1

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра алгебры, геометрии и методики их преподавания

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

По теме

Методика проведения факультативного курса “Методы решения нестандартных задач по алгебре”

Москва, 2011

Содержание

Введение

Глава 1. Общая характеристика факультативных занятий по математике и психолого-педагогическое обоснование необходимости их проведения в старшей школе

§ 1. Факультативные занятия как один из компонентов дифференцированного обучения

§ 2. История развития факультативных занятий по математике, их роль в системе школьного образования

§ 3. Психологические особенности старшеклассников и развитие их математических способностей

§ 4. Требования к учителю, ведущему факультативные занятия

§ 5. Факультативные занятия по математике и методика их проведения

Глава 2. Разработка факультативного курса “Методы решение нестандартных задач по алгебре”

§ 1. Программа факультативного курса “Методы решения нестандартных задач по алгебре“

§ 2. Методические рекомендации к занятиям

§ 3. Содержание факультативного курса “Методы решения нестандартных задач по алгебре”

Занятие 1. Решение уравнений с помощью оценок функций, основанных на свойстве ограниченности

Занятие 2. Решение неравенств с использованием свойства ограниченности функций

Занятие 3. Разбор наиболее трудных задач для самостоятельной работы и проверочная работа по материалу занятий 1 и 2

Занятие 4. Векторно-координатный метод: доказательство неравенств и решение задач на наибольшее и наименьшее значение

Занятие 5. Векторно-координатный метод: решение уравнений и систем уравнений

Занятие 6. Разбор наиболее трудных задач для самостоятельной работы и проверочная работа по материалу занятий 4 и 5

Занятие 7. Метод обращения к монотонности функции

Занятие 8. Решение уравнений вида : основные утверждения

Занятие 9. Решение уравнений вида : следствия из основных утверждений

Занятие 10. Разбор наиболее трудных задач для самостоятельной работы и проверочная работа по материалу занятий 7, 8 и 9

Занятие 11. Решение уравнений вида и его модификаций

Заключение

Библиография

Приложение

Часть 1. Упражнения для самостоятельной работы дома с решениями

Часть 2. Дополнительные упражнения

Часть 3. Варианты проверочных и зачетной работ

Не в количестве знаний заключается образование,

но в полном понимании и искусном применении

всего того, что знаешь.

А. Дистервег

Введение

В дипломной работе разработан факультативный курс по теме “Методы решения нестандартных задач по алгебре” и рассмотрена методика его проведения в 11 классе средней школы. Это являлось целью данной работы.

В настоящее время в преподавании математики большое внимание уделяется дифференциации обучения, самым динамическим компонентом которой являются факультативы. Они дают возможность закрепить, углубить и расширить знания учащихся, способствуют развитию математических способностей, творческому отношению к учебе. Факультативные занятия призваны обеспечить индивидуальное развитие школьников, основательную подготовку в вуз. Существенную роль играют они и в формировании математической культуры, необходимой каждому человеку. Ведь еще М.В. Ломоносов сказал: ”Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит”.

Заметим, что тема разработанного факультатива весьма актуальна. Решение задач занимает в математическом образовании огромное место. Поэтому обучению решения задач уделяется много внимания. Задачи служат как усвоению знаний и умений, так и формированию определенного стиля мышления: соблюдение формально-логической схемы рассуждений, лаконичное выражение мыслей, четкая расчлененность хода мышления, точность символики. Развитие мышления школьников в процессе их учебной деятельности тесно связано с формированием приемов мышления (анализ, синтез, обобщение, абстрагирование и т.д.), которые выступают также как методы научного исследования, проявляющиеся наиболее ярко при решении задач. Особенно большое значение имеют задачи нестандартные, необычные, требующие хорошего знания школьного курса математики, умения логически рассуждать, применять свои знания творчески, а также смекалки, сообразительности и даже интуиции.

Учитель должен стараться приобщать учащегося к радости умственного труда, давая ему возможность испытать радость творчества, открытия, победы в процессе обучения математике, особенно при решении задач. Обучение будет тем эффективнее, чем чаще учащийся станет преодолевать различные трудности, чем насыщеннее будет его умственная деятельность. Важно создать на занятии атмосферу творческого подъема. Как писал Д. Пойа: “Решение нестандартной задачи может потребовать от ученика настоящего усилия; но он его не сделает, если у него нет для этого основания; лучшим мотивом является интерес к задаче. Таким образом, мы должны позаботиться выбрать интересные задачи и сделать их привлекательными…”[34]

В начале работы над дипломом были поставлены следующие задачи. Во-первых, подобрать и ознакомиться с необходимой литературой по выбранной теме. Во-вторых, показать историю становления факультативов, указать их место, роль, значение в обучении математике, дать психолого-педагогическое обоснование их существования. В-третьих, показать значимость нестандартных задач в процессе обучения математике, выбрать определенные нестандартные методы их решения, разработать содержание факультатива и дать некоторые методические указания для его проведения.

Для выполнения этих задач было изучено и проанализировано большое количество методической, педагогической, психологической, а также математической литературы. Это позволило написать как теоретическую, так и практическую части диплома.

Глава 1 представляет собой теоретическую часть работы. В §1 главы 1 исследуется развитие понятия дифференциации в школьном математическом образовании в нашей стране. Дана характеристика факультативных занятий как компонента дифференциации. В §2 подробно проанализирован процесс становления факультативных занятий по математике, их место и роль на разных этапах развития математического образования. В §3 рассмотрены психолого-педагогические предпосылки создания факультативов, описаны возрастные особенности умственного развития школьников, становление математических способностей. Определены составляющие компоненты математических способностей по Крутецкому и особенности их проявления.

