До 40-х рр. 19 ст. висновки динамічної моделі, об'єктами якої були видимі планети, ввійшли в суперечність з накопиченими на той час спостереженнями.

Рух Урана, що спостерігався, ухилявся від теоретично обчисленого руху. У. Левер'є в 1846 р. доповнив систему планет, що спостерігаються, новою гіпотетичною планетою, яку назвав Нептуном, і, користуючись новою математичною моделлю Сонячної системи, визначив масу і закон руху нової планети так, що у новій системі суперечності щодо руху Урана було знято. Планету Нептун було відкрито в місці, визначеному У. Левер'є.

Аналогічним методом, використовуючи розбіжності в теоретичній траєкторії Нептуна і траєкторії, що спостерігалася, у 1930 р. було відкрито планету Плутон.

Метод математичного моделювання, що зводить дослідження явищ зовнішнього світу до математичних задач, займає провідне місце серед інших методів дослідження, особливо в зв'язку з появою ЕОМ.

Він дає змогу проектувати нові технічні засоби, що працюють в оптимальних режимах, для розв'язування складних задач науки і техніки; проектувати нові явища.

Математичні моделі виявили себе як важливий засіб керування. Вони застосовуються в різних галузях знань, стали необхідним апаратом в економічному плануванні та є важливим елементом автоматизованих систем керування.

1.5 Задачі на відсоткові розрахунки

Основними задачами на відсотки є:

1. знаходження відсотка від даного числа;

2. знаходження числа за його відсотком;

3. знаходження відсоткового відношення двох чисел;

4. відсоткові обчислення, які пов'язані з фінансовими операціями.

З першими трьома видами задач ви добре ознайомлені. Розглянемо прикладні задачі четвертого виду. У процесі їх розв'язування використовують спеціальні назви величин:

- грошова сума, внесена до ощадного банку, називається початковим капіталом (сумою);

- число, яке показує, на скільки відсотків збільшується (зменшується) початковий капітал за один рік, називається відсотковою таксою;

- прибуток, одержаний через рік з початкового капіталу, називається відсотковими грішми, або простими відсотками;

- суму початкового капіталу разом з відсотковими грішми називають нарощеним капіталом.

Задача 1. Щомісячна оплата за радіо становить 4 гри. Абонент прострочив оплату на 25 днів.

Яку суму він має сплатити, якщо за кожний прострочений день нараховується пеня у розмірі 1%?

Розв'язання. Відсоткові гроші становлять: ·1·25 (грн.).

Загальна сума (нарощене число) оплати через 25 днів разом з пенею становить: 4 += 4 + 1 = 5 (грн.).

Задача 2. У банк, що виплачує 16% річних, покладено 600 грн..

У яку суму перетвориться цей вклад через 2 роки?

Розв'язання. Відсоткові гроші за рік становитимуть:

*16 = 96 (грн.)

Нарощений капітал через рік становитиме:

600 + 600 * 0,16 = 600 * (1 + 0,16) = 600 * 1,16 (грн.),

через два роки:

600 · 1,16 += 600 * 1,16 * (1 + 0,16) = 600 * 1,16²=807,36 (грн.).

Величини, що використовуються у таких задачах, позначають:

1. початковий капітал а₀;

2. відсоткова такса р %;

3. час обігу грошей у банку t;

4. відсоткові гроші ;

5. нарощений капітал

Якщо відсотки нараховують від початкового капіталу, то вони називаються простими (див. задачу 1).

Якщо відсотки нараховують від нарощеного капіталу, то вони називаються складними (див. задачу 2).

Складними відсотками, як правило, користуються при фінансових розрахунках, при підрахунку народонаселення, оцінці якісних змін у рослинному або тваринному світі тощо.

Розрізняють такі чотири види задач на відсоткові обчислення, пов'язані з фінансовими операціями:

1. знаходження відсоткових грошей Р;

2. знаходження відсоткової такси р%;

3. знаходження часу t;

4. знаходження початкового капіталу а₀.

За означенням відсоткова такса показує, що за один рік відсоткові гроші становлять початкового капіталу.

Звідси маємо, що початковий капітал а₀ гривень за рік дає таку величину відсоткових грошей: ·=(грн.).

За t років відсоткові гроші з того ж капіталу і при тій же відсотковій таксі зростають у t разів. Звідси:

= . (1)

За формулою простих відсотків можна знайти будь-яку з чотирьох величин за даними значеннями трьох решти.

Зазначимо, що у формулі (1) час t має бути виражений у роках. Якщо ж у задачі час виражений у місяцях і днях, то їх потрібно попередньо перевести в роки.

Замінюючи через його значення, дістанемо:

= а₀ +. (2)

Формули (1), (2) є моделями прикладних задач. Користуючись ними, можемо розв'язати будь-яку задачу на прості відсотки.

Задача 3. На якій термін банк надав позику в розмірі 4800 грн., якщо, повертаючи кредит, позичальник сплатив 9150 грн., а річна відсоткова такса дорівнює 25 %?

Розв'язання. Розв'яжемо цю задачу за формулою (2):

= 9150, а₀ = 4880, р = 25 %.

9150 = 4880 · ( 1 + );

= ;

= .

4880t = 17080, t = 3,5 (роки).

Розглянемо задачі на знаходження складних відсотків.

