Принцип параллельности. Учитель должен постоянно держать в поле зрения несколько тем курса.

Принцип опережающей сложности. Учитель не должен загружать ученика большой по объему, но несложной работой, но не должен задавать и непосильные для него задачи. Этот принцип на практике можно реализовать, задавая на дом очередную недельную порцию задач (от 10 до 15), подобрав их так, чтобы 7-8 из них были доступны практически всем слушателям факультатива, 3-4 были бы по силам лишь некоторым, а 1-2, пусть не намного, но превышали бы возможности даже самых сильных учеников. Процесс усвоения новых идей будет эффективным, даже если трудная задача у школьника не получилась и он отложил ее, но потрудился над ее решением достаточно большое время, скажем, один час. Чем ближе друг к другу по уровню математического развития члены факультатива, тем сильнее будет действие принципа опережающей сложности. Этот принцип развивает такие полезные качества, как сознательность, внутренняя честность, научное честолюбие.

Принцип смены приоритетов. Приоритет идеи заключается в том, что в период накопления идей, а также при решении достаточно трудных задач главное - правильная идея решения, которая может быть доведена до числа за разумное время. Ученику прощаются небольшие и даже средние огрехи в решении задачи. Приоритет ответа состоит в том, что при отработке уже известных идей, а также при решении наиболее простых, стандартных задач главное - дать правильный ответ.

Принцип вариативности. Согласно этому принципу очень полезно рассмотреть различные приемы и методы решения на примере одной задачи, а затем сравнить и проанализировать получившиеся решения с различных точек зрения: стандартность и оригинальность, объем вычислительной и объяснительной работы, эстетическая и практическая ценность.

Принцип самоконтроля. Этот принцип предполагает, что непременным элементом самостоятельной работы должен быть регулярный и систематический анализ своих ошибок и неудач (а не подгонка под ответ).

Принцип быстрого повторения. По мере накопления числа решенных задач следует просматривать и некоторым образом раскладывать по полочкам образовавшийся задачный архив: эта задача легкая, эта труднее, но помню ее решение, а эту я не решил и не помню разобранное на занятии решение.

Принцип работы с текстом. При работе с учебными пособиями, где имеются трудные задачи, снабженные лишь краткими указаниями, нужно заполнять логические пробелы, выполнять промежуточные вычисления, рассматривать аналогичные варианты - это главное назначение таких задач.

Принцип моделирования ситуаций. Полезно моделировать критические ситуации, которые могут возникнуть на олимпиаде, конкурсе, экзамене и т.д., и отрабатывать стереотипы поведения.

На факультативных занятиях качество усвоения теории систематически проверяется в процессе решения задач и примеров. Учителю следует стараться предоставлять инициативу в оценке способов решения, в исправлении ошибок самим учащимся. В процессе этой работы достигается логическая точность в формулировках определений, теорем и свойств математических объектов. В конце каждого занятия учитель дает свою оценку работы учащихся. Регулярно проводится проверка домашних заданий, разбор вопросов, возникших у учащихся. Время от времени целесообразно проводить 15-20-минутные проверочные работы. По окончании факультативного курса проводится зачет.

Глава 2. Разработка факультативного курса “Методы решения нестандартных задач по алгебре”

§1. Программа факультативного курса “Методы решения нестандартных задач по алгебре”

Пояснительная записка

Целью обучения школьников по данному факультативному курсу является расширение их математического кругозора, более глубокое и осознанное усвоение материала школьной программы, отработка умения творчески применять полученные знания при решении нестандартных задач, развитие математического мышления.

К нестандартным обычно относят те задачи, где традиционные алгоритмы решения не проходят. Анализ таких задач, предлагаемых в различных учебниках, показывает, что, не расширяя теоретических знаний, не выходя за рамки программы по математике, можно дать на вооружение ученикам дополнительно некоторые методы решения определенных типов уравнений и неравенств.

Решение необычных задач развивает сообразительность, логику, интуицию, умение рассуждать, помогает воспринимать изученный материал не как набор несвязанных между собой тем школьного курса математики, а как единый математический аппарат.

В данном курсе из всего множества нестандартных методов рассматриваются методы, использующие свойства ограниченности и монотонности функций, а также векторно-координатный метод.

Данный факультативный курс рассчитан на учеников 11 класса (второе полугодие), т.к. его изучение предполагает знание практически всех разделов школьного курса математики. Каждое занятие проводится один раз в неделю и рассчитано на два урока. Курс предназначен учащимся, интересующимся математикой, стремящимся поступить в “серьезный” вуз, а также может быть использован для индивидуальной подготовки.

В материалах факультативного курса имеется множество разнообразных задач, из которых учитель может выбирать те, что соответствуют уровню подготовки учащихся.

Существенным условием правильной организации учебного процесса является выбор учителем рациональной системы методов и приемов обучения. Отметим, что некоторые методические рекомендации по рассматриваемому курсу даны в §2 этой главы.

Содержание курса

Использование свойства ограниченности функций, метод оценок при решении уравнений разного вида (рациональных, тригонометрических, показательных, логарифмических и смешанных) с одним переменным, с двумя переменными; при решении систем уравнений, где число уравнений меньше числа неизвестных; при решении неравенств.

Векторно-координатный метод. Использование понятия скалярного произведения и векторного неравенства Коши-Буняковского для доказательства неравенств; для решения задач на нахождение наибольших и наименьших значений функций; при решении уравнений и систем уравнений.

Метод обращения к монотонности функции при решении уравнений и неравенств разного вида.

Методы решения уравнений вида на базе свойства монотонности функции .

Учет свойств четности, нечетности и периодичности при решении уравнений вида .

Решение уравнений вида и его модификаций: ,

В Приложении даны решения задач для самостоятельной работы из заданий на дом, дополнительные задачи (которые учитель может использовать по своему выбору), варианты для проверочных работ и зачета.

