Операция над множествами как основа обучения арифметическим действиям над целыми неотрицательными числами

Итак, изучение использования множеств в обучении арифметическим действиям очень важный вопрос математики. Дети должны уметь употреблять множество, группировать предметы по разным признакам, сравнивать группы множеств. А также должны уметь показать независимости числа предметов от их размера, площади и формы расположения. Также важно при изучении употребления множеств, чтобы дети научились самостоятельно прибегать к способам практического сопоставления групп предметов, доказывая правильность своих суждений о связях и отношениях между смежными числами.

1.3 Методика раскрытия конкретного арифметических действий в начальных классах

В начальном курсе математики арифметические действия над целыми неотрицательными числами является центральной темой. Основная цель изучения этого раздела программы - выработать у учащихся начальных классов умения решать арифметические действия и задачи.

Изучение конкретного смысла арифметических действий строятся в начальном курсе математики концентрически. В программе намечена система постепенного расширения области рассматриваемых с детьми чисел (десяток - сотня - тысяча - многоязычные числа). Изучение арифметических действий в пределах 10 имеет некоторые особенности. Десять - основание десятичной системы счисления, поэтому числа от 1 до 10 образуется в результате счета простых единиц. Арифметические действия (сложение и вычитание) непосредственно связаны с операциями над множествами. Случаи сложения и вычитания в пределах 10 являются табличными, они заучиваются наизусть. При формировании навыков счета и отсчета важно наряду со счетом отдельных предметов упражнять детей в счете групп, состоящих из однородных предметов.

Прежде чем приступить к изучению арифметических важно отработать умение считать, поэтому на каждом уроке включаются упражнения в счете предметов - именно счет предметов - а не так называемый «отвлеченный счет». Дети считают предметы окружающей обстановки, предметные картинки, предметы, изображенные на картинках в учебнике, а также палочки, кружки, треугольники и др.

Считая предметы в различном порядке, учащиеся своими словами формируют вывод о том, что результат счета не зависит от порядка счета. Они должны усвоить, что если последний предмет оказался пятым при счете, то всего предметов пять, и наоборот, если всего предметов пять, то последний предмет пятый, но вместе с тем «пятый» - это только один предмет. Дети, считая предметы, знакомятся с первыми десятого числами натурального ряда (их названиями, последовательностью), выясняют на примере этих чисел, как образуется каждое следующее число в натуральном ряду. Сначала это делается на основе выполнения соответствующих операций над множествами (присчитывание и отсчитывание по одному и группами). Каждое из четырех арифметических действий должно прочно связаться в сознании детей с теми конкретными задачами, которое требует его применения, смысл действия и раскрывается главным образом на основе практических действий с множествами предметов. На этой основе доводится до сознания детей связь между компонентами и результатами действий, связь между действиями, рассматриваемые свойства действий и изучаемые математические отношения. Раскрытие конкретного смысла сложения и вычитания изучается на основе практических упражнений, связанных с объединением двух множеств предметов иди удалением части данного множества предметов. Такие упражнения выполнялись начиная с первых уроков математики, продолжаются они и в теме «Сложение и вычитание». Но здесь главное значение приобретает ознакомление с действиями над числами. Программа предусматривает ознакомление с основными приемками вычислений, которыми учащиеся должны уметь пользоваться при сложении и вычитании чисел. Прием прибавления и вычитания числа по его частям (по единице и группами) универсален: он может быть использован применительно к любому случаю сложения и вычитания.

С первых же уроков подготовительного периода отрабатывается умение сравнивать численности множеств. Сравнение чисел натурального ряда выполняется с опорой на сравнении множеств. С этой целью предлагается детям такие задания: «Скажите, на котором окне цветов больше, в каком ряду елочек на рисунке меньше; каких кружков больше, а каких меньше на наборном полотне?». Упражнения на сравнение множеств даются так, чтобы дети выполняли их не только с помощью счета, но и путем соотношения элементов «один к одному». Сравнение множеств путем соотнесения предметов «один к одному» дает возможность уже в этот период устанавливать не только где больше, а где меньше предметов, но и на сколько предметов больше, на сколько меньше. При выполнении этих упражнений, опираясь на множество, учитель должен каждый раз обращать внимание детей на взаимосвязь отношений «больше» и «меньше»; например, если квадратов на 1 больше, чем треугольников (показывает лишний квадрат), то треугольников на 1 меньше, чем квадратов.

