6. Задачи, раскрывающие смысл понятия умножения.

Умножение в начальной школе определяется через сложение в концентре "Сотня". Вместе со знакомством с новой записью сложения одинаковых слагаемых, учащимся сообщается новая терминология: "умножение", "произведение", "множитель" и новый знак действия "·".

Важно, чтобы школьники усвоили понятие произведения и приобрели опыт работы с предметными множествами, иначе в дальнейшем младшим школьникам будет трудно работать с задачами, где есть отношения "больше в … раз", "увеличить в … раз" и др.

7. Задачи, раскрывающие смысл операции деления.

Эта операция для учащихся самая сложная, так как если с делением младших школьников знакомить сразу после умножения, то они эти действия путают.

Для введения деления используется житейские ситуации. Их две.

Сначала рассматривается, что значит разделить некоторое число на равные части.

Задача. Два звена пропололи 8 грядок, каждое поровну. Поскольку грядок пропололо каждое звено?

Берутся 8 полосок. Учитель раздает их двум детям, по очереди, каждому школьнику по одной полоске и так до тех пор, пока все полоски не закончатся.

Учитель говорит:

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, можно поступить по-разному:

а) посчитать, сколько полосок у одного школьника;

б) или вспомнить, сколько раз выполнялась операция раздачи по полоске.

В любом случае, выполненное деление на математическом языке можно записать так: 8 - 2 - 2 - 2 - 2. Вычитаемые в этой разности показывают, сколько полосок досталось каждому школьнику в результате раздачи по одной.

Число, соответствующее количеству вычитаемых и есть ответ на вопрос задачи. Это была рассмотрена задача "деление на равные части", т.е.8 гр.: 2 = 4 гр.

Совсем иначе звучит и решается задача на деление по содержанию.

Например: Каждая бригада вскопала по 4 грядки. А всего они вскопали 8 грядок. Сколько бригад выполняли эту работу?

Учитель берет 8 полосок. Их нужно разложить по 4 и определить, сколько же получится стопочек?

Практическое решение этой задачи на математическом языке описывается следующей записью: 8 - 4 - 4. Здесь количество вычитаемых дает ответ на вопрос задачи:

8 гр.: 4 гр. = 2 звена.

8. Задачи, раскрывающие связь между умножением и делением.

Изучение умножения и деления во взаимосвязи позволяет лучше усвоить эти операции. Методика их введения может быть различной. Так, например, задачи на умножение и деление предлагаются в следующей системе: одна на умножение и две обратные задачи к данной - на деление.

Задача. Купили 4 банки с краской. В каждой банке по 3 кг краски. Сколько всего краски купили?

Затем учащимся предлагается составить задачу, решаемую умножением используя, например, слова: "… каждому кролику дали …" или "… всего рядов …" и так далее.

Кроме перечисленных приемов используются специальные задачи, раскрывающие связь между умножением и делением. Эти задачи, как и задачи, только что рассмотренные, решаются умножением или делением. Например:

1) Неизвестное число умножили на 7 и получили 35. Найти неизвестное число.2) 9 умножили на неизвестное число и получили 27. Найти неизвестное число.

Подчеркнем, что главным в обучении младших школьников решению задач, раскрывающих связь между умножением и делением, являются предметные иллюстрации, отражающие взаимосвязь этих операций.

При желании учитель может использовать возможность обучения школьников решению уравнений. В таком случае важная роль отводится заданиям на составление задач по данному уравнению. Например, учитель может нарисовать на доске запись выражения, где вместо чисел поставлены квадраты. Потом, подставляя в квадраты числа, просит учеников составить задачи по этим предикатам.

9. Задачи на увеличение (уменьшение) числа в несколько раз.

В решении задач названного типа обычно у школьников встречается одна и та же ошибка: эти задачи они путают с задачами на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц. Поэтому методика работы с ними ориентирована на противопоставление задач этих типов. Например:

Задача 1. У Наташи 3 карандаша, а у Сережи на 2 карандаша больше. Сколько карандашей у Сережи?

Задача 2. У Наташи 3 карандаша, а у Сережи в 2 раза больше. Сколько карандашей у Сережи?

При проведении краткой записи учитель должен выделить существенные элементы:

Задача 1. Н. - 3 к. Задача 2. Н. - 3 к.

С. - ?, на 2 к. б. С. - ?, в 2 раза б.

Кроме того, полезно выполнить иллюстрацию, например, с помощью наборного полотна:

Задача 1 |ООО|

|ООО|ОО|

Задача 2 |ООО|

|ООО|ООО|

Такое чередование задач полезно на всем протяжении их изучения.

Простые задачи с пропорциональными величинами.

В содержание простых задач, решаемых умножением и делением, могут входить разнообразные величины.

Например: стоимость, масса и цена; стоимость, количество и цена; скорость, время и путь; норма ткани на одно изделие, количество одинаковых изделий и расход ткани, и т.п.

Содержание простых задач, в которые, например, входят цена, количество и стоимость, можно представить в виде следующей таблицы (Табл.2.2.1):

Таблица 2.2.1

Цена тетради в рублях	Количество тетрадей	Стоимость этих тетрадей в рулях
2	4	?
2	?	8
?	4	8

Из таблицы видно, что по указанным данным можно составить три взаимно обратные задачи:

на нахождение стоимости покупки (умножением);

на нахождение количества купленных тетрадей (делением);

на нахождение цены товара (делением).

Составить подобные задачи и затем решить их можно только при условии, что предметы и цена каждого из них одинаковы.

