Знаходження похідної функції
Формування знань учнів про похідні сталої, складеної, показникової, логарифмічної та степеневої функцій з довільним дійсним показником. Вивчення теореми про похідні суми, добутку і частки функцій. Формування умінь учнів знаходити похідні функції.
Рубрика | Педагогика |
Вид | курс лекций |
Язык | украинский |
Дата добавления | 14.06.2009 |
Размер файла | 293,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
ТЕМА УРОКУ: Похідні елементарних функцій
МЕТА УРОКУ: формування знань учнів про похідну сталої функції, степеневої функції з цілим показником, тригонометричних функцій.
І Перевірка домашнього завдання
1. Три учні відтворюють розв'язування вправ № 1 (1,2), 2.
1) ==
2)
Рівняння шуканої дотичної у - у0 =. Оскільки х0 = 1, у = х2, то і
Отже, у - 1 = 2 (х -1) або у = 2х - 1.
2. Фронтальна бесіда за запитаннями №№ 11 - 17 із Запитання і завдання до розділу VII.
II. Сприймання і усвідомлення знань про похідну сталої функції, степеневої функції з цілим показником
На попередньому уроці ми довели, що похідна лінійної функції у = дорівнює , тобто .
Якщо покласти , де С - довільна постійна, то одержимо, що тобто похідна постійної функції дорівнює 0.
Якщо у формулі покласти, то одержимо
Нам уже відомо, що . А як знайти похідну функції у = х5, у = х20 тощо? Розглянемо функцію у= хn, де n - .
Знайдемо похідну цієї функції, для цього зафіксуємо значення аргумента х0 і надамо йому приросту , тоді:
1)
2)
(Скориставшись формулою
3)
Звідси
Розглянемо функцію у = хn-1, де .
Знайдемо похідну цієї функції, для цього зафіксуємо значення аргумента х0 і надамо йому приросту , тоді
1)
2)
3) =
Отже, , де .
Таким чином виконується рівність: .
Виконання вправ
1. Знайдіть похідну функції:
а) у = х6; б) у = х8; в) у = х2; г) .
Відповідь: а) 6х5; б) 8х7; в) 7х6; г) 6х5.
2. Знайдіть похідні функцій:
а) у = х-10; б) у = х2; в) ; г).
Відповідь: а) -10х-11; б) -3х-4; в) -6х-7; г) -6х-7.
ІІІ. Сприймання і усвідомлення знань про похідну тригонометричних функцій
Знайдемо похідну функції у=. Зафіксуємо х0 і надамо аргументу приросту , тоді:
1)
2)
3)
.
Отже
Аналогічно можна довести, що
Знайдемо похідну функції .
Зафіксуємо х0 і надамо аргументу приросту , тоді:
.
.
Отже,
Аналогічно можна довести, що
Виконання вправ № 1 (3), 5 із підручника.
VI. Підведення підсумків уроку
Провести підведення підсумків уроку з використанням таблиці 4 похідних.
Таблиця
Таблиця похідних
V. Домашнє завдання
Розділ VІІ § 3. запитання і завдання для повторення розділу VІІ № 19 - 22. вправа №4 (2, 4).
ТЕМА УРОКУ: Теореми про похідну суми, добутку і частки функцій
МЕТА УРОКУ: Вивчення теореми про похідні суми, добутку і частки функцій, формування умінь учнів у знаходження похідних.
І. Перевірка домашнього завдання
1. Усне розв'язування вправ.
1) Знайдіть похідні функцій
а) у - х10; б) ; в) ; г) .
Відповідь: а) 10х9; б) -9х-10; в) -4х-5;ё г) 3х2.
2) Знайдіть похідні функцій:
а) в точці ; б) в точці ;
в) в точці ; г) в точці .
Відповідь: а) 0; б) ; в) 4; г) -1.
2. Відповісти на запитання, що виникли у учнів під час виконання домашніх вправ.
ІІ. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну суми функції
Теорема: Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х, то їхня сума диференційована в цій точці і
або коротко говорять: похідна суми дорівнює сумі похідних.
Доведення
Розглянемо функцію у = f(x) + g(x).
Зафіксуємо х0 і надамо аргументу приросту . Тоді
,
.
Отже, .
Наслідки
а) Похідна різниці дорівнює різниці похідних.