Задача 4. Продуктивність праці на заводі щороку збільшується на однакову кількість відсотків.

За три роки вона зросла на 33,1 %. На скільки відсотків щороку збільшувалася продуктивність праці?

Розв'язання. Нехай продуктивність праці спочатку дорівнює а₀ і щороку збільшується на р%, тому через рік продуктивність праці збільшилась на · і становить :

= а₀ + = а₀ (1 +).

Через два роки продуктивність праці дорівнюватиме:

= а₁+ = а₁ (1 +) = а₀ (1 +),

А через 3 роки :

= а₂+ = а₂ (1 +) = а₀ (1 +).

Аналогічно через t років:

= а₀ (1 +). (3)

Формула (3) - модель прикладних задач на складні відсотки. Користуючись нею, можемо розв'язувати задачі на знаходження:

1) нарощеного капіталу ;

2) початкового капіталу а_0;

3) відсоткової такси р;

4) відсоткових грошей із формули = а₀ +_.

Складними відсотками користуються при банківських розрахунках. Якщо деяка сума грошей а₀ зберігається протягом певного часу при нарахуванні р відсотків річних, то через t років з урахуванням нарощеного капіталу її значення обчислюється за формулою (3).

1.6 Абсолютна і відносна похибка наближеного значення числа

Значення чисел, якими користуються у практичних розрахунках, бувають точними і наближеними.

Причини появи наближених значень чисел і величин можуть бути різними: неточність методу розв'язування; обмеженість можливостей вимірювальних прикладів тощо. Наприклад, коли кажуть, що відстань від Києва до Чигирина - 220 км, то значення цієї величини не є точним.

Наближені значення отримують також в результаті обчислень, округлень чисел тощо. Наприклад, наближене значення довжини діагоналі прямокутника зі сторонами 5 м і 4 м дорівнює 6,4 м. Його одержали внаслідок округлення числа = ·1,4 є наближеним значенням числа , а 3,14 - наближене значення числа .

Внаслідок округлення отримуємо наближене значення, яке може виявитися більшим (округлення з надлишком.) або меншим (округлення з недостачею) від точного значення.

Наприклад:

а) = 0,333... = 0,33 - округлили з недостачею;

б) = 0,666... = 0,67 - округлили з надлишком;

в) = 6,4031242... = 6,4 - округлили з недостачею;

г) = 0,8333….=0,8 - округлили з недостачею.

Щоб дізнатися, наскільки наближене значення числа відрізняється від точного значення, треба від його точного значення відняти наближене.

Наприклад:

а) - 0,33 = - = = ;

б) - 0,67 = - = = -.

Знак різниці вказує на те, як узято наближене значення - з надлишком чи з недостачею. Різницю між точним значенням числа і його наближеним значенням називають похибкою наближеного значення.

Важливо знати модуль (або, як кажуть, абсолютне значення) цієї різниці, що вказує на відхилення наближеного значення від точного.

Модуль похибки наближеного значення числа називають абсолютною похибкою наближеного значення числа.

Наприклад:

а) = = ;

б) = = .

Постає запитання: як оцінити точність наближеного значення числа або величини?

Передусім важливо назвати число, яке не перевищує абсолютна похибка. На прикладі вимірювання довжини відрізка АВ = а можна показати, що абсолютна похибка наближеного значення довжини не перевищує похибки наближення = 1 см. Проте це груба оцінка. Можна дати точнішу оцінку: = 0,1 см. Це означає, що абсолютна похибка наближеного значення 5,3 довжини x не перевищує 0,1.

0,1.

Будь-яке число h, яке не менше від абсолютної похибки наближеного значення а числа x, називається межею абсолютної похибки наближеного значення а числа x.

З означення межі похибки випливає, що вона визначається неоднозначно. Наприклад, якщо площа квадрата становить 2 , то довжина його сторони дорівнює дм. Число незручне для використання. Залежно від потреб точності при розв'язуванні задачі число замінюють одним із наступних чисел: 1,4 (з недостачею) або 1,5 (з надлишком).

У першому випадку межею похибки може бути число:

0,015 з точністю до тисячних, де 0,015,

0,02 з точністю до сотих, де 0,02.

У другому випадку межею похибки може бути число:

0,09 з точністю до сотих, де 0,09,

0,1 з точністю до десятих, де 0,1.

У тих випадках, коли відома похибка (дельта) наближеного значення а числа або величини x, межею похибки вважають абсолютну похибку.

Якщо абсолютна похибка наближеного значення а числа або величини x не перевищує деякого числа h, то кажуть, що а є наближеним значенням x з точністю до h, і записують x = a h.

Чи завжди межа похибки є достатнім показником точності наближень?

Так результат вимірювання будь-якого предмета відрізняється від його справжньої довжини на 0,1 см. Чи можемо сказати, що ця точність достатня?

Звичайно, що ні. Усе залежить від величини значення вимірювальної довжини предмета.

Відносна похибка - відношення абсолютної похибки наближення до модуля наближеного значення числа чи величини.

Отже, якщо наближене значення числа чи величини x дорівнює а і абсолютна похибка не перевищує числа h, тобто x = a h, то відносна похибка не перевищує .