Пропедевтикой к решению подобных задач могут служить таблицы вида (Табл.2.2.2):

Таблица 2.2.2

Количество тетрадей	1	2	3	4	5
Стоимость	2	4	6	8	10

Составные задачи в начальной школе:

На начальном этапе - это задачи, которые включают различные сочетания простых задач. Ниже покажем последовательность их изучения.

а) Решение большинства из них связано со свойствами арифметических действий (прибавление суммы к числу, прибавление числа к сумме, вычитание числа из суммы, вычитание суммы из числа).

б) Позднее появляются задачи, содержащие все 4 действия.

в) Далее изучаются задачи на пропорциональную зависимость между величинами в одно и два действия.

г) Задачи с прямо пропорциональной зависимостью 1-4 видов (см. таблицу) изучающихся на следующих группах величин:

цена, количество стоимость;

масса одного предмета, количество предметов, общая масса;

емкость одного сосуда, число сосудов, общая емкость;

выработка в единицу времени, время работы, выработка;

расход материи на 1 вещь, количество вещей, общий расход материи.

д) Задачи на нахождение четвертого пропорционального рассматриваются на следующих группах величин:

скорость время, расстояние;

длина, ширина, площадь;

урожайность, площадь, весь урожай (приложение Р).

Задачи на нахождение четвертого пропорционального решаются в два действия. Краткая запись таких задач может быть следующей: (Табл.2.2.3).

Таблица 2.2.3

Цена моркови в рублях	Количество купленной моркови	Стоимость купленной моркови
одинаковая	2	30
	6	?

По существу в содержание этих задач входят три величины: цена, количество, стоимость. При решении задачи I применяется следующее рассуждение: "Если известно, что 2 кг стоят 30 рублей, то можно узнать, сколько стоит 1 кг моркови. Когда это будет известно, то можно будет узнать стоимость 6 кг моркови".

При решении задачи 2 сначала узнаем, сколько стоит 1 кг моркови (ее пену), а затем по указанной стоимости и цене, можно найти, сколько моркови можно купить.

При решении задачи 3 сначала отвечают на вопрос: Какова длина куска полотка льна? Второй вопрос - это вопрос задачи. Подобные рассуждения проводятся и для задач 4, 5, 6.

При решении задач на нахождение четвертого пропорционального, если числовые значения кратны, применяется способ нахождения отношения. Он заключается в том, что находят отношение двух значений одной величины, затем увеличивают или уменьшают во столько же раз известное значение другой величины. Например, рассмотрим соответствующее решение задачи 1.

1) Во сколько раз, количество моркови, которое нужно купить, больше количества купленной моркови?

2) Вопрос задачи.

Мы проанализировали математическое содержание задач с величинами цена, количество, стоимость. Можно составить задачи, содержание которых будут входить другие группы величин.

е) Задачи на пропорциональное деление (в начальной школе рассматривается только способ нахождения значения постоянной величины).

Основным признаком этих задач является содержащееся в них требование распределить одно числовое значение величины (например, стоимости) пропорционально данным числам (например, числу предметов в одной совокупности, числу предметов другой совокупности). Приведем строение этого типа задач в следующей таблице (приложение С).

Приведем краткую запись к задаче 1. (Табл.2.2.4)

Таблица 2.2.4

	Цена в рублях	Количество тетрадей	Стоимость в рублях
Тетради в клетку	одинаковая	6	?	30
Тетради в линейку		4	?

В задаче 1 количество предметов разного рода различно, поэтому сумму стоимостей приходится распределять пропорционально двум числам: числу тетрадей в клетку и числу тетрадей в линейку.

Решение задачи после выполнения первого действия сводится к решению двух задач на нахождение четвертого пропорционального.

В задаче 2 указана различная стоимость предметов, поэтому общее число предметов приходится распределять пропорционально двум значениям стоимости. Видим, что решение данной задачи сводится к решению задачи на нахождение четвертого пропорционального.

При решении задачи 3 стоимость можно представить в виде суммы слагаемых пропорционально двум значениям цены. При решении задачи мы отыскиваем числовое значение неизменяющейся величины (количество предметов) делением по содержанию.

Так же при решении задачи 4 вначале представляем в виде суммы слагаемых сумму цен, пропорционально двум значениям стоимости. При ее решении находим числовое значение количества предметов делением по содержанию. И т.д.

Аналогичные задачи можно составить с другими величинами.

ж) Задачи на нахождение неизвестного по двум разностям

Если в каждой из рассмотренных задач на пропорциональное деление заменить сумму двух значений их разностью, то можно получить различные виды задач с пропорциональными величинами, в которых одним из данных будет разность двух значений из указанных выше величин.

Например, возьмем задачу 1 на пропорциональное деление (см. таблицу). Заменим в этой задаче сумму стоимостей тетрадей в клетку и в линейку их разностью, получим такую задачу:

Купили по одинаковой цене 6 тетрадей в клетку и 4 тетради в линейку. За тетради в клетку уплатили на 6 рублей больше, чем за тетради в линейку. Сколько стоят тетради в клетку и в линейку в отдельности?

Узнав разность между количеством тетрадей в клетку и количеством тетрадей в линейку (6 - 4 = 2), и сопоставив ее с разностью в стоимости (6 рублей), найдем цену одной тетради, а затем стоимость 6 и 4 тетрадей.

Отметим, что краткая запись задач на нахождение неизвестного по двум разностям менее наглядна и решение при ее наблюдении менее очевидно. В этих случаях чаще и полезнее следует использовать рисунки и схемы. Например, рисунок к рассмотренной задаче будет таким:

Тетради в клетку О О О О О О

Тетради в линейку О О О О 6 р.