Нехай у(х) = f(x) - g(x), тоді f(x) = у(х) + g(x) і , звідси.
б) Похідна суми декількох функцій дорівнює сумі похідних цих фукцій, тобто
.
Приклад. Знайдіть похідну функцій
а) ;
б) ;
в) .
Розв'язання а) ;
б) .
в).
Відповідь: а) ; б) в) =.
Виконання вправ
1. Знайдіть похідні функцій:
а) у = х3 + х - х4; б) ;
в) ; г) .
Відповідь: а); б); в) ;
г) .
2. Знайдіть значення похідної функції f(x) в точці х0:
а) ;
б) ;
в) .
Відповідь: а) 1; б) ; в)-1.
3. При яких значеннях х значення похідної функції f(x) дорівнює 0:
а); б) ; в) .
Відповідь: а) ; б) ; в) .
ІІІ. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну добутку
Теорема. Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х, то їхній добуток також - диференційована функція в цій точці і , або коротко говорять: похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків кожної функції на похідну другої функції
Доведення. Розглянемо функцію . Зафіксуємо х0 і надамо аргументу приросту , тоді
1)
Оскільки , , то
.
2)
.
Отже, .
Наслідки
а) Постійний множник можна винести за знак похідної: .
Дійсно,.
б) Похідна добутку декількох множників дорівнює сумі добутків похідної кожного із них на всі останні, наприклад:
.
Приклад. Знайдіть похідні функцій:
а) ;
б) ;
в) .
Розв'язування
а) ;
б)
;
в)
.
Виконання вправ.
1. Знайдіть похідну функцій:
а) ; б) ;
в) ; г) .
Відповідь: а) 6х-5; б) ;
в) ; г) .
2. Знайдіть похідні функцій:
а) ; б) ;
в) ; г) .
Відповідь: а) ; б) ;
в) ; г) .
3. Знайдіть похідні функцій:
а) ; б) .
Відповідь: а) ; б) .
IV. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну частки функцій
Теорема. Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х і g(x), то функція диференційована в цій точці і .
Доведення
Формулу похідної частки можна вивести, скориставшись означенням похідної. Проте це зробити можна простіше.
Нехай , тоді f(x)=у(х). Знайдемо похідну функції f(x), скориставшись теоремою про похідну добутку, . Виразимо з цієї формули
і підставимо замість у(х) значення , тоді будемо мати:
.
Отже, .
Приклад: Знайдіть похідні функцій
а) ; б) .
Розв'язання
а) .
б) .
Виконання вправ
1. Знайдіть похідні функцій:
а) ; б) ; в) ; г) .
Відповідь: а) ; б) ;
в) ; г) .
2. Знайдіть похідні функцій:
а) ; б) ; в) ; г)
Відповідь: а) ; б) ;
в) ; г) .
V. Домашнє завдання
Розділ VII § 4. Запитання і завдання для повторення розділу VII № 23 - 27. вправа № 10 (1 -5, 7 - 8).
ТЕМА УРОКУ: Похідна складеної функції
Мета уроку: Формування поняття про похідну складеної функції, знань учнів про похідну складеної функції, умінь знаходити похідну складеної функції.
І. Перевірка домашнього завдання
1) ;
2)
;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .
2. Самостійна робота.
Варіант 1.
1. Знайдіть значення похідної функції f(x) при заданому значенні аргументу х0:
а) , х0=-1. (2 бали)
б) . (2 бали)
2. Знайдіть похідну функцій:
а) . (2 бали)
б) . (2 бали)
в) . 42 бали)
Варіант 2.
1. Знайдіть значення похідної функції f(x) при заданому значенні аргумента х0:
а) , х0=-1. (2 бали)
б) . (2 бали)
2. Знайдіть похідну функцій:
а) . (2 бали)
б) . (2 бали)
в) . 42 бали)
Відповідь: В-1. 1. а) ; б) -1
2. а) ; б) ; в)
В-2. 1. а) ; б) 1
2. а) ; б) ; в) .
ІІ. Сприймання і усвідомлення поняття складеної функції та її похідної
Розглянемо приклад.
Приклад 1. Нехай треба обчислити по заданому значенню х значення функції у, яка задана формулою .
