Формування в учнів умінь розв’язувати задачі на рух

79

Зміст

Вступ

1. Теоретичні основи розв'язування задач на рух

1.1 Роль задач у початковому курсі математики

1.2 Місце задач на рух у системі складених задач

2. Формування умінь учнів розв'язувати задачі на рух

2.1 Аналіз системи задач на рух у підручниках з математики для 4 класу

2.2 Методика розв'язування задач на рух

2.3 Організація і зміст експериментального дослідження, аналіз його ефективності

Висновки

Список літератури

Вступ

Актуальним завданням подальшого удосконалення роботи початкової школи є підвищення якості навчання молодших школярів, зокрема підготовка їх до подальшого життя і навчання, формування уміння вчитися. Учень уміє вчитися, якщо він «сам визначає або приймає мету, поставлену вчителем, відповідно до неї планує і виконує необхідні дії, контролює та оцінює свої результати. Така розгорнутість характеризує сформовану навчальну діяльність, яка у молодшого школяра лише починає складатися» [30, 6]. Щоб успішно просуватися вперед, учні початкових класів у співробітництві з учителем повинні оволодіти повним діапазоном загальнонавчальних умінь і навичок, серед яких розв'язування задач займає провідне місце.

Обґрунтування шляхів і методів досягнення мети навчання і виховання - гармонійно і всебічно розвиненої особистості у сучасній початковій школі - є значною теоретичною і практичною проблемою [15, 17]. Суспільство, вимагаючи творчих, інтелектуальних, освічених працівників, орієнтує загальноосвітні заклади «не лише на збагачення учня змістовними знаннями, а й на розвиток його особистості, формування прийомів розумової діяльності, соціокультурної компетентності, на виявлення людей з цінними задатками». Формування такої особистості значною мірою здійснюється у навчальному процесі. Розкриттю розумових особливостей кожного у початковій школі значною мірою сприяє розв'язування задач.

Давно відомо, що вивчення математики є одним з найкращих способів розвитку й тренування розумових здібностей людини. Математика дисциплінує розум, спрямовує думки, розвиває пам'ять, фантазію, образне мислення, відчуття краси. Підручник з арифметики, написаний відомим математиком Л.П. Магницьким у 1703 p., починався такими словами: арифметика - «це мистецтво чесне, незаздрісне і всім легко зрозуміле, багатокорисне і багатопохвальне» [2, 40].

Для занять математикою дітям не потрібно ніяких особливих обдарувань, таких, як музичний слух для музиканта чи вміння чітко розрізняти кольори для художника. Навпаки, математика сама формує вміння і покращує здібності дитини. Щоправда, «розв'язання задач, особливо складних, вимагає напруження розуму, наполегливості і терпіння, але саме цього вимагатиме від дитини її майбутнє життя» [19, 21]. Тому, можливо, було б краще з перших шкільних років допомагати школярам розвивати вольові якості, які знадобляться їм у подальшому житті. Як це зробити? Підтримати у дитини впевненість у тому, що вона зможе розв'язати будь-яку задачу - треба тільки подумати, правильно поставити запитання, уявити собі ситуацію і проаналізувати її; намагатися викликати інтерес до роботи.

Навчання математики, зокрема формування вмінь розв'язувати задачі, здійснюється шляхом виконання різних завдань. У процесі розв'язування задач реалізуються цілі навчання за такими напрямками: здобуття і вдосконалення математичних знань; формування математичних вмінь; розвиток творчого і логічного мислення [38, 19].

У процесі вивчення «математика виступає перед учнями не тільки як система логічних правил і дедуктивних доведень, а й як метод пізнання, засіб розв'язування питань практичного характеру» [9, 11]. При цьому істотне значення для виконання цих завдань мають зміст і методика навчання учнів початкової школи розв'язувати задачі.

Задачі виникають під час реальних проблемних ситуацій. Останні постають тоді, коли людина (суб'єкт) в своїй діяльності, спрямованій на якийсь об'єкт, натрапляє на певні труднощі. Якщо людина усвідомлює ці труднощі і хоче подолати їх, то в ній активізується розумова діяльність. Щоб проаналізувати і описати проблемну ситуацію, людина виходить за її межі і дивиться на неї «збоку». Такий опис проблемної ситуації і є задачею [30, 26]. Задача - це вже об'єкт, який можна передавати іншій людині.

Розв'язування математичної задачі - це «процес встановлення (знаходження) зв'язків між даними величинами, між даними та шуканою величиною, формулювання цих зв'язків мовою математики у вигляді арифметичних дій, виконання послідовності дій для знаходження числового значення шуканої величини» [50, 37]. Основне завдання педагога - вчити учнів знаходити зв'язки і добирати їх послідовність для визначення невідомого числа.

Вміння розв'язувати задачі вимагає від школярів знання деяких життєвих ситуацій, залежностей між величинами, розуміння суті арифметичних дій, знання прийомів обчислень, загальних правил причинно-наслідкових зв'язків, суті та структури задачі тощо [63, 46].

У процесі навчання молодші школярі розв'язують значну кількість задач під керівництвом учителя і самостійно. Проте нерідко під кінець навчання в початкових класах у деяких учнів знання про задачі залишаються поверховими і несистематизованими. Щоб поліпшити це становище, потрібна цілеспрямована праця вчителя, чітке розуміння ним основних вимог щодо навчання учнів розв'язувати різноманітні задачі.

У навчанні математики задачам відведено особливу роль. З одного боку, вони становлять специфічний розділ програми, матеріали якого учні мають засвоїти, а з другого - виступають як дидактичний засіб навчання, виховання і розвитку школярів [60, 19-20].

Аналіз останніх досліджень з психології [2; 3; 10; 30; 50; 56 та ін.] і методики математики [6; 15; 41; 46; 62 та ін.] свідчить про те, що в проблемі навчання молодших школярів розв'язувати задачі є значні досягнення - з'ясовано можливість застосування алгебраїчного методу розв'язування задач, визначено основні напрями роботи у виробленні в учнів уміння загального підходу до розв'язування задач, виявлено доцільність опрацювання взаємно обернених задач, з'ясовано роль задач підвищеної трудності у навчанні і розвитку, уточнено класифікацію простих задач тощо. Проте є ще й нерозв'язані питання з проблеми використання математичних задач у початковій школі.