§4 посвящен вопросу, какие требования предъявляются к учителю, ведущему факультативные занятия. Подчеркнута необходимость повышенных требований к его профессионализму, личностным и организаторским качествам. Наконец, в §5 рассмотрена методика проведения факультативов, особенности их организации. Показаны формы и методы проведения факультативных занятий. Отмечена важность задач проблемного характера, применения эвристического метода обучения. Даны методические принципы обучения на факультативных занятиях, предложенные И.Ф. Шарыгиным. Глава 2 посвящена, в основном, практической стороне работы. В ней представлена разработка факультативного курса “Методы решения нестандартных задач по алгебре”.

В §1 приведена программа курса факультатива. В пояснительной записке дано понятие “нестандартная задача”, подчеркнута важность нестандартных задач в процессе обучения математике. Кратко описано содержание факультативного курса, который посвящен методам, использующим свойства ограниченности и монотонности функций, и векторно-координатному методу для решения уравнений и неравенств разного вида (рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических и смешанных), а также их систем.

В §2 даны методические рекомендации к занятиям по факультативному курсу “Методы решения нестандартных задач по алгебре”. Показано значение методики проведения занятий, рассмотрены варианты их организации. Выделена зависимость выбора форм и методов проведения занятий от уровня подготовки и индивидуальных способностей учащихся. Подчеркнута важность изучения методики решения нестандартных задач, применения нестандартных методов.

В §3 подробно описано содержание каждого занятия. Приведен теоретический материал и большое количество разнообразных задач. По теме каждого занятия разобраны типичные примеры, приведены задачи для самостоятельной работы. В Приложении имеются решения всех задач, предлагаемых для самостоятельной работы, а также условия задач для проверочных работ по вариантам, материалы к зачету.

Заметим, что хотя среди задач, предлагаемых в факультативном курсе, есть задачи небольшой трудности, большее число задач ранее включались в варианты школьных выпускных экзаменов и вступительных экзаменов в вузы с высокими требованиями по математике. Поэтому данный факультатив может быть полезен при подготовке в вуз тем учащимся, кто чувствует призвание к математике.

Глава 1. Общая характеристика факультативных занятий по математике и психолого-педагогическое обоснование необходимости их проведения в старшей школе

§ 1. Факультативные занятия как один из компонентов дифференцированного обучения

факультативное занятие математика нестандартное решение

Дифференциация обучения - это необходимое условие гуманизации и демократизации образования. Она предоставляет каждому учащемуся равно высокий шанс достичь высот культуры и является залогом максимального развития детей с самыми разными способностями и направлениями интересов.

Под дифференциацией понимают такую систему обучения, при которой каждый ученик, овладевая некоторым минимумом общеобразовательной подготовки, являющейся общезначимой и обеспечивающей возможность адаптации в постоянно изменяющихся жизненных условиях, получает право и гарантированную возможность уделять преимущественное внимание тем направлениям, которые в наибольшей степени отвечают его склонностям.

Анализ психолого-педагогической литературы показывает, что дифференциация обучения как общая педагогическая задача не является новой ни для нашей, ни для зарубежной школы. Необходимо отметить работы в этом направлении педагогов: Бабанского Ю.К., Кирсанова А.А., Лернева И.Я., Рабунского Е.С., Скаткина Н.М., Унт И.Э. и других; психологов: Выгодского С.Л., Гальперина П.Я., Давыдова В.В., Крутецкого В.А., Менчинской Н.А., Талызиной Н.Ф., Фридмана Л.М. и других; методистов: Гусева В.А., Капеносова А.Н., Куприяновича В.В., Метельского Н.В., Слепкань З.И., Смирновой И.М. Столяра А.А. и других. Довольно много разработок в этой области принадлежит математикам Болтянскому В.Г., Дорофееву Г.В., Колягину Ю.М. и другим.

Дифференцированное обучение имело место уже в школе дореволюционной России.

Его истоком считают фуркацию - разделение учебных планов с целью специализации учащихся, которая совместима с сохранением общеобразовательного характера школы. Уже в X1X веке проявлением фуркации было разделение учебных заведений на классические гимназии, реальные училища (технические и коммерческие), кадетские корпуса и т.д.

В конце X1X -начале ХХ столетия развернулось широкое движение за реформу преподавания математики в школе.

В то время обсуждалось несколько различных проектов типологии учебных заведений. Так, проектом министра просвещения Н.П.Боголепова предлагалась следующая типология: гимназия с 2 древними языками; гимназия с одним латинским языком; гимназия, допускающая принцип индивидуализации (для учащихся, обнаруживших успехи по какому-то предмету…); реальное училище; так называемая школа нового типа ( здесь предусматривались дополнительные занятия для детей, проявивших интерес и склонности к изучению языков или естественных наук; на старшей ступени предполагалась фуркация по трем направлениям: классическому, естественному и гуманитарному); средняя школа с бифуркацией (гуманитарным отделением и реальным отделением) - по существу, предполагалось соединение в одной школе двух типов учебных заведений: гимназии и реального училища.

Вопросы, связанные с реформой преподавания математики, дискутировались на знаменитых съездах преподавателей математики 1911-1914 гг. В резолюции первого съезда говорится ”съезд признает желательной подробную разработку вопросов о такой организации преподавания в средней школе, которая, сохраняя общеобразовательный ее характер, допускала бы специализацию старших классов, приноровленную к индивидуальным способностям учащихся” Труды Всероссийского съезда преподавателей математики. Т.1.СПб.;1913,с.210..