1.7 Дії над наближеними значеннями чисел

Обчислення з наближеними даними використовуються у процесі розв'язування практичних задач. При цьому результат обчислень, як правило, округлюють. У математичних таблицях і довідниках наближені значення записують так, щоб похибка не перевищувала одиниці останнього розряду. У таких випадках кажуть, що число записане правильними цифрами.

Цифра будь-якого розряду із запису наближеного значення числа називається правильною, якщо абсолютна похибка наближення не перевищує одиниці цього розряду.

Наприклад, у таблиці густина р поліетилену дорівнює 0,92 г/см³.

Абсолютна похибка менша або дорівнює 0,01, тобто р = 0,92 ±0,01. Тоді у записі 0,92 усі цифри правильні, бо абсолютна похибка наближення їх не перевищує.

Нехай х = 312,4 ±0,2. Тоді цифри 3, 1 і 2 правильні, а цифра 4 не є правильною, бо абсолютна похибка 0,2 перевищує 0,1.

Розглянемо, як виконуються округлення при додаванні, відніманні, множенні й діленні наближених значень, у записах яких усі цифри правильні.

Знайдемо наближене значення суми х + у, якщо відомо, що х ~ 6,54 з точністю до 0,01; у ~ 8,3 з точністю до 0,1.

Додамо наближені значення 6,54 і 8,3:

х + у 14,84.

Оцінимо точність наближеного значення:

6,54 - 0,01 х 6,54 + 0,01,

8,3 - 0,1 у 8,3 + 0,1,

14,84 - 0,11 х + у 14,84 + 0,11;

14,73 х + у 14,95 або х + у = 14,84 ± 0,11.

Аналогічно можна виконувати дії віднімання, множення та ділення з урахуванням похибок. Проте такий спосіб обчислення використовують, якщо потрібна висока точність. В інших випадках користуються правилом підрахунку цифр.

Нагадаємо, що десятковими знаками числа називають всі його цифри, що стоять праворуч від коми.

Наприклад:

а) число 13,6 має один десятковий знак;

б) число 4,05 має два десяткових знаки.

Значущими цифрами числа називають всі його цифри, починаючи з першої (вона має бути відмінною від нуля), крім нулів, що стоять в кінці запису числа на місці невідомих або відкинутих при округленні цифр.

Наприклад:

а) число 3,6 має дві значущі цифри;

б) число 0,0409 має три значущі цифри;

в) число 47000, утворене внаслідок округлення, наприклад, 47135

до тисяч, має дві значущі цифри.

Нехай відомі наближені значення х = 4,62 і у = 2,3. Позначимо перші відкинуті при їх округленні цифри знаком «?»: х = 4,62?; у = 2,3?. Знайдемо суму і різницю наближених значень:

4,62? 4,62?

2,3? 2,3?

6,9?? 2,3??

Як бачимо, при обчисленні суми і різниці наближених значень чисел у результаті треба зберігати стільки десяткових знаків, скільки їх має те із даних чисел, у якого найменша кількість десяткових знаків.

При множенні і діленні наближених значень чисел у результаті слід зберігати стільки значущих цифр, скільки їх має число з найменшою кількістю значущих цифр.

1.8 Перші відомості про статистику

Математичну статистику як один з розділів прикладної математики започаткував швейцарський математик Я. Бернуллі (1654-1705). Значних результатів у цій царині досяг також відомий український математик В. Буняковський (1804-1899). Видатний математик народився в містечку Бар на Вінниччині. Після навчання у Парижі Віктор Буняковський працював професором у Петербурзі. Він автор понад 100 наукових праць, написаних в основному французькою мовою. Був почесним членом всіх університетів Російської імперії, віце-президентом Академії наук, головним експертом уряду з питань статистики і страхування.

Математична статистика - це розділ математики, який присвячений методам збору, обробки, систематизації різних статистичних даних та їх використання для наукових і практичних висновків.

Під статистичними даними розуміють сукупність чисел, які дають кількісну характеристику ознак певних об'єктів та явищ, що нас цікавлять. Статистичні дані отримують в результаті дослідів, спостережень. Першим кроком статистичного дослідження є спостереження, збирання даних, які можуть бути: суцільними і несуцільними.

Спостереження є суцільним, якщо обстежують ознаки всіх одиниць сукупності. Прикладом може бути медичне обстеження населення у зв'язку з епідемією. Спостереження є несуцільним, якщо обстежуються ознаки окремих одиниць сукупності. Найбільш поширеним видом несуцільного спостереження є вибіркове спостереження. Його застосовують тоді, коли в сукупність входить дуже велике число об'єктів або спостереження пов'язане із руйнуванням об'єктів, або воно вимагає великих затрат. У таких випадках зі всієї сукупності вибирають обмежене число об'єктів і вивчають їх. Відібрану для спостереження сукупність об'єктів називають вибірковою сукупністю, або просто вибіркою.

Сукупність всіх об'єктів, над якими проводять спостереження (дослідження), називають генеральною сукупністю.

Кількість об'єктів сукупності (вибіркової або генеральної) називають об'ємом сукупності.

Наприклад, якщо із 800 деталей відібрано для дослідження 80 деталей, то об'єм генеральної сукупності дорівнює 800, а об'єм вибірки п = 80.

