Применение алгоритмического метода при изучении неравенств

5.Решите неравенство методом интервалов.

1)

2)

3)

6.Решите неравенство.

1)

2)

3)

§4 Опытное преподавание.

Факультативное занятие в девятом классе (решение неравенств с параметром первой степени с одной неизвестной).

Цель:

применить алгоритмический метод при формировании умений и навыков в решении линейных неравенствах с параметрами.

Задачи:

· расширить кругозор учащихся;

· воспитание внимания, аккуратности, самостоятельности;

· осуществление взаимосвязи теории и практики;

· развитие памяти, логического мышления.

Решение задач с параметрами всегда вызывает большие трудности у учащихся. Причём часто учащиеся испытывают психологические трудности, «боятся» таких задач, так как не видят связи в их решении с решениями линейных неравенств с одной переменной.

Изучение линейных неравенств с параметром первой степени с одной неизвестной не возможно без умения решать линейные неравенства с одной переменной. Так как факультатив проводился в 9 классе, а линейные неравенства изучались в восьмом классе, то возникла необходимость актуализировать знания по решению линейных неравенств, вспомнить этапы их решения. Ученикам можно предложить следующее задание.

Решите неравенство 2(х+5)-3?4+3х

Все решают у себя в тетрадях, а один ученик решает у доски. Запись ведёт в два столбика. Решение в одном столбика, а в другом записывают пояснения к своим действиям.

2х+7?4+3х Раскрыли скобки в обеих частях неравенства

2х-3х?4-2 Перенесли слагаемые, содержащие переменную в одну

часть, а не содержащую в другую.

-х?2 Привели подобные члены в каждой части.

х?-2 Разделили обе части неравенства на коэффициент при

переменной (учитывая его знак !).

Отметили соответствующие промежутки на

координатной прямой.

х(-?;-2] Записали числовой промежуток

После того как повторили этапы решения линейных неравенств с одной переменной, учитель предлагает на доске подробный разбор решения неравенства с параметром. Затем ученики вместе с учителем формулируют алгоритм решения линейных неравенств с параметром.

Пример 1. Рассмотрим решение неравенства (а-4)•х<12

Чтобы найти х, обе части неравенства хочется разделить на (а-4). Однако теперь важно положительно, отрицательно или равно нулю выражение (а-4).

Определим знак выражения

Рассмотрим три случая:

a) а-4=0

b) а-4>0

c) а-4<0

1)если а-4=0а=4, то неравенство примет вид 0х<12, которое справедливо для всех хR

2) a-4>0 a>4, то разделим обе части неравенства на положительное выражение (а-4), не меняя знак неравенства, получим х > (используем свойство числового неравенства).

3) a-4<0a<4, то разделив обе части неравенства на отрицательное выражение и поменяв знак неравенства, получим х<.

Ответ:

если а=4, то х R;

если а>4, то х >;

если а<4, то х<.

Таким образом, после разобранного примера учитель формулирует алгоритм, опираясь на знания и умения, учащихся о решении линейных неравенств с одной переменной.

1. Раскрыть скобки в обеих частях неравенства (если есть дробные коэффициенты, то неравенство освободить от дробей).

2. Перенести слагаемые, содержащие переменную в одну часть, а не содержащие в другую.

3. Привести подобные члены в каждой части и получить один из 4 видов неравенств А(а)х<B(a) (**) , А(а)х?B(a), А(а)х>B(a), А(а)х?B(a), где х- переменная, А(а) и В(а) - функции параметра а.

4. Рассмотреть три случая:

1) Найти а, при которых А(а)=0, подставить в неравенство(**) вместо параметра а найденные решения и решить соответствующие неравенства.

2) Найти а, при которых А(а)>0, разделить неравенство(**) на А(а), не меняя его знак.

3) Найти а, при которых А(а)<0, разделить неравенство(**) на А(а), поменяв его знак.

5. Записать ответ.