Этим идеям не суждено было сбыться в то время. Вскоре началась революция, гражданская война и перестройка всей системы народного образования.

В 20-30-ые годы существовали школы с сельскохозяйственным и промышленным уклоном, что отвечало требованиям времени. Но это была скорее профессионализация, а не дифференциация обучения.

Новое движение за модернизацию среднего образования в нашей стране началось в конце 50-х гг. XX века. Тогда появился новый термин -“дифференциация” обучения. (Виды и формы дифференциации показаны на схеме 1 [39]).

Схема 1.

Специализированные школы и классы с углубленным изучением ряда предметов стали проявлением дифференциации

В 1966-1968 годах появилась еще одна форма дифференцированного обучения - факультативные занятия по различным предметам. Они давали возможность 1-2 часа в неделю дополнительно работать со школьниками, проявляющими повышенный интерес и способности к определенным предметам, в частности к математике. Такие факультативные занятия являются наиболее динамичной разновидностью дифференциации обучения.

Всесоюзный съезд работников народного образования (1988г.) стал точкой отсчета новой реформы образования, где была принята Концепция общего среднего образования. Гуманизация и демократизация были провозглашены основными направлениями развития школы. Одной из первоочередных задач была признана самая широкая дифференциация обучения, направленная на развитие индивидуальных, творческих запросов учащихся и реализацию всех природных задатков и склонностей личности.

В 1992г. был принят Закон Российской Федерации об образовании. В нем говорится о приоритете общечеловеческих ценностей, общедоступности, свободе и плюрализме в образовании и гуманистическом характере образования. В этом законе указывается, что система образования должна адаптироваться к уровням и особенностям развития обучающихся. Этим были открыты широкие возможности для внедрения различных форм дифференцированного обучения.

Схема 2 [39]

Современный этап дифференциации представлен на схеме 2 (см. выше).

Этот этап характеризуется появлением новых типов школ: лицеи, гимназии, школы, ориентированные на определенный вуз, школы с углубленным изучением отдельных предметов, частные школы. И.М.Смирнова подчеркивает, что определение дифференциации стало шире, чем простое разделение учебных программ [39]. Начался период комплексного изучения дифференцированного обучения. В употребление вошли два вида дифференциации: уровневая и профильная.

Рассмотрим концепцию школьного математического образования.

В основной школе (1-9кл.) осуществляется уровневая дифференциация: по одним и тем же программам и учебникам учащиеся достигают разных конечных целей, соответствующих их возможностям и склонностям. Заметим, что все учащиеся должны достичь установленного сверху обязательного уровня подготовки, а затем уже решать, обучаться дальше или остановиться на достигнутом.

В старшем звене средней школы индивидуализация обучения предполагает возможность получить образование в различных направлениях, по разным учебным планам и программам.. Таким образом профильная дифференциация осуществляется на базе фуркации , т.е. учебные планы старших классов средней общеобразовательной школы строятся по направлениям (гуманитарном, естественно-математическом и др.) с преимущественным вниманием к определенной группе учебных предметов).

Следует отметить, что при обучении учащихся по выбранным ими направлениям, учитывая возможности каждого подростка, предполагается обеспечить достижение каждым из них некоторого обязательного (базового) уровня знаний по тому или иному предмету.

Как подчеркивается в работе, уровневая и профильная дифференциации сосуществуют и взаимно дополняют друг друга на всех ступенях школьного математического образования, однако в разном удельном весе. В основной школе ведущим направлением дифференциации является уровневая, хотя она не теряет своего значения и в старших классах. На старшей ступени школы приоритет отдается разнообразным формам профильного изучения предметов. Вместе с тем дифференциация по содержанию может проявляться уже и в основной школе, где она осуществляется через систему кружковых занятий (во всех классах) и факультативных курсов (в 8-9кл.). Эти формы предназначены для школьников, проявляющих повышенный интерес к математике, имеющих желание и возможность работать больше отводимого расписанием времени.

Факультативные занятия как компонент дифференциации обучения актуальны как в 8-9 классах, так и в старшей школе, давая учащимся возможность расширить и углубить свои знания в интересующей их области.

§ 2. История развития факультативных занятий по математике, их роль в системе школьного образования

В 1965 году под председательством видного математика, вице-президента АПН СССР А.И. Маркушевича и под руководством выдающегося математика современности академика А.Н. Колмогорова была образована комиссия по определению содержания среднего математического образования.

Введение факультативных занятий в средней общеобразовательной школе было предусмотрено в постановлении ЦК КПСС и Совета Министров СССР от 10 ноября 1966г. “О мерах дальнейшего улучшения работы средней общеобразовательной школы”. Цель введения факультативов - углубление знаний по физико-математическим, естественным и гуманитарным наукам, развитие разносторонних интересов и способностей учащихся.

В 1968г. была издана программа по математике для средней школы. Характерной особенностью этой программы стало создание существенно новой для нашей школы формы обучения - факультативных занятий по выбору учащихся. Эти занятия предполагались двух видов.

Первый вид - "Дополнительные главы и вопросы математики". Его цель - углубление программных вопросов; изучение вопросов, примыкающих к программным; изучение некоторых дополнительных вопросов, важных с образовательной точки зрения и раскрывающих приложения математики. Значительная часть времени отводилась на решение задач по обязательной программе. Кроме того, этот вид занятий должен был помочь учителям освоиться с новым содержанием обучения, идеями и методами, входящими постепенно в новые программы. При этом предполагалось, что программа факультативных курсов будет со временем меняться. Учитель в каждом классе с учетом конкретных возможностей и интересов учащихся мог выбрать из нескольких предложенных тем те, изучение которых представлялось ему наиболее целесообразным.

