Методика организации и проведения уроков итогового повторения в 9 классе по теме: "Основные методы решения планиметрических задач" в плане подготовки к ГИА

Построение итогового повторения курса математики, подготовка к государственной итоговой аттестации:

- Итоговое повторение учебного материала необходимо проводить, используя блочно - модульное структурирование учебного материала, укрупнение учебных единиц.

- Выстраивать повторение, соблюдая «правило спирали» - от простых заданий до заданий более сложных.

- Использовать на уроках раздаточный материал с проверкой основных приемов и специальных методов решения простейших заданий.

- Контроль за успеваемостью учащихся, проверка усвоения повторяемого материала.

В свете всего выше сказанного можно судить о том, что итоговое повторение в 9 классе не только обязательно, но и необходимо, особенно при подготовке к ГИА. Касаемо планиметрических задач в итоговом повторении следует уделить внимание не только отработке непосредственно приемов решения задач, но и умению правильно проводить дополнительные построения, уметь выделять необходимые компоненты фигуры. Важно организовать повторение так, чтобы оно естественным образом вписывалось в урок, проходило на более высоком уровне, устанавливая новые связи между старыми известными звеньями.

Тематическое планирование итогового повторения

Тип урока	Задача	Цель	Планируемый результат
Решение планиметрических задач по теме треугольник	Совместно с учащимися рассмотреть решение основных планиметрических задач: нахождение внешнего угла треугольника, нахождение площади треугольника, нахождение элементов прямоугольного треугольника.	В результате ученик: Умеет решать основные планиметрические задачи; Умеет находить внешний угол треугольника, площадь треугольника, элементы прямоугольного треугольника; Знает, как применять полученные знания при решении планиметрических задач.	Усвоение основных приемов решения планиметрических задач на понятие треугольника
Решение планиметрических задач по теме треугольник	Совместно с учащимися рассмотреть решение основных планиметрических задач: на доказательство, на нахождение площади треугольника.	В результате ученик: Умеет решать основные планиметрические задачи; Умеет находить внешний угол треугольника, элементы треугольника; Знает, как применять полученные знания при решении планиметрических задач.	Усвоение основных приемов решения планиметрических задач на понятие треугольника
Решение планиметрических задач по теме четырехугольник	Совместно с учащимися рассмотреть решение основных планиметрических задач: нахождение площади четырехугольника, нахождение элементов четырехугольника	В результате ученик: Умеет решать основные планиметрические задачи; Умеет находить элементы четырехугольника; Знает, как применять полученные знания при решении планиметрических задач.	Усвоение основных приемов решения планиметрических задач на понятие четырехугольника
Решение планиметрических задач по теме четырехугольник	Совместно с учащимися рассмотреть решение основных планиметрических задач: нахождение площади четырехугольника, нахождение элементов четырехугольника.	В результате ученик: Умеет решать основные планиметрические задачи; Умеет находить элементы четырехугольника; Знает, как применять полученные знания при решении планиметрических задач.	Усвоение основных приемов решения планиметрических задач на понятие четырехугольника
Решение планиметрических задач по теме окружность	Совместно с учащимися рассмотреть решение основных планиметрических задач: на нахождение острого угла окружности, нахождение радиуса окружности, на доказательство.	В результате ученик: Умеет решать основные планиметрические задачи; Умеет находить элементы окружности; Знает, как применять полученные знания при решении планиметрических задач.	Усвоение основных приемов решения планиметрических задач на понятие окружности



§2. Практическое исследование

Урок 1 по теме: «Решение планиметрических задач по теме треугольник».

Тема урока: Решение планиметрических задач на понятие треугольника.

Класс: 9

Учебная задача: совместно с учащимися рассмотреть решение основных планиметрических задач: нахождение внешнего угла треугольника, нахождение площади треугольника, нахождение элементов прямоугольного треугольника.

Диагностируемые цели урока:

В результате ученик:

Умеет решать основные планиметрические задачи;

Умеет находить внешний угол треугольника, площадь треугольника, элементы прямоугольного треугольника;

Знает, как применять полученные знания при решении планиметрических задач.

Инструменты: доска, маркеры, линейка, треугольник.

Ход урока:

Мотивационно-ориентировочный этап.

Актуализация.

Мотивация.

Постановка учебной задачи.

Операционно-познавательный этап.

Нахождение внешнего угла треугольника.

Нахождение площади треугольника.