Также включают упражнения на преобразование не равночисленных множеств в равночисленные и обратно. Например, дети установили, что яблок на 1меньше, чем груш, а груш на 1 больше, чем яблок. Учитель ставит вопрос: «Что надо сделать, чтобы яблок стало столько, сколько яблок?» (Убрать одну грушу).

В целях раскрытия конкретного смысла сложения и вычитания следует показать, что прибавлять и вычитать можно разные числа, а не только единицу. Поэтому при изучении арифметических действий рассматриваются все случаи сложения и вычитания в пределах 10 (а+2, а+3, а+4, а+5). Результаты действий находят путем соответствующих операций над множествами, что помогает детям понять конкретный смысл сложения и вычитания. После того как дети найдут результат сложения, сразу выясняют, как получили этот результат. (Сколько получится, если к 3 прибавить 2?). На основе таких упражнений учащиеся постепенно запоминают не только результаты действий в пределах 10, но и состав чисел 2,3,4,5,6,7,8,9 и 10 из слагаемых. Состав же этих чисел иллюстрируются с помощью операций над множествами. При раскрытии конкретного смысла арифметических действий рекомендуется научить детей решать примеры в два действия вида 6+1+1, 9-1-1, чтобы дети закрепили умения прибавлять и вычитать единицу и накопили наблюдения: если прибавим (вычтем) 1 и еще 1, то всего прибавим (вычтем) 1 и еще 1, то всего прибавим (вычтем) 2. Вначале решение таких примеров иллюстрируют действиями с предметами, например: «Положите 4 синих квадрата, придвиньте 1 желтый квадрат. Сколько квадратов получилось? придвиньте еще 1 желтый квадрат. Сколько квадратов получилось? Запишите пример: 4+1+1; объясните, как решаем такой пример (к 4 прибавить 1,получится 5, к 5 прибавить 1, то получится 6).

Так же раскрывается смысл вычитания 8-1-1. Затем приступают к рассмотрению приема прибавления и вычитания числа 2. Решение первых примеров выполняется с опорой на предметный счет. Решается пример 4+2. пусть эти букеты на окне изображают число 4, а эти 2 букета - число 2. покажите, как эти 2 букета присоединить к тем 4 букетам (ученик переносит цветы на окно, сначала дин букет, потом второй). Запишем, что сделал Вова.

4+1=5

5+1=6

4+2=6

С помощью аналогичных упражнений раскрываются смысл действий,

а+3, а+4, а+5.

Изучение каждого свойства сложения и вычитания строится примерно по одному плану: сначала, используя элементы множеств, надо раскрыть суть самого свойства, затем научить детей применить его при выполнении различных упражнений учебного характера, и, наконец, научить, пользуясь знанием свойства, находить рациональные приемы вычислений с учетом особенностей каждого конкретного случая.

При раскрытии конкретного смысла арифметических действий в пределах 1000 дети знакомятся с новыми приемами прибавления и вычитания числа по его частям.

Для демонстрации операции сложения и вычитания лучше всего воспользоваться хорошо знакомым детям палочками и пучками палочек. Пусть первый большой пучок - «сотня» будет получен из десяти меньших пучков - «десятков» на глазах у детей в результате счета десятков. Следующие пучки - «сотни» могут быть заготовлены заранее. Считая сотнями, учитель обратит внимание детей на то, как называются одна сотня, две сотни.

Раскрывая конкретный смысл умножения, следует прежде всего расширить опыт учащихся в выполнении соответствующих операций над множествами еще в 1 классе при изучении нумерации, сложения и вычитания в пределах 10 и 100 целесообразно ввести счет пар предметов, троек и т.д. и предлагать примеры на нахождение суммы одинаковых и неодинаковых слагаемых:

1) В трех коробках лежит по 6 карандашей в каждой. Сколько всего карандашей в коробках?

2) В первой коробке 3 карандаша, во второй - 6, в третьей - 8. Сколько всего карандашей в коробках?

Во 2 классе сумма одинаковых слагаемых заменяется произведением (6+6+6+6=24, 6·4=24). Выполняя эту операцию, дети знакомятся с действием умножения, с записью умножения, усваивают роль множителей.

