Если сосредоточиться на операционально-технической (интеллектуальной) стороне действия, то становление ФП сопряжено прежде всего с дифференциацией исходного способа действия и образованием сложных операциональных структур, в которых операции ставятся в различное отношение друг к другу (К.Левин, 2001; А.Валлон, 1967; Ж.Пиаже, 1994). Этот процесс есть спонтанное развитие интеллекта, в котором происходит выход в новую область, где в центре внимания оказывается не столько реализация общих способов действия, сколько организация (отбор, композиция, координация) конкретных действий с учетом условий и целей. Сам сформированный способ действия переходит в состав ресурсов целеполагания и целереализации (Б.Д.Эльконин).

Пользуясь терминологией Пиаже, который различал интеллект «просто пережитый» и интеллект «рефлектированный» (Пиаже, 1994, с.175), опыт решения усложняющихся конкретно-практических задач можно обозначить как «пережитый интеллект» (интеллект «в себе»), т.е. практическое освоение некоторого поля значимой задачной реальности. Согласно Пиаже расширение опыта действования основывается на опробовании (построении) многообразных усложняющихся траекторий воздействия на объекты, связанных с «прогрессирующими композициями». «Далекие от того, чтобы «применять принцип», эти действия организуются согласно внутренним условиям связи между ними, и именно структура этой организации составляет реальное мышление … » (Там же, с.89)

Используя другой термин Пиаже, можно сказать, что ФП - это область «неконституированного» мышления (Там же, с.95). Признаком выхода мышления в «неконституированную» область является решение задач методом аппроксимаций. Так, у Пиаже приводится задача А.Реи с рисованием «самого большого» и «самого маленького» квадратов, которая решается сразу только детьми старше 7 лет, после формирования сериации

Сходные рассуждения можно найти у П.Я.Гальперина. Так он пишет: «… из массы накопленного опыта образуется мышление в виде набора конкретных приемов и условий их применений»( П.Я.Гальперин, 1998, с. 67). И далее: «Сталкиваясь с богатством реальных свойств и отношений вещей, практическая деятельность всегда оказывается шире своего сознательного плана и ребенок, осознавая ее неудачи и неожиданные достижения, преодолевает ограниченность наличной стадии овладения предметом и делает шаг к переходу на следующую ступень» (Там же, с.69)

Таким образом, в образовательном цикле намечаются две содержательные ступени: на первой происходит присвоение общего способа действия (опосредствование, преодоление наличной формы в идеальной), на второй - сформировавшийся способ функционализируется, опосредствуя становление ФП. Однако, строго говоря, ФП как предпосылка и продукт целостной жизнедеятельности строится и функционирует в любой фазе развития действия, и в этом смысле диагностика актуального уровня развития всегда имеет предметом именно ФП в том или ином его аспекте.

Возвращаясь к вопросу построения системы диагностики индивидуального прогресса (ИП) школьников сразу отметим, что согласно исходным условиям проекта она должна быть привязана к осваиваемому в школе учебному материалу, основана на методах тестирования и сосредоточена на когнитивном аспекте действия. Такой подход несколько ограничивает возможности предполагаемой системы, но зато позволяет сосредоточиться на той части средств, которые дают относительно однозначные результаты и удобны в оперативном применении.

Итак, если учесть ранее высказанные предположения относительно становления и строения предметного действия (превращение общего способа действия в ресурс целеполагания), то в нем можно выделить три качественные ступени:

· принятие смысла и способа действия

· удержание способа действия

· субъективация и функционализация способа действия (пополнение сферы ресурсов)

Этим трем ступеням могут быть поставлены в соответствие уровни мышления, понимания-коммуникации и других проекций действия.

Мышление

Если обратиться к параметру мышления, имея при этом в виду меру обобщенности способа действия, то намечаются следующие уровни его проявления:

· правилосообразность (воспроизведение знакомого образца действия в знакомых условиях)

· предметность (выделение существенного отношения задачи)

· функциональность (варьирование способа действия относительно условий и целей) Внутри каждого из этих качественных уровней можно предусмотреть ступени трудности, определяемые частными особенностями конкретных задач.

Первый уровень представлен в обычных школьных контрольных заданиях, где образец действия необходимо воспроизвести в знакомых условиях. Для решения задач этого уровня достаточно усвоить образец формально, в виде правила действия.

Второй уровень - адекватно представлен в диагностике предметности понятийных знаний, которая разработана в системе РО (см. В.В.Давыдов, 1996).

Третий уровень, на наш взгляд, представлен в некоторых современных системах диагностики школьных достижений, таких как, например, PISA, а также в многочисленных конкурсных задачах по разным предметам. Однако задачи этого уровня, в отличие от двух предыдущих, слабо проанализированы, и принципы их построения еще предстоит реконструировать.

На данный момент можно предварительно зафиксировать следующее:

· Действие третьего уровня предполагает варьирование способа действия, т.е. выступает как действие с самим способом. В культуре таковыми являются действия проектного и организационно-управленческого типа, в которых требуется действовать не с вещами, а с процессами и другими действиями. По своей предметности это действия не с фиксацией существенных отношений, а с их удерживанием и преобразованием

Это более высокий уровень опосредствования, где освоенный общий способ действия в его конкретизациях выступает как ресурс, который можно свободно принимать и отвергать, корректировать и преобразовывать. Такой уровень - результат формирования связного ФП, обеспечивающего вариативность действий за счет взаимозаменяемости ресурсов и иерархизации единиц действия

ФП формируется при опробовании наличного способа в ситуациях, для которых характерен зазор между задачами и средствами, делающий невозможным прямой переход от условий и целей к освоенным способам действия. Таковы по преимуществу ситуации целостного социального действия.

Перечисленное означает для нас, что в диагностике ФП следует использовать задачные ситуации:

o предполагающие тот уровень сложности (композиции, включения, координации действий), который открывает возможности вариаций способа решения и требует актуализации взаимозаменяемых ресурсов, гибкости в определении единиц действия и т.п.

o предполагающие самостоятельное доопределение, аппроксимацию, моделирование условий

o проблематизирующие: не имеющие кардинального решения, но предполагающие выработку точки зрения

o относящиеся к более высокому уровню развертывания предметного материала (например, математическая задача, которая по своей сложности предполагает алгебраическое решение, но дается в период завершения курса арифметики) Если учесть требование культуросообразности образования, то в число диагностических задач третьего уровня должны войти и такие, которые предполагают информированность субъекта относительно основных общезначимых проблем и подходов к их решению (экологические, энергетические …), а также задачи, предполагающие знакомство субъекта с общепринятыми культурными нормами действия (использование известных знаковых средств, учет требований к оформлению результатов и др.)