Результатом першого етапу статистичного дослідження є не упорядкований набір чисел, записаних дослідником у порядку їх надходження. Наприклад, економіст, аналізуючи тарифні розряди працівників одного із цехів заводу, вибрав документи 20 робітників і виписав з них послідовність чисел, що вказують на тарифні розряди (кваліфікацію робітників): 4, 4, 3, 2, 5, 2, 3, 5, 4, 3, 3, 2, 5, 4, 5, 4, 6, 3, 4, 5. Ці статистичні дані являють собою вибірку, яка піддається обробці.

На другому етапі статистичного дослідження, який називають зведенням, упорядковують і узагальнюють статистичні дані, згруповують їх і на цій основі дають узагальнену характеристику сукупності. У даному прикладі, розмістивши статистичні дані у порядку зростання розряду кваліфікації робітників, дістанемо статистичний ряд із 20 чисел: 2, 2, 2, З, З, З, З, З, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6.

Ці зведені дані про кваліфікацію робітників можна подати у вигляді статистичної таблиці розподілу вибірки. Розглянутий статистичний ряд розділено на 5 груп. Числа = 2, = 3, = 4, = 5, = 6 є значеннями ознаки кожної групи робітників. їх називають варіантами. А послідовність варіант 2,3, 4, 5, 6 - варіаційним рядом. Числа, які показують, скільки разів повторювалося кожне значення ознаки сукупності, називають частотами. Так, частота варіанти дорівнює 3, варіанти х₂ - 5, варіанти - 6, варіанти х₄ - 5, варіанти - 1. Відношення частоти до об'єму вибірки називають відносною частотою. Зокрема, у поданому прикладі відносна частота робітників 2-го розряду становить = 15%; 3-го розряду - = 25% і т.д.

2. Досвід роботи з даної теми

2.1 Розробка уроку на тему «Відсоткові розрахунки»

Тема: Відсотки.

Мета: повторити найпростіші задачі на відсотки і способи їх розв'язування.

Хід уроку:

I. Організаційний момент.

II. Актуалізація опорних знань.

1. Що таке пропорція?

2. Яка основна властивість пропорції?

3. Як знайти невідомий середній член пропорції, крайній член пропорції?

4. Що таке відсоток?

5. Складіть вирази для розв'язування задач 1-3.

Задача 1. Путівка в санаторій коштує 600 грн. Службовець купує путівку за 30 % її вартості. Скільки грошей він має заплатити?

Розв'язання:

600 грн. - 100 %,

х грн. - 30 %,

=, x = .

Задача 2. Службовець купив у профспілці путівку в санаторій за 30 % вартості і заплатив при цьому 180 грн. Скільки коштує путівка?

Розв'язання:

х грн. - 100 %,

180 грн. - 30 %,

= ; x = .

Задача 3. Путівка в санаторій коштує 600 грн. Службовець заплатив за неї 180 грн. Який відсоток вартості путівки він заплатив?

Розв'язання:

600 грн. - 100 %,

180 грн. - x %,

=, x = .

6. До якого типу задач на відсотки відносяться запропоновані задачі 1-3?

Відповідь:

Задача 1 - знаходження відсотків від даного числа;

Задача 2 - знаходження числа за відсотком;

Задача 3 - знаходження відсоткового відношення двох чисел.

ІІІ. Розв'язування задач.

(Номери задач вказано за підручником: Бевз Г.П. Алгебра: Проб, підруч. для 7-9 кл. серед, шк. - 3-тє вид. - К.: Освіта, 2001.)

323. 3 молока виходить 25 % вершків, а з вершків - 20 % масла. Скільки треба мати молока, щоб одержати 10 кг масла?

Розв'язання:

1) Вершки х кг. - 100%,

масло 10 кг - 20 %,

x = = 50 (кг) - треба вершків.

2) Молоко у кг - 100 %,

вершки 50 кг - 25 %,

y = = 200 (кг) - треба молока.

Відповідь. 200 кг.

321. Бронза - сплав міді і олова. Скільки відсотків міді у бронзовому злитку, який містить 17 кг міді і 3 кг олова?

Розв'язання:

Маса злитку 17 + 3 = 20 (кг).

Сплав 20 кг - 100 %,

мідь 17 кг - х %,

x = = 85.

Відповідь: 85 % міді.

325. Яблука під час сушіння втрачають 84 % своєї маси. Скільки свіжих яблук треба висушити, щоб мати 40 кг сушених?

Розв'язання

Вода - 84 %,

Свіжі яблука х кг - 100 %,

сушені яблука 40 кг - 16 %,

x = = 250.

Відповідь: 250 кг.

У деяких задачах на відсотки йдеться про збільшення або зменшення величини на кілька відсотків. Для їх розв'язування треба чітко розуміти, від якої саме величини беруться відсотки. Наприклад, якщо йдеться про кількаразове підвищення ціни на будь-який товар, то слід розуміти, що кожен раз відсотки беруться від останнього значення ціни. Інакше можна потрапити в скрутне становище математичного софізму.

Приклад. Переглядаючи науково-популярний журнал, учень натрапив на повідомлення про різні вдосконалення парової машини, кожне з яких незалежно від інших давало значну економію пального. Перше вдосконалення - 40 %, друге - 35 %, третє - 25 % економії.

- Ура! - вигукнув учень. - Нарешті винайдено вічний двигун. Прийнявши всі три пропозиції, отримаємо 100 % економії пального:

40 % + 35 % + 25 % = 100 %.

У чому помилка учня?

