылка: 2 при счете называется раньше трех. Заключение: 2<3.

Выбор действия для решения простой арифметической задачи также часто обосновывается дедуктивно. Приведем пример такого обоснования при решении задачи: «В одной книге 36 страниц, а в другой -- 18 страниц. Во сколько раз больше страниц в первой книге, чем во второй?»

Общая посылка: все задачи, в которых требуется узнать, во сколько раз одно число больше другого, решаются делением.

Частная посылка: в этой задаче надо узнать, во сколько раз 36 больше, чем 18.

Заключение: для ответа на вопрос задачи надо 36 разделить на 18.

Мы привели примеры полных дедуктивных умозаключений. От учащихся, как правило, не требуют объяснения в таком развернутом виде. Общая посылка часто лишь подразумевается, как, например, в этом рассуждении второклассника, в котором он обосновывает истинность математического предложения 23*4 = 92: «23-- это сумма чисел 20 и 3*20 умножить на получится 80, 3 умножить на 4, получится 80+12 = 92». Общая посылка -- правило умножения суммы на число -- в этом рассуждении используется лишь неявно.

Все примеры обоснования истинности предложений содержат только одно умозаключение. В некоторых случаях, например при решении составного уравнения (4* b) : 10 = 236, от учащихся уже требуется умение построить цепочку из двух дедуктивных умозаключений. Интересно заметить, что при объяснении решения уравнений учитель почти всегда требует от ученика произнесения вслух общей посылки.

Общая посылка: чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Частная посылка: в этом уравнении неизвестно делимое.

Заключение: 4* b = 236*10. Аналогично строится второе умозаключение уже для решения нового уравнения 4* b = 2360. Истинность заключения в дедуктивных доказательствах при правильном построении умозаключений зависит только от истинности посылок, поэтому дедуктивный вывод и является основным способом математических доказательств.

Математические доказательства представляют собой такую цепочку дедуктивных умозаключений, что заключение каждого из них, кроме последнего, является посылкой в одном из последующих умозаключений. Дедуктивные доказательства в начальном курсе математики отличаются от них как количеством звеньев в этой цепочке (одно - два звена), так и простотой своей структуры. Но ясно, что обучение таким рассуждениям готовит учащихся к строгим логическим доказательствам, с одной стороны, и обеспечивает осознанность и глубину знаний -- с другой. 6. Вычисление. Название этого способа говорит само за себя: истинность высказываемых учащимися суждений обосновывается с помощью вычислений. Проверка уравнений, результатов арифметических действий, решение неравенств методом подбора являются примерами этого способа предматематического доказательства.

В начальной математике вычисление как способ обоснования истинности суждений используется часто, иногда даже в ущерб развитию логического мышления и речи детей. Это происходит в тех случаях, когда учитель, огра­ничиваясь вычислениями, недостаточно использует возможности уроков математики длят привития учащимся навыков словесного обоснования.

Например, обоснованием истинности предложений 405--205=450--250 и 7*10>70:10 может служить только вычисление.

Но совсем другой подход предполагается при выполнении заданий по сравнению значений выражений вида: 56*10*4 и 56*14, где от третьеклассников в первую очередь требуется проведение дедуктивных

рассуждений. Вычисления в этом случае играют лишь вспомогательную роль, являясь своего рода подкреплением убедительности сделанного дедуктивного вывода.

В изолированном друг от друга виде способы предматематического доказательства применяются редко. Чаще всего они в одном я том же рассуждении взаимодействуют, дополняя друг друга. Это можно было обнаружить и в приведенных нами выше примерах доказательств.

Таким образом, современный начальный курс математики позволяет на простых примерах познакомить учащихся с элементами математического доказательства, сознательное овладений которым способствует развитию их логического мышления и успешному усвоению математики в средней школе. Систематическое использование различных способов предматематического доказательства позволяет воспитывать у учащихся потребность в обосновании истинности своих суждений, что является важным качеством культуры мышления, необходимым в любой деятельности.