Итак, уровни мышления для нас выступают как правилосообразность, выделение и фиксация существенного отношения, преобразование и экспериментирование со способом действия и существенным отношением.

Критерием первого уровня является решение самых простых задач, где актуализируется действие опознания типовой ситуации и воспроизведение адекватного ей знакомого способа действия.

Критерием второго уровня является решение задач на понятийную предметность знаний. Для выявления этого качества используются: а) «привычные … задания, но в абстрактном виде, исключающем возможность ориентации на несущественные для данного класса задач признаки» (Давыдов, с.231); б) введение в задания «дополнительных элементов, «зашумляющих» их структуру» (Там же). Такие задания актуализируют действие содержательного анализа ситуации.

Критерием третьего уровня является решение задач «функционального» типа, ведущим предметом которых выступает согласованность целей, условий и способов действия. Такие задачи актуализируют ресурсы и действие, предметом которого выступает вариативность самих способов организации действия.

Понимание-коммуникация

Другой параметр, который предусмотрен в системе диагностики - это понимание-коммуникация Объединили параметры «понимания» и «коммуникации», поскольку их различение в контексте разрабатываемой диагностической системы предстает как чрезмерно тонкое и малосущественное, под которым мы подразумеваем действие в плоскости отношения высказывания (текста) и подразумеваемой ситуации. Здесь соответствующие три уровня выглядят следующим образом:

· восстановление ситуации по непосредственному ее отображению в тексте

· восстановление ситуации по тексту, в котором существенные элементы ситуации не выделены или представлены косвенным образом

· согласование текста и отображаемой ситуации в контексте сообщения

Критерием первого уровня является решение задач, в которых дан однозначный текст и требуется ответить на прямые вопросы по тексту. Такие задачи актуализируют формальный анализ текста и его реорганизацию (упорядочивание) для удержания и облегчения ориентации в нем.

Критерием второго уровня является решение задач, в которых существенные моменты ситуации предъявлены в неявной, косвенной форме. Такие задачи актуализируют содержательный анализ текста как действие по реконструкции его действительного содержания.

Критерием третьего уровня является решение задач, в которых требуется согласовать текст с ситуацией в контексте меняющейся адресованности и других условий функционирования текста в качестве сообщения. Здесь актуализируются ресурсы коммуникации и действие по их отбору и организации.

Глава 4. Практическая часть. Метод исследования. Описание предметных линий в диагностических материалах

На основании имеющейся у нас модели математической деятельности были выделены 4 основные вида математической деятельности, и, соответственно, 4 содержательные линии, положенные в основание диагностики мышления и понимания: моделирование, построение доказательных рассуждений, формулирование (конструирование и оценка правдоподобности) утверждений, следование инструкции.

Т.о. проведена конкретизация общей модели прогресса на предметном материале. Каждая часть наших тетрадей содержит цепочку задач, представляющую конкретизацию соответствующей предметной линии.

Линия моделирования	Серия заданий «Целое и части» Серия заданий «Петя и компьютер»
Линия построения доказательных рассуждений	Серия заданий «Рассуждения о делимости чисел»
Линия формулирования (конструирования и оценки правдоподобности утверждений)	Серия заданий «Точки пересечения прямых» Серия заданий «Верные утверждения»
Линия следования инструкции	Серия заданий «Правило ложного положения»

Характеристика заданий теста

1. Диагностические материалы содержат, в основном, «открытые» задания, в которых учащиеся должны привести решение, есть также «закрытые» задания, в которых требуется из предложенных вариантов ответов выбрать правильный.

2. Каждая часть содержит разные задачи для разных уровней, формулируемые относительно одной и той же ситуации.

Задачи в тесте двух типов: «элементарные» и «многоуровневые».

В «многоуровневых» задачах уровни заданы в пределах одного задания и выстроены как изменение способа действия, т.е. чтобы решить задачу на третьем уровне, необходимо перестроить способ действия, обнаруженный на втором уровне.

«Элементарные» задачи представляют набор заданий, не связанных между собой, каждое из которых отнесено к определенному уровню, но отличие между уровнями также задано через изменение способа действия на втором уровне и его преобразование на третьем.

Т.о. диагностический материал представляет либо одну задачу, которая может быть решена на всех трех уровнях, либо три разные задачи. Заметим сразу, что мы соотносим с определенным уровнем наличие полного решения, а не отдельных фрагментов, подходов, частичных продвижений. При переходе с уровня на уровень в основу соответствующего задания положена гипотеза о том умственном действии, которое необходимо для выполнения этого задания.

Характеристика предметных линий

Опишем предметные линии с точки зрения прогресса в мышлении и понимании. При этом остановимся более подробно на том, что квалифицируется как соответствующий уровень внутри наиболее реализуемых в школьных рамках линий моделирования и следования инструкции.

Линия моделирования

Опишем уровни относительно материала серии заданий «Целое и части», т.е. относительно использования для решения текстовых задач схем или уравнений разной степени сложности.

ПЕРВЫЙ УРОВЕНЬ

Учащиеся осуществляют замещение элементов, данных в тексте задач.

Пример задачи первого уровня:

Задание 1.1. Реши задачу: “В магазин привезли 270 авторучек. Из них треть купила школа, девятую часть купил учитель, а остальные ручки купили 5 учеников и поделили поровну. Сколько ручек купил каждый ученик?”.

Заметим, что эта задача может быть решена без введения букв для обозначения неизвестного (арифметически, по действиям).

ВТОРОЙ УРОВЕНЬ

Учащиеся осуществляют замещение элементов воображаемой ситуации и получают решение преобразованием модели. Пример задачи второго уровня:

Задание 1.3. Реши задачу: “Спросил некто у учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в ученики своего сына. Учитель ответил: если к моим ученикам придет еще учеников столько же, сколько имею, и полстолько, и четверть столько, и твой сын, тогда будет у меня учеников 100. Сколько учеников было у учителя?”.

