Мысленный эксперимент в структуре геометрического доказательства

Размещено на http://www.allbest.ru/

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

Мысленный эксперимент в структуре геометрического доказательства



Оглавление

Введение

Глава 1. Мысленный эксперимент в структуре научно-теоретического рассуждения

1.1 Мысленный эксперимент в концепции В.С. Библера.

1.2 Мысленный эксперимент в теории развивающего обучения Давыдова В.В.

Глава 2. Мысленный эксперимент в геометрии

2.1 Структура геометрического объекта.

2.2 Роль мысленного эксперимента в структуре геометрического доказательства

Глава 3. Построение геометрического доказательства школьных теорем с использованием мысленного эксперимента.

3.1 Теорема о средней линии трапеции

3.2 Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

3.3 Теорема о сумме углов треугольника

Заключение

Список литературы



Введение

Мысленный эксперимент, оформившийся в XX веке в действенный метод получения новых теоретических знаний, до настоящего времени успешно применялся в естествознании. Классическим примером мысленного эксперимента является рассуждение Галилея при формулировании «принципа инерции» или рассуждение Больцмана, введшего понятие «демона Максвелла».

При этом мысленный эксперимент понимался как научный метод «сложных» естественных наук, наук с развитым теоретическим аппаратом, например, таких как физика. В отношении математики, мысленный эксперимент не рассматривался, что объяснимо высокой степенью абстракции и идеализованностью ее объектов.

Черняк В.С., анализируя систему «Начал» Евклида в работе «История. Логика. Наука» [19], одним из первых выдвинул гипотезу о возможности выделения мысленных экспериментов в ее структуре геометрических рассуждений. Он предложил рассматривать «предложения «Начал» Евклида как мысленные эксперименты», «как результат некоторых конструктивных операций, посредством которых из элементарных абстрактных объектов - точки, прямой, окружности, плоскости - строятся более сложные конструктивные объекты» [19, с.316].

И. Лакатос, в работе «Доказательство и опровержения» высказывает мысль о том, что суть любого доказательства в математике - это мысленный эксперимент, а формой, в которой осуществляется мысленный эксперимент, является доказательство: «Доказательство тогда доказывает, когда оно протекает как мысленный эксперимент» [12, с.59].

Ольшевская Н.А., определив мысленный эксперимент как основной метод появления и развития научно-геометрических понятий, указывает: «Связь трансценденции с математической системой определений, теорем и дедуктивных доказательств, описывающих геометрические объекты, осуществляются посредством мысленного эксперимента» [14,с.27].

Аронов А.М. и Минеев В.Г. использовали понятие мысленного эксперимента, показав возможность решения некоторых школьных математических задач с использованием процедуры мысленного эксперимента [1, 13].

Нам представляется актуальным выделение мысленного эксперимента, как важного компонента структуры геометрического доказательства. Мы считаем, что мысленный эксперимент присутствует в структуре геометрических рассуждений и может быть специально использован при обучении на уроках геометрии.

В настоящий момент, в традиционных учебниках геометрии Погорелова А.В. [15] и Атанасяна Л.С. [3], большая часть теорем доказывается по принципу: известно то-то и то-то, отсюда следует это, а из этого вытекает необходимое нам утверждение. Очевидно, что при таком подходе: «ученику остается непонятным, откуда взялась идея доказательства» [6,с.14]. Доказательство: «при таком подходе не мотивировано, а это собственно и подтверждает понятие ученика о геометрии как о чём-то, что можно только выучить, но нельзя понять» [11,с.28].

Это, конечно же, является негативным фактом, ведь геометрия - это не только наука о практическом измерении геометрических фигур и изучении их свойств, но и, по мнению Бычкова С.Н - особая предметная область, способствующая зарождению и становлению особого дедуктивного способа рассуждения [7,8].

Бычков В.С., анализируя статью Колмогорова А.Н. «Математика» [10], не соглашается с идеей автора о том, что практика общественных споров могла быть достаточным основанием для появления дедуктивного метода. Он считает, что: «подлинный источник идеи аксиоматического способа рассуждений находится в области, специфическое содержание которой способно породить из себя идеи аксиоматики такой наукой может быть только геометрия» [8, с.6].

Именно связь дедуктивной логики и мысленного эксперимента способствует получению новых геометрических знаний (теорем) с последующим их формально-дедуктивным обоснованием. Это хорошо согласовывается с логикой построения основного (систематического) курса геометрии, где: «опираясь на простейшие дедуктивные обоснования и навыки работы с геометрическими объектами, сформированные в пропедевтическом курсе геометрии, как на истинные суждения, выводится более широкий набор геометрических знаний» [2, с.82-83]. Таким образом, мысленный эксперимент получает статус метода получения новых геометрических знаний.

Структуру мысленного эксперимента необходимо переложить на структуру доказательства школьных геометрических теорем. Данная работа представляет собой часть этого процесса - а именно «конструирование» доказательств таких теорем с использованием мысленного эксперимента.

Цель дипломной работы - «сконструировать» доказательства некоторых школьных геометрических теорем, используя структуру мысленного эксперимента.

Объект: формулировки некоторых школьных геометрических теорем.

Предмет: «конструирование» доказательств школьных геометрических теорем с использованием метода мысленного эксперимента.

Гипотеза: Школьные теоремы геометрии можно доказывать, используя понятие о мысленном эксперименте.

Такая постановка цели и гипотезы дипломной работы требует решения следующих задач:

1. Описать структуру мысленного эксперимента;

2. Обозначить особенность геометрического объекта как идеальной конструкции;

3. Обозначить роль мысленного эксперимента в геометрии.

Дипломная работа состоит из введения, трех глав и заключения.