§2. Методические рекомендации к занятиям

Как уже отмечалось, математические задачи являются очень эффективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися школьного курса математики. В развитии мышления и в математическом воспитании учащихся особенно велика роль нестандартных задач, требующих от школьников дополнительных усилий. Поэтому крайне важна правильная методика обучения решению нестандартных математических задач. Часто при изучении школьного курса математики ученикам не даются необходимые знания о сущности задач и их решений, а поэтому они решают задачи, не осознавая должным образом свою собственную деятельность. Отсюда вытекает необходимое методическое требование - стимулировать постоянный анализ учащимися своей деятельности по решению задач , учить их выделять общие подходы и методы, теоретически осмысливать и обосновывать все шаги решения задачи. Когда начинают решать задачу, то прежде всего ищут ведущую идею (принцип), из которой следует исходить. После нахождения идеи дальнейшее решение есть ее конкретизация, воплощение. Следовательно, особенно важно обсуждение подхода к решению задачи, поиск решения. Учитель может рекомендовать учащимся литературу для самостоятельного изучения вопроса о методике решения задач (например, [18],[45] ).

Формы и методы проведения факультативных занятий должны быть выбраны учителем в зависимости от уровня подготовки учащихся, отбор задач может проводиться с учетом изученных тем школьного курса математики (в приложении даны дополнительные задачи на разные темы). Заметим, что в предложенном виде занятия рассчитаны на знание всех основных тем курса школьной алгебры и начал анализа.

Если уровень математического развития учащихся достаточно высок, то новый материал можно вводить с помощью поискового (исследовательского) или частично поискового метода. Например, на занятии 1 учитель может дать на обсуждение ученикам легкую задачу и предложить догадаться о методе ее решения, конечно, помогая вопросами, если необходимо. Таким образом , можно подвести учащихся к изучению новых методов, использующих свойства функций. Заметим, что решение нестандартных задач всегда включает элементы исследования. Такие исследования необходимо проводить при решении многих уравнений и неравенств (особенно тригонометрических, показательных и логарифмических).

После введения нового материала необходимо разобрать несколько нестандартных задач одного вида (фронтальное решение задач: у доски решает учитель или ученик под его руководством). Затем можно предложить учащимся задачи для самостоятельного письменного решения с дальнейшим разбором для всей группы. Это наиболее эффективная организация решения задач, когда ученики обучаются творчески думать, самостоятельно применять знания различных разделов математики.

Очень хорошо, если учитель, зная уровень способностей каждого ученика, даст индивидуальные задания, разные по степени сложности. Но всегда надо помнить, что нельзя давать школьнику как очень сложные, так и слишком легкие задания. Иначе в первом случае учащийся теряет веру в себя, а во втором -не развивает свои способности.

Весьма важно на занятиях решать задачи несколькими способами. Для этого можно сразу вызвать двух -трех учеников к доске для одновременного решения задачи разными способами. Однако следует иметь в виду, что в этом случае руководство решением задачи требует повышенного мастерства от учителя, т.к. требуется правильно распределить свое внимание между учащимися, которые решают задачу у доски, и остальными учениками группы.

Как установили психологи, решение одной задачи несколькими способами полезнее, чем решение подряд нескольких стереотипных задач. Рассмотрение учеником различных вариантов решения, выбор из них наиболее рационального, красивого развивает умение мыслить, рассуждать, проводить правильные умозаключения. Кроме того рассмотрение различные вариантов решения одной задачи требует от ученика применения всего арсенала его математических знаний. Решение задач двумя способами, например на занятиях 1,2,4, дает возможность увидеть преимущества нового метода.

При решении нестандартных задач целесообразно подчеркнуть важность применения метода сведения, наряду с такими методами решения задач как анализ и синтез. Суть его состоит в том, что данные задачи подвергаются последовательным преобразованиям, что приводит к более простой задаче. Например, при решении уравнения обычно составляют такую конечную последовательность уравнений, эквивалентных данному, что последним является уравнение с очевидным решением.

Заметим, что одной из дидактических целей нестандартных математических задач является повторение ранее изученного. При решении таких задач учащиеся применяют все имеющиеся знания, умения, навыки. Ведь особенность математики заключается в тесной взаимосвязи ее разделов. Поэтому учителю следует останавливать внимание учеников на формулировках тех понятий, теорем, формул, свойств объектов, которые применяются при решении задачи.

Учитель должен помогать учащимся приобретать опыт решения нестандартных задач, учить их решать эти задачи, но его помощь не должна быть чрезмерной. Если эта помощь будет слишком большой, то на долю ученика останется очень мало работы или вовсе не останется. Но плохо и если помощь учителя будет недостаточна. И в том и в другом случае ученик не научится решать задачи. Учитель должен помогать ученику советами, как решать задачу, или наводящими вопросами.

В конце занятия задаются упражнения для самостоятельной работы дома. Их содержание должно быть подготовлено предшествующей работой на факультативе. Для домашнего решения нельзя предлагать только задачи, аналогичные решенным на занятии. Это мало помогает усвоению математики. Цель задания на дом - не только повторение изученного на занятии, но и дальнейшее совершенствование математических знаний, умений и навыков. С учетом этого оно и должно быть составлено. Самостоятельное решение задач дома требует от ученика проявлять свою инициативу, смекалку и настойчивость, мобилизовывать для решения задач свои знания. Предлагаемые на данном факультативе задачи для самостоятельного решения дома имеют различную степень трудности (решения всех задач даны в Приложении). Каждый ученик может попробовать свои силы, “поломать голову” над сложной задачей, что очень важно для развития его мыслительных способностей и творческой инициативы.

В начале каждого занятия следует разбирать наиболее трудные задачи из заданных для самостоятельной работы на дом, которые никто не решил или решили один-два человека.