Содержит ловушку, связанную с образованием множества пересчета из разнородных элементов (пересчетом реальных и воображаемых учеников). Задача содержит возможность самому ученику увидеть свою ошибку, связанную с образованием множества пересчета - он получит дробное количество учеников. Технически содержит действия с дробями или введение неизвестного, обозначающего часть того, что требуется найти в задаче.

Строение задач из материала для диагностики. Математика I ступень

Уровни развития мышления	Виды предметных действий
	математические отношения «целое-части», «кратности», «разности»	понятие «величина» (количество) и измерение	понятие «величина» (площадь) и отношения «целое-части»	математические отношения равенства и неравенства и целого и частей.	понятие «величина» и отношение пропорциональной зависимости
I уровень Опознание математического отношения. Опознание как воспроизведение способа действия.	- опознать в текстовой задаче, в уравнении отношение «целое-части», т.е. выбрать правильный способ решения задачи или уравнения «Задачи» (1,2), «Уравнения» (1)	- выполнить измерение, если мерка дана в «готовом виде» «Спички» (1а)	- вычислить площадь, если мерка дана в «готовом виде» «Полоски» (1)	-вычислить целое, состоящее из частей. -выполнить уравнивание двух целых. «Билеты» (1,3)	установить равенство между длинами двух фигур разной формы. «Дорожки» (1)
П уровень Выделение способа действия как ориентация на существенные отношения. Способность ребенка «удержать» математические отношения, способ действия в «провокационной» ситуации. Средства в построения заданий данного уровня: а)обобщенная форма заданий - это задания, где отношения заданы в наиболее общем виде - буквенной или графической форме. б)избыточные или недостающие условия задачи. в)противоречие («зашумление») или отсутствие прямого соотнесения между двумя планами действия - между графической и буквенной записью, между чертежом, рисунком и формулой. б) переход от одного плана действий в другой. В заданиях требуется по данному способу решения составить задачу, т.е. «восстановить» текст задачи.	выбрать способ решения уравнения, если отношение «целое и части» и «отношение кратности» заданы в уравнении и текстовых задачах в наиболее общем виде, дописать текст задачи «Уравнения» (2,5,6), «Задачи» (4,5) выбрать способ решения текстовой задачи, если математические отношения в структуре задаче «зашумлены» (задача с лишними данными) «Задача» (3,6), «Уравнения» (4) по решению, заданному в общем виде (в виде буквенной формулы) «восстанавить» текст задачи или уравнения «Уравнения» (3), «Задачи» (4,5)	выполнить измерение, когда мерка не совпадает с объектом, т.е. преодолеть противоречие между величиной и формой. на основе проведенного измерения построить мерку. «Спички» (1б, 2)	вычислить площадь как составную величину, если задано пересечение частей «Полоски» (2)	На основе равенства или неравенства и заданного одного целого определить недостающие части другого целого «Билеты» (2,4)	установить равенство между частями длин двух фигур разной формы. «Дорожки» (2)
III уровень Конструирование или перестройка общего способа действия, изменение существенных отношений	исследование ситуации изменения отношения «целое-часть» в уравнении: определить, что произойдет с одной из частей, если другая часть увеличивается, а целое остается неизменным. в заданиях третьего уровня используется динамический аспект, т.е. изменение отношений. «Задачи» (7), «Уравнения» (7,8,9).	- необходимо выбрать объект адекватный способу измерения, если способ задан в алгебраической форме (формулой). «Спички» (3)	- способ измерения площади задан в алгебраическом виде. По заданному способу вычисления составной площади выбрать объект, т.е. найти подходящее пересечение площадей. «Полоски» (3)	на основе равенства и заданного целого определить динамическое соотношение частей внутри другого целого, удерживать количественный и порядковый аспекты числа. «Билеты» (5,6)	на основе заданного отношения между скоростями установить отношение между длинами. Подобрать к этому отношению две фигуры разной формы. «Дорожки» (3,4)

Интерпретация данных

При решении учениками задач на разном материале мы выдели, что испытуемые, решающие задания третьего уровня

а) выделяют структуру задач,

б) выделяют законы перевода одного знакового плана в другой.

К сожалению, часть гипотезы о том, что опосредствование действия моделирования задач третьего уровня включает интонационное воссоздание переходов от одного знакового плана к другому, мы придумали поздно, поэтому интонационной информации у нас нет. Но есть данные о взаимосоотнесении различных знаковых планов и выделения структуры задач. Поэтому в целом может сказать, что наша гипотеза подтвердилась.

Протокол эксперимента на примере задач с полосками

Задание 1. (задание первого уровня)

Петр склеивает из одинаковых полосок разные фигуры.

Длина каждой полоски - 7 см, а ширина - 2 см.

Вопрос 1. Какова площадь поверхности одной полоски (сколько квадратов со стороной 1 см помещается на поверхности полоски)?

Обведи правильный ответ.

А. 9 В. 11 Г. 14 Д. 15

Дает ответ 14 - вариант Г..

Задание 2. (задание второго уровня)

Петр склеил фигуру из двух пересекающихся полосок.

Какова площадь полученной фигуры, если длина каждой полоски 7 см, а ширина 2 см?



Обведи правильный ответ.

А. (7 х 2) + (7 х 2) = 28

Б. 2 х 2 х 5 = 20

В. 7 х 2 х 2 - 4 = 24

Г. (7 + 2) х 2 + 7 = 25

Дает ответ 28 - А. Испытуемый не делает сопоставления двух знаковых планов: наглядно-образного плана и математической модели.

Я ввожу опосредствование. Изменяю структуру задачи, а именно меняю наглядно-образный план. Даю задачу: «Даны две другие полоски:

Меньшую полоску наклеили на большую вот так:

Какой периметр будет у полученной полоски?»

Испытуемый принимает данное опосредствование, он решает эту задачу - дает ответ 14.

Потом смотрит на задание и дает ответ В. Задача решена. Испытуемый дает правильную интерпретацию всех данных и действий в решении: «7*2 - площадь одной полоски. На рисунке 2 одинаковые полоски, поэтому их площадь умножили на 2 и вычли площадь фигуры на их пересечении».

Эти задачи мы давали с целью овладения учеником материалом, на котором будет построена задача третьего уровня.

