Дидактическая игра как средство активизации познавательной деятельности на уроках математики в 1 классе

· социализирующие: приобщение к нормам и ценностям общества, адаптация к условиям среды, стрессовый контроль, саморегуляция, обучение общению, психотерапия.

КОНЦЕПТУАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ИГРОВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

· Психологические механизмы игровой деятельности оперируются на фундаментальные потребности личности в самовыражении, самоутверждении, самоопределении, саморегуляции, самореализации.

· Игра - форма психогенного поведения, т.е. внутренне присущего имманентного личности (Д.Н.Узнадзе).

· Игра свобода личности в воображении, « иллюзорная реализация нереальных интересов». / А.Н.Леонтьев/.

· Игра пространство «внутренней социализации» ребенка, средство усвоении социальных установок (Л.С.Выготский).

· Содержание детских игр развивается от интересных игр, в которых основным содержание является предметная деятельность, к играм отражающим отношение между людьми, и наконец, к играм, в которых главным содержание выступает подчинение правилам общественного поведения и отношения между людьми и, наконец, к играм, в которых главным содержанием выступает подчинение правилам общественного поведения и отношения между людьми.

ТЕХНОЛОГИЯ РАЗВИВАЮЩИХ ИГР Б.Н.НИКИТИНА

Программа игровой деятельности состоит из набора развивающих игр, которые при всем своем разнообразии исходит из общей идеи и обладают характерными особенностями. Игры могут возбуждать интерес в течении многих лет (по взрослости). Постепенно возрастающие трудности задач в играх позволяет ребенку идти вперед. и совершенствоваться самостоятельно, т.е. развивать свои творческие способности, в отличии от обучения, где все объясняется и где формируются в основу игр.

Решение задачи представляет перед ребенком не в абстрактной форме ответа математической задачи, а в виде рисунка, узора или сооружения из кубиков, кирпичиков, деталей конструктора, т.е. в виде видимых и осязаемых вещей. Это позволяет наглядно сопоставлять «задание» с «решением» и самому проверить точность выполнения задания.

В развивающих играх - в этом и заключается их главная особенность - удается объединить один из основных принципов обучения от простого к сложному с очень важным принципом творческой деятельности самостоятельно к. способностям, когда ребенок может подняться до «потолка» своих возможностей. Этот союз позволил разрешить в игре сразу несколько проблем, связанных с развитием творческих способностей:

· развивающие игры могут дать «пищу» для развития творческих способностей с самого раннего детства;

· их задания-ступеньки всегда создают условия, опережающие развитие способностей;

· поднимаясь каждый раз самостоятельно до своего «потолка» ребенок развивается наиболее успешно;

· развивающие игры могут мыть очень разнообразны по своему содержанию, кроме того, как и любые игры, они не терпят принуждения и создают атмосферу свободы и радости.

Для младшего школьного возраста характерны яркость и непосредственность восприятия, легкость вхождения в образы. Дети легко вовлекаются в любую деятельность, особенно в игровую, самостоятельно организуются в игровую игру, продолжают игры с предметами, игрушками, появляются не имитационные игры.

В игровой модели учебного процесса создание проблемной ситуации происходит через введение игровой ситуации: проблемная ситуации проживается участниками. В не игровом воплощении, основу деятельности составляет игровое моделирование, часть деятельности учащихся происходит в условно-игровом плане. Ребята действуют по игровым правилам. Игровая обстановка трансформирует позицию учителя, который балансирует между ролью организатора, помощника и соучастника действия.

Виктор Федорович Шаталов советует: «Присмотритесь: не слишком ли рано угасает наш педагогический интерес к играм, которые верой и правдой всегда служили и признаны служить развитию смекалки и познавательных интересов детей на всех без исключения уровнях их возрастного развития». И далее продолжает: «Это ведь не секрет, что те молчуны, из которых на уроке и слова не вытянешь, в играх, случается, становятся такими активными, какими мы их в классно-урочных буднях и представить себе не в состоянии. Игра уже одним только своим содержанием переносит детей в новое измерение, в новое психологическое состояние, в игре они обретают не только равноправие, но и реальную возможность стать лидером, вести за собой других. их действия, распространенные уверенные и раскрепощенные, начинают вызывать и глубину мышления, мышления смелого, масштабного, нестандартного.»

«Включайтесь в игру! Доверяйте ей!- советует Шаталов В.Ф. - и только тогда, наблюдая за поведением малоинициативных на уроках ребят, вы невольно задумаетесь над. вопросом: почему же на уроках с таким трудом и часто безуспешно они одолевают не столь уж сложные премудрости математики, русского языка, чтения?»

«В игре раскрывается перед детьми мир, раскрываются творческие способности личности. Без игры нет и не может быть полноценного умственного развития»- писал В.А.Сухомлинскин.

Очень важно учителю быстро и четко вывести ребят из игры, закончить ее, это ведь урок, где следует обдумать до мелочей все, и скоротечная игра -всего только часть его, методический прием, помогающий мобилизовать внимание и создать обстановку непринужденности. Всякой игре, разумеется, присущ шутливый оттенок, но игра ни в коем случае не должна обращать в шутки большое и серьезное дело. Тем более быть источником конфликтов. А конфликты - вот они рядом, и концовка игры представляет в этом отношении большую опасность, игра - дело серьезное. Организатору игры необходимо иметь достаточно обширные знания из анатомии, возрастной физиологии, гигиены и врачебного контроля, не говоря уже о том, что он должен быть отличным педагогом и тонким, психологом.

Игра занимает значительное место в первые годы обучения детей в школе. Вначале учащихся интересует сама форма игры, б затем уже и тот материал, без которого нельзя участвовать в игре. В ходе игры учащиеся незаметно для себя выполняют различные упражнения, где им самим приходится сравнивать, выполнять различные арифметические действия, тренироваться в устном счете, решать задачи, игра ставит учащихся в условия поиска, пробуждает интерес к победе, следовательно, дети стремятся быть быстрыми, находчивыми, четко выполнять задания, соблюдая правила игры.

