ЃёJ

ЃёJ.

Отметим, что в системе можно опустить одно из двух условий: илиЃёJ, или ЃёJ (что мы и будем иногда делать в дальнейшем). Действительно, если для некоторого числа справедливо равенство и одно из условий, например ЃёJ , то тогда справедливо и второе условие ЃёJ , т.к. .

Общий случай. Область значений функций и , играющих роль аргументов функции, принадлежат промежутку J. Функция строго монотонна на этом промежутке J, который либо принадлежит области определения функции , либо совпадает с ней.

Очевидно, что случаи 1 и 2 являются частными случаями утверждения 3, поэтому докажем только утверждение 3.

Доказательство утверждения 3. Пусть число является решением системы

ЃёJ

ЃёJ . (A)

Это означает, что имеют смысл числовые выражения , каждое из них принадлежит промежутку J и . Покажем, что отсюда следует: .

Пусть функция строго возрастает на промежутке J . Тогда если , то ; если же , то , что противоречит условию . Следовательно, действительно , а т.к. ЃёJ, ЃёJ, то число является решением системы

ЃёJ

ЃёJ. (Б)

Аналогично можно показать, что если функция строго убывает на промежутке J, то число; - решение системы (А) - является решением системы (Б). Сказанное выше означает, что любое решение системы (А) является решением системы (Б).

Если число является решением системы (Б), то это означает, что имеют смысл и принадлежат промежутку J числовые выражения и . Но тогда . Следовательно, получим, что ЃёJ, ЃёJ и , а это означает, что число является решением системы (А). Отсюда следует, что любое решение системы (Б) является решением системы (А).

Таким образом, показано, что системы (А) и (Б) равносильны в случае, если известно, что хотя бы одна из них имеет решение.

Покажем, что если система (А) не имеет решения, то и система (Б) не имеет решения. Предположим противное, т.е. предположим, что система (Б) имеет решение. Но тогда по доказанному выше и система (А) имеет решение, что противоречит условию, что система (А) не имеет решения. Следовательно, наше предположение неверно, а это означает, что система (Б) не имеет решения.

Аналогично можно показать, что если система (Б) не имеет решения, то и система (А) не имеет решения. Следовательно, если не имеет решений хотя бы одна из систем (А) и (Б), то эти системы равносильны. Таким образом, утверждение 3 доказано полностью.

Приведем примеры, использующие утверждение 1.

Пример 1. Решить уравнение (1)

Имеем , .Т.к. функция строго возрастает на ?, то на основании утверждения 1 уравнение (1) равносильно уравнению . (2)

Т.к. функция строго убывает на ?, то на основании утверждения 1 уравнение (2) равносильно уравнению , (3), имеющему два корня =1 и =2003. Уравнение (1), равносильное уравнению (3), имеет те же два корня. Ответ: 1; 2003.

Пример 2. Решить уравнение (4)

Решение. Имеем , и .Область определения функции есть множество ?, функция строго возрастает на ? (как сумма строго возрастающих функций). Поэтому на основании утверждения 1 уравнение (4) равносильно уравнению , (5) имеющему две серии решений =,Ѓё?, и =,Ѓё?. Уравнение (4), равносильное уравнению (5) имеет те же решения

Ответ: =,Ѓё?, и =,Ѓё?.

Рассмотрим примеры на применение утверждения 2.

Пример 3. Решить уравнение (6)

Решение. Имеем . Область определения функции это промежуток [-1,1]. На нем функция строго убывает. Поэтому на основании утверждения 2 уравнение (6) равносильна системе

?1 (7)

Уравнение системы имеет два решения и . Из них двойному неравенству этой системы удовлетворяет только число . Следовательно, система (7) и равносильное ей уравнение (6) имеют то же решение. Ответ: 3.

Разберем пример на применение утверждения 3.

Пример 4. Решить уравнение (8)

Решение. Имеем . Область определения функции есть ?, на ? функция не является строго монотонной. Однако если заметить, что для любого Ѓё? ?0 и ?0, (9) то получим, что уравнение (8) равносильно системе:

(10)

На промежутке J=[0,+ ?) функция строго убывает. Поэтому по утверждению3 система (10) равносильна системе

(11)

Учитывая условия (9), получаем, что система (11) равносильна уравнению , т.е. уравнению , которое имеет серию решений =,Ѓё?.

Следовательно, исходное уравнение (8) имеет те же решения.

Ответ: =,Ѓё?.

Пример 5.

Решить уравнение (12)

Перепишем уравнение (12) в виде (13)

Т.к. для любого Ѓё? и , (14)

то, обозначив , получим, что уравнение (13) равносильно системе (15)

Т.к. область определения функции есть промежуток (0, + ?) и ?= >0 для >1, то функция строго возрастает на промежутке J=[1,+ ?).Поэтому по утверждению3 система (15) равносильна системе

Учитывая, что неравенства (14) выполняются для любого Ѓё?, последняя система равносильна уравнению , имеющему единственный корень =2 . Следовательно, уравнение (12) также имеет единственный корень . Ответ: 2.

Упражнения для самостоятельной работы дома даны в Приложении.

Занятие 9. Решение уравнений вида : следствия из основных утверждений

Цели: рассмотреть следствия из основных утверждений из занятия 8, использующие свойства четности и периодичности функции; закрепить изученный метод в ходе решения уравнений данного вида.

В начале занятия предлагается разобрать примеры 2,5,8,9 из домашнего задания.

Рассмотрим следствия из основных утверждений, доказанных на предыдущем занятии.

Следствие 1. Если функция четная и строго монотонная при > 0, то уравнение

равносильно совокупности уравнений

Замечание. Это утверждение справедливо и в случае, если функция четная и строго монотонная как при положительных значениях функций и ,так и при отрицательных значениях этих функций.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Уравнение имеет вид , причем ,, .Легко заметить, что функция четная. Т.к. ?()=> 0 и > при >0 , то функция является возрастающей при >0. Отсюда следует, что уравнение равносильно совокупности двух уравнений и .

Решим первое уравнение . Т.к. , действительных решений нет.

Решим второе уравнение . Получим = , =. Отсюда имеем, что исходное уравнение имеет два корня = и =.

Следствие 2. Если функция нечетная, то решение уравнения вида сводится к решению уравнения .

Пример 2. Решить уравнение.

Решение. Легко заметить, что уравнение имеет вид , причем , . Очевидно, что функция нечетная. Убедимся, что она строго возрастающая на ?. Пусть . Если , то ясно, что . Если , то . Если же , то и, значит, . Учитывая нечетность функции , получаем, что. Теперь ясно, что по утверждению 1 уравнение эквивалентно уравнению , и, следовательно, уравнение имеет единственное решение .