Пример 2. решить неравенство

3-а•х ? х х+а•х?3 х•(1+а)?3

1) 1+а=0а=-1

Подставляем в неравенство 0•х?3, хR.

2) 1+а>0а>-1

х?

3) 1+а<0а<-1

x?

Ответ: При а=-1, то хR;

а>-1, то х ? ;

а<-1, то x ? .

Пример 3.

х•а² ? а+хх• (а²-1) ? а

1) а²-1=0(а-1)(а+1)=0 а=1 или а=-1

а = 1; а = -1; х•0 ? 1 неверно

2) а²-1>0 а>1 или a<1, то x ?

3) а²-1>0 a, то x

Ответ: а=1, то хR;

а= -1, то нет решения;

, то x ?;

, то x .

Пример 4.

2а•(а-2) •х а-2

1) 2а•(а-2)=0 а=0 или а=2

а=0 х•0-2 верно

а=2 х•00 неверно

2) 2а•(а-2)>0 а,

то х

3) 2а•(а-2)<0 , то х

Ответ:

а=0, то хR;

а=2, то нет решения;

а, то х;

, то х.

Пример 5.

(а²-9) •ха+3

1) а²-9=0

а=3 и а=-3

а=3 0х6 верно;

а=-3 0х0 верно;

2) ;

3) ;

Ответ:

а=3 , а=-3 то хR;

, то;

, то ;

Пример 6.

а²х-а •х > a-1x• (a²-a) > a-1x•(a• [a-1]) > a-1

1) a• [a-1]=0a=0 и а=1

а=0 0•х>-1 верно

а=1 0•х>0 неверно

2); х>

3)а; х<

Ответ:

а=0, то хR;

а=1, то нет решения;

a, то х>;

, то х<.

Пример 7.

а²•х+4а•х-а-4?0

Ответ:

а=0 , а=-4 то хR;

, то;

, то .

Пример 8.

Ответ:

a<-2 а=2, то нет решения;

а, то х < ;

, то х>.

Примеры для самостоятельного решения:

1)2•а•х+5>а+10•x;

2)a•x+x+1 <0;

3)x+1?a•x+a²;

4)a•x+16?a²-4•x;

5)m•x>1+3•x;

6);

7);

8) (x-1) • (a2-1)>5-4•a;

9)b-3•b+4•b•x<4•b+12•x;

Выводы:

Факультатив “Решение неравенств с параметром первой степени с одной неизвестной” был проведён в 9 классе в школе №52 г. Кирова. Цель данного факультатива была достигнута. Применение алгоритмического метода позволило сделать изложение данной темы более доступным, учащиеся научились решать линейные неравенства с параметром осознанно.

Заключение

В ходе исследования были решены следующие задачи:

1) Изучена учебно-методическая литература по применению алгоритмического метода в школе;

2) Рассмотрены следующие вопросы, связанные с алгоритмическим методом: история возникновения алгоритма; определение алгоритма, его свойства, основные этапы алгоритмического процесса и классификация алгоритмов.

3) Разработана методика формирования алгоритмов “Решение алгебраических неравенств 1 и 2 степени с одним неизвестным”.

4) Показано как алгоритмический метод может применяться при решении линейных неравенств с параметром на факультативном занятии.

Литература

1. Алгебра: Учеб. Для 7 кл. / Алимов Ш.А., Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др - М: Просвещение, 1999.

2. Алгебра: Учеб. Для 7 кл. общеобразовательных учреждений / Под редакцией С.А. Теляковского - М: Просвещение, 2002.

3. Алгебра: Учеб. Для 8 кл. / Алимов Ш.А. ., Ю.М. Колягин, Ю.В.Сидоров и др - М: Просвещение, 1991.

4. Алгебра: Учеб. Для 8 кл. общеобразовательных учреждений / Под редакцией С.А. Теляковского - М: Просвещение, 1996.

5. Алгебра: Учеб. Для 9 кл. / Алимов Ш.А. ., Ю.М. Колягин, Ю.В.Сидоров и др - М: Просвещение, 1992.