Второй вид занятий - "Избранные вопросы математики" ( программирование, вычислительная математика, векторная алгебра, задачи линейного программирования и др.) рекомендовались, в основном, для учащихся старших классов, интересующихся математикой, и только в тех школах, где возможна, работа специалистов по этим вопросам.

Предполагалось, что факультативные занятия должны обеспечить индивидуальное развитие учащихся, основательную подготовку в вуз.

Программы факультативных занятий по математике были составлены так, что они являлись продолжением друг друга и образовывали некоторую теоретически законченную систему. Итак, факультативные курсы сыграли значительную роль в подготовке перехода на новое содержание образования. Они вводились в школу еще до перехода соответствующих классов на новые программы. Программы этих курсов включали такие темы, которые в дальнейшем должны были войти в обязательный курс (элементы теории множеств, функции и их графики, дополнительные вопросы арифметики, производная и ее применение, интеграл). В факультативные курсы вошли также элементы теории вероятностей, программирование, решение избранных задач. Изданные сборники материалов по факультативным курсам позволяли учителям еще до издания пробных учебников приобрести первый опыт в изложении некоторых впервые включенных в школьную программу вопросов. Структура курса “Дополнительные главы” обеспечила значительную вариативность материала обучения и возможность выбора начала занятий практически с любой темы, что является по существу необходимым условием факультативного обучения. Эти особенности были сохранены и в курсе “Избранные вопросы математики”. Программа курса для каждого класса состояла из ряда независимых тем. Среди них были выделены основные, содержание которых непосредственно примыкало к общему курсу математики. Эти темы изучались в первую очередь. Помимо них учитель мог выбрать по собственному усмотрению одну из дополнительных тем. Этот принцип соблюдался во всех классах, кроме 7-го. В 7-ом классе учитель выбирал для проведения занятий две из предложенных трех тем, а также тему “Решение задач повышенной трудности”.

Существенное место в работе с учащимися на факультативных занятиях отводилось решению задач, в том числе задач повышенной трудности. Различные темы были связаны между собой и образовывали своеобразные теоретические и прикладные линии, пронизывающие факультативный курс: алгебраическую, геометрическую, логическую, программирование на ЭВМ, вычислительной математики и т.п. Обучение любому разделу не предполагало изучение предыдущих, близких к нему тем.

Факультативный курс “Избранные вопросы математики” содержал самые разнообразные темы как теоретического, так и прикладного плана. Учителю предлагалось в процессе занятий показать историю возникновения и развития ряда изучаемых методов, концепций и идей, их значение для математики и для других наук и областей практической деятельности.

Каждая тема факультатива была связана с материалом общеобразовательного курса математики. Программа факультативного курса преследовала двоякую цель. Во-первых, довести изучаемый материал до того уровня завершенности, когда учащемуся становится ясным его математическая важность. Во-вторых, показать непосредственные связи школьной математики с наукой и ее приложениями.

Материал курса не дублировал вузовских программ, но позволял с более общих позиций взглянуть на школьную математику. Поэтому было важно не развивать при обучении те специальные методы и навыки, которым обучают в вузах, не адаптировать вузовские курсы, но показывать, как из материала школьного курса математики возникают общие концепции, обладающие теоретической и прикладной ценностью. А.Н. Колмогоров подчеркивал, что введение факультативных курсов по выбору в 7-10 классах является необходимым дополнением к общеобразовательному основному курсу математики в старших классах [22].

Известный математик С.Л.Соболев называл факультативные занятия резервом в учебном плане, позволяющим увеличить объем математики [40].

В программу факультативных занятий по мере перехода на новую программу общего курса вносились определенные изменения. Здесь А.Н. Колмогоров проявлял большую оперативность и заинтересованность. В дальнейшем издательство “Просвещение” начало выпуск специальных пособий по программе факультативных занятий.

Работа по совершенствованию содержания обучения в нашей стране происходит постоянно, следующий этап реформы - 80-е годы.

В 1980 г. была принята новая программа. В ней был полнее учтен уровень логического мышления школьников: отказались от обязательного единого теоретико-множественного подхода к построению курса и чрезмерной строгости в изложении материала. Это усилило прикладное содержание школьного курса математики и сделало его менее абстрактным и формализованным, хотя при этом потерялись некоторые достижения предыдущего этапа реформы. Соответственно изменилось и содержание факультативных курсов.

В 1985 г. силами АПН СССР и АН СССР была подготовлена учебная программа по математике, где попытались разгрузить содержание обучения и усилить его практическую направленность.

Началом следующего этапа реформы математического образования в нашей стране является 1989 год, когда была разработана новая концепция общего среднего образования, в частности, школьного математического образования. В ней характеризуется место математики в системе школьного образования, определяемое новыми социально-экономическими условиями в стране, и основное содержание общего математического образования на данном этапе. Ведущая идея - гуманизация математического образования; её основные направления, как отмечалось выше, - дифференциация обучения математике, гуманитарная направленность общеобразовательного курса математики, уровневая подготовка учащихся по математике, перестройка учебно-воспитательного процесса в направлении изменения отношения к ученику и создания возможностей для проявления индивидуальности как учащегося, так и учителя. В дополнение к этой концепции в 1995 г. РАО разработан документ “Стандарт среднего математического образования”.