Для цього спочатку треба обчислити за даним значенням х значення u=, а потім за значенням u обчислити у=.
Отже, функція g ставить у відповідність числу х число u, а функція f - числу u число у. Говорять, що у є складеною функцією із функції g і f, і пишуть .
Функцію g(х) називають внутрішньою функцією, або проміжною змінною, функцію f(u) - зовнішньою функцією. Отже, щоб обчислити значення складеної функції в довільній точці х, спочатку обчислюють значення u внутрішньої функції g, а потім f(u).
Приклад 2. Розглянемо функцію . Вона є складною із функцій , де - внутрішня функція, - зовнішня функція.
Приклад 3. Запишіть складні функції і , якщо
Розв'язання
Виконання вправ.
1. Задайте формулою елементарні функції і , із яких побудована складна функція :
а) б)
в) г)
Відповіді: а)
б) ;
в)
г) .
2. Дано функції: . Побудуйте функції:
а) ; в) ; в) ;
г) ; в) ; є) .
Відповідь: а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) є)
У складній функції присутня проміжна змінна . Тому при знаходженні похідної складної функції ми будемо вказувати, по якій змінній взято похідну, використовуючи при цьому спеціальні показники:
- похідна функції у по аргументі х;
- похідна функції у по аргументі u;
- похідна функції u по аргументі х;
Теорема. Похідна складеної функції знаходиться за формулою , де , або похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішньої функції по проміжній змінній, помноженій на похідну внутрішньої функції по основному аргументу.
Доведення
Будемо вважати, що функція має похідну в точці х0, а функція має похідну в точці u0=, тобто існують границі , і .
Нехай, аргументу х0 надано приросту , тоді змінна u набуде приросту . Поскільки одержала приріст , то функція у одержить також приріст . Приріст зумовив виникнення приросту і .
Подамо . Перейдемо до границі при (при цьому ).
або .
Приклад 1. Знайдіть похідну функції у = (3х3-1)5.
Розв'язання
у = (3х3-1)5 - складена функція , де u =3х3-1, тоді , .
При обчисленні похідної складеної функції явне введення допоміжної букви u для позначення проміжного аргументу не є обов'язковим. Тому похідну даної функції знаходять відразу як добуток похідної степеневої функції u5 на похідну від функції 3х3-1:
.
Приклад 2.Знайдіть похідні функцій:
а) ; б) ;
в) ; г) .
Розв'язання
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Виконання вправ.
1. знайдіть похідні функцій:
а) у = (3х+2)50; б) (6-7х)10;
в) ; г) .
Відповідь: а) ; б) ;
в) ; г) .
2. Знайдіть похідні функцій:
а) ; б) ;
в) ; г) .
Відповідь: а) ; б) ;
в) ; г) .
ІІІ. Підведення підсумків уроку
При підведенні підсумків уроку можна скористатись таблицею.
Таблиця диференціювання
,де |
IV. Домашнє завдання
Розділ VII § 4. запитання і завдання для повторення до розділу VII № 23-28. вправа № 10 (6, 10, 14, 22).
ТЕМА УРОКУ: Похідна показникової, логарифмічної та степеневої функцій
Мета уроку: Формування знань учнів про похідну показникової, логарифмічної та степеневої функції(з довільним дійсним показником), умінь учнів в знаходженні похідних функцій.
І. Перевірка домашнього завдання
1.Перевірити правильність виконання домашніх вправ за записами, зробленими на дошці.
6) ;
10) ;
11) ;
22) .
2. Виконання усних вправ.
Знайдіть похідні функцій, які подано в таблиці.
Таблиця
1 |
2 |
3 |
4 |
||
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
= |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
ІІ. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну показникової функції
Перш ніж знаходити похідну показниковїх функції, зробимо два важливих зауваження. Графік функції у=ах проходить через точку (0; 1). Нехай - величина кута , утвореного дотичною до графіка функції у = ах в точці (0; 1)з додатним напрямом осі абсцис. Величина цього кута залежить від значення основи а. Наприклад, обчислено, що при а = 2 величина кута приблизно дорівнює 340(рис.29), а при а = 2, =470.
