Задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения функции

Ученики: P=40 км, а S=78 км2

Учитель: Теперь мы можем сделать вывод, какую же фигуру должен был обежать Пахом?

Ученики: Нет, не можем. Ведь может получиться, что это допустим ромб!

Учитель: Ребята, а сможем ли мы с вами перебрать сейчас все четырёхугольники с периметром 40 км и найти тот, площадь которого наибольшего?

Ученики: Нет, это же может продолжать бесконечно!

Учитель: Совершенно верно. Поэтому я предлагаю рассмотреть следующую задачу:

Периметр прямоугольника равняется 40 км. Какую длину должны имеет стороны прямоугольника, чтобы площадь была наибольшей?

Рис. 18

Учащиеся вместе с учителем решают данную задачу. Учитель записывает на доске, ученики в тетради.

Учитель: Как найти периметр и площадь прямоугольника?

Ученики: P=2(a+b), S=a*b

Учитель: Так как Р=40 км, то мы можем записать так 2(a+b)=40, a+b=20. Из этого равенства выразите длину через ширину.

Ученики: b=20-a

Учитель: Давайте обозначим через x - длину, а через (х-20) - ширину. Как вы думаете, какие значения может принимать х?

Ученики: от 0 до 20

Учитель: Да, запишем неравенство 0<x<20. Теперь наша задача звучит так, при каких х площадь прямоугольника будет наибольше? Для этого нам нужно составить функцию: S(x)=x(20-x)= 20x - x2. В начале урока мы не зря повторяли алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. Что нам делать дальше?

Ученики: Нужно найти производную, приравнять к нулю, найти критические и стационарные точки, исследовать на экстремум:

S' (x) = 20-2x;

20-2х=0; х=10.

Учитель: Значит, длина и ширина равны 10 см. Какая получается фигура? (Квадрат). Теперь давайте исследовать на экстремум.

Ученики:

Т.о. х=10 - точка максимума, а отсюда следует, что

Ответ: a=10 км, b=10км

Учитель: А теперь вернёмся к задаче о земле, с которой мы начали урок. Какую же фигуру Пахом должен был обежать, чтобы площадь фигуры была наибольшей? (Квадрат).

П.Л. Чебышев говорил, что “особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды”. С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей. Технологи - стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции. Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей. Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными, и т.д. Задачи подобного рода носят общее название - задачи на оптимизацию (от латинского слова optimum - “наилучший”). В самых простых задачах на оптимизацию мы имеем дело с двумя величинами, одна из которых зависит от другой, причём надо найти такое значение второй величины, при котором первая принимает своё наименьшее или наибольшее (наилучшее в данных условиях) значение. Решением таких задач занимается особая ветвь математики. Ее название мы попытаемся выяснить в процессе решения задач.

Задачи на оптимизацию решают по обычной схеме (схема высвечивается на экране):

составление математической модели;

работа с моделью;

ответ на вопрос задачи.

Как раз эту схему мы с вами использовали при решении предыдущей задачи.

Цель нашего урока состоит в том, чтобы научиться решать задачи на оптимизацию, используя математические модели.

Рекомендации по решению задач у вас лежат на столах (см. Материалы к уроку для организации самостоятельной работы учащихся).

IV этап. Усвоение новых знаний (22 мин.).

Так как составление математической модели задачи вызывает трудность у большинства учащихся, то следующую задачу предлагается решить вместе. Учащийся по желанию выходит к доске для оформления решения задачи (дается задача более высокого уровня, чем предыдущая).

Задача 2. Найти сторону ромба наибольшей площади, если известно, что d1+d2=10.

Учитель: Что нам дано?

Ученик: Дан ромб, сумма диагоналей которого равна 10

Учитель: Что нужно найти?

Ученик: сторону ромба

Учитель: Давайте сделаем рисунок. Давайте в качестве

оптимизируемой величины возьмём одну из диагоналей.

Ученик: Пусть х=d1. Тогда можно вторую диагональ выделить через другую:

d2=10-x

Учитель: В каких приделах будет находится x?

Ученик: 0<x<10

Учитель: Хорошо. Чему равна площадь ромба?

Ученик: Половине произведения диагоналей.

Учитель: Верно. Давайте составим функцию.

Ученик: f(x)=

Учитель: Функция составлена, интервал, на котором задана функция есть. Что будем делать дальше?

Ученик: Дальше будем следовать алгоритму нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на интервале.

D(f): xR

f(x)=5-x

5-x=0; x=5; 5(0;10)

x=5 - точка максимума

f(5)=5(10-5)* = 12,5 (ед.кв.)

Учитель: Так, наибольшую площадь мы нашли, теперь нам нужно найти сторону ромба. Как будем её искать?