И на этом этапе роль факультативных занятий по математике очень велика. Их цель - как можно полнее развить математические способности учащихся, увеличить объем и глубину их знаний, пробудить творческие возможности, привить математическую культуру и показать красоту этой удивительной науки.

Новые научные достижения, их развитие и внедрение в практику приводят к пересмотру школьного курса математики. Происходит идейное и прикладное обогащение общего курса, а, следовательно, и факультативов. С развитием математики и ее приложений возрастает число разделов, ждущих своего включения в школьный курс математики. Однако возможности общего среднего образования ограничены как сроком обучения, так и пределами разумной учебной нагрузки учащихся. Хотя ясно, что в курсе средней школы важно иметь элементы теории вероятности, статистики, математического моделирования, что важно строить школьный курс так, чтобы учащиеся были подготовлены к восприятию новых аспектов прикладной математики, для практической реализации эти назревшие вопросы оказались весьма сложными. Обсуждаются возможные формы включения ряда новых разделов в обязательный курс математики средней школы. Предполагается установить более тесную взаимосвязь теоретического содержания математического образования с практикой применения учащимися приобретаемых математических знаний. Пока все эти и ряд других, важных в своем прикладном значении разделов математики изучаются в школьных факультативах на внеклассных занятиях.

Государственные органы разрабатывают единые стандартные учебные планы. Закон РФ об образовании (1992 г.) дает школам право составлять индивидуальные учебные планы при том условии, что они отвечают государственным образовательным стандартам. Это означает наличие обязательных для всех школ учебных предметов и право на углубленное изучение ряда предметов, выражающее некоторую специализацию по направлениям: естественно-математическое, гуманитарное и пр. Имеется и набор предметов по выбору - факультативов.

Заметим, что в Базисном учебном плане, утвержденном Министерством общего и профессионального образования 9 февраля 1998 г. выделяются инвариантная часть (ядро), обеспечивающая приобщение учащихся к общекультурным и национально значимым ценностям и формирование личностных качеств школьников, и вариативная часть, обеспечивающая индивидуальный характер развития учащихся. Она учитывает их личностные особенности.

Как отмечается в учебном пособии по педагогике [21], обе части не являются полностью независимыми. Они пересекаются. В результате этого в учебном плане любого общеобразовательного заведения выделяются три основных вида учебных занятий:

- обязательные занятия, составляющие базовое ядро общего среднего образования;

- обязательные занятия по выбору;

- факультативные занятия.

Как известно, в учебном плане имеются федеральный, национально-региональный и школьный компоненты. Факультативные занятия входят в школьный компонент учебного плана. Этот компонент отражает специфику конкретного образовательного учреждения и позволяет ему самостоятельно разрабатывать и реализовывать образовательные программы

и учебные планы, что в соответствии со ст.32, п.2 Закона “Об образовании” является исключительно прерогативой образовательного учреждения.

В школах, особенно в профилированных на те или иные предметы, введение факультативов получило массовое распространение в последние годы. Факультативные занятия можно распределить по трем категориям.

Первая категория -- компенсация урезания часов на преподавание естественных наук. На основном уроке приходится давать сжатый материал, который можно раскрыть подробнее на факультативных занятиях. Даваемый на этих факультативах материал нужен для поступления в вуз, поэтому их посещает большинство школьников -- они фактически являются продолжением обычных уроков. Такому факультативу иногда дают название «Избранные главы...» и далее следует название предмета или его какого-то раздела.

Вторая категория факультативов посвящена решению всевозможных задач. Эти факультативы близки по характеру кружковым занятиям. В отличие от кружков им свойственна большая систематизация тем и приемов, а также большая целенаправленность (подготовка к олимпиадам высших уровней, подготовка к поступлению в вуз). Широкое распространение получили факультативы по решению «нестандартных задач», которые требуют более глубокого проникновения в суть тех или иных законов, явлений, процессов.

Третья категория -- внепрограммные спецкурсы. Хотя их материал не надо сдавать ни в школе, ни при поступлении в ВУЗ, посещаемость таких факультативов обычно высока.

Отметим еще один аспект значимости факультативных занятий. Как известно, комплектование классов с углубленным изучением математики, как правило, основывается на отборе учащихся. При этом основной контингент такого класса целесообразно набирать из числа учащихся, посещавших занятия соответствующих факультативов, что говорит о серьезности интереса, проявляемого к математике.

§ 3. Психологические особенности старшеклассников и развитие их математических способностей

Учебная деятельность старшеклассников значительно отличается по своему характеру и содержанию от учебной деятельности более младших школьников. Во-первых, углубляется содержание обучения и вводятся новые учебные разделы. Во-вторых, что является главным отличием, учебная деятельность старшеклассников предъявляет гораздо более высокие требования к их активности, самостоятельности и развитию теоретического мышления. Движущей силой умственного развития старших школьников является противоречие между уровнем учебной деятельности, сложившемся за время обучения в средних классах школы, и требованиями, которые предъявляет учебная деятельность в старших классах. Это противоречие разрешается по мере перехода на новый, более высокий уровень учебной деятельности, который связан с развитием теоретического мышления и навыков самообучения.

Изменяется отношение к учению и самих старших школьников. Растет их сознательное отношение к учению и потребность в знаниях.

Именно в этом возрасте у школьников определяется специфический устойчивый интерес к той или иной науке, отрасли знаний, области деятельности. Этот интерес стимулирует стремление к расширению и углублению знаний в определенной области. Старшеклассник, заинтересовавшись предметом, охотно знакомится с нужной литературой и занимается в соответствующих кружках, факультативах . Познавательные интересы в старшем школьном возрасте приобретают более широкий, устойчивый и действенный характер.