Следствие 3. Если функция периодическая периода Т и строго монотонная на промежутке длины Т, то уравнение (1) равносильно совокупности уравнений , (2) где Ѓё ?, на области определения функции .

Докажем это утверждение. Пусть - решение уравнения и функция строго монотонна на промежутке с концами и . Подберем целые числа и так, чтобы числа и принадлежали этому промежутку. Поскольку функция строго монотонна на промежутке и , то . Следовательно, - решение совокупности уравнений (2). Учитывая очевидное утверждение, что если - решение совокупности уравнений (2), то - решение уравнения (1), получаем, что совокупность уравнений (2) и уравнение (1) равносильны.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Заметим, что, Рассмотрим функцию, ее область определения ?, где Ѓё ? . Положим, , тогда исходное уравнение запишется в виде . Ясно, что функция нечетная и периодическая с периодом .

Поскольку ?()=( ) ?=> 0, то функция возрастающая на интервале () . Отсюда следует, что уравнение равносильно бесконечной совокупности уравнений , где - произвольное целое число. Выясним, какие из чисел ( решений совокупности) являются решениями исходного уравнения.

Пусть , тогда если =, то. Отсюда .

Пусть , тогда если =, то. Отсюда ,что невозможно.

Следовательно, решениями исходного уравнения являются , где -произвольное целое число, неравное при целом .

Упражнения для самостоятельной работы дома даны в Приложении.

Занятие 10. Разбор наиболее трудных задач для самостоятельной работы и проверочная работа по материалу занятий 7,8 и 9.

Цели: повторить в ходе решения некоторых задач из домашнего задания изученный материал; проверить усвоение применения метода обращения к монотонности функции и метода решения уравнений вида .

В начале занятия предлагается разобрать задачи 4,6 из домашнего задания и несколько задач на темы занятий 7 и 8( на усмотрение учителя). Во второй половине занятия дать проверочную работу. (Решения задач и варианты проверочной работы даны в Приложении).

Занятие 11. Решение уравнения вида и его модификаций

Цели: рассмотреть способы решения уравнений вида , , ; подготовка к зачету.

В начале занятия рекомендуется провести анализ проверочной работы предыдущего занятия.

1. Класс уравнений вида удобен для отработки нестандартных приемов решений. Уравнения такого вида давно присутствуют среди олимпиадных задач. Они интересны тем, что при решении некоторых уравнений данного класса можно воспользоваться свойством непрерывности функции . При решении уравнений указанного вида используется следующее утверждение.

Теорема 1: Если - монотонно возрастающая функция, то уравнения (1) и (2) эквивалентны.

Доказательство То, что уравнение (1) является следствием уравнения (2), очевидно: любой корень (2) удовлетворяет (1). (Если , то ). Докажем, что любой корень уравнения (1) удовлетворяет уравнению (2). Пусть такое, что . Предположим, что , и для определенности . Тогда , что противоречит предположению . Теорема доказана

Пример 1. Решить уравнение

.

Решение. Т.к. , то исходное уравнение принимает вид . Прибавив к обеим частям уравнения , получим, что уравнение равносильно уравнению вида , причем

Функция непрерывна на ?. По теореме исходное уравнение равносильно уравнению , т.е. уравнению илиили . Это квадратное уравнение не имеет решений (D<0), поэтому и исходное уравнение не имеет действительных корней.

2. Обобщением класса уравнений можно считать уравнения вида , где , - некоторые функции. При ?1 данное уравнение примет вид . Для этого класса уравнений справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Если функция возрастающая и , или функция убывающая и на области допустимых значений уравнения , (3)

то уравнения и равносильны на области допустимых значений уравнения (3).

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Область допустимых значений уравнения: ?0. Положив , замечаем, что уравнение имеет вид .

Т.к. функция убывающая на ? (?=) и на области допустимых значений уравнения, то, в силу данной выше теоремы, исходное уравнение равносильно уравнению, т.е. уравнению или . Следовательно, исходное уравнение имеет одно решение .

3. С уравнением тесно связано уравнение вида (4)

где , - некоторые функции и - функция, обратная к функции . Т.к. (?№()) ? , то решения уравнений (4) являются корнями уравнения .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Область допустимых значений уравнения есть ?.

Перепишем уравнение в виде: (5) и положим . Отсюда легко заметить, что .

Следовательно, в правой части уравнения (5) стоит функция, обратная к функции и, значит, уравнение (5) имеет вид . Поскольку функция возрастающая, то уравнение (5) равносильно уравнению и, значит, уравнению , т.е. уравнению . Т.к. , то исходное уравнение имеет три корня .

4. В заключение изучения уравнений, составленных из функций, являющихся суперпозициями более простых функций, остановимся на уравнениях вида

, (6)

, (7)

где - некоторая функция, - функция, обратная к функции и левая часть уравнений (6) и (7) есть результат действия раз на (- кратная суперпозиция ). Для уравнения (6) справедлива теорема для уравнения . Примеры решения уравнений вида (6) встречаются часто. Ясно, что решение уравнений (7) сводится к решению уравнений вида (6) [48].

Пример 4. Решить уравнение , где возведение в куб

в левой части уравнения повторяется раз.

Решение. Нетрудно заметить, что уравнение имеет вид (…(())…) = ?№(), причем (если , то ). Поскольку функция возрастающая, то уравнение равносильно уравнению и, следовательно, эквивалентно уравнению, т.е. уравнению , т.е. уравнению , т.е. . Легко заметить, что корень этого уравнения, тогда , причем . Отсюда следует, что исходное уравнение имеет одно решение .

Пример 5. Решить систему уравнений:

Решение

Рассмотрим функцию .

Поскольку ?=> 0 при всех Ѓё?, то возрастает. Система имеет вид , т.е. . Согласно теореме удовлетворяет уравнению или .

Ответ: (0,0,0); (-1,-1,-1).

В конце урока можно разобрать несколько задач из разных тем курса (по усмотрению учителя) для повторения пройденного материала. На следующее занятие (зачетное) задается домашняя контрольная работа.

Упражнения для самостоятельной работы дома и варианты контрольной работы даны в Приложении.

Заключение

В дипломной работе разработан факультативный курс по теме “Методы решения нестандартных задач по алгебре” и рассмотрена методика его проведения, что являлось первоначально поставленной целью работы.