При раскрытии конкретного смысла действия умножения и вычислительного приема помогают такие упражнения:

1. По данным примерам 4+3 и 4·3 сделайте рисунки. Сравните примеры и решите их.

2. Замените примеры на умножение примерами на сложение и решите их: 7·4, 1·5, 106,15·4.

3. Решите задачу сначала сложением, а затем запишите решение умножением: «5 пионеров вырезали для ребят по 4 звездочки каждый. Сколько звездочек вырезали ребята?

Конкретный смысл деления раскрывается в процессе простых задач на деление по содержанию и на равные части. Ученики должны научиться выполнять по условию задачи операцию разбиения данного множества на ряд равночисленных подмножеств и связывать эту операцию с действием деления, научиться записывать решение задач с помощью этого действия.

На знании конкретного смысла действия деления основывается первый вычислительный прием деления: ученики находят частное, выполняя действие с предметами. Например, чтобы найти частное 8·4, берут 8 кружков раскладывают их по 4 и считают, сколько раз получилось по 4 кружка, или раскладывают 8 кружков на 4 равные части и считают, сколько кружков получилось в каждой части.

Для закрепления знания и конкретного смысла действия деления и вычислительного приема, основанного на этом знании, включается решение простых задач на деление по содержанию и на равные части, а также решение примеров на деление с помощью действий с конкретными предметами (кружки, палочки и т.п.).

Конкретный смысл деления с остатком раскрывается при решении простых задач на деление по содержанию и на равные части с помощью выполнения операций с предметами: ученики убеждаются, что не всегда можно выполнить разбиение данного множества на равночисленные подмножества и что в таких случаях операция разбиения связывается с действием деления с остатком.

Таким образом, навыки сложения и вычитания должно быть доведено до автоматизма, т.е. конечным результатом рассмотрения приемов вычислений, используя элементов множества, и выполнения соответствующей системы упражнений должно стать прочное («на всю жизнь»), усвоение детьми всех случаев сложения и вычитания на память. Учащиеся должны уметь свободно выполнять операции сложения, вычитания, умножения и вычитания.

Изучая методику раскрытия конкретного смысла арифметических действий в начальных классах, мы видим, что при формировании навыков счета необходимо применять элементы множества. Без применения счетного материала детей невозможно и нельзя научить считать. Применение элементов множества - это общее требование, определяющее содержание и методику уроков, на которых изучают операцию проведения арифметических действий.

Глава II. Опытно-экспериментальная работа по использованию множеств в обучении арифметическим действиям над целыми неотрицательными числами

2.1 Из опыта роботы учителей по использованию элементов множеств в обучении математике в начальных классах

Изучая опыт работы учителей по журналам «Начальная школа», «Башkортостан уkытыусыhы», методических разработок, нашли много примеров по использованию множеств в обучении. Например: в журнале «Начальная школа» учительница начальных классов Оксана Вышарь из г. Кемерово дает разработку урока на тему «Знакомство с числом 2» в первом классе. На уроке дается первое представление о числе 2. Фрагменты этого урока.

4. Изучение нового материала.

Учительница:

- Сегодня мы с вами познакомимся с новым числом, а как его зовут, мы сейчас узнаем. Сколько у меня на столе кубов?

Д. Один.

У. Какого он цвета?

Д. Красный.

У. А сейчас к нему я добавлю еще один куб (ставит куб зеленого цвета). Какого он цвета?

Д. Зеленого.

У. Сколько я поставила кубов?

Д. Один.

У. Посмотрите был один куб, я поставила еще один, и их стало два: один, два (считает и показывает на кубы).

Давайте сосчитаем вместе. (Считают.)

У. Дети, мы получили новое число - «два».

49

Закрепление.

У. Теперь нарисуйте два круга.

Дети рисуют и показывают.

49

У. А теперь возьмите в руки по одной палочки.

Дети выполняют задание.

У. Сколько у тебя палочек в одной руке? А в другой? Сколько всего палочек?

Итак, как мы получили число два? Два это сколько?

Д. Два - это один и один.