Необходимо еще раз подчеркнуть, что задания на доказательство учат младших школьников грамотно формулировать мысли, обосновывать выводы, способствует развитию логического мышления и теоретического виденья. Все это является важнейшим показателем успешности обучения в начальной школе. Совершенствование логических умозаключений сохраняется и в других мыслительных процессах: в установлении причинно-следственных связей ответах на поставленные взрослыми вопросы, требующие планирования, догадки, поиска решения.

При применении методов установления причинной связи в качестве научной методологии используются следующие положения принципа причинности:

1) причинно-следственная связь является объективной;

2) эта связь необходимая: определенная причина в соответствующих условиях обязательно вызывает определенное следствие;

3) эта связь является всеобщей; в природе нет беспричинных явлений;

4) причина предшествует следствию во времени (по крайней мере, следствие не может появиться раньше причины).

Виды заданий. В 1-ом классе дается следствие, а причину дети формулируют на бытовом уровне, исходя из собственного опыта.

Во 2-ом классе дается следствие, дети формулируют причину на основе и личного опыта, и на материалах учебника; появляется научность. Добавляются задания на развитие других логических операций: анализ, обобщение, классификация, работа со схемами-таблицами.

В 3, 4-ых классах в видах заданий:

- есть следствие, надо найти причину;

- есть причина, дети формулируют следствие;

- есть проблема, из которой выводится причина, дети говорят о следствии.

На основе таких видов заданий делаются выводы, которые отображаются в виде схем, таблиц. К 3, 4-му классам начинает развиваться словесно- логическое мышление.

Выбор действия определяется прежде всего целью усвоения понятия и подведения под понятие. Допустим, понятие усваивается для того, чтобы распознавать объекты, относящиеся к данному классу. В этом случае необходимо использовать действие распознавания, действие подведения под понятие. Если учащиеся не знакомы с этими действиями, то необходимо раскрыть их содержание, показать, как следует их выполнять.

Действие подведения под понятие имеет следующую структуру:

- Выделение всех свойств, зафиксированных в определении.

- Установление логических связей между ними.

- Проверка наличия у объекта выделенных свойств и их связей.

- Получение вывода о принадлежности объекта объёму понятия. Тема: «Деление нуля».

У.:У меня в руках нет конфет. Какой цифрой обозначим несуществующее число конфет?

Д.: Цифрой «0».

У.: У меня нет в руках конфет, я забыла их дома, но я так хотела их отдать 4-ём ученикам поровну! Сколько будет конфет у каждого ученика?

Д.: «0».

У.: Запишем эту ситуацию примером. Д.: 0 : 4 = 0

У: Сколько конфет будет у 5-ти, 6-ти, 7-ми учеников в руках, если я захочу им раздать забытые дома конфеты?

Д.: Не будет у них конфет - «0».

У.: Сформулируйте мне правило деления нуля на любое число. Дети формулируют правило деления нуля на любое число.

У.: Скажите, можно ли положить конфеты (яблоки, пирожки и т.д.) на несуществующее количество тарелок поровну?

Д.: Нет, нельзя, тарелок же нет - «0».

У.: Можно ли разделить любое число на «0»? Д.: Нет, нельзя.

Примерами подобных ситуаций на уроках в начальной школе хотелось показать важную роль слов учителя, ведущего к открытию учащимися новых знаний. Подобная роль может быть почти незаметной, тогда яркость открытий будет наиболее впечатлительной, сильной у детей, учащиеся с большим интересом будут идти на урок и стремиться к новым

В обучении математике процессы обобщения могут быть организованы по-разному, что влияет на выбор методики обучения.

При формировании правильных обобщений особое место необходимо уделять варьированию несущественных признаков.

Умение анализировать математические объекты - одно из основных условий правильного обобщения, и поэтому его нужно специально формировать. С этой целью необходимо строго продумывать характер вопросов и заданий, активизирующих мысль детей, направленную на поиск главного, существенного в заданном объекте.

Найдём, например, значение выражения 96-2?62. Для этого мы должны, соблюдая принятый порядок действий, сначала выполнить возведение в степень, затем умножение и, наконец, вычитание:

1. 62=36;

2. 2?36=72;

3. 96-72=24.

Число 24 -значение выражения 96-2?62.

Сравни равенства. Объясни, почему верны эти записи: а) 2 · 4 = 4 · 2;

б) 3 · 6 = 6 · 3;

в) 2 · 7 = = 7 · 2.