Постоянно должен проводиться контроль за усвоением полученных знаний. Можно сказать, что практически решение каждой задачи осуществляет текущий контроль. Так, когда задачи решаются фронтально с воспроизведением решения учащимися на доске, то выясняются затруднения учеников, пробелы в их знаниях, степень усвоения новых знаний, методов решения задач, прочность и гибкость приобретенных знаний, умений и навыков. Самостоятельно решаемые задачи имеют то же предназначение.

Тематический контроль осуществляется с помощью проверочных работ. В данном факультативном курсе предполагается провести несколько самостоятельных проверочных работ (на занятиях 3,6,10) примерно в течение одного урока. В качестве итогового контроля предлагается провести зачет по результатам домашней контрольной работы. Все варианты к проверочным работам и зачету даны в Приложении.

Важно приучать учащихся самостоятельно работать с литературой. Можно порекомендовать им некоторые задачники и книги по математике, наиболее полно освещающие тему данного факультативного курса ( например, [5], [13], [27], [31], [47], [50] ).

§ 3. Содержание факультативного курса “Методы решения нестандартных задач по алгебре”

Занятие 1. Решение уравнений с помощью оценок функций, основанных на свойстве ограниченности.

Цели: сформировать представление о нестандартных задачах и нестандартных методах решения; учить использовать свойство ограниченности функций и применять метод оценок при решении уравнений.

Довольно часто встречаются задачи, которые не решаются стандартными методами, с помощью привычных рассуждений. Некоторые из них внешне выглядят очень необычно. Другие замаскированы: с виду, например, это обычные уравнения, но стандартными приемами они не решаются. Эти задачи условно назовем нестандартными. Необычность вида уравнений является по существу подсказкой, направляющей наши мысли на поиски необычных методов. Более коварными являются задачи, имеющие обычный, стандартный вид, но на деле не поддающиеся обычным методам. При решении такого рода задач никогда не ясно, то ли просто избран неудачный путь, то ли действительно требуются какие-нибудь нестандартные рассуждения. Нестандартные задачи требуют для решения сообразительности, свободного владения знанием различных разделов математики и высокой логической культуры.

Когда встречаешься с незнакомой и хитроумной задачей, возникает вопрос: как искать решение задачи?

Один из первых организаторов математических олимпиад в нашей стране, известный математик, профессор В.А.Тартаковский, отвечая на этот вечный вопрос, сравнивал поиск решения такой задачи с задачей поймать мышь, прячущуюся в куче камней. Он рассказывал, что есть два способа поймать мышь в куче камней. Можно постепенно отбрасывать из этой кучи камень за камнем до тех пор, пока не покажется мышь. Тогда бросайтесь и ловите ее. Но можно и иначе. Надо ходить и ходить вокруг кучи и зорко смотреть, не покажется ли где-либо хвостик мыши. Как только заметите хвостик - хватайте и вытягивайте мышь из кучи [45].

Действительно, довольно часто поиск решения задачи напоминает эту операцию по поимке мыши в куче камней.

Невозможно указать все методы решения нестандартных задач. Зачастую очень выручает знание свойств функций, входящих в уравнения или неравенства. Во многих случаях решение нестандартных уравнений и неравенств осуществляется на “функциональном

уровне”, т.е. с помощью графиков или за счет сопоставления некоторых свойств функций.

В этом факультативном курсе будут рассмотрены некоторые методы, базирующиеся на свойстве ограниченности и свойстве монотонности функций. Заметим, что они часто упрощают и решение стандартных задач.

Многие уравнения и неравенства повышенной трудности могут быть успешно решены с помощью анализа областей определения левой и правой частей и посредством оценок их наибольших и наименьших значений с помощью использования свойства ограниченности функций. Признаком таких задач часто может быть наличие в них функций различной природы, например, тригонометрических и показательных, или количество неизвестных, превышающее количество уравнений (неравенств).

Применение метода оценок будет успешным, если уметь находить наибольшие и наименьшие значения элементарных функций или их композиций на заданном множестве, используя свойство ограниченности функций, а также зная некоторые “полезные” неравенства.

Напомним некоторые неравенства, которые широко используются при решении задач:

Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел , здесь i> 0, - натуральное число. В частности, при имеем . Равенство достигается при .

2. Модуль суммы двух чисел .

3. Сумма двух взаимно обратных чисел:

? 2 при > 0, равенство достигается при = 1;

? -2 при < 0, равенство достигается при = -1.

Рассмотрим метод использования свойства ограниченности функций. Он основан на следующих утверждениях:

1. [10] если функции и таковы, что для всех из некоторого множества М выполняются неравенства и , и дано уравнение , то оно на множестве М равносильно системе

2. [1] если на некотором множестве М наименьшее значение одной из функций совпадает с наибольшим значением другой функции (обозначим эти значения буквой ), то на этом множестве уравнение сводится к системе более простых уравнений

.

3. [31] если для всех из некоторого множества М справедливы неравенства > B и < B, где B - некоторое действительное число, то на множестве М уравнение и неравенство <решений не имеют. Заметим, что роль числа B часто играет 0, в этом случае говорят о сохранении знака функций ина множестве M.

Рассмотрим некоторые примеры применения свойства ограниченности функций для решения уравнений.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.(используется утверждение 1). В левой части уравнения записана сумма косинусов, что при стандартном приеме решения предполагает представление ее в виде произведения. Однако этот путь нахождения корней уравнения довольно длинный, т.к. правая часть отлична от нуля. Проще сразу использовать свойство ограниченности тригонометрических функций. Действительно, , поэтому сумма косинусов может быть равна 2 только в том случае, когда оба слагаемых будут равны 1.

