Методика вивчення раціональних нерівностей в шкільному курсі алгебри

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсова робота

Методика вивчення раціональних нерівностей в шкільному курсі алгебри

Зміст

Вступ

Розділ 1. Теоретичні основи дослідження

1.1. Загальні відомості про раціональні нерівності

1.2. Теореми про рівносильність нерівностей

Розділ 2. Методика вивчення курсу раціональних нерівностей в старших класах

2.1 Зміст і роль лінії рівнянь і нерівностей в сучасному шкільному курсі математики

2.2 Класифікація перетворень нерівностей та їх систем

2.3 Загальна послідовність вивчення матеріалу лінії нерівностей

Розділ 3. Практична частина

3.1. Особливості методики вивчення раціональних нерівностей

3.2. Розробка уроку

Висновки

Список використаних джерел

Вступ

методика урок раціональний нерівність інтервал

Основним завданням вивчення математики в освітньому закладі загальноосвітньої середньої школи є забезпечення міцного і свідомого оволодіння учнями системою математичних знань і умінь, формування рівня математичної культури, що є необхідним у продовженні освіти та майбутній трудовій діяльності.

Актуальність теми зумовлена тим, що вивчення курсу раціональних нерівностей викликає у багатьох учнів певні труднощі. Розв'язування більшості нерівностей вимагає знання різноманітних теоретичних відомостей, застосування різних теорем та формул. Отримати навички розв'язування раціональних нерівностей можна лише тоді, коли розв'язати їх достатньо велику кількість, ознайомившись з різними методами та прийомами їх розв'язання. Також це залежить від методики викладання курсу.

Все це обумовило обрання теми: «Методика вивчення раціональних нерівностей в шкільному курсі алгебри»

Мета роботи полягає в тому, щоб розглянути різні методики вивчення курсу раціональних нерівностей.

Однією з основних функцій розв'язування раціональних нерівностей є формування уявлень про ідею і використання раціональних методів і прийомів.

Майстерність розв'язувати раціональні нерівності ґрунтується на володінні високим рівнем знань теоретичної частини курсу та певним арсеналом методів і прийомів розв'язування раціональних нерівностей.

Тому доцільно розглянути та ознайомитись з різноманітними методиками вивчення курсу раціональних нерівностей. Це дозволить учням розв'язувати, здавалося б, складні нерівності просто, зрозуміло і красиво, а сформовані уміння і навички знадобляться учням також при розв'язуванні ірраціональних, логарифмічних, показникових та тригонометричних нерівностей.

Для досягнення мети було поставлено наступні завдання:

? проаналізувати методичну літературу з означеної теми;

? ознайомитись з теоретичними відомостями, розглянути основні теореми та методичні факти, що стосуються даної теми;

? розглянути різноманітні методики вивчення раціональних нерівностей;

? навести низку прикладів розв'язування раціональних нерівностей різними методами;

? зробити розробку уроку алгебри.

Об'єкт дослідження - раціональні нерівності.

Предмет дослідження - методика викладання курсу раціональних нерівностей в школі.

Курсова робота складається зі вступу, трьох основних розділів, висновків та списку використаних джерел.

При написанні курсової роботи було використано інформацію з 24 джерел.

Розділ 1. Теоретичні основи дослідження

1.1 Загальні відомості про раціональні нерівності

Дві функції, що поєднані між собою знаками >, <, ?, ? утворюють нерівність:

;

.

Розв'язком цих нерівностей називається значення , що задовольняє їх. Розв'язати нерівність - значить знайти множину всіх її розв'язків або встановити, що нерівність не має розв'язків.

Областю визначення D (областю допустимих значень) нерівності називають множину всіх значень невідомого, на якій існують функції . При визначенні D часто вводяться також додаткові умови, які пов'язані з характером нерівності [2, с.13].

Під множиною розв'язків системи нерівностей розуміють перетин множин розв'язків всіх нерівностей, що входять в цю систему.

Говорять, що нерівність еквівалентна системі нерівностей, якщо множина її розв'язків співпадає з множиною розв'язків цієї системи [1, с.136].

Рішення цілих раціональних нерівностей

Якщо у нерівності  функції  і  задані цілими раціональними виразами, то його називають цілою раціональною нерівністю.

Якщо нерівність привести до рівносильного і розкласти ліву частину на лінійні множники, то таку нерівність можна вирішити методом інтервалів.