В первой главе дипломной работы описывается структура мысленного эксперимента, обращаясь к работам Библера В.С и Давыдова В.В.

Во второй главе обозначается структура геометрического объекта с позиции представителей деятельностного подхода и роль мысленного эксперимента в геометрии.

В третьей главе приводятся «сконструированные» доказательства некоторых школьных геометрических теорем с использованием структуры мысленного эксперимента.

В заключении сделаны выводы о результатах проделанной работы.

В конце дипломной работы приводится список используемой литературы, содержащий 19 источников.



Глава 1. Мысленный эксперимент в структуре научно-теоретического рассуждения

1.1 Мысленный эксперимент в концепции В.С. Библера

Анализ понятия мысленный эксперимент содержится в книге В.С. Библера «Мышление как творчество (Введение в логику мысленного диалога)» [4], а также - в его статье «Творческое мышление как предмет логики (Проблемы и перспективы)» [5].

Автор выступил против стандартного подхода к логическому мышлению как системе приёмов и операций, сводящему движение мысли к операционному алгоритму. Алгоритмы задают стандартные способы выполнения действий с помощью правил, а также - саму последовательность операций, точное выполнение которых гарантирует решение задач. В результате мышление протекает не как процесс познания, а - в форме операций. Логика, трактованная как операционалистика, есть автоматизированная формальная логика.

Автор обращает внимание на тот факт, что новая теория не выводится из старой, а также - из новых экспериментальных фактов. Новая теория всегда возникает в точке логического изобретения. Следовательно, сведение мысли к операционному алгоритму является неадекватным изображением процесса познания.

Изобретение новых понятий, идей, новых теорий, по Библеру, характерно только для творческого мышления. Автор считает, что развитие научно-теоретического, творческого мышления возможно лишь в деятельности людей. Библер пишет: «…одновременное бытие одного - познаваемого, изменяемого - предмета в двух формах (в форме объекта идеализации и в форме идеализованного предмета) и есть исходное определение мышления, которое коренится в самом «неделимом ядре» практической деятельности человека» [4, с. 368].

Библер не согласен и с традиционной точкой зрения на творческое мышление, как на процесс исключительно интуитивный (подсознательный, алогичный). Трактовка интуитивного движения мысли сводится к следующему: в одном случае - это мгновенность перехода от незнания к знанию с отсутствием логической цепочки, в другом - открытие происходит с помощью посторонних ассоциаций во время поездки за город и т.п., в третьем - это неожиданное видение сути вещей. Во всех случаях интуиция объясняется подсознанием, бессознательностью деятельности.

Библер считает, что научное творчество может быть понято как творчество человека в его цельности: «…в единстве его теоретических, эстетических, эмоциональных, физических способностей» [5, с. 186]. В творческой деятельности в любой области знания действует универсальный человек - общественный субъект, личность, поэтому процесс познания не может быть осуществлён ни исключительно рассудком (операционным алгоритмом), ни бессознательно (одной интуицией).

Автор утверждает, что творческое мышление есть логический процесс, протекающий в движении мысленных экспериментов: «… в 20 веке… особенное понятие «мысленного эксперимента» получает всеобщее логическое значение …это не специфический «приём» исследовательской работы физика, но определение сути каждого живого понятия, каждого акта умственной деятельности» [5, с. 196].

Библер делает и более категоричный вывод: «Есть основания утверждать, что понимание научно-теоретического творчества как логического процесса возможно, больше того, что закономерности творческого мышления лежат в основе любого логического движения» [5, с. 167]. В движении мысленных экспериментов, по Библеру, формируется не формальная, а содержательная логика, которая отражает процессы развития, внутренних противоречий явлений, перехода одного явления в другое.

Мысленный эксперимент у Библера должен начинаться с внутреннего противоречия, которое способствует парадоксальному самообоснованию понятия. Он должен протекать в форме диалога, как основы творческого мышления, но диалога мысленного - внутреннего, воплощенного во внутренней речи.

Мысленный диалог - это не только столкновение противоположных логик мышления, но и проявление богатейших логических возможностей познания. Библер пишет: «Понять (и развить) язык теоретического текста как язык самообоснования (самоотнесения понятий) означает понять (и развить) этот один язык как некое двуязычие, как речь внутреннего (внутри единой теории) диалога, в котором осуществляется взаимообращение текстов, их полифония, контрапункт, а не просто сосуществование» [4, с. 41].

Творческое мышление всегда имеет предмет мысли. Без предмета нет мысли. Предмет мысли - это объект, включённый в познавательную деятельность субъекта. Предмет мысли представлен в форме идеализированного предмета. В мысленном эксперименте он помещается в идеальные, изобретённые ситуации, для выявления его логических возможностей, поскольку Библер считает, что: «…собственно логическим движением обладает именно предмет мысли (и мысль как предмет), а не чисто субъективная активность по отношению к этому предмету» [5, с. 193].

Библер рассматривает предмет в генезисе и его будущих вероятностных состояниях. Настоящее, прошлое и будущее - это три логических измерения, которые должны быть поняты как «квазиодновременные состояния», в совокупности, дающие логический объём идеализированного предмета: «Прошлое - причина бытия предмета, настоящее - решающий логический статут, будущее включается логически в настоящее, предмет уже обладает своими будущими состояниями. Именно виртуальные состояния предмета и дают - логически - образ мира как целого, замыкающегося на себя в точке этого предмета» [4, с. 194-195].

Внутри теоретического движения возникает понятие, которое является формой существования предмета. В мысленном эксперименте у Библера понятия-определения не существует, есть понятие-трансформация (понятие как процесс), в котором рассматривается прошлое (генезис), настоящее и будущее предмета мысли и его превращение в другой предмет. «Определить понятие…означает определить результаты процесса мысли» [5, с. 191].