В результате анализа большого количества методической, педагогической и психологической литературы дана достаточно полная картина возникновения, становления и развития факультативов по математике. Показано, что появление факультативов обусловлено как потребностью опробования новых разделов школьного курса математики и углубления математических знаний учащихся, так и психологическими особенностями старших подростков, их растущими познавательными интересами. Большое внимание уделено связи изучения математики, и особенно решения задач, с развитием мышления школьников. В работе дается характеристика математических способностей и подчеркнута важность их выявления.

В разработанном факультативном курсе рассмотрены методы решения нестандартных задач, связанные со свойствами функций. На занятиях, посвященных применению векторно-координатного метода для решения алгебраических задач, показана связь алгебры с геометрией. Методы, основанные на использовании свойств ограниченности и монотонности, дают возможность решать множество уравнений, неравенств, систем уравнений необычного вида или требующих нестандартного алгоритма решения.

Приведенные в факультативном курсе приемы решения нестандартных задач базируются на школьном курсе математики, но расширяют возможности школьников , как бы превращая нестандартные приемы в привычные, часто используемые. Факультативный курс рассчитан на учащихся, достаточно хорошо знающих школьный курс и стремящихся к углубленному изучению математики. Разбираемые на занятиях задачи в основном имеют повышенный уровень сложности.

Существенное место занимает описание методики проведения факультативных занятий. Подчеркнута возможность применять на занятиях поисковый и частично поисковый методы организации работы, которые помогают наиболее полному раскрытию математических способностей школьников. Учителю рекомендуется уделять больше внимания самостоятельной работе учащихся, развивая их творческую инициативу.

В помощь учителю в Приложении дипломной работы дано много задач, что позволяет варьировать задания с учетом уровня математической подготовки участников факультатива.

На основании сказанного выше, можно заключить, что разработанный факультативный курс может помочь ученикам углубить свои знания по математике и подготовиться к поступлению в вуз.

Библиография

1. Азиев, И.К. Решение алгебраических задач с помощью скалярного произведения // Математика в школе.-- 2007.-- № 4.-- C. 6-8.

2. Азиев, И.К. Решение систем уравнений с тремя переменными с помощью скалярного произведения // Математика в школе.-- 2006.-- № 6.-- C. 34-37.

3. Башмаков, М.И. и др. Задачи по математике. Алгебра и анализ / М.И. Башмаков, Б.М. Беккер, В.М.Гольховой; Под ред. Д.К. Фадеева. -- М.: Наука, 1982.-- 192 с.

4. Баргунова, Ф.М., Денищева, Л.О. Применение свойств функций к решению уравнений // Математика в школе. -- 1992. -- № 6. -- C. 11.

5. Гайштут, А.Г., Ушаков, Р.П. Сборник задач по математике с примерами решений. -- Киев: А.С.К., 2007. -- 592 с.

6. Гальперин, И.М., Габович, И.Г. Использование векторного неравенства Коши-Буняковского при решении задач по алгебре // Математика в школе.--2010.-- № 2.-- С. 54-57.

7. Гладкий,А.В. Как работать с одаренными детьми // Математика в школе. -- 1993. --№ 2. --C. 9-11.

8. Говоров, В.М. и др. Сборник конкурсных задач по математике. В.М. Говоров, П.Т. Дыбов, Н.В. Мирошин, Смирнова.-- М.: Наука, 1983.-- 384 с.

9. Груденов Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике. -- М.: Педагогика,1987. -- 160 с.

10. Гусева, Н.Б., Сычева, Г.В. О чем молчит учебник: Решение уравнений и систем уравнений // Математика в школе.-- 2008. -- № 3. -- C. 20-22.

11. Дорофеев, Г.В. и др. Дифференциация в обучении математике/ Г.В.Дорофеев, Л.В.Кузнецова , С.Б.Суворова С.Б. и др. // Математика в школе. -- 1990. -- № 4. -- С.15-21.

12. Дорофеев, Г.В. и др. Математика. 11кл. Подготовка к письменному экзамену за курс средней школы. Решение задач с методическими комментариями. Г.В. Дорофеев , Г.К. Муравин, Е.А. Седова . -- М.:Дрофа, 2007.-- 352 с.

13. Дорофеев, Г.В. и др. Пособие по математике для поступающих в вузы: избранные вопросы элементарной математики. Г.В. Дорофеев, М.К. Потапов, Н.Х. Розов. -- М.: Наука, 1973. -- 528 с.

14. Егерев, В.К., Мордкович, А.Г. 100 x 4 задач: Серия: 100 задач для поступающих в вузы. -- М: LINKA . PRESS, 1993.-- 262 с.

15. Егоров, А., Раббот, Ж. Иррациональные уравнения // Квант. -- 2007. -- № 5. --С.42-45.

16. Егоров, А., Раббот, Ж. Иррациональные неравенства // Квант.-- 2007.-- № 6.-- С.39-41 17. Егоров, А., Раббот, Ж. Монотонные функции в конкурсных задачах // Квант.-- 2008. -- № 6. -- С. 34-40.

Епишева, О.Б., Крупич, В.И. Учить школьников учиться математике: Кн. для учителя.

М.: Просвещение, 2010. -- 128 с.

19. Задачи повышенной трудности: Учеб. Пособие для 10-11 кл. средней шк./Б.М.Ивлев,

А.М. Абрамов, Ю.П.Дудницын, С.И.Шварцбурд. -- М.: Просвещение, 1990. -- 48 с.

20. Из недавней истории реформы школьного образования // Математика в школе. --1991. --.№ 2 -- C.11.

Колмогоров, А.Н. Математика - наука и профессия / Г.А.Гальперин. --М.:Наука,

1988. -- 228 с.

22. Колмогоров А.Н. Новые программы и вопросы усовершенствования курса математики в средней школе //Математика в школе. --1967. --№ 2. -- C. 12-14.

Колягин,Ю.М.и др. Профильная дифференциация обучения математике/Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова. // Математика в школе. -- 2010. -- № 4. -- С.26-27.

24. Концепция развития школьного математического образования/подготовлена группой математического образования ВНИК “Школьное Гособразование СССР” //Математика в школе. --1990.-- № 1. -- C. 2-13.

25. Крутецкий, В.А. Психология обучения и воспитания школьников. -- М.: Просвещение, 1976. -- 303 с.

26. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. Серия “Психологи отечества”.-- М: изд-во “Институт практической психологии”; Воронеж: изд-во НПО “МОДЭК”,2008. -- 416 с.

27. Литвиненко, В.Н., Мордкович, А.Г. Практикум по элементарной математике; Алгебра. Тригонометрия: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. специальностей пед. институтов. -- М.:Просвещение, 1991.-- 352 с.