Оптимальные возможности для развития способностей школьников дают кружки, специальные школы и классы, научные секции, факультативные курсы, олимпиады. Рост сознательного отношения к учению стимулируют дальнейшее развитие познавательных интересов и умения управлять ими. Уже в конце старшего школьного возраста учащиеся полностью овладевают своими познавательными процессами (восприятием, памятью, воображением, мышлением), а также вниманием и подчиняют их определенным задачам жизни и деятельности.

Мыслительная деятельность у старшеклассников характеризуется более высоким уровнем обобщения и абстрагирования. У них растет тенденция к причинному объяснению явлений, повышается умение аргументировать при доказательстве истинности или ложности отдельных положений, умение связывать изучаемое в систему и делать глубокие выводы. Им свойственна высокая критичность мышления.

Основная задача педагогов и психологов - обеспечить максимальное и всестороннее развитие способностей всех детей и при этом выявить школьников, которые обнаруживают глубокие интересы, склонности и способности в определенных областях, создать им все условия для дальнейшего развития. Эту задачу могут выполнить различные формы дифференцированного обучения. Имеются в виду различные типы специальных школ, факультативные курсы, школьные научные общества, познавательные кружки и т.п.

В.А. Крутецкий указывал, что под способностями понимается комплекс индивидуально-психологических особенностей человека, отвечающих требованиям данной деятельности и являющихся условием ее успешного выполнения [25].

Говоря о математических способностях как особенностях умственной деятельности, он подчеркивал, что следует прежде всего указать на несколько распространенных среди учителей заблуждений. Во-первых, неверно считать, что математические способности заключаются в способности к быстрому и точному вычислению (в частности, в уме). На самом деле вычислительные способности далеко не всегда связаны с формированием подлинно математических (творческих) способностей. Во-вторых, является заблуждением , что способные к математике школьники отличаются очень хорошей памятью на формулы, цифры, числа. Так, академик А.Н. Колмогоров был уверен, что успех в математике меньше всего основан на способности быстро и прочно запоминать большое количество фактов, цифр, чисел, формул. Еще одним заблуждением В.А. Крутецкий считал утверждение, что быстрота мыслительных процессов является одним из показателей математических способностей. Быстрый темп работы сам по себе не имеет отношения к математическим способностям. Ученик может работать медленно и неторопливо, но в то же время вдумчиво, творчески, успешно продвигаясь в усвоении математики.

В работе [26] В.А. Крутецкий также упомянул, что не являются обязательными в структуре математической одаренности и такие компоненты, как способность к пространственным представлениям и способность наглядно представить абстрактные математические отношения и зависимости.

Он показал, что способности к математике проявляются в характере восприятия математической задачи и выделил следующие компоненты математических способностей:

Формализованное восприятие математического материала

Обобщение математического материала

Свернутость математического мышления - тенденция мыслить в процессе математической деятельности сокращенными мыслительными структурами.

Гибкость мыслительного процесса

Стремление к своеобразной экономии умственных усилий - к изяществу решений.

Математическая память

На эти моменты необходимо обращать внимание учителю, ведущему факультативные занятия, для определения и развития математической одаренности старшеклассников.

Заметим, что на различных возрастных ступенях эти компоненты отличаются качественным своеобразием, специфической формой проявления, причем существуют закономерности количественных и качественных их изменений. Каждый новый этап подготовлен всем предыдущим ходом развития, возникает на основе его и является предпосылкой для перехода на новый, более высокий уровень развития.

Не все компоненты математических способностей начинают формироваться одновременно. Развитие способностей к математике начинается с формирования первичного компонента, именно, способности к обобщению математических объектов, отношений и действий. На более поздних этапах формируется способность к свертыванию процесса рассуждения, обобщенная память, стремление к экономности и рациональности решений.

Психологи указывают на существование определенных возрастных периодов, наиболее благоприятных для развития специальных способностей. Для различных способностей такие периоды неодинаковы. Например, математические способности обнаруживаются в среднем школьном возрасте, приблизительно к 14-15 годам, но могут проявиться немного раньше или позже. Поэтому математику, как и другие предметы, носящие общекультурный, развивающий характер, нельзя исключать из школьных программ любых направлений.

Для обучения одаренных детей, как говорится в работе [37], существуют различные стратегии, которые могут быть воплощены в разные формы. К основным стратегиям обучения детей с высоким умственным потенциалом относят ускорение и обогащение. Ускорение связано с изменением скорости обучения, что подразумевает такие организационные формы как раннее поступление в школу, “перепрыгивание” через класс и т.д. Стратегия обогащения появилась как прогрессивная альтернатива ускорению. Передовые педагоги были озабочены развитием ребенка как целостной личности и поэтому считали, что обогащение (при этом ускорение не является самоцелью) дает ребенку возможность созревать эмоционально в среде сверстников, развивая при этом свои интеллектуальные способности на соответствующем уровне. Такое представление об обогащении сохраняется у большинства современных специалистов.

Вертикальное обогащение предполагает более быстрое продвижение к высшим познавательным уровням в области избранного предмета и поэтому его иногда называют ускорением. Горизонтальное обогащение направлено на расширение изучаемой области знаний. Одаренный ребенок не продвигается быстрее, а получает дополнительный материал к традиционным курсам, большие возможности развития мышления, умений работать самостоятельно.

Программы обогащения ориентированы на дополнительный материал и более сложное содержание, поэтому они направлены на увеличение знаний в конкретной области и на развитие умственных операций. Примерами таких программ являются учебные миникурсы по темам, проблемам или отдельным навыкам. Обычно в школах это реализуется в форме кружков и факультативов.