Библер считает, что сутью любого развивающегося понятия является «тождество предметности и категориальности», т.е. в понятии предмет понимается, объясняется (тем самым выявляется его содержание). «Понимание и составляет отличие мысли от представления. Будущие возможности предмета вполне можно представить, но повернуть их на предмет, как он есть, возможно, только понимая, осмысливая, возможно в понятии» [4, с. 367-368].

Процесс образования и развития математических понятий имеет свою специфику. Имеет место не только абстрагирование (выделение существенного), но и добавление основных свойств объекта, добавление новых элементов к идеализированному предмету (например, отрезок можно продолжать неограниченно в обе стороны).

Автор отмечает особенность геометрических понятий, основанных на модельных образах. Развитие понятия в геометрии должно быть построено на преобразовании геометрического образа. Геометрический метод, как синтетический, способствует охвату целого в мысленном эксперименте. Библер делает вывод о том, что понятия: «…возникают путём коренной трансформации исходных понятий и …имеют логически обосновывающий и аксиоматический статут” [4, с. 321].

В мысленном эксперименте при мысленной переделке предмета с изменением его формы одновременно изменяется и содержание мысли - понятие. Таким образом, предмет мысли выступает как форма познания, а понятие - как содержание познания.

Развитие и превращение понятий, логическая их связь осуществляются в конструктивной деятельности. Библер отмечает необходимость создания определённых условий и идеальной среды в конструктивной деятельности и описывает способы конструирования (например, бесконечно большая или бесконечно малая количественная трансформация предмета).

Библер считает, что в математике конструктивная деятельность в мысленных экспериментах имеет огромное значение. Конструирование научных понятий осуществляется путём выполнения дополнительных условий: добавлением новых элементов к предмету.

Таким образом, в мысленном эксперименте, при мысленной переделке предмета с изменением его формы одновременно изменяется и содержание мысли - понятие. Предмет мысли выступает как форма познания, а понятие - как содержание познания.

В книге «Мышление как творчество» [4] Библер сосредотачивается на фигуре Галилея. Мышление Галилея он рассматривает как: «…новую форму внутритеоретического диалога» [4, с. 284]. Объяснимо это тем, в истории науки одно из первых и весьма продуктивных осуществлений мысленного эксперимента было сделано Галилеем.

Рассматривая эмпирические обобщения опытных фактов движения, Галилей построил мысленную модель - движение по наклонной плоскости. Такая модель возникла в результате абстрагирования от множества условий, определяющих разнообразие реальных движений (движение различных тел, с различными начальными условиями, траекториями, в различных средах и т.п.). Собственно наклон плоскости является обобщением многообразных «сил», функция которых в реальных ситуациях - препятствовать или способствовать движению. Наклон вниз соответствует ускоряющим «силам», а наклон вверх - замеляющим.

Так как в данной модели наклон плоскости «содержит в себе» все силы, влияющие на движущееся тело, то переход к горизонтальной плоскости представляет собой случай, когда на движущееся тело действие каких-либо сил не происходит. Следовательно, ничто не может ускорить или замедлить движение тела по горизонтальной плоскости.

«В результате данного МЭ стало возможным появление понятий инертности и, далее массы и силы, которые легли в основание классической механики» [16, с. 11]. Невозможно получить закон инерции: «…непосредственно из эксперимента, - фиксирует Энштейн - его можно вывести лишь умозрительно - мышлением, связанным с наблюдением» [16,с.11].

1.2 Мысленный эксперимент в теории развивающего обучения Давыдова В.В

В процессе исторического развития первоначально возникает предметно-чувственный эксперимент, а затем - мысленный эксперимент.

Давыдов пишет: «Теоретическое мышление осуществляется в основном в плане мысленного эксперимента, для которого характерно выполнение человеком такого мыслительного действия, как планирование» [9, с. 69].

Давыдов считает, что планирование - составная часть любой деятельности. Автор пишет: «В каждой деятельности процессу получения её предметного результата предшествует возникновение потребности в этом предмете, внутреннего его образа или цели, которые позволяют человеку в идеальном плане предвидеть, предусмотреть и опробовать» [9, с. 34].

Автор фактически отождествляет понятия «мысленный эксперимент» и «содержательное планирование»: «…планирование иногда называется «внутренним планом действий» или мысленным экспериментированием» [9, с. 328].

Давыдов выделяет главную особенность содержательного планирования, которая заключается в поиске и построении системы возможных действий учащихся при решении задачи. Дети должны отыскать общий способ решения конкретных задач (операция анализа), анализировать выполненные действия, планировать дальнейшие ходы решения и графическую запись. Принцип «от общего к частному» при планировании и решении учебной задачи свидетельствует о принадлежности операции мысленного эксперимента к теоретическому мышлению.

Мысленный эксперимент тесно связан с другими мыслительными действиями теоретического мышления: с содержательным анализом и рефлексией. Все эти три действия (рефлексия, анализ и мысленное планирование) возникают у школьников младшего возраста на основе учебной деятельности и являются основными психологическими новообразованиями. Анализ лежит в основе выявления существенного отношения, в то же время эта операция сочетается с планированием.

Давыдов пишет: «…выполнение учебного действия, направленного на построение системы частных задач на основе общего способа их решения, предполагает содержательное планирование детьми этого действия. Например, ребёнок осуществляет такое планирование, когда, опираясь на общую буквенную формулу однозначной зависимости математических величин, находит возможные варианты частных сюжетных задач» [9, с. 329].

