Методика навчання диференціальних рівнянь майбутніх вчителів математики в педагогічних університетах

здатні: розв'язувати рівняння в повних диференціалах.

Обладнання: підручники, дидактичний матеріал (таблиці), картки із самостійною роботою, мультимедійний проектор, комп'ютер.

Час: 2 год.

План заняття

I. Організаційний момент.

II. Вироблення вмінь та навичок.

III. Контроль.

Список літератури

1. Pudy A.E., Rakov S.A. Mathematical Analysis. Differential Equations.

2. Давидов М.О. Курс математичного аналізу: Підручник: У 3 ч. Ч. 2. Функції багатьох змінних і диференціальні рівняння. - 2-ге вид., перероб. і допов. - К.: Вища школа, 1991 - 336 с.

3. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

4. Самойленко Ф.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения, примеры и задачи.

5. Филиппов А.Ф. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Хід заняття

I. Привітання із студентами, повідомлення мети й завдань заняття, перевірка присутніх, оголошення й аналіз результатів самостійної роботи.

II. Мета етапу: вироблення вмінь та удосконалення навичок розв'язувати рівняння в повних диференціалах та рівняння, що зводяться до них.

Розв'язування вправ.

Задача 1. Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння першого порядку:

а) Перевіримо чи є це рівняння рівнянням в повних диференціалах вигляду P(x; y)dx + Q(x; y)dy = 0.

Якщо , а , то

, тобто

Таким чином, рівняння є рівнянням в повних диференціалах, де ліва частина представляє собою повний диференціал деякої функції F(х;у): dF(х; у) = dx + dy. Тобто , то

.

Із першого рівняння знайдемо: .

Диференціюємо по y та підставляємо в друге рівняння:

Тоді остаточно отримаємо:

Задача 2. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння.

Задача 3. Розв'язати методом інтегрувального множника.

, коли функція залежить від , то навпаки.

Умова не виконується. Робимо припущення, що існує множник .

Множимо на ліву та праву частини:

III. Мета етапу: перевірка вмінь та навичок студентів розв'язувати диференціальні однорідні та лінійні рівняння, рівняння з відокремлюючими змінними.

Самостійна робота (за варіантами). Перевіряється викладачем, результати оголошуються на здачі модуля (практичної частини).

Перший варіант 1.Розв'язати диференціальні рівняння: А) ; Б) , 2. Знайти загальний інтеграл рівняння:	Другий варіант 1.Розв'язати диференціальні рівняння: А) ; Б) , 2. Знайти загальний інтеграл рівняння:

Домашнє завдання: за підручником [1] розв'язати на ст. 43 (P.L.1.5.) №1 (16-26)

Семантичний конспект до змістовного модуля I

Диференціальні рівняння, основні визначення

ь рівняння, в яких невідома функція входить під знаком похідної або диференціала, називаються диференціальними рівняннями;

ь якщо в диференціальному рівнянні невідома функція є функцією однієї незалежної змінної, то таке диференціальне рівняння називається звичайним: ;

ь якщо невідома функція, яка входить у диференціальне рівняння, є функцією двох і більшого числа незалежних змінних, то таке диференціальне рівняння називається рівнянням у частинних похідних;

ь порядком диференціального рівняння називається максимальний порядок похідної (або диференціала), що входить у нього;

ь розв'язком диференціального рівняння називається разів диференційована функція в інтервалі , яка, будучи підставленою в це рівняння, перетворює його в інтервалі в тотожність ;

ь розв'язати диференціальне рівняння - означає знайти всі його розв'язки;

ь операція знаходження розв'язків диференціального рівняння називається інтегруванням цього рівняння;

ь задача інтегрування диференціального рівняння вважається розв'язаною, якщо цю задачу звести до більш простої і вже вивченої в курсі інтегрального числення задачі обчислення невизначених інтегралів.