Переход на четырехлетнее обучение поставил перед учителем ряд сложных задач, для успешного решения которых от него требуется глубокое осмысление содержания новых учебных программ, знание психофизиологических и логических особенностей шестилеток, овладение наиболее эффективными средствами и метопами обучения и их интенсивное использование.

Приступая к работе с шестилетками учитель должен четко представлять себе, что является отличительной чертою. Как показывают исследования психологов, шестилетки отличаются высокой познавательной активностью, у них преобладает наглядно-действенное мышление. Находясь в поиске на бесчисленные «почему? Как'?» ребенок с большой готовностью выполняет практические действия с предметами, которые его заинтересовали.

В процессе обучения детей шестилетнего возраста важно создать благоприятные условия для полного и глубокого осознания учащимися учебного материала, в процессе многократного повторения практических действий. Здесь важно сочетать использование демонстрационного, наглядного материала с одновременной практической деятельностью учащихся с индивидуальным дидактическим материалом. от действия с конкретным материалом (предметами) учитель постепенно переходит к плоскостному дидактическому материалу (предметные картинки), а затем к еще более абстрактному. (геометрические фигурки, счетные палочки, звуковые модели слов).

У шестилетних детей преобладает непроизвольное внимание и память. Эта особенность определяет частую смену видов деятельности и включение игры в учебный процесс.

Еще до начала обучения шестилеток учителю важно учить содержание и методический аппарат учебников, так как в них заложены основы методики обучения.

Дидактическая игра оказывает большое влияние на познавательные способности детей, познавательную деятельность учащихся. В результате систематического ее использования в учебном процессе у детей развиваются основные процессы мышления: сравнение, анализ, умозаключение и т.д.

4. Анализ передового педагогического опыта

В.А.Сухомлинский писал: «Без игры нет и не может быть полноценного умственного развития. Игра - это огромное светлое окно, через которое в духовный мир ребенка вливается живительным потоком представлений, понятий. Игра - это искра, зажигающая огонек пытливости и любознательности».

Создание игровой атмосферы на уроке развивает интерес и активность учащихся, снимает усталость, позволяет удерживать внимание. Работая с младшими школьниками приходится много думать, искать, творить.

В процессе игры на уроках математики учащиеся незаметно для себя выполняют различные упражнения, где им приходится сравнивать множества, выполнять арифметические действия, тренироваться в устном счете, решать задачи, игра ставит ученика в условия поиска, пробуждает интерес к победе, а отсюда - стремление быть быстрым, собранным, ловким, находчивым, уметь четко выполнять задания, соблюдать правила игры, в играх, особенно коллективных нормируются нравственные и эстетические качества личности.

Проблема активизации познавательной деятельности с помощью дидактических игр на уроках математики волнует многих учителей, И они делятся опытом работы по этой проблеме на страницах журнала «Начальная школа».

Так, например учитель школы №108 г.Ряжска В.И.Кром в журнале за 1999 год №8 в своей статье «Активизация познавательной деятельности на уроках математики» делится своим опытом работы в формировании интереса к учению. Она пишет с том, что это сформирование является важным средством повышения качества обучения. Это особенно важно в начальной школе, когда еще только формируется и определяются постоянные интересы к тому или иному предмету. Чтобы формировать у учащихся умение самостоятельно пополнять свои знания, необходимо воспитывать у них интерес к учению, потребность в знаниях.

Один из важнейших факторов развития интереса к учению - понимание детьми необходимости того или иного изучаемого материала. Для развития познавательного интереса к изучаемому материалу большое значение имеет методика преподавания данного материала. Перед тем как приступить к изучению какой-либо темы В.И. Кром много времени уделяет поискам активных форм и методов обучения. Готовясь к урокам, на которых учащиеся получат новые знания, это учитель старается пробудить в них активное восприятие. Лучшему усвоению материала, по словам В.И.Кром, способствуют средства наглядности, опорные схемы, таблицы, которые она применяет на уроках.

Одно из эффективных средств, которое использует В.И. Кром для развития интереса к учебному предмету - дидактическая игра. Игра вызывает у детей живой интерес к процессу познания, активизирует их деятельность и помогает легче усвоить учебный материал.

В.И.Кром на уроках использует очень много игр, например: «определи маршрут самолета», «Десантники», «Помоги белке найти свои домик» и другие игры. Эти игры известны учителям, но тем не менее следует напомнить, что именно игры помогают учащимся быть внимательными и незаметно для себя добиться хороших результатов. Игровые и занимательные задачи способствуют воспитанию интереса к математике, развитию внимания, мышления.

Для развития активности и внимания учащихся В.И.Кром проводит устный счет с элементами игры:

Игра 4 «Веселый счет»

2457

31085

81910

7636

1. Назови и покажи числа от 1 до 10, написанные черным карандашом, затем красным.

2. Назови и покажи числа от 1 до 10 одновременно, написанные черным и красным.

3. Назови и покажи числа от 10 до 1, написанные черным цветом, а затем красным.

Задания на развитие внимания учащихся, построенные на математическом материале также представлены В.И.Кром.

Задание № 1

1. Найди сумму всех чисел, записанных красным цветом.

2. Найди сумму чисел, записанных черным цветом.

Запиши полученные суммы соответственно в красном и черном квадратах

Задание №2

1. Найди:

№1. Сумму чисел, которые встречаются два-три раза. Запиши ее в первом квадрате.

В каждый этап урока Валентина Николаевна включает занимательные задания, которые способствуют развитию математического мышления детей. Вот некоторые из них:

1. Миша, Лена и Катя катались на велосипедах. У них трехколесные и двухколесные велосипеды, а всего было 8 колес. Сколько велосипедов трехколесных? (2)

2. «Поле чудес». Дана карточка, на которой записаны примеры, и дан код для расшифровки (указано, какому числу какая буква соответствует). Ребенку необходимо решить примеры, выписать все ответы н одну строчку, каждую цифру заменить буквой по указанному коду и прочитать слово.

