56

Содержание.

Введение.

Часть 1

§1 Из истории алгоритмов.……………………………………............5

§2 Формирование умений и навыков.………………………………..6

§ 3 Понятие алгоритма. Элементарная операция.

Этапы алгоритмического процесса....……………………………..8

§4 Свойства алгоритма………………………………………………..10

§ 5 Классификация алгоритмов………………………………………13

§ 6 Этапы изучения алгоритма в школе……………………………...16

Часть 2

§1 Особенности изучения темы «Неравенства»

в курсе 9 летней школы..…………………………………………..17

§2 Формирование алгоритма « Решение неравенств

первой степени с одним неизвестным»...........…………………....20

§3 Формирование алгоритма « Решение неравенств

второй степени с одним неизвестным»……………………………32

§4 Опытное преподавание.………………………………………..........47

Заключение..........………………………………………………………55

Литература……………………………………………………………...56

Введение

Перед учителем математики всегда стоит вопрос: как учить детей, чтобы они не только получали знания, но и умели думать?

Школа должна подготовить учащихся к тому, чтобы в будущем они умели решать разнообразные, практические и теоретические задачи. Поэтому надо стараться формировать у учащихся достаточно общие методы мышления и деятельности, общие способы подхода к любой задаче. Алгоритм является одним из видов общих методов деятельности вообще, а не только деятельности умственной.

Понятие алгоритма пронизывает все области современной математики - от элементарной до высшей. И этот факт не может влиять на процесс обучения математики в школе. Привычка пользоваться алгоритмическими приёмами в практической работе становится требованием эпохи, мимо которого школа пройти не может. Поэтому применение алгоритмического метода становится актуальной темой сегодняшнего дня.

Цель выпускной работы: исследовать возможность применения алгоритмического метода при изучении неравенств в курсе алгебры 8-9 классов.

Задачи работы:

· изучить учебно-методическую литературу по теории алгоритмов и теории алгоритмизации обучения.

· выявить особенности применения алгоритмического метода в курсе алгебры 7-9 классов.

· применить алгоритмический метод при формировании умений и навыков в решении алгоритмических неравенствах 7-9 классов.

· разработать методику обучения алгоритмам: «Решение алгебраических неравенств первой степени с одной неизвестной» и «Решение алгебраических неравенств 2 степени с одной неизвестной».

Методы исследования:

ь изучение учебно-методической литературы.

ь наблюдение за процессом преподавания математики в средней школе.

ь опытное преподавание.

Часть 1.

§ 1 Из истории алгоритмов

Для того чтобы понять, почему алгоритмизация играет столь важную роль в процессе обучения и является эффективным средством обучения математике, обратимся к родовому понятию «алгоритм».

Каждый раз как употребляется слово «алгоритм», мы произносим имя выдающегося средневекового учёного Мухамед ибн Муса ал - Хорезми (в переводе с арабского означает «Мухамед сын Мусы из Хорезма» сокращённо Ал - Хорезми, уроженец Хивы. Его творческая деятельность протекала в 9 веке главным образом в Багдаде, где в то время правил халиф Ал - Мамун, покровительствовавший в созданном им «Доме мудрости» своего рода академии наук.

В одном из своих трудов Ал - Хорезми описал десятичную систему счисления и впервые сформулировал правило выполнения арифметический действий над целыми числами и простыми дробями.

Ал - Хорезми стремился к тому, чтобы сформулированные им правила были понятными для всех грамотных людей. Достичь этого в 9 веке, когда ещё не была разработана математическая символика, было чрезвычайно трудно. Однако ал - Хорезми удалось выработать стиль чёткого, строго словесного предписания, который не давал читателю никакой возможности уклониться от предписанного или пропустить какие - нибудь действия.

В латинском переводе арифметического труда Ал - Хорезми правила начинались словами Dixit Algorizmi (Алгоризми сказал).

В других латинских переводах автор именовался Algorithmus (Алгоритмус). Постепенно люди забыли, что Алгоризм - автор правил, и стали эти правила называть алгоритмами. Так «Алгоризми сказал» преобразовалось в «алгоритм гласит».

Так научный термин это слово первоначально обозначало лишь правила десятичной системы счисления. Затем в течении столетий этот термин приобретает постепенно всё более широкий смысл, обозначая уже не только правила десятичной системы счисления, но любые точные правила действий.

§2 Формирование умений и навыков.

Одной из основных образовательных целей обучения математике является овладение системой математических знаний, умений и навыков. Так как обучение применению алгоритмического метода невозможно без овладения определёнными умениями и навыками остановимся коротко на психологическом аспекте данного вопроса.

Человек выступает в жизни прежде всего как деятель, независимо от того, каким видом труда он занимается. Он творец и созидатель. В деятельности раскрывается богатство духовной жизни человека: глубина ума и переживаний, сила воображения и воли, формирующиеся или сформировавшиеся способности и черты характера.

Любой вид деятельности связан с движениями, независимо от того, будут ли это мускульно - мышечные движения руки при письме, при выполнении трудовой операции станочника или движения речевого аппарата при произнесении слов.

В деятельность человека всегда включены навыки и умения. В вопросе о том, какое место занимают умения и навыки деятельности: навыки ли предшествуют умениям или умения возникают раньше, существуют различные мнения. Причиной этих расхождений является многозначность понятия «умение» и многообразие видов деятельности.

Умением называют и самый элементарный уровень выполнения действий, и мастерство человека в данном виде деятельности. О первокласснике, закончившем изучение букваря, говорят, что он умеет читать. Взрослый тоже умеет читать. Если не учитывать разницы в знаниях, то между этими двумя «умениями» лежит многолетний путь упражнений, выработки навыков чтения. Это, безусловно, различные умения по их психологической структуре. Следует различать элементарные умения, идущие вслед за знаниями, и умения, выражающие ту или иную степень мастерства в выполнении деятельности, которые следуют за этапом выработки навыков.