Диференціальні рівняння першого порядку

ь диференціальне рівняння першого порядку має вигляд;

ь якщо в рівнянні функція і її частинна похідна по у неперервні в деякій області D на площині 0ху, яка містить деяку точку , то існує єдиний розв'язок цього рівняння , який задовольняє умові при ;

ь умова, що при функція у повинна дорівнюватися заданому числу , називається початковою умовою, або умовою Коші: або ;

ь задача, у якій потрібно знайти частинний розв'язок рівняння , який задовольняє початковій умові , називається задачею Коші;

ь загальним розв'язком диференціального рівняння першого порядку називається функція ;

ь рівність вигляду , яка неявно задає загальний розв'язок, називається загальним інтегралом диференціального рівняння;

ь частинним розв'язком називається будь-яка функція , яка утворюється з загального розв'язку , якщо в останньому довільної сталої С придати визначене значення ;

ь співвідношення називається в цьому випадку частинним інтегралом рівняння;

ь вирішити або проінтегрувати диференціальне рівняння - значить:

а) знайти його загальний розв'язок або загальний інтеграл (якщо початкові умови не задані) або

б) знайти той частинний розв'язок рівняння, який задовольняє заданим початковим умовам (якщо такі є);

ь особливим розв'язком називається такий розв'язок, у всіх точках якого умова одиничності не виконується, тобто в будь-якому околі кожної точки особливого розв'язку існують принаймні дві інтегральні криві, які проходять через цю точку.

Диференціальні рівняння із відокремлюючими змінними

ь диференціальне рівняння типу називають рівнянням із відокремлюючими змінними, в цьому рівнянні змінні відокремлені, тобто при знаходиться тільки функція від х, а при - тільки функція від у;

ь диференціальні рівняння, у яких змінні можна розділити за допомогою множення або ділення обох частин рівняння на той самий вираз, називаються диференціальними рівняннями із змінними, які відокремлюються: .

Однорідні рівняння першого порядку

ь функція називається однорідною функцією n-го порядку щодо змінних х і у, якщо при будь-якому t справедлива тотожність ;

ь рівняння виду називається однорідним, якщо функції при і є однорідними однакового порядку.

Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

ь лінійним рівнянням першого порядку називається рівняння, що має вигляд , де і - задані неперервні функції від х (або сталі);

ь якщо , то рівняння називається лінійним однорідним;

ь якщо , то рівняння називається лінійним неоднорідним;

ь рівнянням Бернуллі називається рівняня виду або ;

ь суть методу Лагранжа полягає в тому, що спочатку знаходимо загальний розв'язок відповідного лінійного однорідного рівняння . Потім, вважаючи в цьому розв'язку сталу С функцією від х, шукаємо розв'язок лінійного неоднорідного рівняння у вигляді .

Диференціальні рівняння в повних диференціалах

ь рівняння називається рівнянням в повних диференціалах, якщо його ліва частина - повний диференціал деякої функції , тобто ;

ь необхідною і достатньою умовою повного диференціала є рівність частинних похідних ;

ь загальний інтеграл рівняння в повних диференціалах має вигляд ;

ь щоб функція , неперервна в однов'язній області разом зі своїми частинними похідними і , була інтегруючим множником диференціального рівняння, необхідно і достатньо, щоб для всіх точок виконувалась рівність .

2.2 Контроль та корекція

Індивідуальні творчі завдання до змістовного модуля I

1. Скласти бібліографію з питань вивчення диференціальних рівнянь першого порядку. До кожного джерела скласти анотацію.

2. Розробити особистісну траєкторію вивчення матеріалу з теми (за варіантами).

Номер варіанта	Тема	Номер варіанта	Тема
1.	Теорема Коші - Пеано	6.	Єдиність розв'язку задачі Коші.
2.	Початкова умова. Задача Коші.	7.	Теорема Пеано.
3.	Поле напрямів. Узагальнені інтегральні криві.	8.	Звичайні і особливі точки диференціального рівняння.
4.	Ізокліни. Ламані Ейлера.	9.	Теорема Коші.
5.	Відшукання особливих інтегральних кривих диференціального рівняння за його загальним інтегралом.	10.	Неперервна залежність розв'язку диференціального рівняння від початкових умов і параметра.

3. Скласти семантичний конспект з диференціальних рівнянь на відповідну тему (за варіантами).