Актуальність проблеми дослідження пов'язана з тим, що у школярів середніх та старших класів виникають чималі труднощі під час розв'язування задач на рух. Однією з причин цього ми вважаємо недостатню сформованість у початкових класах понять про величини: час, відстань, швидкість та пропорційну залежність. Формувати у молодших школярів необхідні поняття можна як на матеріалі чинних підручників початкових класів, так і доповнюючи його задачами, складеними на підґрунті типових задач, призначених для учнів середніх класів. Тому слід допомогти вчителям початкових класів і студентам факультетів підготовки вчителів початкових класів усвідомити особливості розв'язування задач на рух з молодшими школярами у процесі самостійної роботи над задачами на рух, що й вплинуло на вибір нами теми дослідження.

Метою дипломної роботи є експериментальне обґрунтування методики роботи над задачами на рух у початкових класах.

Об'єкт дослідження - задачі на рух.

Предмет дослідження - методика опрацювання задач на рух у початкових класах.

Завдання дослідження:

1) Проаналізувати педагогічну та методичну літературу з проблеми дослідження.

2) Розкрити етапи роботи над текстовою задачею.

3) Обґрунтувати дидактичні особливості задач на рух.

4) Охарактеризувати методику формування вмінь учнів розв'язувати задачі на рух.

5) Організувати і провести експериментальне дослідження, проаналізувати його результати.

Новизна роботи полягає у тому, що запропоновано комплексний підхід до методики роботи над задачами на рух у початкових класах.

Практична значимість дипломної роботи обумовлюється актуальними завданнями удосконалення навчально-виховного процесу у початковій школі та необхідністю формування пізнавальних процесів у молодших школярів. Матеріали дослідження можуть бути використані вчителями початкових класів для активізації навчальної діяльності учнів на уроках математики.

Структура роботи. Дипломна робота складається із вступу, двох розділів, списку використаних джерел, додатків.

1. Теоретичні основи розв'язування задач на рух

1.1 Роль задач у початковому курсі математики

Значне місце у початковому курсі математики займає розв'язування текстових задач. Термін «задача» вживається в різних значеннях. У найширшому плані можна сказати, що задача передбачає необхідність свідомого пошуку відповідних засобів для досягнення мети, яку добре видно, але яка безпосередньо недосяжна. У психологічному аспекті задача розглядається як свідома мета, що існує в певних умовах, а дії - як процеси або акти, спрямовані на досягнення її, тобто на розв'язування задачі.

Під математичною задачею розуміють «будь-яку вимогу обчислити, побудувати, довести що-небудь, що стосується кількісних відношень і просторових форм, створених людським розумом на основі знань про навколишній світ» [17, 28]. Арифметичною задачею називають «вимогу знайти числове значення деякої величини, якщо дано числові значення інших величин і існує залежність, яка пов'язує ці величини як між собою, так і з шуканою» [63, 47].

У системі навчання учнів початкових класів загальноосвітньої школи переважають арифметичні задачі. Задачі на побудову, найпростіші доведення, а також завдання логічного порядку займають порівняно незначне місце. Задачі у початковому курсі математики з одного боку становлять специфічний розділ програми, матеріал якого учні мають засвоїти, а з другого - виступають як дидактичний засіб навчання, виховання і розвитку школярів. У навчанні математики задачам відведено особливу роль.

У пояснювальній записці до програми з математики говориться, що «вивчення математики у 1-4 класах здійснюється через систему доцільних задач і практичних робіт» [28, 17]. Це означає, що формування кожного нового поняття пов'язується з розв'язуванням таких задач, які допомагають усвідомити його значення чи потребують його застосування.

Початкове розкриття змісту арифметичних дій здійснюється за допомогою відповідних операцій над предметними множинами. Засобом переходу від операцій над множинами предметів до дій над натуральними числами є задачі. Розв'язуючи задачу, учні спираються на уявлення про предмети, які згадуються в умові, але оперують уже числами.

Задачі мають як навчальні, так і виховні та розвиваючі функції. Функції задач спрямовані на формування системи математичних знань, умінь і навичок на різних етапах її засвоєння.

Робота над задачами також дає можливість реалізувати ряд функцій у вивченні математики: виховну, розвивальну, дидактичну і контролюючу [5; 6; 9; 38]. Проаналізуємо ці функції детальніше.

1) Виховні функції задач спрямовані на формування в учнів наукового світогляду. Як виховний засіб задачі дають змогу пов'язати навчання з життям, ознайомити учнів із пізнавально важливими фактами, Числові дані задач характеризують успіхи економічного зростання в нашій країні, трудові досягнення колективів підприємств, показують зростання добробуту й культури українського народу. Це виховує у дітей свідоме ставлення до навчання, любов до Батьківщини, бажання зробити власний внесок у загальну справу. Внутрішня краса самої математики, оригінальність прийомів розв'язування задач збуджують у дітей естетичні почуття.

2) Під розвивальними розуміють функції задач, спрямовані на формування в учнів науково-теоретичного, зокрема функціонального, стилю мислення, на оволодіння ними прийомами розумової діяльності. У процесі розв'язування задач учні виконують різні розумові операції (аналіз, синтез, конкретизація і абстрагування, порівняння, узагальнення), висловлюють судження і міркування. Для активізації розумових дій учнів під час розв'язування задач запитання треба ставити так, щоб вони спонукали до порівнювання, зіставлення, перевірки тощо.

3) Текстові задачі, які відображують конкретні життєві ситуації, використовуються для ознайомлення учнів з певними математичними поняттями та закономірностями, для з'ясування взаємозв'язків між словом і символом, між символом і поняттям. У деяких випадках формування теоретичних знань через задачі може бути організоване у вигляді проблемної форми навчання. Навчальні функції задач виявляються також у здійсненні принципу політехнізації та в процесі контролю знань і математичного розвитку учнів.

4) Задачі є найважливішим засобом контролю й оцінки знань учнів з математики. Самостійне розв'язування учнями текстових задач як засіб оберненого зв'язку (учень - учитель) дає змогу виявляти вміння правильно обирати і виконувати арифметичні дії, судити про розвиток мислення молодших школярів.

У реалізації принципу політехнізації в навчанні математики передбачається, зокрема, розкриття особливостей дій законів та збільшення питомої ваги практичних робіт. «Розв'язуючи задачі, учні відчувають прикладне значення математики, усвідомлюють важливість математичних знань для пізнання закономірностей навколишнього світу» [17, 28]. Розв'язування задач допомагає в оволодінні кресленням і вимірюванням відрізків, обчислюванні площі фігур, в ознайомленні з такими важливими поняттями, як шлях і швидкість, продуктивність праці, врожайність, у здійсненні між-предметних зв'язків, що посилює політехнічний аспект навчання.