у у = ех якщо основа а показникової функції у = ах зростає від 2 до 3, то величина кута зростає і приймає значення від 340 до 470. Отже, існує таке значення , при якому дотична, проведена до графіка функції у = ах в точці (0; 1) утворює з додатним напрямком осі ОХ кут 450 (рис.31). Таке значення прийнято позначати буквою е, е - число ірраціональне, е = 2,718281828459... 0
Таким чином, дотична до графіка функції у = ех в точці (0; 1) утворює з додатним напрямком осі абсцис, який дорівнює 450.
У відповідності з геометричним змістом похідної даний висновок означає, що значення похідної функції в точці х0 дорівнює =1. Отже, .
Знайдемо тепер формулу похідної функції .
Нехай аргумент х0 одержав приріст , тоді:
1)
2)
3) .
Таким чином, похідна функції ех дорівнює самій функції:
Знайдемо похідну функції , скориставшись основною логарифмічною тотожністю та правилом знаходження похідної складеної функції:
.
Отже,
Похідна показникової функції дорівнює добутку цієї функції на натуральний логарифм її основи.
Приклад 1. Знайдіть похідну функцій:
а) у = 5х; б) у = е3-2х; в) ; г) .
Розв'язання
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Виконання вправ.
№ 2 (2, 4, 6, 8, 10, 12), №2 (20, 22, 24, 26, 28, 30) із підручника (розділ Х).
ІІІ. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну логарифмічної функції
Розглянемо функцію . За основною логарифмічною тотожністю: для всіх додатних х.
Диференціюючи обидві частини цієї рівності, одержимо: , або .
Звідси .
Отже,
Знайдемо похідну функції . Так як , то
.
Отже,
Приклад 1. Знайдіть похідну функцій:
а) ; б) ;
в) ; г) .
а) ;
б) ;
в) ;
г)
=.
Виконання вправ.
№ 2 (14, 16, 18, 32, 34, 36, 38, 40, 42), із підручника (розділ Х).
IV. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну степеневої функції , де
Ми довели, що для .
Розглянемо функцію , де .
Знайдемо похідну цієї функції:
.
Отже, для всіх .
ТЕМА УРОКУ: Розв'язування вправ
Мета уроку: Формування умінь учнів знаходити похідні функцій.
І. Перевірка домашнього завдання
1 перевірити правильність виконання домашніх вправ шляхом порівняння відповідей.
№ 2. 3) -е-х; 5) ; 7) ; 9) ; 11)
13) ; 15) ; 17) .
№ 8. 1) 100х99; 3) ; 5) ; 7) -20х19; 9) ;
11) .
2. Усне розв'язування вправ.
Знайдіть похідні функцій, поданих в таблиці.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
1 |
||||||
2 |
||||||
3 |
||||||
4 |
||||||
5 |
ІІ. Формування умінь знаходити похідні функцій
1) Виконання вправ № 10 (12; 11; 13; 17; 19) розділу VІІ підручника.
2) Виконання вправ № 2 (23; 24; 31; 34; 35; 36) розділу Х підручника.
3) Знайдіть похідну функції та обчисліть її значення, якщо .
.
.
Відповідь: 4.
4) Тіло рухається за законом .
Знайдіть швидкість точки через 2 секунди після початку руху. (Відстань вимірюється в метрах).
Розв'язання
;
.
Відповідь: .
ІІІ. Домашнє завдання
Підготуватися до контрольної роботи. Вправи ; 10 (15; 16; 20; 25) розділу VІІ; № 2 (22; 26; 38; 42), 8 (14; 18) розділу Х.
ТЕМА УРОКУ: Тематична контрольна робота № 1
Мета уроку: Перевірити навчальні досягнення учнів з теми „Границя, неперервність та похідна функцій”.