Номер варіанта	Тема	Номер варіанта	Тема
1.	Диференціальне рівняння першого порядку, його загальний розв'язок.	6.	Рівняння Ріккаті.
2.	Рівняння з відокремлюючими змінними.	7.	Диференціальні рівняння, що зводяться до однорідних.
3.	Однорідні диференціальні рівняння.	8.	Задачі, що приводять до диференціальних рівнянь.
4.	Поняття лінійного рівняння, існування і єдиність розв'язку задачі Коші.	9.	Рівняння Бернуллі.
5.	Рівняння в повних диференціалах.	10.	Рівняння Міндінг - Дарбу.

4. Розробити алгоритм розв'язування задачі, в якій пропонується знайти загальний інтеграл диференціального рівняння.

Номер варіанта	Умова задачі
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

5. Розв'язати задачі. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння.

Номер варіанта	Умова задач
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

6. Розв'язати задачу.

Номер варіанта	Умова задачі
1.	Знайти рівняння кривої, що проходить через точку М (1;2), якщо кутовий коефіцієнт проведеної до нього дотичної дорівнює 4x3.
2.	Моторний човен рухається в стоячій воді зі швидкістю 5 м/с. На повному ходу її мотор був вимкнутий; через 4 с її швидкість стала рівної 1 м/с. Вважаючи, що сила опору води пропорційна швидкості руху човна, визначити, через скільки секунд після вимкнення мотора швидкість зменшиться до 4 см/с?
3.	Є М0 радіоактивної речовини. Якщо за 30 років розпадається 50% його, те через скільки часу залишиться 25% первісної кількості?
4.	Десятиметровий шар води поглинає 40% світла ,що падає на її поверхню. На якій глибині денне світло буде по яскравості таким же, як місячне світло на поверхні води, якщо яскравість місячного світла складає яскравості денного світла?
5.	Є судина ємністю а л, наповнений водним розчином солі. В судину вливається вода зі швидкістю b л в хвилину, перемішується, і розчин ,що одержується однорідної концентрації виходить з судини з тією ж швидкістю. Скільки солі буде міститися в розчині в момент часу t, якщо в початковий момент (t=0) її було в розчині A0 кг? Обчислити відповідь, якщо а=100 л, A0=10 кг, b=3 л в хвилину, t=1 година.
6.	Металева деталь, нагріта до 500°С, охолоджується в, повітрі при температурі 20 °С. Через 10 хвилин після початку охолодження температура на поверхні деталі понизилася до 100°С. Який буде температура на поверхні деталі через 20 хвилин?
7.	Послідовно ввімкнені джерело струму з ЕРС Е, В, котушка з індуктивністю L, Гн (L0) і активний опір R, Ом. Знайти закон зміни сили струму I(t) в ланцюгу, вважаючи, що в початковий момент часу (t=0) вона дорівнює нулю. Розглянути випадок коли ЕРС постійна - E(t)=E.
8.	Знайти швидкість v (t) руху тіла, що падає в повітрі на землю, вважаючи силу опору повітря прямо пропорційною швидкості руху і початкову швидкість рівної v0 м/с.
9.	Знайти швидкість v (t) руху тіла, що падає в порожнечі на землю, вважаючи початкову швидкість руху рівної v0.
10.	Через 12 годин після початку досліду кількість бактерій зросла втроє. Вимога задачі: у скільки разів збільшиться кількість бактерій через 3 доби?

Модульна контрольна робота змістовного модуля I

1. Серед даних рівнянь вказати звичайне диференціальне рівняння першого порядку:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е).

Відповідь: б); в); д); е).

2. Серед даних рівнянь вказати рівняння з відокремлюючими змінними:

а) б)

в) г)

д) .

Відповідь: а); б); в); д).

3. Серед рівнянь вказати лінійне:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Відповідь: а), в), г).

4. Серед рівнянь вказати те, яке одночасно є однорідним, в повних диференціалах та лінійним:

а) ; б) .

Відповідь: а); б).

5. Серед рівнянь вказати те, яке одночасно є рівнянням з відокремлюючими змінними, в повних диференціалах та лінійним:

а) ; б) .

Відповідь: а).