Элементарные умения - действия, возникающие на основе знаний или в результате подражания. Умение - (мастерство) возникает в ходе выполнения деятельности, на основе уже отработанных навыков и знаний.

Когда дети начинают ходить в школу, они умеют держать карандаш, некоторые умеют писать элементы букв и целиком буквы, но у них нет навыка письма.

Квалифицированное выполнение деятельности предполагает овладение навыками выполнения отдельных действий. Навык - упрочившийся способ действия. В основе большинства навыков лежит развёрнутое, осознанное действие. Сложившиеся нервные механизмы вызывают ряд изменений в процессе выполнения действия.

Во - первых, в результате выработки навыка резко сокращается время выполнения действия.

Во - вторых, исчезают лишние движения: сила движения приходит в соответствие с задачей деятельности.

В - третьих, отдельные самостоятельные движения объединяются в единое действие.

В результате хорошо отработанных двигательных навыков повышается производительность труда, улучшается качество работы и уменьшается утомление человека.

Навык формируется в упражнении. Упражнение - это целенаправленное, многократное выполнения действие, осуществляемое с целью его усовершенствования.

В процессе упражнений определённым образом организуется деятельность. Навык нельзя выработать в один приём. Необходима более или менее длительная тренировка, распределённая во времени, чтобы навык достиг желаемого уровня совершенства и на нём удерживался. Упражнение не есть простое повторение действия. В упражнении совершенствуется вырабатываемый навык.

§3 Понятие алгоритма. Элементарная операция. Этапы алгоритмического процесса.

Под алгоритмом обычно понимают точное общепринятое предписание о выполнении в определённой (в каждом конкретном случае) последовательности элементарных операций (из некоторой системы таких операций) для решения любой из задач, принадлежащих к некоторому классу (или типу).[27] Элементарными считают те операции, которые может выполнить система в ответ на восприятие соответствующего указания.

К числу алгоритмов не относятся правила, что-либо запрещающие вроде: “Вход посторонним воспрещён”, “Не курить”, “Въезд запрещён”. Не относятся к ним и правила, что-либо разрешающие, такие как “Разрешена стоянка автотранспорта”, “Вход” и так далее. А вот - “Уходя, гасите свет”, “Идти слева, стоять справа” (на эскалаторе) это уже алгоритмы, хотя и очень примитивные.

Примером алгоритма может служить алгоритм сложения двух положительных и отрицательных чисел: чтобы сложить два числа.

1. Определите знак суммы по следующему правилу: если числа положительные или модуль положительного больше: поставь знак плюс, если числа отрицательные или модуль отрицательного больше, то поставь знак минус;

2. Найдите модуль суммы по следующему правилу: если числа одного знака: то сложи их модули, если нет, то вычти из большего модуля меньший.

Элементарные операции в этом алгоритме: определение знака числа, нахождение модуля числа, сравнение двух чисел, сложение и вычитание двух чисел.

Или, например, алгоритм нахождения разности квадратов двух выражений по формуле а²-b²=(a-b)·(a+b)

1. Найдите арифметический квадратный корень первого выражения.

2. Найдите арифметический квадратный корень второго выражения.

3. Запишите разность полученных выражений.

4. Запишите сумму этих выражений.

5. Запишите произведение разности и суммы полученных выражений. Элементарными здесь являются операции: извлечение арифметического квадратного корня, нахождение суммы, разности и произведения двух выражений.

Следует отметить, что на каждой ступени развития учащихся элементарные операции могут меняться. Например, извлечение квадратного корня сначала не являлось элементарной операцией. Для того чтобы операция стала элементарной, надо научить её выполнять так, чтобы при встрече учащихся со словами „извлеките квадратный корень из числа” они смогли её выполнить не задумываясь.

Открытие и формулирование алгоритмов стало одной из важнейших задач математики как науки. В процессе своего развития она стремилась искать общие алгоритмы решения задач, которые позволяли бы единым способом, (то есть посредством одной и той же системы операций) решать всё более и более широкие классы задач.

Самым же первым алгоритмом, с которым знакомится ребёнок, является, вероятнее всего, счёт на пальцах.

В начальной школе дети узнают алгоритмы арифметических действий: сложение столбиком, деление углом и другое.

С реализацией алгоритма, непосредственно связано умение, приложить его к конкретным исходным данным решаемой задачи. Такое применение называется алгоритмическим процессом. Он расчленяется на ряд самостоятельных этапов, каждый из которых предназначен для перевода данных из одного состояния в другое. Выделим эти этапы.

Этапы алгоритмического процесса.

Постановка задачи (устанавливается цель решения задачи, раскрывается её содержания, выявляются её факторы, оказывающие существенное влияние на ход вычислений или конечный результат).

I. Построение модели задачи (до сих пор это остаётся в большей степени делом искусства, чем науки).

II. Разработка алгоритма.

§ выделение автономных этапов вычислительного процесса,

§ формальная запись содержания каждого из них,

§ назначение порядка выполнения этапов,

§ проверка правильности выбранного алгоритма.

§4 Свойства алгоритма.

Алгоритм можно понимать и следующим образом, это точное предписание о том, какие действия и в каком порядке необходимо выполнять, чтобы решить любую задачу из данного класса однотипных задач.[16]

Объясним смысл этих слов

- что такое «точное предписание»?

Это означает, что предписание, задающее алгоритм, должно быть составлено так, чтобы его исполнение было однозначно осуществимо и не требовало никаких свободно принимаемых (исполнителем) решений, чтобы были однозначно определены последовательность действий, и результат. Кроме того, исполнителю должно быть ясно, какое из предписаний должно выполняться на следующем шаге. Это свойство называется определённостью или детерминированностью.

Например: В предписании, которым определяется ход некоторой игры, имеются такие указания:

1) Подойди к книжной полке, на которой стоят три книги.

2) Возьми книгу, стоящую в середине.