Содержательное планирование осуществляется с помощью оперирования знаками. Знаки (искусственные средства мышления) позволяют человеку создать модели объектов и планировать пути решения задач. Давыдов пишет: «…знаково-символические схемы позволяют детям совместно планировать свои действия и контролировать их выполнение… выполняя поочерёдно то планирование, то контроль за ним, учащиеся с помощью этих схем могли удерживать обе цели внутри сложного совместного действия. По мере его освоения происходило свёртывание планирования, и отпадала необходимость внешнего контроля за ним со стороны другого ученика: наблюдалось слияние планирования и контроля в одном индивидуальном действии - рефлексивном контроле» [9, с. 223].

Давыдов отмечает, что знаковое опосредствование возможно при понимании человеком значения знака. Значение знака может существовать только в сложной знаковой системе связей. И знак, и его значение неразрывно связаны с мыслительными действиями человека и проявляются через них. Все знаковые системы (формы языка, синтаксического строя, логические категории и т.д.) - есть формы общественного развития.

Мысленный эксперимент осуществляется в форме понятия и через понятие. Давыдов пишет: «Понятие выступает здесь как такая форма мыслительной деятельности, посредством которой воспроизводятся идеализованный предмет и система его связей, отражается в своём единстве всеобщность, сущность движения материального объекта» [9,с. 62]. Следовательно, понятие мысленный эксперимент одновременно является и формой отражения материального объекта, и средством его мысленного построения, раскрытия сущности.

Давыдов в своей работе выделяет три особенности мысленного эксперимента, отмеченные Библером:

1. Предмет познания мысленно перемещается в такие условия, в которых его сущность может раскрыться с особой определённостью;

2. Этот предмет становится объектом последующих мысленных трансформаций;

3. В этом же эксперименте мысленно формируется та среда, та система связей, в которую помещается этот предмет; лишь в этой особой среде находит свое раскрытие его содержание.

По мнению Давыдова: «Эти особенности мысленного эксперимента составляют базу теоретического мышления, оперирующего не представлениями, а собственно понятиями» [9, с. 62].

Мысленные действия по построению и преобразованию предмета раскрывают его сущность и помогают объяснить и понять этот предмет. Любая вещь (предмет) не просто изменяется, но и переходит «в своё другое». Мысленный эксперимент выявляет генезис предмета, его развитие и переход в другой предмет, тем самым, раскрывая всеобщие связи явлений.

мысленный эксперимент геометрический доказательство



Глава 2. Мысленный эксперимент в геометрии

2.2 Структура геометрического объекта

Будем рассматривать структуру геометрического объекта с позиции представителя деятельностного подхода - Розина В.М., который проводит логическую реконструкцию происхождения предмета геометрии, исходя из того, что первые предметы математики (арифметика, геометрия) возникли и формировались с разрешением затруднений в производственной деятельности. Это связанно с тем, что подобная методология «…является базовой схемой развивающего обучения» [2, с 34-35].

Такая реконструкция возможна при использовании метода псевдо-генетического анализа, позволяющая основываясь на выбранном эмпирическом материале выстроить логику последовательного развития геометрического объекта и выделить его структуру.

Основной принцип этого метода заключается в том, что: «…начинать анализ некоторого развивающегося объекта нужно с более простых, первичных состояний. Затем необходимо перейти к последующим, более сложным состояниям объект, используя результаты, полученные на предшествующих этапах анализа. Именно таким пошаговым движением нужно дойти до того уровня развития объекта, относительно которого стоит задача исследования». [18, с. 206]. При этом необходим обратный процесс - проводить анализ составляющих и элементов объекта, строение которого проще, чем сам объект.

Используя псевдо-генетический метод, Розиным В.М был выделен один из возможных вариантов происхождения и развития предмета геометрии, включающий две стадии идеализации.

Первую стадию идеализации предмета геометрии он разбивает на два этапа:

1. Начальный этап, связанный с введением особых (семиотических) объектов (таких как зерно, гряда), которые заменяют разрушающийся элемент производственной деятельности, и операций, осуществляемых с ними, превращением семиотических объектов в знаковые образования (число, рисунки полей с числами). «Иногда затруднения в производстве требуют построения специфических знаковых средств» [18, с. 302].

2. Второй этап, характеризующийся тем, что на основе знаковых средств, обслуживающих производственную деятельность, складывается мыслительная деятельность, лежащая целиком в знаковой плоскости и связанная, в частности, «…с построения в знаковой плоскости одних мыслительных процедур с одними объектами на основе других процедур с другими объектами» [18, с. 303-304]. Например, таким образом, строились алгоритмы вычислений трапециидальных и треугольных полей на основе алгоритмов вычислений прямоугольных полей.

Следующая стадия идеализации связанна с историческим процессом трансляции знания, отделенного от производственной деятельности, в другую культуру (Др. Греции). Но такой процесс имеет более широкий деятельностный разворот.

«Переход от египетской «пред-геометрии» к античной…содержит включение «знаниевых» структур геометрической практики в качестве материала... в иной класс задач, имеющих не практическое, а скорее, религиозное и эпистемологическое происхождение, связанное с формами духовности, характерными для античного сознания» [2, с. 35]. Исследование такого перехода делает возможным моделирование структуры геометрического объекта.

Ермаков С.В. в статье «Генезис структуры математического доказательства» [2, с. 34-41], ссылаясь на результаты анализа структуры полиса, проделанный античными авторами и современными исследователями истории математики, указал на то, что его первоочередным содержанием было «…собирание жизни сообщества в смысловое целое, в котором всякое отдельное действие, событие… не существуют сами по себе, но опосредованы включением в это целое, наделяющие их смыслом» [2, с. 36].

Любое такое действие выстраивается и сорганизовывается из соображений «уместности» и «полноты», что позволяет говорить о принципиальной открытости греческого духа новому содержанию.