Згідно з чинною програмою [28], в учнів початкової школи на уроках математики мають формуватися вміння розв'язувати прості й складені задачі різних видів. На розв'язування математичних задач у кожному класі відводиться значна кількість уроків. У 1-му класі діти ознайомлюються з поняттям «задача», вчаться розв'язувати прості задачі; у 2-му класі вводяться нові задачі, які розв'язуються двома діями, - це перші складені задачі; у 3-му і 4-му класах кількість і складність складених задач збільшується. З усієї множини виокремлюють такі типи задач: на рух, на роботу, на пропорційне ділення, на знаходження четвертого пропорційного, на знаходження числа за двома різницями, геометричного змісту тощо.

Задачі кожного типу бувають і легкими, і важкими, і дуже важкими для дітей. Таким чином, потрібно спеціально готувати учнів до усвідомлення того, що не завжди, розв'язуючи задачу, можна одразу відповісти на її запитання. З цього витікає необхідність ґрунтовної підготовчої роботи до розв'язання задач на дві і більше дій і продуманої методики введення поняття «складена задача» та подальшого формування у дітей умінь розв'язувати такі задачі [5, 16].

Учитель повинен вчити дітей розв'язувати задачі. Робити це можна за допомогою різних методів. Для типових задач найефективнішим є метод поступового ускладнення, для нетипових - метод евристичних наставлянь. Задачі нового типу природно починати розв'язувати з найпростіших, доступних усім учням. Якщо майже на кожному уроці усно розв'язувати 5-6 таких задач, можна досягти гарних результатів. Поступово складність пропонованих задач має підвищуватися, але таким чином, щоб труднощі, які виникають у процесі їх розв'язання, могли долати й слабкі учні. Нічого поганого не станеться, якщо, наприклад, третьокласникам запропонувати для усного розв'язання кілька задач, які є навіть у підручнику для першого класу.

Не слід непокоїтися, що такі надлегкі задачі уповільнять розвиток більш підготовлених та кмітливих школярів. Адже йдеться лише про 5-7 хвилин деяких уроків. А роль простих задач у навчанні математики надзвичайно велика. Вони є основним засобом у формуванні поняття про арифметичні дії та величини. У процесі розв'язання простих задач учні опановують основні прийоми роботи над задачею. Високий рівень умінь розв'язувати прості задачі - необхідна умова успішного розвитку вмінь розв'язувати задачі складені. Навіть для найсильніших учнів усне розв'язання задач корисне: воно сприяє розвитку швидкості та гнучкості мислення, розумовому розвитку молодших школярів загалом [24, 76].

Оптимізація навчальних, виховних і розвивальних функцій задач можлива за умови, що учні вже мають певні уявлення про структуру задачі, володіють умінням розв'язувати задачі, які можна використовувати як дидактичний засіб. Забезпечення цих умов і є завданням розділу «Задачі» програми з математики. Мета цього розділу - «сформувати в учнів уявлення про структуру простої і складеної арифметичної задачі; ознайомити з арифметичним і алгебраїчним підходами до розв'язування задач; домогтися, щоб кожен учень умів розв'язати будь-яку просту задачу; розвинути вміння застосовувати знання про арифметичні дії і залежності між величинами для складання плану розв'язання задачі, тобто розвинути вміння розв'язувати складені задачі» [5, 13-14].

Розподіл задач за роками навчання і визначення програмного мінімуму здійснено «з урахуванням послідовності вивчення арифметичного матеріалу, об'єктивного і суб'єктивного рівнів складності задач, методичного забезпечення їх у підручниках, а також значення їх для дальшого вивчення математики» [65, 22].

Отже, «задача - це завдання, що містить певний зміст, сюжет, в якому подаються перелік кількох груп предметів, їх кількісна характеристика, що виражається числами, або перелік кількох (не менше двох) величин, їх числові значення, які знаходяться у певних відношеннях («менше» «більше», «стільки ж»)» [31, 44]. Всі числа і числові значення величин пов'язані між собою математичними залежностями. Обов'язково в тексті задачі є запитання чи пропозиції відшукати числове значення іншої, шуканої величини, яка знаходиться у зв'язку із даними величинами. Задача - це завдання, яке здебільшого формулюється словесно (письмово чи усно), на відміну від прикладів.

Приклади складають із чисел і знаків арифметичних дій. Для запису деяких прикладів використовуються дужки, які визначають порядок виконання дій. Як у прикладі, так і в задачі треба за даними числами знайти ще одне число (невідоме). Це число знаходять шляхом виконання арифметичних дій (операцій). У прикладах дії вказано, а послідовність їх виконання визначається правилами. Під час розв'язування задачі арифметичні дії, їх кількість та послідовність виконання треба визначати самостійно.

Дорослим людям, фахівцям багатьох професій доводиться розв'язувати задачі під час виконання різних робіт. Наприклад, при обчисленні ціни, вартості товару, витрати матеріалів, числових характеристик багатьох явищ. Це задачі практичного змісту. Щоб уміти їх розв'язувати, треба спочатку навчитися розв'язувати задачі, що пропонуються підручником і вчителем. Це навчальні задачі [32, 31].

У школі задачі застосовуються при вивченні математики, фізики, хімії та деяких інших навчальних предметів, у процесі їх розв'язування в учнів підвищується розумовий розвиток, формуються загальнонавчальні уміння, вони вчаться аналізувати, робити висновки, порівнювати, складати план, узагальнювати тощо.

Текстова задача складається з умови і запитання. В умові задачі є не менше двох числових даних (іноді одне з них подається неявно (приховано)), які характеризують або кількість предметів, або значення величини, або відношення між ними. В умові вказуються зв'язки між числами, а також між даними числами і шуканим числом, за допомогою яких відбувається добір арифметичних дій для розв'язання. Числові дані подаються в умові, або в умові і запитанні. Але кожну задачу можна сформулювати так, щоб усі числа були представлені тільки в умові. Попарні зв'язки між величинами можна виразити за допомогою арифметичної дії. У запитанні задачі вказується, числове значення якої величини треба знайти. Запитання задачі формулюється у вигляді питального речення зі словами скільки, на скільки, коли, о котрій годині, або у вигляді вимоги: знайти (знайди), обчислити (обчисли), дізнатися (дізнайся) [26, 19].