¦ ¦

Вот так она объясняет о смысле числа два. По - моему такое предметное объяснение помогает детям понять новую тему, повышает качество знаний. А также учительница начальных классов Татьяна Пестова из города Салавата пишет как использует элементы множества при изучении темы «Сравнение предметов и групп предметов». На уроке проверяется умение выполнять счет предметов (меньше, больше, столько же), сравнивать предметы по различным признакам: цвету, форме, размеру, ориентироваться в пространстве (справа, слева, вверху, внизу).

Фрагменты этого урока:

1. В верхней строке нарисуйте столько кружков, сколько помидоров нарисовано на доске (на доске нарисовано 6 помидоров). Раскрасьте третий кружок.

- Я читаю задачу. О чем говорится в задаче?

Обсуждение задачи.

- Что надо делать? (нарисовать столько кружков, сколько помидоров).

Помидоров 6, а значит кружков тоже 6. Еще надо раскрасить третий кружок.

Выполнение на тетрадях.

2. Слева нарисуйте 3 красных квадрата, а справа 1 зеленый треугольник.

- Я читаю задачу, вы слушайте. Что надо делать?

- Слева нарисовать 3 красных квадрата.

- Где у нас левая сторона?

- А где правая сторона? Надо нарисовать зеленый треугольник.

Дети рисуют.

- Сколько треугольников нарисовали? Сколько квадратов? Каких фигур больше: квадратов или треугольников?

49

3. Нарисуйте в строке через клеточку 6 треугольников. Ниже начертите 8 палочек. Нарисовать в строке через клеточку 6 треугольников, затем начертить ниже 8 палочек.

Выполнение работ на тетрадях.

- Сколько у нас треугольников? Сколько начертили палочек? Чего больше: треугольников или палочек? На сколько больше?

А также Гузель Зиннурова из Мясагутово дает разработку урока на тему «Знакомство с числом 7».

Фрагменты урока:

1. 7 стульев надо посадить так, чтобы возле каждой стены стояли по 2 стула.

49

2. Заучивание скороговорки с числом 7.

«В семеро саней по семеро в сани уселись сами».

Учительница показывает схему по скороговорке.

- В одной сане сколько детей?

7·1=7

- А в двух санях сколько будет?

7·2=14

- А в трех?

7·3=21. ...

49

- Итак, всего 49 детей. Давайте продолжим рисунок.

7·8=56

7·9=63

7·10=70

- Мы с вами нарисовали таблицу умножения числа 7.

Изучая опыт работы учителей, мы выясняли, что при изучении множеств предметов арифметических действий, учителя постоянно используют элементов множеств предметов. Предметное преподавание способствует прочному усвоению знаний. Показ примеров и действия решения с помощью элементов множества запоминаются в памяти школьников. Усвоение нового материала проходит активно, без давления на ребенка.

2.2 Исследование и анализ работы учителей по применению элементов множеств при изучении арифметических действий младшими школьниками

Использование множеств в обучении математике для выяснния, как учителя используют элементы множеств при ознакомлении детей с арифметическими действиями мы решили провести исследовательскую работу. Для этого выбрали базой Актаускую муниципальную основную общеобразовательную школу Баймакского района. Методы для исследования выбрали интервьюирование. Были включены в исследовательскую работу учителя начальных классов Саитова Ляля Салиховна и Нугуманова Таслима Сайфитдиновна.

Для интервью были составлены следующие вопросы:

1. Ф. И. О.

2. Ваш стаж работы?

3. В каком классе работаете?

4. Как вы понимаете смысл «Раскрытие коекретного смысла сложения, вычитания, умножения, деления»?

5. Нравится ли детям уроки, на которых элементы множества?

6. Помогает ли использование счетного материала хорошему усвоению темы?

По ответам на вопросы мы выяснили, что учителя в школе работают опытные. Использование счетного материала элементов множеств широко применяются при изучении конкретного смысла арифметических действий. Включают в урок различные задачи на сообразительность, на смекалку, где используются элементы множества. Учителя не исключают необходимости в применении элементов множества. Они считают, что использование элементов множества помогает хорошему усвоению смысла арифметических действий. Дети быстро учатся проводить арифметические операции над числами. Использование предметного счета на уроках детям нравится.

Мы провели два экспериментальных уроков в 1 классе Актауской муниципальной общеобразовательной школе.

Тема первого экспериментального урока «Сложение и вычитание числа 3 », где применялись наглядные пособия.

Фрагменты урока.