Нахождение высоты треугольника.

Нахождение тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике.

Нахождение гипотенузы в прямоугольном треугольнике.

Рефлексивно-оценочный этап.

Домашнее задание

Подведение итогов.

I. Мотивационно-ориентировочный этап.

Учитель: Здравствуйте, ребята, садитесь. Как вы знаете, ГИА по математике охватывает все разделы как по алгебре, так и по геометрии. Были ли среди заданий проверочной контрольной работы по ГИА задачи по планиметрии?

Ученики: Да, это задания модуля «Геометрия».

Учитель: Сколько заданий в данном модуле?

Ученики: 6 заданий в первой части и 2 во второй.

Учитель: Какие фигуры встречались задания в пробном ГИА?

Ученики: Треугольник, четырех угольники, окружности.

Учитель: К какому разделу геометрии можно отнести эти фигуры?

Ученики: К разделу планиметрии.

Учитель: Все ли вы решили задачи из данного раздела?

Ученики: Нет, не все.

Учитель: Планиметрия изучается с 7 класса, основные понятия и основные приемы решения планиметрических задач вы изучали, но как показал результат контрольной позабыли, значит, что нужно сделать?

Ученики: Необходимо повторить основные понятия планиметрии и приемы решения планиметрических задач.

Учитель: Целью нашего сегодняшнего и последующих занятий будет рассмотреть основные типы планиметрических задач, рассмотреть основные приемы решения этих задач. Тема нашего урока: «Решение планиметрических задач по теме треугольник».

II. Операционно-познавательный этап.

Учитель: Какая фигура называется треугольником?

Ученики: Треугольник -- это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки.

Учитель: Начертите треугольник и покажите его стороны, вершины и углы. Что такое периметр треугольника?

Ученики: Периметр треугольника равен сумме всех трех сторон треугольника.

Учитель: Какой угол называется внешним углом треугольника?

Ученики: Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.

Учитель: Какой отрезок называется биссектрисой треугольника?

Ученики: Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам.

Учитель: Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник?

Ученики: Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны. Треугольник имеет три медианы, так как имеет три вершины.

Учитель: Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько высот имеет треугольник?

Ученики: Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение.

Учитель: Какой треугольник называется остроугольный? Какой треугольник называется тупоугольным?

Ученики: Если все углы треугольника острые, то треугольник называется остроугольным; Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется тупоугольным.

Учитель: Какой треугольник называется прямоугольным? Как называются стороны прямоугольного треугольника?

Ученики: Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.

Учитель: Какой треугольник называется равнобедренным? Как называются его стороны?

Ученики: Равнобедренный треугольник -- это треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине. Равные стороны называются боковыми, а последняя -- основанием.

Учитель: Вы повторили основные определения, связанные с понятием треугольник. Теперь решим некоторые задачи на понятие треугольник представленные в пробных вариантах ГИА.

Задача 1: Внешний угол при основании равнобедренного треугольника равен 1400. Найдите угол между боковыми сторонами этого треугольника.

Учитель: (Просит ученика решить задачу устно, ученик решает, идет обсуждении решения).

Задача 2: Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.

Учитель: (Вызывает ученика к доске, ученик решает на доске,) остальные записывают решение в тетрадях.

Ученик:

Задача 3: Используя данные на рисунке, найдите высоту СН.

Учитель: (Вызывает ученика к доске, ученик решает задачу) остальные записывают решение в тетради.

Ученик: 1)Треугольник ABC прямоугольный, АВ гипотенуза, , АВ=15.

2) Найдем площадь ABC, она равна половине произведения катетов, то есть .

3) Так же площадь треугольника равна половине произведения АВ на СН, площадь известна, тогда 54=.

Учитель: (Хвалит ученика), есть ли еще варианты решения задачи? Вы решили данную задачу с помощью метода площадей. (Предлагает свой более быстрый способ решения). Данную задачу можно решить в два действия, традиционным методом решения, то есть с помощью формул, сначала находим гипотенузу, а потом сразу находим высоту CH. Высота опущенная к гипотенузе равна произведению катетов деленных на гипотенузу: CH=. (Ученики обсуждают предложенный вариант и записывают в тетради).

Задача 4: Используя данные, указанные на рисунке, найдите тангенс угла Р.

Учитель: Чему равен тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике?

Ученик: Отношению противолежащего катета к прилежащему.

Учитель: Значит чему равен тангенс угла Р?