Таким содержанием для грека, является текст, содержащий информацию и работающий в практической ситуации, скрытой от постороннего. Применительно к геометрии такой текст - прежде всего чертеж, являющийся для египетского землемера скорее вспомогательным средством, удачно имитирующим производимые действия на земле и позволяющим сэкономить некие ресурсы.

Но для грека именно изображение на чертеже есть то, с чем он сталкивается и видит, что действия землемера над этим изображением приводят к успешному практическому завершению. В определенном смысле происходит «переворачивание» ситуации: «…поскольку он [грек] считает источником успеха объект, изображенный на чертеже» [2, с. 37].

Такая переинтерпретация позволяет удерживать связь между пространственной формой на чертеже и пространственной формой на земле. Позволяет выстроить иную («…где нет ничего, кроме безразличного геометрии материала» [2, с. 37]) ситуацию, в которой эта пространственная форма «…принадлежит действительности геометрического действия…отделенной от изображающего ее чертежа и понятой как самостоятельный объект» [2, с. 37]. А это уже, по сути, является представлением о том, что геометрическая форма есть идеальная форма реальных объектов.

Понимая геометрический объект как изображение чего-то реального, древним грекам остается понять это реальное как исчерпывающую возможность «…быть изображенным в определенной связи с другими изображениями» [2, с.40].

Чертеж становится изображением пространственной структуры безотносительно к тому, структурой какой реальной вещи, изображенной на чертеже, она является. Тем самым чертеж фактически изображает некоторую пустую форму, единственным качеством которой является внутренняя упорядоченность.

Всякий знак, всякое изображение на таком чертеже, есть изображение самого себя. Но, включаясь в определенный порядок, они выстраиваются на чертеже во всей своей собранности, проявляющейся в том целом, в котором они существуют в определенном месте геометрического пространства. И сам этот порядок приобретает содержание знака, позволяющего удерживать различные конфигурации как тождественные, находя в них сходные структуры.

«Тем самым порядок пространственного расположения приобретает статус чего-то отдельного, что логически не зависит ни от какой пространственной реализации, но делает все реализации зависящими от него …поскольку он выступает прообразом для их реализации, для видения и выстраивания…он выступает «чистой видностью», «эйдосом», «идеальным», но идеальным, понятым не натурально, а представленным как действующее начало, которое реализуется в разных материалах и лучшим материалом для которого, не добавляющим к «видности» ничего…является геометрическое представление» [2, с.41].

Итак, геометрическая модель, построенная в псевдо-генетической логике и в системе деятельностного подхода, представляет собой структуру, состоящую из идеальной формы - эйдоса, его знакового воплощения - чертежного изображения фигуры и действия по изменению и проверке внутренней целостности, связности и соответствию идеальной составляющей с ее реальным воплощением в геометрическом объекте.

2.2 Роль мысленного эксперимента в структуре геометрического доказательства

«Мысленный эксперимент …совершается посредством специально сконструированных идеальных объектов, которые не существуют натурально» [17]. Поскольку мы определили геометрический объект, как идеальную сущность реальной составляющей вещи, то любое действие по изменению и преобразованию такого объекта можно было бы рассматривать как мысленный эксперимент. В этом смысле в геометрии: «…мысленный эксперимент …нельзя выделить, как отдельную деятельность…она является …переходом от представления математического объекта - эйдоса, идеи к формально-логической структуре математической теории» [14, с. 20].

Результаты такого мысленного эксперимента должны: «…приобрести теоретическое значение» [17], выражаемое в теоремах геометрии, аксиоматическое построение которой требует их «жесткого» доказательства, согласно канонам дедуктивной логики.

Мысленный эксперимент присутствует в самом геометрическом объекте, он неотделим от него. Ведь понимание таких основных геометрических понятий, как «точка», «прямая» уже требует идеализации и абстрагирования, а последующее их «собирание» в геометрическую фигуру - мысленного конструирования. Дальнейшее оперирование такими мысленными конструкциями приводят к появлению различных фактов - геометрических теорем.

«В процессе открытия геометрических истин [теорем] несомненно использовались индукция и мысленный эксперимент…Возникновение собственно научной геометрии связанно с дедуктивной логикой, выступающей в форме анализа и синтеза, причем анализ применялся не только как метод доказательства, но и как метод открытия теорем» [19, с. 363].

Анализируя аксиоматическое построение «Начал», Черняк пишет о двойственной роли евклидовых аксиом: с одной стороны аксиомы предоставляют собой логические правила вывода, с другой - аксиомы являются общими правилами или законами геометрической конструкции. Они задают руководящие принципы (например, принцип равенства), без которых невозможно решать задачи на построение. «Отсюда …предположение, что геометрия в своей предаксиоматической, интуитивной стадии использовало то, что впоследствии было названо аксиомами, в качестве интуитивно ясных принципов конструкции» [19, с. 317].

Такой подход Черняка к евклидовым «Началам» можно назвать «конструктивно-экспериментальным», где любое конструирование геометрической фигуры - есть мысленный эксперимент (см. введение, с.3). «Мысленный эксперимент имеет дело с идеализированными схемами эмпирического опыта, а его основной метод состоит в производстве различного рода вариаций, позволяющих мысленно обозреть все возможные случаи» [19, с. 353] - пишет Черняк.

По его мнению, греки отвергли экспериментальный способ обоснования геометрии потому, что его идея была несовместима с духом греческой науки и философии. Ведь мысленный эксперимент подразумевает движение (в воображении), а оно: «…есть нечто вторичное, оно предполагает материю, хотя и «интеллигибельную»» [19, с. 361]. Вычерчивание же линий на папирусе, песке или бумаге, есть уже чувственное подобие движения в фантазии.