Даны примеры:

6 - 3 = 8 - 1 =

2 - 2 = 3 - 2 =

3 - 1 = 4 - 4 =

4 - 1 = 4 - 2 =

Многие игры и упражнения Валентина Николаевна строит на материале различной трудности, что дает возможность осуществить индивидуальный подход, обеспечить участие в работе с разным уровнем знании, дети при этом чувствуют себя свободно, а поэтому уверенно, и с интересом приступают к выполнению упражнения. Для активизации познавательной деятельности детей учитель умело применяет различные карточки. Например, при закреплении состава чисел она использует натуральный ряд чисел:

012345678910

Ставя указательные пальчики на числа, составляющие в сумме число 7, и передвигая пальчики к. центру, дети хором говорят:

7 да 0 - 7

6 да 1 - 7

5 да 2 - 7

4 да 3 - 7

Активизировать внимание детей при приобретении знаний или отработке знания состава чисел в пределах 10 также помогает следующий ряд чисел:

012345678910

Валентина Николаевна большое внимание уделяет формированию сознательных и прочных навыков устных и письменных вычислений, учит детей применять полученные знания в решении разного родa учебных и практических задач. Для того, чтобы школьники трудились с полной отдачей, учительница проводит разнообразные виды работ с использованием дидактических материалов, изготовленных ее руками, наглядных пособий и технических средств.

С точки зрения Валентины Николаевны, применение различных приемов проведения устного счета, использование элементов игры, соревнования, несложных наглядных пособий и технических средств делают учебный процесс более интересным, дети чаще проявляют активность, находчивость, сообразительность и добиваются порой самых высоких для себя результатов.

Одним из путей активизации деятельности учащихся учитель также считает установление связи изучаемого материала с окружающей детей действительностью.

Таким образом, В.Н. Москаленко обеспечивает напряжение мысли каждого своего ученика, а знания, добытые собственными усилиями и прочнее запечатлеваются в памяти, учитель создает условия для проявления детьми творчества, побуждает учащихся самостоятельно думать.

Нa уроках математики у учителей из Москвы (1991 г. №3) постоянно имеется следующее оборудование: демонстрационная лесенка, магнитные доски, набор цифр, счетный материал, классные и индивидуальные счетные материалы. Кроме этого, у них имеется большое количество самодельных пособий, изготовленных учащимися 3-го класса и самими учащимися, учителями.

На занятиях постоянно присутствуют герои любимых сказок: Буратино, Чиполлино, Незнайка, Карандаш и другие.

Учителя стремятся объединить все этапы урока одной темой, одной сюжетной игрой. Так, например, чтобы урок проходил в форме игры-путешествия в лес, к реке или поездки за город, по пути дети делали остановки, во время которых знакомились с обитателями зоопарка. Совершают путешествия и в мир сказок.

Дети учителя Марины Леонидовны Вейцман отправляются в заочное путешествие в мир загадок и стихов, которые она использует на уроках математики, во время путешествии детей сопровождает один или несколько героев сказок. Нa уроках математики, проводимых М.Л.Вейцман, дети часто отправляются то на станцию, где их ждут любимые животные, то знакомятся с новыми растениями, которые припасли для них задания. М.Л.Вейцман организует работу в форме соревнований: кто быстрее доедет, быстрее добежит, доскачет до нужного пункта (примера или ответа)?

Другой учитель Нина Васильевна Колесникова за 20 лет педагогической практики собрала огромный занимательный дидактический материал. Некоторый она берет из методической литературы, но многое составляет сама. Например, при проведении итога по теме «Закрепление навыков сложения и вычитания в пределах 10», она предлагает детям отправиться в космическое путешествие. Класс делится на 3 экипажа, во главе каждого командир. Им становится тот, кто первым решит предложенное задание (2+3, 6-4, 4+5, 9-3) и выложит на столе ответы цифрами.

Проводится предложенная разминка. Кто лучше знает состав чисел в экипаже? Командир показывает число, а члены экипажа выбегают к нему и, встав рядом, показывают числа, например:

8 - это 7 и 1, 6 и 2, 5 и 3, 4 и 4.

Корабль отправляется в космос. Каждому ученику выдается звездочка, на которой записан пример и надо его решить. Затем экипажам дается задание - составить задачу про звезды, в которой нужно найти сумму чисел, например 2 и 7, 3 и 6.

Нина Васильевна одобряет детей, которые удачно провели полет, безошибочно выполнив все задания.

Ю.Истратова («Начальная школа» №6 - 1997 г.) при закреплении понятий «больше», «меньше», «столько же» предлагает первоклассникам небольшую прогулку. Она говорит:

Мы выходим на улицу. (Нa доске изображения домов и деревьев). На улицах много домов и деревьев, а чего больше домов или деревьев? Что надо сделать, чтобы деревьев стало столько же сколько домов? (Рис.1)

Каких деревьев больше берез или елей? А теперь пойдем в парк, и посмотрим сколько здесь цветов, а над ними летают бабочки и собирают нектар, каждой ли бабочке достанется цветок. А каких цветов больше красных или желтых? (Рис.2).

Ф.Г.Ширяева предлагает фрагменты уроков математики на начальном этапе использования игры в журнале «Начальная школа» за 1991 год №1.

Фрагмент 1.

На демонстрационной доске выставляется модель деревни. Учитель сообщает детям, что в деревне около каждого дома растет дерево. Ученикам предлагается посадить дерево около каждого дома по одному дереву, а затем ответить на вопросы:

- Посчитайте, сколько домов в деревне? (10). Сколько деревьев посадили? Что можно сказать о количестве домов и деревьев? (Домов столько же сколько деревьев) (Рис.3).

Фрагмент 2.

Чтобы обеспечить своевременный переход к изучению таблицы сложения 2, важно добиться того, чтобы дети хорошо усвоили ряды чисел, получаемые в результате присчитывания и отсчитывания по 2. После многократного использования подвижных чисел на уроке вводятся элементы игры.

Фрагмент 3.