Розв'язання:

Нехай для роботи парової машини було потрібно х л пального.

Після першого вдосконалення, яке дає 40 % економії пального, тобто 0,4х л, паровій машині вже треба буде використати x - 0,4x = 0,6x (л).

Друге вдосконалення дає економію 35 % пального, а тому для використання залишається 100 % - 35 % = 65 % пального. Ці 65 % будемо знаходити від 0,6х літрів:

0,6х * 0,65 = 0,39х (л) пального буде потрібно паровій машині після другого вдосконалення.

Після третього вдосконалення, яке дає економію 25 %, парова машина використовує 75 % пального вже від 0,39х л, тобто маємо:

0,39х * 0,75==0,2925х(л).

Отже, від початкової кількості х л після трьох удосконалень парова машина буде використовувати лише 0,2925х л пального. Тобто економія становитиме:

x - 0,2925х= 0,7075х(л), а це лише 70,75 %, а не 100 %.

328. Ціна на автомобіль спочатку підвищилась на 20 %, а потім знизилась на 20 %. Як змінилась ціна на автомобіль після цих двох переоцінок?

Розв'язання:

Початкова ціна х грн., ціна після підвищення - 1,2хгрн. - 100 %, ціна після зниження у грн. - 80 %.

1) y = = 0,96 (грн.).

2) x - 0,96x = 0,04х (грн.), що становить 4 %.

Відповідь: Ціна знизилася на 4 %.

326. В одному мішку борошна на 25 % більше, ніж у другому. На скільки відсотків у другому мішку борошна менше, ніж у першому?

Розв'язання:

І мішок х кг - у %,

ІІ мішок 1,25х кг - 100%.

1) y = = 80(%) від маси І мішка становить ІІ мішка.

2) 100 - 80 = 20(%).

Відповідь: На 20 %.

330. Об'єм робіт на будівництві збільшився на 50 %, а продуктивність праці - на 20 %. Як змінилось число робітників?

Розв'язання:

Характеристики	Обсяг роботи	Продуктивність праці	Кількість робітників
Було	x	y
Стало	1,5x	1,2y	= 1.25

Отже, кількість робітників зросла на 1,25 - 1 = 0,25, тобто на 25 %.

Відповідь: Кількість робітників зросла на 25 %.

IV. Підсумок уроку.

V. Домашнє завдання. § 66, задачі 320, 322, 324, 327, 329

2.2 Розробка уроку на тему «Математичне моделювання»

Мета: ввести поняття математичного моделювання; розглянути загальну задачу математичного моделювання, проілюструвати її прикладами; розвивати логічне мислення, інтерес до вивчення математики.

Тип уроку: урок засвоєння нових знань.

Обладнання: картки для роботи в групах, вислови про математику, портрет М. Кравчука, моделі геометричних тіл, малюнки, схеми.

Хід уроку:

Один учень на дошці записує розв'язання домашньої задачі, інші - перевіряють його правильність.

Задача. Учень читав книгу. Починаючи з другого дня, він читав на одну й ту саму кількість сторінок більше, ніж попереднього.

За скільки днів учень прочитав 210 сторінок, якщо першого дня він прочитав 12 сторінок, а останнього - 30 сторінок?

Розв'язання:

Кількість сторінок, що читав учень щодня, утворює арифметичну прогресію, перший член якої дорівнює 12, а останній - З0. Кількість прочитаних сторінок - це сума всіх членів прогресії, яка дорівнює 210, n - кількість днів. Маємо:

=, 210 = , звідси n = 10.

Відповідь: 10 днів.

Мотивація навчальної діяльності:

Учитель. Математика здавна має репутацію найточнішої галузі знань і є надійним знаряддям для розкриття таємниць природи. Близько 1800 р. до н.е. давньоєгипетський писар Ахмес переписав з більш раннього рукопису присвячений математиці папірус. Він починався красномовною обіцянкою навчити «досконалого і ґрунтовного дослідження всіх речей, розуміння їхньої суті, пізнання всіх таємниць...».

Зрозуміло, що можливості математики тих часів були обмеженими. У папірусі Ахмеса, наприклад, розкривалися лише таємниці лічби, обчислень з дробами виду і алгоритмів розв'язування задач, які не виходять за межі сучасної дев'ятирічної школи. Але вже тоді математика виявила риси, характерні для всієї її багатовікової історії. Якась нестримна сила штовхала перших «колумбів математики» розв'язувати задачі, досягати точності обчислень, яка набагато перевищувала потреби практики. Людина формувала математичні поняття, створювала цілі теорії, щоб розв'язувати конкретні практичні задачі.

Математика пройшла довгий і складний шлях, перед тим як стати могутньою, надзвичайно розгалуженою галуззю теоретичних знань.

Як же математики, оперуючи абстрактними поняттями, можуть так ефективно вивчати глибинні закономірності навколишньої дійсності? Математики справді не вивчають живі організми, тверді тіла, рідини, гази, елементарні частинки, планети або галактики. Вони створюють математичні моделі досліджуваних об'єктів і відношень між ними. Наприклад, геометрія Евкліда, яку вивчають в школі, є математичною моделлю навколишнього тривимірного простору. Реальним об'єктам простору зіставляються математичні абстракції, які відображають певні властивості реальних фізичних об'єктів, - точки, відрізки, прямі й інші плоскі та просторові геометричні фігури.