1. Повторение пройденной темы «Сложение и вычитание числа 2»

4 + 2 10 - 2

Б Ч

Б - Буратино

Ч - Чиполлино.

2. Новая тема «Сложение и вычитание числа 3».

3 3

1 2

3 это 1 и 2 3 это 2 и 1

6 + 3 9 - 3

6 + 2 + 1 9 - 1 - 2

3. Закрепление темы.

5 + 3

5 + 1 + 2

5 + 2 + 1

Самостоятельно

7 - 3

7 - 2 = 5

5 - 1 = 4

4. Задача.

Читают.

- О чем идет речь?

- О ягодках.

Было . На 3 ягоды уменьшилось. Сколько ягод осталось?

7 - 3 = 4 (я).

Второй урок был на тему “Сложение и вычитание числа 4”, где не применялсянаглядные пособия.

Фрагменты урока.

1. Сравнить числа.

2 3 5 5

7 4 4 4

2. Вычислить.

6 + 3 7 - 3

6 + 2 = 8 7 - 2 = 5

8 + 1 = 9 5 - 1 = 4

3. Изучение состав числа 4.

4 4 4

2 3 1

Мы провели два экспериментальных урока, где на одном уроке использовали дидактические материалы, провели предметный счет, чтобы хорошо раскрыть конкретный смысл арифметических действий сложения и вычитания числа 3, а на другом уроке тему “Сложение и вычитание числа 4” обьясняла на словах, т.е. без дидактического материала и предметного счета. Затем провели проверку знаний у детей на счет предметов. Задаются следующие вопросы:

1. Посчитай. Сколько здесь палочек? ( На столе разложены в ряд, например, 8 палочек. Отними 3.

2. Положи столько же красных кружков, сколько палочек?

3. А теперь попробуй узнать, каких кружков больше: синих или красных? (В руки ребенку дается семь синих кружков)

Таблица 1.

1 2 3 4	5
№	Фамилия, имя	Считает до	Счет предметов	Столько, сколько	Каких больше (меньше) Соотнесением
1 2 3	Байрамгулов Алик Даутова Акида Исяндавлетова	30 20 20	+ + +	+ + +	+ + +

С помощью такой проверки мы выявляем уверенно ли справляется с заданием ребенок или с ошибками, какими способами он при этом пользуется.

Результаты были таковы:

А также наблюдали уроки учительницы первого класса Актауской муниципальной основной общеобразовательной школы Азаматовой Насимы Киньягалеевны. Наблюдали за тем, как она использует наглядные пособия как элементов множества на тему «Сложение и вычитание числа 5 числам первого десятка».

Фрагменты этого урока.

- Вот вам рисунок собаки. Она должна решить эти задачи, давайте ей поможем.

- Нарисуйте на 5 кружков меньше, чем нарисовано на доске.

На доске нарисовано семь кружков.

- Запишите числа от 1 до 5.

1, 2, 3, 4, 5.

Для продолжения нашего исследования мы провели анкетирование среди учителей начального класса Акмурунской СОШ Мамбетовой Нафисы Хайрулловны, Нугумановой Бибинур Нурисламовны, Ханафиной Гульдар Азаматовны.

Для анкеты были составлены следующие вопросы:

1. Как вы проводите ознакомление младших школьников с арифметическими действиями?

2. Какие счетные предметы помогают лучшему усвоению понятия арифметических действий?

3. Как осуществляется при обучении в математике элементы мнеожества ?

4. Возможно ли усвоение детьми понятия арифметических действий без использования предметного счета?

а) Мамбетова Нафиса Хайрулловна.

1.Ознакомление младших школьников с арифметическими действиями провожу при помощи счетного материала.

2. Лучшему усвоению понятия арифметических действий помогают счетные материалы.

3. При обучении математике элементы множества играют важную роль.

4. Усвоение понятия арифметических действий без использования счетного материала невозможно.

б) Нугуманова Бибинур Нурисламовна.

1.При помощи счета предметов провожу ознакомление с понятиями арифметических действий.

2.Лучшему усвоению понятия арифметических действий помогает наглядные счетные предметы.

3. Элементы множества помогает полностью усвоить материалы урока.

4. Усвоение понятия арифметических действий невозможно без использования предметного счета.

в) Ханафина Гульдар Азаматовна.

1.Ознакомление младших школьников с арифметическими действиями проводятся опираясь на элементы множества.