Иначе говоря,

Решение исходного уравнения находим как общее решение двух простейших тригонометрических уравнений : , где Ѓё?, т.е. , где Ѓё?.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. (используется утверждение 2).Заметим, что левая часть уравнения не превосходит 1, в то время как правая часть не меньше 1. Следовательно, исходное уравнение имеет решение, только если обе его части равны 1. Это возможно только при x=0.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. (используется утверждение 3). Попытки найти корни этого иррационального уравнения, возводя обе части в квадрат, обречены на неудачу. Заметим, что левая часть этого уравнения неотрицательна при всех значениях x из области определения, в то время как его правая часть меньше нуля при всех значениях x. Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

=,

т.е. левая часть меньше правой. Уравнение не имеет решений.

Пример 6. Сколько корней на отрезке 0?имеет уравнение

?

Решение.1 способ (стандартный). Используются формулы разности синусов и двойного угла: перепишем уравнение в виде , отсюда , следовательно, . Рассматривая левую часть этого уравнения как квадратный трехчлен относительно , получаем, что его наибольшее значение будет равно 3 при , а с другой стороны, на 0? 0??1, так что ? 3 и равенство имеет место при =1.Таким образом, исходное уравнение удовлетворяется, если одновременно и=1, но это невозможно, т.е. уравнение не имеет решений.

2 способ (использование неравенств). Это решение самое короткое и проводится независимо от ограничений на .Переписав уравнение в виде , или

напишем следующую цепочку:

=

= .

Посколькупри любом Ѓё? (это легко доказать, раскрывая модули или возведением в квадрат), то левая часть последнего уравнения по абсолютной величине не превосходит и не может, следовательно, равняться 3. Уравнение не имеет решений.

Как правило, количество неизвестных в системе уравнений и количество уравнений совпадает. Но иногда бывают задачи, где число уравнений меньше числа неизвестных. В таких случаях обычно структура уравнения скрывает какие-либо ограничения на неизвестные. В следующей задаче по одному уравнению от двух неизвестных удается построить равносильную ей систему двух уравнений и найти все ее решения.

Пример 7. Найти все пары чисел (), удовлетворяющие уравнению

Решение

Пусть () удовлетворяет условию задачи, т.е.

.

Используя формулы: и , получим

Или

. (1)

Если , то = -1, что противоречит (1).

Следовательно, ? 0 и > 0. Если ? 1, то и .

Тем самым необычность данной системы полностью “снята” - мы имеем обыкновенную систему трех уравнений с тремя неизвестными, и притом чрезвычайно простую. В самом деле, из двух новых уравнений и второго данного мы сразу же получаем .

Решения данной системы имеют вид: , где Ѓё?.

Упражнения для самостоятельной работы дома даны в Приложении.

Занятие 2. Решение неравенств с использованием свойства ограниченности функций

Цели: проверить усвоение материала предыдущего занятия на основе разбора некоторых задач из домашнего задания; учить применять метод оценок при решении неравенств.

В начале занятия предлагается разобрать задачи 4,6,7 из домашнего задания.

Рассмотрим решение некоторых неравенств, проводя оценки входящих в них функций.

Пример 1. Решить неравенство > 1.

Решение. Область определения этого неравенства состоит из значений таких, что? 0

и ? 0. Кроме того, и , и, по свойству степеней, ? , ? . Складывая эти неравенства, получаем ?,т.е.

? 1, причем равенство достигается лишь в случае, когда одновременно выполняются равенства .

Легко установить, что эти уравнения удовлетворяются одновременно лишь при ,Ѓё?, и, таким образом, исходное неравенство выполняется для всех

из области определения, кроме только что указанных значений ( т.е. для всех таких, что > 0 и > 0). Общим решением этих двух неравенств, а значит, и исходного неравенства, будет < , Ѓё?.

Для сравнения приведем обычное, стандартное решение этого неравенства.

Область определения данного неравенства задается равенствами ? 0и ? 0. Обе части исходного неравенства положительны, и поэтому после возведения в квадрат получим следующее неравенство, равносильное в области определения исходному:

> 1 или >.

Т.к. , то, заменяя для краткости через, получим неравенство > . Область определения этого неравенства: > 1.

Поскольку левая часть последнего неравенства неотрицательна, то при > 1 оно удовлетворяется, т.е. все значения > 1 являются решениями.

Рассматривая далее значения ? -1, будем иметь неравенство с неотрицательными частями. Возводя его в квадрат, после преобразований получим равносильное неравенство > 0 , решения которого > 1 (можно решить методом интервалов). Мы рассматриваем случай ? -1, а потому надо оставить лишь неравенство .

Итак, неравенство > имеет решения > 1 (из первого случая) и

(из второго случая). Но =? -> -3 и поэтому остается решить неравенство > 1.

В области определения исходного неравенства ? 0, поэтому после возведения в квадрат обеих частей неравенства получим равносильное неравенство> 0, которое выполняется для всех из области определения, кроме тех, для которых , т.е. для из интервалов < , Ѓё?.

Как видим, первое решение гораздо короче и, кроме того, оно более универсально: в нем несущественно, например, что оба корня в неравенстве квадратные - они могли бы быть даже разных степеней. В то же время “стандартное” решение в этом случае столкнулось бы с непреодолимыми трудностями.

Пример 2. Решите неравенство ? 0.

Отметим прежде всего, что решить неравенство с двумя неизвестными и - значит, естественно, указать все пары чисел (), при подстановке которых в данное неравенство получается верное числовое неравенство.

Решение. Запишем неравенство в виде ? .Т.к. область определения функции есть отрезок Ѓё[-1;1] , то левая часть этого неравенства определена при условии ? 1 , откуда следует, что должно выполняться условие . Но при этом условии минимальное значение правой части неравенства равно при . Но, поскольку , то максимальное значение левой части неравенства тоже равно при . Следовательно, исходное неравенство имеет единственное решение ,. Ответ: (0;1).

Пример 3. Решить неравенство ? 1.

Решение. 1 способ. Перепишем неравенство в виде ? .