Варіант 1
1. Знайдіть похідну функції:
а) . (2 бали)
б) . (2 бали)
в) . (2 бали)
г) . (2 бали)
2. Знайдіть похідну функції та обчислити її значення, якщо . (2 бали)
3. Точка рухається за законом . Знайдіть миттєву швидкість точки моменту t=1 с (s вимірюється в метрах). (2бали)
Варіант 2
1. Знайдіть похідну функції:
а) . (2 бали)
б) . (2 бали)
в) . (2 бали)
г) . (2 бали)
2. Знайдіть похідну функції та обчислити її значення, якщо . (2 бали)
3. Точка рухається за законом . Знайдіть миттєву швидкість точки моменту t=1 с (s вимірюється в метрах). (2бали)
Варіант 3
1. Знайдіть похідну функції:
а) . (2 бали)
б) . (2 бали)
в) . (2 бали)
г) . (2 бали)
2. Знайдіть похідну функції та обчислити її значення, якщо . (2 бали)
3. Точка рухається за законом . Знайдіть миттєву швидкість точки моменту t=5 с (s вимірюється в метрах). (2бали)
Варіант 4
1. Знайдіть похідну функції:
а) . (2 бали)
б) . (2 бали)
в) . (2 бали)
г) . (2 бали)
2. Знайдіть похідну функції та обчислити її значення, якщо . (2 бали)
3. обертання тіла навколо осі здійснюється за законом . Знайдіть кутову швидкість точки при t=4 с ( вимірюється в радіанах). (2бали)
Відповідь: В-1. 1. а) ; б) ;
в) ,; г) .
2. , .
3. 10
В-2 1. а) ; б) ;
в) ,; г) .
2. , .
3. 9
В-3. 1. а) ; б) ;
в) ,; г) .
2. , .
3. 35
В-4. 1. а) ; б) ;
в) ,; г) .
2. , .
3. 20
Подобные документы
Узагальнення поточного стану матеріалів з алгебри функцій в шкільних підручниках та розробка напрямків удосконалення наочності і сприйняття основних властивостей функцій в шкільній програмі курсу алгебри. Графіки степеневої та тригонометричної функції.
дипломная работа [1,1 M], добавлен 16.06.2013Поняття і класифікація умінь в психолого-педагогічній літературі. Характеристика навчальних умінь і навичок. Дидактичні принципи і етапи формування умінь і навичок. Методичні рекомендації формування пізнавальних умінь, можливостей та інтересу учнів.
курсовая работа [61,8 K], добавлен 15.12.2015Способи формування знань і вмінь учнів. Мотивування учням необхідність знань з українського народознавства. Ефективне використання наочності. Формуванню практичних навичок учнів. Розвиток національних традицій, звичаїв і обрядів. Міжпредметні зв’язки.
реферат [39,4 K], добавлен 30.01.2009Диференційовано-групова форма організації навчання у початкових класах. Методика формування умінь і навичок при розв'язанні задачі на знаходження суми і остачі. Особливість роботи над простими задачами на знаходження добутку як суми однакових доданків.
реферат [758,9 K], добавлен 16.11.2009Сутність і роль задач у початковому курсі математики, їх функції та критерії розбору за роками. Аналіз системи задач на рух і методика формування в учнів навичок їх розв’язання. Організація та зміст експериментального дослідження, його ефективність.
дипломная работа [680,0 K], добавлен 13.11.2009Визначення і розкриття сутності поняття знань, умінь і навичок. Характеристика рівнів засвоєння навчальної інформації (по В.П. Беспалько). Методи навчання та їх види. Роль і функції перевірки знань, умінь і навичок учнів з математики у початкових класах.
курсовая работа [431,5 K], добавлен 03.03.2016Розгляд контролю як структурного компоненту навчального процесу. Визначення особливостей виявлення, вимірювання й оцінювання знань та умінь учнів. Основні стадії та функції контролю. Перевірка знань на відповідність загальним освітнім стандартам.
презентация [665,7 K], добавлен 18.11.2015Основи формування в учнів спеціальних вмінь на заняттях з трудового навчання у 8-11 класах при вивченні профілю "Деревообробка". Педагогічна сутність проблеми формування і розвитку загальнотрудових умінь і навичок в учнів. Методичний аналіз програми.
курсовая работа [37,4 K], добавлен 27.09.2008Поняття похідної, її механічний і геометричний зміст. Застосування похідної для доведення нерівностей. Використання основних теорем диференціального числення при доведенні нерівностей. Декілька типів рівнянь, для розв’язування яких застосовуються похідні.
дипломная работа [1,2 M], добавлен 20.06.2012Основні поняття контролю знань та навчальних досягнень учнів, його сутність, види та функції. Методи, форми організації і педагогічні вимоги до контролю та оцінювання знань учнів. Ефективність тестового контролю як сучасної форми контролю знань учнів.
курсовая работа [53,4 K], добавлен 23.12.2015