Задание 3.

Петр рассчитал площадь полоски, склеенной из двух других.

Вот его расчет:

(7 + 3) х 2 = 20

Какую из приведенных ниже полос он имел в виду?

Обведи правильный ответ.

А Б

2 3

В Г

4 5

Задание 3 мы показываем ученику, но не даем решать.

Задание 4. (задание третьего уровня)

Петр задумал склеить одну полосу определенной длины из трех других. Чтобы намазать клеем квадрат со стороной 1 см, нужен 1 грамм клея.

Петр рассчитал, что ему для этого понадобится 12 граммов клея:

3 х 2 + 3 х 2 = 12

Чтобы склеить между собой две поверхности, клей надо намазать только на одну из них.

Какой длины полоса получится у Петра?

Решение:

Ученик уточняет, как построен наглядно-образный план задачи. Он задает вопрос: «Как склеены полоски?» Я спрашиваю, как бы он склеивал одинаковые полоски, чтобы получить одну более длинную? Я обращаю его внимание на рисунки из задания 3. Он уточняет у меня, что полоски в задании 3 такие же, как и в предыдущих заданиях. Вычисляет все недостающие моменты длины для полоски В из задания 3:

3 4 3

И переходит к построению наглядного плана для задачи 4:

Ученик выделил структуру задачи.

Для задания 3 В я прошу выписать формулу для того, чтобы выяснить сколько грамм клея необходимо, чтобы склеить таким образом полоски. Он выписывает формулу: 4*2=8. Затем, я прошу нарисовать две склеенные полоски, если для того чтобы их склеить необходимо 6 грамм клея. Он указывает на рисунок Б из задания 3:

3

Таким образом, ученик делает взаимосопоставление двух знаковых плана: плана формулы и наглядно-образного плана задачи. То есть он выделяет законы перевода

а) наглядно-образного плана в план формулы,

б) плана формулы в наглядно-образный план.

И выполняет задание 4. Проговаривает, что в формуле 3 х 2 + 3 х 2 = 12 двойки означают ширину полосок, тройки - места, где склеены две полоски и вычисляет длину.

Выводы

К сожалению, часть гипотезы о том, что опосредствование действия моделирования задач третьего уровня включает интонационное воссоздание переходов от одного знакового плана к другому, мы придумали поздно, поэтому интонационной информации у нас нет. Но есть данные о взаимосоотнесении различных знаковых планов и выделения структуры задач. Поэтому в целом может сказать, что наша гипотеза подтвердилась.

Список литературы

1. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. М., 1996.

2. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении. М., 2000.

3. Егорова М.С., Семенов В.В. Природа межиндивидуальной изменчивости темперамента и личности. В кн.: Роль среды и наследственности в формировании индивидуальности человека. - М., 1988. С. 236 - 291.

4. Мерлин B.C. Взаимоотношение иерархических уровней взаимодействия в системе "человек-общество". В сб. Темперамент. Пермь, 1976.

5. Небылицын В.Д., Крупнов А.И. Электрофизиологические корреляты динамических характеристик активности поведения. Сообщение 1: Показатели активности и фоновая ритмика ЭЭГ-покоя. // Новые исследования в психологии и возрастной физиолгии. 1970. № 2. С. 121 - 126.

6. Ольшанникова А.Е. Соотношение некоторых особенностей эмоциональной сферы подростка с физиологическими показателями. В сб.: Проблемы дифференциальной психофизиологии. - М., 1977.

7. Палей И.М., Горбачевский В.К. Проблемы личности в курсе психологии. - Л., 1

Приложения

Приложение 1

Билеты. Протокол 1.

Задание 1.

Номера автобусных билетов состоят из шести цифр.

Если сумма первых трех цифр равна сумме трех последних цифр, говорят, что это счастливый билет.

Этот билет можно считать счастливым,

так как 4 + 4 + 4 = 1 + 9 + 2

Обведи счастливый билет из приведенных ниже:

Решение ученика.

Он показал правильный ответ, продолжил считать другие билеты, указал один неправильный - 878787. Указав на него, он сказал: «Наверно этот тоже». Я показала ему, что с одной стороны две 8-ки, а с другой две 7-ки, он сказал, что понял.

Оптимальный способ решения.

Выделить правую и левую часть числа (правая - три правые цифры, левая - три левые цифры).

а) Сравнить числа из обеих частей. Если одна из частей числа видимо больше ругой, например 232689 или 444555, сразу отбросить его. Аналогично для билета 878 787, замечаем, что части билета отличаются лишь тем, что в левой стоит 8, а в правой 7, то есть билет не счастливый.

б) Иначе, цифры каждой части билета надо сложить, и сравнить их суммы.

Возможны и другие способы, например, увидеть одинаковые цифры в разных частях билета и, не учитывая их, сравнивать суммы оставшихся чисел: 534 392, 5+4=9, следовательно, сумма второй части билета на 2 больше.

С точки зрения трехуровневой модели.

Задание первого уровня. В нем ученик получает навык различения двух троек чисел с точки зрения равности их сумм.

Очевидно, ученик показал владение навыком распознавания чисел на «счастливые» и «обычные» билеты, так как все билеты кроме одного были распознаны им верно. Правда, остались неизвестными способы решения данных задач.

С другой стороны, он указал на билет 878787 - «возможно, счастливый». Из чего можно сделать вывод, что при решении этой задачи он не пользовался способом 1а) (из описания оптимального пути решения задачи), то есть не считал значений сумм двух частей числа, что приветствуется в этом задании. Очевидно, что Женя замети, что цифры в разных частях этого билета похожи. Но, тем не менее, значения сумм в разных частях билета - различны.

Возможно, это свидетельствует об отсутствии способности сравнивать числа по типу в).

Примечательно, что в последующих заданиях, за исключением может задания 3, ему понадобится лишь применения способа действия 1 а). Хотя, при нестандартном решении задач, может и другие.

Задание 2.

Задание 3. Если сумма первых трех цифр отличается на единицу от суммы последних трех цифр, то говорят, что билет встречный (обладатель билета встретит друга или знакомого, которого давно не видел).

Этот билет может считаться встречным,

так как 4 + 4 + 4 на 1 меньше, чем 5 + 3 + 5

Обведи встречный билет из приведенных ниже:

Решение ученика.