Заметим, что разность двух значений одной и той же величины может быть указана не только выражением "больше на несколько единиц", но и при помощи выражения "меньше на несколько единиц".

В содержание задач указанного вида могут входить и другие величины, связанные пропорциональной зависимостью.

з) Задачи на движение.

В школе рассматриваются задачи на встречное движение и на движение в пропорциональных направлениях (удаление). Их математическое содержание подобно тем задачам, которые уже были рассмотрены.

Таким образом, раскрыта классификация простых задач на сложение и вычитание, на умножение и деление. К простым задачам относят задачи на увеличение (уменьшение) данного числа или значения величины на несколько единиц или в несколько раз, сформулированные в косвенной форме, задачи на вычисление времени; задачи, с помощью которых раскрывается связь между величинами: скорость, время, расстояние. Умение решать простые задачи является подготовительной ступенью овладения учащимися умением решать составные задачи, так как решение составной задачи сводится к решению ряда простых задач. Составная задача включает в себя ряд простых задач, связанных между собой так, что искомые одних простых задач служат данными других. Решение составной задачи сводится к расчленению её на ряд простых задач и к последовательному их решению.

2.3 Методы, формы, приемы формирования умений решать текстовые задачи на уроках математики

В процессе обучения математике особое внимание уделяется не столько самой текстовой задаче, сколько ее решению, которое представляет собой сложный и многоплановый процесс.

В работах Л.Л. Гуровой, Л.П. Стойловой, Л.М. Фридман и др. отмечается, что под термином "решение задачи" подразумеваются различные понятия: [16, с.49]:

1. Ответ на требование задачи.

2. Процесс нахождения способа решения.

3. Осуществление операций, входящих в тот или иной способ решения.

Каждое из понятий термина "решение задачи" тесно взаимосвязаны между собой. Например, Ю.М. Колягин, приводя обоснование этому факту, указывает на то, что осуществление операций, входящих в тот или иной способ решения, невозможен без деятельности субъекта, а процесс решения определяет характер деятельности субъекта, решающего сюжетную задачу. В свою очередь решение как "ответ" является результатом осуществления операций, входящих в тот или иной способ решения [27, с.43].

В методических пособиях авторы выделяют в процессе решения текстовых задач разное количество этапов (А.К. Артемов, Т.Е. Демидова и А.П. Тонких, Л.П. Стойлова, С.Е. Царева, Зайцев Г. Т и т.д.), в том числе [19, с.94]:

1. Восприятие и анализ задачи.

2. Поиск и составление плана решения задачи.

3. Осуществление плана решения.

4. Проверка решения задачи.

5. Формулирование ответа задачи.

В.В. Статкевич деятельность по решению текстовой задачи делит на пять этапов [52, с.137]:

1) изучение задачи;

2) разбор задачи (выявление зависимости между данными задачи, между искомыми и данными, разложение составной задачи на простые и составление плана ее решения);

3) решение (выбор действий и обоснование их применения, запись действий с помощью математических символов и выполнение вычислений в соответствии с ходом решения задачи; часто решение задачи записывают в виде числовой формулы);

4) составление ответа на главный вопрос задачи;

5) закрепление решения задачи - полное или частичное повторение хода ее решения (закрепление решения несложной задачи иногда заменяют проверкой ее решения, решают ее другими способами, если возможно, или выполняют другие виды работы)".

Наиболее полно представлена стратегия решения сюжетной задачи в исследованиях Л.М. Фридмана, который весь процесс решения задачи разбивает на восемь этапов [64, с.137]:

1-й этап - анализ задачи;

2-й этап - интерпретация условия задачи;

3-й этап - поиск способа решения задачи;

4-й этап - составление плана решения задачи;

5-й этап - запись решения задачи;

6-й этап - получение ответа на вопрос задачи;

7-й этап - проверка правильности решения;

8-й этап - работа над задачей после ее решения.

В основе структуры процесса решения сюжетных задач мы будем использовать подход к выделению этапов данного процесса Л.М. Фридмана, внеся следующие уточнения: а)"анализ задачи" дополняем словом "восприятие": "восприятие и анализ задачи"; б)"осуществление решения задачи" заменяем "осуществление выбранного способа решения задачи"; в)"построение решающей математической модели задачи" является составной частью второго этапа, поэтому выделять отдельно в качестве составляющей структуры стратегии решения сюжетной задачи, на наш взгляд, нецелесообразно.

Отсутствие единого подхода в построении процесса решения текстовых задач обусловлено тем, что выделенные этапы не имеют четких границ и полнота их выполнения зависит от уровня математических знаний, опыта и мыслительных умений, проявляющихся в процессе решения.

Знание возможных приемов выполнения каждого из данных этапов делает процесс решения любой задачи осознанным и целенаправленным, а значит, и более успешным. Рассмотрим каждый этап более подробно.

1 этап: Анализ текста задачи.

1. Приемы работы учителя, направленные на формирование умения учащихся читать текст задачи.

В учебной практике наблюдаются ситуация, когда объясняющий пытается довести до сознания учащегося решение задачи, но на определенной ступени объяснения выясняется, что школьник забыл содержание задачи, а поэтому все усилия были напрасны. Чтобы исключить подобные ситуации, и ребенок "принял" задачу, то есть понял и приступил к ее математизации, необходимо, чтобы все слова из этой задачи ему были знакомы. Поэтому, принято перед чтением задачи проводить словарную и наглядно-образную работу, которая расширяет общий кругозор учащихся класса. На первом, пропедевтическом этапе изучения текстовых задач, при знакомстве с содержанием каждой задачи необходимо соблюдать следующие требования к ее чтению:

а) правильное прочтение слов, предложений;

б) правильная расстановка логических ударений.