Теперь видно, что всякое решение должно удовлетворять условию ? 0, а при выполнении этого условия обе части неравенства неотрицательны (в области определения), и мы можем возвести их в квадрат, получив равносильное в области определения неравенство ?. Но в рассматриваемой области ?? 0, так что левая часть получившегося неравенства неположительна, а правая часть неотрицательна. Поэтому оно удовлетворяется в том и только том случае, когда обе части равны нулю: . Первое из этих уравнений означает, что либо , либо равен 0. Если, то из условия ? следует , а пара , не входит, очевидно, в область определения исходного неравенства. Следовательно, , и из второго уравнения получаем (с учетом

? 0 ), что .Подстановка в исходное неравенство показывает, что полученная пара , ему удовлетворяет.

2 способ. Переписав неравенство в виде ?, замечаем, что ? 1.

Теперь докажем, что ? 1.

Из второго уравнения находим , тогда первое уравнение принимает вид: , откуда находим . Ответ: (1;0)

Пример 4. Решить неравенство >

Решение. Область определения состоит из , удовлетворяющих условиям: > -2,

?,? 0.Следовательно, область определения: -2 <<, << 0, 0<<?. Рассмотрим неравенство на каждом промежутке отдельно.

-2< < . Тогда, учитывая, что < 0 на этом интервале, получаем, что исходное неравенство равносильно > (1)

Легко видеть, что на этом интервале справедливы неравенства < 1; > 2. Следовательно, неравенство (1), а также исходное неравенство не имеет решений на этом интервале.

2. < < 0. Следовательно, > >0. Отсюда правая часть исходного неравенства меньше 0. В то же время для любого из этого промежутка > 0.

Следовательно, для всех из этого интервала исходное неравенство справедливо.

3. > 0. Следовательно, < (2)

Очевидно, что на этом множестве справедливы неравенства < 2, 1<

Следовательно:

а) (2) не имеет решения на том множестве, где ? 2, т.е. при ? 2;

б) (2) не имеет решения там, где ? 1. Учитывая, что > 0, получаем, что (2) не

имеет решения на 0 <? 1.

в) Найдем решение (2) при 1<< 2. На этом интервале

< .

Покажем, что справедливо неравенство > (3)

Действительно, т.к.>, то . Следовательно, справедливо неравенство (3). Итак, на 1<< 2 имеем >> >. Следовательно, неравенство (3) не имеет решения на 1<< 2. Вывод: множество решений исходного неравенства есть интервал< < 0.

Пример 5. При каких значениях параметра система:

0?

имеет единственное решение?

Решение

Легко оценить правую и левую части первого неравенства системы. Квадратичная функция от , расположенная в левой части неравенства, достигает своего наименьшего значения при x= -p (, ?== 0 -критическая точка, при переходе через которую производная функции меняет знак с “-“ на “+”). При этом правая часть неравенства не превосходит , что можно проверить методом введения дополнительного аргумента.

Замечание. Любое выражение вида можно представить в виде :

= .

Т.к.

,

то точка с координатами лежит на единичной окружности, поэтому существует такое , что и . Обозначим .

Получаем

=

В нашем случае имеем:

? 5.

Таким образом исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда наименьшее значение левой части первого неравенства системы совпадает с наибольшим значением его правой части :

=5, откуда и .

Упражнения для самостоятельной работы дома даны в Приложении.

Занятие 3. Разбор наиболее трудных задач для самостоятельной работы и проверочная работа по материалу занятий 1 и 2

Цели: повторить в ходе решения некоторых задач из домашнего задания изученный материал; проверить усвоение учащимися метода оценок.

В начале занятия предлагается разобрать задачи 4,5,6 из домашнего задания и несколько задач на темы занятий 1 и 2 ( на усмотрение учителя). Во второй половине занятия дать проверочную работу. (Решения задач и варианты проверочной работы даны в Приложении)

Занятие 4. Векторно-координатный метод: доказательство неравенств и решение задач на наибольшее и наименьшее значение

Цели: познакомить с применением векторно-координатного метода к доказательству неравенств и решению задач на наибольшее и наименьшее значение; тренировать учащихся в решении задач по данной теме.

В начале занятия рекомендуется провести анализ проверочной работы предыдущего занятия. В школьном курсе геометрии изучались векторы, их свойства и действия над ними. Были даны понятия координат вектора, длины (модуля) вектора, расстояния и угла между векторами, понятие скалярного произведения векторов. Векторно-координатный метод базируется на этих понятиях. Геометрия и алгебра соединяются и взаимодействуют через этот метод. Он часто используется в алгебре для доказательства некоторых видов неравенств, решения уравнений и их систем, для нахождения наибольших и наименьших значений функции на промежутке и т.д. При этом часто решения существенно упрощаются по сравнению с решениями, выполненными традиционными методами.

Как известно, скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними

.

Т.к. , то (1)

(2)

Неравенство (1) называется векторным неравенством Коши-Буняковского, а неравенство (2) - его следствием. Заметим, что равенство достигается:

а) в неравенстве (1), если векторы и коллинеарны;

б) в неравенстве (2), если векторы и сонаправлены.

Запишем указанные выше формулы через координаты векторов, заданных в 3-хмерном пространстве (заметим, что аналогичные формулы имеют место, как известно, и для векторов, заданных на плоскости).

Если даны векторы и , то

и ,

Неравенства (1) и (2) можно записать в виде:

(3)

(4)

Из неравенств (1) и (2) в том случае, когда имеет место равенство, следует где ? 0, что равносильно системе:

(5)

Что должно натолкнуть на мысль, что надо использовать рассматриваемый метод?

Известно, что модуль вектора вычисляется по формуле . Но это равенство можно читать в обратном порядке: , откуда следует, что всякое выражение вида имеет ясный геометрический смысл; если говорить о векторах - это модуль некоторого вектора. Аналогичное соображение: скалярное произведение двух векторов и вычисляется по формуле . Прочитав это равенство справа налево, получим . Отсюда ясно, что выражение вида можно считать скалярным произведением векторов и .