-Ты знаешь, что такое встречные билеты?

= Нет.

Я рассказываю, какие билеты встречные.

Он правильно указал встречный билет (первый билет). Затем неправильно указал на второй, но сам пересчитал и сказал, что второй счастливый.

Оптимальный способ решения.

Пути решения такие же, как и в задании 1, только учитывается условие что суммы не равны, а отличаются на 1.

С точки зрения трехуровневой модели.

Задание первого уровня.

Является усложнением задания 1. А именно, сумма одно из троек чисел должна отличаться на единицу.

Задание 4.

Впиши вместо точек пропущенные цифры так, чтобы билеты могли

считаться встречными:

Решение ученика.

А) Правильно вписал: 913662.

Б) Правильно вписал: 725168. Я сказала, чтобы он попробовал вписать еще какие-нибудь числа, чтобы билет получился тоже встречным. Сначала он вписал: 724268. Я сказала, чтобы он посчитал, правильно ли он написал, он посчитал, сказал, что неправильно. Я сказала, что если он увеличил число на 1 с одной стороны, то должен настолько же увеличить и с другой. Он написал 726268 - правильно. Я попросила придумать еще числа, но он сказал, что больше не может придумать.

Оптимальный способ решения.

А)

- посчитать сумму первых трех чисел,

- отнять от полученного известную часть второй половины числа,

- к результату прибавить 1,

- если полученное число меньше 10,то проще записать 0 и это число;

если оно не менее 10, то записать любые два числа, сумма которых равна этому числу.

Б)

- посчитать две суммы в разных частях числа,

- поставить в большую часть 1,

- поставить на оставшееся месть число равное разности первоначальной большей части и меньшей части. Если эта разность больше либо равна 10, то не существует подходящих чисел.

В этом случае, необходимым условием того, чтобы билет был встречным, является то, чтобы разности между суммами известных частей по модулю была меньше 9.

После проставления чисел, для того чтобы получить новые встречные билеты можно:

А) прибавить к меньшей части 2,

Б) добавлять или отнимать 1 (либо другое подходящее число) в обеих частях.

С точки зрения трехуровневой модели.

Задание второго уровня. С одной стороны оно подразумевает использование способа действия из задания 1 б) - оптимального пути решения. С другой потребует новых операций, таких как вычитание (в первом билете) и добавление новых чисел по заданному условию. Задание аналогично заданию 2.

Во втором билете у ученика получился номер билета такой, как если бы он пользовался оптимальным способом решения (725168). Когда его попросили попробовать вписать еще и другие походящие числа, по результату (724268) можно сказать, что он не придумывал совершенно новые встречные билеты, а пользовался предыдущим билетом, изменял его чтобы получить новый, тоже встречный. Ход мысли верный. Но ошибка состояла в том, что с одной стороны он уменьшил числа на 1, а с другой наоборот увеличил.

Задание 5.

В катушке номера билетов следуют друг за другом по порядку:

… 367589, 367590, 367591, 367592 и так далее.

Пассажиру достался счастливый билет:



Какой будет номер у следующего счастливого билета

в этой катушке? Впиши этот номер.

Решение ученика.

=У следующего счастливого билета на четвертом месте будет стоять 6. В сумме должно быть 16, может 36768..

-Тебе нужен следующий счастливый билет.

=673 или 637

-Какой из них ближайший?

=637

-А до этого еще?

=Допустим, …646

-Почему?

=Так как в сумме 16, или еще ..628.

-А до этого еще есть?

= ..628, ..637, ...646, 657, ..619

-Так какой ближайший счастливый?

=619.

Оптимальный способ решения.

1) Понять, что у следующего счастливого билета будет номер 3676..

2) Посчитать суму первых трех цифр,

3) Вычесть из получившегося 6,

4) Если полученное число не больше 9, то на пятое место поставить 0, а на шестое это число;

Если больше, то на последнее место поставить 9, а на предпоследнее разность между этим числом и 9.

С точки зрения трехуровневой модели.

Задание третьего уровня.

Предполагает самостоятельное выписывание известной части числа в таком виде как оно дано в задании 2(4). А именно, пользуясь тем, что билеты в катушке идут по порядку, можно догадаться, что номер следующего счастливого билета будет начинаться на 3676.. Далее должно идти повторение решения задачи 2 А) (4 А)), усложненное условием, что на пятом месте должна стоять минимально возможная цифра.

Таким образом, в этом задании осуществляется переход со второго уровня на третий.

Ученик справился с первой частью предполагаемого решения: выписал числа 3676.., но не сумел с первой попытки применить способ действия аналогичный способу действия из задания 3, который он осуществлял ранее: 35768… Что можно рассматривать, как трудность перехода со второго уровня на третий.

Далее он осуществил данный переход, используя другие числа: 673, 637, 646, 628, но не учел условия минимальности.

Лишь, записав все возможные комбинации, он указал правильный ответ.

Задание 6.

Иван и Петр купили два билета подряд. Билет Ивана не был ни встречным, ни счастливым, а Петру достался счастливый билет. Каким был номер этого счастливого билета? Впиши в билет три недостающие цифры:

Решение ученика.

=Не совсем понял задание.

-Напиши любые два билета в катушке, следующие друг за другом.

=846673, 846674

-Тебе надо написать такой счастливый билет, предыдущий которого будет обычным.

Он посчитал, что сумма первых трех чисел 18 и сказал ответ 846990.

Оптимальный способ решения.

1) Понять, что большинство билетов, предыдущих счастливому билету - встречные, так как их правая часть на 1 меньше левой,

2) Понять, что предыдущий билет отличается не на единицу, только в том случае, когда число заканчивается на 0,

3) Посчитать сумму первых трех чисел,

4) Разделить эту сумму на два однозначных числа, поставить их на четвертое и пятое место, а на последнее поставить 0.

Интерпретация с точки зрения трехуровневой модели.

Задание третьего уровня.

Это задание отличается от остальных, во-первых тем, что в нем неизвестно три цифры, а не две, как раньше.

Оно предполагает понимание того, что сумма чисел справа значительно меняется при переходе числа через ноль (это явление неявно продемонстрировано в задании 5). Поняв это, ученик легко сможет решить задание, пользуясь способом решения из задания 1 б) оптимального пути решения, то есть сложение цифр из частей билета, и навыком добавления двух чисел по заданному условию из задания 2 (4).