Правильное слушание задачи тоже играет огромную роль в процессе обучения учащихся решению задач. Поэтому,

а) при первичном чтении, слушая задачу, ученик должен представить ситуацию (учитель должен помочь младшему школьнику в создании зрительного или слухового образов);

б) при повторном чтении школьник должен запомнить следующую информацию:

О чем задача?

Что в ней известно?

Что нужно найти?

в) при чтении задачи в третий раз ученику следует подумать:

Как связаны между собой числовые данные?

Каким отношением связано искомое с условием?

В процессе подготовки к уроку учитель должен тщательно продумать прием, которым в каждом отдельном случае он предложит учащимся задачу. Здесь имеют место два основных приема:

учитель наизусть говорит учащимся содержание задачи (этот прием обычно применяется при решении сложной задачи);

чтение задачи по учебнику учителем или учеником.

Если учитель сам читает задачу, то необходимо, чтобы учащиеся следили по учебнику за процессом чтения и на этом примере учились этому. Если задачу читает ученик, то учитель должен четко повторять за ним отдельные слова, оттеняя голосом те или другие соотношения между величинами, делая соответствующие указания.

2. Варианты организации работы учащихся над текстом задачи.

В процессе чтения текста задачи не все данные, входящие в условие, в равной степени привлекают внимание учащихся. Некоторые данные остаются незамеченными, другие выдвигаются на передний план. Задача учителя - помочь учащимся вчитаться в текст задачи, выделить главное в нем. Иногда в задаче какое-либо данное может быть, как бы, зашифровано. Например: "… выехали одновременно и ехали до встречи …".

Возможны различные варианты организации работы учащихся над текстом задачи. Во многом это зависит от того, умеют ли младшие школьники читать, знаком ли им тип задачи, как они владеют навыком анализа ее текста.

Учащихся необходимо научить проверять правильность формулировки текста задачи, поэтому время от времени им можно предлагать задачи типа: "На озере плавали 4 журавля, а гусей на 2 больше. Сколько гусей плавало?" или "Сережа сорвал с яблони 2 яблока, а Оля одно. Сколько яблок было на дереве?"

Специальная работа над текстом задачи по усвоению ее содержания включает:

изменение числовых данных задачи;

изменение сюжета задачи;

изменение сюжета и числовых данных задачи.

Например: "В мешке 20 кг крупы. После того, как из него наполнили несколько пакетов по 3 кг, в мешке осталось 5 кг. Сколько пакетов наполнили крупой?"

Изменится ли способ решения задачи, если не "из мешка наполнили", а "в мешок добавили"?

Как изменится способ решения, если пакеты наполнили по 5 кг? 2кг? 10 кг?

Можно ли ответить на какие-либо другие вопросы, кроме сформулированного вопроса в задаче?

В процессе ответов на эти вопросы у школьников формируется представление:

о получении задач из реальных и абстрактных ситуаций,

об информационной структуре задачи,

о логической согласованности данных в тексте задачи,

о зависимости данных и искомых от реальной действительности.

В теории методики преподавания математики выделены следующие приемы, формирующие умение учащихся выделять условие и вопрос задачи:

выявление роли вопроса в нахождении способа решения задачи;

обращение внимания на точность формулировки вопроса задачи;

переформулировка вопроса задачи (эти три названные приема направлены на воспитание у школьников потребности выделять условие и вопрос задачи);

формулировка одного или нескольких вопросов к условию задачи;

нахождение необходимых данных для ответа на вопрос задачи;

составление задачи по вопросу;

формулирование одной или нескольких задач по данному вопросу.

Проводя анализ задачи, учитель организует учащихся на уяснение искомого. Это не исключает показа образцов решения задачи с одним и тем же условием, но с разными вопросами и разными способами решения. Учащиеся убеждаются в необходимости выявления вопроса задачи и выяснения его сути.

Иногда при формулировке вопроса задачи можно изменить не весь вопрос, а лишь его часть. Цель такого приема - показать школьникам, что при решении задачи ее вопрос определяет все последующие преобразования исходных данных. Переформулирование вопроса изменяет весь следующий процесс решения задачи. Заметим, что успешность решения задачи зависит от точности формулировки вопроса.

Задача. С огорода принесли 42 кг огурцов.5/7 всех огурцов засолили. Сколько килограммов огурцов засолили?

Школьникам можно предложить заменить вопрос и указать способ решения полученной задачи. Например, так:

а) Сколько килограммов огурцов осталось?

б) Сколько килограммов огурцов засолили и, сколько осталось?

Выполняя подобное задание, учащиеся осмысливают значение вопроса, его роль в задаче и влияние на способ решения, осознают то, что должно быть найдено.

При обучении учащихся умению выделять условие и вопрос задачи в процессе ее решения, еще можно использовать прием, направленный на постановку вопроса по условию.

Задача. Скорость теплохода 45 км / ч, а скорость электровоза на 90 км / ч больше.

Задания. Какой вопрос можно поставить к этому условию задачи?

Что можно узнать по этим двум данным?

Каким действием решается задача?

Для реализации приема нахождения необходимых данных для ответа на вопрос задачи, учитель может предложить учащимся, например, следующий вопрос:

Назовите данные для составления задачи, в которой спрашивается: какую часть всех учащихся второго класса составляют девочки и какую - мальчики?