Задачі складаються на основі матеріалів спостережень за явищами природи, практичної діяльності людей, математичних закономірностей, інколи за казковими, фантастичними сюжетами. Під час складання задачі необхідно дотримуватися таких вимог: умова не повинна містити неправильні твердження, числові дані мають бути правдоподібними, реальними (крім задач казкового, фантастичного змісту), умова і запитання мають бути пов'язані між собою.

Розв'язати задачу - означає встановити (розкрити, відшукати, побачити, пояснити) зв'язки між даними і шуканим числами, на основі чого дібрати потрібні арифметичні дії та їх порядок виконання, знайти результати дій, а потім відповісти на запитання задачі. Відповідь задачі не відгадується, а знаходиться при виконанні потрібних дій (операцій). У процесі розв'язування задачі треба вміти пояснити (розказати), які дії і над якими числами варто виконати, в якому порядку і чому саме такі для знаходження шуканого числа (відповіді на запитання задачі) [35, 162].

Розв'язування задачі - це процес, «робота, яка включає ознайомлення з текстом задачі, роздуми (міркування) над її розв'язанням, запис чи формулювання дій та відповіді» [17, 28]. Розв'язання задачі - це запис (формулювання) порядку арифметичних дій, за допомогою яких знаходиться відповідь до задачі. Розв'язок - відповідь на запитання задачі. А ще розв'язком називають числове значення шуканої величини [22, 11-12].

Задачу, для розв'язання якої треба виконати лише одну арифметичну дію, називають простою. Якщо для розв'язання задачі треба виконати дві або більше дій (різних чи однакових), то її називають складеною (складається з кількох простих задач, бо кожна дія - це розв'язання однієї простої задачі, що входить до її складу).

Аналіз методичної літератури показує, що «вміння розв'язувати задачі вчені визначають як складне, яке включає в себе ряд простих, часткових, а саме: вміння проводити первинний аналіз тексту (уявляти задачну ситуацію), виділяти умову й вимогу, відомі й невідомі, шукану величини, конструювати простіші моделі задачної ситуації, активізувати необхідні для розв'язання теоретичні знання, перекладати залежність між даними, даними і шуканими величинами з мови словесної на математичну та ін.». Формувати вміння необхідно поступово і систематично.

А тому «важливе значення для розв'язування текстових задач у навчальному процесі має ретельний добір навчальних завдань, які мають відповідати певним загально-методичним вимогам: забезпечувати засвоєння учнями програмового матеріалу з математики і, зокрема, формувати в них знання про задачу, її склад і процес розв'язування, вчити використовувати набуті знання в різних ситуаціях; зміст завдань має відповідати темі уроку і меті вивчення матеріалу, а числові дані - програмовим вимогам; послідовність застосування вправ має сприяти свідомому засвоєнню теоретичних знань і вмінню розв'язувати задачі, розвитку прийомів розумової і творчої діяльності школярів; забезпечувати автоматизацію елементарних дій, з яких складається діяльність при розв'язуванні задач; створювати умови для узагальнення способів діяльності; відповідати логіці й структурі процесу формування вмінь; кількість вправ повинна відповідати індивідуально-психологічним особливостям школярів і бути достатньою для формування певного вміння або навички» [19, 23-24].

Отже, беручи до уваги ці вимоги, вчені виділили і експериментально перевірили систему завдань, спрямованих на формування, в учнів умінь розв'язувати текстові задачі. Ці завдання поділені на групи відповідно до мети їх застосування у навчальному процесі, форми і способу виконання.

Завдання на формування у школярів умінь розв'язувати задачі за способом виконання поділяють на повні і фрагментарні. Повні завдання спрямовані як на засвоєння і закріплення способів розв'язанні задач певних видів, так і на формування й удосконалення загальних умінь їх розв'язувати. Але якщо вчитель ставить перед собою мету виправити прогалину в уміннях школярів, виконуючи елементарні дії при розв'язуванні задач, то, в такому випадку, повні завдання займатимуть багато навчального часу. Тоді краще виділити в окрему групу потрібні фрагментарні завдання.

Фрагментарні завдання спрямовані на спеціальне формування в учнів часткових умінь: читати текст задачі, відокремлювати умову і вимогу, виділяти відомі й невідомі величини, конструювати предметні, схематичні, графічні моделі тощо [15, 17].

Відповідно до мети застосування, завдання для формування вмінь учнів розв'язувати текстові задачі поділяють на підготовчі, навчальні і перевірні [65, 23]. Мета підготовчих завдань - активізувати опорні знання й уміння, необхідні для розв'язування задач. Вони використовуються або на початку уроку, або безпосередньо перед розв'язуванням задачі. За формою подачі підготовчі завдання, в основному, усні, в окремих випадках - письмові. Зазначимо, підготовчі завдання не повинні містити труднощів, які неможливо подолати за допомогою актуалізації знань і вмінь, в основі їх - посилання на відповідний теоретичний матеріал підручника. До підготовчих відносять завдання-питання і прості текстові задачі.

Завдання-питання спрямовані на відтворення засвоєних теоретичних знань (правил, формул, математичних понять), які мають допомогти дітям при розв'язуванні задач. Наприклад: «Сформулюйте правило знаходження шляху за відомим часом і швидкістю руху».

Підготовчі текстові задачі - це задачі на 1-2 дії, способи розв'язування яких вже знайомі учням, але їх необхідно активізувати. Це обумовлюється, по-перше, тим, що вони мають входити у зміст задачі, яка розв'язуватиметься на уроці, по-друге, їх доцільно повторити для закріплення відповідного способу перекладу залежностей, заданих словесно, на математичну мову. Для вирішення даного завдання доцільно проаналізувати задачний матеріал уроку чи окремої теми, визначити основні теоретичні поняття з математики, на основі яких розв'язуватимуться задачі [12, 41].

Основна мета навчальних завдань - ознайомлення і засвоєння учнями способів розв'язування задач певних видів; закріплення, поглиблення і вдосконалення вмінь застосовувати набуті знання на практиці. Завдання мають відрізнятися різним рівнем складності.

Серед навчальних завдань виділяють в окрему групу пробні. Це завдання на первинне застосування набутих знань. А тому процес виконання задач проходить повільно, із збереженням усіх етапів розв'язування, на всіх рівнях уявлення (предметного, образного, схематичного, графічного та ін.). Вчені рекомендують для складання пробних завдань не застосовувати великі числові дані. Головне, при їх виконанні - первинне засвоєння учнями способу розв'язування [2, 41].