Ученик: Тангенс угла Р равен

Учитель: Правильно, (вызывает к доске ученика и решить 5 задачу).

Задача 5: Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Через центр О вписанной в треугольник окружности проведен луч ВО, пересекающий катет АС в точке М. Известно, что АМ=8, а Найдите гипотенузу треугольника АВС.

Решение:

Учитель: Как будем решать данную задачу? Что известно?

Ученик: Известно, что АМ=8, а , ВО - биссектриса угла В, так как О центр вписанной окружности, а следовательно,

Обозначим за х. Имеем 3х=900, откуда х=300.

Учитель: Обрати внимание на треугольник АМВ, что в нем известно?

Ученик: В треугольнике АМВ: , а значит он равнобедренный, следует что МВ=АМ=8.

Рассмотрим прямоугольный треугольник МВС: ВС=МВ*cos300=12

В прямоугольном треугольнике АВС: АВ=2*ВС=24

Ответ: 24.

Учитель: (хвалит ученика) Мы рассмотрели более простые задачи из первой части модуля «Геометрии» встречающиеся в ГИА.

III. Рефлексивно-оценочный этап.

Учитель: Запишите домашнее задание

Д/З: В треугольнике АВС угол С равен 900, sinA= Найти косинус внешнего угла при вершине А.

Учитель: Следующее занятие начнем с проверки домашнего задания, ребята что сегодня повторили на уроке?

Ученики: Понятие треугольника, виды треугольников, элементы треугольника.

Учитель: На следующем занятии рассмотрим более сложные задачи из второй части модуля «Геометрия». Спасибо за внимание, урок окончен.

Урок 2 по теме: «Решение планиметрических задач по теме треугольник».

Тема урока: Решение планиметрических задач на понятие треугольника.

Класс: 9

Учебная задача: совместно с учащимися рассмотреть решение основных планиметрических задач: на доказательство, на нахождение площади треугольника.

Диагностируемые цели урока:

В результате ученик:

Умеет решать основные планиметрические задачи;

Умеет находить внешний угол треугольника, элементы треугольника;

Знает, как применять полученные знания при решении планиметрических задач.

Инструменты: доска, мел, маркеры, линейка, треугольник.

Ход урока:

I. Мотивационно-ориентировочный этап.

II. Операционно-познавательный этап.

III. Рефлексивно-оценочный этап.

I. Мотивационно-ориентировочный этап.

Учитель: Здравствуйте ребята, садитесь. Сегодня начнем наш урок с проверки домашнего задания. Какой у кого получился ответ?

Ученики: (у всех получился разный ответ)

Учитель: Общего ответа нет, значит нужно разобраться какой будет ответ. И так продолжим тему предыдущего урока «Решение планиметрических задач по теме треугольник». Выясним какой же на самом деле ответ получился в домашней задаче.

II. Операционно-познавательный этап.

Задание 1: В треугольнике АВС угол С равен 900, sinA= Найти косинус внешнего угла при вершине А.

Решение: (учитель вызывает ученика к доске, остальные записывают в тетради)

Ученик: sinA=

AC2=AB2-BC2=25-24=1, AC=1

Учитель: Незабываем, что находим косинус внешнего угла, а значит:

cos(1800-=

Учитель: (спрашивает ученика) понял в чем была ошибка? (ученик говорит что понял, учитель спрашивает некоторых учеников из класса) понял где была ошибка в решении, почему получилось - 0,2 а не 0,2?(ученик говорит что понял) присаживайся(говорит ученику у доски) и так решим следующую задачу(вызывает следующего ученика)

Задание 2. В параллелограмме ABCD точка Е -- середина стороны АВ. Известно, что ЕС = ED. Докажите, что данный параллелограмм -- прямоугольник.

Учитель: Обрати внимание на треугольники ВЕС и АЕD.

Ученик:

Доказательство.

Треугольники ВЕС и AED равны по трём сторонам.

Значит, углы СBE и DAE равны. Так как их сумма равна 180° , то углы равны 90° . Такой параллелограмм -- прямоугольник.

Учитель: За данную задачу на экзамене можно получить 2 балла, задача доказывается в два действия, все ли было понятно? (говорит ученику чтоб тот садился на место)

Ученики: Все ясно.

Учитель: Чем мы пользовались при доказательстве данной задачи?