2. Предметный счет лучше помогает детям научиться считать.

3. Использование предметного счета очень хорошо помогает при обучении арифметическим действиям.

4. Без использования элементов множества невозможно детий научить навыкам счета.

Результаты анкетирования были таковы:

Использование учителями элементов множества при обучении арифметическим действиям над целыми неотрицательными числами 100 %.

При этом они утверждают, что счетное преподавание помогает детям быстро научится считать группы предметов, воспроизвести над ними арифметические операции.

2.3 Результаты опытно-экспериментальной работы по использованию элементов множеств при раскрытии конкретного смысла арифметических действий

В результате эксперементальной работы, опираясь на опыты работы учителей, мы можем сказать, что ни один урок по обучению арифметических действий не проводятся без использования элементов множества. Так как их использование нравится детям, с другой стороны как мы уже отмечали они помогают хорошему усвоению темы, повышает качество знаний. И самое главное, дети быстрее учатся считать, провести предметный счет, решать арифметические задачи, выяснить конкретный смысл арифметических действий.

Как отмечали учителя, применение счетного материала помогает провести уроки на должном уровне, пробудить интерес к предмету, довести до автоматизма вычисления, которые необходимы детям в жизни.

Я провела опробирование использования элементов множества по определенным темам.

Фрагменты уроков использования элементов множества.

Тема: Сколько? Больше, меньше, столько же.

4 < 5 5 = 5

5 > 4 4 = 4

Тема: Состав числа 6

49

Тема: Сложение и вычитание числа 3.

49

49

Проведя исследовательскую работу, мы выявили и систематизировали какие элементы множества можно использовать по определенным темам.

Соответствующие счетные материалы

Счетный материал

Числа, палочки, абак, полоски, квадраты, кружочки.

Карточки, таблицы для устного счета, сложения, вычитания, умножения, деления, наглядности для работы над составом числа.

Основные темы программы:

1.Подготовительный период

2. Нумерация

3.Арифметические действия

Счетные материалы берутся из практической деятельности. К ним можно отнести окружающие предметы, которые можно считать. Например,дома, машины, деревья, тетради, стулья, цветы и т.д.

Натуральный счетный материал

тетрадь		блокнот		ЦВЕТНЫЕ КАРАНДАШИ

Выделяют условные (символические), с изображением математических символов:

Было

49

Подарила осталось

49

Было - ?

Схематический рисунок:

49

Яблоко вишня

5 руб в 2 раза дороже

сколько?

Заключение

Использование элементов множества является неотъемлимой частью при изучении арифметических действий в начальных классах. При их применении можно гарантировать хорошее качество умения считать, проведения арифметических операций над целыми неотрицательными числами,

Для младших школьников предметное преподавание имеет большое развивающее значение, т. к. способствует формированию навыков счета. Использование элементов множества является очевидным.

Мы предлагаем учителям начальных классов:

1. определить, какие элементы множества при изучении арифметических действий должны употреблятся на уроках.

2. определить, цель использования предметного счета, чтобы оно было использавано , как источник знаний.

3. не забывать,что обучение арифметическим действиям основная тема, поэтому требует тщательной подготовки к каждому уроку, продумывая каждый этап, используя для этого элементы множества.

Успешным бывает такое обучение, которое начинается с рассмотрения предметов, вещей, процессов и событий окружающей действительности как предметный счет. И альтернативные, и иннавационные системы обучения, учителя-новаторы и учителя всех классов по вертикали утверждают, что обязательное использование элементов множества при обучении арифметическим действиям.

Правильное использование элементов множества способствует развитию логического мышления и речи детей, помогает на основе рассмотрения и анализа конкретных арифметических действий, прийти к обобщениям, которое помогают научить считать. Использование элементов множества формирует убежденность в истинности усваиваемых детьми знаний. Важным условием является, чтобы элементы множества при изучении арифметических действий применялись достаточно и эффективно.

Список использованной литературы

1. Аргинская И.И. Математика. 1 класс. Пособие для учителя к стабильному учебнику. - М.: Федеральный научно-методический центр им. Л.В. Занкова,1996.

2. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах. Под ред. М.И. Моро, A.M. Пышкало. - М., 1977.