Суть цього методу в наступному:

1) Перенести всі складові в ліву частину і розв'язати рівняння, прирівнявши вираз в лівій частині до нуля;

2) Знайдені корені рівняння нанести на числову вісь. Ці корені розбивають числову вісь на проміжки, на кожному з яких вираз, що стоїть в лівій частині, зберігає знак;

3) Вибрати в кожному з проміжків якесь значення («пробну» точку) і визначити знак вираження в цій точці;

4) Вибрати проміжки, в яких вираз має необхідний знак і записати відповідь, взявши їх об'єднання [20, с.322].

Приклад. Вирішити нерівність:

Рішення. Рівняння має чотири кореня ; ; і . Ці числа розбивають числову вісь на п'ять проміжків:

Вибравши в кожному проміжку контрольну точку, визначимо знак функції, що стоїть ліворуч нашої нерівності. Нерівність виконується в проміжках:

Зауваження. Якщо всі множники в лівій частині мають першу ступінь, то остаточно знайти знак в кожному проміжку, а потім врахувати, що вона міняє знак при переході від одного проміжку до сусіднього, і намалювати «криву знаків». Якщо ця крива розташована вище осі абсцис, ліва частина нерівності позитивна, а там, де ця крива розташована нижче осі абсцис, ліва частина нерівності негативна.

Зауваження. Однак метод інтервалів дав би невірний результат, якби серед коренів многочленів були кратні корені, а це означає, що в лівій частині нерівності не тільки лінійні множники [24, с.195].

1.2 Теореми про рівносильність нерівностей

Дві нерівності з одною змінною називаються рівносильними, якщо їх розв'язки співпадають (в тому числі, якщо обидві нерівності не мають розв'язків). Якщо кожен частковий розв'язок нерівності являється в той же час частковим розв'язком нерівності , отримані після перетворення нерівності , то нерівність називається наслідком нерівності . В наступних теоремах річ йде про перетвореннях, які ведуть до рівносильних нерівностей [3, с.31]

Теорема 1. Якщо з однієї частини нерівності перенести до іншої доданок із протилежним знаком, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій.

Теорема 2. Якщо до обох частин нерівності додати (або відняти) будь-яку функцію то дістанемо нерівність, рівносильну початковій за умовою, що області визначення отриманої і початкової нерівностей збігаються.

Теорема 3. Якщо обидві частини нерівності помножити (або поділити) на будь-яку функцію , яка зберігає сталий знак і відмінну від нуля, то при дістаємо нерівність, рівносильну початковій, а при рівносильною початковій буде нерівність протилежного змісту (передбачається, що області визначення отриманої і початкової нерівностей збігаються) [10, С.215-217].

Таким чином, можемо записати:

, якщо ;

, якщо ;

, якщо ;

, якщо ;

Зауваження. На практиці при застосуванні 2 і 3 теорем найчастіше замість функції береться її окремий випадок - відмінна від нуля константа [22, с.143].

Розділ 2. Методика вивчення курсу раціональних нерівностей в старших класах

2.1 Зміст і роль лінії рівнянь і нерівностей в сучасному шкільному курсі математики

З огляду на важливість і просторовість матеріалу, пов'язаного з поняттям рівняння, його вивчення в сучасній методиці математики організовано в змістовно-методичну лінію рівнянь і нерівностей. Тут розглядаються питання формування понять рівняння і нерівності, загальних і приватних методів їх вирішення, взаємозв'язку вивчення рівнянь і нерівностей з числовою, функціональної та іншими лініями шкільного курсу математики.

Виділених областей виникнення і функціонування поняття рівняння в алгебрі відповідають три основних напрямки розгортання лінії рівнянь і нерівностей в шкільному курсі математики [6, с.70].

а) Прикладна спрямованість лінії рівнянь і нерівностей розкривається головним чином при вивченні алгебраїчного методу розв'язання текстових задач. Цей метод широко застосовується в шкільній математиці, оскільки він пов'язаний з навчанням прийомам, використовуваним в додатках математики [15, с.64].

В даний час провідне становище в додатках математики займає математичне моделювання. Використовуючи це поняття, можна сказати, що прикладне значення рівнянь, нерівностей та їх систем визначається тим, що вони є основною частиною математичних засобів, використовуваних в математичному моделюванні.