Ученик справился с этим заданием самостоятельно правильно, осуществив оба предполагаемых действия на понимание и оба переноса способа действия из задания первого уровня и второго.

Таким образом, в этом задании он осуществил переход с первого и второго уровней на третий.

Билеты. Протокол 2

Задание 1.

Номера автобусных билетов состоят из шести цифр.

Если сумма первых трех цифр равна сумме трех последних цифр, говорят, что это счастливый билет.

Этот билет можно считать счастливым,

так как 4 + 4 + 4 = 1 + 9 + 2

Обведи счастливый билет из приведенных ниже:

Решение ученика.

Отметил правильно счастливый. Остальные отметил, как не счастливые.

Задание 2.

Задание 3. Если сумма первых трех цифр отличается на единицу от суммы последних трех цифр, то говорят, что билет встречный (обладатель билета встретит друга или знакомого, которого давно не видел).

Этот билет может считаться встречным,

так как 4 + 4 + 4 на 1 меньше, чем 5 + 3 + 5

Обведи встречный билет из приведенных ниже:

Решение ученика.

Обвел первый, второй - счастливый, третий обычный.

Задание 4.

Впиши вместо точек пропущенные цифры так, чтобы билеты могли

считаться встречными:

Решение ученика.

Вписал 95, 50.

Задание 5.

В катушке номера билетов следуют друг за другом по порядку:

… 367589, 367590, 367591, 367592 и так далее.

Пассажиру достался счастливый билет:

Какой будет номер у следующего счастливого билета

в этой катушке? Впиши этот номер.

Решение ученика.

Говорит, что затрудняется ответить.

=367602, надо любой счастливый номер?

-Нет, ближайший счастливый, следующий за 367592.

= Должно быть 17 и 17, следовательно - 368593

-А перед этим есть еще счастливые?

= Нет.

-Пока номер билета поменяется до 368 … номера билетов пройдут через 367900, 367999, представляешь, сколько счастливых билетов там будет?

= Понятно, но я больше не знаю.

-Тогда выписывай по порядку следующие номера у билета 367592.

=36959..

-Нет, следующий.

= 367593, но он уже не счастливым будет.

-Дальше.

= 367594 тоже не счастливый, но счастливым будет 36…

Он предлагает прибавить по 10 к каждой из двух частей числа, чтобы билет остался счастливым.

-Зачем? Считая по порядку, ты дойдешь до 376599, он будет счастливым?

= Нет.

-Следующие?

= …600, …601,…602, …603, …604. Надо чтобы здесь было 13, следовательно - 607.

-Почему надо 13?

= Так как сумма должна равняться 13.

Исправляется, говорит, что 16.

= Тогда надо 16, следовательно - 1, 9, 6.

-Запиши числа по порядку.

=367619, правильно?

-Да.

Задание 6.

Иван и Петр купили два билета подряд. Билет Ивана не был ни встречным, ни счастливым, а Петру достался счастливый билет. Каким был номер этого счастливого билета? Впиши в билет три недостающие цифры:

Решение ученика.

Считает, что сумма первых трех чисел равна 18, Говорит

= Можно 846198.

-Это - счастливый?

= Да.

-Какой у него предыдущий?

= Предыдущий - встречный.

-А надо написать такой счастливый билет, предыдущий которого не является встречным.

=846200, предыдущий 846199.

-На так, чтобы первый билет был еще и счастливый.

= Но так нельзя сделать.

-Посмотри на билет, который ты написал: 846200, изменим его чуть-чуть, например 020200, какой его предыдущий?

=020199

-Он встречный?

= Нет.

-а у тебя сумма первых трех чисел не 2, а 18. Попробуй продолжить билет аналогично.

= Так нельзя сделать.

-Почему?

Я делаю ему подсказку:

-Сумма первых трех чисел - 18. Сумма последних тоже должна быть 18, те есть тебе надо записать три цифры так, чтобы их сумма была 18, а последним из них стоял 0.

= Почему?

-Если бы ты поставил во вторую половину счастливого билета не 200, а 220, то был бы предыдущий встречным?

=219, тогда здесь будет 846990.

Билеты. Протокол 3

Задание 1.

Номера автобусных билетов состоят из шести цифр.

Если сумма первых трех цифр равна сумме трех последних цифр, говорят, что это счастливый билет.

Этот билет можно считать счастливым,

так как 4 + 4 + 4 = 1 + 9 + 2

Обведи счастливый билет из приведенных ниже:

Решение ученика.

Нашел первый счастливый билет, про 4ый. сказал, что сразу видно, что не счастливый, остальные посчитал - что не счастливые.

Задание 2.

Если сумма первых трех цифр отличается на единицу от суммы последних трех цифр, то говорят, что билет встречный (обладатель билета встретит друга или знакомого, которого давно не видел).

Этот билет может считаться встречным,

так как 4 + 4 + 4 на 1 меньше, чем 5 + 3 + 5

Обведи встречный билет из приведенных ниже:

Решение ученика.

Читает о встречных билетах, говорит, что не знал, что такое встречный билет.

1ый - не встречный.

-Почему?

Считает еще раз, спрашивает все ли числа надо считать?

-Да.

= Здесь 7 подойдет к 8, 5 подойдет к 6, следовательно - встречный.

2ой - не встречный,

3ий - счастливый,

4ый - встречный, так как 8721.

-А 6?

=6 здесь ни к чему.

-Встречный это когда сумма первый трех чисел на 1 отличается от суммы последних трех чисел.

= Тогда 4ый ни встречный и ни счастливый.

Задание 4.

Впиши вместо точек пропущенные цифры так, чтобы билеты могли считаться встречными:

Решение ученика.

Рассматривает первый билет.

= Этот билет никак не будет встречным, так как 6 ни к чему не подходит.

Я обвожу первые три числа и последние, говоря, что их сумма должна на единицу отличаться.

=8 и 2

-и что?

= Нет, не подходит. Если тут 6 есть, а надо чтобы лило на 1 больше или на меньше, то никак не получится.

-Что к чему подходить должно?

= Ну 9 к 6 же не подойдет.

-В смысле не подойдет?