6. Серед інтегральних кривих, що задовольняють рівняння знайти ту, яка проходить через точку

Відповідь: .

7. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння:

.

Відповідь:

8. Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння:

Відповідь:

9. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння:

Вказівка: застосувати формулу

Відповідь: .

10. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння:

.

Відповідь: .

ВИСНОВКИ

На основі аналізу навчальної, методичної, науково-популярної літератури було теоретично обґрунтувано цілі, зміст, форми, методи і засоби методики навчання диференціальних рівнянь, розроблено та експериментально обґрунтувано методику навчання диференціальних рівнянь майбутніх вчителів математики в педагогічних університетах, проаналізовано навчальну програму з метою вивчення диференціальних рівнянь в ВУЗах.

В роботі також створено і теоретично обґрунтовано основні компоненти методичної системи навчання диференціальних рівнянь майбутніх учителів математики.

При цьому розв'язано такі задачі:

* визначено конструктивні цілі навчання диференціальних рівнянь, які відповідають загальним цілям підготовки вчителя математики;

* розроблено навчальну програму курсу диференціальних рівнянь, спрямовану на професію вчителя математики;

* визначено структуру і зміст курсу диференціальних рівнянь, розроблено і апробовано методику навчання одного (першого) модуля цього курсу, яка орієнтована на підготовку вчителя математики для різних типів навчальних закладів;

* розкрито напрями удосконалення змісту навчального матеріалу курсу диференціальних рівнянь та методів навчання цієї дисципліни для формування не тільки математичної культури вчителя математики, а й інших основних компонентів його професійної культури. Для даного модуля курсу диференціальних рівнянь визначено, чому цей розділ потрібен майбутньому вчителю математики, на що він повинен звертати особливу увагу (і як учитель математики, і як математик), що з цього розділу вчитель може використати у своїй роботі безпосередньо, а що опосередковано;

* досліджено можливості різних форм навчання студентів у професійній підготовці майбутніх учителів математики; розкрито можливості використання проблемних методів навчання для формування професійної культури вчителя математики;

* проаналізовано особливості організаційних форм, методів, прийомів і засобів навчання майбутніх учителів математики, в тому числі, можливості використання сучасних інформаційно-комунікаційних технологій навчання та звернено увагу на можливі помилки, які можуть бути допущені, якщо буде

недостатнім рівень математичної культури вчителів.

У даній роботі розглянуті методичні рекомендації щодо вивчення одного (першого) змістовнго модуля курсу «Диференціальні рівняння» у педагогічних вищих навчальних закладах. Ця робота належить до тієї невеликої групи видань, які містять розробки планів-конспектів лекцій, практичних та індивідуальних занять, модульних контрольних робіт. Також наявні завдання для самостійної та індивідуальної роботи, розроблені модульні контрольні роботи.

Також досить цікавим виявиться те, що в роботі кожен бажаючий зможе знайти опорний конспект до кожної лекції, короткий довідник модуля, семантичний конспект теми. Це все подано в доступній, розгорнутій формі і стане у нагоді як викладачам, так і студентам.

Матеріал роботи дозволяє виробити практичні навички в розв'язуванні та дослідженні диференціальних рівнянь та їх систем, що описують еволюційні процеси в різних областях.

Зміст диплому повністю охоплює програму з курсу звичайних диференціальних рівнянь для вищих педагогічних навчальних закладів.

ВИКОРИСТАНА ЛІТЕРАТУРА

1. Pudy A.E., Rakov S.A. Mathematical Analysis. Differential Equations.

2. Адамар Ж. Исследования психологии изобретения в области математики: Пер. с франц. / Ж. Адамар. - М.: Сов. радио, 1972. - 152 с.

3. Аксёнов А.П. Математический анализ (Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Суммирование расходящихся рядов). / А.П. Аксёнов. - СПб: НЕСТОР, 1999. - 87 с.

4. Араманович И.Г. Уравнения математической физики. / И.Г. Араманович, В.И. Левин. - М.: Наука, 1964. - 286 с.

5. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. / В.И. Арнольд. - М.: Наука, 1966. - 456 с.