б) Теоретико-математична спрямованість лінії рівнянь і нерівностей розкривається у двох аспектах: по-перше, у вивченні найбільш важливих класів рівнянь, нерівностей та їх систем і, по-друге, у вивченні узагальнених понять і методів, що відносяться до лінії в цілому. Обидва ці аспекти необхідні в курсі шкільної математики. Основні класи рівнянь і нерівностей пов'язані з найпростішими і водночас найбільш важливими математичними моделями. Використання узагальнених понять і методів дозволяє логічно впорядкувати вивчення лінії в цілому, оскільки вони описують те спільне, що є у процедурах та прийоми розв'язання, що відносяться до окремих класів рівнянь, нерівностей, систем. У свою чергу, ці загальні поняття і методи спираються на основні логічні поняття: невідоме, рівність, рівносильність, логічне слідування, які також повинні бути розкриті в лінії рівнянь і нерівностей [15, с.65].

в) Для лінії рівнянь і нерівностей характерна спрямованість на встановлення зв'язків з іншим змістом курсу математики. Ця лінія тісно пов'язана з числовою лінією. Основна ідея, реалізована у процесі встановлення взаємозв'язку цих ліній, - це ідея послідовного розширення числової системи. Всі числові області, що розглядаються в шкільній алгебри та початків аналізу, за винятком області всіх дійсних чисел, виникають у зв'язку з рішенням будь-яких рівнянь, нерівностей, систем. Наприклад, числові проміжки виділяються нерівностями або системами нерівностей. Області ірраціональних і логарифмічних виразів пов'язані відповідно з рівняннями (K-натуральне число, більше 1) і [15, с.67]

Зв'язок лінії рівнянь і нерівностей з числовою лінією двостороння. Наведені приклади показують вплив рівнянь і нерівностей на розгортання числової системи. Зворотне вплив проявляється в тому, що кожна знову введена числова область розширює можливості складання і рішення різних рівнянь і нерівностей [13, с.51].

Лінія рівнянь і нерівностей тісно пов'язана також і з функціональною лінією. Одна з найважливіших таких зв'язків додатка методів, що розробляються в лінії рівнянь і нерівностей, до дослідження функції (наприклад, до завдань на знаходження області визначення деяких функцій, їх коріння, проміжків знакопостоянства і т.д.). З іншого боку, функціональна лінія робить істотний вплив як на утримання лінії рівнянь і нерівностей, так і на стиль її вивчення. Зокрема, функціональні подання служать основою залучення графічної наочності до рішення і дослідженню рівнянь, нерівностей та їх систем [7, с.103].

2.2 Класифікація перетворень нерівностей та їх систем

Можна виділити три типи таких перетворень:

1) Перетворення однієї з частин нерівності.

2) Узгоджена перетворення обох частин нерівності.

3) Перетворення логічної структури [1, с.219].

Перетворення першого типу використовуються при необхідності спрощення висловлювання, що входить до запису решаемого нерівності. Перетворення однієї з частин нерівності використовують раніше за всіх інших перетворень, це відбувається ще в початковому курсі математики. Міцність володіння навичкою перетворень цього типу має велике значення для успішності вивчення інших видів перетворень, оскільки вони застосовуються дуже часто.

Перетворення другого типу полягають у погодженому зміні обох частин нерівності в результаті застосування до них арифметичних дій або елементарних функцій. Перетворення другого типу порівняно численні. Вони складають ядро матеріалу, що вивчається в лінії нерівностей.

Наведемо приклади перетворень цього типу [12, С.135-138].

1) Додаток до обох частин нерівності одного і того ж вирази.

2а) Множення (поділ) обох частин нерівності на вираз, що приймає тільки позитивні значення.

2б) Множення (поділ) обох частин нерівності на вираз, що приймає тільки негативні значення і зміна знака нерівності на протилежний.

3а) Перехід від нерівності a> b до нерівності f (a)> f (b), де f-зростаюча функція, або зворотний перехід.

3б) Перехід від нерівності а <b до нерівності f (a) <f (b), де f - спадна функція, або зворотний перехід.

Серед перетворень другого типу перетворення нерівностей утворюють складну у вивченні, велику систему. Цим значною мірою пояснюється те, що навички розв'язування нерівностей формуються повільніше навичок розв'язування рівнянь і не досягають у більшості учнів такого ж рівня.