Он показывает на предыдущий пример: 287619

= Тут все числа подойдут друг к другу: 8 к 9, 7 к 6, 2 к 1, а здесь нет.

-Раз у тебя не получается найти такие числа, чтобы подходили, посчитай сумму чисел из первой тройки и из второй.

=17 и 16

-Он встречный, потому что 17 на единицу отличается от 16.

= 913662, 727168

Задание 5.

В катушке номера билетов следуют друг за другом по порядку:

… 367589, 367590, 367591, 367592 и так далее.

Пассажиру достался счастливый билет:

Какой будет номер у следующего счастливого билета

в этой катушке? Впиши этот номер.

Решение ученика.

Он проверил данный в условии билет на «счастливость». Сказал, что он счастливый, потом говорит ответ:

=367593

-Но это следующий билет в катушки, а не счастливый. А следующий счастливый?

Уточняет вопросом задание.

=Если билеты в катушке заканчиваются, следующий будет 376600?

-да.

=Надо чтобы сумма балы 16, следовательно - 682.

-Он счастливый. Перед ним какие еще счастливые билеты?

= 673

-еще

= 664

-еще

= 655

-еще

= 646

-еще

=637

- еще

=628

-еще

=619

-еще?

= Больше нет.

-Ну так какой ответ?

= 367619

Задание 6.

Иван и Петр купили два билета подряд. Билет Ивана не был ни встречным, ни счастливым, а Петру достался счастливый билет. Каким был номер этого счастливого билета? Впиши в билет три недостающие цифры:

Решение ученика.

Посчитал, что сумма первый трех чисел равна 18.

= 846 198

- Это - счастливый?

= Да.

- Какой у него предыдущий?

= 197.

-Он встречный?

= Да.

-А надо, чтобы он не был встречным.

= 846990, его предыдущий 846899, следовательно - подходит.

Билеты. Протокол 4

Задание 1.

Номера автобусных билетов состоят из шести цифр.

Если сумма первых трех цифр равна сумме трех последних цифр, говорят, что это счастливый билет.

Этот билет можно считать счастливым,

так как 4 + 4 + 4 = 1 + 9 + 2

Обведи счастливый билет из приведенных ниже:

Решение ученика.

Считает сначала сумму цифр в первой части билета, потом считает сумму цифр во второй части. Получает 12 и 14. Говорит, что билет не счастливый, так как вторая часть больше чем первая. Числа складывает по порядку слева на право.

Аналогично считает второй билет. Говорит, что он счастливый.

Таким же способом считает третий и четвертый билеты.

В пятом билете считает сумму первой части, она равна 23, потом выполняет действие 7+8=15 и говорит, что билет счастливый. Поясняет, что от перемены слагаемый сумма не изменяется. Я прошу проверить этот билет еще раз. Он снова считает 8+7=15, 15+8=23, потом 7+8=15, говорит, что билет счастливый и продолжает складывать: 15+7=22. Восклицает, что понял.

Последний билет считает как и все предыдущие складывая цифры по порядку.

Задание 2.

Впиши вместо точек пропущенные цифры так, чтобы билеты могли считаться счатливыми:

Решение ученика.

А) Складывает 7+8=15. Говорит, что можно поставить три 5.

Б) Считает 9+3=12. Предполагает, что на первое пустое место можно поставить любое число, например 1: 391… Считает сумму 3+9+1=12. Говорит, что на второе пустое место можно поставить 6.

Я прошу к заданию Б) написать еще счастливые билеты.

Он действует тем же способом, предлагая на первое пустое место поставить 6. Говорит, что возможно это будет много, но стоит попробовать. Считает, что в первой части билета сумма цифр равна 18. Во вторую часть ставит 9, получает в сумме 16.

Тогда предлагает поставить на первое пустое место 5, а на второе 8. Получает в суммах 17 и 15 соответственно в разных частях билета.

Тогда ставит в первую часть 4, во вторую 9, получает счастливый билет.

Я говорю, что к обоим частям билета можно было прибавить по 1. Он говорит, что и по 2 можно.

Задание 3. Если сумма первых трех цифр отличается на единицу от суммы последних трех цифр, то говорят, что билет встречный (обладатель билета встретит друга или знакомого, которого давно не видел).

Этот билет может считаться встречным,

так как 4 + 4 + 4 на 1 меньше, чем 5 + 3 + 5

Обведи встречный билет из приведенных ниже:

Решение ученика.

В первом билете складывает цифры по порядку, получает 17 и 16 в разных частях билета. Говорит, что первая часть на 1 больше второй, следовательно билет счастливый.

Во втором билете складывает 4+3+2=9, во второй части 9, то есть билет счастливый.

В третьем билете получает суммы частей билета 10 и 14, то есть билет обычный.

Задание 4.

Впиши вместо точек пропущенные цифры так, чтобы билеты могли считаться встречными:



Решение ученика.

А) Описывает решение поэтапно:

1. Складывает цифры первой части - 13,

2. В левой части сумма 13, в правой - 6. Надо, чтобы сумма была на 1 больше. Говорит ответ 913662. //По-видимому на пятое место поставил произвольное число, а на шестое такое, чтобы сумма правой части была равна 14.

Б)

Задание 6.

Иван и Петр купили два билета подряд. Билет Ивана не был ни встречным, ни счастливым, а Петру достался счастливый билет. Каким был номер этого счастливого билета? Впиши в билет три недостающие цифры:

Решение ученика.

= Не совсем понял задание.

-Напиши любые два билета в катушке, следующие друг за другом.

=846673, 846674

-Тебе надо написать такой счастливый билет, предыдущий которого будет обычным.

Он посчитал, что сумма первых трех чисел 18 и сказал ответ 846990.

Задание 5.

В катушке номера билетов следуют друг за другом по порядку:

… 367589, 367590, 367591, 367592 и так далее.

Пассажиру достался счастливый билет:

Какой будет номер у следующего счастливого билета

в этой катушке? Впиши этот номер.

Решение ученика.

=У следующего счастливого билета на четвертом месте будет стоять 6. В сумме должно быть 16, может 36768..

-Тебе нужен следующий счастливый билет.

=673 или 637

-Какой из них ближайший?

=637

-А до этого еще?

= Допустим, …646

-Почему?

= Так как в сумме 16, или еще ..628.

-А до этого еще есть?