Навчальні завдання відрізняються від пробних часом їх пропонування учням: для виконання пробних завдань необхідно використати знання, актуалізовані на даному уроці, для навчальних - необхідно ці знання пригадати самостійно, вичленити із вже засвоєних раніше. Крім того, навчальні завдання відрізняються більшим ступенем самостійності, різноманітністю форм і сюжетів, рівнем складності; їх розв'язування потребує від учнів продуктивних і творчих дій.

Перевірні завдання відрізняються від навчальних лише метою їх застосування - перевірити, як учні вміють розв'язувати текстові задачі певних видів, як в них сформувалися часткові вміння виконувати окремі, дії. А тому перевірні завдання можуть бути повні і фрагментарні [19, 26].

За формою побудови завдання можуть бути стандартними і нестандартними. Стандартні завдання - це задачі, в яких присутні всі складові елементи. Вони призначені для засвоєння і закріплення вмінь розв'язувати задачі певних видів. Стандартні завдання містять достатню кількість даних для отримання однозначного розв'язку і при цьому зайві дані відсутні; у їх змісті немає суперечності; завдання відповідають реальності Це означає, що питання тісно пов'язані із даними, умова достатньо точно висловлена і завдання піддається математизації.

Нестандартні завдання спрямовані на практичне застосування набутих раніше учнями знань і вмінь у змінених, незвичайних умовах, на розширення, поглиблення й удосконалення вмінь завдяки різноманітним варіантам постановки завдань. У завданнях даного типу присутні нешаблонні ситуації, що потребують застосування пошукового досвіду, здогадки, кмітливості, проведення складних порівняно зі стандартними задачами міркувань, певних напружень розумової діяльності і творчого підходу. Найчастіше в методичній літературі нестандартні завдання називають творчими [14, 4].

До нестандартних відносять завдання із зайвими даними; недостатніми даними; суперечливими даними; неправильним або незвично сформульованим текстом. Крім того, до нестандартних належать завдання на складання або переформулювання задач. Ці завдання відзначаються тим, що в першому випадку на їх основі необхідно скласти нову задачу, а в другому - основою для складання нової задачі є вже розв'язана або подана готова.

Отже, текстові задачі спрямовані на вдосконалення і поглиблення математичних знань, формування математичних умінь, розвиток творчого і логічного мислення. Вони передбачають поступове ускладнення і достатню кількість завдань для кожної групи учнів і, залежно від рівня навчальної діяльності, виконуються під керівництвом учителя, напівсамостійно чи самостійно.

1.2 Місце задач на рух у системі складених задач

У підручниках для початкових класів є такі задачі, які традиційно називають типовими. До типових належать задачі на знаходження четвертого пропорційного (на спосіб прямого і оберненого зведення до одиниці та спосіб відношень), пропорційне ділення, на знаходження числа за двома різницями, на знаходження середнього арифметичного. Методика розв'язування типових задач принципово не відрізняється від розгляду будь-яких інших задач нового виду, тобто включає підготовку, ознайомлення і розвиток умінь. Проте деякі особливості роботи над типовими задачами необхідно враховувати.

Розв'язування типових задач, пов'язаних з пропорційними величинами, ґрунтується на знанні відповідних зв'язків між величинами. Ознайомлення з величинами проводиться одночасно з розкриттям зв'язків між ними. Зв'язки формулюють у вигляді висновків. Наприклад, якщо відомо швидкість і час, то відстань можна знайти дією множення [20, 51]. Типові задачі мають деякі характерні ознаки, які враховуються на підготовчому етапі роботи. Слід також мати на увазі взаємозв'язки між окремими типовими задачами.

У початкових класах виділяють ще задачі з певним конкретним сюжетом. Це задачі на зустрічний рух, на час, задачі з геометричним змістом. Розглянемо задачі на рух.

Розв'язуванню задач на зустрічний рух передує тривала робота з розв'язування простих та складених задач на знаходження швидкості, часу та відстані. Поняття швидкості вводять на основі життєвого досвіду дітей та безпосередніх практичних дій.

Підготовча робота до розв'язування задач, пов'язаних з рухом, передбачає узагальнення уявлень дітей про рух; ознайомлення з новою величиною - швидкістю, розкриття зв'язків між величинами: швидкість, час, відстань [46, 17].

Під час ознайомлення із швидкістю доцільно так організувати роботу, щоб учні визначили швидкість свого руху пішки. Для цього в дворі, в спортзалі або коридорі можна позначити «замкнуту доріжку», поділивши її на відстані по 10 м, щоб зручніше було визначати шлях, який проходить кожний учень. Учитель пропонує дітям іти доріжкою, наприклад, протягом 4 хв. Учні самостійно легко знайдуть, користуючись десятиметровими позначками, пройдену відстань. На уроці кожен учень може обчислити, яку відстань він проходить за 1 хв. Учитель повідомляє, що відстань, яку пройшов учень за хвилину, називають його швидкістю. Учні називають свої швидкості. Потім учитель називає швидкості деяких видів транспорту. Ці дані учні можуть записати в своїх довідниках і потім використати під час складання задач.

Для формування навичок корисно усно розв'язувати задачі за таблицями. Наводимо зразки таблиць [45, 42].

1) Знайти швидкість

Назва	Швидкість	Час	Відстань
Велосипедист	?	2 год	28 км
Автомобіль	?	3 год	210 км

2) Знайти відстань

Назва	Швидкість	Час	Відстань
Пішохід	5 км/год	4 год	?
Електропоїзд	120 км/год	3 год	?

3) Знайти час

Назва	Швидкість	Час	Відстань
Лижник	13 км/год	?	26 км
Поїзд	60 км/год	?	240 км

4) Знайти невідомі величини

Назва	Швидкість	Час	Відстань
Олень	10 км/год	3 год	?
Акула	36 км/год	?	72 км
Теплохід	?	4 год	280 км

Для узагальнення уявлень дітей про рух корисно провести спеціальну екскурсію для спостереження за рухом транспорту, після чого організувати спостереження в умовах класу, де рух демонструватимуть самі діти. На екскурсії під час роботи в класі простежити за рухом одного тіла і двох тіл одне відносно одного. Так, одне тіло (трамвай, машина, людина тощо) може рухатися швидше і повільніше, може зупинитися, може рухатися по прямій або кривій. Два тіла можуть рухатися назустріч одне одному, і при цьому вони зближуються, можуть рухатися в протилежних напрямах, віддаляючись одне від другого, а можуть рухатися в одному напрямі. Спостерігаючи такі ситуації в умовах класу, треба показати дітям, як будують креслення: відстань позначають відрізком; місце (пункт) відправлення, зустрічі, прибуття тощо позначають або точкою на відрізку і відповідною буквою, або рискою, або прапорцем; напрям руху позначають стрілкою.