Все что возникает подвержено изменению и исчезновению, а это противоречило представлениям греков о неизменности истинного знания. Воззрение древних было такого, что они презирали эксперимент и верили, что бытие можно познать посредством чистого мышления. «Посредством чувственного восприятия нельзя знать общее…ибо чувственно необходимо воспринимается отдельное, между тем как научное знание есть познание общего» [19, с. 361].

Исходя из выше изложенного, можно предположить, что мысленный эксперимент является своего рода «средой» существования геометрического объекта, где роль особых условий выполняют аксиомы, а внутренняя упорядоченность его «элементов» - роль системы связей. Конструирование геометрического объекта и оперирование с ним в такой «среде» ведет к открытию геометрического факта - теоремы.

В структуре геометрического доказательства практически всегда используются такие конструкции, как «дополнительные построения», выражаемые в словах типа: «проведем - достроим - поместим». После чего, используя дедуктивные рассуждения, выводится доказываемый факт. В таких «дополнительных построениях» по сути, свернут акт мысленного эксперимента, позволяющего схватить идею открытия теоремы, а значит и идею доказательства.

В современных учебниках по геометрии (Погорелов, Атанасян) идеи таких «дополнительных построений» не раскрываются, а их необходимость понимается лишь только тогда, когда доказательство теоремы завершено.

«Сконструировав» открытие теоремы как некоторого мысленного эксперимента с геометрической фигурой и изложив ее доказательство с использованием выделенной Библером, и отмеченной Давыдовым, структуры мысленного эксперимента (см. с. 24), мы предполагаем, что у школьника может произойти оформление «для себя» идеи формально-дедуктивного доказательства теоремы.

Таким образом, мысленный эксперимент получает статус метода открытия геометрических теорем, позволяющий схватить в целом идею открытия. Последующее же формально-дедуктивное доказательство уже не представляется чем-то «туманным» и не очень понятным. Оно необходимо для избежания наглядно-чувственного восприятия доказательства теоремы и его идея содержится в ее «открытии», в ее «конструировании» как мысленного эксперимента с идеальной геометрической фигурой.



Глава 3. Построение геометрического доказательства школьных теорем с использованием мысленного эксперимента

3.1 Теорема о средней линии трапеции

Рассмотрим теорему о средней линии трапеции. Эта теорема по-разному представлена в школьных учебниках геометрии под авторством Погорелова А.В. и Атанасяна Л.С. В учебнике Атанасяна Л.С. [3,стр. 200 - 201] теорема доказывается через понятие вектора, а точнее через правило построения суммы нескольких векторов, называемое правилом многоугольника. Рассмотрим доказательством этой теоремы, приведенной в учебнике А.В. Погорелова [14, стр. 92], поскольку она доказывается с помощью дополнительного построения, и в этом смысле более «просто» и схоже с евклидовым. Приведем его дословно:

«Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Определение трапеции: трапеция - это четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны.

Доказательство. Пусть ABCD - данная трапеция. Проведем через вершину В и середину Р боковой стороны CD прямую. Она пересекает прямую AD в некоторой точке Е.

Треугольники PBC и PED равны по второму признаку равенства треугольников. У них CP=DP по построению, углы при вершине Р равны как вертикальные, а углы РСВ и PDE равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АD и секущей СD.

Из равенства треугольников следует равенство сторон: РВ=РЕ, ВС=ЕD. Значит, средняя линия PQ трапеции является средней линией треугольника АВЕ. По свойству средней линии треугольника PQ || AE и отрезок PQ=1\2AE=1\2*(AD+BC). Теорема доказана».

Такое доказательство не позволяет «понять», откуда берется идея построения линии ВЕ. Тогда как именно в проведение этой линии и свернут акт мысленного эксперимента. Ведь после такого «дополнительного построения» остается лишь доказать равенство нужных треугольников. Наша задача состоит в «реконструкции» мысленного эксперимента как важного компонента доказательства.

Доказательство теоремы с использованием мысленного эксперимента.

Итак, предмет мысли нашего мысленного эксперимента - отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции с ее основаниями, т.е. средняя линия трапеции (рис.1.). Но мы не сможем что-либо узнать об этом отрезке, пока он находится в условиях трапеции. Мы должны поместить его мысленно в такие условия, в которых его сущность может раскрыться с особой определенностью (1этап).

Такими условиями является наделение одной из боковых сторон трапеции следующими идеальными свойствами:

- боковая сторона трапеции способна сжиматься и растягиваться, сохраняя при этом прямизну линии;

- точки боковой стороны, соприкасающиеся с основаниями, способны скользить по прямым линиям, содержащим основания трапеции. При этом точка, являющаяся серединой боковой стороны не должна менять своего расположения (т.е быть центром скольжения).

Такие сконструированные условия позволяют нам раскрыть сущность средней линии трапеции с особой определенностью (1 этап) - быть параллельной ее основаниям.

В самом деле: проводя последующие мысленные трансформации (2 этап) путем «вращения» идеализированной боковой стороны, мы будем получать различные варианты четырехугольника, с двумя параллельными сторонами, стремящегося в предельном случаи (совмещении двух вершин) к треугольнику (рис.3), где средняя линия трапеции сохраняет свойство быть средней линией получаемых фигур. Трансформация средней линии трапеции заключается в том, что она перестает быть средней линией трапеции, становясь средней линией другого геометрического объекта - треугольника.

Производя обозначение вершин трапеции, треугольника, средней линии (рис.4), мы тем самым мысленно формируем ту среду, ту систему связей, в которую помещаем наш предмет мысли (3 этап).