Формированию у школьников умений проводить анализ текста задачи способствует составление задач по вопросу. Учащимся предлагается вопрос и задание, сформулировать условие задачи по этому вопросу. Здесь школьники убеждаются, что к одному и тому же вопросу можно составлять различные задачи.

Итак, анализ текста задачи включает следующие шаги:

1 шаг - правильное чтение текста задачи с точки зрения русского языка и расстановка логического ударения; правильное слушание задачи:

а) слушая задачу в первый раз, постараться представить ситуацию, о которой говорится в задаче, уяснить, о чем говориться в ней, выделить вопрос;

б) при повторном чтении нужно запомнить следующую информацию: о чем задача, что в ней известно, что нужно найти;

в) при чтении задачи в третий раз, следует подумать о том, как связаны между собой числовые данные, каким отношением связано искомое с условием.

2 шаг - проверка учителем представления жизненной ситуации учащимися, для чего необходима постановка специальных вопросов по тексту задачи. Учитель должен помочь младшему школьнику в создании зрительного или слухового образов. Вопросы по тексту задачи на этот момент формулируются так:

О чем эта задача?

Что в задаче известно?

Что в задаче неизвестно?

Что обозначают слова …?

Для глубокого усвоения содержания текста задачи, для выявления условия и вопроса или удобства работы над задачей, в случае отбрасывания несущественных деталей, используется 3 шаг - переформулировки задачи.

4 шаг - разбиение на смысловые части. Этот шаг необходим для:

а) выявления осмысления каждого числового данного, что можно сделать с помощью следующих вопросов:

Что означает данная в задаче величина (число) …?

…?

Какой вопрос в задаче?

б) вычленения условия и вопроса:

Что известно в задаче?

Что нужно найти?

в) разбиения на элементарные условия:

Прочитайте первое элементарное условие и скажите, что вам из него стало известно.

Прочитайте второе элементарное условие и скажите, что вам из него стало известно.

…?

Какой вопрос в задаче?

2 этап: Интерпретация условия задачи.

Интерпретация условия задачи - это составление по условию задачи краткой записи, схемы, чертежа, рисунка и т.д. Она выполняется учителем или школьником только тогда, когда ученик не может решить данную задачу или если стоит цель - изучить данный вид интерпретации задач.

Краткая запись условия задачи

Не существует какой-либо определенной формы краткой записи условия задачи. Но требования к ее составлению выделены следующие:

краткая запись должна наглядно представлять связи между величинами и соответствующими числовыми данными задачи;

по краткой записи школьники должны суметь самостоятельно воспроизвести условие задачи.

Методика обучения краткой записи на начальном этапе требует того, чтобы на первых порах она выполнялась самим учителем. Только когда школьники усвоят образцы краткой записи, они ее выполняют сами.

Приведем примеры видов кратких записей следующих задач.

Задача 1. У Виталика 3 марки, а у Сережи на 2 марки больше. Сколько марок у Сережи?

Задача 2. Сорока может прожить 27 лет, ласточка - в три раза меньше, чем сорока, а ворона - на 40 лет больше, чем ласточка. Сколько лет может прожить ворона?

Задача 3. В одном куске было 32 м ткани, а в другом на 12 м больше. Из всей этой материи сшили платья, расходуя на каждое по 4 м ткани. Сколько платьев сшили?

Приведем примеры кратких записей этих задач.

1. Краткая запись задачи в виде схемы.

Задача 1. (1 вариант краткой записи)

В. - 3 марки

С. - ?, на 2 марки больше

Сколько марок у Сережи?

Задача 1. (2 вариант краткой записи)

В. - 3 м.

С. - ? м., на 2 больше.

Задача 3. (1 вариант краткой записи)

Сорока - 27 лет,

Ласточка - ? лет, в 3 раза меньше

Ворона - ? лет, на 40 лет больше ласточки.

Сколько вороне?

Задача 2. (2 вариант краткой записи)

С. - 27 л.

Л. - ? л., в 3 раза меньше

В. - ? л., на 40 лет больше

2. Краткая запись задачи в виде таблицы.

Задача 3

Таблица 2.3.1

	Количество ткани	Расход ткани на 1 платье	Количество платьев
1 кусок	32 м	4 м	?	}?
2 кусок	?, на 12 м б.	4 м	?

Прием оформления краткой записи задачи в виде таблицы должен использоваться учителем в тех случаях, когда в задаче содержатся сведения об изменении трех взаимосвязанных величин.

3. Краткая запись задачи в виде чертежа.

4.

Задача 1.

3

|__________,__________,__________|

2

|_______________________________|__________,__________|

?

Задача 2.

27

Сорока |_________|_________|_________|

Ласточка |_________|

40

Ворона |_________|________________________________________|

?

Чертеж особенно полезен при решении задач на движение (они являются самыми сложными для всех учащихся).

5. Краткая запись задачи в виде схемы.

Задача 1.

3

|__________________|

2

|__________________|________________________

?

В отличие от чертежа, в схеме не соблюдается масштаб (например, отрезок, содержащий три единицы, может быть короче отрезка, предполагающего содержать две таких же единицы).

6. Краткая запись задачи в виде геометрической иллюстрации.

Задача1.

В. О О О

С. О О О О О

Предметы, о которых идет речь в задаче, можно изображать кружками, квадратами треугольниками, палочками и так далее.

7. Краткая запись задачи в виде рисунка.