= ..628, ..637, ...646, 657, ..619

-Так какой ближайший счастливый?

=619.

Приложение 2

Дорожки. Протокол 1.

Задание 1.

В спортивном комплексе для велосипедистов построили необычные дорожки. Они разной формы, но одинаковой длины. Два велосипедиста с одинаковой скоростью едут по двум дорожкам:

Первый велосипедист проехал всю свою дорожку:

Какое расстояние проедет второй велосипедист за это же время? Обведи правильный ответ.

А. Б. В. Г.

Дает ответ Г. //не правильно

Я даю аналогичную более простую задачу, где ввела знаковое средство, которое должно акцентировать внимание ученика на том, что длины дорожек равны: «Даны 2 дорожки длины а:

Если два велосипедиста едут по ним с одной скоростью, то за время, что первый велосипедист проедет первую дорожку, какую часть второй дорожки проедет второй велосипедист?»

Он говорит ответ: «Всю». Задача решена.

После этого он поменял вариант ответа задачи 1 на А.

Таким образом, упрощение наглядного представления задачи и введение вспомогательного средства привело к пониманию и решению задачи.

Задание 2.

Два велосипедиста с одинаковой скоростью едут по двум замкнутым дорожкам разной формы, но одинаковой длины:

Первый велосипедист проехал часть своей дорожки, выделенной на рисунке черным цветом. Какую часть своей дорожки за это же время проехал второй велосипедист?

Обведи правильный ответ.

А. Б. В. Г.

Дает ответ - вариант А.

Я даю аналогичную более простую в наглядном представлении задачу: «Даны две другие дорожки длины б. Если первый велосипедист проехал половину прямой траектории, то сколько с этой же скорость за то же время проедет второй велосипедист по второй дорожке?»

Он показывает половину квадрата (2 стороны). Задача решена.

После этого он меняет вариант ответа на Г, объясняя, что на нем показана половина рисунка.

Таким образом, упрощение наглядного представления задачи помогло выделить способ действия для решения. Но потом, как мы видим, испытуемый снова сталкивается с трудностью выделения наглядно образного плана задачи, то есть неправильно выделяет половину рисунка.

Я прошу его посмотреть на рисунке внимательнее, и он меняет свой ответ на вариант Б.. Задача решена.

Задание 3.

В спортивном комплексе есть несколько беговых дорожек. Все дорожки одинаковой длины, но разной формы. Петр и Павел бегают по двум разным дорожкам. Скорость Петра в два раза больше скорости Павла (за одно и то же время Павел пробегает половину того расстояния, которое пробегает Петр).

На рисунках черным цветом показано, какое расстояние пробежали разные спортсмены по своим дорожкам за одно и то же время.

По каким дорожкам бежали Петр и Павел? Обведи две эти дорожки.

А. Б. В. Г Д Е

Дал ответ Г и Д, аргументируя это тем, что в варианте Г нарисовано 6 отрезков, а в Д - 3. Я даю ему подсказку «Если дорожки одной длины, то отрезки, из которых они состоят, могут быть разными».

Он делает следующие вычисления: 1200:6=200 200*3=600 - для варианта Е, 1200:4=300 300*3=900 - для варианта Б, 1200:3=400 - для варианта А.

Потом говорит, что с 1200 последующие вычисления сложны и выбирает за длину дорожки 1600 км. Делает вычисления: 1600:8=200 200*6=120 - для варианта Г, 1600:4=400 - для варианта Б. Снова говорит, что вместо 1600 км. Нужно выбрать какое-то другое число, на которое удобно было бы делить.

Я предложила ему взять за длину дорожки 1. Выбор такой длины дорожки значительно упрощает математическое представление условий задачи. Таким образом, мы видим трудность перевода наглядно-образного плана в математическую модель. Ученик не выделяет исходя из наглядно-образного плана основных отношений частей рисунка - тех, по которым пробежал бегун и, где нет. Принятие учеником модели рисунка, как нечто единого целого, помогает ему выделить эти соотношения.

После такой подсказки он записал для рисунка А число 1/3, что по-видимому характеризует часть дорожку, которую пробежал бегун (отмечено жирным). Для рисунка Б - ѕ, В - 2/3, Г - 6/8, Д - ј. Говорит ответ Б, Г. Потом меняет ответ на Б, Д, говоря, что на рисунке Б отмечена часть пути ѕ=6/12, а в Д - 3/12, то есть на рисунке отмечено жирным в 2 раза больше пути, чем на Д.

Таким образом, восприятие учеником рисунка, как единой образной модели, помогло ему решить задачу. Средством для этого представления было принятие всей длины за 1.

Дорожки. Протокол 2.

Задание 1.

В спортивном комплексе для велосипедистов построили необычные дорожки. Они разной формы, но одинаковой длины. Два велосипедиста с одинаковой скоростью едут по двум дорожкам:

Первый велосипедист проехал всю свою дорожку:



Какое расстояние проедет второй велосипедист за это же время? Обведи правильный ответ.

А. Б. В. Г.

Прочитав задание, говорит, что не понятная задача. Я объясняю ему условие задачи, показываю на рисунке, как ехал велосипедист.

Он обводит правильный ответ (А).

Задание 2.

Два велосипедиста с одинаковой скоростью едут по двум замкнутым дорожкам разной формы, но одинаковой длины:

Первый велосипедист проехал часть своей дорожки, выделенной на рисунке черным цветом. Какую часть своей дорожки за это же время проехал второй велосипедист?

Обведи правильный ответ.

А. Б. В. Г.

=Б

-Как ты это понял?

= Можно линейку приложить.

-А без линейки, как это можно объяснить?

Затрудняется ответить.

-Выделенная часть первой дорожки, это какая ее часть?

=1/2, следовательно, у второй дорожки тоже надо взять половину.

Задание 3.

В спортивном комплексе есть несколько беговых дорожек. Все дорожки одинаковой длины, но разной формы. Петр и Павел бегают по двум разным дорожкам. Скорость Петра в два раза больше скорости Павла (за одно и то же время Павел пробегает половину того расстояния, которое пробегает Петр).

На рисунках черным цветом показано, какое расстояние пробежали разные спортсмены по своим дорожкам за одно и то же время.

По каким дорожкам бежали Петр и Павел? Обведи две эти дорожки.