Очень много внимания психологи уделяют процессу решения задач и проблемному обучению. Под решением задач подразумевают общий подход к развитию умений рассуждать, что включает следующие умения: выявить проблему; проанализировать различные варианты ее решения; оценить достоинства каждого варианта; обобщить все найденное и т.д.

Развитие этих умений связано как с исследовательскими умениями, так и с умениями критически мыслить.

Заметим, что многие теоретические и практические находки отечественной педагогической психологии и дидактики хорошо согласуются с потребностями и особенностями выдающихся в умственном отношении детей. Это проблемный подход к обучению (А.М. Матюшкин и др.); использование опорных схем и сигналов (В.Ф. Шаталов); использование укрупненных дидактических единиц (П.М. Эрдниев) и пр.

С учетом имеющегося опыта российской школы и возрастных особенностей учащихся была предложена следующая модель работы по развитию математических способностей школьников [24].

В 1-4 классах основная задача - пробуждение интереса к математике. Она решается в основном путем включения в учебники и уроки занимательных вопросов и задач, привлечения математических игр. Возможна и организация коротких кружковых занятий.

В 5-7 классах материала, изученного в основном курсе, еще недостаточно для работы над сколько-нибудь протяженными систематизированными фрагментами. Свойственный возрасту “порхающий интерес” является дополнительным основанием в пользу уже систематической работы математического кружка (массив подходящих для этой цели задач достаточно велик). Крайне желательно, чтобы всем учащимся 5-7 классов была предоставлена возможность работы в кружке: интерес, не нашедший продолжения в этом возрасте, угасает. В 8-9 классах при благоприятных условиях формируется уже устойчивый интерес, который находит свое выражение в стремлении к самостоятельной работе в области математики. Базовые курсы алгебры и геометрии дают основание для постановки широкого круга содержательных задач на разные темы. Основная форма работы - внеклассная: более систематические кружки, факультативные курсы, охватывающие уже довольно развернутые, законченные темы

В старших классах (10-11) эффективны школы и классы с углубленным изучением математики (в том числе при вузах), естественно, дополненные всем набором внеклассных форм занятий, среди которых факультативные занятия играют, пожалуй, главную роль.

§ 4. Требования к учителю, ведущему факультативные занятия

Факультативные занятия обычно посещают школьники, интересующиеся математикой, проявляющие способности к этой науке. Поэтому возрастают требования к профессионализму учителя, к его личностным и организаторским качествам. А.Н. Колмогоров писал, что от преподавателя математики требуется не только твердое знание преподаваемой им науки. Хорошо преподавать математику может только человек, который сам ею увлечен и воспринимает ее как живую, развивающуюся науку.

В книге [37] отмечается, что Бенджамин Блум определял три типа учителей, работа с которыми одинаково важна для развития одаренных учащихся:

1. учитель, вводящий ребенка в сферу учебного предмета и создающий атмосферу эмоциональной вовлеченности, возбуждающий интерес к предмету;

2. учитель, закладывающий основы мастерства, отрабатывающий с ребенком технику исполнения;

3. учитель, выводящий на высоко профессиональный уровень.

Сочетание в одном человеке всех этих особенностей маловероятно. Но каким бы ни был учитель, проводящий факультативные занятия, он должен быть прежде всего прекрасным учителем-предметником, глубоко знающим и любящим свой предмет. Его поведение в классе в процессе обучения и построения своей деятельности должно отвечать следующим характеристикам: он разрабатывает гибкие, индивидуальные программы; cоздает теплую, эмоционально безопасную атмосферу в классе; использует различные стратегии обучения; уважает личность, способствует формированию положительной самооценки ученика; уважает его ценности; поощряет творчество и работу воображения; стимулирует развитие умственных процессов высшего уровня; проявляет уважение к индивидуальности ученика. Важно, чтобы учитель был твердо убежден, что детей, интересующихся математикой, нужно систематически знакомить с ее ключевыми понятиями, приучать к чтению математической литературы, учить грамотно и ясно излагать свои мысли. Если этого не делать, велик риск воспитать людей с узким кругозором даже внутри математики, не умеющих его расширять и не понимающих, зачем это нужно.

§ 5. Факультативные занятия по математике и методика их проведения

Фундаментальной особенностью, которая самым существенным образом влияет на выбор методов обучения и разработку методик, применяемых на факультативных занятиях, является опора на устойчивый интерес и склонность ученика к математике. Активный интерес учащихся к математике непосредственно связан с сознательным отношением к учебе, с осознанным стремлением больше узнать. Любому учителю понятно, как могут преобразоваться занятия математикой, если учащиеся проявляют заведомый интерес к науке. Занятия происходят не по обязанности, поэтому для слушателей факультатива математика не может быть скучной. А это существенным образом расширяет методические возможности учителя.

Главная цель факультативных занятий по математике - углубить и расширить знания, повысить интерес учащихся к предмету, развить математические способности, привить школьникам вкус к самостоятельным занятиям математикой, воспитать и развить их инициативу и творчество.

Факультативные занятия по математике ведутся в школе с 8 класса ( 8 класс -1 час, 9 -11 классы - по 2 часа в неделю).

Программы основного курса математики и факультативных занятий составляют программу повышенного уровня по математике для учащихся данного класса средней школы.

Факультативные занятия по математике могут проводиться по двум направлениям:

а) изучение курсов по программе “Дополнительные главы и вопросы курса математики”;

б) изучение специальных математических курсов.