Сделай вывод, запиши его для произведения.

Если в выражении встречается деление на нуль, то это выражение не имеет значения, так как на нуль делить нельзя. О таких выражениях говорят, что они не имеют смысла. Например, не имеют смысла такие выражения, как

35?(4?2-8)

Таким образом, говоря об особенностях мышления младшего школьника и, опираясь на все указанное выше, можно сделать следующие выводы:

1 .Особенности логического мышления младших школьников проявляются и в самом протекании мыслительного процесса, и в каждой его отдельной операции (сравнении, классификации, обобщении, совершающихся в разных формах суждения и умозаключения).

2 .Для мышления младших школьников характерно однолинейное сравнение (они устанавливают либо только различие, либо только сходное и общее).

3 .Детям7-10летдоступнылогическиесуждения, оперирования понятиями, переходы к обобщениям и выводам.

Роль математики в развитии логического мышления исключительно велика.

Таким образом, математика позволяет сформировать определенные формы мышления, необходимые для изучения окружающего нас мира.

Исходя из выше изложенного, при обучении необходимо найти в педагогическом процессе такие условия, которые могли бы в максимальной степени способствовать проявлению самостоятельности и активности в формировании логического мышления учащихся, а также продвижению в их умственном развитии. Обучение, которое сводится лишь к накоплению знаний, а не формирует у ребенка умение думать, не учит тем мыслительным операциям (анализу, синтезу, сравнению, обобщению и т.п.), с помощью которых приобретаются осмысленные знания, малоэффективно для умственного развития.

Ознакомившись со стандартом второго поколения, мы видим, что одно из важнейших логических универсальных действий -- умение решать проблемы или задачи. Усвоение общего приема решения задач в начальной школе базируется на сформированности логических операций -- умении анализировать объект, осуществлять сравнение, выделять общее и различное, осуществлять классификацию, сериацию, логическую мультипликацию (логическое умножение), устанавливать аналогии. В силу сложного системного характера общего приема решения задач данное универсальное учебное действие может рассматриваться как модельное для системы логических действий. Решение задач выступает и как цель, и как средство обучения. Умение ставить и решать задачи является одним из основных показателей уровня развития учащихся, открывает им пути овладения новыми знаниями.

Глава III. Экспериментальное исследование формирования логического мышления младших школьников на уроках математики

3.1 Первый тест на выявление у учащихся второго класса логического мышления на уроке математики

Цель исследования - исследовать динамику логического мышления младших школьников на уроках математики.

Задачи исследования:

1. провести первичное исследование логического мышления младших школьников,

2. повысить уровень логического мышления при использовании логических заданий и упражнений на уроках математики,

3. провести вторичное исследование логического мышления младших школьников.

Согласно задачам исследования, эксперимент проходил в три этапа:

1 этап - констатирующий. На этом этапе была проведена диагностика логического мышления младших школьников.

2 этап - формирующий. На данном этапе были предложены логические задания и упражнения, формирующие логическое мышление на уроках математики.

3. этап - контрольный. На данном этапе повторно была проведена логического мышления младших школьников.

База исследования - ученики (8 человек) 2-го класса.

Диагностическая программа, целью которой было определение уровня умений доказательства, подведения под понятие, установления причинно- следственных связей, обобщения.

Все методики составлены Н.Б. Истоминой.

Методика 1. «Найди прямоугольник» (подведение под понятие)

Задание состояло в следующем: на столе выкладывались четырехугольники, ученик выбрал из них все прямоугольники (подвести под понятие прямоугольник), которые для сложности были разных вариантов: в форме полоски, положены на высоту, а так же в том виде, к которому школьники уже привыкли. Время - проведения 5 минут.

Эти экспериментальные задания помогали изучить такие особенности учащихся, как умение отвлекаться от несущественных признаков единичных предметов, одновременный анализ предметов по нескольким признакам (основаниям), умение соблюсти координацию объема и содержания классифицируемых классов объектов, удерживать в сознании определение понятия (как совокупность существенных признаков).

По результатам методики были определены три уровня сформированности у детей математических понятий: низкий, средний и высокий.