28. Маркушевич, А.И. и др. О развитии школьного математического образования в СССР за 60 лет / А.И.Маркушевич, Г.Г.Маслова, Р.С.Черкасов. // Математика в школе. --1977. -- № 5. -- С. 7-12.

29. Методика преподавания математики в школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. факультетов пед. институтов / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Саннинский. --М.:Просвещение, 1980. -- 368 с.

30. О факультативных занятиях в 8-летней школе: обзор статей / И.Б. Юдина. // Математика в школе. --1971. --№ 1. -- С.61-63.

31. Олехник, С.Н. и др. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения: Справочник./ С.Н.Олехник, М.К.Потапов, П.И.Пасиченко. -- М., изд-во Факториал, 2007. --217 с.

32. Панчишкин, А.А., Шавгулидзе, Е.Т. Тригонометрические функции в задачах. -- М.:Наука, 1986. -- 160 с.

33. Педагогика: Учеб. пособие для студентов педвузов и пед. колледжей; Под ред. П.И. Пидкасистого. -- М.: Педагогическое общество России,2007. -- 640 с.

34. Пойа,Д. Обучение через задачи. //В кн.: На путях обновления школьного курса математики /А.И. Маркушевич, Г.Г. Маслова, Р.С. Черкасов.-- М.: Просвещение, 1978. --303 с. -- С. 220-226.

35. Потапов, М.К., Шевкин, А.В. О решении уравнений вида ѓ(б(x))=ѓ(в(x)) // Математика в школе.-- 2007.-- № 8.-- C. 40-43.

36. Потапов, М.К.и др. Конкурсные задачи по математике: Справочное пособие. М.К. Потапов, С.Н. Олехник, Ю.В. Нестеренко Ю.В. --М.: СТОЛЕТИЕ, 2005.-- 594 с.

Психология одаренности детей и подростков: Учеб. пособие для вузов /Ю.Д.Бабаева, Н.С.Лейтес, Т.М. Марютина и др.; Под ред. Н.С.Лейтеса. -- М.:Academia,2006. -- 408 c.

Рыжик, В.И. 25000 уроков математики: Книга для учителя. -- М.: Просвещение, 1993. --240 с.

39. Смирнова, И.М. Профильная модель обучения математике //Математика в школе.-- 1997. -- № 1. -- C. 32-34.

Соболев, С.Л. Преподавание математики в Советском Союзе. // В кн.: На путях обновления школьного курса математики: Пособие для учителей./ А.Н. Маркушевич, Г.Г. Маслова, Р.С.Черкасов.-- М.: Просвещение,1978. -- 303 с. -- С. 100-104.

41. Степанов, И.Д. О методике проведения факультативных занятий //Математика в школе. -- 1969. -- № 5. -- С. 59-60.

42. Факультативный курс “Избранные вопросы математики”:Примерные программы факультативных курсов. //Математика в школе. --1977. -- № 6. -- C. 15-21.

43. Фирсов, В.В., Шварцбурд, С.И. Методы обучения на факультативных занятиях по математике./В кн.:О совершенствовании методов обучения математике: Пособие для учителей./ В.С. Крамор. -- М.:Просвещение,1978. -- 160 с.

44. Фирстова, Н.И. Решение некоторых видов уравнений при помощи неравенств // Математика в школе. --2008. -- № 1. -- C. 29-33.

45. Фридман, Л.М, Турецкий, Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся старших классов средней шк. -- М.: Просвещение, 1989. -- 192 с.

46. Халиков, А. Примеры применения скалярного произведения векторов //Математика в школе. -- 1991. -- № 2. -- C. 59-60.

47. Черкасов, O.Ю., Якушев, А.Г. Математика для поступающих в серьезные вузы. -- М.: Московский лицей, 1998, -- 400 с.

48. Чучаев, И.И., Мещерякова, С.И. Уравнения вида f (g(x))=f (h(x)) и нестандартные методы решения. // Математика в школе.-- 2005.-- № 3.-- C. 48-54.

49. Шарыгин, И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач: учеб. пособие для 10 кл. сред. шк. -- М.: Просвещение, 1989. -- 252 с.

50. Шарыгин, И.Ф., Голубев, В.И. Решение задач: Учеб. пособие для 11 кл. общеобразовательных учреждений.-- М., Просвещение,2005. -- 384 с.

http://fmi.asf.ru/library/mpm/index.html

http://www.edu.ru

Приложение

Часть I. Упражнения для самостоятельной работы дома с решениями.

Занятие 1

1. Решить уравнение .

Решение

Метод возведения в квадрат при решении этого уравнения приводит к громоздкому рациональному уравнению 4-ой степени, корни которого найти нелегко.

Заметим, что ?, в то время, как . Следовательно, левая часть исходного уравнения может быть равна правой части, только если обе части одновременно равняются 3. Отсюда находим единственное решение исходного уравнения . Ответ: .

2. Решить уравнение

Решение

Т.к. и , то и ,

отсюда = 1. Левая часть не превосходит 1 и равна 1 только в том случае, когда:

Первое уравнение системы удовлетворяется при и , но при таких второе уравнение также удовлетворяется: если , то , а если , то . Поэтому решениями системы, а вместе с ней и исходного уравнения, будут

или , где Ѓё?.

3. Решить уравнение .

Решение

Раскроем скобки, используя формулу синуса суммы, перепишем исходное уравнение в виде

, отсюда .

Т.к. функции и имеют наибольшее значение, равное 1, то сумма их равна 2, если = 1 и = 1 одновременно, т.е.

Т.к. Ѓё?., то , Ѓё? , и тогда ,Ѓё?. Ответ: ,Ѓё?.

4. Решить уравнение .

Решение. Имеем =; т.к. 0<?,

то 0<=(мы использовали возрастание функции на промежутке (0; ]. С другой стороны, известно, что ? 2, если >0, причем =2 лишь при =1. Это значит, что ? 2, тогда правая часть заданного уравнения больше или равна ? 2=. Итак, левая часть уравнения не превосходит , а правая - не меньше, чем . Мы приходим к системе уравнений:

Из второго уравнения получаем , т.е. . Отсюда имеем . Первое значение не удовлетворяет первому уравнению системы, второе - удовлетворяет. Ответ: .

5. Решить уравнение .