Ученики: Равенством треугольников, свойством треугольников. Решим следующую задачу (вызывает ученика к доске)

Задача 3: Площадь треугольника АВС равна 40. Биссектриса AD пересекает медиану ВК в точке Е, при этом BD:CD=3:2. Найдите площадь четырехугольника EDCK. (данная задача способствует повторению метода площадей)

Решение:

Учитель: Как будешь решать данную задачу? (ученик начинает размышлять в слух, учитель предлагает ученику обозначить сторону треугольника за x и подводим ученика к методу площадей)

Ученик: Пусть AK=KC=x. По свойству биссектрисы откуда АВ=3х.

Учитель: Обрати внимание на треугольник ABK.

Ученик: Из треугольника АВК, где АЕ - биссектриса, находим, что

Учитель: Для простоты дальнейших рассуждений обозначь площадь треугольника АВС какой ни будь буквой и воспользуйся свойством площадей.

Ученик: Пусть S - площадь треугольника АВС, тогда

Таким образом,

Учитель: Какое свойство использовали при решении данной задачи?

Ученики: Свойство биссектрис, а так же свойство площадей.

III. Рефлексивно - оценочный этап

Учитель: Запишите домашнее задание, повторить все понятия связанные с четырехугольниками, а так же решить задачу: Основания трапеции равны 4 см и 9 см, а диагонали равны 5 см и 12 см. Найти площадь трапеции и угол между её диагоналями. (ответ: 30 , 90°).

Что вы сегодня повторили на уроке?

Ученики: Решение планиметрических задач связанных с понятием треугольника.

Учитель: Какие методы использовали при решении задач?

Ученики: Метод дополнительного построения, метод площадей.

Учитель: Спасибо за внимание, урок окончен.

Урок 3 по теме: «Решение планиметрических задач по теме четырехугольник».

Тема урока: Решение планиметрических задач на понятие четырехугольника.

Класс: 9

Учебная задача: совместно с учащимися рассмотреть решение основных планиметрических задач: нахождение площади четырехугольника, нахождение элементов четырехугольника.

Диагностируемые цели урока:

В результате ученик:

Умеет решать основные планиметрические задачи;

Умеет находить элементы четырехугольника, площадь четырехугольника;

Знает, как применять полученные знания при решении планиметрических задач.

Инструменты: доска, маркеры, линейка, треугольник.

Ход урока:

I. Мотивационно-ориентировочный этап.

Актуализация.

Мотивация.

Постановка учебной задачи.

Операционно-познавательный этап.

Решение задач

Рефлексивно-оценочный этап.

Домашнее задание

Подведение итогов.

I. Мотивационно-ориентировочный этап.

Учитель: Здравствуйте, ребята, садитесь. На предыдущих занятиях вы повторили основные понятия и методы решения планиметрических задач на понятие треугольника. Вам на дом была предложена задача, все ли ее решили?

Ученики: Да, она несложная, похожие задачи встречаются в ГИА в первой части.

Учитель: Чем вы пользовались при решении данной задачи?

Ученики: Теоремой Пифагора, площадью трапеции.

Учитель: Все ли задания в ГИА связанные с понятием четырехугольника так просто решаются?

Ученики: Нет, встречаются задачи которые непонятно как решать.

Учитель: Что нужно сделать что бы было понятно как решать задачи данного типа?

Ученики: Необходимо повторить основные приемы решения планиметрических задач на понятие четырехугольника.

Учитель: Целью нашего сегодняшнего занятий будет рассмотреть основные типы планиметрических задач, на понятие четырехугольника. Тема нашего урока: «Решение планиметрических задач по теме четырехугольник».

II. Операционно-познавательный этап.

Учитель: Какая фигура называется четырехугольником?

Ученики: Четырёхугольник -- это геометрическая фигура, состоящая из четырёх точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Учитель: Что такое параллелограмм?

Ученики: Параллелограмм -- это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Учитель: Сформулируйте свойства параллелограмма.

Ученики: Противоположные стороны параллелограмма равны, противоположные углы параллелограмма равны, диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, сумма всех углов равна 360°.

Учитель: Какой параллелограмм называется прямоугольником?

Ученик: Прямоугольник -- параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).

Учитель: Какой параллелограмм называется ромбом?

Ученики: Ромб -- это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Учитель: Какой прямоугольник называется квадратом?

Ученики: Квадрат -- правильный четырёхугольник, у которого все углы и стороны равны.

Учитель: Какой четырёхугольник называется трапецией?