Зв'язки між величинами: швидкість, час, відстань - розкривають за такою самою методикою, як і зв'язки між іншими пропорційними величинами. Внаслідок цієї роботи діти повинні засвоїти такі зв'язки: якщо відомі відстань і час руху, то можна знайти швидкість дією ділення; якщо відомі швидкість і час руху, то можна знайти відстань дією множення. Якщо відомі відстань і швидкість, то можна знайти час руху дією ділення [65, 23].

Далі, спираючись на ці знання, діти розв'язуватимуть складені задачі, у тому числі задачі на знаходження четвертого пропорційного, на пропорційне ділення, на знаходження невідомих за двома різницями з величинами: швидкість, час, відстань. Під час роботи над цими задачами треба частіше використовувати ілюстрації у вигляді креслення, бо креслення допомагає правильно уявити життєву ситуацію, відбиту в задачі. Як і в процесі розв'язування задач інших видів, треба пропонувати вправи творчого характеру на перетворення і складання задач.

Під час роботи над задачами на рух можна виділити такі основні поняття, без усвідомлення яких неможливе їх правильне розв'язування.

1. Зустрічний рух:

- швидкість зближення;

- час руху до зустрічі (час зближення), якщо два тіла одночасно (неодночасно) почали рухатися назустріч одне одному з однаковими (неоднаковими) швидкостями.

2. Рух у протилежних напрямках:

- швидкість віддалення;

- час віддалення, якщо два тіла почали одночасно (неодночасно) рухатися з одного пункту у протилежних напрямках з однаковими (різними) швидкостями.

3. Рух в одному напрямі:

- швидкість зближення (віддалення);

- час зближення (віддалення).

4. Рух за течією чи проти течії:

- власна швидкість катера (моторного човна, тощо);

- швидкість катера за течією;

- швидкість катера проти течії;

- швидкість зближення і час зближення, коли катер наздоганяє пліт;

- швидкість зближення і час зближення, коли катер рухається назустріч плоту;

- швидкість віддалення і час віддалення, коли катер і пліт рухаються з одного пункту у протилежних напрямках.

5. Середня швидкість руху:

- середня арифметична величина;

- середня швидкість як середня арифметична величина [41, 25-26].

Після виконання вправ з підручника учні зможуть порівняти швидкості живих істот та різних видів транспорту, зробити чіткі висновки про залежність між величинами: швидкість, час і відстань. Щоб краще школярі розуміли і запам'ятовували, як знайти одну з величин, коли відомі дві інші, сприятиме така схема:

Однак необхідно періодично вимагати від школярів пояснення: чому, щоб знайти час, треба відстань поділити на швидкість; чому, щоб знайти…

Саме при розв'язуванні простих задач, пов'язаних з цими величинами, прийоми складання обернених задач та зміни числових даних певним чином допомагають ознайомити учнів з пропорційною залежністю між величинами.

Спочатку корисно складати і розв'язувати тріади простих взаємно обернених задач, записуючи їх умови в таку таблицю:

	Швидкість	Час	Відстань
1)	60 км/год	3 год	?
2)	?	3 год	180 км
3)	60 км/год	?	180 км

Потім вчителю слід продемонструвати учням, що станеться, якщо одну з величин зафіксувати (не змінювати), а другу збільшити чи зменшити в кілька разів. Умови задач, що порівнюються, записуються одній таблиці.

Корисно також за готовими таблицями складати і розв'язувати задачі усно, а потім проводити бесіди з учнями, порівнюючи умови та відповіді задач [5, 52].

	Швидкість	Час	Відстань
1)	60 км/год	3 год	?
2)	120 км/год	3 год	?
3)	?	3 год	180 км
4)	?	3 год	90 км
5)	60 км/год	6 год	?
6)	30 км/год	?	240 км
7)	60 км/год	?	240 км
8)	?	2 год	240 км
9)	?	8 год	240 км
10)	60 км/год	?	180 км
11)	60 км/год	?	540 км

За таблицею можна провести таку бесіду [41, 26]:

- Чим схожі задачі 1) і 2)? (Час однаковий).

- Чим вони різняться? (Швидкість збільшилась удвічі у задачі 2).

- Порівняйте відповіді, як змінилася відстань? (Відстань збільшилась удвічі).

- Чому так сталося? (Тому, що за кожну годину машина проїжджає більшу відстань).

- Порівняйте задачі 3) і 4). Чим вони схожі? (Однаковий час).

- Чим різняться задачі 3) і 4)? (Відстань зменшилася удвічі в задачі 4).

- Порівняйте відповіді задач. Що сталося зі швидкістю, коли відстань зменшилася удвічі, а час не змінився? (Швидкість теж зменшилася удвічі).

- Чим схожі задачі 1) і 5)? (Швидкості однакові).

- Чим різняться задачі 1) і 5)? (Час у задачі 5) більший удвічі).

- Порівняйте відповіді задач 1) і 5). Як змінилася відстань, коли час удвічі збільшився при тій самій швидкості? (Відстань збільшилася удвічі).

- Чому так сталося? (Тому, що чим довше їде машина, тим більшу відстань проїжджає).

- Чим схожі і чим різняться задачі 7) та 6)? (Відстані однакові, а швидкість збільшилася удвічі).

- Як змінився час? (Зменшився удвічі).

- Як це можна пояснити? (У задачі 6) за кожну годину машина проїжджала 30 км від усієї відстані - 240 км, а у задачі 7) машина удвічі більше проїжджає за годину - 60 км, вона подолає відстань 240 км за час удвічі менший).

- Чим схожі і чим різняться задачі 8) і 9)? (Відстані однакові, а час зріс у 4 рази в задачі 9). Відповіді різні. Швидкість у задачі 9) у 4 рази зменшилася).

- Чому швидкість зменшилася у 4 рази у задачі 9)? (Ту саму відстань 240 км машина подолала за час у 4 рази довший, тобто рухалася у 4 рази повільніше, ніж у задачі 8).

- Чим схожі та чим різняться задачі 10) та 11)? (Швидкості однакові, а відстань більша у 3 рази в задачі 11).