При рассмотрении состава чисел от 0 до 9 из двух слагаемых еще раз показывается, что числа от 6 до 9 так же, как и числа от 1 до 5, можно получить не только прибавлением и вычитанием 1, но и другими способами. Рассматривается состав числа 6. На столе у каждого ученика коробочка, 6 грибов и подставка в 2 ряда. Учитель обращается к классу:

- Ребята, сейчас мы будем собирать грибы в корзинку. (Дети берут коробки и складывают в них грибы).

- Сколько всего грибов в корзине? (6) 1 гриб взяли из корзины. (Переставляем его во второй ряд). Сколько всего грибов? Посчитаем, (6). А как получили 6 грибов? (5 а корзинке да еще 1 на полке). Еще 1 гриб взяли из корзины. (Переставляем второй гриб во второй ряд) Сколько всего грибов? (4 в корзине да еще 2 на полке).

Затем берем 3 гриба и переставляем во второй ряд.

Как можно получить число 6?

Дети делают вывод. Они говорят, что 6 - это 5 да еще 1, 6 - это 4 да еще 2, 6 - это 3 да еще 3.

Использовать этот же демонстрационный материал для рассмотрения состава других чисел на данном уроке не целесообразно, так как он yжe может вызвать скуку. Поэтому состав числа 7 рассматривается в процессе игры «Кто живет в домике?» Дети узнают, что на каждом этаже живут числа, из которых состоит число 7. Одно окно уже открыто число проснулось. Надо разбудить других соседей по этажу. Но разбудить сможет тот, кто правильно назовет число. Ученики с интересом берутся за игру и говорят, что в этой квартире живет число 5, так как 7 - это 2 да еще 5 и т.д.

При рассмотрении числа 8 дети играют в «домино». Дети добавляют фишки, недостающие до числа 8. Делают это способами присчитывания. Примерный ответ ученика: «Считаю 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (пауза), 8». Проговаривая число 8, берет 1 фишку, прикрепляет на вторую половину «домино» и обобщает ответ». 8 - это 7 да еще 1» и т.д. Овладев в совершенстве приемом введения в учебных процесс игровых элементов, можно приступить к конструированию ролевых игр.

Например, проводится игра «Магазин». Здесь детям приходится выполнить роли «покупателей», который необходимо набрать на сумму, равную цене покупаемого предмета (число не только из двух, но и трех слагаемых) и «продавцов», которым необходимо проверит правильность выполнения задания «покупателями». Конечно, центральное место отводится операции счета, но нельзя забывать о нормировании нравственных качеств.

Фрагмент 4.

Для проведения устных упражнении оформляется «магазин игрушек».

Первый вариант: Все покупают ту игрушку, которую предлагает продавец. В этом случае магазин оформляется в вине витрины, дети набирают на сумму покупки, продавец проверяет. Тому, кто правильно набрал сумму, кладет фишку - покупку. В этом случае на проведение игры затрачивается оптимальное время.

Второй вариант: Каждый покупает то, что ему понравилось. В этом случае в магазине несколько отделов, в которых имеются в большом количестве игрушки. Обслуживаются дети несколькими продавцами - детьми, с хорошими навыками устного счета. Дети проходят в отдел и сами выбирают игрушку. В данном случае затрачиваемся больше времени.

Процесс учения всегда сопряжен с трудностями. Ф.Г.Ширяева пишет: «Практика работы с детьми младшего возраста показывает, что включение в урок игровых элементов, игр помогает сделать процесс обучения детей доступным, интересным, несложным в преодолении учебных трудностей».

Наиболее сложным для учителя по конструированию являются уроки-игры, уроки-путешествия, уроки-сказки. Они требуют умения подчинять весь учебный материал единой теме, единым целям, даже такой, казалось бы, несложный элемент урока, как физкультминутка, должен быть продуман. Эти формы урока наиболее интересны. Они развивают мотивационную основу обучении, которая определяет успешность последующего обучения.

Т.А.Востренкова в журнале «Начальная школа» за 1999 год №10 представила урок-сказку по теме: «Сложение и вычитание в пределах 10».

- Сегодня мы с вами попадем в сказку,- сообщает учитель детям. Устный счет.

- Жили-были дед да баба. Захотелось деду колобок, из какой это сказки? Кто продолжит сказку?

Пока печет баба колобок, мы немного разомнемся, на партах у вас лежат числовые ряды от 1 до 9. Покажите число меньше 8, но больше 2… Отгадайте, какое число я задумала, если к 3 прибавить 4, если 8 уменьшить на 2. Покатился Колобок дальше по лесу (порядковый счет елочек из картона). Перед ним три дорожки (на доске). По какой дорожке пойти Колобку, чтобы не вернуться назад?

Решение задачи.

Продолжаем сказку (учитель прикрепляет зайца, у которого в лапах листок бумаги).

-Увидел заяц Колобка и говорит: «Я тебя съем».

- Если ребята решат задачу, то не съем.

Задача: На одной тарелке 3 морковки, на другой на 5 меньше. Сколько морковок на второй тарелке?

- Можно ли решить такую задачу? (Нет, так как условия не верные, 5. больше чем 3.). Составь задачу верно и решим ее.

Катится Колобок дальше и увидел яблоню (на доске) захотелось ему яблока, но съесть не может надо сначала решить примеры, которые записаны на яблоках.

Ученики срывают яблоки и решают примеры.

Подошел к нему медведь, а в лапах у него сумка с письмами (на доске/). Каждый получает письмо-задание из сумки на сложение и вычитание в пределах 10.

Дети продолжают сказку. Появляется лиса с геометрическими фигурами.

Лиса: «Если хотите, чтобы я не съела Колобка, то назовите лишнюю фигуру (круг). Почему? (все четырехугольники).