Вивчення нового матеріалу:

1. Математична модель.

Учитель. Повернемося до задачі з домашнього завдання:

- Про які поняття йдеться в задачі? (Нематематичні поняття - книга, сторінки.)

- Яким методом розв'язали цю задачу? (Математичним, використавши формулу суми членів арифметичної прогресії.)

- Чи існують у навколишньому світі математичні об'єкти? (Реально не існують. Усі вони створені людським розумом у процесі історичного розвитку людини та існують лише в уяві й у тих знаках і символах, які утворюють математичну мову.

Об'єкт - це те, що є предметом розгляду (вивчення, впливу). Математичні об'єкти - це ідеальні об'єкти, які відображають (описують) реальні об'єкти.

Задачі поділяють на математичні та прикладні.

Математичні задачі - це задачі, в яких об'єктами є математичні об'єкти (фігури, числа). Прикладні задачі - це задачі, умови яких містять нематематичні поняття. (Або це задачі, в яких об'єктами є реально існуючі об'єкти.)

(Пропонуємо учням придумати дві задачі: математичну та прикладну. У кожній з них треба назвати об'єкти, що розглядаються.)

Розв'язуючи прикладну задачу математичними методами, спочатку створюють її математичну модель.

Із поняттям «модель» (modele - зразок, копія) ви зустрічалися, розглядаючи моделі літака, автомобіля, піраміди, кулі тощо. Основна властивість кожної моделі полягає в тому, що вона відображає найсуттєвіші властивості оригіналу. Математична модель - це опис якогось реального об'єкта або процесу мовою математичних понять, формул, рівнянь тощо, що є записами законів природи, які керують досліджуваним об'єктом чи явищем.

2. Історична довідка.

Учень. Існує ціла наука - прикладна математика, їй уже кілька тисячоліть. Учені Стародавнього Єгипту обчислювали площі полів, об'єми приміщень тощо, уся математика тоді була прикладною.

У V-IV ст. до н.е. в Греції почала створюватися теоретична (чиста) математика.

Значний вклад у розвиток прикладної математики вніс український математик Михайло Кравчук - академік Всеукраїнської академії наук, її вчений секретар, якого у 1938 році безпідставно репресували й заслали на Колиму, де він і загинув. (Демонструється портрет М.Кравчука.)

3. Приклади математичних моделей.

Задача 1. Скільки дошок потрібно, щоб настелити підлогу в кімнаті довжиною 9 м і шириною 5 м, якщо довжина дошки'6 м, а ширина 0,25 м? Обговорення умови

1) Дана задача є математичною чи прикладною?

2) Назвіть об'єкти даної задачі. Вони математичні чи реальні?

3) Переформулюйте прикладну задачу в геометричну і розв'яжіть її. Що для цього потрібно зробити? Накресліть геометричну модель до задачі.

Розв'язання

Поверхня підлоги кімнати має форму прямокутника. Знайдемо його площу S =9·5=45 (м²). Оскільки дошка також має форму прямокутника, то її площа:

S =6·0,25=1,5 (м²).

Кількість дошок х дорівнює:

х = 45 : 1,5 = З0.

Відповідь. 30 дошок.

Учитель. Розв'язування будь-якої прикладної задачі математичними методами здійснюється в три етапи:

1) формулюємо задачу мовою математики, тобто будуємо математичну модель;

2) розв'язуємо одержану математичну задачу;

3) записуємо математичний розв'язок мовою, якою була сформульована початкова задача.

Розрізняють математичні моделі першого і другого роду. До моделей першого роду належать графіки, графи, схеми, числові таблиці, різні кібернетичні моделі. Абстрактніший характер мають надзвичайно важливі для теоретичних досліджень і практики моделі другого роду - рівняння, нерівності та їхні системи.

4. Застосування математичного моделювання.

Учитель. 1) Розглянемо, як одне й те саме рівняння може відображати перебіг різних процесів.

Трьом групам учнів класу треба скласти математичні моделі до таких прикладних задач.

1. Як можна розміняти 1 грн. на монети по 2 к. і 5к.?

(Нехай х і у - кількість відповідно дво- і п'яти копійкових монет, тоді 2х + 5у = 100.)

2. Два автомобілі перевезли за день 82 т зерна. Вантажність одного автомобіля 8 т, а другого - 6 т. Скільки рейсів могли зробити автомобілі?

(Нехай один автомобіль зробив х рейсів, а другий - у рейсів, тоді 8x + 6у = 82.)

3. У швейному цеху є 38 м тканини. На пошиття піжами потрібно 4 м тканини, а на халат - 3 м. Скільки можна пошити піжам і халатів?

(Нехай х та у - відповідно кількість піжам і халатів. Тоді 4х + Зу = 38.)

Як бачимо, всі три задачі мають спільну математичну модель - рівняння виду ах + bу = с.

Розв'язування задач:

У першому завданні треба лише скласти математичну модель до задачі; другу задачу слід розв'язати, попередньо склавши її математичну модель.

Учнів об'єднують у три групи. Троє учнів (по одному від кожної групи) працюють біля дошки.

Завдання для першої групи:

1. Обчисліть об'єм кімнати, якщо її довжина 12,3 м, ширина 8,3 м, висота 4,3 м.

Відповідь: V = 12,3·8,3·4,3.