3) Открой её на странице, номер которой оканчивается цифрой 5.

4) Найди на этой странице первое слово.

5) Отметь в нём первую букву.

6) Если эта буква принадлежит к первой половине алфавите, то выполни с книгой действие А и на этом закончи свои действия.

7) Если эта буква принадлежит второй половине алфавита, то выполни с книгой действие В и закончи свои действия.

Если допустить, что все операции, указанные в этом предписании, являются достаточно элементарными и люди которым они адресованы, умеют эти операции производить, то это предписание всё-равно не будет алгоритмом, потому что в нём есть одно неопределённое условие - „открой книгу на странице, номер которой оканчивается цифрой 5 ”.

Процесс деятельности в целом, таким образом, также оказывается не полностью детерминированным, третье указание обладает неопределённостью, так как может быть выполнено по-разному.

- что означает «решить любую задачу из данного класса однотипных задач»?

Каждый алгоритм предназначен для решения не одной единственной задачи, а любой задачи из некоторого бесконечного класса однотипных задач. Алгоритм является единым методом, позволяющим по любому исходному объекту из определённого бесконечного множества объектов получить искомый результат. В этом состоит свойство массовости. Так, например, алгоритм деления чисел, применяем не только к числам 243 и 3 или 150 и 5, а к любым натуральным числом.

- «решить задачу» означает решить её за конечное число шагов. Это свойство называется результативность. Оно заключается в том, что алгоритм всегда направлен на получение некоторого искомого результата, который при надлежащих исходных данных всегда получается. Рассмотрим, например, алгоритм решения квадратного уравнения при помощи формулы корней.

a·x²+b·x+c=0 , где а?0, b и c- любые действительные числа.

1. Вычислите дискриминанта по формуле Д= b²-4·a·c;

2. Если Д<0, то уравнение не имеет корней;

3. Если Д=0, то уравнение имеет два одинаковых корня х₁=х₂=;

4. Если Д>0, то уравнение имеет два различных корня х₁ =

и второй корень х₂ =.

При соответствующих исходных данных любой ученик при верном выполнении шагов алгоритма получит искомый результат ( a = 1, b = 6, c = 5), то x₁= -5, x₂ = -1). Очевидно, что выполнение алгоритма может обрываться на втором шаге, если Д < 0, то мы делаем вывод, что уравнение с такими данными не имеет корней (например: а = 7, b = 5,c = 3,).

- в любом алгоритме для каждого шага (кроме последнего) можно указать единственный (при данном выборе исходных объектов), непосредственно следующий за ним шаг, то есть такой, что между ними нет других шагов. Поэтому говорят, что алгоритм обладает свойством дискретности.

Таким образом, из характеристики основных свойств алгоритма ясно, что алгоритм всегда представляет собой предписание о выполнении некоторой системы операций, но не всякое предписание о выполнении операций является алгоритмом. Алгоритм считается заданным, если однозначным образом указаны те действия, которые на каждом шаге должны быть произведены над объектом при всех его возможных состояниях, чтобы перевести его в требуемое состояние. При этом считается, что все возможные состояния объекта известны и предусматривают однозначные реакции решающего задачу на каждое из них [16].

В дальнейшем в нашей работе под алгоритмом будем понимать любое предписание, удовлетворяющее свойствам алгоритма.

§ 5 Классификация алгоритмов.

Как и любое множество объектов, множество алгоритмов, можно классифицировать по различным основаниям. Для того чтобы выяснить, как обучить алгоритму, необходимо представлять цель применения данного алгоритма: преобразование объекта или его распознавание.

В курсе алгебры 7-9 классов большинство алгоритмов - вычислительные, а, следовательно, связаны с преобразованием тех или иных математических объектов.

Задача распознавания всегда является частной по отношению к задаче преобразования.

Таким образом, алгоритмы с точки зрения цели, достигаемой с их помощью, можно разделить на 2 типа: алгоритм преобразования и алгоритм распознавания. При этом алгоритмы преобразования включают в себя операции распознавания, а алгоритмы распознавания могут включать в себя операции преобразования.

Как отличить такие алгоритмы друг от друга? Это можно сделать лишь по характеру цели, которая ставится в процессе решения задачи с помощью алгоритма, по заключительному результату, получающемуся в итоге применения алгоритма.

Если таким результатом является суждение о принадлежности исходного объекта к некоторому классу, то данный алгоритм в целом является алгоритмом распознавания, в противном случае алгоритм представляет собой алгоритм преобразования.

Пример алгоритма распознавания посредством преобразования можно привести из области арифметики:

Например, для того чтобы определить (распознавать), делится ли некоторое число на 9, задача преобразуется: ищется сумма цифр числа. Чтобы определить число корней уравнения 5х²+6х+1=0 преобразуем задачу: найдём дискриминант уравнения. Д=36-20=16 Так как 16>0, то уравнение имеет 2 различных корня.

В любом процессе распознавания, который осуществляется путём преобразования, то есть с помощью некоторой конструктивной деятельности, важнейшей операцией является сопоставление преобразованного объекта с некоторыми признаками, заданными определением или каким-либо другим теоретическим утверждением.

Следует отметить, что в школьном курсе алгебры алгоритмам распознавания отводится гораздо меньше внимания, чем алгоритмам преобразования. Такой подход нецелесообразен. Подавляющее большинство действий человека применимо не просто к отдельным конкретным предметам, а к предметам как к элементам некоторых классов предметов, и поэтому гораздо целесообразнее вырабатывать формы поведения применительно к объектам как представителям целых классов. Только в этом случае появляется возможность переносить поведение с одного предмета на другой; не проходя каждый раз специальной стадии обучения. Но чтобы такой перенос поведения стал возможен, необходимо распознать, к какому классу принадлежит объект.

Одно ясно, что не осуществив процесса распознавания или распознав предмет ошибочно, учащиеся не могут осуществить его преобразование или оно будет неправильным.