Решение. Положив , рассмотрим заданное уравнение как квадратное относительно : . Решив это уравнение, получим ?,?= ±. Поскольку ? 1, то дискриминант уравнения отрицателен (что нас не устраивает) или равен 0, если = 1 и = 0. Но = 0 при , тогда , что верно при , т.е. ,Ѓё?.. Тогда =±1.Значит, либо , либо , либо

, либо . Из первого равенства находим ; из второго:, что неверно ни при каком целом значении. Итак, = 0, y=2. Ответ: (0;2).

6. Решить уравнение.

Решение. Заметив, что , а , перепишем исходное уравнение в виде . (1)

Нетрудно показать, что ? 2. Для этого достаточно переписать это неравенство в виде ? 2 и воспользоваться известным неравенством ? 2, если > 0.

В то же время . В самом деле, ?, а тогда, в силу убывания функции , ?.

Итак, левая часть уравнения (1) не меньше чем 2, а правая - не больше чем 2, значит, каждая из них равна 2, т.е. приходим к системе уравнений

Из второго уравнения системы получаем . Тогда первое уравнение принимает вид , откуда , Ѓё?. Ответ: , Ѓё?;

7. Решить уравнение .

Решение. Выполним некоторые преобразования (используя формулы двойного угла):

 (2).

Положим . Тогда и уравнение (2) принимает вид:

и далее , где 0<.

Т.к. ? 2, а ? 2, то получаем систему:

Решив эту систему, получим решения заданного уравнения: , , Ѓё?

8. Решить уравнение .

Решение. Т.к. > 0 (как область определения логарифмической функции), то ? 2 как сумма взаимообратных положительных чисел и, следовательно, () ? 1. Однако при ? 0 существует тогда и только тогда, когда () ? 1. Поэтому уравнение может иметь решение только при () = 1, но и уравнение примет вид: ? =, отсюда , т.е. . Проверка показывает, что удовлетворяет исходному уравнению. Ответ: 1.

9. Решить уравнение .

Решение. Очевидно, что при всех допустимых значениях имеем

? (использовали формулу ? ).

Оценивая левую часть уравнения. заметим, что она не превосходит 2. Следовательно, если данное уравнение имеет решение, то лишь при тех значениях , когда одновременно имеют решение два уравнения:

= 2

= 1

Из первого уравнения получаем , Ѓё?, но эти значения не удовлетворяют второму уравнению. Следовательно, исходное уравнение не имеет решения.

Занятие 2

1. Решить неравенство ? 1.

Решение. Из неравенства > 0 (область определения логарифмической функции) находим , тогда -1 ?? 1, т.е. 0 ? ? 1.

Наконец, = 1. Кроме того, по смыслу заданного неравенства > 0, иначе левая часть будет отрицательной, что нас не устраивает. Итак, в левой части неравенства - произведение двух неотрицательных выражений, каждое из которых не превосходит 1, но произведение должно быть ? 1. Это возможно лишь в одном случае, когда каждый из множителей равен 1:

=1

,

что выполняется только при . Ответ:

2. Решить неравенство .

Решение. Область определения данного неравенства есть множество всех действительных , кроме = -1. Разобьем область определения на три множества: - ?< < -1,

-1< ? 0, 0<<+? и рассмотрим заданное неравенство на каждом из этих промежутков.

Пусть - ?< < -1. Для каждого из этих имеем < 0, а > 0.

Следовательно, все эти являются решениями неравенства.

Пусть -1< ? 0. Для каждого из этих имеем? 1, а ? 1. Следовательно, ни одно из этих не является решением заданного неравенства.

Пусть 0<<+?. Для каждого из этих имеем < 1, > 1. Следовательно, все эти являются решениями исходного неравенства. Ответ: (-? ; -1) Ѓѕ (0; + ? ) .

3. Решите неравенство > .

Решение. Область определения ? 1. После возведения неравенства в квадрат получаем > , отсюда >. Дальнейшее возведение в степень оказывается нецелесообразным, поэтому попытаемся применить метод оценок. Очевидно, что < при ? 1. Нетрудно также показать, что ? при ? 1 . Таким образом, исходное неравенство не имеет решений, т.к. на всей области допустимых значений выполнено неравенство <. Ответ: решений нет.

4. Решить неравенство ? -2.

Решение. Преобразуем второй сомножитель в левой части неравенства по формуле косинуса двойного угла, получим . Т.к. ? 0 , то ? 2 . Рассмотрим первый сомножитель, выделим полный квадрат ? -1. Оценки, полученные для сомножителей, позволяют заключить, что для их произведения справедливо неравенство ? -2. Это означает, что данное в условии задачи нестрогое неравенство может быть истинным только в том случае, когда оно обращается в равенство,т.е. когда выполнено=-2 или . Вновь пользуясь полученными выше оценками, заключаем, что это равенство равносильно системе двух равенств

Эта система, и, следовательно, исходное неравенство, имеет единственное решение . Ответ: .

5. Решить неравенство: ? .

Решение. Функция определена на отрезке -1? ? 1, учитывая, что > -1 (по свойству логарифмической функции), получаем , ? 0. Но, если

-1 <, то , а функция по определению принимает значения из отрезка [-, ], т.е.. Итак, и.

Значит, левая часть заданного неравенства не превосходит , а потому исходное

неравенство может быть справедливо лишь при условии, что левая часть обращается в . А это, в свою очередь, возможно лишь при одновременном выполнении условий:

.

Из уравнения находим . Тогда из второго уравнения: . Ответ: (0;0).

6. Решить неравенство .

Решение. Т.к. функция определена лишь для Ѓё[-1;1], то ? 1, т.е. ? . Т.к. ? 1, то из предыдущего двойного неравенства следует, что ? 1. На промежутке (-2;1] функция возрастает, значит,

наиб = = 1, т.е. на этом промежутке ? 1, а значит,? 0. В то же время функция по определению принимает значения из отрезка [0; ], т.е. ? 0. Итак, в левой части исходного неравенства содержится сумма двух неотрицательных выражений и . Значит, исходное неравенство может выполняться лишь в случае, когда каждое из указанных выражений обращается в 0:

= 0.

Решая эту систему, получаем:

, Ѓё?

(А).

Последнее уравнение имеет решения лишь при (при других целочисленных значениях правая часть уравнения будет по модулю больше 1). Значит, систему (А) можно переписать в виде:

откуда находим и , Ѓё?.

Ответ: и , Ѓё?.

Занятие 4.

1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

Решение

Рассмотрим два вектора: . Согласно неравенству

имеем, где .

Тогда: .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции .

Решение. Перепишем функцию в виде . Рассмотрим векторы . Следовательно,.

Т.к. , то ?13.

3. Доказать, что если , то .

Доказательство. К векторам применим отношение : =

= .

4. Докажем, что ?, если .