До третього типу перетворень відносяться перетворення нерівностей та їх систем, що змінюють логічну структуру завдань. Пояснимо використаний термін «логічна структура». У кожному завданні можна виділити елементарні предикати - окремі рівняння або нерівності. Під логічною структурою завдання ми розуміємо спосіб зв'язку цих елементарних предикатів за допомогою логічних зв'язків кон'юнкції або диз'юнкції [4, с.77].

Вивчення та використання перетворень нерівностей та їх систем, з одного боку, припускають досить високу логічну культуру учнів, а з іншого боку, в процесі вивчення і застосування таких перетворень є широкі можливості для формування логічної культури. Велике значення має з'ясування питань, що відносяться до характеризації вироблених перетворень: чи є вони рівносильними чи логічним слідуванням, чи потрібне розгляд декількох випадків, чи потрібна перевірка? Складнощі, які доводиться долати тут, пов'язані з тим, що далеко не завжди можливо привести характеристику одного і того ж перетворення однозначно: у деяких випадках воно може виявитися, наприклад, рівносильним, в інших рівносильність буде порушена.

У результаті вивчення матеріалу лінії рівнянь і нерівностей учні повинні не тільки оволодіти застосуванням алгоритмічних приписів до розв'язання конкретних завдань, а й навчитися використовувати логічні засоби для обґрунтування розв'язків у випадках, коли це необхідно [5, с.17].

2.3 Загальна послідовність вивчення матеріалу лінії нерівностей

Необхідно враховувати два протилежно направлених процесу, які супроводжують навчання. Перший процес - поступове зростання кількості класів нерівностей і прийомів їх розв'язання, різних перетворень застосовуваних при цьому. За рахунок збільшення обсягу матеріал як би ділиться, вивчення його нових фрагментів не є наявністю вже вивчених, Другий процес встановлення різноманітних зв'язків між різними класами рівнянь, виявлення все більш загальних класів, закріплення усе більш узагальнених типів перетворень, спрощення опису та обґрунтування розв'язків.

У результаті взаємодії цих процесів вивчений матеріал повинен представлятися учням в порівняно компактному вигляді, не ускладнювати, а, навпаки, полегшувати засвоєння нового. Необхідність встановлення такої взаємодії обумовлює застосуванні в лінії рівнянь і нерівностей методичні прийоми, зокрема розподіл матеріалу навчання по щаблях.

Можна виділити чотири основні ступені: незалежне вивчення основних типів нерівностей та їх систем; поступове розширення кількості вивчених класів нерівностей та їх систем; формування прийомів розв'язання та аналізу нерівностей та їх систем, що мають широку область застосування; синтез матеріалу лінії рівнянь і нерівностей. Дамо характеристику цих щаблів [21, с.93].

Вивчення основних типів нерівностей та їх систем.

Серед усіх досліджуваних у курсі математики типів нерівностей і систем виділяється порівняно обмежена кількість основних типів, до їх числа можна віднести: лінійні нерівності з одним невідомим, квадратні нерівності, найпростіші ірраціональні і трансцендентні нерівності.

Ці класи вивчаються з великою ретельністю, для них вказується і доводиться до автоматизму виконання алгоритмів розв'язання, вказується форма, в якій повинна бути записана відповідь [17, с.66].

Введення кожного нового основного класу нерівностей супроводжується введенням нової області числових виразів, що входять в стандартну форму запису відповіді. Разом з тим, коли матеріал засвоєний, доцільно де коли пропонувати і такі завдання, в яких можуть виникати нестандартні для даного класу нерівностей відповіді.

Кожен з основних класів нерівностей та їх систем вимагає проведення дослідження залежності результату від коефіцієнтів, оскільки багато розв'язків у завданні, що входять в один і той же клас, можуть істотно відрізнятися. Для нерівностей та їх систем в якості міри відмінності зазвичай беруться найпростіші особливості геометричних фігур, що зображують їх різноманітність розв'язків з координатної прямої або площини. Інколи потрібно з'ясувати додатні чи від'ємні корені (якщо невідоме одне), належність розв'язків рівнянь з двома невідомими одній з координатних чвертей [9, с.200].

Формування загальних прийомів розв'язання і дослідження нерівностей

У ході вивчення нерівностей стає все більш помітною роль загальних, універсальних засобів розв'язання і дослідження. Такі узагальнені засоби, прийоми можна розділити на три групи.

Перша група складається з логічних методів обґрунтування розв'язання. Використовуючи ці методи (наприклад, рівносильні перетворення або логічне слідування), переходять від вихідних нерівностей до нових. Такі переходи робляться до тих пір, поки не виходять завдання, пов'язані з відомим класам.