Так, например, в методике математики выделяют три типа задач на проценты:

I. Нахождение процента от числа;

II. Нахождение числа по его проценту;

III. Нахождение процентного отношения;

Решение всех трёх типов задач можно свести работе с формулой аb=c, где

а - «всё», b - « процент, выраженный в десятичной дроби», c - «часть». В задачах I типа известны переменные a и b, и нужно найти с. В задачах II типа известны - b и с, нужно найти а. Следовательно, в задачах третьего типа известны - а и с, и нужно найти b. Для того, чтобы решить задачу на проценты, необходимо распознать к какому из трех перечисленных типов она относится.

Специальное обучение процессам распознавания, преобразования и выяснения возможностей их алгоритмизации выступает, поэтому как важная задача, решение которой имеет существенное значение для практики и теории обучения.

§ 6 Этапы изучения алгоритма в школе.

Следует различать 2 смысла, в котором может употребляться выражение «алгоритмизация обучения».

1. Под алгоритмизацией обучения понимают алгоритмизацию деятельности учителя; составление и использование алгоритмов обучения.

2. Алгоритмизация деятельности учащихся, то есть не что иное, как обучение алгоритмам.

Открытие алгоритмов решения математических задач привело к коренному изменению в практике обучения математике: алгоритмам стали учить, и это во много раз облегчило и ускорило овладение этим предметом. В то же время учебный процесс ни в коем случае не должен и не может быть сведён только к обучению алгоритмам.

В обучении учащихся алгоритмам можно идти разными путями:

1) Давать учащимся алгоритм в готовом виде. Такой путь не является лучшим, но позволяет экономить время.

2) Гораздо более ценно, когда ученик открывает соответствующие алгоритмы сам или с помощью учителя.

3) Подбор учителем таких упражнений и задач в ходе решения, которых у учащихся будут формироваться нужные системы операций.

Формирование алгоритмического процесса идёт более успешно, когда эти различные пути соединяются.

При формировании алгоритма выделяют три основных этапа [26]:

I. Введение алгоритма. Этот этап подразумевает следующее:

1) Актуализация знаний, необходимых для введения и обоснования алгоритма.

2) Открытие алгоритма учащимися под руководством учителя.

3) Формулировка алгоритма.

II.Усвоение

Отработка отдельных операций, входящих в алгоритм и усвоение их последовательности.

III.Применение алгоритма.

Отработка алгоритма в знакомой и незнакомой ситуациях.

Выделенные этапы будут проиллюстрированы во второй главе работы.

Таким образом, применение алгоритмического метода при обучении математике устраняет главный недостаток учебников: процесс мыслительной деятельности расчленяется на определённое число достаточно простых элементарных операций, усвоения и понимания которых для учащихся будет менее трудоёмко.

Часть 2

1 Особенности изучения темы «Неравенства» в школьном курсе математики

Материал, связанный с неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Неравенства используются в различных разделах математики, при решении важных прикладных задач.

Неравенства сами по себе представляют интерес для изучения, так как именно с их помощью на символьном языке записываются важные задачи познания реальной действительности. Как в самой математике, так и в её приложениях с неравенствами приходится сталкиваться не менее часто, чем с уравнениями. Тема “Неравенства” связана со всеми темами курса алгебры. Например, неравенства используются при изучении свойств функции (нахождение промежутков знакопостоянства функции, определение монотонности и др.)

До прихода в школу дети приобретают опыт в обращении с понятиями «больше», «меньше», «не равны». Поэтому пропедевтическое изучение неравенств должно осуществляться совместно с изучением уравнений.

С соотношениями «больше», «меньше» между числами и знаками этих отношений дети знакомятся уже в 1 классе при изучении чисел первого десятка. В начальной школе дети должны научиться сравнивать уже простейшие числовые выражения, например, такие как: а+3 и а+1.

В начальной школе начинается и решение простейших неравенств, хотя термины «решение неравенства» и «решить неравенство» ещё не вводится. Приведём пример задания, предлагаемого в начальной школе.

Записать несколько значений букв, при которых верно неравенство х<9.

В 5 классе изучается сравнение натуральных, десятичных дробей.

Например, сравните многозначные натуральные числа 3421 и1803

Результат сравнения записывается в виде неравенства с помощью

Знаков « > » и « < » .

В 6 классе для установления отношений «больше», «меньше» на множестве рациональных чисел вводится понятие модуля числа. В связи с этим рассматриваются неравенства вида |х|?а, |х-b|<b, |х-a|?b. Их решения осуществляются с помощью числовой оси.

Тема “Неравенства” систематически изучается в 7-8 классах. В неё включены следующие разделы: «Числовые неравенства и их свойства», «Почленное сложение и умножение числовых неравенств», «Линейное неравенство с одной переменной», «Система линейных неравенств с одной переменной».

В 8 классе начинается изучение различных способов доказательства неравенств. С целью повышения доступности материала рассматриваются главным образом такие доказательства, которые ограничиваются методом сравнения с нулём разности левой и правой частей неравенств. В связи с решением линейных неравенств с одной переменной даётся понятие о числовых промежутках, появляются и вводятся соответствующие обозначения. При решении неравенств используются свойства равносильных неравенств, которые разъясняются на конкретных примерах. Особое внимание надо уделять отработке умения решать простейшие неравенства вида ах<b.

Формирование умений решать неравенства вида ах²+вх+с>0, где а?0, осуществляется в 9 классе с опорой на сведения о графике квадратичной функции. Здесь учащиеся знакомятся с методом интервалов. Решают этим методом дробно - рациональные неравенства.

Следует особо остановиться на вопросе о равносильности неравенств, так как некоторые свойства числовых неравенств нельзя бездумно переносить на неравенства, содержащие переменную. Известно, что при добавлении к обеим частям числового неравенства любого числа, получаем новое неравенство, равносильное исходному. Но при добавлении к обеим частям неравенства какого - нибудь выражения может получиться неравенство неравносильное данному.