Ученик: Рассмотрим треугольник ABD - прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора получаем: AB===

После того как данная задача решена, класс приступает к решению задач в группах. Учащиеся рассаживаются по группам в зависимости от восприятия материала: 1) те, кому будет нужна помощь в составлении модели задачи; 2) те, кто попытается справиться самостоятельно с не очень сложными задачами; 3) те, у кого решение задач не вызывает затруднений. В соответствии с этим учащиеся получают дифференцированные задания.

1 группа. Задачи № 949(а). Сумма двух целых чисел равна 24. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение. (Ответ:12,12).

№ 951(а). Известно, что одно из двух чисел на 36 больше другого. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение. (Ответ: -18; 18).

№ 953(а). Периметр прямоугольника составляет 56 см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь? (Ответ: 14; 14).

2 группа. Задачи № 950 (а). Разность двух чисел равна 10. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение. (Ответ: -5; 5).

№ 952 (а). Представьте число 3 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей. (Ответ: 2; 1).

№ 954(а). Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200м. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? (Ответ: 50; 50).

3 группа. Задачи № 954(а). Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200м. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? (Ответ: 50; 50).

№ 955(а). Площадь прямоугольника составляет 16 см2. Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим? (Ответ: 4; 4).

№ 972. Боковые стороны и одно из оснований трапеции равны 15 см. При какой длине второго основания площадь трапеции будет наибольшей? (Ответ: 30).

(Решение задач представлено в приложении 1)

Необходимо проверить решение задач, поэтому от каждой группы выступает учащийся, демонстрируя решение одной из задач на доске.

На слайде появляется схема (рис. 19) содержащая название раздела математики, занимающегося решением задач оптимизации. В кружочках уже стоят нужные буквы, а остальные фигуры должны заполнить учащиеся по окончании решения и проверки задач. У них на столах лежат цветные фигуры, на одной стороне которых записаны буквенные сочетания, а на другой - варианты ответов к задачам. На схеме над фигурами стоит название цвета фигуры, которая должна заполнить данную клеточку: к - красный; с - синий; ж - желтый. Каждая группа, правильно решив задачи, должна получить фигуры одного цвета: 1группа - красные; 2 группа - синие; 3 группа - желтые.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 19

Учитель: Ребята, давайте узнаем, как же называется раздел математики, который изучает задачи на оптимизацию?

В результате заполнения схемы на доске появляется название раздела математики - линейное программирование.

V этап. Итог урока (2 мин.).

Подводя итог урока, учитель и дети выясняют: на каком этапе учащиеся испытывают наибольшие затруднения и на что они должны обратить внимание при решении домашнего задания.

VI этап. Домашнее задание (1мин.).

Учитель: Однажды в разговоре П. Л. Чебышев заметил: “В старину математические задачи задавали боги, например, удвоение куба, по поводу изменения Делосского жертвенника. Далее наступил второй период, когда задачи задавали полубоги: Ньютон, Эйлер, Лагранж. Теперь третий период, когда задачи задает практика”. Поэтому домашнее задание следующее: §36 (п.2), вторую задачу (б) своего варианта (при желании можно сделать задачу более сложного варианта). Творческое задание: составить вместе с родителями и оформить решение в тетради задачи оптимизации, с которой вам или вашим родителям пришлось столкнуться на практике.

(Задачи домашнего задания в приложении 3)

4.1 Материалы к уроку для организации самостоятельной работы учащихся

1. Памятка по решению задач на оптимизацию

I этап. Составление математической модели.

Проанализировав условия задачи, выделите оптимизируемую величину (сокращенно: О.В.), т.е. величину, о наибольшем или наименьшем значении которой идет речь. Обозначьте ее буквой у (или S, R, V - в зависимости от фабулы).

Одну из участвующих в задаче неизвестных величин, через которую сравнительно нетрудно выразить О. В., примите за независимую переменную (сокращенно: Н.П.) и обозначьте ее буквой х (или какой-либо другой буквой). Установите реальные границы изменения Н.П. (в соответствии с условиями задачи).

Исходя из условия задачи, выразите у через х. Математическая модель задачи представляет собой функцию у=f(х) с областью определения Х, которую нашли на втором шаге.

II этап. Работа с составленной моделью.

На этом этапе для функции у=f(х), хХ найдите унаим или унаиб в зависимости от того, что требуется в условии задачи. При этом используются теоретические установки, которые мы рассмотрели при определении наибольшего и наименьшего значений функции.

III этап. Ответ на вопрос задачи.

Здесь следует получить конкретный ответ на вопрос задачи, опираясь на результаты, полученные на этапе работы с моделью.

Литература

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа 10-11кл. - Москва, 2009.