Друга група складається з обчислювальних прийомів, за допомогою яких виробляються спрощення однієї з частин даної нерівності, перевірка знайдених коренів за допомогою підстановки замість невідомого, різні проміжні підрахунки в т.д. Можливості проведення чисельних розрахунків різко зростають при використанні обчислювальної техніки.

У третю групу входять наочно-графічні прийоми. Більшість цих прийомів використовують як основу координатну пряму або координатну площину [16, с.261].

Використання координатної прямої дозволяє розв'язувати деякі нерівності і системи нерівностей з одним невідомим, а також нерівності з модулями. Наприклад, прийом розв'язання систем лінійних нерівностей з одним невідомим полягає в тому, що на координатну пряму наносяться багато розв'язків кожної нерівності, а потім виділяється їх загальна частина. Розв'язання рівнянь і нерівностей з модулями зв'язується з геометричною інтерпретацією модуля різниці чисел.

Використання координатної площини дозволяє застосувати графічні методи до розв'язання і дослідження нерівностей та їх систем як з одним, так і з двома невідомими. Графічні прийоми ефективно застосовуються для зображення результатів дослідження там, де чисто аналітичний запис громіздкий. Характерним прикладом служить схема, на якій наведені різні випадки розв'язання нерівності axІ + bx + c> 0, вміщена на рис. 2.1. У результаті певного тренування учні звикають користуватися такою схемою, а потім її уявним чином [14, с.170].

Рис. 2.1. Графічні прийоми [14]

Розділ 3. Практична частина

3.1 Особливості методики вивчення раціональних нерівностей

Ці класи можна розбити на дві групи. Перша група раціональні нерівності і системи. Найбільш важливими класами відповідні класи нерівностей. Друга група - ірраціональні і трансцендентні нерівності і системи. До складу цієї групи входять ірраціональні, показникові, логарифмічні і тригонометричні нерівності.

Перша група отримує достатню розгортання, аж до формування міцних навичок вирішення, вже в курсі алгебри неповної середньої школи. Друга ж група в цьому курсі тільки починає вивчатися, причому розглядаються далеко не всі класи, а остаточне вивчення відбувається в курсі алгебри і початків аналізу. При вивченні другої групи доводиться спиратися на загальні поняття і методи, пов'язані з лінії нерівностей. Зазначене відмінність, однак, не є єдиною, яка протиставляє ці дві групи. Більш суттєвим є врахування особливостей, пов'язаних з розгортанням матеріалу з кожної з цих груп. У порівнянні з першою групою нерівності, що входять до складу другої, в процесі їх вивчення виявляють значно складніші зв'язки з іншими лініями курсу математики - числовий, функціональної, тотожних перетворень і ін.

Послідовність вивчення різних класів нерівностей і систем різна в різних підручниках. Однак кількість можливих варіантів для послідовності їх введення не занадто велика - класи знаходяться в певній логічній залежності один від одного, яка наказує порядок їх появи в курсі [11, с.370].

Наявність такого розмаїття підходів ускладнює методичний опис, оскільки прийняття того чи іншого шляху вимагає різних прийомів вивчення матеріалу.

Відзначимо ряд особливостей у вивченні нерівностей [8, с.162]:

1) Як правило, навички вирішення нерівностей, за винятком квадратних, формуються на більш низькому рівні, ніж рівнянь відповідних класів. Ця особливість має об'єктивну природу: теорія нерівностей складніше теорії рівнянь. Зазначена обставина почасти пом'якшується іншими особливостями вивчення нерівностей, тому в цілому можна вважати, що змістовна сторона нерівностей, можливості їх додатків від цього не страждають.

2) Більшість прийомів рішення нерівностей полягає в переході від даного нерівності a> b до рівняння а = b і наступний перехід від знайдених коренів рівняння до безлічі рішень вихідного нерівності. Мабуть, такого переходу не проводиться лише при розгляді лінійних нерівностей, де в ньому немає необхідності з-за простоти процесу вирішення таких нерівностей. Цю особливість необхідно постійно підкреслювати, з тим? щоб перехід до рівнянь і зворотний перехід перетворилися на основний метод рішення нерівностей; в старших класах він формалізується у вигляді "методу інтервалів".

3) У вивченні нерівностей велику роль відіграють наочно-графічні засоби.