В.В.Патрушев, учитель из Кирова в журнале «Начальная школа» за 1998 год в №3 пишет: «Опыт работы убеждает, что математика не только совместима с художественной литературой, но и стимулирует интерес ребят к тому и к другому. Особенно плодотворно на уроках математики оказывает влияние сказка, поскольку в любой из них главное - борьба добра со злом, ведь дети так чутки к этим нравственным категориям. Ради того, чтобы помочь героям сказки преодолеть препятствия, помочь восторжествовать добру, они готовы на многое, поэтому охотно и активно включаются в сюжет, решая по ходу игры те задачи и здания, которые дает учитель.

Богатый и обширный материал на страницах журнала «Начальная школа» предоставила В.В.Волина.. В последствии она написала замечательную книгу («Праздник числа». М., 1996), в которой делится своим педагогическим опытом. Книга наполнена интереснейшими дидактическими играми, занимательными задачами, загадками, стихами о каждом числе и другими не менее интересными заданиями. Эта книга настоящий помощник, друг учителю для разработки уроков.

«Репка»

Учитель сообщает ученикам, что сегодня к ним в гости придет сказка, дети рассматривают иллюстрации к сказке "Репка" и одновременно отвечают на вопросы: ''Который по счету? Кто пришел первым? Кто пришел вторым и т.д. Кто пришел тянуть репку сначала, потом? Заканчивая игру, следует обобщить ответы детей.

Чтобы игра помогала в овладении знаниями, умениями и навыками следует планировать так, чтобы она не предшествовала обучению (поиграем, а потом начнем учиться), не чередоваться с ним, а стала формой коллективной учебной деятельности. При проведении игры следует вовлекать в игру всех учащихся. При подведении итогов игры ребята систематически убеждаются в том, что до начала игры они чего-то не умели, а к концу игры научились. Закрепляя понятия «сколько», «столько же» можно провести игру: «В гостях у Красной Шапочки».

Учитель просит помочь героине сказки накрыть на стол, т.к. к ней придут гости: Заика, Бельчонок, Лисенок. Дети должны ответить на вопросы учителя:

Сколько всего гостей? Сколько надо поставить чашек, стульев?

В результате игры дети узнают, что стульев и чашек надо поставить столько же, сколько и гостей. (Дети проигрывают на счетных палочках или детских игрушках).

Ребята испытывают радость от того, что они не просто играют, а учатся, для сознательного, уверенного овладения операцией счета дети должны знать названия и последовательность чисел натурального ряда чисел. Поэтому в подготовительный период используют прежде всего такие игры, с помощью которых дети осознают приемы образования каждого последующего и предыдущего числа. На этом этапе применяются различные игры.

«Составим поезд».

Эта игра наглядно показывает, что каждое следующее число образуется путем высчитывания или прибавления единицы к предыдущему или последующему числу. Дети считают вагоны слева - направо и наоборот. Учащиеся делают вывод, что считать можно в любом направлении, но при этом важно не пропускать ни одного вагона и не считать его дважды.

«Почтальоны»

На наборном полотне выставлено 10 домов - это улица. Но прикрепить номера домов не успели. Надо помочь Зайке-почтальону доставить почту в дом №8. Это задание дети выполняют практически и приходят к выводу, что считать можно по-разному, начиная с первого или с последнего домика, письмо нужно же доставить в разные дома, каждый раз решается новая математическая задача.

При знакомстве с каждым новым числом хорошо применять стихотворные формы, дающие представления об этом числе. Это активизирует внимание детей и способствует быстрому запоминанию написания числа. Вот несколько примеров:

Начинаем представленье

Детворе на удивленье!

Познакомимся, друзья!

Единица это Я!

Я умею делать стоику,

по канату я хожу,

За собою цифру двойку

на веревочке вожу!

Погляди на цифру 3,

Словно ласточка смотри!

9, как и 6, -

Вглядись,

Только хвост не вверху,

А внизу.

Увлекательными и интересными для ребят являются задачи в стихах. Они способствуют активному и прочимому усвоению учебного материала.

В садик тети Гали

Пять гусей забрались,

Четырех прогнали,

Сколько в нем остались?

Шесть веселых медвежат

За малиной в лес спешат,

Но один малыш устал,

От товарищей отстал.

А теперь ответ найди:

Сколько мишек впереди?

Задачи на сообразительность, требующие внимания, сосредоточенности, также являются любимыми у детей.

«Думай, считай, отгадывай».

1. У девочки столько сестер, сколько и братьев. А ее брат сказал, что у него 3 сестры. Сколько детей в семье?

2. В доме было 4 комнаты. Из одной сделали 2. Сколько стало комнат?

3. У стула 4 ножки. Сколько ножек у 2 стульев?

4. Иринка задумала число. Если от него отнять 4, то останется столько же. Какое число задумала Иринка?

«Закончи мысль»

1. Если стол выше стула, то стул...

2. Если 2 больше 1, то 1 ...

3. Если Саша вышел из дома раньше Миши, то Миша...

4. Если река глубже ручья, то ручей...

5. Если сестра младше брата, то брат...

6. Если правая рука справа, то левая...

Именно в игре дети способны осознанно понять серьезные веши. Играя, младшие школьники учатся считать, писать, логически мыслить, а все это в конечном итоге дает огромный положительный результат, ведь играя дети трудятся.

Проанализировав передовой педагогический опыт по этой проблеме хотелось бы сделать вывод о том, что учителя плодотворно работают с детьми, благодаря дидактическим играм. Создают маленькие шедевры - уроки. Каждый учитель в зависимости от творческих способностей, творческого потенциала класса, темы, которые будут изучать на данном уроке, выбирают ту или иную форму проведения урока, которая в последствии не только обогатит учеников знаниями и умениями, но создаст условия для будущей работы.

Глава 2. Теоретические основы введения целых неотрицательных чисел

1. История возникновения числа

Число - это важнейшее математическое понятие, возникнув в простейшем вице еще в первобытном обществе, понятие числа изменялось на протяжении веков, постепенно обогащаясь содержанием по мере расширения сферы человеческой деятельности и связанного с ним круга вопросов, требовавшего количественного описания и исследования. На первых ступенях развития понятие число определялось потребностями счета и измерения, возникшими в непосредственной практической деятельности человека. Затем число становилось основным понятием математики, и дальнейшее развитие понятие числа определяется потребностями этой науки.