Самое наглядное содержание текстовой задачи можно представить в виде рисунка или геометрической иллюстрации. В этом случае ответ на вопрос задачи можно получить пересчетом. Поэтому такое воссоздание условия задачи следует использовать за редким исключением - только в первом классе или при знакомстве с очень сложными понятиями, а также в работе со слабыми учащимися.

Такая запись чаще всего применяется в первом классе, когда учитель должен увидеть, как каждый ученик представляет себе ситуацию, о которой идет речь в задаче. Поэтому на начальном этапе обучения уроки математики содержат фрагменты уроков изобразительного искусства.

Выделим приемы обучения выполнению чертежей и рисунков по тексту задачи:

предъявление заданий, требующих выполнения соответствующего чертежа, рисунка;

чтение чертежа, рисунка, выполненного по тексту задачи;

составление задачи по чертежу или рисунку.

Выполненный чертеж или рисунок по тексту задачи позволяет фиксировать ход рассуждений при ее решении, а это способствует формированию общих подходов к решению задач. Поэтому к выполнению чертежей и рисунков предъявляются следующие требования:

они должны быть наглядными, четкими и соответствовать тексту задачи;

на них должны быть отражены, по возможности, все данные, входящие в условие задачи;

выделенные на них данные и искомые должны соответствовать условию задачи и общепринятым обозначениям.

Заметим, что в начальной школе большинство текстовых задач не требует выполнения рисунков или чертежей, но с целью эффективного формирования умений выполнять их по тексту задачи, нужны специальные задания. Формирование умения выполнять чертеж или рисунок к задаче будет успешным, если младшие школьники будут уметь читать чертеж задачи. Такая работа чаще всего проводится в форме устных упражнений. К ним относятся первые попытки составлять текст задачи по рисунку, а затем, по чертежу. В результате выполнения подобных упражнений у школьников формируются навыки по переводу рисунков (чертежей) на словесный текст. При этом учитель должен соблюдать разумную меру в использовании символов для краткой записи условия (скобок, стрелок и т.п.), так как это тоже язык, усвоение которого требует от учащихся затрат времени и сил.

Обучение должно выполнять развивающую функцию, поэтому материал должен преподаваться на высоком уровне сложности. Поэтому при изучении всех видов кратких записей задач, переход к более наглядному виду интерпретации условия текстовой задачи должен осуществляться только тогда, когда учащиеся испытывают трудности в поиске решения задачи.

8. Представление содержания задачи в виде реальных моделей.

Этот прием используется чаще всего в детских садах и коррекционных школах, где учащиеся не могут мыслить абстрактно. Здесь учитель приносит на занятие реальные модели - игрушки, о которых идет речь в задаче.

Заметим, что реальная модель может быть создана не для любой задачи. Обычно этому препятствуют большие числовые значения. В таком случае, на подготовительном этапе изучения нового типа задачи решается аналогичная задача, лишенная названного недостатка. После того, как найдена идея решения, ее применяют к исходной задаче.

Таким образом, краткая запись является результатом фиксации проведенного анализа текста задачи. Она служит не только хорошей формой, организующей глубокий планомерный анализ задачи, но и неплохим средством для ее осознания, для ясного представления зависимостей между данными и искомыми, для облегчения поиска решения задачи.

Обучение учащихся составлению кратких записей задач невозможно без постановки обратных заданий, так как именно эти задания направлены на формирование умения учащихся читать эти записи. С этой целью следует предлагать младшим школьникам прочитать краткие записи некоторых задач. При выполнении подобных заданий у младших школьников формируются навыки перевода текста задачи заданной в виде схемы или таблицы, в словесный текст, где обобщаются связи данных и искомого.

Задача. Какова площадь поля, если

1 - на 324 га б., чем , или в 4 раза б., чем

2 -

3 - 256 га

Анализируя подобные записи, учащиеся осмысливают связи и данные задачи, переводят символические записи на словесный язык, запоминают вопрос и условие задачи.

3 этап. Поиск способа решения простой задачи.

Управление на уроке деятельностью учащихся с помощью вопросов является гибким методическим приемом. Вопросы дают возможность с наименьшей затратой времени вести самую разнообразную работу по развитию школьников: учить находить различие и сходство в предметах и явлениях, отбирать факты для доказательства, мобилизовать прежний опыт и знания и т.д.

Для решения этих задач вопросы учителя должны соответствовать определенным требованиям:

они должны быть краткими и точными;

задаваться в логической последовательности, с постепенным возрастанием сложности;

не следует повторять вопроса до того, как школьники дадут ответ;

не нужно давать один и тот же вопрос в различных формулировках;

вопросы должны следовать принципу от общего к частному;

вопросы должны быть достаточно емкими для целостного восприятия, так как излишнее дробление изучаемого материала, разрушает его логическую целостность, а слишком обобщенные вопросы могут скрыть ту ситуацию, которая должна обсуждаться с учениками;

вопросы не должны требовать от учеников односложных ответов (учитель может использовать вспомогательные, дополнительные, наводящие вопросы, позволяющие продолжить обсуждение изучаемой проблемы;

если вопрос задается всему классу, то после того, как он прозвучит, должна быть пауза;

вопрос должен будить мысль учащихся, развивать их мышление, заставлять их задумываться и др.

Для этапа поиска решения простых задач предлагается следующая система вопросов:

отдаленно ориентирующий,

определенно направляющий,

наводящий,

подсказывающий.

Отдаленно ориентирующие вопросы - это вопросы, где выясняется учащимся выбор арифметического действия для решения простой сюжетной арифметической задачи. Например:

Каким действием ты будешь решать эту задачу?