Так как мы наложили условие сохранения прямизны, то, очевидно, что точки C и D боковой стороны CD, скользя по прямым AE и BC проходят одинаковые расстояния (длины). То есть CC1=DD1. Получается - происходит одинаковое растягивание отрезков CP и DP. Очевидно, что при таком скольжении их длины всегда равны (C1P = D1P и BP = EP). Значит отрезок QP - всегда средняя линия получаемого четырехугольника. Который, «при скольжении», стремится к совмещению двух своих вершин (точек С и В) и «превращению» в треугольник АВЕ.

QP - средняя линия треугольника АВЕ, а значит она параллельна стороне АЕ. Из этого вытекает параллельность сторонам AD и BC. Пройденные длины CB и DE - равны. Значит длина АЕ равна сумме длин AD и BC. Получается, что средняя линия QP трапеции ABCD параллельна основаниям BC и AD и равна их полусумме.

3.2 Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

Эта теорема сформулирована и доказана в учебнике Атанасяна Л.С. [3,с. 68-69], в учебнике Погорелова А.В. такой теоремы нет. Видимо, связанно это с тем, что неравенство треугольника у Атанасяна Л.С. доказывается с использованием выше указанной теоремы. У Погорелова А.В. же неравенство треугольника доказывается с использованием понятия проекции наклонной.

Приведем доказательство теоремы о соотношении между сторонами и углами треугольника дословно.

Теорема: В треугольнике:

1) против большей стороны лежит больший угол;

2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство. 1) Пусть в треугольнике АВС сторона АВ больше стороны АС. Докажем, что угол С >угла В. Отложим на стороне АВ отрезок АD, равный стороне АС (рис.1). Так как АD<АВ, то тока D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, угол С >угла 1. Угол 2 - внешний угол треугольника ВDС, поэтому угол 2>угла В. Углы 1 и 2 равны, как углы при основании равнобедренного треугольника АDС. Таким образом, угол С >угла 1, угол 1 = углу 2, угол 2>угла В. Отсюда следует, что угол С >угла В.

2) Пусть в треугольнике АВС угол С >угла В. Докажем, что АВ>АС. Предположим, что это не так. Тогда либо АВ=АС, либо АВ<АС. В первом случае треугольник АВС - равнобедренный и, значит, Угол С= углу В. Во втором случае угол В> угла С (против большей стороны лежит больший угол). И то и другое противоречит условию: угол С >угла В. Поэтому наше предположение неверно, и, следовательно, АВ>АС. Теорема доказана.

Из приведенного доказательства видно, что его идея заключается в проведении дополнительного построения, разбивающего рассматриваемый треугольник на два треугольника, один из которых равнобедренный. Реконструируем идею такого дополнительного построения, доказав эту теорему с использованием понятия о мысленном эксперименте.

Доказательство теоремы с использованием мысленного эксперимента.

Итак, предмет мысли нашего мысленного эксперимента - углы и стороны треугольника. Поместим его мысленно в такие условия (рис.2), в которых его сущность может раскрыться с особой определенностью(1этап).

Такими условиями являются:

- равенство всех углов и сторон треугольника (условия равностороннего треугольника);

- способность сторон треугольника «сжиматься» и «растягиваться» сохраняя при этом прямизну линии;

- вершины треугольника могут «скользить» по линиям, содержащим стороны треугольника;

Такие сконструированные условия позволяют нам раскрыть сущность соотношения сторон и углов треугольника с особой определенностью (1 этап) - зависимость величины противолежащего угла от величины противолежащей стороны и обратно.

В самом деле, проводя последующие мысленные трансформации (2 этап) путем «растяжения» одной из сторон треугольника (рис.3) мы сможем наблюдать соответственно и увеличение противолежащего угла.

Производя обозначение углов и вершин треугольников (рис.4), получаемых при «растяжении» сторон равностороннего треугольника, мы тем самым мысленно формируем ту среду, ту систему связей, в которую помещаем наш предмет мысли (3 этап).

Увеличивая сторону АС путем «растяжения» до стороны АС1, мы тем самым будем наблюдать увеличение угла 1 и соответственное уменьшение угла 2. Но мы также будем наблюдать увеличение и стороны ВС до стороны ВС1. Если сторона ВС увеличилась больше, чем сторона АС (ВС1>АС1), то теорема не верна. Покажем что это не так.



Может быть два случая: ВС1=АС1 и ВС1 ВС1>АС1АС1. В первом случаи треугольник АВС1 был бы равнобедренным, а угол 1 был бы равен углу 3. Но это не так: угол 3 не изменялся и равен 60°, а угол 1 увеличился и стал > 60° - значит стороны ВС1 и АС1 не равны (рис.5). Во втором случае сторону АС1 можно увеличить до стороны ВС1 путем «растяжения» до стороны А1С1 (т.е. А1С1=ВС1) (рис.5). Полученный треугольник А1ВС1 - равнобедренный, а следовательно углы при основании должны быть равны. Но угол 3 уменьшился (т.е. стал < 60°), а угол 1 снова увеличился - значит стороны А1С1 и ВС1 не равны.

Если увеличивать не сторону а угол, мы снова будем решать вопрос о том, какая из двух сторон (АС или ВС) увеличилась больше.

Исходя из проведенного мысленного эксперимента, мы можем заключить истинность утверждения о том, что против большей стороны лежит больший угол и обратно.

3.3 Теорема о сумме углов треугольника

Эта теорема сформулирована и в учебнике Атанасяна Л.С. [3,с.66], и в учебнике Погорелова А.В. [14,с.54-55]. Доказательства этой теоремы в этих учебниках существенно не отличаются, а поэтому приведем ее доказательство, например, из учебника Погорелова А.В.



Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°

Доказательство. Пусть АВС - данный треугольник. Проведем через вершину В прямую, параллельную прямой АС. Отметим на ней точку D так, чтобы точки А и D лежали по разные стороны от прямой ВС (рис.6).