И здесь можно распознать скалярное произведение. В самом деле, =?1+?1. Поэтому можем ввести векторы . Далее . И по неравенству Коши-Буняковского имеем 1= =?1+?1?, отсюда?.

5. Доказать, что если , то ? 1.

Решение. Введем векторы. Тогда .

На основании неравенства Коши-Буняковского имеем .Учитывая условие , получаем, что? 1.

6. Найти наибольшее значение функции .

Решение. Рассмотрим векторы: . Имеем . Ясно, что . Согласно неравенству получаем, что . Выясним, достигает ли функция значения 5, т.е. могут ли данные векторы быть сонаправлеными: или . Отсюда . Итак, при векторы сонаправлены и . Следовательно, . Ответ:

Занятие 5.

1. Решить уравнение .

Решение. Перепишем данное уравнение в виде .Рассмотрим векторы , тогда . Скалярное произведение .

В соответствии с неравенством Коши-Буняковского заключаем, что ??. Ответ: уравнение не имеет корней.

2. Решить систему уравнений

Решение

Т.к. решением первых двух уравнений данной системы является только тройка (см. пример 5 занятия 5), то достаточно установить, является ли эта тройка решением третьего уравнения. Проверкой убеждаемся, что эта тройка удовлетворяет и последнему уравнению. Ответ: .

3. Решить систему уравнений

.

Решение

На первый взгляд кажется, что эта система неопределенная ( имеет бесконечное множество решений). В действительности система не имеет решений.

Рассмотрим векторы: .

Тогда и исходная система равносильна системе

С другой стороны, <=, т.е., а это противоречит второму уравнению системы. Ответ: нет решений.

4. Решить систему уравнений

Решение

Рассмотрим векторы . Тогда

. Исходная система равносильна следующей

откуда, учитывая условие , имеем, что = и, значит, .

Подставляя значения и в первое уравнение, получим: или =

При этом =, =. Ответ: , , .

5. Решить систему уравнений

Решение. Перепишем данную систему в виде

.

Введем векторы , тогда .

Если , то . Если же , то векторы коллинеарны и, следовательно, . Два значения для дают две возможности решения системы.

Первая возможность: . Тогда можем записать

- любое.

Значения находим из первого или второго уравнения преобразованной системы, подставив в нее значения . Например, .

Вторая возможность: . Составленные в соответствии с этим условием уравнения не дают решения исходной системы. Итак, получены два решения:

Ответ:

6. Решить систему уравнений

(1)

(2)

(3)

Решение. Нетрудно убедиться, что данная система не имеет решений, в которых хотя бы одна переменная была бы равна нулю. Поэтому, разделив обе части уравнения на , мы получаем систему, равносильную данной.

 (1а)

(2)

(3)

Рассмотрим векторы: . Тогда . Из (1а) и (2) следует, что . Таким образом, . На основании соотношения , вытекающего из неравенства Коши-Буняковского, следует, что и, откуда и. Тогда из уравнения (2) имеем: откуда x= ±. При этом .

Из полученных значений составим восемь троек чисел:

Каждая из приведенных троек является решением уравнения (1) и (2) данной системы. Далее нужно установить, какая из них является решением уравнения (3). Проверкой убеждаемся, что только две тройки

удовлетворяют уравнению (3) и потому являются решениями системы. Ответ: .

7. Решить систему уравнений

Решение

Рассмотрим векторы: , . Тогда и , т.е.

Из полученного равенства следует, что векторы сонаправлены, и, учитывая условие , получим , т.е. . Далее легко получаем, что

единственным решением системы является тройка чисел (1,1,1). Ответ: (1,1,1).

8. Решить систему

Решение

Используя формулу , преобразуем первое уравнение системы:

, , , .

Второе уравнение системы оставим без изменения и, наконец, упростим третье уравнение:

,,

, .

Таким образом, получим систему уравнений

,

которая является частным случаем системы из примера 7 (n=1), переменные - , , ). Значит, == 1, откуда , , , Ѓё?. Итак, , гдеЃё?.

Ответ: (),Ѓё?.

Занятие 7.

1. Решить уравнение .

Решение. Функция - возрастающая, а функция - убывающая. Следовательно, уравнение имеет только один корень, который легко найти подбором: , т.е. . Ответ:

2. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение имеет очевидное решение =1. Докажем, что других решений нет. Поделим обе части на , получим . Левая часть представляет собой монотонно убывающую функцию. Следовательно, каждое свое значение она принимает один раз, т.е. данное уравнение имеет единственное решение. Ответ: =1.

3. Решить уравнение .

Решение. Число 1 является корнем данного уравнения. Т.к. в левой части уравнения стоит возрастающая функция, а в правой - убывающая, то других корней оно не имеет. Ответ: 1.

4. Решить уравнение

Решение. Выполнив преобразования, получим . Замечаем, что это уравнение имеет корень . Докажем, что других корней нет. Функция

убывает. Если окажется, что функция возрастает в области определения заданного уравнения, т.е. на луче [5.3;+ ?), то можно сделать вывод о том, что - единственный корень исходного уравнения. Найдем производную функции y:

?=. Если ? 5.3, то ?> 0, т.е. функция возрастает на луче [5.3;+ ?), что и требовалось установить. Итак, - единственный корень исходного уравнения. Ответ: 7.

5. Решить уравнение .

Решение. Замечаем, что - корень уравнения. Но утверждать, что это единственный корень уравнения мы пока не можем, поскольку и функция , и функция

= возрастают в области определения уравнения, т.е. на луче [0.5; ?). Найдем производные функций и и вычислим их в точке

(точке пересечения их графиков). Имеем ? 2=;

Далее Т.к. то графики функций и имеют общую касательную в точке (1;1). Но т.к. функция выпукла вниз, а функция выпукла вверх, то их графики расположены по разные стороны от общей касательной, а потому уравнение = имеет только один корень. Итак, - единственный корень уравнения. Ответ: 1.

6. Решить уравнение

Решение. Очевидно, что не может являться решением данного уравнения.

Для > 0 функция непрерывна и строго возрастает, как произведение двух непрерывных положительных строго возрастающих для этих функций . Значит, в области > 0 функция принимает каждое свое значение ровно в одной точке. Легко видеть, чтоявляется решением исходного уравнения, следовательно, это единственное решение, т.к. в правой части уравнения стоит константа. Ответ: .

7. Решить неравенство .

Решение. Область определения данного неравенства есть всеиз промежутка .

Все из промежутка ??0 являются решениями исходного неравенства, т.к. для каждого такого имеем, что функция = неотрицательна, а функция

= отрицательна.