2. Мордкович А.Г. и др. Задачник по алгебре и началам математического анализа 10-11кл. - Москва,2009.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М. и др. Алгебра и начала математического анализа 10-11кл. - Просвещение, 2008.

4. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. - Москва, 1992.

5. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала математического анализа 10-11кл. - Москва, 2010.

6. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л. и др. Методика преподавания математики в средней школе - Москва, 1977.

7. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы - Наука, 1989.

8. Виленкин Н.Я. Производная и задачи на экстремум // Квант,1978 №6 с. 60-64.

9. Маслова Т.Н., Суходонский А.М. Справочник школьника по математике 5-11 кл. - ОНИКС, 2008.

10. Шабунин М.И., Прокофьев А.А., Олейник Т.А. Учебно-методический комплекс «Алгебра и начала анализа» для 11 кл. // Математика в школе, 2008, № 7.

11. Мордкович А.Г. Алгебра 7 кл. - Москва, 2009.

12. Мордкович А.Г. Алгебра 8кл. - Москва, 2010.

13. Мордкович А.Г. и др. Задачник по алгебре 7кл. - Москва, 2009.

14. Мордкович А.Г. и др. Задачник по алгебре 8кл. - Москва, 2010.

Приложение 1

Задачи I группы

№949(а)

a- первое число

b- второе число

a+b=24

a*b=y (наименьшее значение)

b(0;24)

y?=24-2b

24-2b=0

b=12; a=12

в точке b=12 функция меняет знак с “-” на ”+”,

т. о. b-точка минимума

=y(12)=144 - наименьшее значение

Ответ: (12;12)

№951(а)

a- первое число

b- второе число

a-b=36

a*b=y (наименьшее значение)

b(0;36)

y?=36+2b

36+2b=0

b= -18; a=18

в точке b= -18 функция меняет знак с “-” на ”+”,

т. о. b-точка минимума

= =y(-18)= -324 - наименьшее значение

Ответ: (-18;18)

№953 (а)

a- длина

b- ширина

2(a+b)=56

a+b=28

a*b=y (наибольшее значение)

b(0;28)

y?=28-2b

28-2b=0

b= 14; a=14

в точке b= 14 функция меняет знак с ”+” на “-”,

т. о. b-точка максимума

=y(14)= 196 - наибольшее значение

Ответ: (14;14)

Задачи II группы

№950(а)

a - первое число

b- второе число

a-b=10

a*b=y (наименьшее значение)

;

b(-10;0)

y?=10+2b

10+2b=0

b= -5; a=5

в точке b= -5 функция

меняет знак с “-” на ”+”,

т. о. b-точка минимума

= =y(-5)= -25 - наименьшее

значение

Ответ: (-5;5)

№952(а)

a- первое число

b- второе число

a, b-полож-ые

a+b=3

=y (наименьшее значение)

;

;

b(0;3)

y?=-3

-3=0

b1=1 ; a=2

b2= -1-не подходит по условию задачи

в точке b1= 1 функция

меняет знак с “-” на ”+”, т. о. b-точка минимума

=y(1)= 7 - наименьшее значение

Ответ: (1;2)

№954(а)

a- длина

b- ширина

2(a+b)=200

a+b=100

a*b=y (наибольшее значение)

; ;

b(0;100)

y?=100-2b

100-2b=0

b= 50; a=50

в точке b= 50 функция меняет знак с ”+” на “-”,

т. о. b-точка максимума

=y(50)= 2500 - наибольшее значение

Ответ: (50;50)

Задачи III группы

№954(а)

a- длина

b- ширина

2(a+b)=200

a+b=100

a*b=y (наибольшее значение)

;

;

b(0;100)

y?=100-2b

100-2b=0

b= 50; a=50

в точке b= 50 функция меняет

знак с ”+” на “-”,

т. о. b-точка максимума

=y(50)=

=2500 - наибольшее значение

Ответ: (50;50)

№955 (а)

a- длина

b- ширина

ab=16

2(a+b)=y (наименьшее значение)

;

;

b(0;+)

y?=

=0

b1=4; a=4

b2= -4 - не подходит по

условию задачи

в точке b= 4 функция меняет

знак с ”-” на “+”,

т.о. b-точка минимума

=y(4)= 16 - наименьшее значение

Ответ: (4;4)

№972

AB=BC=CD=15

При каком значении AD

Sтрапеции - наибольшая

AD= BC+2LD

LD==

AD=15+2

S=15+

S?=15+-

15+-=0

15+225-

15+225-2

15

225(225-)=4

50625-225

4

(4)=0

h=0 - не подходит

=

AD=15+2 =15+2=15+15=30

Ответ: при AD=30 Sнаиб= см.кв.