Учитель: Трапеция -- четырёхугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Учитель: Какая трапеция называется равнобедренной?

Ученики: Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой или равнобедренной.

Учитель: Вы повторили основные определения связанные с понятием четырехугольника, теперь порешаем задачи из демонстрационных вариантов ГИА наиболее простые.

Задача 1: Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.

Учитель: (спрашивает ученика устно) Как будешь находить площадь трапеции?

Ученик: По формуле и получаем 168.

Учитель: А есть ли еще варианты решения?

Ученик: Вроде бы как и нет.

Учитель: На самом деле есть, запишите у себя в тетрадях формулу с помощью которой можно найти площадь данной трапеции: , где a и b - основания трапеции, а c и d - боковые стороны трапеции. Данная формула может пригодиться при решении задач когда известны основания и стороны трапеции, а высота неизвестна. Решим следующую задачу.

Задача 2: Две стороны параллелограмма равны 10 и 9. Из одной вершины на две стороны опустили высоты, как показано на рисунке. Длина большей из высот равна 6. Найдите длину другой высоты.

Учитель: (спрашивает ученика устно) Как будешь решать данную задачу? Обрати внимание что дано.

Ученик: Даны стороны параллелограмма, так же дана высота, нужно найти высоту.

Учитель: При нахождении чего используется высота параллелограмма?

Ученик: При нахождении площади.

Учитель: Чему равна площадь данного параллелограмма?

Ученик: Произведению основания равного девяти и высоты равной шести и будет равно 54. Можем найти другую высоту, она будет равна .

Учитель: Правильно, решим следующую задачу (вызывает ученика к доске)

Задача 3: Угол В трапеции ABCD в четыре раза больше угла А. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Учитель: Какие будут предложения по решению данной задачи?

Ученик: Может обозначим угол А через х и найдем угол В. Пусть х - угол А, В=4х, тогда , то есть х+4х=1800, 5х=1800, х=360.

Учитель: Правильно, решим следующую задачу (вызывает следующего ученика).

Задача 4: Основания трапеции равны 4 см и 9 см, а диагонали равны 5 см и 12 см. Найти площадь трапеции и угол между её диагоналями.

Учитель: Данную задачу можно решить с помощью дополнительного построения, проведем из вершины С прямую параллельную DB до пересечения с лучом АВ.

Ученик: Пусть ABCD - данная трапеция, CD = 4 см, АВ = 9 см, BD = 5 см и АС = 12 см. Чтобы известные элементы включить в один треугольник, перенесём диагональ BD на вектор DC в положение СВ'. Рассмотрим треугольник АСВ'. Так как ВВ'CD - параллелограмм, то В'С = 5 см, АВ' = АВ + ВВ' = АВ + CD = 13 см.

Учитель: Теперь известны все три стороны треугольника АВ'С.

Ученик: Так как АС2+ В'С2= (АВ')2= 52+ 122= 132, то треугольник АВ'С - прямоугольный, причем АСВ' = 90°. Отсюда непосредственно следует, что угол между диагоналями трапеции, равный углу АСВ', составляет 90°.

Учитель: Чему равна площадь трапеции?

Ученик: Площадь трапеции, как и всякого четырёхугольника, равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Отсюда площадь равна 1/2AC * BD * sin 90° = 1/2 * 12 * 5 * 1 = 30 .

Ответ: 30 , 90°.

Учитель: Данную задачу решили с помощью дополнительного построения, что помогло наиболее легко ее решить.

III. Рефлексивно - оценочный этап

Учитель: Запишите домашнее задание: Д/з. В квадрате со стороной 6 найдите: 1) диагональ; 2) радиус описанной окружности; 3) площадь описанного круга; На следующем занятии будем решать более сложные задачи представленные во второй части модуля «Геометрия». И так что вы сегодня на уроке повторили?

Ученики: Основные определения связанные с понятием четырехугольника,

Нахождение площади трапеции, высоту параллелограмма, углы в трапеции.

Учитель: Спасибо за внимание, урок окончен.

Урок 4 по теме: «Решение планиметрических задач по теме четырехугольник».

Тема урока: Решение планиметрических задач на понятие четырехугольника.

Класс: 9

Учебная задача: совместно с учащимися рассмотреть решение основных планиметрических задач: нахождение площади четырехугольника, нахождение элементов четырехугольника.