Зазначені особливості можуть бути використані для обґрунтування розташування матеріалу, що відноситься до нерівностей, кількості завдань, необхідних для засвоєння програмного мінімуму [19, с.350].

Наведемо приклади. Перша особливість може бути витлумачена так: при виконанні одного і того ж числа вправ техніка рішення нерівностей будь-якого клас буде нижче, ніж рівнянь відповідного класу; отже, якщо є необхідність формування міцних навичок вирішення нерівностей, то для цього потрібна більша кількість завдань. Друга особливість пояснює те, що теми, пов'язані з нерівностей, розташовані після тим, що відносяться до відповідних класів рівнянь. Відповідно до третьої особливістю вивчення нерівностей залежить від якості вивчення функціональної лінії шкільного курсу (побудова графіків і графічне дослідження функцій).

Перераховані особливості показують, що вивчення попереднього матеріалу сильно впливає на вивчення нерівностей. Тому роль етапу синтезу у вивченні нерівностей особливо зростає.

Проілюструємо вказані особливості на матеріалі квадратних нерівностей. Вивчення цього розділу курсу слід за вивченням квадратного рівняння і квадратного тричлена. До моменту його вивчення учні вміють будувати графіки квадратичної функції, причому на них відзначаються нулі функції, якщо вони існують. Тому перехід до розгляду квадратних нерівностей можна здійснити як перехід від нерівності ахІ + bх + с> 0 до побудови та вивчення графіка функції у = ахІ + bх + с. Оскільки можливі різні випадки розташування графіка щодо осі абсцис, краще почати з розгляду конкретного завдання, для якого цей квадратний тричлен має різні коріння. На цьому прикладі встановлюється відповідність між двома завданнями: "Вирішити нерівність ахІ + bх + с> 0"; "Знайти значення аргументу, для яких значення функції у = ахІ + bх + з позитивними". За допомогою цієї зв'язку проводиться перехід до побудови графіка функції. Нулі цієї функції розбивають вісь абсцис на три проміжку, в кожному з яких вона зберігає знак, тому відповідь зчитується прямо з креслення. Інші випадки вирішення квадратних нерівностей (у квадратного тричлена ахІ + bх + з не більше одного кореня) вимагають додаткового розгляду, але спираються на те ж відповідність [23, с.210].

У процесі подальшого вивчення встановлюється, що немає потреби в точно накресленому графіку квадратного тричлена, досить намітити тільки положення коренів, якщо вони є, і врахувати на ескізі потрібні особливості графіка (напрям гілок параболи).

У шкільному курсі математики обмежуються вивченням лише нерівностей основних класів; завдання, які вимагають відомості до основних класів, зустрічаються порівняно рідко. Наприклад, не вивчаються біквадратні нерівності.

З числа типів завдань, у яких проявляється прикладна роль нерівностей в курсі алгебри, відзначимо знаходження області визначення функції і дослідження коренів рівнянь в залежності від параметрів [18, с.129].

3.2 Розробка уроку

Тема: Розв'язування раціональних нерівностей методом інтервалів.

Мета: Формувати вміння розв'язувати раціональні нерівності методом інтервалів.

Тип уроку: Засвоєння та застосування нових знань, умінь та навичок.

Обладнання та наочність: мультимедійна інтерактивна дошка.

Хід уроку.

І. Перевірка домашнього завдання.

ІІ. Актуалізація опорних знань.

Коли добуток двох множників додатний, а коли від'ємний?

Коли частка двох множників додатна, а коли від'ємна?

Розкласти на множники квадратний тричлен х2-5х+6, використовуючи формулу розкладу ах2+bx+c=a(x-x1)(x-x2), де x1, x2 - корені відповідного квадратного рівняння.

Розв'язуємо разом.

Розв'язати нерівності: а) (х-4)(х+3)?0; б) .

а) (х-4)(х+3)?0. Так як добуток двох множників може бути додатним тоді і тільки тоді, коли множники одночасно або додатні або від'ємні. Враховуючи нестрогий знак нерівності, отримуємо:

або

Розв'язком буде сукупність .

б) . Аналогічно міркуючи, отримуємо принцип розв'язку з урахуванням того факту, що знаменник нулю не дорівнює:

або

Так як друга система розв'язку немає, то відповіддю буде проміжок:

Зауваження: зрозуміло, що розв'язувати таким шляхом нерівності, в яких лінійних множників більше двох нераціонально і це забере надто багато часу. Тоді застосовують так званий метод інтервалів чи «змійки».