Рассмотрим задачи, где векторно-координатный метод дает хорошие результаты.

1. Доказательство неравенств. Встречаются неравенства, которые трудно доказать традиционными методами. Применение данного метода позволяет значительно облегчить и ускорить их решение. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Доказать неравенство ? .

Решение. Для доказательства рассмотрим векторы . Тогда Данное неравенство свелось к векторному: , которое хорошо известно. Кроме того, сразу ясно, когда достигается знак равенства: при сонаправленности векторов и .

Пример 2. Доказать, что для произвольных чисел справедливо неравенство:

(6)

Решение

Введем векторы: и . Для них имеем:

=,

Отсюда на основании (2) следует требуемое неравенство.

Пример 3. Доказать, что если - неотрицательные числа, то имеет место неравенство ? .

Решение

Введем векторы и .Тогда .

На основании (2) имеем

Замечание. “Стандартный метод” - от противного: предположим противное, что существует набор неотрицательных значений , для которого исходное неравенство неверно, т.е. выполняется неравенство< . Т.к. обе части этого неравенства неотрицательны, то при возведении их в квадрат получим: , откуда , и далее

< . Но это противоречит неравенству Коши (среднее арифметическое больше среднего геометрического). Значит, наше предположение неверно, а потому справедливо исходное неравенство.

Пример 4. Доказать истинность неравенства

.

Доказательство

Рассмотрим векторы . Получим: , - левая часть исходного неравенства. Согласно неравенству (4), имеем =. (7)

Пусть теперь . Тогда = , скалярное произведение . Применим формулу (4) к правой части неравенства (7): =.

Пример 5. Доказать, что неравенство выполняется при всех значениях, при которых определена его левая часть.

Доказательство. Рассмотрим векторы . Из формулы (4) следует, что

=

Пример 6. Доказать, что неравенство

выполняется при всех значениях , при которых определена его левая часть.

Доказательство.Найдем числовой промежуток, на котором определена левая часть неравенства. Решив систему

?

?

,

получаем, что Ѓё.

Рассмотрим векторы . Из соотношения (4) следует, что =.

Заметим, что самое невероятное соотношение может стать верным неравенством или даже тождеством на достаточно узкой области его определения. Например, равенство , вообще говоря, неверно. Но стоит сузить область его определения и рассмотреть не все множество действительный чисел, а только одно подмножество, как это равенство становится верным. То же самое произошло и с заданным неравенством. Оно выполняется на весьма специфической области, в которую, например, не входит ни одно натуральное число, а целое встречается лишь единожды - это число 0.

Для того, чтобы расширить область применения метода скалярного произведения, можно привлечь так называемые условные неравенства, когда переменные, кроме того соотношения, которое требуется доказать, связаны дополнительным условием.

Покажем применение векторного неравенства Коши-Буняковского к доказательству условных неравенств.

Пример 7. Доказать, что если ? 2 , то ? 2.

Решение. Введем векторы: и . Тогда . На основании (1) , т.е.. Учитывая условие ? 2, имеем .

Пример 8. Доказать, что если,то

Доказательство

Обозначим координаты соответствующих векторов следующим образом . Согласно формуле (4) имеем:

=

= =.

Пример 10. Доказать, что если > 0, > 0, то для любых справедливо неравенство .

Решение. 1 способ (“стандартный”). По условию задачи обе части этого неравенства положительны, поэтому оно равносильно следующему:

?

.

Перенося все члены этого неравенства в правую часть, приведя в нем подобные члены и перегруппировав, запишем его в равносильной форме:

() + () + () ? 0.

Поскольку каждое выражение в скобках полный квадрат, то последнее неравенство очевидно, а, следовательно, справедливо равносильное ему исходное неравенство.

2 способ (векторно-координатный метод). Введем векторы

.

Тогда и скалярное произведение этих векторов . Согласно (2) , т.е. получаем неравенство .

2. Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений функции.

Покажем применение неравенства Коши-Буняковского при отыскании наибольших и наименьших значений функции.

Пример 11. Найти наибольшее значение функции

Решение

Эта функция определена для -7 ? ? 11.

Рассмотрим векторы:

.

Тогда

.

На основании (2) имеем .

Отсюда следует, что .

[-7,11]

Это наибольшее значение достигается, если векторы коллинеарны, т.е. ? 1, ? 1. При этом , т.е. , откуда . Итак, Ymax= .

Пример 12. Найдем наибольшее значение выражения.

Пусть . Тогда данное выражение является скалярным произведением векторов . Согласно известному неравенству о скалярном произведении .

Но . Поэтому искомое наибольшее значение выражения равно 13. Достигается оно при условии равенства: , а оно имеет место в случае сонаправленности векторов , т.е. когда имеет место пропорция . Отсюда , т.е.. Отсюда, Ѓё?. Аналогично можно найти и наименьшее значение данного выражения.

В общем случае выражение из таких же соображений заключается в границы ??. Выражение есть не что иное, как скалярное произведение векторов .

Пример 13. Найти наибольшее значение функции

.

Решение

Эта функция определена при всех Ѓё?. Введем векторы:

Тогда

На основании (2) имеем

что реализуется при коллинеарности векторов , т.е.

? 1,

? 1,

при этом:

,, , ,откуда =±, где Ѓё?.

Пример 14. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

.

Решение

Рассмотрим векторы

.

Согласно неравенству

=.

Следовательно, ?7.

Пример 15. Найти наибольшее значение функции

.

Решение

Функцию представим в виде . Рассмотрим векторы: Эти векторы сонаправлены, если (согласно соотношениям (5) ). Отсюда находим, что и . Окончательно получаем , т.е. max =при .

Упражнения для самостоятельной работы дома даны в Приложении..