2. У кінозалі 360 місць. У кожному ряді місць на 2 більше, ніж рядів у залі. Скільки рядів у залі і скільки місць у кожному ряді?

Розв'язання:

Нехай у кінозалі х рядів, а в кожному ряді у місць. Маємо систему:

xy = 360,

у - x = 2,

Відповідь: 18 рядів, 20 місць.

Завдання для другої групи

1. Учень купив кілька зошитів по 80 к. і витратив менше, ніж 3 грн. Скільки зошитів він міг купити?

Відповідь: 80х < 300, де х - кількість зошитів.

2. Кубики викладено у рядки так, що у верхньому рядку 3 кубики, а в кожному нижчому - на 2 більше, ніж у рядку над ним. Усього 10 рядків. Скільки кубиків у всіх десяти рядках?

Розв'язання:

Кількість кубиків у рядках утворює арифметичну прогресію, у якої = 3, d= 2. Кількість усіх кубиків - це сума десяти перших членів прогресії. Тоді:

Відповідь: 120 кубиків.

Завдання для третьої групи:

1. Одна друкарка може надрукувати рукопис за 3 год., а друга - за 5 год. За скільки годин вони надрукують рукопис разом?

Відповідь: , де х - час роботи.

2. Інфузорії-туфельки розмножуються поділом на дві частини. Скільки утвориться інфузорій з однієї після шести поділів?

Розв'язання:

Кількість інфузорій після кожного поділу утворює геометричну прогресію, у якої = 1, = 2. Кількість інфузорій після шести поділів - це 7-й член прогресії: = ·= 1 * 2⁶ = 64.

Відповідь. 64 інфузорії.

Застосування математичного моделювання у прогнозуванні фізичних явищ та об'єктів:

Учитель. Математика дає змогу описати досить широке коло фактів і спостережень, провести їх детальний аналіз, передбачити, як поводитиме себе об'єкт у різних умовах, тобто спрогнозувати результати майбутніх спостережень. Історія математики знає чимало прикладів, коли в межах удало побудованої математичної моделі за допомогою обчислень, як кажуть «на кінчику пера», вдалося передбачити існування нових фізичних об'єктів.

Учениця. Французький астроном Урбен Левер'є (1811-1877), досліджуючи неправильності в русі планети Уран, тобто відхилення траєкторії планети від тієї, яку вона повинна була б мати за законом всесвітнього тяжіння, висловив припущення про вплив на її рух невідомої планети. Левер'є відправив берлінському астроному Галле (1812-1910) листа, в якому писав: «Скеруйте ваш телескоп у точку екліптики в сузір'ї Водолія на довготі 326°, і ви знайдете в межах 1° від цього місця нову планету з помітним диском, яка має вигляд зірки приблизно дев'ятої величини». Галле отримав листа 23.9.1864 р., у першу ж ніч скерував свій телескоп у вказане Левер'є місце небосхилу і на відстані лише 52' від нього побачив невідому планету.

Незалежно від Левер'є таке саме передбачення зробив і Джон Адамс (1819-1892). Цей день увійшов в історію науки як день величного тріумфу небесної механіки і математики. З безодні космосу астроном побачив слабкий відблиск диска планети, яку математик «бачив», не поглянувши на небо, за письмовим столом, побачив на основі математичних розрахунків. її назвали Нептуном. Більше того, формули видали вченому характеристики орбіти зауранової планети, її масу і відстань від Сонця.

За допомогою математичних обчислень американський астроном Персиваль Ловелл (1855-1916) у 1915 р. довів існування в Сонячній системі дев'ятої планети і розрахував її орбіту. Через 15 років Клайд Томбо за вказівкою Ловелла відшукав візуально і найвіддаленішу планету Сонячної системи, яку назвали Плутоном. Є легенда, шо Арістотель (384-322 рр. до н.е.) помер з відчаю, не зумівши пояснити морські припливи. Ісааку Ньютону (1643-1727) потрібно було на це кілька сторінок у «Математичних началах натуральної філософії», де він застосував відкритий ним математичний аналіз і три закони Кеплера. А Галілео Галілей (1564-1642) на основі закону всесвітнього тяжіння розрахував час повернення до Сонця комети, і вона, як за розкладом, у квітні 1759 р. справді повернулася.

Підсумок уроку:

Учитель. Кожна модель зберігає лише важливе для дослідження даного об'єкта і тому ніби очищає, вивільняє потрібну нам інформацію від безлічі інших характеристик, які в даному випадку нас не цікавлять. Тому потрібна інформація фіксується, так би мовити, в чистому вигляді, що дає можливість відразу побачити закономірності, які нас цікавлять, і навіть виявити такі, які поза математичною моделлю залишалися б прихованими, нерозкритими.

Учені, які вміли читати закодовану в моделях інформацію, робили визначні відкриття «на кінчику пера». Рівняння чи нерівності щедро розкривали їм таємниці глибинних закономірностей природи, дарували нові елементарні частинки, планети, чорні дірки, квазари й інші загадкові об'єкти реальної дійсності і відношення між ними.

На уроці з'ясували, як математична модель виникає із реальної задачі і як отримує свій подальший розвиток; ознайомились з тим, як математична модель може бути придатна для класу конкретних задач, а також із застосуванням математичних моделей у різних галузях науки і техніки.