ІІІ. Засвоєння нового матеріалу.

В залежності від типу нерівності можна використати такі принципи розв'язку:

Розв'язуємо разом.

Якщо нерівність містить лінійні множники з додатними коефіцієнтами при невідомих, то наносимо на числову пряму нулі кожного множника з урахуванням знаку строгості чи не строгості і починаючи справа розставляємо знаки «+», «» і так далі. (Знак «+» відповідає знаку «? 0», а знак «» відповідає знаку» ? 0»)

(х-1)(х+4)<0; х-1=0; х=1. х+4=0; х=-4 - надалі виконуємо усно).

Відповідь: (-4; 1).

Якщо нерівність містить множники з від'ємними коефіцієнтами при невідомих, то винісши за дужки знак «» і поділивши на 1 ліву та праву частину нерівності, приходимо до попереднього типу.

(х+3)(5-х)?0; (х+3)(х-5)?0;

Відповідь: .

Якщо маємо строгу дробову нерівність з лінійними множниками, то розв'язуємо як у першому випадку при множенні.

Відповідь: (-1; 0).

Якщо дробова нерівність нестрога, то нулі чисельника включаємо, а нулі знаменника виключаємо.

Відповідь: .

Якщо деякі лінійні множники в строгій нерівності стоять в парній степені, то розбиваючи на проміжки, їх пропускаємо, а далі діємо так само.

х2(х+1)(х-1)<0;

Відповідь: .

Якщо ж нерівність нестрога, то поступаємо аналогічно, але до відповіді додаємо всі нулі множників парних степенів, якщо вони туди не ввійшли.

;

Відповідь: , х=1.

Розв'яжіть вправи:

Розв'яжіть нерівності: а) ; б) ; в)

Розв'яжіть нерівності: а) ; б) х(х+7)(х+3)4?0.

Розв'яжіть нерівності: а) ; б) (х2+7х)(х2-25)?0.

Зауваження: Можна сформулювати загальне правило: На ОДЗ виразів, що входять в нерівність, знаходимо нулі множників, що входять у чисельник та знаменник та наносимо їх на числову пряму з урахуванням знаку нерівності, звертаючи увагу на той факт, що деякі нулі можуть зустрічатися декілька разів (дивись метод інтервалів при парних степенях множників) та нерівність може містити модуль як окремий множник (знак модуля і квадрата однаковий).

Робота з картками.

І варіант	ІІ варіант	ІІІ варіант
Розв'язати нерівність х(2 - х) ? 0	Розв'язати нерівність (х - 1)(3 - х) ? 0	Розв'язати нерівність (х + 1)(1 - х) ? 0
Розв'язати нерівність	Розв'язати нерівність	Розв'язати нерівність
Розв'язати нерівність	Розв'язати нерівність	Розв'язати нерівність

*Розв'яжіть нерівності: а) ; б) ; в) .

За наявного часу.

ІV. Завдання додому.

Розв'язати вправи.

Розв'язати нерівність .

Розв'язати нерівність .

Розв'язати нерівність .

Розв'язати нерівність .

Розв'язати нерівність .

Розв'язати нерівність .

*Розв'язати нерівність .

Розв'яжіть вправи на повторення:

1. Розв'язати рівняння:

2. Розв'язати рівняння:

3. Розв'язати рівняння

Висновки

У цій роботі ми розглянули методику викладання теми "Раціональні нерівності" у середній школи.

Зміст лінії нерівностей розгортається протягом усього шкільного курсу математики. Враховуючи важливість і широту матеріалу цієї лінії, ще раз відзначимо доцільність на заключних етапах навчання пропонувати досить різноманітні і складні завдання, розраховані на активізацію найбільш істотних компонентів цієї лінії, основних понять і основних прийомів рішення, дослідження і обґрунтування завдань.

Сучасна педагогічна наука стверджує, що для продуктивного засвоєння учнями знань і для їхнього інтелектуального розвитку важливо встановлювати зв'язки, як між різними розділами курсу, так і між різними дисциплінами в цілому. Для чого потрібно вміти розв'язувати раціональні нерівності? Так, щоб за їх допомогою розв'язувати задачі. Уміння розв'язувати раціональні нерівності дозволить учням розв'язувати, здавалося б, складні нерівності просто, також учні зможуть використовувати уміння та навички при розв'язуванні ірраціональних, логарифмічних, показникових та тригонометричних нерівності.