Занятие 5. Векторно-координатный метод: решение уравнений и систем уравнений

Цели: показать возможность использования векторно-координатного метода при решении уравнений и систем уравнений; выработать навык решения задач данным методом.

В начале занятия предлагается разобрать решения задач 4,6,7 из домашнего задания.

1. Решение уравнений.

Пример 1. Решить уравнение

.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде

Рассмотрим векторы: Длины этих векторов соответственно равны

Их скалярное произведение: В соответствии с неравенством имеем:? > , т.е. >. Отсюда следует, что равенство не выполняется, т.е. исходное уравнение не имеет корней. Ответ: уравнение не имеет корней.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение

Преобразуем подкоренное выражение левой части уравнения:

=

Тогда данное уравнение примет вид

Область определения уравнения: ?0.

Введем векторы и найдем:

Из этих равенств следует, что исходное уравнение можно переписать в виде Это равенство выполняется только в том случае, когда векторы сонаправлены. Тогда их координаты пропорциональны, т.е. при можно записать:. Отсюда. Кроме того, при левая и правая части исходного уравнения равны, т.е.- корень уравнения. Итак, найдены два корня исходного уравненияДругих корней нет, т.к. исходное уравнение сводится к квадратному.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение

Рассмотрим векторы Тогда данное уравнение можно записать в виде Оно выполняется только в том случае, когда координаты векторов пропорциональны. Т.к. не является корнем уравнения, условие пропорциональности удобно записать в виде .

Отсюда , или , т.е. и , откуда = 1 и = (проверкой убеждаемся, что значение не подходит).

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Введем векторы, тогда

= и , так что . Координаты сонаправленных векторов пропорциональны, т.е. , , откуда , Ѓё?.

2. Решение систем уравнений векторно-координатным методом.

Пример 5. Решить систему уравнений

(1)

(2)

Решение

На первый взгляд может показаться, что система имеет бесконечное множество решений (три переменных и два уравнения). Однако такое мнение ошибочно. Как будет показано, система имеет единственное решение.

Рассмотрим векторы: . Тогда, учитывая (1): (3) Т.к. , то: (4)

Из (3) и (4) получаем , т.е. имеет место равенство в соотношении Следовательно, векторы сонаправлены, т.е. их координаты пропорциональны .Поэтому=, а с учетом (1) имеем, что ==.Ответ:

Объясним теперь геометрически, почему система (1)-(2) имеет единственное решение. Уравнение (1) - уравнение плоскости, пересекающей оси координат в точках : (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Уравнение (2) - уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом.

Если рассматривать сферы, радиусы которых r < , то такие сферы не будут пересекаться с плоскостью (1). В этом случае система (1)-(2) не будет иметь решений.

При r= (что имеем в уравнении (2)) сфера будет касаться плоскости (1) - у сферы и плоскости будет одна общая точка, координаты которой будут решением данной системы.

При r> сфера будет пересекать плоскость по некоторой окружности, координаты точек которой будут решениями соответствующей системы. В этом случае система имеет бесконечное множество решений.

Пример 6. Решить систему уравнений

(5)

(6)

Решение

Эта система, аналогично предыдущей, на первый взгляд кажется неопределенной, но, в отличие от предыдущей, она не имеет решений.

Положим . Тогда очевидно, что (учитывая уравнение (5)), . Из (6) следует, что . Получается , что невозможно. Следовательно, система (5)-(6) решений не имеет.

Объясним геометрически, почему система (5)-(6) не имеет решений.

Введем новые переменные, положив , , . Тогда система (5)-(6) примет вид:

(5')

(6')

Рассуждениями, аналогичными приведенным в объяснении к решению системы (1)-(2), приходим к выводу, что сфера (5') и плоскость (6') не имеют общих точек и потому система (5')-(6'), а значит, и система (5)-(6) не имеют решений. Действительно, начало координат в системе Ouvw удалено от плоскости (6') на расстояние >1. Поэтому сфера (5') радиуса 1 не имеет общих точек с плоскостью (6'), а система (5)-(6) не имеет решений.

Рассмотрим системы трех уравнений с тремя переменными.

Пример 7. Решите систему уравнений

.

Решение. Так как не является решением системы, то, разделив обе части первого уравнения системы на , получим систему, равносильную данной:

.

Рассмотрим векторы:.Тогда .Таким образом, , что означает коллинеарность векторов и, значит, пропорциональность их координат : =: =:,

откуда и .Из второго уравнения исходной системы получим: , , =± и, следовательно, = ±, =±.

Установим, какие из значений являются решениями уравнения. Проверкой убеждаемся, что только две тройки являются решениями данной системы.

Пример 8. Решите систему уравнений

Решение

Рассмотрим векторы . Тогда и, значит, . Тогда имеем =, откуда =. Из первого уравнения системы получим: . Следовательно, , z =1 .Тройка чисел (1,1,1) является решением третьего уравнения системы и, следовательно, решением системы. Итак, (1;1;1) - решение исходной системы.

Подводя итоги, можно дать общую схему решения уравнения или системы уравнений с помощью векторов.

1. Введение векторов и .

2. Вычисление модулей векторов и их скалярного произведения.

3. Проверка возможности представления исходного уравнения ( или одного из уравнений системы) в виде соотношения или

4. Если это выполняется, то координаты векторов пропорциональны, что дает возможность найти решение исходного уравнения или системы уравнений.

Проверка и запись ответа.

Упражнения для самостоятельной работы дома даны в Приложении.

Занятие 6. Разбор наиболее трудных задач для самостоятельной работы и проверочная работа по материалу занятий 4 и 5

Цели: повторить в ходе решения некоторых задач из домашнего задания изученный материал; проверить усвоение применения векторно-координатного метода для решения алгебраических задач.