Диагностируемые цели урока:

В результате ученик:

Умеет решать основные планиметрические задачи;

Умеет находить элементы четырехугольника, площадь четырехугольника;

Знает, как применять полученные знания при решении планиметрических задач.

Инструменты: доска, маркеры, линейка, треугольник.

Ход урока:

I. Мотивационно-ориентировочный этап.

Актуализация.

Мотивация.

Постановка учебной задачи.

II. Операционно-познавательный этап.

Решение задач

III. Рефлексивно-оценочный этап.

Домашнее задание

Подведение итогов.

I. Мотивационно-ориентировочный этап.

Учитель: Здравствуйте, ребята, садитесь. Все ли ее решили домашнюю задачу?

Ученики: Да, она простая.

Учитель: (проверяет в тетрадях наличие Д/з) Чем вы пользовались при решении данной задачи?

Ученики: Теоремой Пифагора, радиусом описанной окружности, площадью описанного круга.

Учитель: На прошлом уроке повторили задачи наиболее простые, сегодня повторим решение более сложных, запишите тему урока: «Решение планиметрических задач по теме четырехугольник».

II. Операционно-познавательный этап.

Задача 1: В параллелограмме ABCD точка E -- середина стороны AB. Известно, что EC=ED. Докажите, что данный параллелограмм -- прямоугольник.

Учитель: Какая фигура называется параллелограммом? (спрашивает ученика)

Ученик: Параллелограмм -- это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Учитель: Какой параллелограмм называется прямоугольником?

Ученик: Прямоугольник -- параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).

Учитель: Выйди к доске и докажи.

Ученик: Треугольники BEC и AED равны по трём сторонам.

Значит, углы CBE и DAE равны. Так как их сумма равна 180°, то углы равны 90°. Такой параллелограмм -- прямоугольник.

Учитель: Правильно, за такое решение на экзамене можно получить за данную задачу 3 балла. Решим следующую задачу.

Задача: Основания трапеции равны 6 и 10, а боковые стороны равны 2 и 4. Биссектрисы углов при одной боковой стороне пересекаются в точке А, а при другой -- в точке В. Найдите АВ.

Учитель: В первую очередь нужно правильно начертить чертеж и обозначить что нам дано (вызывает ученика к доске).

Ученик: Пусть LC -- биссектриса угла KLM трапеции KLMN с основаниями KN и LN, KN = 10, LM = 6, KL = 4, MN = 2.

Учитель: Что из рисунка видно?

Ученик: Треугольник KLC равнобедренный с основанием LC. В нем КА -- высота, биссектриса и медиана. Аналогично, пусть MD -- биссектриса угла LMN. Тогда NB -- высота, биссектриса и медиана треугольника MND.

Учитель: Что получаем в итоге?

Ученик: Получаем: КС = LК = 4; МN = ND = 2, поэтому CD = KN - (KC + ND) = 10 - 6 = 4.

Учитель: Чем является отрезок АВ?

Ученик: В трапеции СLМD отрезок АВ -- средняя линия. СD = 4, LМ = 6, поэтому АВ = 5.

Учитель: Правильно, всем ли были понятны рассуждения (обращается к ученикам) решим еще одну интересную задачу.

Задача №3. Диагонали АС и BD трапеции АВСD пересекаются в точке О. Площади треугольников AOD и ВОС равны соответственно 16 см2 и 9 см2. Найдите площадь трапеции.

Учитель: (вызывает ученика к доске) Данная задача решается методом площадей, в первую очередь нужно обратить внимание на треугольники AOD и ВОС, что про них известно и какой вывод можно сделать?

Ученик: Так как SAOD ? SBOC, поэтому АD и ВС являются не боковыми сторонами, а основаниями трапеции.

Учитель: Какими являются данные треугольники?

Ученик: Треугольники АОD и ВОС подобны по двум углам.

Учитель: Чему будет равно отношение площадей данных треугольников?

Ученик: Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия k. Поэтому k = .

Учитель: Что видно из треугольников АВО и СВО?

Учитель: Аналогичные задания встречаются в ГИА которые нужно уметь решать.

III. Рефлексивно - оценочный этап

Учитель: Запишите домашнее задание: Повторить все основные определения связанные с понятием окружность, так же решите задачу: К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая АО. Найдите радиус окружности, если АВ = 12 см. АО = 13 см. И так что вы сегодня на уроке повторили?

Ученики: Приемы решения более сложных задач.