Понятие натурального числа, вызванное потребностью счета предметов, возникло еще в доисторические времена. Процесс формирования понятия натурального числа протекал в общих чертах следующим образом. Нa низшей ступени первобытного общества понятие отвлеченного числа отсутствовало, что не значит, что первобытный человек не мог отдавать себе отчет о количестве предметов конкретно данной совокупности, например, о количестве людей, участвующих в охоте, о количестве озер, в которых можно ловить рыбы и т.д. Но в сознании первобытного человека еще не сформировалось то общее, что есть в объектах такого рола, как например, три человека, «три озера» и т.д. Анализ языков первобытного человечества показывает, что для счета предметов различного рода потребовались различные словесные обороты. Слово «три» в контекстах «три человека», «три лодки» передавалось различно.

Конечно, такие именованные числовые ряды были очень короткими и завершались не индивидуальным понятием («много») о большом количестве тех или иных предметов, которые тоже являются именованными, т.е. выражалось разными словами для предметов разного рода, такими, как «толпа», «стадо», «куча» и т.д.

Источником возникновения понятия отвлеченного числа является примитивным счетом предметов, заключающийся в сопоставлениям предметов данной конкретной совокупности предметами некоторой определенной совокупности, играющей как бы роль эталона. У большинства народов первым таким эталоном были пальцы («счет на пальцах»), что несомненно подтверждается языковедческим анализом названий первых чисел. На этой ступени число становится отвлеченным, не зависящим от качества считаемых объектов, но вместе с тем выступающим во вполне конкретном осуществлении, связанном с природой эталонной совокупности. Расширяющиеся потребности счета заставили людей употреблять другие счетные эталоны, такие как, например, зарубки на палочке. Для фиксации сравнительно больших чисел стала использоваться новая идея - обозначение некоторого определенного числа (у большинства народов - десяти) новым знаком, например зарубкой на другой палочке.

С развитием письменности возможности воспроизведения числа значительно расширились. Сначала число стали обозначать черточками на материале, служащим для записи (папирус, глиняные таблички и др.). Затем были введены другие знаки для больших чисел. Вавлонские клинописные обозначения числа так же, как и сохранившихся до наших дней «римские цифры», ясно свидетельствуют об этом пути формирования чисел обозначения. Вот римская нумерации - один, два, три... Нa руке человека пять пальцев, чтобы не писать пять палочек, стали изображать руку человека, этот значок обозначал цифру 5. Римская нумерация была большим изобретением своего времени. И все же для записи и выполнения арифметических действий она была еще не удобна. Шагом вперед была индийская позиционная система исчисления, позволяющая записать любое число при помощи десяти знаков - цифр. Эта система, принятая сейчас во всем мире, основана на группировании десятками и берет свое начало от счета на пальцах. Эта система исчисления возникла в Индии в 6 веке. Однако вид индийских цифр значительно отличается от современных цифр, с течении многих столетий, переходя от народа к народу, старинные индийские цифры много раз изменялись, пока не приняли современную форму.

Таким образом, параллельно с развитием письменности понятие натурального числа принимает все более отвлеченную форму, все более закрепляется от всякой конкретности понятие числа, воспроизводимого в форме слов в устной речи и в форме обозначения специальными знаками в письменной.

Европейцы познакомились с достижениями индоарабской математики в 11 веке. Расширение торговли повлекло за собой значительное усложнение счета, появилась потребность в совершенствовании методов счета. Поэтому европейские математики обратились к трудам греческих и арабских ученых, перевели их на латинский язык. С десятичной системой исчисления европейцы познакомились через перевод книги Аль-Хорезми. Название перевода звучало: «Об индийском числе, сочиненные АЛГОРИЗМИ». В 202 году выходит «Книга абака» Л. Фибоначчи, где также вводятся индийские цифры и нуль. С 13 века начинается внедрение десятичной системы, и к 16 веку она стала повсеместно использоваться в странах Западней Европы.

В России до 17 века в основном употреблялась славянская нумерация, более стройная и удобная, чем римская, но не позитивная. В ней числа изображались буквами славянского алфавита, над которыми для отличия ставили особый знак - титло. В древней Руси буква «а» обозначала единицу, «в»- два, «г» - три.. Также буква «а» с особым значком слева обозначала тысячу, а обведенная кружком - десять тысяч, или «тьму», как тогда называлось таксе число.

Важным знаком в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда числа, т.е. потенциальной возможности его безграничного продолжения. Отчетливое представление о бесконечности натурального ряда отлажено в памятниках античной математики (3 век до н.э.), в трудах Евклида и Архимеда, В «Началах» Евклида устанавливается даже безграничная продолжаемость ряда простых чисел, в книге Архимеда ''Псаммит" принципы для построения названий и обозначений для сколь угодно чисел, в частности больших, чем «число песчинок в мире», и развитием понятия натурального числа как результата счета предметов в обиход включается действия над числами. Действия сложения и вычитания возникают сначала как действия над самими совокупностями в форме объединения двух совокупностей в одну и отделения части совокупности.

Натуральные числа, кроме основных функций - характеристики количества предметов, несут еще одну функцию - характеристику порядка предметов, расположенных в ряд. Возникающие в связи с этой функцией понятие порядкового числа (первый, второй, третий и т.д.) тесно переплетаются с понятием количественного числа (один, два и т.д.). В частности, расположение в ряд считаемых предметов и последующий их пересчет с применением порядковых чисел является наиболее употребляемым, с незапамятных времен способом счета предметов (так, если последним из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов).