Приложение 2

1 группа. Задачи № 949(б). Произведение двух отрицательных чисел равно 484. Найдите эти числа, если известно, что их сумма принимает наименьшее значение.

№ 951(б). Известно, что одно из двух чисел на 28 меньше другого. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наибольшее значение.

№ 953(б). Периметр прямоугольника составляет 72 см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь?

2 группа. Задачи № 950 (б). Разность двух чисел равна 98. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.

№ 952 (б). Представьте число 5 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и куба второго слагаемого была наибольшей.

№ 954(б). Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 240м. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

3 группа. Задачи № 954(б). Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 240м. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? (Ответ: 50; 50).

№ 955(б). Площадь прямоугольника составляет 64 см2. Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим?

973(б). Из прямоугольной трапеции с основаниями a и b и высотой h вырезали прямоугольник наибольшей площади. Чему равна эта площадь, если a=24, b=8, h=12?

Задачи I группы

№949(а)

a- первое число

b- второе число

a*b=484

a+b=y (наименьшее значение)

; ;

b(-,0)

y=

=0

=484; b1=-22, а=-22

b2= 22(-,0)

в точке b1=-22 производная меняет знак с “-” на ”+”,

т.о. b-точка минимума

=

=y(-22)=-44 - наименьшее значение

№951(а)

a- первое число

b- второе число

a-b=28

a*b=y (наибольшее значение)

; ;

b (-28;0)

y=28+2b

28+2b=0

b= -14; a=14

в точке b= -14 производная меняет знак с “+” на ”-”,

т.о. b-точка максимума

=y(-14)= -196 - наибольшее значение

Ответ: (14;-14)

№953 (а)

a- длина

b- ширина

2(a+b)=72

a+b=36

a*b=y (наибольшее значение)

; ;

b (0;36)

y=36-2b

36-2b=0

b= 18; a=18

в точке b= 18 производная меняет знак с ”+” на “-”,

т. о. b-точка максимума

=y(18)= 324 - наибольшее значение

Ответ: (18;18)

Ответ: (-22,-22)

Задачи II группы

№ 950(а)

a- первое число

b- второе число

a-b=98

a*b=y (наименьшее значение)

;

;

b(-98;0)

y?=98+2b

98+2b=0

b= -49; a=49

в точке b= -49 производная

меняет знак с “-” на ”+”,

т.о. b-точка минимума

=y(-49)= -2401 - наименьшее

значение

Ответ: (49;-49)

№ 952(а)

a- первое число

b- второе число

a, b-полож-ые

a+b=5

=y (наибольшее значение)

;

;

b(0;5)

y=

=0

b1=0 (0;5)

b2 =; в точке b2= производная

меняет знак с “+” на ”-”,

т о. b-точка максимума

=y()= - наибольшее значение

№ 954(б)

a- длина

b- ширина

2(a+b)=240

a+b=120

a*b=y (наибольшее значение)

; ;

b(0;120)

y=120-2b

120-2b=0

b= 60; a=60

в точке b= 60 производная меняет знак с ”+” на “-”,

т. о. b-точка максимума

=y(60)= 3600 - наибольшее значение

Ответ: (60;60)

Задачи III группы

№ 954(б)

a- длина

b- ширина

2(a+b)=240

a+b=120

a*b=y (наибольшее значение)

;

;

b(0;120)

y=120-2b

120-2b=0

b= 60; a=60

в точке b= 60 производная

меняет знак с ”+” на “-”,

т. о. b-точка максимума

y(60)= 3600 -

наибольшее значение

Ответ: (60;60)

№ 955 (а)

a- длина

b- ширина

ab=32

2(a+b)=y (наименьшее значение)

;

;

b(0;+)

y=0

b1=8; a=8

b2= -8 - не подходит по

условию задачи

в точке b= 8 производная меняет

знак с ”-” на “+”,

т.о. b-точка минимума

=y(8)= 32 - наименьшее значение

Ответ: (8;8)

№ 973(б)

ABCD-прямоугольная трапеция

AB=CE=12

BC=AE=8

AD=24

Найти наибольшую Sпрям.

Решение:

CD=AD-BC=24-8=16

tgб = = =

Пусть х - длина прямоугольника (причём х совпадает с высотой), а y -ширина прямоугольника, тогда получим

;

3(24-y) = 4x;

24-y = ;

y = 24

Составим функцию: S(x)= x*y=x*24= 24x;

x = 9; y = 12

в точке x= 9 производная меняет знак с ”+” на “-”, т. о. x-точка максимума, следовательно Sнаиб=9*12=108 (ед.кв)

Ответ: Sнаиб=108 (ед.кв)

Размещено на Allbest.ru