Для факультативных занятий по математике программа должна быть составлена так, чтобы все ее вопросы могли изучаться синхронно с изучением основного курса математики. В некоторых случаях изучение тем факультатива может проводиться независимо от основного курса программы (например, когда в данном классе основной курс математики и факультативный ведут разные учителя).

Для большей эффективности факультативных занятий их необходимо организовывать там, где есть высококвалифицированные учителя или другие специалисты, способные вести занятия на высоком научно-методическом уровне, и достаточное количество учащихся, желающих изучать данный факультативный курс.

Запись учащихся на факультативные занятия производится на добровольных началах в соответствий с их интересами. Не следует принуждать их обязательно изучать факультативные предметы.

По окончании факультативного курса учащиеся сдают зачет (с оценкой), о чем делается отметка в аттестате.

Для учащихся, интересующих математикой, должны практиковаться различные формы внеклассной работы (математические кружки, вечера, викторины, конкурсы, олимпиады и т. д.). Факультативные занятия не отрицают все эти формы работы, а дополняют их.

Факультативные занятия по математике, независимо от формы и методов их проведения, должны быть построены так, чтобы быть для учащихся интересными, увлекательными, а подчас и занимательными. Необходимо использовать естественную любознательность школьника для формирования устойчивого интереса к своему предмету. В процессе обучения учащиеся должны овладеть не только установленной системой научных знаний, умений, навыков, но и повысить свою познавательную активность, развить познавательные способности и творческие силы, овладеть наиболее совершенными методами самостоятельной работы.

Как подать тот или иной учебный материал, какой педагогический прием применить - это крайне важно для поддержания интереса у учащихся.

В настоящее время основными формами проведения факультативных занятий по математике являются: изложение узловых вопросов данного курса учителем (лекции), семинары, решение задач, собеседования (дискуссии), рефераты и доклады учащихся (как по теоретическим вопросам, так и по решению цикла задач), математические сочинения и т. д.

Отметим, что учителю нецелесообразно отдавать предпочтение какой-либо одной форме или методу изложения. Чем разнообразнее занятия, тем больше они способствуют развитию познавательного интереса учащихся.

Следует помнить, что существенным условием для развития интереса к предмету является предоставление разумной самостоятельности в выполнении определенной деятельности, требующей инициативы и творческой выдумки. Поэтому на факультативных занятиях по математике самостоятельная работа учащихся должна занять ведущее положение, следует чаще решать задачи, предлагать школьникам сделать рефераты, доклады, проводить семинары-дискуссии, практиковать чтение учебной и научно-популярной литературы и т. п.

Рассмотрим одну из возможных форм проведения факультативных занятий по математике. В работе [30] предлагается разделить каждое занятие на две части.

Первая часть посвящается изучению нового материала и самостоятельной работе учащихся по заданиям теоретического и практического характера. В конце этой части занятия школьникам предлагается домашнее задание по изучению теории и ее приложений. Вторая часть каждого занятия посвящена решению задач повышенной трудности и обсуждению решений особенно трудных или интересных задач.

Когда при обсуждении идеи решения задачи кто-либо из учащихся предлагает воспользоваться той или иной формулой, теоремой, учителю целесообразно добиваться, чтобы школьник обосновывал разумность своего предложения и хотя бы в общих чертах указывал, к чему оно приведет. Тем самым перед всеми слушателями факультатива раскрывается аналитико-синтетический ход рассуждений одного из учащихся, а остальные приучаются прогнозировать процесс поиска решения задачи. Я.И. Груденов подчеркивал, что умение прогнозировать, предвидеть события, получаемые результаты - один из важнейших компонентов мыслительной деятельности человека, который, в частности, можно формировать на занятиях по математике при поиске решения задач [9].

Эта форма проведения факультативных занятий содействует успешному переходу от форм и методов обучения в школе к формам и методам обучения в высших учебных заведениях.

При проведении факультативных занятий следует использовать различные методы изучения математики.

Желательно использовать проблемную форму обучения. Например, представить изучаемый факультативный курс в виде серии последовательно расположенных задач. В статье И.Д. Степанова [41] говорится, что, решая последовательно все задачи самостоятельно или при незначительной помощи преподавателя, школьники постепенно изучают курс при большом личном участии, проявляя активность и самостоятельность, овладевая техникой математического мышления. Он предлагает рассматривать теоремы в виде задач, разбивая большие или трудные теоремы на несколько задач так, что решение предыдущей помогает решить последующую. При этом необходимые определения учитель либо включает в текст задачи, либо сообщает особо. Учитель проводит предварительную беседу или делает обобщения, если считает это целесообразным. На каждом занятии всем ученикам выдаются задания на листочках.

На факультативных занятиях очень полезно рассматривать задачи проблемного характера, применяя, например, эвристический метод. Этот метод обучения в обычном классе громоздок и отнимает много времени и сил учителя. В то же время при наличии интереса и сознательного отношения учащихся к учебе , когда не нужно побуждать учеников к деятельности, а необходимо только направлять и контролировать эту деятельность, эвристический метод может стать определяющим на факультативных занятиях, т.к. развивает самостоятельность мышления и творческую активность школьников.

И.Ф. Шарыгин в своем факультативном курсе математики [49] указывает, что процесс обучения рекомендуется строить на ряде методических принципов:

Принцип регулярности. Основная работа происходит не на совместных занятиях в классе, а дома, индивидуально. Полноценная подготовка невозможна без достаточно большого количества часов, посвященных работе над задачей. При этом лучше заниматься понемногу, но часто, скажем, по часу ежедневно, чем раз в неделю, но помногу часов.