Учитель: Все ли было понятно из сегодняшнего урока?

Ученики: Да.

Учитель: Спасибо за внимание, урок окончен.

Урок 5 по теме: «Решение планиметрических задач по теме окружность».

Тема урока: Решение планиметрических задач на понятие окружности.

Класс: 9

Учебная задача: совместно с учащимися рассмотреть решение основных планиметрических задач: на нахождение острого угла окружности, нахождение радиуса окружности, на доказательство.

Диагностируемые цели урока:

В результате ученик:

Умеет решать основные планиметрические задачи;

Умеет находить элементы окружности;

Знает, как применять полученные знания при решении планиметрических задач.

Инструменты: доска, маркеры, линейка, треугольник.

Ход урока:

I. Мотивационно-ориентировочный этап.

1. Актуализация.

2. Мотивация.

Постановка учебной задачи.

Операционно-познавательный этап.

Повторение теории

Решение задач.

Рефлексивно-оценочный этап.

Подведение итогов.

I. Мотивационно-ориентировочный этап.

Учитель: Здравствуйте, ребята, садитесь. На предыдущих занятиях вы повторили основные понятия и методы решения планиметрических задач на понятие четырехугольника. Вам на дом была предложена задача, все ли ее решили?

Ученики: Да, она несложная, похожие задачи встречаются в ГИА в первой части.

Учитель: Чем вы пользовались при решении данной задачи?

Ученики: Теоремой Пифагора, определение радиуса окружности.

Учитель: Все ли задания в ГИА связанные с понятием окружности так просто решаются?

Ученики: Нет, встречаются задачи которые непонятно как решать.

Учитель: Что нужно сделать что бы было понятно как решать задачи данного типа?

Ученики: Необходимо повторить основные приемы решения планиметрических задач на понятие окружности.

Учитель: Целью нашего сегодняшнего занятий будет рассмотреть основные типы планиметрических задач, на понятие окружность. Тема нашего урока: «Решение планиметрических задач по теме окружность».

II. Операционно-познавательный этап.

Учитель: Что такое окружность?

Ученик: Окружность -- геометрическое место точек плоскости, удалённых от некоторой точки -- центра окружности -- на заданное расстояние, называемое радиусом окружности.

Учитель: Какая прямая называется касательной к окружности?

Ученики: Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Учитель: Какой угол называется центральным?

Ученики: Центральный угол -- угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается.

Учитель: Какой угол называется вписанным в окружность?

Ученики: Вписанный угол -- угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.

Учитель: Какая окружность называется вписанной в треугольник?

Ученики: Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается через все его сторон.

Учитель: Какая окружность называется описанной около треугольника?

Ученики: Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через три его вершины.

Учитель: Решим некоторые задачи на понятие окружности.

Задача 1: Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

Учитель: (вызывает ученика к доске) Начни решение с чертежа.

Ученик: (чертит чертеж, в водит обозначения)

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, так как AO = OB = AB = R.

Учитель: Правильно, решим следующую задачу.

Задача 2. Центральный угол на 360 больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Учитель: (вызывает ученика к доске) На первый взгляд задача кажется сложнее предыдущей, но на самом деле решается в одно действие.

Учитель: Теперь решим задачу более сложную.

Задача 3. Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания АС. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

Учитель: В данной задаче главное правильно начертить чертеж.

Ученик: Пусть О -- центр данной окружности, а Q -- центр окружности, вписанной в треугольник АВС.

Точка касания М окружностей делит АС пополам.

Учитель: Чертеж наглядно показывает что еще дано в задаче.

Ученик: АО и АQ -- биссектрисы смежных углов, значит, угол QАО прямой.

Учитель: Что можно найти из данного прямоугольного треугольника?

Ученик: Из прямоугольного треугольника QАО получаем AM2 = QMOM Следовательно, QM =

Учитель: Данная задача относится ко второй части ГИА, в ней главное правильно начертить чертеж и увидеть, что дано и что можно найти.

Задача 4. В окружности с центром О проведены две равные хорды АВ и СО. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL соответственно. Докажите, что ОК и OL равны.

Учитель: Данная задача легко доказывается с помощью дополнительного построения.

Ученик: Проведём радиусы ОА, ОВ, ОС, ОD.

Треугольники АОВ и СОD равны по трём сторонам. ОК и ОL -- их высоты, проведённые к равным сторонам, следовательно, они равны как соответственные элементы равных треугольников.