Почему ты вобрал это действие?

Определенно-направляющие - это вопросы, помогающие школьнику выяснить, какие слова из условия задачи или ее вопроса указывают на выбор арифметического действия. Например:

Какие слова из условия задачи или ее вопроса указывают на выбор арифметического действия?

Если учащиеся еще не знакомы с терминами "условие задачи" и "вопрос задачи", то определенно-направляющий вопрос может звучать так:

Какие слова задачи помогают в выборе действия?

Отметим, что каждый следующий вопрос приносит успех тогда, когда ученик в результате проделанной умственной работы внутренне подготовился к новому направлению поиска и нужен только небольшой внешний "толчок" для направления мыслей. В любом случае, подсказка эффективна не перед решением проблемы, а после попыток ее решения. Из сказанного следует, что определенно-направляющий вопрос является в данной ситуации подсказкой и его следует задавать в случае, если ученик не может четко дать ответ на вопрос:

Почему ты выбрал это действие?

Если учащийся затрудняется дать ответ и на данный тип вопроса, то следующей подсказкой может быть наводящий вопрос.

Под наводящими вопросами понимаются вопросы, направленные на выяснение взаимосвязи определяющего слова из условия задачи или ее вопроса и отношения, с помощью которого может быть найден верный ответ на вопрос задачи. Например:

Уток стало больше или меньше после того, как три утки улетели?

Подсказывающие вопросы - это такие вопросы к учащимся, ответом на которые являются главные слова вопроса задачи. Например:

Если сложить два данных в условии задачи числа, то, что можно узнать, выполнив это действие?

Применение названных четырех типов вопросов на этапе поиска решения простой задачи поможет учителю приблизить мысли учащегося к правильному выбору арифметического действия в решении задачи.

3 этап. Поиск способа решения составной задачи.

Поиск способа решения задачи - это сложная интеллектуальная деятельность. Она начинается уже при анализе текста задачи и не заканчивается тогда, когда получен ответ, так как идея нового способа решения может придти много позже. Поиск решения составных задач качественно отличается от поиска решения простых задач, а значит и методика работы над составными задачами иная.

Если простые задачи легко классифицируются, то составных задач множество и единой классификации для них не существует. Поэтому методика работы над ними ориентирована на формирование у школьников общих методов поиска решения задачи. К этим методам относятся: аналитический, синтетический, аналитико-синтетический.

Анализ - логический прим, состоящий в расчленении исследуемого объекта на составные элементы и исследовании каждого из них в отдельности.

При разборе задачи аналитическим методом происходит ее разбор от вопроса к данным:

Задача 1: Для уроков трудового обучения школа закупила нитки, ткань и ножницы. За нитки уплатили 20 руб., за ткань - 150 руб., а за ножницы на 30 руб. больше, чем за нитки и за ткань вместе. Сколько стоила вся покупка.

Анализ.

Что нужно знать, чтобы определить, сколько стоила вся покупка?

Ответ: "Нужно знать стоимость ниток, ткани и ножниц".

Что из этого известно?

Ответ: "Известно, сколько стоят нитки, и сколько стоит ткань".

Что из этого неизвестно?

Ответ: "Неизвестно, сколько стоят ножницы".

Что нужно знать, чтобы определить, сколько стоят ножницы?

Ответ: "Нужно знать, сколько стоят нитки и ткань вместе и на сколько больше стоят ножницы".

Что из этого известно?

Ответ: "Известно, на сколько больше стоят ножницы".

Что неизвестно?

Ответ: "Неизвестно, сколько стоят нитки и ткань вместе?"

Что нужно знать, чтобы узнать, сколько стоят нитки и ткань вместе?

Ответ: Нужно знать стоимость ниток и стоимость ткани.

Что из этого известно?

Ответ: Все известно.

Задача 2. За 5 блокнотов заплатили столько же, сколько за 15 тетрадей. Цена тетради 7 рублей. Какова цена блокнота?

Анализ.1. Что нужно знать, чтобы определить цену блокнота?

Ответ: "Количество купленных блокнотов и их стоимость".

2. Что из этого известно?

Ответ: "Количество купленных блокнотов".

3. Что неизвестно?

Ответ: "Стоимость купленных блокнотов".

Что нужно знать, чтобы узнать стоимость купленных блокнотов?

Ответ: Стоимость тетрадей.

Что нужно знать, чтобы определить стоимость тетрадей?

Ответ: "Количество купленных тетрадей и их цену".

Что из этого известно?

Ответ: "Все известно".

Идея решения задачи найдена. Количество вопросов обусловлено содержанием задачи и способом ее решения.

Синтез - логическая операция установления связи между составными частями исследуемого объекта и изучения его как единого целого. При разборе задачи синтетическим методом ее разбор ведется от данных к вопросу:

Разберем задачу 2.

Синтез 1. Что можно определить, зная, что купили 15 тетрадей по цене 7 рублей?

Ответ: "Стоимость купленных тетрадей".

2. Что можно определить, зная, стоимость тетрадей и что за блокноты заплатили столько же.

Ответ: "Можно определить стоимость блокнотов".

3. Что можно определить, зная количество купленных блокнотов и их стоимость?

Ответ: "Цену блокнота".

4. Что спрашивалось в задаче?

Ответ: "Какова цена блокнота?"

5. Мы ответили на вопрос задачи?

Ответ: "Да, мы ответили на вопрос задачи".

Аналитико-синтетический метод сочетает элементы анализа и синтеза.

4 этап. Составление плана решения задачи.