3. Артемов А.К., Истомина Н.Б. Теоретические основы методики обучения математике в начальных классах. - М., - Воронеж, 1996.

4. Амонашвили Ш.А. Как живете, дети?- М., 1987.

5. Амонашвили Ш.А. Здравствуйте, дети! - М., 1988.

6. Бабаев Т.И. Математическое развитие школьников. - С-П.: ”Детство-пресс”,1998.

7. Бантова М.А., Бельтюкова Г. В. Методика преподавания математики в начальных классах. - М., 1984.

8. Выготский Л.С. Педагогическая психология. - М., 1991.

9. Гнеденко Б.В. Формирование мировозрения учащихся в процессе обучения математике. - М.: Просвещение, 1991.

10. Грин Р., Лаксон Д. Введение в мир числа. - М.: “Владос”, 1984

11. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения. - М., 1986.

12. Давыдов В.В. Психическое развитие в младшем школьном возрасте (Возрастная и педагогическая психология). / Под ред. А.В. Петровского. -М., 1983.

13. Далингер В.А. Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике.- М.: Просвещение, 1991.

14. Зайцев В.В. Математика для младших школьников. Методическое пособие для учителей. - М.: Владос,1999.

15. Зак А.З. Развитие умственных способностей младших школьников. -М., 1994.

16. Зимняя И.А. Основы педагогической психологии. - М, 1980.

17. Истомина Н.Б. Активизация учащихся на уроках математики в начальных классах. - М., 1985.

18. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах: учеб. пособие. - М.: Академия, 2000. -

19. Истомина Н.Б. Методические рекомендации к учебнику «Математика. 1 класс».4-е издание.- М., 1996.

20. Истомина Н.Б. Методические рекомендации к учебнику «Математика. 2 класс». 3-е издание. - М., 1996.

21. Истомина Н.Б. Методические рекомендации к учебнику «Математика. 3 класс». - М., 1995.

22. Каплан Б.С. Методы обучения математике. - М., 1981.

23. Леонтьев А.И. К вопросу о развитии арифметического мышления ребенка. - М.: Баласс,2000.

24. Маркова А.К., Орлов А.Б., Фридман Л.М. Мотивация учения и ее воспитание у школьников. - М., 1983.

25. Маркова А. К. Формирование мотивации учения в школьном возрасте.

- М., 1983.

26. Менчинская Н.А. Проблемы учения и умственного развития школьника. - М., 1989.

27. Метлина Л.С. Математика в начальной школе. - М.: “Просвещение”, 1984.

28. Моршнева Л.Г. Дидактический материал по математике. - М.: “Просвешение”, 1999.

29. Моро М.И. Пышкало A.M. Методика обучения математике в 1 - 3 классах. - М., 1989.

30. Носова Е.А., Непомнящая Р.Л. Дидактический материал по математике.-М.: “Просвещение”, 1985.

31. Петерсон Л.Г. Математика 1 класс. Методические рекомендации. - С-П.: “Детство-пресс”, 2000.

32. Подласый И.П. Педагогика. - М., 1996.

33. И.Н., Олехин С.Н.Примени математику. - М.: “Наука”, 1991.

34. Стойлова Л.П. Математика. - М.: Академия, 2002.

35. Столяренко Л.Д. Педагогика. - Ростов н/Д, 2000.

36. Стрезикозин В.П. Актуальные проблемы начального обучения. - М., 1976.

37. Суворова Г.Ф. Совершенствование учебного процесса в мало-комплектной начальной школе. - М., 1980.

38. Талызина Н.Ф. Формирование познавательной деятельности младших школьников, - М., 1988.

39. Уткина Н.Г. Материалы к урокам математики. - М.: “Наука”, 1984.

40. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. - М., 1983.

41. Фридман Л.М. Математика в начальной школе - М.: “Просвещение”,1984.

42. Харламов И.Ф. Педагогика. - Минск, 2002.

43. Чуприкова Н.И. Умственное развитие и обучение. Психологические основы развивающего обучения. - М., 1995.

44. Эрдниев П.М. Взаимнообратные действия в арифметике. - М., 1983.

45. Эрднеев П.М. Теория и методика обучения математике в начальной школе. - М.: “Просвещение”, 1988.

46. Якиманская И.С. Развивающее обучение. - М., 1986.

47. Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления школьников. - М., 1980.