Вопрос об обосновании понятия натурального числа долгое время в науке не ставился, понятие натурального числа столь привычно и просто, что не возникало потребности в его определении в терминах. Лишь в середине 19 века под влиянием развития аксиоматического метода в математике, с одной стороны, и критического пересмотра основ математического анализа - с другой, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального числа. Отчетливое определение понятия натурального числа на основе понятия множества (совокупности предметов) было дано в 70-х гг. 19 века в работах Г.Кантора. Сначала он определяет понятие равномерности совокупностей. Именно две совокупности называются равномощными, если составляющие их предметы могут быть сопоставлены по одному. Затем число предметов, составляющих одну совокупность, определяется как то общее, что имеет данная совокупность и любая другая, равномощная ей совокупность предметов, независимо от всяких качественных особенностей этих предметов. Такое определение отражает сущность натурального числа, как результата счета предметов, составляющих «эталонную» совокупность (на ранних ступенях - пальцы рук и ног, зарубки на палочке и т.д., на современном этапе - слов аи знаки, обозначающие числа).Определение, данное Кантором, было отправным пунктом для обобщения понятия количественного числа в направлении количественной характеристики бесконечных множеств.

Другое обоснование понятия натурального числа базируется на анализе отношения порядка следования, которое, как оказывается, может быть аксиоматизировано. Построенная на этом принципе системе аксиом была сформулирована Дж.Пеано. Итак, понятие числа является одним из основных в математике. Число служит оружием, при помощи которого математика и другое науки изучают объективные закономерности реального мира.

Современное состояние понятия «число» сложилось в результате сложного и длительного исторического пути развития, в процессе решения постоянно усложняющихся практических и теоретических задач.

2. Три подхода к определению целого неотрицательного числа

1. Аксиоматический подход к натуральному числу

В теории построенной Дж. Пеано, б качестве основного понятия взято отношение «непосредственно следовать за». Известными также считаются понятия множеств, элемента множеств и другие теоретико-множественные понятия, а также правила логики. Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначают а1. Суть отношения «непосредственно следовать за» раскрывается в четырех аксиомах.

Аксиома 1. В множестве А существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Называют его единицей.

Аксиома 2. Для каждого элемента а из множества В существует единственный элемент a1, непосредственно следующий за а.

Аксиома 3. Для каждого элемента а из множества В существует не более одного элемента, за которым, непосредственно следует а.

Аксиома 4. Пусть множество и есть подмножество множества В и известно, что:

а) единица содержится в М;

б) из того, что а содержится в М, следует, что и al содержится в М;

тогда множество М совпадает с множеством А?

Опираясь на введенное отношение «непосредственно следовать за» и аксиомы 1-4, можно дать следующее определение натурального числа.

Определение 1. Множество А, для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, называется множеством натуральных чисел, а его элементы натуральными числами.

Приведенное определение называют аксиоматическим. В таких определениях все понятия выступают как первичные, а связи между ними описываются системой аксиом. Поэтому систему аксиом можно рассматривать как неявные, косвенные определения исходных понятий.

В данном определении натурального числа ничего не говорится о природе элементов множества А. Следовательно, она может быть какой угодно. Выбирая в качестве множества А .некоторое конкретное множество, на котором задано конкретное отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, получают различные интерпретации (модели) данной системы аксиом. Одной из них является ряд чисел 1,2,3,…, возникающий в процессе исторического развития общества. Элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества, здесь обозначается символом 1. Возможны и другие модели данной системы аксиом. Рассмотрим, например, последовательность множеств, в которой множество (00) есть начальный элемент, а каждое последующее множество получается и с предыдущего, приписыванием еще одного кружка.

а) (00), (000), (0000)…

Тогда A есть множество, состоящее из множеств описанного вида. Нетрудно убедиться в том, что оно является моделью системы аксиом 1-4. Действительно, в множестве А существует элемент (00), непосредственно не следующий ни за каким элементом данной совокупности множеств; если считать обведенные кружки за один элемент, то для каждого множества В рассматриваемой совокупности существует единственное множество, которое получается из В добавление одного кружка; для каждого множества В существует не более одного множества, из которого образуется множество В добавлением не более одного множества, из которого образуется множестве В добавлением одного кружка; если М А известно, что множество В содержится в М, и из того, что В содержится в М, что и. множество, в котором на один кружок больше, чем в множестве В, также содержится в М, то М = А.

б) (00), (00 0), (00 00)…

То обстоятельство, что в аксиоматических теориях не говорят об «истиной» природе изучаемых объектов и понятий, а формулируют лишь «их свойства, выраженные в аксиомах, делает на первый взгляд эти теории слишком абстрактными и формальными, оказывает что одним и тем же аксиомам удовлетворяют различные множества объектов и разные отношения между ними, однако в этой системе, т.е. кажущейся абстрактности и состоит сила аксиоматического метода: каждое утверждение, выведенное логическим путем из данных аксиом, применимо к любым множествам объектов, лишь бы в них были определены отношения, удовлетворяющие этим аксиомам.

Рассмотрим натуральный ряд чисел в качестве одной из моделей системы аксиом 1-4, следует отметить, что они описывают процесс образования этого ряда, причем происходит это при раскрытии в аксиомах свойств отношения «непосредственно следовать за». Так, натуральный ряд чисел начинается с числа 1 (аксиома 1); за каждым натуральным числом непосредственно следует единственное натуральное число (аксиома 2); каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом (аксиома 3); отправляясь от числа 1 и переходя по порядку к непосредственно следующим друг за другом натуральным числам, получаем все множество этих чисел (аксиома 4). Заметим, что аксиома 4 в формализованном виде описывает бесконечность натурального ряда и на ней основано доказательство утверждений о натуральных числах.

Итак, аксиоматическое построение системы натуральных чисел начинается с выбора основного отношения «непосредственно следовать за» и аксиом, представляющих определения этого отношения. Дальнейшее построение теории сводится к рассмотрению свойств натуральных чисел и операции над. ними. Они раскрываются в определениях и теоремах и должны быть получены чисто логическим (дедуктивным) путем из отношения «непосредственно следовать за» и аксиом 1-4.

Покажем, например, как при таком построении теории можно ввести отношения «непосредственно предшествует» и др., часто и используемое при рассмотрении свойств натурального ряда. Так как среди неопределяемых понятий теории данного отношения нет, то его надо определить.