Работа учащихся на этом этапе решения составной задачи заключается в ответах на вопросы учителя:

Что узнаем в первом действии?

Что узнаем во втором действии?

…?

Что требовалось найти в задаче?

Мы это нашли?

Если задача простая, то учитель ограничивается двумя последними вопросами.

5 этап. Запись решения задачи

Ель данного этапа: найти ответ на вопрос задачи.

Существуют следующие виды оформления записи решения задачи:

1) запись решения без пояснений;

2) запись решения с пояснениями;

3) запись решения при помощи вопросов;

4) запись решения одним выражением;

5) запись графического и геометрического решения в виде чертежа или рисунка без измерений или с измерениями.

Графическое решение может быть:

геометрическим, если оно основано на геометрических свойствах решения

негеометрическим, если свойства геометрических фигур не используются.

6) запись решения в виде таблицы.

В школьной практике чаще всего для записи простых задач применяются:

запись решения без пояснений;

запись решения выражением;

запись решения в виде рисунка.

6 этап. Получение ответа на вопрос задачи

Если не предусмотрена проверка задачи, то записывается ее ответ. Если же запланирована проверка решения задачи, то ответ на вопрос записывается после нее.

Формы ответа на вопрос задачи могут быть следующими:

1) построение развернутого истинного суждения вида: "Так как …, то можно сделать вывод, что …" (здесь формулируется ответ на вопрос задачи полным предложением в устной или письменной форме);

2) формулировка полного ответа на вопрос задачи без обосновывающей части (устно или письменно);

3) формулировка краткого ответа (устно или письменно).

7 этап. Проверка правильности решения.

Цель данного этапа: установить, соответствует ли процесс и результат решения образцу правильного решения. В методической литературе называют следующие приемы проверки решенной задачи:

1) сверка полученного ответа с ответом учителя;

2) название учителем нескольких ответов (в тех случаях, когда он может предугадать, какую ошибку допустят учащиеся);

3) прикидка результата;

4) установление границ результата;

5) решение задачи другим способом;

6) установление соответствия результата решения условию задачи, это:

введение в текст задачи вместо вопроса ответа на него;

сопоставление результатов друг с другом и информацией, содержащейся в тексте;

7) составление и решение обратной задачи;

8) проверка решения задачи путем определения смысла выражений и правильности вычислений.

Проведем некоторые разъяснения и примеры для указанных выше приемов.

Рассмотрим второй прием: название учителем нескольких ответов.

Задача. Первый отряд собрал 5 кг лекарственных трав, а второй - в 4 раза больше. Сколько лекарственных трав собрал второй отряд?

Ответы учителя: 9 и 20, так как учащиеся могут решить задачу сложением.

Суть третьего приема, прикидка результата, состоит в том, что исходя из условия задачи, не выполняя вычислений, определяют границы, в которых должен находиться ответ.

Задача 1. У Миши было 5 марок, а у Коли на 1 марку меньше. Сколько марок было у Коли?

Предлагаем вопросы:

У Коли будет больше марок или меньше, чем у Миши?

Какое число будем находить: большее или меньшее?

Нужно довести до сознания младшего школьника, что если в ответе получилось меньшее число, то он правильно подобрал действие.

Задача 2. В букете было несколько роз.3 розы подарили. В букете осталось 8 роз. Сколько роз было в букете?

Рассуждения:

Что спрашивается в задаче? (Сколько роз было в букете?)

Что известно о розах? (Был букет из нескольких роз, а потом 3 розы подарили).

Что еще известно? (Известно, что после того, как три розу подарили, в букете осталось 8 роз).

Подумайте и скажите: до того, как 3 розы подарили, в букете было роз больше чем 8? (Конечно же, больше).

Докажите. (8 - это столько роз осталось, после того, как 3 розы подарили. А остаться роз могло только меньше).

Скажите, каким действием находится меньшее число? (Меньшее число находится действием вычитания).

Покажем шестой прием установление соответствия результата решения условию задачи.

Задача 1. У Коли было 10 книг, а у Миши на 2 книги больше, чем у Коли. Сколько книг было у Коли и Миши вместе?

Такие задачи часто школьники решают в одно действие. Проверку таких задач рекомендуется делать по условию. Устанавливается соответствие полученного ответа условию задачи:

Сколько книг у Коли? (У Коли 10 книг).

Сколько книг у Миши? (В задаче не дано это число, но сказано, что у Миши на 2 книги больше, чем у Коли. Значит у Миши: 10 + 2 = 12 - книг).

Сколько книг было у Коли и Миши вместе? (Чтобы ответить на вопрос, содержащий слово "вместе", нужно сложить количество книг у Коли с количеством книг у Миши).

Задача 2. В двух школах 1850 учащихся. В одной из них на 48 учащихся меньше. Сколько учащихся в каждой школе?

Решая эту задачу, ученики используют неверную идею:

1) 1850: 2 = 925 - столько учащихся в одной школе.

2) 925 + 48 = 973 - учащихся в другой школе.

Проводя проверку: 925 + 973 = 1898, а не 1850, следовательно, задача решена неверно.

Нужно заметить, что наиболее эффективным является седьмой способ проверки составление и решение обратной задачи. Здесь искомое становится данным, а какое-нибудь данное - искомым, таким образом, формулируется обратная задача. Однако этот способ имеет тот недостаток, что, решая обратную задачу, учащиеся снова могут ошибиться (обычно они не пересчитывают результат, а просто механически подставляют уже известные числа, как бы делая проверку) и на основании этой ошибки сделать неверный вывод.

8 этап. Работа над задачей после ее решения.