Углы DВС и АСВ равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей ВС с параллельными прямыми АС и ВD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах В и С равна углу АВD. А сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов АВD и ВАС. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных АС и ВD и секущей АВ, то их сумма равна 180°. Теорема доказана.

Идея этого доказательства состоит в проведение параллельной линии и обозначении равенства нужных углов. Реконструируем идею такого дополнительного построения, доказав эту теорему с использованием понятия о мысленном эксперименте. Доказательство теоремы с использованием мысленного эксперимента. Итак, предмет мысли нашего мысленного эксперимента - углы треугольника. Поместим его мысленно в такие условия, в которых его сущность может раскрыться с особой определенностью(1этап).



Такими условиями будут являться такое расположение углов треугольника, при котором все их три вершины будут совмещены в одной точке. Такое совмещение возможно, если допустить возможность «перемещения» углов, посредством движения сторон треугольника не меняя при этом угол наклона (рис.1). Такие перемещения по сути есть последующие мысленные трансформации (2 этап).

Производя обозначение углов и сторон треугольника (рис.2), углов получаемых при «перемещении», мы тем самым мысленно формируем ту среду, ту систему связей, в которую помещаем наш предмет мысли (3 этап).

Линия АВ «перемещаясь» по линии ВС и не меняя к ней угла наклона, переводит угол 1 в угол 5, а «перемещаясь» по линии АС, переводит угол 2 в угол 4. Поскольку при таком «перемещении» линия АВ не меняет угла наклона к линиям АС и ВС, то очевиден вывод: лучи а и а1 параллельны АВ и переходят друг в друга, а лучи в и в1 являются продолжением соответственно сторон ВС и АС. Так как угол 3 и угол между лучами в и в1 - вертикальные, то они равны. Сумма этих углов равна развернутому углу аа1 - а значит 180°.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В дипломной работе проведены «сконструированные» доказательства некоторых школьных геометрических теорем, с использованием структуры мысленного эксперимента, что явилось подтверждением сформулированной гипотезы.

Излагаемые доказательства, опирались на такие наглядно-чувственные идеализации: «сжатие», «растягивание», «скольжение», которые позволили особым образом трансформировать исходный геометрический объект и выделить его существенные характеристики, что характерно для мысленного эксперимента. При этом мысленный эксперимент выступает в роли определенного «креативного инструмента», способствующего появлению геометрического знания (например, о средней линии трапеции или об углах треугольника). Такие идеализации позволяют схватить в целом идею доказательства, идею проведения «дополнительного построения», что позволяет говорить о возможности более осознанного понимания школьниками процесса формально-дедуктивного доказательства геометрических теорем.

Мысленный эксперимент является одним из базовых методов получения и открытия геометрических теорем. Необходимо разработать методику передачи метода ученику. Остается открытым вопрос о приемлемом для «принятия» метода возрасте ученика, о «побочных эффектах» излагаемых таким образом доказательств.

Эти вопросы требуют дополнительного изучения. Но в любом случаи, несомненно, одно: мысленный эксперимент развивает у школьников теоретическое мышление, является его базой и, поэтому, способности к мысленному экспериментированию нужно развивать.



Список литературы

1. Аронов А.М. Использование представления о мысленном эксперименте при решении школьных математических задач. // Педагогический ежегодник. Сборник научных работ. - Красноярск, 1997 г.

2. Аронов А.М., Ермаков С.В., Знаменская О.В. Учебно-образовательное пространство в педагогике развития: математическое образование: Монография / КрасГУ. Красноярск, 2001 г.

3. Атанасян Л.С. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы. - М.: 1993 г.

4. Библер В.С. Мышление как творчество. Введение в логику мысленного диалога. - М.: 1975 г.

5. Библер В.С. Творческое мышление как предмет логики. // В кн. Научное творчество. - М.: 1969 г.

6. Болотов В.А., Окладникова Т.В. Введение в математическую деятельность в школе: Методическая разработка // КрасГУ. Красноярск, 1990 г.

7. Бычков С.Н. Геометрия и аксиоматический метод.// Историко-математические исследования, сер.2. Вып.1(36)..2.1996 г.

8. Бычков С.Н. Дедуктивное мышление и древнегреческий полис.// http://www.PHILOSOPHY.ru/libratu/fm/fm.hml.

9. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. - М.: 1996 г.

10. Колмогоров А.Н. Математика.// БСЭ, т. 26, 1954 г.

11.Кужабекова М.М. Декомпозиция задачи (теоремы), как опора геометрического рассуждения школьника. Дипломная работа, 2001 г.

12. Лакатос И. Доказательства и опровержения. - М.: 1967 г.

13. Минеев В.Г. Исследование возможностей применения мысленного эксперимента при решении школьных математических задач. Дипломная работа. 2002 г.

14. Ольшевская Н.А. Место мысленного эксперимента в преподавании геометрии. Дипломная работа. 1998 г.

15. Погорелов А.В. Геометрия. Учебник для 7-11 классов средней школы. - М.: 1993 г.

16. Пригожих В.А. Курс «Введение в физику» для 6 класса. Формирование теоретического понятия «удельный вес». Дипломная работа, 1994 г.

17. Пригожих В.А. Мысленный эксперимент как фактор формирования теоретического мышления учащихся среднего звена школы (на материале естественнонаучных дисциплин). Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук //на правах рукописи.

18. Розин В.М. Логико-семиотический анализ знаковых средств геометрии.// Педагогика и логика.М.:Касталь,1993 г.

19. Черняк В.С. История. Логика. Наука. М.:Наука,1986 г.

Размещено на Allbest.ru