Первый (самый низкий) уровень выполнения подведения под понятие опирается на односторонний элементарный анализ, на классификацию, или носящую глобально-недифференцированный характер, или опирающуюся только на один признак, не могут определить даже два признака для экспериментального понятия, и поэтому делают множество ошибочных выборов, попеременно ориентируясь то на цвет, то на форму. Эти дети не удерживают положительное и отрицательное подкрепление, в результате чего не могут осуществить классификацию по заданным признакам, подвести под понятие.

Для второго уровня характерно то, что подведение под понятие проходит с опорой на классификацию, которая уже дифференцирована, но осуществляется не сразу, а в результате упражнений. Ученики на этом уровне не способны увидеть связь между подкрепленными признаками, анализ ведется то по одному (форма), то по другому (цвет) признаку, они возвращаются к

неподкрепленным признакам и не могут удержать все подкрепленные. Между подкрепленными признаками не могут установить связь. Эти дети способны осуществить классификацию, подвести под понятие, но лишь допустив несколько ошибочных выборов.

Третий уровень основывается на всестороннем анализе и синтезе, классификация проходит по всем заданным основаниям, ученики устанавливают как положительные, так и отрицательные связи, прочно удерживают подкрепленные признаки и отбрасывают неподкрепленные, не возвращаясь к ним, таким образом, подводят под понятие. Характерно то, что при выборе фигурок ученики с этим уровнем владения приемом классификация пытаются формулировать в словах те признаки (основания), на которые надо опираться при подведении под понятие.

За выполнение задания на третьем уровне начислялось 2 балла, на втором

– 1 балл, на первом - баллов не начислялось.

Методика 2. «Обобщение понятий»

Методика предназначалась для выявления способности испытуемого обобщать, уровня его понятийного мышления. Данная методика является самостоятельной, предназначена для тех случаев, когда необходимо изучить вербальный интеллект испытуемого, его общую осведомленность ну и конечно собственно способности к обобщению и уровень понятийного мышления.

Стимульный материал представлял собой пятнадцать наборов из трёх слов в каждом. В задачу испытуемого входило найти общее в этих трёх словах и назвать эти три слова одним общим понятием. Ответы испытуемый записывать в бланк ответов.

Методика проводилась в групповой форме. Ограничение по времени: 10 минут.

Оцениваемые качества. Способности обобщать. Уровень понятийного мышления.

Порядок проведения:

Зачитывалась инструкцию. Непосредственно в стимульном материале имелись три примера. Однако необходимо добиться того, чтобы уже до начала тестирования испытуемые поняли то, что от них хотят. Инструктор раздавал стимульный материал в перевёрнутом состоянии. Засекалось время и давалась команда "Начали!", после которой испытуемые переворачивали листы стимульного материала и начинали работать. Время работы: 10 минут.

Инструкция.

Сейчас Вам предстоит решать задачи на обобщение. Всего задач будет 14. Каждая задача состоит из трёх слов, которые в чём-то похожи друг на друга. Эти три слова объединяет некое общее качество. Придумайте общее

название для всех этих трёх слов. Старайтесь, чтобы название было точное.

Возьмём для примера три слова: "метр", "сантиметр", "миллиметр". Их можно объединить одним понятием - "мера длины". Не стоит давать описания вроде: "с помощью них можно измерить отрезок" и тому подобные. Вам даётся 10 минут.

Есть вопросы?

Бланк заданий:

1) единицы десятки сотни

2) килограмм тонна грамм

3) умножение деление сложение

4) плюс минус равно

5) месяц день год

6) секунда минута час

7) многозначное натуральное круглое

8) больше меньше равно

9) квадрат треугольник круг

10) рубль доллар евро

11) тысячи десятки тысяч сотни тысяч

12) уменьшаемое вычитаемое разность

13) переместительное сочетательное распределительное

14) схема действия ответ Обработка результатов.

Максимальный балл за каждый ответ: 2. Таким образом, максимальное количество баллов за тест: 30. Испытуемый может дать ответ иного плана. Иногда испытуемые дают более точные обобщающие понятия, то есть более узкие понятия, но тем не менее охватывающие все три слова. Если такой ответ верен, то начисляется 2 балла. Если неверен, то только 1.