Рассмотрим исходное неравенство на промежутке (]. Поскольку функция

непрерывна и строго возрастает на этом промежутке, а функция непрерывна и строго убывает, то если уравнение = имеет корень на этом промежутке, то он единственный. Легко видеть, что таким корнем является число .

Для каждого из промежутка (0;1) имеем, что функция = > 1, а

=< 1. Поэтому все из этого промежутка являются решениями исходного неравенства. Для каждого из промежутка (] имеем = < 1 , а

=> 1. Поэтому такие не удовлетворяют данному неравенству. Итак, решениями исходного неравенства являются все из промежутка [).Ответ: [).

8. Решить уравнение .

Решение. Легко проверить, что является корнем данного уравнения. Т.к. функция возрастает на всей своей области определения, а функция убывает, то исходное уравнение других корней не имеет, т.е. - единственное решение исходного уравнения. Ответ: 2.

9. Решить неравенство

Решение. Область определения данного неравенства есть промежуток 0 ?. На области определения функция =является непрерывной и строго возрастающей. Т.к. , то все значения из множества [0;1) удовлетворяют исходному неравенству. Ответ: 0?

10. Решить уравнение .

Решение. Обозначим . Следовательно, исходное уравнение принимает вид . Решая данное уравнение как квадратное относительно

найдем . Возвращаясь к подстановке, получаем два уравнения: и . Второе уравнение легко решается: =. Для решения первого уравнения достаточно заметить, что удовлетворяет уравнению, и т.к. функция, находящаяся в левой части возрастает при > 0, а функция, находящаяся в правой части - убывает, то первое уравнение имеет единственный корень. Ответ: 3,

11. Решить уравнение

Решение. Перепишем данное уравнение в виде Рассмотрим функции и . Функция убывает на промежутке (-?;1] и возрастает на промежутке [1;+?). Функция убывает на промежутке [1;+?) и возрастает на промежутке (-?;1]. Т.к. на промежутке [1;+?) функция возрастает, а функция убывает, то на этом промежутке уравнение=может иметь не более одного корня. Легко проверить, что таким корнем является число = 2. Т.к. на промежутке (-?;1] функция убывает, а функция возрастает, то на этом промежутке уравнение также может =иметь не более одного корня. Итак, исходное уравнение имеет два корня . Ответ: 0; 2.

Занятие 8

1. Решить уравнение (1)

Решение. Имеем , ? ,? .

Т.к. функция строго убывает на ?, то на основании утверждения 1 уравнение (1) равносильно уравнению

= (2)

Имеем =, . Т.к. функция= строго

возрастает на ?, то на основании утверждения 1 уравнение (2) равносильно уравнению

, (3)

имеющему два корня . Уравнение (1), равносильное уравнению (3), имеет те же два корня. Ответ: -2;1.

2. Решить систему уравнений

(4)

Решение. Система (4) равносильна системе

(5)

Имеем,,. Функция имеет область определения ?. Т.к. f ?()=>0 для любого Ѓё?, то функция строго возрастает на ?. Поэтому по утв.1 второе уравнение системы (5) равносильно решению уравнения , имеющему единственный корень . Тогда система (5) имеет единственное решение (3,3). Система (4), равносильная системе (5), имеет то же самое единственное решение. Ответ (3,3).

3. Решить уравнение (6)

Решение. Перепишем уравнение (6) в виде

(7)

Имеем ,,. Функция имеет область определения ?. Т.к. >0 для любого Ѓё?, то функция

строго возрастает на ?.Значит, по утверждению 1 уравнение (7) равносильно уравнению

, (8)

имеющему единственный корень . Уравнение (6), равносильное уравнению (8), имеет тот же корень. Ответ: -0,2.

4. Решить уравнение

(9)

Решение. Имеем = , , .

Область определения функции есть промежуток J=[0, + ). Функция строго возрастает на этом промежутке. Поэтому на основании утверждения 2 уравнение (9) равносильно системе



? 0 (10)

Уравнение системы (10) имеет два решения = -5 и = 1. Из них неравенству системы (10) удовлетворяет только число . Следовательно, система (10) и равносильное ей уравнение (9) имеют единственное решение . Ответ: -5.

5. Решить систему уравнений

(11)

Решение. Система (11) равносильна системе

(12)

Имеем ,, .Функция строго возрастает на своей области существования - промежутке J=(0,+ ?) (как сумма строго возрастающих функций). Поэтому на основании утверждения 2 второе уравнение системы (12) равносильно системе

>0 (13)

Уравнение системы (13) имеет два решения =3, = -4. Из них неравенству системы (13) удовлетворяет лишь . Следовательно, второе уравнение системы (12) имеет единственное решение , но тогда система (12) и равносильная ей система (11) имеют единственное решение (3,3). Ответ: (3,3).

6. Решить уравнение .

Решение. Пусть , , . Тогда уравнение имеет вид . Область определения функции есть ?, но на всем ? эта функция не монотонна. Однако, т.к. f ? => 0 при > -1, то функция возрастает при

> -1 . При этом ?-1, ?0 >-1 при ?0 (область определения уравнения ?0).

Отсюда получаем: функция возрастает на множестве значений и , если из области допустимых значений уравнения, и, значит исходное уравнение эквивалентно уравнению . Полученное уравнение и, следовательно, исходное уравнение имеет одно решение . Ответ: .

7. Решить уравнение .

Решение. Уравнение имеет вид , где ,? 1, , причем -1?? 1.Поскольку f ?()= на отрезке [-1,1], то функция убывает на [-1,1] и, значит, на множестве значений функций и . Отсюда следует, что по утверждению 3 исходное уравнение равносильно уравнению . Решим это уравнение: , отсюда , т.е. , находим =±.Отсюда получаем, что решениями исходного уравнения будут =± , где Ѓё ? . Ответ: ± , где Ѓё ?

8. Решить уравнение .

Решение. Положим , ,, тогда уравнение имеет вид . Область определения функции есть ?, но на всей области определения функция не является строго монотонной. Заметим, что > 1 (?=,min = , отсюда min= > 1 ) при всех Ѓё?, а > 1. Выясним, является ли функция строго монотонной на области значений функций , т.е. при > 1. Т.к. из следует, что , то функция является возрастающей на множестве значений . Поэтому согласно утверждению 3 исходное уравнение равносильно уравнению и, следовательно, имеет два решения =, =. Ответ: ,

9. Решить уравнение .

Решение

Преобразуем уравнение:

,

.