Відповідь - час у задачі 11) зріс також у 3 рази).

- Як пояснити зміну у відповіді? (Якщо швидкість машини не змінилася, то утричі більшу відстань вона зможе подолати за утричі більший час).

Так пропедевтично учні ознайомлюються з прямо пропорційною залежністю між величинами, коли із збільшенням (зменшенням) однієї величини у кілька разів, друга величина збільшується (зменшується) у стільки ж разів, та з обернено пропорційною залежністю між величинами, коли із збільшенням (зменшенням) однієї величини у кілька разів, друга - зменшується (збільшується) у стільки ж разів.

Перед розв'язуванням задач на рух назустріч, в одному напрямку та у протилежних напрямках, корисно нагадати учням завдання з підручника, де потрібно за малюнками знайти, на скільки наближаються чи віддаляються тварини одна від одної за 1 с; за 1 хв. Потім, показуючи малюнки тварин або моделі машин, чи викликавши двох учнів до дошки, учитель демонструє зустрічний рух тіл, або рух у протилежних напрямках, в одному напрямку.

Доцільно запитати у школярів, які дозволені швидкості машин у межах міста; чи може «Таврія» наздогнати «Ладу»; коли швидше віддаляється автомобіль від автобуса, якщо вони починають рухатися з одного пункту в одному напрямку чи в різних, чому так… Проводячи бесіди про безпеку руху, вчитель запрошує батьків-водіїв, щоб вони розповіли дітям про різні випадки зі свого досвіду, як слід враховувати безпечні швидкості машин під час ожеледиці, мряки тощо [15, 19].

На уроках математики вчитель, використовуючи машини-іграшки, підводить дітей до висновку, що коли машини одночасно починають рухатися з одного пункту в протилежних напрямках, то сума їх швидкостей буде швидкістю віддалення. Якщо ж машини рухаються по прямому шляху назустріч, то сума їх швидкостей буде швидкістю зближення.

Після складання відповідних задач вчитель одразу має пояснити, як записувати умову у вигляді графічної схеми, як можна розв'язати задачі двома способами, виявити з учнями більш раціональний спосіб. За задачами проводяться бесіди [24, 78].

Подібні бесіди необхідні також під час першого ознайомлення із задачами на рух у протилежних напрямках та в одному напрямку. Надалі учні зможуть розв'язувати задачі самі з неповним аналізом, називаючи лише те, що потрібно знайти для відповіді на запитання задачі.

Корисно, щоб учитель привчив дітей робити схеми аналітичного або синтетичного способу розбору задач, хоча це не належить до обов'язкових умінь, наведених у програмі з математики для 1-4 класів.

2. Формування умінь учнів розв'язувати задачі на рух

2.1 Аналіз системи задач на рух у початковому курсі математики

Вивчення всіх питань програми з математики пов'язане з розв'язуванням арифметичних задач. З одного боку, вони є важливим засобом формування в учнів математичних понять, запобігаючи формалізму у їх засвоєнні, а з другого боку, посилюють розвивальний ефект вивчення математики, впливаючи на розвиток математичного мислення учнів і їх оволодіння загальними прийомами міркування.

Через задачі передбачається засвоєння елементів арифметичної теорії; зміст арифметичних дій, властивості арифметичних дій взаємозв'язок між результатом і компонентами арифметичних дій, кількісні відношення між числами. За допомогою задач формується уявлення про величини, їх одиниці зв'язок між величинами. Окремою групою виступають задачі з величинами: ціна, кількість, вартість; час, швидкість, відстань; довжина, ширина, площа. Ці задачі сприяють усвідомленню пропорційної залежності між величинами, розширюють пізнавальний досвід дітей, допомагають застосовувати здобуті знання в практичній діяльності [20, 51].

Формування навичок розв'язувати задачі зводиться до планомірного і систематичного опрацювання тих окремих умінь, з яких складається загальне уміння - розв'язувати задачу. Тут передбачено формування вмінь слухати задачу, повторити її детально або своїми словами, визначити відомі і невідомі величини, проаналізувати зміст задачі, зобразити задачу у вигляді малюнка, схеми, правильно здійснити вибір дії для розв'язування задачі та обґрунтувати її, розв'язати задачу, зробивши відповідні записи, перевірити правильність розв'язання.

Також у процесі розв'язування задачі формуються уміння учнів правильно міркувати, висловлювати обґрунтовані судження під час розв'язання задачі і вибору відповідної дії розв'язання. Поряд із розв'язуванням готових задач передбачено навчання учнів складати задачі (за малюнком, за виразом, за коротким записом, за таблицею, за схемою, тощо).

Добір і розподіл задач за класами у програмі з математики здійснено з урахуванням доступності та доцільності для оволодіння математичним змістом. У програмі розроблено відповідні вимоги до кінцевих навчальних результатів згідно з визначеними основними функціями задач.

Відповідно до програми, розробленої Л.І. Кочиною та Н. Листопад [28], у 4 класі учні вивчають складені задачі на 2-4 дії, удосконалюють загальні прийоми розв'язування задач. При цьому учень розв'язує прості задачі на знаходження швидкості руху, відстані, часу; розв'язує задачі на знаходження середнього арифметичного; розв'язує задачі на пропорційне ділення; розв'язує задачі на знаходження невідомого за двома різницями; розв'язує задачі на 2-4 дії, що по-різному скомбіновані із простих задач вивчених видів; уміє складати план розв'язування складеної задачі; записує розв'язання задачі з поясненням і без пояснення; складає задачі за даним рівнянням і виразом; складає вирази для розв'язування задач з буквеними даними. Всі ці етапи та особливості стосуються і розв'язування задач на рух.

У школярів середніх та старших класів виникають чималі труднощі під час розв'язування задач на рух. Однією з причин цього ми вважаємо недостатню сформованість у початкових класах понять про величини: час, відстань, швидкість та пропорційну їх залежність. У молодших школярів необхідні поняття можливо формувати як на матеріалі чинних підручників початкових класів, так і доповнюючи його задачами, складеними на підґрунті типових задач, призначених для учнів середніх класів.

Оскільки предметом дослідження в цій роботі є задачі на рух, то розглянемо, як на практиці використовуються такі задачі вчителями початкових класів. Як відомо, задачі на рух запроваджуються у 4 класі. Вчителі початкових класів, знаючи методику роботи над задачами на рух, далеко не завжди можуть досягнути позитивних результатів у практиці своєї роботи. Причин, які пояснюють даний факт, є декілька.