6. Атанов Г.А. Возрождение дидактики - залог развития высшей школы. / Г.А. Атанов. - Донецк: ДОУ, 2003. - 180 с.

7. Атанов Г.А. Деятельностный подход в обучении. / Г.А. Атанов. - Донецк: ДОУ, 2001. -160 с.

8. Атанов Г.А. Обучение и искусственный интеллект или основы дидактики высшей школы. / Г.А. Атанов, И.Н. Пустынникова. - Донецк: ДОУ, 2002. - 504 с.

9. Бабанский Ю.К. Оптимизация процесса обучения. / Ю.К. Бабанский. - М.: Педагогика, 1977. - 348 с.

10. Бацевич О.Ф. Диференціальні рівняння. Курс лекцій для студентів базового напряму «Електромеханіка». / О.Ф. Бацевич. - Львів: Львівська політехніка, 2007. 40 с.

11. Бевз В.Г. Геометрія: 10 - 11 класи. / В.Г. Бевз, Г.П. Бевз, Н. Г. Владімірова. - К.: Вежа, 2002. - 224 с.

12. Бевз Г.П. Алгебра: 7 - 9 класи. / Г.П. Бевз. - К.: Освіта, 2001. - 304 с.

13. Бевз Г.П. Математика: 11 клас. / Г.П. Бевз. - К.: Освіта, 1995. - 192 с.

14. Бевз Г.П. Про числа // Математика в школі. / Г. П. Бевз. - 2001. № 1. - С. 6 - 9, - № 2. - С. 2 - 3.

15. Бейтмен Г. Таблицы интегральных преобразований. Преобразование Фурье, Лапласа, Меллина. Том 1. / Г. Бейтмен, А. Эрдейн. - М.: Наука, 1969. - 344с.

16. Босс В. Лекции по математике: Дифференциальные уравнения. / В. Босс. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 208 с.

17. Бохан К.А. Курс математического анализа. т. І-ІІ. / К.А. Бохан, И.А. Егорова, К.В. Лащенов. - М.: Просвещение, 1972. - 392 с.

18. Бронштейн И.Н. Справочник по математике. / И.Н. Бронштейн. - М., 1980. - 974 с.

19. Бугров Я.С. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. - М.: Наука, 1968. - 564 с.

20. Будак Б.М. Сборник задач по математической физике. / Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тиханов. - М.: Наука, 1980. - 686 с.

21. Бурда М.І. Методичні основи диференційованого формування геометричних умінь учнів основної школи: Автореф. дис. д-ра пед. наук: 13.00.02. / М.І. Бурда. - К., 1994. - 36 с.

22. Бурда М.І. Математика: 10-11 класи. / М.І. Бурда, О.С. Дубінчук, Ю.І. Мальований. - К.: Освіта, 1997. - 224 с.

23. Бутузов В.Ф. Математический анализ в вопросах и задачах: Учебн. пособие. - 4-е изд., исправ. / В.Ф. Бутузов. - М.: Физико-математическая литература, 2001. - 480 с.

24. Власова Б.А. Приближенные методы математической физики: Учеб. для вузов / Б.А. Власова, В.С. Зарубин, В.Н. Кувыркин. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - 700 с.

25. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. / М.Я. Выгодский. - М., 1957. - 783 с.

26. Гахов В.Д. Краевые задачи. / В.Д. Гахов. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1958. - 543 с.

27. Годунов С.К. Уравнения математической физики. / С.К. Годунов. - М.: Наука, 1979. - 392 с.

28. Давидов М.О. Курс математичного аналізу: Підручник: У 3 ч. Ч. 2. Функції багатьох змінних і диференціальні рівняння. / М.О. Давидов. - 2-ге вид., перероб. і допов. - К.: Вища шк., 1991. - 366 с.

29. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах в двух частях: Ч. 1. / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - М.: Высшая школа, 1986. - 416 с.

30. Державна національна програма “Освіта” (Україна ХХІ століття). - К.: Райдуга, 1994. - 64 с.

31. Еругин Р.П. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. / Р.П. Еругин. - М.: Наука, 1966. - 656 с.