При переходе к функциональным неравенствам учащиеся сталкиваются с двумя важными аспектами математического образования.

Первый аспект состоит в геометрическом истолковании неравенств, которое делает все рассуждения предельно ясными. Однако нельзя забывать, что заключение делается не на основе чертежа, а путём анализа алгебраического выражения.

Второй аспект сводится к различным приёмам доказательства. Самый главный из них - рассмотрение разности между двумя частями неравенства. Но существуют и такие методы, как сведение доказываемого неравенства к равносильному, которое осуществляется заменой данных выражений обратным им, использование метода от противного и метода математической индукции.

Таким образом, неравенства являются наиболее компактным, легко обозреваемым и доступным для учащихся материалом, на котором отрабатываются сложнейшие математические методы. Отметим ряд особенностей изучения темы:

1) Как правило, навыки решения неравенств формируются на более низком уровне, чем навыки решения уравнений соответствующих классов, так как теория неравенств сложнее теорий уравнений (при выполнении одного и того же числа упражнений техника решения неравенств какого - либо класса будет ниже, чем уравнений соответствующего класса; следовательно, если имеется необходимость формирования прочных навыков решения неравенств, то для этого требуется большее число заданий).

2) Большинство приёмов решения неравенств состоит в переходе от данного неравенства к уравнению и последующем переходе от найденных корней уравнения к множеству решений исходного неравенства (темы, относящиеся к неравенствам, расположены после тем, относящихся к соответствующим классам уравнений).

3) В изучении неравенств большую роль играют наглядно - графические средства (изучение неравенств зависит от качества изучения функциональной линии школьного курса - построение графиков и графическое исследование функций).

Рассмотрим введение алгоритма решения неравенств первой и второй степени с одним неизвестным.

§2 Формирование алгоритма « Решение неравенств первой степени с одной неизвестной»

Цель:

· выработать умение решать неравенства первой степени с одним неизвестным и системы линейных неравенств.

Рассмотрению линейных неравенств и их систем предшествует детальное изучение числовых неравенств и их свойств.

В отличие от свойств числовых равенств, с которыми учащиеся знакомы ещё с начальной школы, свойства числовых неравенств они изучают практически впервые. Свойства формулируются в общем виде и достаточно строго доказываются. Это часто вызывает дополнительные трудности у учащихся, так как они здесь впервые в алгебре встречаются с теоремами.

Алгоритм решения неравенства с неизвестным сложнее, чем алгоритм решения уравнений, так как на последнем этапе решения приходится учитывать знак коэффициента при неизвестном. Кроме того, в отличие от уравнения неравенство имеет не отдельные решения, а, как правило, множество решений.

Решение систем неравенств с одним неизвестным тесно связано с числовыми промежутками, с которыми учащиеся знакомятся впервые. Изображению числовых промежутков на координатной прямой нужно уделить особое внимание. В частности, можно предложить следующий алгоритм, который позволит учащимся правильно отмечать промежутки, соответствующие неравенствам (простым или двойным) на координатной прямой.

Например, дано неравенство а ? x < b

Нужно отметить соответствующий промежуток на координатной прямой. Для этого воспользуемся алгоритмом.

1. Если знак первого неравенства нестрогий, то точка будет закрашенной > ставим точку на координатную прямую

( ? ( ? )> * > отмечаем точку).

Если знак первого неравенства строгий, то точка будет выколотая> отмечаем точку на координатной прямой

( < ( > )> п >отмечаем точку)

2. Аналогично для второго знака неравенства (если неравенство двойное).

3. Отмечаем область согласно знаку:

-если знак меньше, то отмечаем все точки лежащие левее данной точки (штриховкой).

-если знак больше, то отмечаем все точки лежащее правее относительно этой точки (штриховкой).

4. Выделяем общую область (двойная штриховка, это для двойных неравенств). Упражнения на каждый этап работы с этим алгоритмом приведены во второй части работы (практическая часть).

Данный алгоритм используют как составную часть при решении неравенств первой степени, системы неравенств, нахождения области определения и области значений.

В результате изучения темы учащиеся должны:

· знать определения неравенства и основные свойства неравенств.

· уметь решать неравенства с неизвестным и их системы.

Специфические действия:

a) составление разности выражений стоящих в левых и правых частях неравенств;

b) выполнение тождественных преобразований выражений;

c) установление знака разности выражений;

d) подведение под понятия «больше» и «меньше»;

e) изображение промежутка, заданного его концами, на координатной прямой и запись промежутка «на языке» неравенств;

f) алгоритм решения линейных неравенств с одной переменной;

g) определения границ выражения, если переменные, входящие в него, заданы своими границами.

«Ядерным» материалом темы является :

· Понятия: «< » , « > » неравенство, решение неравенства, решение системы неравенств, равносильных неравенств;

· Свойства числовых неравенств, равносильных неравенств;

· Операции над числовыми неравенствами ;

· Алгоритм решения неравенства с одной переменной и решения системы неравенств;

Алгоритм решения линейных неравенств с одной переменной и решения систем линейных неравенств предлагается ввести индуктивно на конкретных примерах, анализ которых позволяет учителю вместе с учащимися, сделать обобщение, сформулировать алгоритм.

Рассмотрим формирование алгоритма решения неравенства с одной переменной.

Для построения алгоритма как результата теоретического обобщения решения задач может быть эффективно использована групповая форма работы на первом этапе построения алгоритма.

Класс разделён на четыре группы. Каждой группе учитель даёт задание - решить предложенное неравенство (1 группе - под буквой а; 2 группе под буквой b и так далее). Порядок выполнения действий описан ниже.

a) x•(x+1)+2•(x²+3x)+6 > x•(3•x+5)-x+9

b) 7•t• (2•t-3) -18 ? (14•t+3) • (t+2)

c) 3•x• (2•x-5)+4 ? x•(6•x-9)-2• (3•x+3)

d) (2•y+1)²+2 < 2•y• (2•y+5)-6•y+5

Первый шаг: упростите выражение в каждой части неравенства.