Определение 2. Если натуральное число б непосредственно следует за натуральным числом а, то число а называется непосредственно предшествующим (или предшествующим) числу б.

Отношение «предшествует» обладает рядом свойств. Они формулируются в виде теорем и доказываются на основании аксиом 1-4.

Теорема 1. Единица не имеет предшествующего натурального числа.

Теорема 2. Каждое натуральное число а, отличное от 1, имеет предшествующее число б, такое, что б1=а.

Доказательство: Обозначим через М множество натуральных чисел, состоящее из числа 1 и из всех чисел, имеющих предшествующие. Если число а содержится в М, то и число al также есть в М, поскольку предшествующим для al является число а. Это значит, что множество М содержит 1, и из того, что число а принадлежит множеству М, следует, что число а1принадлежит М. Тогда по аксиоме 4 множество М совпадает с множеством всех натуральных чисел. Значит, все натуральные числа, кроме 1, имеют предшествующее число. Отметим, что в силу аксиомы 3 числа, отличные от 1, имеют единственное предшествующее число.

Заметим также, что б аксиоматическом определении натурального числа ни одну из аксиом нельзя опустить - для любой из них можно построить множество, в котором выполнены остальные аксиомы (три), а данная аксиома не выполняется. Это положение наглядно подтверждается примером, приведенным на рисунках 1-4, на рисунке 1 изображено множество, в котором выполняются аксиомы <2 и 3, но не выполнена аксиома 1 (аксиома 4 не имеет здесь М смысла, т.к. в множестве нет элемента, непосредственно не следующего ни за каким другим); на рисунке 2 показано множество, в котором выполнены аксиомы 1, 3 и 4, но за элементом а непосредственно следуют два элемента, а не един, как требуется в аксиоме 2: на рисунке 3 изображено множество, в котором выполнены аксиомы 1,2,4 но элемент с непосредственно следует за элементом а, так и за элементом б; на рисунке 4 показано множество, в котором выполнены аксиомы 1,2,3, но не выполняется аксиома 4: множество точек, лежащих на луче, содержит 1 и вместе с каждым числом оно содержит непосредственно следующее за ним число, не оно не совпадает со всем множеством точек, показанных на рисунке.

Аксиоматический подход к теории натуральных чисел не рассматривается ни в начальной школе, ни в средней. Однако те свойства «непосредственно следовать за», которые нашли отражение в аксиомах 1-4, являются предметом изучения в начальных классах и используются при решении задач. Уже в первом классе при рассмотрении чисел первого десятка выясняется, как может быть получено каждое число. При помощи терминов «следует» и «предшествует», используется этот прием в 1-м классе. Каждое новое число с самого начала выступает как продолжение изученного отрезка натурального ряда чисел. При таком подходе создаются условия для того, чтобы дети подметили некоторые общие свойства чисел натурального ряда: не только данное, рассматриваемое на этом уроке число, но и вообще любое натуральное число может сыть получено прибавлением 1 к тому числу, которое встречается пои счете перед ним, или вычитанием 1 из числа., которое идет при счете сразу после него; любое число на 1 больше, чем ему предшествующее... Таким образом, уже в начальной школе учащиеся убеждаются в том, что за. каждым числом идет следующее, и притом только одно, что натуральный ряд чисел бесконечен.

2. Теоретико-множественный подход к определению натурального числа

Количественное натуральное число может быть получено как результат счета элементов конечного множества, т.е. количественное число явилось вторичным по отношению к порядковому числу. Но исторически количественное число появилось раньше, чем порядковое: на определенном этапе своего развития человек воспринимал численность множества предметов без их счета, поэтому возможен подход к количественному натуральному числу, который не связан со счетом.

Пусть множества А и В таковы, что им соответствует одно и то же число а. Это значит, что они взаимно однозначно отображаются на один и тот же отрезок натурального ряда, два множества, которые можно взаимно однозначно отобразить друг на друга, равномощны. Следовательно, для конечных множеств утверждение «Множества А и В равномощны» равносильно утверждению «множества А и В содержат поровну элементов» (т.е. им соответствует одно и то же натуральное число).

Так как любому конечному множеству соответствует лишь одно натуральное число, то вся совокупность конечных множеств распадается на классы равномощных множеств. Например, в один из классов попадает множество сторон треугольника, множество его вершин, множество букв в слове «дом, в другой - общее свойство класса множеств, равномощных множеству вершин квадрата.

Число «нуль» также имеет теоретико-множественное истолкование - оно ставится в соответствие «пустому» множеству: 0 = к (0), А = (0).

Каждый класс разбиения некоторого множества однозначно определяется заданием любого принадлежащего ему элемента - представителя этого класса. Значит, у каждого класса равномощных множеств однозначно задается выбором какого-нибудь представителя. В качестве такого представителя выбирают соответствующий отрезок натурального ряда чисел. Например, класс конечных множеств, содержащих множество вершин квадрата, задается отрезком натурального ряда А4 = (1,2,3,4)..

В связи с тем, что при определении числа, соответствующего множеству А, приходится прибегать к счету, а для этого нужен некоторый отрезок натурального ряда, то изучение математики в начальных классах начинается с усвоения отрезка натурального ряда. Параллельно раскрывается М смысл каждого из чисел этого отрезка, причем количественное натуральное число по существу рассматриваются как общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Например, когда учащиеся изучают число «один», в учебнике приводятся изображения одноэлементных множеств: одно ведро, одна девочка, один стул и т.д.; когда изучают число «три», рассматривают множества, содержащие три элемента: три кубика, три камешка и др. Так происходит при изучении всех чисел первого десятка, но число элементов в множестве каждый раз определяется путем пересчета, т.е. количественное и порядковое числа, а также их запись выступает в тесной взаимосвязи.

Сущность счета заключается в установлении взаимно однозначного соответствия между множествами, подлежащими счету, и некоторым отрезкам натурального ряда. Процесс счета закончится тогда и только тогда, если считаемое множество конечно, видим, что понятие счета тесно связано с понятием отрезка натурального ряда и понятием конечного множества. Введем определение этих понятий.