Вивчаючи це питання, ми провели опитування у школах Тернопільської області. Шляхом спостереження, анкетування, бесід з учителями та учнями ми намагалися з'ясувати стан використання задач на рух в початковій школі, дослідити можливості їх впливу на розвиток учнів, з'ясувати питання готовності вчителів і учнів працювати з такими задачами і причини, що цьому заважають.

Нас цікавили питання:

1) чи вважають учителі доцільним розв'язування задач на рух;

2) чи вважають вони достатньою кількість таких задач, що подані у підручнику для 4 класу;

3) чи відчувають учителі труднощі у розв'язуванні і поясненні учням задач на рух;

4) в якій формі (індивідуальній, фронтальній) організовують роботу з цими задачами;

5) які методи застосовують під час роботи;

6) чи надають допомогу на уроці учням, які виконують завдання самостійно;

7) яка категорія дітей працює самостійно над задачами на рух;

8) яке значення мають такі задачі для учнів початкової школи.

Результати анкетування показали, що фактично усі вчителі початкових класів вважають доцільним і навіть необхідним розв'язування задач на рух (і надають їм великого значення). Адже, на думку вчителів, такі задачі будуть високоефективними у перспективі, оскільки вміння розв'язувати задачі на рух є необхідною умовою особистісного та суспільного розвитку людини.

Основна маса опитаних учителів вважає, що у підручнику з математики для 4 класу кількість задач на рух є недостатньою для досягнення бажаних результатів. Не досить досвідчені учителі відчувають деякі труднощі при поясненні учням особливостей задач на рух. Класоводи надають допомогу учням, які виконують завдання самостійно, а це означає, що недостатньо проведено роботи над задачами або використана досить мала кількість вправ і завдань, і, нарешті, через незнання методики роботи над задачами на рух.

Таким чином, проведений аналіз засвідчує, що в практиці початкової школи проблема використання задач на рух має певні відображення. В роботі над цими задачами і вчителі, і учні відчувають труднощі і потребують методичної допомоги.

Особливий тип задач, які містять опис процесу руху двох тіл, що переміщуються в одному чи різних напрямках, називають задачами на рух. Ці задачі вводяться для опрацювання у 4 класі.

У підручнику з математики для 4 класу спочатку вводяться прості задачі на рух, далі - складені, і нарешті - задачі з типовим конкретним сюжетом: 1) задачі на зустрічний рух; 2) задачі на рух у протилежних напрямках; 3) задачі на рух в одному напрямку. Вивчення задач цього виду є засобом формування у молодших школярів поняття руху, його різновидів та напрямків, а також понять «швидкість», «час» і «відстань». Розв'язуванню задач на рух передує тривала робота з розв'язування простих та складених задач на знаходження швидкості, часу та відстані.

У підручнику з математики для 4 класу (Богданович М.В. Математика: Підручник для 4 кл. чотириріч. поч. шк. - К.: Освіта, 1994. - 226 с.) виділяють такі види задач на рух:

1) задачі на знаходження відстані (№№389, 390, 391, 392, 395, 397, 401, 407, 413, 425, 436, 444, 461, 721);

2) на знаходження швидкості (№№381, 382, 383, 384, 385, 387, 388, 402, 426, 470, 478, 486, 575, 628, 980);

3) на знаходження часу (№№398, 399, 400, 531, 768, 786, 825, 862, 868);

Серед задач на рух у протилежних напрямках виділяють задачі на знаходження відстані (№513), швидкості (№692) і часу (№782).

Серед задач на зустрічний рух виділяють задачі на знаходження відстані (№№605, 606, 609, 615, 752, 930), швидкості (№622) і часу (№№618, 624, 638, 852, 853, 975).

У програмі з математики (авт. Кочина Л.П., Листопад Н.П.) посилання на задачі на рух відсутні, проте ці задачі широко представлені в авторському підручнику. У підручнику з математики для 4 класу (Кочина Л.П., Листопад Н.П. Математика, 4 клас - К.: Літера ЛТД, 2004. - 176 с.) виділяють такі види задач на рух:

1) задачі на знаходження відстані (у розділі 3 - №№33, 34, 103, 109, 141; у розділі 4 - №№37 (1), 272, 284, 285, 287, 297, 298, 300, 313, 314, 316, 324, 329, 334, 340, 341, 379, 388 (1, 2), 394, 395, 408, 409, 415 (2), 422, 523, 549, 580);

2) на знаходження швидкості (у розділі 4 - №№289, 290, 291, 299, 313, 315, 325, 423, 430, 515, 526, 534);

3) на знаходження часу (у розділі 4 - №№286, 307, 308, 309, 313, 388 (2), 403, 584);

У вказаному підручнику, у розділі 4 окремо виділено підрозділ «Швидкість. Час. Відстань», де зосереджена основна кількість задач на рух (№№285-291).

Серед задач на рух у протилежних напрямках виділяють задачі на знаходження відстані (у розділі 4 - №422 (2)), швидкості (у розділі 4 - №423, 430, 515 (2)), проте зовсім нема задач на знаходження часу.

Серед задач на зустрічний рух виділяють задачі на знаходження відстані (у розділі 4 - №№324, 329 (1), 334, 340, 341, 379, 387, 422 (1), 523), швидкості (у розділі 4 - №329 (2, 3), 515 (1)), і також зовсім нема задач на знаходження часу.

На нашу думку, система задач на рух в обох підручниках з математики для 4 класу не є бездоганною. В чинному підручнику з математик (авт. Л. Кочина) спостерігається диспропорційність у кількості задач на рух в одному і протилежних напрямках (останніх значно менше).

У підручнику з математики (авт. М. Богданович) простих задач і задач на дві дії достатня кількість. Задач на рух у протилежних напрямках теж досить. А задач на рух в одному напрямку є лише одна, та ще й з трьома запитаннями. Тому, на нашу думку, не варто було включати в систему задач на рух задачу цього виду. Слід було б запропонувати або достатню кількість задач на рух в одному напрямку (коли два рухомі об'єкти вирушили одночасно з різними швидкостями, або коли один рухомий об'єкт наздоганяє іншого). І варто було б розглянути всі взаємообернені задачі цього виду (задачі, де невідома відстань; невідома одна з швидкостей; невідомий час руху до зустрічі). З метою усунення даних недоліків ми доповнили систему задач на рух задачами з інших джерел (див. параграф 2.3).