Второй шаг: перенесите члены неравенства содержащие переменную, в левую часть, а числа - в правую часть с изменением знака на противоположный (на основании какого свойства числовых неравенств мы это можем сделать?).

Третий шаг: приведите подобные члены.

Четвёртый шаг: разделите обе части неравенства на коэффициент при переменной (используются свойства равносильных неравенств), получите простейшие неравенства:

a) x>1;

b) t<-16,1;

c) нет решений;

d) у - любое решение;

Пятый шаг: отметьте решения на координатной прямой.

Анализ решения позволяет записать алгоритм решения линейного неравенства 1 степени с одной неизвестной.

1. Раскрыть скобки в обеих частях неравенства (если есть дробные коэффициенты, то неравенство освободить от дробей).

2. Перенести слагаемые, содержащие переменную в одну часть, а не содержащие в другую.

3. Привести подобные члены в каждой части.

4. Разделить обе части неравенства на коэффициент при переменной (с учётом свойств равносильности при а?0).

5. Записать ответ в виде простейшего неравенства.

6. Отметить соответствующие промежутки на координатной прямой.

7. Записать числовой промежуток.

Алгоритм решения неравенства вида ax>b, который является составной частью приведённого выше алгоритма, записывается в виде схемы (рис. 1).

Рассмотрим работу с алгоритмом решения линейных неравенств поэтапно. На первом этапе полезно актуализировать следующие знания: тождественные преобразования рациональных выражений, свойства числовых неравенств, изображение промежутков на координатной прямой, нахождение пересечения и объединения промежутков. После этого проводим описанную выше работу и формулируем сам алгоритм. На втором этапе отрабатываем отдельные операции, входящие в алгоритм (приведение подобных членов, решение неравенств при а > или ? 0) и их последовательность.

да нет

да

Третий этап может быть очень разнообразным. Всё зависит от уровня знаний и умений учащихся. Но в любом случае надо начать с элементарных задач, а уже после формирования навыка решения линейных неравенств первой степени с одной неизвестной у учащихся.

I. Этап (актуализация знаний)

а) Изобразите на координатной прямой промежутки, соответствующие неравенствам:

· х?3,

· x<-5,

· x?2

b)

· -1.5?x?4,

· 2<y<6.1,

· -3<z ? 9.2

c) Запишите неравенства, соответствующие ппромежуткам:

· [2;+ ?)

· (-3;+ ?)

· (-?;4)

· (-5;3]

· [-6;8]

· (-?;+?)

2) Найдите пересечение промежутков

· (1;8)?(5;10)

· [-4;4]? [-6;6)

· (-?;10) ? (-?;6]

3) Найдите объединение промежутков

· [7;10] и (-3;5]

· [3;+] и (8;+)

· (-;3] и (-5;16]

4) Запишите в виде неравенства утверждения

· сумма чисел х и 17 больше 18;

· разность чисел 13 и х меньше 2;

· произведение чисел 17 и х не меньше 3;

· удвоенная сумма чисел х и (-3) не больше 2;

· полусумма чисел х и 3 не больше их произведения;

· удвоенное произведение чисел х и (-4) не меньше их разности

5) Заполните пустые места таблицы

Неравенство	Изображение решения	Запись решения
3<x<6		(3,6)
-2?x?4		…
7<x?10		…;10]
…x<5		[-3;…
…		[4;+?)
-4<x…3		…

II этап

1. Избавьтесь от дробных чисел в неравенстве и где нужно раскройте скобки

·

·

·

·

·

2. Перенесите члены с неизвестными в одну часть, а известные в другую и приведите подобные члены

·

·

·

·

·

3. Приведите неравенство к виду x > p ( или х ? р )

·

·

·

4.Найдите соответствие

· 1) а)

· 2) b)

· 3) c)

· 4) d)

5. Найдите ошибку в решении неравенства.

a) 5·(3+2с)>4-2·c

15+2·c>4-2·c

2·c+2·c>4-15

4·c>-11

c>-11/4

b) 4·(4-x)?x+21

16-4·x?x+21

-4·x-x?21-16

-5·x?-5

x?-1

6. Решите неравенства.

·

·

·

·

·

III этап

1.Решите неравенства.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

2. При каких значениях у выражение принимает отрицательное значение

a)

b)

c)

d)

3. При каких а значение дроби больше значение дроби

4. При каких х значение дроби больше значения разности

дробей

5. Найдите натуральные решения неравенства

a)

b)

6. Найдите положительные решения неравенства

a)

b)

7. Длина стороны прямоугольника 6 см. Какой должна быть длина другой стороны, чтобы периметр прямоугольника был меньше чем периметр квадрата со стороной 4см.

8. Найдите область определения выражения.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

9. Сколько железнодорожных платформ потребуется для перевозки 183 контейнеров, если на одной платформе можно разместить не более 5 контейнеров.

10. Одна сторона треугольника равна 8 см., другая - 13см.

1) каким наименьшим целым числом сантиметров может быть длина третьей стороны?

2) каким наибольшим целым числом сантиметров может быть длина третьей стороны?

11.При каких значениях х точки графика функции у=3х+1.5 лежат выше точек графика функции у=-2х+1.

§3 Формирование алгоритма « Решение неравенств второй степени с одним неизвестным»

Цель:

· выработать умение решать неравенства второй степени с одним неизвестным и системы квадратных неравенств.

Решение квадратных неравенств - это традиционно обособленная часть исследования свойств квадратичной функции. Например, задача о решении неравенства х²-5х+6<0 может быть переформулирована в задачу о нахождении промежутков, на которых функция у =х²-5х+6 принимает отрицательные значения, а это легко решается с помощью эскиза графика. Этот способ фактически является строгим обоснованием графического способа.