Домашнє завдання:

П.1, № 760, 764 - А; № 767, 768 - Б (за підручником [1]).

Висновки

Прикладна спрямованість навчання математики формує в учнів розуміння математики, як методу пізнання та перетворення оточуючого світу, який має розглядатися не тільки областю застосувань математики, а й невичерпним джерелом нових математичних ідей. Навчання математичного моделювання, застосування математичних знань до розв'язування задач прикладного змісту, що виникають поза межами математики і розв'язуються математичними методами, сприяє зміцненню мотивації навчання, системності, дієвості, гнучкості знань, стимулює пізнавальні інтереси учнів. Різним аспектам реалізації практичної і прикладної спрямованості навчання математики в школі присвячені роботи Адигозалова А. С., Алексюка А.М., Бермана В.П., Бугаєвої М. О., Варданяна С.С., Величка Є.П., Возняка Г.М., Гусева В.О., Горошка Ю. В., Закарлюк Л.І., Колягіна Ю.М., Короткової Л.М., Ігнатенка М.Я., Маланюка М.П., Пікан В.В., Рижика В.І., Соколенко Л.В., Слєпкань З.І., Терешина Н.А., Шапіро І.М., та ін.. Проблема посилення прикладної спрямованості навчання математики в основній школі, інноваційний характер введеної навчальної практики учнів загальноосвітніх навчальних закладів, відсутність навчально-методичного забезпечення для проведення предметної практики з математики, як комплексної позаурочної форми навчання в умовах запровадження освітніх стандартів та особистісного спрямування шкільної освіти базового рівня й обумовили вибір теми курсової роботи: «Прикладна спрямованість шкільного курсу математики». У педагогічних дослідженнях прикладну спрямованість математики розуміють як змістовний та методологічний зв'язок шкільного курсу з практикою, що передбачає формування в учнів умінь, необхідних для розв'язування засобами математики практичних задач. Поставлені перед школою завдання щодо поєднання навчання з подальшою продуктивною працею, підвищення ефективності навчання можуть бути реалізовані за умови зміни відношення педагогів до навчального процесу.

Рівень і якість шкільної математичної освіти можна поліпшити підсиленням її прикладного, практичного та політехнічного спрямування. Прикладне спрямування включає вміння учнів засобами математики досліджувати реальні явища, складати математичні моделі задач та спів ставляти знайдені результати з реальними. Практичне спрямування шкільного курсу математики передбачає формування в учнів умінь використовувати здобуті знання під час вивчення як самої математики, так і інших дисциплін. Політехнічне спрямування передбачає використання математичних знань для пояснення виробничих циклів, процесів обслуговування та керування, полегшення вивчення інших предметів (фізики, хімії, креслення, трудового навчання тощо).Відомо, що ефективним є також навчання, яке в єдності з вихованням забезпечує активізацію мислення учнів і свідоме засвоєння ними системи наукових знань, спонукає у них бажання та потребу в цих знаннях і викликає інтерес до предмета, допомагає розвитку здібностей кожного учня, розвиває вміння та навички застосовувати отримані знання на практиці, а також самостійно здобувати ці знання. Підвищенню ефективності навчання математики сприяє розв'язування задач практичного змісту. Звернення до прикладів із життя і навколишньої дійсності полегшує вчителю організацію цілеспрямованої навчальної діяльності учнів.

Існує необхідність так організовувати вивчення математики, щоб воно було корисним і водночас захоплюючим, цікавим. А це можливо шляхом подолання надмірної абстракції, через розкриття ролі математики в пізнанні навколишнього світу, через інтеграцію з іншими шкільними предметами та формування у такий спосіб цілісного, гармонійного світосприйняття дитини.

Прикладна задача повинна задовольняти такі умови:

1) питання задачі формулюється так, як воно зазвичай формулюється у житті;

2) розв'язок задачі має практичну значимість;

3) дані та шукані величини задачі мають бути реальними, взятими з життя.

Прикладна задача - це задача, що виникла поза математикою, але розв'язується математичними засобами.

Кожна прикладна задача виконує різні функції, що за певних умов виступають явно або приховано.

Список використаної літератури

1. Кравчук В., Підручна М., Янченко Г. Алгебра: Проб, підруч. для 9 кл. серед, шк. - Тернопіль: Підручники і посібники, 2003.

2. Бевз Г.П. Алгебра: Підручник для 7 - 9 кл. серед. шк. - К.: Освіта, 1996.

3. Возняк Г., Возняк О. Прикладні задачі: від теорії до практики. - Тернопіль: Мандрівець, 2003.

4. Бевз Г.П. Алгебра: Підручник для 9 кл. серед. шк. - К.: Освіта, 2006.

5. Конфорович А.Г. Реальність і логіка математичних моделей // У світі математики. - Випуск 12. - К.: Рад. шк., 1981. - С. 58-77.

6. Стерневська Т. Математичне моделювання // Математика - 2006, №11 - С. 7-11.

7. Глущенко Л. Задачі на відсотки // Математика - 2008, №23 - С.5-22.

8. Литвин Н.М. Відсоткові розрахунки // Математика - 2005, №8 - С. 6-7.

9. Слєпкань З.І. Методика навчання математики. - К.: Зодіак ЕКО, 2000. - С. 120-124.

Размещено на Allbest.ru