32. Жалдак М.И. Система подготовки учителя к использованию информационной технологии в учебном процессе: Автореф. дис. докт. пед. наук. / М.И. Жалдак. - М.: НИИ СИМО АПН СССР, 1989. - 48 с.

33. Жалдак М.І. Гуманітарний потенціал інформатизації навчального процессу // Проблеми інформатизації освіти: Зб. наук. праць. / М.І. Жалдак. - К.: УДПУ, 1994. - С. 3 - 20.

34. Жалдак М.І. Гуманітарний потенціал інформатизації освіти // Рідна школа / М.І. Жалдак. - 1990. - № 7 - 8. - С. 61 - 64.

35. Жалдак М.І. Комп'ютер на уроках математики. / М.І. Жалдак. - К.: Техніка, 1997. - 304с.

36. Жалдак М.І. Педагогічний потенціал інформатизації навчального процессу // Наукові записки Тернопільського державного пед. університету імені В. Гнатюка. Серія: Педагогіка. / М.І. Жалдак. - 2002. - № 6. - С. 143 - 154.

37. Жалдак М.І. В. Комп'ютер на уроках геометрії. / М.І. Жалдак, О.В. Вітюк. - К.: НПУ імені М.П. Драгоманова, 2000. - 160 с.

38. Жалдак М. І. Комп'ютер і елементи стохастики в шкільному курсі математики // Комп'ютер в школі та сім'ї. / М.І. Жалдак, Ю.В. Горошко. - 1998. - № 3. - С. 5 - 8, № 4. - С. 4 - 7.

39. Ильин В.А. Основы математического анализа. Ч. ІІ. / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. - М.: Наука, 1983. - 616 с.

40. Кисилев А.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. / А.И. Кисилев, М.А. Краснов, Т. И. Макаренко. - М.: Наука, 1976. - 346с.

41. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: Пер. с нем. - / Ф. Клейн. - М.: Наука, 1987.- 432 с.

42. Концепція математичної освіти 12-річної школи. Проект. // Математика в школі. - 2002. - № 2. - С. 12 - 17.

43. Костюк Г.С. Актуальні психологічні питання програмованого навчання // Психологія навчання і виховання. / Г. С. Костюк. - К.: , 1964. - 124 с.

44. Костюк Г.С. Навчально-виховний процес і психічний розвиток особистості. / Г.С. Костюк. - К.: Рад. школа, 1984. - 608 с.

45. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. / Л.Д. Кудрявцев. - М.: Дрофа, 1996. - 350с.

46. Кузнецов Д.С. Специальные функции. Издание второе, перераб. и допол. / Д.С. Кузнецов. - М.: Высшая школа, 1956. - 424 с.

47. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. / О.А. Ладыженская. - М.: Наука, 1973. - 408 с.

48. Ляшко И.И. Основы классического и современного математического анализа. / И.И. Ляшко, В.Ф. Емельянов, А.К. Боярчук. - К.: Выща шк. Главное изд-во, 1988. - 591 с.

49. Маркушевич А.И. Введение в теорию аналитических функций. Учебн. Пособие для студентов физ-мат. фак. пед. ин-том. / А.И. Маркушевич, Л.А. Маркушевич. - М.: Просвещение, 1977. - 320 с.

50. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. /Н.М. Матвеев. - М.: Наука, 1966. - 656 с.

51. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям. /Н.М. Матвеев. - М.: Наука, 1786. - 452 с.

52. Мордкович А.Г. Профессионально-педагогическая направленность специальной подготовки учителя математики в педагогическом институте: Дис. док. пед. наук: 13.00.02. / А.Г. Мордкович. - М., 1986. - 380 с.

53. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. / А.Д. Мышкис. - М.: Наука, 1967. - 640 с.

54. Мэтьюз Дж. Математические методы физики. / Дж. Мэтьюз, Р. Уокер. - М: Атомиздат, 1976. - 400 с.

55. Никифоров А.Ф. Специальные функции математической физики. / А.Ф. Никифоров, В.Б. Уваров. - М.: Наука, 1978. - 319 с.

56. Николенко Д.Ф. Становление учителя. / Д.Ф. Николенко, Н. И. Шкиль. - К.: Знание, 1986. - 48 с.

57. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. 1. - 3-е изд., перераб. и доп. / С.М. Никольский. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1983. - 464 с.

58. Очан Ю.С. Методы математической физики. / Ю.С. Очан. - М.: Высшая школа, 1965. - 383 с.

59. Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений. / К.К. Пономарев. - М.: Наука, 1966. - 656 с.

60. Попов И.Ю. Лекции по математической физике. / И.Ю. Попов. - СПб.: СПбГИТМО (ТУ), 1998. - 57 с.

61. Самойленко А.М. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. Учеб. пособие. - 2-е изд., перераб. / А.М. Самойленко, С.А. Кривошея, Н.А. Перестюк. - М.: Высшая школа, 1989. - 383 с.: ил.

62. Саранцев Г.И. Общие вопросы методической подготовки учителя математики в пединституте // Проблемы подготовки учителя математики в пединститутах: Сб. тр. 51. / Г.И. Саранцев. - М. - 1977.- Вып. 4. - С. 20 - 29.

63. Свешников А.Г. Теория функций комплексной переменной. / А.Г. Свешников. - М.: Наука, 1970. - 304.

64. Слепкань З.И. Методика преподавания алгебры и начал анализа. / З.И. Слепкань. - К.: Рад. школа, 1978. - 224 с.

65. Слепкань З.И. Методическая система реализации развивающей функции обучения математике в средней школе: Дис. докт. пед. наук: 13.00.02. / З.И. Слепкань. - М., 1987. - 47 с.

66. Слепкань З.И. Психолого-педагогические основы обучения математике. / З.И. Слепкань. - К.: Рад. школа, 1983. - 192 с.

67. Слєпкань З.І. Про державний освітній стандарт з математики // Математика в школі. / З.І. Слепкань.- 1998. - № 1. - С. 4 - 19.

68. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. ІІ. / В.И. Смирнов. - М.: Наука, 1974. - 655 с.

69. Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. / М.М. Смирнов. - М.: Наука, 1964. - 206 с.

70. Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики. / М.М. Смирнов. - М.: Наука, 1975. - 127 с.

71. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. / С.Л. Соболев. - М.: Наука, 1966. - 443 с.

72. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. / В.В. Степанов. - М.: Наука, 1976. - 438 с.

73. Стрижак Т.Г. Математичний аналіз: приклади і задачі. Навч. посібник. / Т.Г. Стрижак, Н.Р. Коновалова. - К.: Либідь, 1995. - 240 с.

74. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики. / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. - М.: Наука, 1977. - 735 с.

75. Толстов Г.П. Ряды Фурье. / Г.П. Толстов. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1981. - 396 с.

76. Толстов Г.П. Элементы математического анализа. Том II. / Г. П. Толстов. - М.: Наука, 1966. - 464 с.

77. Филиппов А.Ф. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. / А.Ф. Филиппов. - М.: Наука, 1976. - 456 с.

78. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том III. / Г.М. Фихтенгольц. - М.: Наука, 1966. - 656 с.

79. Флоров Н.А. Дифференциальное и интегральное исчисление. / Н.А. Флоров. - М.: Государственное учебно-педагогическое издательство, 1955. - 337 с.

80. Черненко В.Д. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для вузов. В 3 т.: Т. 3. / В.Д. Черненко. - СПб: Политехника, 2003. - 476 с.: ил.

81. Шиманський І.Є. До питання педагогізації викладання математичних дисциплін в педагогічних інститутах // Наукові записки Київського педінституту, 1955. / І.Є. Шиманський. - Т. XVII. - Пед. серія № 1. - С. 121 - 127.

82. Шкиль Н.И. Об опыте методической подготовки студентов математиков в педагогических институтах УССР // Совершенствование методической подготовки учителей математики в пединститутах СССР: Материалы Всесоюзной научной конференции. / Н.И. Шкиль. - К.: КГПИ, 1985. - С. 79 - 86.

83. Шкиль Н.И. Профессия - преподаватель математики // Советская педагогика. / Н.И. Шкиль. - 1986. - № 2. - С. 72 - 75.

Размещено на Allbest.ru