Положим , > 1, > 1 (учитывая область определения уравнения). Докажем, что при > 1 эта функция монотонно убывает . Это можно сделать, например, стандартным образом: найти производную f ?() (, f?()=) и доказать, что при > 1 ?()< 0. Покажем другой способ: = . Получившаяся функция, очевидно, является убывающей (основание растет, под знаком логарифма функция убывает).

Наше уравнение имеет вид: , значит по утверждению 3, . Слева функция возрастающая, справа убывающая, следовательно, решение единственно, оно легко находится подбором: . Ответ: 4.

Занятие 9

1. Решить уравнение .

Решение. Уравнение имеет вид и , , . Ясно, что функция четная на ? и , при всех

Ѓё ? . Легко заметить, что функция строго возрастающая на отрезке [-1,0] и строго убывающая на отрезке [0,1]. Поэтому уравнение равносильно совокупности двух уравнений

,

.

Нетрудно видеть, что если - решение первого уравнения совокупности, то - - корень второго уравнения. Верно и обратное. Поэтому, решим только первое уравнение: , отсюда , т.е. , находим и . Следовательно, получим, что решениями исходного уравнения будут , =± , где Ѓё ?. Ответ: , =± , где Ѓё ?.

2. Решить уравнение .

Решение. Уравнение имеет вид , где , , . Ясно, что функция нечетная. Легко заметить, что , <1 при всех Ѓё ?. Поскольку функция является строго возрастающей на отрезке , то уравнение равносильно уравнению .

После упрощения этого уравнения получим . Решим его: , , , , >0. Отсюда следует, что исходное уравнение имеет один корень . Ответ: -1.

3. Решить уравнение .

Решение. Переписав уравнение в виде , видим, что оно имеет вид , причем , , .

Нетрудно заметить, что функция нечетная и строго возрастающая на ?: f ?() > 0. Поэтому уравнение эквивалентно уравнению . Решив его, получим, что исходное уравнение имеет два решения Ответ:

4. Решить уравнение, где - это дробная часть числа.

Решение. Уравнение имеет вид и , , . Ясно, что является периодической функцией периода 1 и строго возрастающей на полуинтервале [0,1). Поэтому уравнение равносильно совокупности уравнений , где Ѓё ? . Имеем . Положим . Тогда решениями уравнения будут ±, где - произвольное целое число не больше 4. Ответ: ±, где - произвольное целое число не больше 4.

5. Решить уравнение .

Решение. Уравнение имеет вид , причем , , . Область определения функции есть ?,Ѓё ?. Т.к. функция нечетная, периодическая и строго возрастающая на интервале () , то уравнение равносильно совокупности уравнений, , где

Ѓё ? . Решениями этой совокупности, а, следовательно, и исходного уравнения, будут , где Ѓё ?, попадающие в область допустимых значений уравнения.

Ответ: , где Ѓё ?.

6. Решить уравнение .

Решение. Поскольку =, =, то положив , , , уравнение примет вид . Область определения функции есть ?, где Ѓё ? . Ясно, что функция четная и периодическая .

Т.к. f ?()=()?=, то f ?()? 0 как на промежутке [) , так и на промежутке (]. Отсюда следует, что функция на этих промежутках строго возрастает, причем на промежутке [) от 0 до +?, и на (]. от -? до 0 .Из предыдущего следует, что на периоде тогда и только тогда, когда либо = ±, либо = и =, где .

Поэтому исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:

= ± ()+,Ѓё ?, (1)

и совокупности систем:

, где Ѓё ? (2)

Решениями совокупности уравнений (1) являются

=1

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

, =,

где Ѓё ? . Совокупность систем уравнений (2) решений не имеет. Действительно, подставив во второе уравнение системы, и, сократив полученное на ,имеем . Ясно, что это соотношение невозможно при целых и . Убедившись, что решения совокупности уравнений входят в область допустимых значений исходного уравнения, получим, что решениями исходного уравнения являются

=, =,

где Ѓё ? .

7. Решите уравнение .

Решение

Введем в рассмотрение функцию . Тогда исходное уравнение можно представить в виде . Функция является нечетной и монотонно возрастает на всей своей области определения

? (f ? => 0).

Поэтому, согласно следствию 2, исходное уравнение равносильно уравнению , откуда. находим корень исходного уравнения. Ответ:

Занятие 11

1. Решите уравнение .

Решение. Область определения уравнения есть ? 1. Перепишем уравнение в виде .Рассмотрим функцию . Тогда полученное уравнение имеет вид . Введенная функция монотонно возрастает при ? 1. В соответствии с приведенной теоремой переходим к равносильному уравнению ,т.е.

.Решим уравнение:,, = и = < 1. Ответ: .

2. Решить уравнение .

Решение. Уравнение имеет вид , причем . Функция непрерывна на ?. Легко заметить, что уравнение , т.е. уравнение не имеет действительных решений (D<0). Следовательно, по теореме, исходное уравнение не имеет решений. Ответ: решений нет.

3. Решить уравнение (1+ (1+ … +… )І= , где возведение в квадрат левой части уравнения повторяется раз.

Решение. Уравнение имеет вид (13) и . (Если , то ) Поэтому его решение сводится к решению уравнения . Поскольку функция непрерывная и уравнение =, т.е. уравнение не имеет решений, то уравнение и, значит, исходное уравнение не имеет корней. Ответ: корней нет.

Часть 2. Дополнительные упражнения

К занятиям 1 и 2.

1. Решить уравнение . Ответ: 0.

2. Решить уравнение. Ответ: нет решений.

3. Решите уравнение . Ответ:

4. Решить уравнение . Ответ:

5. Решить уравнение . Ответ: нет решений.

6. Решить уравнение . Ответ: 1,5.

7. Решить уравнение . Ответ: 1; -1.

8. Решить уравнение . Ответ: нет решений.

9. Решить уравнение . нет решений.

10. Решить уравнение . Ответ:

11. Решить уравнение: . Ответ: 0.

12. Решить уравнение . Ответ: 2.

13. Решите уравнение . Ответ: .

14. Решить уравнение . Ответ: 0.

15. Решить уравнение . Ответ: 1.

16. Решить уравнение . Ответ: , Ѓё?, .

17. Решить уравнение . Ответ: , где Ѓё?.

18. Решить уравнение . Ответ: , Ѓё?.

19. Решить уравнение . Ответ: ,,,Ѓё?.

20. Решите уравнение. . Ответ: .

21. Найти все пары чисел , удовлетворяющие уравнению

22. Решить уравнение . Ответ: , Ѓё?.

23. Решить уравнение . Ответ: , Ѓё?.