Метод интервалов является логическим продолжением решения квадратных неравенств. Он позволяет решать более сложные неравенства, у которых левая часть - многочлен любой степень, представляемый в виде простых множителей, или дробь, у которой числитель и знаменатель также многочлены, разлагаемые на множители.

В результате изучения темы учащиеся должны уметь:

· решать квадратные неравенства с одной неизвестной графически и методом интервалов

Специфические действия:

1. Привидение неравенства к квадратному виду.

2. Решение квадратных уравнений.

3. Построение графиков функций (схематично).

4. Выполнение тождественных преобразований.

5. Определение знака выражения на соответствующих промежутках.

6. Алгоритм решения квадратных неравенств с одной переменной.

«Ядерным» материалом темы является:

1. Понятия «< » , « > » неравенство, решение неравенства решение системы неравенств, равносильных неравенств;

2. Свойства числовых неравенств, равносильных неравенств;

3. Алгоритм решения квадратных неравенств с одной переменной и решения системы неравенств.

4. Свойства графика квадратичной функции.

Рассмотрим работу с алгоритмом решения неравенств второй степени (графически) поэтапно. На первом этапе полезно актуализировать знания: нахождение корней квадратного трёхчлена, дискриминанта, изображение графиков квадратичных функций (схематично). После этого формулируем сам алгоритм. На втором этапе отрабатываем отдельные операции, входящие в алгоритм: изображение графиков функций, нахождение при каких значениях х функция принимает положительные, а при каких отрицательные значения. На третьем этапе применяем алгоритм при решении более сложных задач.

I. Введение алгоритма.

Рассмотрим введение алгоритма “решение неравенств второй степени с одним неизвестным” (графическим методом) с использованием обучающих самостоятельных работ.

1.Актуализация знаний

Обучающую самостоятельную работу проводим по новому материалу,

но перед этим повторим ранее изученные понятия, которыми придётся воспользоваться.

1. у у у

а) Куда направлены ветви параболы?

b) Пересекает ли парабола ось ох, если да то сколько раз?

с) При каких х парабола принимает положительные значения?

d) При каких х парабола принимает отрицательные значения?

2. Изобразите схематично график функции.

· у=х²+5х-6

· у=-х²+4х-4

· у=3х²+4х+8

· у=0,1х²+3х-6

3. Изобразите схематично параболу, которая на

· промежутке (-?;-3] убывает, а на промежутке [-3;+ ?) возрастает;

· промежутке (-?;6] возрастает, а на промежутке [6;+ ?) убывает;

4. При каких значениях х , функция принимает положительные значения

· f(x)=-x²+4x-2;

· f(x)=3х²+2х-1;

5. При каких значениях х , функция принимает отрицательные значения

· f(x)=-х²+4х-1;

· f(x)=4x²+2x-1;

2. Открытие алгоритма учащимися под руководством учителя.

После этого начинается работа с объяснительным текстом. Каждый ученик самостоятельно изучает этот текст. Это предполагает активную работу мысли ученика. Текст составлен таким образом, чтобы учащиеся в меру возможностей самостоятельно выводили формулы, находили нужные приёмы решения задачи.

Если в левой части неравенства стоит квадратный трёхчлен, а в правой - нуль, то такое неравенство называют квадратным. Например, неравенства

2х²-3х+1?0, -3х2+4х+5<0 являются квадратными.

Решением неравенства с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство - найти все его решения или установить, что их нет.

Решение неравенства второй степени с одной переменной можно рассматривать как нахождение промежутков, на которых соответствующая квадратичная функция принимает положительные и отрицательные значения.

Например, решим с помощью свойств графика квадратичной функции неравенство 2х²-х-1?0

График квадратичной функции у=2х²-х-1 - парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдём точки пересечения этой параболы с осью ох, для этого решим квадратное уравнение 2х²-х-1=0. Корни уравнения х₁=1, х₂=-0.5

Следовательно парабола пересекает ось ох в точках х₁=1, х₂=-0.5

Покажем схематично как расположена парабола в координатной плоскости.

х

Из рисунка видно, что неравенству 2х²-х-1?0 удовлетворяют те значения х, при которых значения функций равны нулю или отрицательны то есть те значения х при которых точки параболы лежат на оси ох или ниже этой оси. Из рисунка видно, что этими значениями являются все числа из отрезка

[-0.5;1].

Ответ: -0.5?х?1

График этой функции можно использовать и при решении других неравенств, которые отличаются от данного только знакомом неравенства, из рисунка видно, что:

1) решениями неравенства 2х²-х-1 < 0 являются числа интервала -0.5<х<1

2) решениями неравенства 2х²-х-1 > 0 являются все числа промежутков

х<-0.5 и х>1.

3) решениями неравенства 2х²-х-1 ? 0 являются все числа промежутков

х ?-0.5 и х ? 1.

После работы с объяснительным текстом учащиеся получают «нулевые» задания. Они предназначены для самоконтроля и к ним предлагаются правильные ответы. Если ответы учеников не совпали с данными ответами, то придётся повторно прочитать объяснительный текст и снова выполнить «нулевые» задания, устранив ошибки.

1⁰ Решите неравенства:

а) 4х²-5х+6х<0,2(10х²+15)

1. Приведите неравенство к квадратному виду .

2 Выясните имеет ли выражение, стоящее в левой части корни.

(Решите уравнение, приравняв выражение в левой части к нулю.)

Заполните таблицу

	Д>0	Д<0	Д=0
Количество корней
Найдите и отметьте корни на числовой оси (корни разбивают числовую ось на промежутки)
Изобразите схематично параболу
Выберите промежутки, в которых выражение имеет требуемый знак, и запишите ответ.

Аналогично решите неравенства

b) х²+2х+1?0 (Заполните таблицу)

c) -х²+х-1?0 (Заполните таблицу)

3. Формулировка алгоритма.