В начале занятия предлагается разобрать задачи 6,7,8 из домашнего задания и несколько задач на темы занятий 4 и 5( на усмотрение учителя). Во второй половине занятия дать проверочную работу. (Решения задач и варианты проверочной работы даны в Приложении).

Занятие 7. Метод обращения к монотонности функции при решении уравнений и неравенств

Цели: познакомить с задачами, которые решаются с помощью использования свойства монотонности функции; учить решать уравнения и неравенства методом обращения к монотонности функции.

В начале занятия рекомендуется провести анализ проверочной работы предыдущего занятия.

Решение уравнений и неравенств с использованием свойства монотонности основывается на следующих утверждениях.

1. Пусть непрерывная и строго монотонная функция на промежутке ?, тогда уравнение , где - данная константа, может иметь не более одного решения на промежутке ?.

2. Пусть и -непрерывные на промежутке ? функции, строго возрастает, а строго убывает на этом промежутке, тогда уравнение = может иметь не более одного решения на промежутке ?, причем если - решение этого уравнения, то при будет>, а при будет<.Отметим, что в качестве промежутка могут быть: [31]

Идею метода обращения к монотонности при решении неравенств хорошо иллюстрирует решение следующего простого неравенства:

Пример 1. Решить неравенство ? .

Решение

Есть два стандартных пути: возведение в квадрат ( при условии > 0, если же < 0, неравенство выполняется) и замена неизвестного ().

Рассмотрим еще один способ - нестандартный, использующий монотонность функций

Функция, расположенная в левой части, монотонно возрастает, в правой части убывает. По утверждению 2 уравнение имеет не более одного решения, причем если - решение этого уравнения, то при будет , а решением данного неравенства будет . Значение ? легко подбирается: . Ответ: ? 1.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Корень легко найти подбором. Других корней быть не может, т. к. левая часть уравнения представляет собой возрастающую функцию, поскольку является суммой двух возрастающих функций и , а правая - константу. Ответ:

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Найдем область допустимых значений переменной . Она определяется

системой:

? 0

? -1,

т.е. ? 0. Функция возрастающая, поэтому > . Тогда левая часть уравнения отрицательна, а правая - положительна. Решения нет. Ответ: корней нет.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение

Легко установить, что - корень уравнения. Однако его единственность пока не очевидна, т.к. в обеих частях уравнения имеем возрастающие функции. Применим следующий прием: разделим обе части уравнения на , заметив, что ? 0 . Получим .Теперь в левой части уравнения записана убывающая функция ( она является суммой двух убывающих функций), а в правой - постоянная. Такое уравнение не может иметь более одного корня. Итак, - единственный корень. Ответ: .

Замечание: можно было разделить обе части уравнения на , ? 0.

Пример 5. Решить уравнение

Решение

Область определения данного уравнения есть промежуток ? 18. На области определения функции = и =непрерывны и строго убывают, следовательно, непрерывна и убывает функция =. Поэтому каждое свое значение функция принимает только в одной точке. Т.к. , то является единственным корнем исходного уравнения. Ответ: .

Пример 6. Решить неравенство >

Решение

Область определения данного неравенства - множество . Запишем неравенство в виде > 0. Т.к. функция - убывающая, а - возрастающая, то - убывающая функция. Функция также убывающая, и, следовательно, функция - убывающая как сумма двух убывающих функций. Поэтому при > , а при 0<. Ответ:

Пример 7. Решить уравнение .

Решение

Положим , тогда , и заданное уравнение можно переписать в виде: , откуда . Это уравнение имеет очевидный корень , но утверждать, что это единственный корень уравнения мы не можем, ибо как левая, так и правая часть уравнения - возрастающая функция. Но если обе части уравнения разделить почленно на , то получим: . Теперь левая часть уравнения, т.е. показательная функция , убывает (основание , а правая часть уравнения, т.е. показательная функция , возрастает (основание > 1).

Значит,- единственный корень уравнения. Поскольку , то из уравнения находим - единственный корень заданного уравнения.

Пример 8. Решить неравенство .

Решение

Каждая из функций непрерывная и строго возрастающая на всей оси. Значит, и исходная функция является непрерывной и строго возрастающей. Легко видеть, что при функция принимает значение 3. В силу непрерывности и строгой монотонности этой функции при> 0 имеем > 3, при имеем < 3. Следовательно, решениями исходного неравенства являются все . Ответ: (-?;0)

Упражнения для самостоятельной работы дома даны в Приложении..

Занятие 8. Решение уравнений вида : основные утверждения

Цели: познакомить с утверждениями, помогающими решать уравнения данного вида, основанными на свойстве монотонности функции ; учить решать уравнения вида .

В начале занятия предлагается разобрать задачи 4,5,7 из домашнего задания.

Мы рассмотрели некоторые нестандартные методы решения алгебраических задач, основанные на свойстве монотонности функций. На этом же свойстве базируется решение специального класса уравнений вида: , (1) где - некоторые функции.

Заметим, что если или , а - квадратичные или линейные функции, то уравнения вида (1) являются традиционными для учащихся, они часто встречаются в школьном курсе, причем решение такого уравнения сводится к решению уравнения .

Мы рассмотрим этот вид уравнений в более широком плане и дадим теоретическое обоснование решения. Методы решения уравнений вида (1) основываются на трех утверждениях [35].

Случай 1. Функция строго монотонна на ?, причем ? - множество всех действительных чисел - является областью определения данной функции. В этом случае области значений функций и всегда принадлежат области определения функции .

Утверждение 1. Пусть функциястрого монотонна (строго возрастает или убывает) на?.

Тогда уравнение равносильно уравнению .

Случай 2. Функция строго монотонна на всей области ее определения, которой является промежуток J. Значения функцийи , как аргументов функции , принадлежат промежутку J.

Утверждение 2. Пусть функция имеет область существования - промежуток J , и пусть она строго монотонна на J . Тогда уравнение равносильно системе