Учитель: Такие задачи на понятие окружности наиболее часто встречаются в ГИА, поэтому умение их решать способствует наиболее удачной сдаче экзамена.

III. Рефлексивно - оценочный этап

Учитель: Запишите домашнее задание: Посмотрите еще раз все записи в ваших тетрадях с предыдущих занятии связанных с повторением планиметрии и с сегодняшнего, то что мы с вами повторили поможет вам наиболее успешно написать модуль «Геометрия» по математике. И так что вы сегодня на уроке повторили?

Ученики: Основные определения связанные с понятием окружность, нахождение элементов окружности.

Учитель: На протяжении 5 уроков в целом задачи на какие понятия рассмотрели?

Ученики: На понятие треугольника, на понятие четырехугольника, на понятие окружности.

Учитель: Все ли было понятно?

Ученики: Да.

Учитель: Спасибо за внимание, урок окончен.

Вывод ко второй главе

Практика помогает наиболее углубленно изучить проблему итогового повторения планиметрии. По уровню учеников можно выявить кто что помнит, так же можно выявить каких учеников как готовить к ГИА, более слабых готовить на уровне понятия, а более сильных на уровне системы понятий.

Так же практика показывает, что ученики наиболее запоминают материал при блочно - модульном повторении, при рассмотрении понятия треугольника они акцентируют внимание только на понятия связанные с ним, при четырехугольнике и окружности аналогично. Решение задач от более простых к более сложным также способствует наилучшей сдаче экзамена, так как более слабые ученики повторив задания более легкие, могут решить их на экзамене, ученики более сильные повторив более легкие обязаны их решить на экзамене и повторив более сложные могут с большей вероятностью сдать экзамен на положительную отметку.



Заключение

Данное исследование проводилось с целью изучить возможности организации повторения в курсе планиметрии в 9 классе для подготовки к ГИА. Основные задачи, которые ставились перед началом исследования, были выполнены в процессе написания работы.

Определены основные требования к организации повторения. В работе рассмотрены основные методы решения планиметрических задач, также специальные методы.

Выявлены основные формы и методы повторения, которые способствуют повышению интереса и активности учащихся при повторении.

Разработанное планирование к подготовке уроков повторения позволяет устранить существующие недостатки в организации и методике проведения повторения.

Гипотеза, выдвинутая в начале работы подтвердилась в ходе проведения исследования.



Список литературы

Баврин И. И. Геометрия. 9 класс. -- М.: Дрофа, 2011.

Геометрия. 7 - 9 классы. Учеб. для общеобразоват. учреждении / [Атанасян Л.С. и др.] 20-е изд. - М.: Просвещение, 2010. - 384 с.

Геометрия. 7 - 9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждении / А.В. Погорелов. - 10 - е изд. - М.: Просвещение, 2009 - 224 с.

Гордин Р.К. Геометрия. Планиметрия. 7 - 9 классы. - 3 - е изд., испр. - М.: МЦНМО, 2006. - 416 с.: ил.

ГИА 2013. Математика. Семенов А.В., Трепалин А.С., Ященко И.В. и др. М.: 2013 - 88 с.

ГИА. Математика. 9 класс. Практикум по выполнению типовых тестовых заданий. Реальные тесты. Лаппо Л.Д., Попов М.А. М.: 2013 - 80 с.

Далингер В. А. Методические рекомендации к проведению обобщающего повторения // Математика в школе. - 1986. - №2

Капленко Э.Ф. Новый метод решения планиметрических задач: Пособие для учителей и учащихся. - Воронеж: ВГПУ, 1998.

Кузнецова Л.И., Кириллова С.В., Огурцова О.К. Элементарная математика: геометрические фигуры и их свойства в задачах на доказательство и вычисление: Учебно - методическое пособие для студентов факультета математики, информатики и физики. Н. Новгород: НГПУ, 2011. 71с.

Кузнецова В.К. Подготовка к ГИА по математике в 9-м классе //Справочник заместителя директора школы, 2011, №4.- с. 52-57.

Математика: ГИА: Учебно-справочные материалы для 9 класс / Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, В. А. Булычёв, Е. А. Бунимович, Л. О. Рослова, Н. X. Агаханов. -- М.; СПб.: Просвещение, 2012.

Мищенко Т. М. Заключительное повторение курса планиметрии. // Математика в школе. - 2001. - №2.

Размещено на Allbest.ru