2⁰. Сформулируйте этапы решения квадратных неравенств (графическим методом).

Ответы:

1. а)1<х<1.5

b) х - любое число;

c) нет решения.

2. Алгоритм решения квадратных неравенств с одной переменной (графическим методом)

1.Перенесите все слагаемые в левую часть и решите уравнения, приравняв выражение в левой части к нулю (найдите дискриминант квадратного трёхчлена, и выясните, имеет ли трёхчлен корни).

2. Если трёхчлен имеет корни, то отметьте их на оси абсцисс и через отмеченные точки проведите схематично параболу ветви которой направлены вверх при а>0 или вниз при а<0, если трёхчлен не имеет корней, то схематично изобразите параболу, которая расположена в верхней полуплоскости при а>0 или в нижней полуплоскости при а<0.

3. Найдите на оси ОХ промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси ох (если ах²+вх+с>0) или ниже оси ох (если ах²+вх+с<0).

4.Запишите ответ, взяв эти промежутки в объединение.

II Усвоение.

Составной частью работы с алгоритмом является система упражнений, предназначенных для осознания учащимися изучаемого материала, более глубокого его усвоения, формирования необходимых понятий. По ходу выполнения упражнений в задачах даются дополнительные разъяснения, а к наиболее трудным - ответы.

1. Приведите неравенства к квадратному виду

1) у²+5у²-3у>5(у+1)

2) 0.2(z+4)-0.8?1.2z+2

3) 6+m²+m<m(2m²-6)

2.(устно) Используя график функции у=ах²+вх+с (см рис). указать, при каких значениях х эта функция принимает положительные значения; отрицательные значения; значения равные нулю.

у у у

-3

3. Построить график функции f(x) (схематично). Определить по графику значения х при которых функция принимает положительные значения, отрицательные значения.

1)

2)

3)

4.Решите графически неравенства

1)

2)

3)

4)

4. Найдите, при каких значениях х трёхчлен

· принимает положительные значения;

· принимает отрицательные значения;

5. Решите неравенства.

a) х²<16;

b) х²?3;

c) 0,2х² >1,8;

d) -5х²?х.

6.Найдите множество решений неравенств:

a) 3х²+40х+10<-х²+11х+3;

b) 9х²-х+9?3х²+18х-6;

c) 2х²+8х-111<(3х-5)(2х+6).

7. Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:

a) 4х²+12х+9?0;

b) -5х²+8х-5<0.

III.Применение алгоритма

На этом этапе работы с алгоритмом задания предлагаются аналогичные рассмотренным, но с постепенным усложнением. В ходе решения учитель проверяет правильность понимания учащимися изученного вопроса, уточняет формулировки, разъясняет допущенные ошибки.

1.Решите неравенство.

1)

2)

3) 2x (3x-1)>4x²+5x+9

4) (5x+7)(x-2)<21x² -11x-13

2. Найдите общее решение неравенств х²+6х-7 ? 0 и х²-2х-15 ? 0

3.Докажите, что:

· х²+7х+1>-x²+10x-1 при любом х;

· -2х²+10х<18-2x при х?3.

4. Одна сторона прямоугольника на 7 см больше другой. Какой может быть сторона, если площадь прямоугольника меньше 60 см².

5. Найдите область определения функции.

· у = 12х-3х²

· у = 1/ 2х ² -12х+18

После того как учащиеся познакомились с графическим методом, предлагается метод интервалов - как ещё один из способов решения квадратных неравенств.

Формирование алгоритма решения квадратных неравенств с одним неизвестным (методом интервалов) можно осуществить аналогичным образом.

Алгоритм решения неравенства второй степени c одним неизвестным (методом интервалов).

1. Раскройте скобки в обеих частях неравенства (если есть дробные коэффициенты, то неравенство освободить от дробей).

2. Перенесите все слагаемые в левую часть, приведите подобные члены (если нужно).

3. Решите уравнения, приравняв выражение в левой части к 0 (найдите дискриминант и выясните, имеет ли трёхчлен корни).

4.Найденные корни уравнения нанесите на числовую ось. Эти корни разбивают числовую ось на промежутки, на каждом, из которых выражение, стоящее в левой части, сохраняет знак.

5. Выберите на каждом из промежутков какое - нибудь значение (пробную точку) и определите знак выражения в этой точке.

6. Выберите промежутки, в которых выражение имеет требуемый знак, и запишите ответ, взяв их в объединение.

1. Актуализация знаний

1. ах²+вх+с=0

1) Решите квадратное уравнение.

2) Разложите левую часть уравнения по формуле ах²+вх+с=а(х-х₁)(х-х₂), где х₁,х₂ - корни данного уравнения.

2.Найдите корни уравнения, разложите уравнение по корням, отметьте корни на числовой оси.

·

·

3.Разложите многочлен на множители

·

·

II Усвоение

1. Сведите следующие неравенства к квадратному.

1)

2)

3)

2. Найдите при каких значениях х трёхчлен

· принимает положительные значения;

· принимает отрицательное значения;

3. Решите неравенства

4. Длина прямоугольника на 5 см. больше ширины. Какую ширину должен иметь прямоугольник, чтобы его площадь была больше 36см².

5. При каких значениях х функция у= - х² + 8х + 2 принимает значения больше 9.

6. Разложите многочлен на множители.

·

·

·

7. Решите неравенство методом интервалов.

·

·

·

·

·

·

8. Найдите область определения выражения.

1)

2)

9. Решите неравенство

1)

2)

3)

III.Применение алгоритма

1. Решите неравенство.

1)

2)

3)

4)

2. Найдите общее решение х²+6х-7 ? 0 и х²-2х-15 ? 0

3.Решите систему неравенств.

1)

2)

3)

4.Катер должен не более чем за 4 часа пройти по течению реки 22,5км и вернуться обратно. С какой скоростью относительно воды должен идти катер, если скорость течения равна 3км/ч.