6. 4. Алгебра.8 класс./Под ред. Виленкина Н.Я.- М: Просвещение, 1997.

7. 5.Алгебра.9 класс./Под ред. Теляковского С.А.- М: Просвещение, 1994.

8. 6.Алгебра в 8 кл: Методическое пособие для учителей - М: Просвещение, 1977.

9. 7.Алгебра в 9 кл: Методическое пособие для учителей - М: Просвещение, 1978.

10. Бочарова О. Урок применения свойств линейных неравенств с одной переменной. // Математика в школе - 2002 - №7 - с. 40 - 42.

11. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.И. Математика: Учебник для 5 класса.- М: Мнемозина, 1999.

12. Галицкий М.Л., Гольдман А.Н., Завич Л.И. Курс алгебры 8-го класса в задачах- Львов: Журнал «Квантор», 1991.

13. Горбачёв В.И. Общие методы решения уравнения и неравенства с параметрами не выше 2 степени. // Математика в школе - 2000 - №2 - с. 61-68.

14. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства - М: Наука, 1971.

15. Богушевский К.С., Сикорский К.Л. Сборник задач по математике для повторения.: Пособие для учителей 5-8 классов средней школы -М: Учпедгиз, 1955.

16. Варпаховский К.М. Элементы теории алгоритмов.- М., 1997.

17. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. - Киев

18. Ефремов Д.Н. Алгоритмы.- С.-Петербург, 1993.

19. Задачи по математике: Уравнения и неравенства: Справочное пособие. /Вавилов В.В. -М: Наука, 1988.

20. Здоровенко М.Ю.

21. Косовский М.А. Основы теории элементарных алгоритмов. - М.: 1987.

22. Королева Т. Математический тренажёр по алгебре для 7- 9 классов. // Математика в школе - 2001 - №8 - с.12-30.

23. Коровкин П.П. Неравенства М: Гос. изд-во технтко-теоретич. лит., 1951.

24. Кузнецова Л. Методические указания к теме “Неравенства ” // Математика в школе - 2002 - №6 - с.22-32.

25. Кривоногов В. Квадратные неравенства и уравнения. //Математика - 2002 - №3 (16-22 января) - с.15-19.

26. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики. /Под ред. Лященко Е.И. - М: Просвещение,1988.

27. Ланда Л.Н. Алгоритмизация в обучении.- М.: Просвещение, 1966.

28. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных 8 кл: учебник для общеобразовательных учебных заведений. / Под редакцией Г.В. Дорофеева - М: Дрофа, 1998.

29. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных 9 кл: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. / Под редакцией Г.В. Дорофеева - М: Дрофа, 1998.

30. Математика: Учебник для 5 класса/ Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф. - М.: Просвещение, 1994.

31. Методика преподавания математики в средней школе. /Под ред. Мишина В.И. - М.: Просвещение 1987. Талочкин П.Б. Неравенства и уравнения. - М.: Просвещение, 1970.

32. Мордкович А.Г. Алгебра 8 кл. : Задачник для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина , 2001.

33. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 8 кл: Учебник для общеобразовательных учреждений - М: Мнемозина, 2002.

34. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл: Задачник для общеобразовательных учреждений - М: Мнемозина, 2000.

35. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл: Учебник для общеобразовательных учреждений - М: Мнемозина, 2000.

36.Мордкович А.Г. Алгебра: Методическое пособие для учителей.- М: Мнемозина, 1997.

37. Невяжский Г.Л. Неравенства. : Методическое пособие для учителей. - М., 1997.

38. Психология. / Под ред. Ковалёва Л.И., Степанова М.П., Шабалина Г.Т.,

Талочкин П.Б. Неравенства и уравнения. - М.: Просвещение, 1970

39. Симонов А. Дидактические материалы для 8-9 классов с углублённым изучением математики. // Математика в школе - 2002 - №7 - с.5-10.

40. Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней щколы /сост. Никольская И.Л. - М.: Просвещение, 1991.