Ми розглянули та ознайомитись з різноманітними методами та прийоми розв'язування раціональних нерівностей, а також з методикою викладання цього курсу. Нами було виконано ряд завдань:

Ми проаналізували методичну літературу з означеної теми;

Ми ознайомились з теоретичними відомостями, розглянули основні теореми та методичні факти, що стосуються даної теми;

Ми розглянули різноманітні методики вивчення раціональних нерівностей;

Ми навели низку прикладів розв'язування раціональних нерівностей різними методами.

Ми зробити розробку уроку алгебри.

Успішність вивчення курсу раціональні нерівності значною мірою залежить від організації навчального процесу. Учителю має бути надана можливість вільного вибору методичних шляхів й організаційних форм навчання. Учитель може в рамках програми самостійно будувати курс навчання: варіювати кількість годин на вивчення теми, міняти послідовність уроків теми.

Для реалізації програми учитель може обирати підручники як з числа тих, що використовуються в загальноосвітній школі, так і призначені для поглибленого вивчення математики.

Список використаних джерел

Бантова М. А. Методика викладання математики / М. А. Бантова, Т. В. Бельтюкова. - К.: Генеза, 2008. - 335 с.

Бантова М. А. Методичний посібник до підручника математики / М. А. Бантова, Т. В. Бельтюкова, С. В. Степанова. - К.: Генеза, 2009. - 264 с.

Виленкин Н.Я. Алгебра 8 класс. - М.: Просвещение, 1995. - 240 с.

Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ. 10 класс. - М.: Просвещение, 1997. - 260 с.

Виленкин Н.Я. Алгебра. 9 класс. - М.: Просвещение, 1996. - 288 с.

Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г.: Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов.- 2-е изд., перераб. и доп. / В.Н.Литвиненко, А.Г. Мордкович, - М.: Просвещение, 1991. - 352 с.

Лобанова А.И. Математика. Алгебра и начала анализа. - К.: Вища школа, 1987. - 512 с.

Маслова Т.Н., Суходений А.М. Ваш домашний репетитор. - М.: ООО Изд. дом “ОНИКС 21 век”, 2003. - 672 с.

Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н.М. Кремера. - 2-ге изд., перероб. и доп. - М.: ЮНИТИ, 1998. - 430 с.

Мерзляк А.Г. Алгебраический тренажёр. ? Харьков: Гимназия, 1998. - 404 с.

Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. - М.: Высшая школа, 1987. - 612 с.

Назаренко, Л.Д. Тысяча и один пример. Равенства и неравенства. - Сумы: Слобожанщина, 1994. - 488 с.

Никольский С.М. Алгебра. Пособие для самообразования. - М.: Наука, 1985. - 392 с.

Письменный Д.Т. Готовимся к экзамену по математике. - М.: Айрис, 1996. - 390 с.

Райхмист Р.Б. Задачи по математике для поступающих во ВТУЗы. - М.: Высшая школа, 1994. - 454 с.

Симонов А.Я. Система тренировочных задач и упражнений по математике. - М.: Просвещение, 1991. - 520 с.

Титаренко О.М. Форсований курс шкільної математики: Навчальний посібник / О.М. Титаренко. - Харків: ТОРСІНГ ПЛЮС, 2005. - 368 с.

Ципкін О.Г. Довідник з математики для середніх навчальних закладів / А.Г.Ципкін. - К.: Вища шк., 1988. - 416 с.

Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы. - 2-е изд., перераб. и доп. / А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский - М.: Наука, 1989. - 576 с.

Цыпкин А. Г. Справочник по методам решения задач по математике. - М.: Наука, 1989. - 602 с.

Черкасов О. Ю. Математика. Интенсивный курс подготовки к экзамену / О. Ю. Черкасов, А. Г. Якушев. - М.: Айрис, 1997. - 204 с.

Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач [учеб. пособие для 11 кл. сред. шк.] / И.Ф. Шарыгин, В. И. Голубев. - М.: Просвещение, 1991. - 384 с.

Шарыгин И. Ф. Решение задач / И.Ф. Шарыгин. - М.: Просвещение, 1994. - 300 с.

Шахмейстер А. Х. Уравнения и неравенства / А. Х. Шахмейстер. - М.: Издательство МЦНМО, 2008. - 264 с.

Размещено на Allbest.ru